Full Text: PDF - Institut für Angewandte Physik

Temperatur- und Niederfrequenzabhängigkeit
der Leitfähigkeit von Corbino-Proben vor und
nach dem Zusammenbruch des
Quanten-Hall-Effekts
Diplomarbeit
von
André Buß
Professor Dr. Georg Nachtwei
Institut für Technische Physik
Technische Universität Carolo Wilhelmina
zu Braunschweig
Januar 2004
2
Teilergebnisse dieser Arbeit wurden mit der Genehmigung der Gemeinsamen
Naturwissenschaftlichen Fakultät, vertreten durch den Mentor, in folgenden Beiträgen vorab veröffentlicht:
• A. Buß, N.G. Kalugin, B.E. Sağol, C. Stellmach, A. Hirsch, G. Nachtwei
und G. Hein, Relaxation oscillations in a quantum Hall device influenced
”
by the dynamic breakdown hysteresis of the QHE“, DPG Frühjahrstagung
Poster HL 49.4 (2003).
• G. Nachtwei, N.G. Kalugin, B.E. Sağol, Ch. Stellmach und G. Hein, Func”
tion principle of a relaxation oscillator based on bistable quantum Hall
device“, Appl. Phys. Lett. 82, 2068 (2003).
• N.G. Kalugin, B.E. Sağol, A.Buß, A. Hirsch, C. Stellmach, G. Hein und
G. Nachtwei, Relaxation oscillations and dynamical enhancement of the
”
breakdown hysteresis in quantum Hall systems with Corbino geometry“,
Phys. Rev. B 68, 125313 (2003).
• A. Buß, G. Nachtwei, N.G. Kalugin, B.E. Sağol, C. Stellmach, A. Hirsch
und G. Hein, Relaxation oscillations in a bistable quantum Hall system“,
”
Proceedings of the 13th International Conference on Nonequilibrium Carrier Dynamics in Semiconductors (HCIS-13) Modena, Italy (2003), to appear in Semicond. Sci. Technol.
3
4
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
5
1 Einleitung
7
2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts
2.1 Zweidimensionale Elektronensysteme . . . . . . . . . . .
2.2 Zustandsdichte zweidimensionaler Elektronengase . . . .
2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen
2.3.1 Shubnikov-de-Haas-Oszillationen . . . . . . . . .
2.3.2 Quanten-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Der elektrische Zusammenbruch des QHE . . . .
2.3.3.1 QUILLS-Modell . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3.2 Hot-Electron-Modell . . . . . . . . . . .
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29
29
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30
31
32
32
4 Impulsmessungen
4.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Meßergebnisse und Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
36
3 Apparaturen und Proben
3.1 Kryostaten . . . . . .
3.1.1 4 He -Kryostat
3.1.2 Mischkryostat
3.2 Meßgeräte . . . . . .
3.3 Automatisierung . .
3.4 Proben . . . . . . . .
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5 Relaxationsoszillator basierend auf der Bistabilität einer
5.1 Versuchsaufbau und Funktionsweise . . . . . . . . . .
5.2 Spannungsabhängige Messungen . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Messungen und Auswerung . . . . . . . . . .
5.2.2 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Magnetfeldabhängige Messungen . . . . . . . . . . .
5.3.1 Messungen und Auswertung . . . . . . . . . .
5.3.2 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Corbino-Probe 39
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. . . . . . 42
. . . . . . 45
. . . . . . 48
. . . . . . 48
. . . . . . 50
. . . . . . 53
5
Inhaltsverzeichnis
6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit 55
6.1 Messungen der Hysterese in der I-V -Kennlinie beim Zusammenbruch des QHE 57
6.1.1 Messungen und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.2 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Messungen der Leitfähigkeit σxx im subkritischen Bereich . . . . 63
6.2.1 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2.2 Diskussion der Frequenzabhängigkeit . . . . . . . . . . . 64
6.2.3 Diskussion der Temperaturabhängigkeit . . . . . . . . . . 65
6.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Résumeé
73
Abbildungsverzeichnis
75
Literatur
77
Danksagung
81
6
1 Einleitung
Der Quanten-Hall-Effekt (QHE) in einem zweidimensionalen Elektronensystem (2DES) wurde 1980 von Klaus von Klitzing et al. entdeckt [1]. Für die Messungen wurden Halbleiter-Feld-Effekt-Transistoren aus Silizium-Metall-Oxid
(MOSFETs) verwendet, welche Temperaturen von flüssigem Helium (T < 4, 2 K)
sowie einem starken Magnetfeld ausgesetzt waren. Der QHE zeichnet sich durch
eine Quantisierung des Hall-Widertsandes ρxy aus, welcher Plateaus bei den
Werten ρxy = h/ie2 ausbildet. Hierbei bezeichnet h das Plancksche Wirkungsquantum, e die elektrische Elementarladung und i die Anzahl der komplett
gefüllten Landau-Niveaus (bei Aufhebung der Spinentartung). Eine weitere Beobachtung war das Verschwinden des longitudinalen Widerstandes ρxx , das sich
mit jedem ausgebildeten Plateau einstellte und somit einen verlustfreien Stromfluß repräsentierte. Die große Genauigkeit der Quantisierung, sowie deren Reproduzierbarkeit und Unabhängigkeit von der Probengeometrie führten dazu,
daß der QHE heute weltweit als Referenzwiderstand Verwendung findet. Der
Wert eh2 wird nach dem Entdecker des QHE als von Klitzing-Konstante bezeichnet, welche dem Wert RK = eh2 = 25812, 807 Ω entspricht. Klaus von Klitzing
erhielt für die Entdeckung des QHE 1985 den Nobelpreis [2].
Bereits zwei Jahre nach der erstmaligen Beobachtung des QHE berichteten
Tsui, Störmer und Gossard von einem quantisierten Hall-Plateau mit dem Wert
ρxy = 3h/e2 , wobei das spinaufgespaltene Landau-Niveau mit der niedrigsten
Energie zu einem Drittel besetzt war [3]. Dies war die Entdeckung des Fraktionalen Quanten-Hall-Effekts (FQHE). Existierten zu dem von von Klitzing
entdeckten Integralen QHE (IQHE) noch Berechnungen von Ando et al. [4],
welche diesen Effekt teilweise vorhersagten, so gab es keine vorherigen Veröffentlichungen über die Existenz des FQHE. Tsui und Störmer, sowie Laughlin, der
bereits 1983 eine Arbeit veröffentlichte, die versuchte den FQHE zu erklären [5],
erhielten 1998 den Nobelpreis [6, 7, 8].
In Abb. 1.1(a) ist der typische Aufbau für eine QHE-Messung an einer Probe mit Hall-Bar-Geometrie skizziert. Die schattierten Oberflächen repräsentieren ohmsche Kontakte, welche mit dem 2DES unterhalb der Oberfläche eines
GaAs-Kristalls verbunden sind. Während ein Strom I zwischen den Kontakten 1 und 4 fließt, werden an den Kontakten 5 und 6 die longitudinale Spannung Vx und an den Kontakten 3 und 5 die Hall-Spannung VHall als Funktion
des Magnetfeldes aufgenommen. Für bestimmte Magnetfelder bilden sich im
Hall-Widerstand ρxy = VHall /I Plateaus aus, und der longitudinale Widerstand
ρxx = (Vx /I)/(w/l) verschwindet (s. Abb. 1.1(b)).
7
1 Einleitung
Abbildung 1.1: Der Quanten-Hall-Effekt. (a): Experimenteller Aufbau zu Messung
des QHE an einer Probe mit Hall-Bar-Geometrie. Die ohmschen
Kontakte (schattierte Flächen) sind mit dem 2DES in einem GaAsKristall verbunden. Der Strom fließt zwischen den Kontakten 1 und
4, während die Spannungen Vx und VHall als Funktion des Magnetfeldes aufgenommen werden. (b): Bei bestimmten Magnetfeldern bilden sich im Hall-Widerstand ρxy = VHall /I (durchgezogene Linie)
Plateaus aus, und der longitudinale Widerstand ρxx = (Vx /I)/(w/l)
(gestrichelte Linie) verschwindet.
Bereits kurz nach Entdeckung des QHE wurde eine Vielzahl von Experimenten durchgeführt, welche die physikalischen Grenzen des Effekts untersuchten [9, 10]. Dabei wurde festgestellt, daß sowohl Probeneigenschaften wie Elektronendichte und Elektronenbeweglichkeit, aber auch die Probentemperatur und
der Stromfluß durch das 2DES Einfluß auf die Ausprägung der Quanten-HallPlateaus haben. Mit steigender Temperatur wächst ρxx , und ρxy weicht von
den Plateauwerten ab. Überschreitet der die Probe durchfließende Strom einen
gewissen kritischen Wert IC , so ist ein abrupter Zusammenbruch des QHE zu
beobachten. Bei diesem kritischen Wert steigt der longitudinale Widerstand ρ xx
sprunghaft um mehrere Größenordnungen an, und ρxy weist keine Plateaus mehr
auf.
Ein Verständnis über den Zusammenbruch des QHE zu erlangen ist sowohl
für die Grundlagenforschung, als auch für die Meßtechnik von Interesse. In der
Grundlagenforschung liegt das Hauptinteresse im Erlangen neuer Erkenntnisse
über die im 2DES vor sich gehenden Prozesse beim Einsetzen der Dissipation.
In der Meßtechnik wird mit bestmöglicher Genauigkeit der Referenzwiderstand
bestimmt. Für diese Präzisionsmessungen sollte der Probenstrom so groß wie
möglich sein, um die Genauigkeit zu verbessern, darf jedoch IC nicht überschreiten, was zu einem Zusammenbruch des QHE führen würde.
Es existiert eine Reihe von Theorien, die versuchen den QHE zu erklären. Jedoch gelingt es keiner dieser Theorien alle experimentellen Ergebnisse, den QHE
8
betreffend, zu erklären. Ein detailiertes Gesamtbild über den Zusammenbruch
des QHE erhält man in dem Artikel von Nachtwei [11]. Dieser informiert über
die meisten Entwicklungen auf diesem Gebiet, die bis 1999 gemacht wurden.
In dieser Diplomarbeit wurden unterschiedliche Messungen den Zusammenbruch des QHE betreffend durchgeführt, die als Ganzes betrachtet neue Einblicke über mikroskopische Prozesse innerhalb des 2DES zulassen.
In Kapitel 2 werden die wichtigsten Grundlagen über das Zustandekommen
des QHE sowie über dessen Zusammenbruch vorgestellt. Desweiteren werden einige Modelle erläutert, wobei das Hauptaugenmerk hierbei auf das in Abschnitt
2.3.3.2 beschriebene Hot-Electron-Modell gerichtet sein wird.
Im folgenden Kapitel 3 finden die unterschiedlichen für die Messungen verwendeten Apparaturen Erwähnung. Der Schwerpunkt liegt hier bei zwei unterschiedliche Typen von Kryostaten sowie bei den verwendeten Proben.
Die in Kapitel 4 beschriebenen Impulsmessungen liefern Einblicke in das
Tunnel- und Driftverhalten der Elektronen im 2DES, welche wiederum für spätere Diskussionen von Interesse sind. Dabei handelt es sich hier um eine kurze
Meßreihe. Eine detailierte Arbeit über dieses Thema ist die Dissertation von
Sağol [12].
In Kapitel 5 werden die Ergebnisse vorgestellt, die die Messungen an einer Oszillatorschaltung lieferten. Hierbei wurde das bistabile Verhalten einer
Quanten-Hall(QH)-Probe mit Corbino-Geometrie im Bereich des Zusammenbruchs des QHE dazu benutzt, Relaxationsoszillationen zu erzeugen [13]. Die
Auswertung dieser Messungen ergaben eine vergrößerte Hysterese in der StromSpannungs(I-V )-Kennlinie im Vergleich zu entsprechenden Gleichspannungs(DC)-Messungen. Dadurch motiviert wurden weitere Wechselspannungs(AC)Messungen durchgeführt, die einen weiteren Einblick in dieses offensichtlich
frequenzabhängige Verhalten liefern sollten. Diese Messungen werden in Bezug auf ihre Frequenz- und Temperaturabhängigkeit in Kapitel 6 vorgestellt
und diskutiert. Abschließend folgt in Kapitel 7 eine Zusammenfassung dieser
Arbeit.
9
1 Einleitung
10
2 Grundlagen des
Quanten-Hall-Effekts
Um den Quanten-Hall-Effekt (QHE) beobachten zu können, benötigt man
ein zweidimensionales Elektronensystem (2DES), sehr niedrige Temperaturen
sowie ein großes Magnetfeld. In diesem Kapitel sollen die wichtigsten Grundlagen eines 2DES in GaAs/AlGaAs-Heterostrukturen besprochen werden, welche
für das Auftreten des QHE notwendig sind. Desweiteren werden einige Modelle
vorgestellt, mittels derer sich nicht alle, jedoch wenigstens einige der experimentell beobachteten Vorgänge beim Zustandekommen bzw. beim Zusammenbruch
des QHE erklären lassen.
2.1 Zweidimensionale Elektronensysteme
Ein 2DES ist für die Beobachtung des QHE unabdingbar. Das 2DES trägt
diesen Namen, weil die Elektronen in diesem System sich nur in zwei Dimensionen frei bewegen können. In der dritten Raumrichtung sind ihre möglichen
Energiezustände quantisiert. 2DES lassen sich in unterschiedlichen Materialsystemen beobachten, z.B. an Halbleiter-Oxid-Übergängen [14] und HalbleiterHeterostrukuren [15]. Einen detailierten Einblick in die elektronischen Eigenschaften von 2DES liefert der Artikel von Ando, Fowler und Stern [16]. Eine
typische GaAs/AlGaAs-Heterostruktur ist in Abb. 2.1 dargestellt. Solche Heterostrukturen werden mittels Molekularstrahlepitaxie hergestellt. Dabei wird zuerst eine Pufferschicht, bestehend aus einem GaAs/AlGaAs-Supergitter, auf das
semi-isolierende GaAs-Substrat aufgebracht. Über diese Pufferschicht kommt
eine undotierte GaAs-Schicht, gefolgt von einer Schicht undotiertem AlGaAs.
Auf diese Schicht wird eine siliziumdotierte AlGaAs-Schicht aufgewachsen, auf
welche zuletzt noch eine dünne Schicht GaAs aufgebracht wird, die Oxidation
vermeiden soll. Das 2DES bildet sich an der Grenze zwischen der 20 nm dicken
AlGaAs-Schicht und der 1 µm dicken GaAs-Schicht aus. Dabei gelangen die von
den Silizium-Donatoren zur Verfügung gestellten Elektronen durch die undotierte AlGaAs-Schicht in die GaAs-Schicht, wo sie in einem Potentialtopf festgehalten werden. Die undotierte AlGaAs-Schicht (sog. spacer“) trennt die Elektro”
nen im Leitungsband des GaAs von den positiv geladenen Silizium-Atomen, was
einen drastischen Anstieg der Elektronenbeweglichkeit zur Folge hat.
Den Verlauf der Energiebänder erhält man durch selbstkonsistentes Lösen der
Schrödinger- und der Poissongleichung. Für die beschriebene GaAs/AlGaAs-
11
2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts
Abbildung 2.1: Eine typische GaAs/AlGaAs-Heterostruktur, sowie der Verlauf ihres
Leitungsbandes. Die von den Silizium-Donatoren zur Verfügung gestellten Elektronen werden in dem Potentialtopf (s. Pfeil) im GaAs
festgehalten. Die AlGaAs-Schicht trennt die Elektronen und Donatoren und senkt somit ihre Coulomb-Wechselwirkung. Dadurch wird
die Beweglichkeit der Elektronen innerhalb des 2DES verbessert.
Heterostruktur ist der Verlauf des Leitungsbandes in Abb. 2.1 skizziert. An dem
Übergang von der GaAs-Schicht zu der undotierten AlGaAs-Schicht entsteht ein
nahezu dreieckiger Potentialtopf, dessen effektive Dicke vergleichbar oder kleiner
ist als die de-Broglie-Wellenlänge der Elektronen. Die Elektronenenergie wird
dadurch in Subbänder Ezi (i = 0, 1, 2, . . .) quantisiert. Bei Temperaturen T < 4 K
und kleiner Ladungsträgerdichte ist nur das unterste Subband mit Elektronen
besetzt. Die Elektronen sind in dem Potentialtopf gefangen und somit ihrer Bewegungsfreiheit in z-Richtung beraubt. In x- und y-Richtung hingegen können
sie sich frei bewegen. Ihre Gesamtenergie setzt sich damit aus Ez0 und ihrer
kinetischen Energie zusammen:
E = Ez0 +
~2 (kx2 + ky2 )
.
2m∗
(2.1)
Hierbei sind kx und ky die Wellenvektorkomponenten im 2D-Impulsraum und
m∗ ist die effektive Elektronenmasse. Aufgrund der starken Asymmetrie des
Potentialtopfes sind die Elektronen hauptsächlich im GaAs lokalisiert. Deswegen
wird die effektive Masse der Elektronen in GaAs m∗ = 0.067 m0 eingesetzt.
12
2.2 Zustandsdichte zweidimensionaler Elektronengase
2.2 Zustandsdichte zweidimensionaler
Elektronengase
Die komplette Beschreibung eines 2DES würde erfordern, daß die Wellenfunktionen und Energien aller Zustände bekannt sind, was für alle, bis auf einfache Systeme, eine schwer lösbare Aufgabe darstellt. Deswegen ist es in vielen
Fällen angebracht, die Zustandsdichte D(E), welche einem Informationen über
die Energieverteilung der Elektronen gibt, zur Beschreibung von Systemen heranzuziehen. Nach der Definition der Zustandsdichte beschreibt der Ausdruck
D(E)δE die Anzahl der Zustände, deren Energie im Bereich von E und E + δE
liegen [17].
In dem Fall, daß kein Magnetfeld anliegt, ist die Zustandsdichte bei parabolischer Dispersion (E ∼ k 2 ) für jedes Subband unabhängig von der Energie [18]:
D(E) =
m∗
∂ns
.
=
∂E
π~2
(2.2)
Wenn mehrere Subbänder besetzt sind, leistet jedes Subband den gleichen Beitrag, so daß sich ein stufenförmiges Verhalten in der totalen Zustandsdichte
ergibt.
Das Anlegen eines einheitlichen Magnetfeldes senkrecht zur x-y-Richtung des
2DES führt zu einer kompletten Quantisierung des Energiespektrums der Elektronen im 2DES [19,20]. Das System läßt sich bei Vernachlässigung der ElektronElektron-Wechselwirkung und des Spins durch die magnetfeldabhängige Schrödingergleichung beschreiben:
µ
¶
1
2
~ + V (z) Ψ ~ (x, y, z) = E(~k)Ψ ~ (x, y, z).
(~p + eA)
(2.3)
jk
jk
2m∗
~ = (0, Bx, 0) ist das VektorpotenUnter Verwendung der Landau-Eichung mit A
tial unabhängig von y, wodurch die Wellenfunktion von der Form
Ψj,~k (x, y, z) = φj (z)ϕ~k (x) exp(iky y)
(2.4)
ist. Durch Separation des z-Anteils und Einsetzen von Gl. 2.4 in Gl. 2.3, wobei
p2x = −~2 ∂ 2 /∂x2 gesetzt wird, erhält man die Schrödingergleichung in der x-yEbene für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator
µ
¶
~2 ∂ 2
m∗ ωc2
2 2
− ∗ 2+
(x + ky `B ) ϕ~k (x) = (E − Ej )ϕ~k (x),
(2.5)
2m ∂x
2
q
~
mit der Zyklotronfrequenz ωc = eB/m∗ und magnetischen Länge `B = eB
.
Durch das Lösen der Gl. 2.5 erhält man folgende Energien und Wellenfunktionen
für die Elektronenbewegung in der x-y-Richtung:
E − Ej = En = (n + 1/2)~ωc ,
(2.6)
13
2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts
Abbildung 2.2: Zustandsdichte eines 2DES in einem Magnetfeld. (a) In einem Magnetfeld enstehen anstelle eines Fermi-Kreises Landau-Kreise, deren
Schnittlinien mit dem Paraboloiden die Landau-Kreislinien bilden.
(b) Aufgrund von auftretender Streuung haben die Landau-Niveaus
die Form einer Gauss-Verteilung anstelle einer δ-Funktion. (c) Jede
Landau-Kreislinie besitzt die gleiche Anzahl an Elektronorbitalen.
Ψ(x, y) ∼ Hn
µ
x + ky `2B
`B
¶
(x + ky `2B )2
exp −
2`2B
µ
¶
exp(iky y).
(2.7)
Hier ist n = 1, 2, . . . und Hn sind die Hermitschen Polynome. Aufgrund der
Unabhängigkeit der Elektronenenergie von ky sind Zustände mit gleichen n
(mit Spinentartet, wobei der Entartungsgrad pro Flächenelement nL = 2 eB
h
entartungsfaktor 2) entspricht. Die Zustandsdichte hat nicht mehr die oben
erwähnte Stufenform, es bildet sich stattdessen eine Reihe von δ-Funktionen,
die sogenannten Landau-Niveaus, bei den durch Gl. 2.6 gegebenen Energien aus
(zuzüglich der in Kap. 2.1 erwähnten Subbandenergie Ezi ). Streuprozesse führen
zu einer Aufhebung der Entartung, wodurch die δ-Funktionen eine Verbreiterung erfahren (s. Abb. 2.2(b)). Diese können als getrennt betrachtet werden,
wenn ihre Halbwertsbreite Γ die Bedingung Γ < ~ωc erfüllt (s. Abb. 2.2(b)). Die
komplette Quantisierung des 2DES im Magnetfeld führt dazu, daß im k-Raum
nicht mehr der ohne Magnetfeld vorliegende Fermi-Kreis, sondern eine Reihe
von Landau-Kreisen vorzufinden ist. Die Schnittlinien dieser Landau-Kreise mit
dem, der parabolischen Dispersion entsprechendem Paraboloiden ergeben die
sogenannten Landau-Kreislinien [18] wie sie in den Abb. 2.2(a) und (c) zu sehen
sind.
14
2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen
Die Berücksichtigung des Spins der Elektronen führt dazu, daß der Elektronenenergie ein spinabhängiger Term hinzugefügt wird, so daß
1
En = (n + 1/2)~ωc ± g ∗ µB B
2
(2.8)
gilt, wobei ± 21 der Quantenzahl des Elektronenspins entspricht, µB = e~/2 m0
das Bohrsche Magneton und g ∗ der effektive Landé-Faktor ist. Die lineare Abhängigkeit dieses spinabhängigen Terms führt in der Regel dazu, daß bei niedrigen Magnetfeldern in einem zusammenhängenden Landau-Niveau beide Spins
enthalten sind, mit zunehmendem Magnetfeld werden beide Spinzustände mehr
und mehr getrennt, bis sich zwei komplett separierte Niveaus ergeben. Die
Berücksichtigung des Elektronenspins hat eine Halbierung des Entartungsgrads
der spinseparierten Landau-Niveaus zur Folge:
nL =
eB
.
h
(2.9)
Zusammen mit der Ladungsträgerdichte ns lässt sich daraus der sogenannte
Füllfaktor ν bestimmen:
ns
hns
ν=
.
(2.10)
=
nL
eB
Der Füllfaktor gibt die Anzahl der gefüllten Landau-Niveaus an.
2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen
Elektronengasen
Um die Transporteigenschaften eines 2DES im Magnetfeld zu untersuchen,
werden meistens Proben mit der sogenannten Hall-Bar-Geometrie verwendet.
In Abb. 2.3(a) ist ein solcher Meßaufbau inklusive der mit dem 2DES verbundenen ohmschen Kontakte 1-6 gezeigt. Das Anlegen eines elektrischen Feldes in
x-Richtung verursacht einen Stromfluß zwischen den Kontakten 1 und 4. Der
longitudinale Spannungsabfall Vx zwischen den Kontakten 5 und 6, sowie die
Hallspannung Vy zwischen den Kontakten 3 und 5 werden als Funktion des angelegten Magnetfeldes aufgenommen. Aus Vx und Vy lassen sich die spezifischen
Widerstände ρxx bzw. ρxy bestimmen.
Im klassischen Fall, d.h. bei kleinen Magnetfeldern, erhält man den 1879 von
E.H. Hall entdeckten klassischen Hall-Effekt [21]. Hier weist der spezifische
transversale Widerstand eine lineare Magnetfeldabhängigkeit auf, wohingegen
der spezifische longitudinale Widerstand magnetfeldunabhängig ist:
ρxx =
m∗
1
=
2
ns e τ
ns eµ
(2.11)
B
.
ns e
(2.12)
ρxy =
15
2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts
Abbildung 2.3: Meßaufbau an Proben mit (a) Hall-Bar- und (b) Corbino-Geometrie.
(a) Ein Strom I fließt von Kontakt 4 nach Kontakt 1. Der longitudinale Spannungsabfall Vx sowie der transversale Spannungsabfall Vy
lassen sich an den Kontakten 5 und 6 bzw 3 und 5 ermitteln. (b) Die
Spannung V0 wird zwischen dem Source(Quell)-Kontakt und dem
Drain(Abfluss)-Kontakt angelegt. Über einem seriellen Widerstand
wird der Spannungsabfall VSD gemessen.
Im Falle von Messungen an Proben mit Corbino-Geometrie (s. Abb. 2.3(b)) wird
anstelle von ρxx die Leitfähigkeit σxx gemessen. Für ein 2DES lassen sich die
Leitfähigkeit und der spezifische Widerstand als zweidimensionale Tensoren σ̂
bzw. ρ̂ = σ̂ −1 formulieren:
Ã
Ã
! Ã
!
!
σxx σxy
1 −ωc τ
σxx σxy
σ0
σ̂ =
=
=
(2.13)
1 + (ωc τ )2
σyx σyy
−σxy σxx
ωc τ
1
ρ̂ =
Ã
ρxx ρxy
ρyx ρyy
=
Ã
ρxx ρxy
−ρxy ρxx
!
Ã
σxx −σxy
1
2
+ σxy
σxy σxx
!
Ã
!
1 −ωc τ
= ρ0
,
ωc τ
1
=
2
σxx
!
(2.14)
wobei es sich bei σ0 = ns e2 τ /m∗ = ρ−1
0 um die klassische Drude-Leitfähigkeit
handelt und τ die Streuzeit ist [22].
16
2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen
Werden nun höhere Magnetfelder angelegt, so verlässt das 2DES dieses klassische Regime, was sich durch ein Abweichen des Hall-Widerstandes ρxy von
seiner Linearität und starken Oszillationen im longitudinalen Widerstand ρxx
bemerkbar macht. Diese starken Oszillationen nennt man den Shubnikov-deHaas(SdH)-Effekt, welcher 1930 von Shubnikov und de Haas entdeckt wurde [23]. Bei einer weiteren Erhöhung des Magnetfeldes erreicht das 2DES den
Bereich des Quanten-Hall-Effektes, in dem ρxy Plateaus ausbildet und ρxx gegen null geht. In Abb. 2.4 sind sowohl der klassische, als auch die beiden eben
erwähnten Bereiche markiert, wobei es sich jedoch eher um Übergangsbereiche
als um strenge Übergangspunkte handelt.
Abbildung 2.4: Magnetotransportkurve mit drei wichtigen Bereichen. (a) Bei niedrigen Magnetfeldern wird der klassische Hall-Effekt beobachtet. (b)
Bei höheren Magnetfeldern setzt quantenmechanisches Verhalten
ein, welches sich deutlich durch die SdH-Oszillationen zeigt. (c) Im
Quanten-Hall-Bereich bilden sich Plateaus in ρxy aus, während ρxx
gegen null geht.
2.3.1 Shubnikov-de-Haas-Oszillationen
Abb. 2.5 illustriert die Abhängigkeit der Zustandsdichte an der Fermi-Kante
vom Magnetfeld. Unter der Voraussetzung klar voneinander getrennter LandauNiveaus fällt die Zustandsdichte auf Null ab, wenn der Füllfaktor ν einer ganzen
Zahl n entspricht. Maxima treten auf, wenn ν = n + 21 gilt. Dieses Verhalten
spiegelt sich direkt in der Messung von ρxx wieder (s. Abb. 2.4). Das liegt daran,
daß der longitudinale Ladungsträgertransport an der Fermi-Kante stattfindet,
und bei verschwindender Zustandsdichte ebenfalls ρxx bzw. σxx gegen null gehen
(i.A. gilt σxy À σxx ⇒ σxx ∼ ρxx (s. Gl. 2.14)). Mittels einer Messung von ρxx
17
2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts
Abbildung 2.5: Besetzung der Landau-Niveaus im Magnetfeld bei Spinentartung. Es
ist hier die Veränderung der Elektronendichte an der Fermikante bei
sich änderndem Magnetfeld zu beobachten. Die jeweils angelegten
Magnetfelder entsprechen den Füllfaktoren ν = 4 (a), ν = 83 (b) und
ν = 2 (c).
bzw. σxx läßt sich aus den SdH-Oszillationen die Elektronendichte n des 2DES
bestimmen.
2.3.2 Quanten-Hall-Effekt
Mit weiter zunehmendem Magnetfeld gelangt das 2DES in den Bereich des
QHE. Die Minima der SdH-Oszillationen gehen gegen den Wert Null, während
der longitudinale Widerstand ρxy in dem Magnetfeldbereich der Minima von ρxx
Plateaus mit dem quantisierten Wert
ρxy =
h
25812, 807
=
Ω
2
ie
i
(2.15)
ausbildet, wobei i die Anzahl der komplett gefüllten Landau-Niveaus angibt
(s. Abb. 1.1(b) und 2.4). Dieser quantisierte Wert lässt sich einfach berechnen:
Wenn ein Landau-Niveau komplett gefüllt ist, wird der Füllfaktor ν ganzzahlig.
Damit wird Gl. 2.10 zu
eB
ns = i .
(2.16)
h
Dieses Ergebnis in Gl. 2.12 eingesetzt liefert Gl. 2.15.
Ein Modell, welches ein mögliches Entstehen des QHE erklärt, ist das von
Büttiker entwickelte Randkanalmodell, in dem ausschließlich ausgedehnte Randzustände für den Ladungstransport sorgen [24]. An den Probenrändern werden die Eigenenergien der Landau-Niveaus aufgrund des Randpotentials über
die Fermi-Kante hinaus angehoben (s. Abb. 2.6(a)) [17]. An den Schnittpunkten der Fermi-Kante mit den Landau-Niveaus entstehen ausgedehnte Zustände,
welche einen Ladungstransport zulassen. Die Elektronen, welche diese Randzustände besetzen, vollführen im quasi-klassischen Bild Zyklotronbewegungen,
die durch die Kollision des Elektrons mit dem Rand eine effektive Driftbewegung zur Folge haben (s. Abb. 2.6(b)). In einer Hall-Probe bilden sich somit
N Randzustände, gegeben durch die Anzahl der besetzten Landau-Niveaus. Die
18
2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen
Abbildung 2.6: Randkanäle nach dem Modell von Büttiker. (a) Aufgrund des Randpotentials werden die Landau-Niveaus am Rand über die Fermikante
angehoben. Die x-Koordinate entspricht hier der Breite einer Probe
mit Hall-Bar-Geometrie, wobei x = 0 die Probenmitte ist.
(b) Quasiklassische Bewegung der Elektronen entlang der Probenkante (skipping orbits).
Randzustände an den gegenüberliegenden Seiten sind voneinander getrennt und
verlaufen in entgegengesetzten Richtungen (im Sinne der Driftbewegung der
Zyklotronorbits). Betrachten wir die in Abb. 2.7 gezeigte Hall-Probe mit den
Stromkontakten 1 und 4 sowie den Spannungskontakten 2, 3, 5 und 6. Wird
ein negatives Potential V1 am Kontakt 1 angelegt, fließt ein Strom von Kontakt 1 nach Kontakt 4. Die Fermi-Kante wird für die aus dem Kontakt 1 austretenden Elektronen um −eV1 angehoben, weswegen zusätzliche Elektronen
in die Randzustände gelangen, und somit eine größere Anzahl an Elektronen
Kontakt 1 verlassen als ihn erreichen (in Abb. 2.7 wird dies durch die unterschiedlichen Farben der Randzustände gekennzeichnet). Es gilt die Annahme,
daß die Randzustände ohne Störung durch mögliche Streuzentren in der Probe
verlaufen. Die Kontakte 2 und 3 liegen ebenfalls auf dem Niveau des Kontaktes 1 (V1 = V2 = V3 ), desweitern gilt V4 = 0 = V5 = V6 . Aufgrund der
Anordnung der Kontakte in Abb. 2.7 fließt durch jeden der oberen Kontakte
ein Strom der Größe I = −V1 /ρxy = −(e2 /h)V1 , womit sich ein totaler Strom
von Iges = −N (e2 /h)V1 einstellt. Damit ergibt sich der Hall-Widerstand zu
(V6 − V2 )/Iges = −V1 /Iges = (1/N )(e2 /h), dem quantisierten Wert. Als longitudinalen Widerstand erhält man (V2 − V3 )/Iges = 0.
19
2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts
Abbildung 2.7: Die Ausbildung von Randzuständen in einer Hall-Probe. Eine zwischen den Kontakten 1 und 4 angelegte Spannung verursacht einen
Elektronenfluß in den N Randkanälen (von denen hier nur einer eingezeichnet ist).
Es soll jetzt das Wegfallen der zuvor gemachten Annahme, nach der keine
Streuprozesse auftreten, betrachtet werden. Wenn ein Elektron von einem Randzustand in einen anderen streut, so hat dies nur Auswirkungen auf die Strombilanz, wenn sich diese beiden Randzustände in entgegengesetzte Richtungen
ausbreiten. Solch ein Streuprozeß ist jedoch aufgrund der, innerhalb der Probe
zwischen den Landau-Niveaus liegenden, Fermi-Kante sehr unwahrscheinlich,
was die Quantisierung unter diesem Gesichtspunkt sehr stabil macht. Jedoch
liegt die Fermi-Kante, an die Bedingung einer konstanten Elektronendichte gebunden, über sehr große Magnetfeldbereiche innerhalb eines Landau-Niveaus.
Somit lässt sich die Entstehung breiter Plateaus nur durch die Einbeziehung
von Streuprozessen in die Argumentation nicht begründen. Genauso scheitert
die einfache Herleitung des quantisierten Wertes ρxy in Gl. 2.15 an den Plateaus,
weil sie nur für genau die Magnetfeldwerte gültig ist, bei denen ein LandauNiveau komplett gefüllt ist.
Ein anderes Bild, welches die Plateaus begründen kann, erhält man, wenn zusätzlich zu den Streuprozessen Lokalisierung an den Streuern (Verunreinigungen,
Gitterfehler,Donatoren) in die Betrachtung einfließen. Die zufällig im 2DES verteilten Streuzentren verursachen räumliche Energiefluktuationen in den LandauNiveaus (s. Abb. 2.8(a)). Die durchschnittliche Größe der Fluktuationen entspricht der Verbreiterung der Landau-Niveaus, was in Abb. 2.8 durch die Verbindungslinien zwischen (a) und (b) dargestellt ist. In der Ausgangssituation sei
jetzt nur das untere Landau-Niveau in Abb. 2.8 komplett gefüllt. Wird nun das
angelegte Magnetfeld verkleinert, so hat dies eine Abnahme der Entartung der
Landau-Niveaus zur Folge und das nächsthöhere Landau-Niveau wird, zunächst
in den Minima der Energiefluktuationen, mit Elektronen besetzt. Diese Elektronen sind jedoch an den Fluktuationen lokalisiert (s. Abb. 2.8(c)) und können
20
2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen
Abbildung 2.8: Einfluß der Streuzentren im 2DES. (a) Räumliche Energiefluktuationen verursacht durch Streuzentren. (b) Lokalisierte und delokalisierte
Zustände. (c) Lokalisierte Zustände um einen Hügel“ bzw. ein Tal“
”
”
der Energiefluktuationen.
somit nicht zum Ladungstransport beitragen, womit der Hall-Widerstand konstant bleibt. Es kann sich ein Plateau in ρxy ausbilden.
2.3.3 Der elektrische Zusammenbruch des QHE
Ein Zusammenbruch des QHE läßt sich sich zum einen durch eine Temperaturerhöhung erzielen, zum anderen läßt er sich aber auch elektrisch erreichen. Eine Erhöhung des Probenstroms führt zu einer Verkleinerung der HallPlateaus und der Minima in ρxx bezüglich des Magnetfeldbereichs. Dies ist in
Abb. 2.9(a) zu beobachten, in der die Werte ρxy und ρxx für zwei Probenströme
von 5 µA bzw. 50 µA aufgetragen sind. Bei dem niedrigeren Probenstrom lassen sich ausgeprägte Minima in den SdH-Oszillationen und Plateaus in ρxy beobachten. Bei dem höheren Probenstrom hingegen ist nur noch bei ν=2 ein,
über einen sehr kleinen Magnetfeldbereich ausgedehntes, Minimum mit dem
entsprechend kleinen Plateau in ρxy zu sehen. Das der QHE nur noch bei ν=2
beobachtet wird liegt daran, daß der kritische Strom abhängig von der Energielücke En ∼ B ist (s. Gl 2.8). Aufgrund des relativ kleinen effektiven LandéFaktors g ∗ in GaAs/AlGaAs-Heterostrukturen ergibt sich eine entsprechend kleine Energielücke zwischen dem nullten (Spin=- 12 ) und dem ersten Landau-Niveau
(Spin=+ 12 ), womit die größte Energielücke bei ν=2 und nicht bei ν = 1 (bei
doppeltem Magnetfeld) vorzufinden ist. Der Zusammenbruch läßt sich ebenso
in der I-V -Kennlinie beobachten (s. Abb. 2.9(b)). Ist der kritische Strom Ic
erreicht, so steigt der longitudinale Spannungsabfall Vx um mehrere Größenordnungen an.
21
2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts
Abbildung 2.9: Elektrisch herbeigeführter Zusammenbruch des QHE. (a) Anhand
der SdH-Oszillationen läßt sich der Zusammenbruch durch ein verschwinden der Plateaus in ρxy bei gleichzeitigem Abweichen der ρxx Werte von Null beobachten. Nur bei Füllfaktor ν=2 ist der QHE noch
nicht zusammengebrochen.(b) Der Zusammenbruch läßt sich ebenso
in der I − V -Kennlinie beobachten. Bei einem kritischen Strom Ic
steigt der longitudinale Spannungsabfall Vx um mehrere Größenordnungen an.
Phänomenologisch betrachtet läßt sich der elektrisch herbeigeführte Zusammenbruch des QHE wie folgt beschreiben: Im Idealfall des QHE (T, I → 0) erhält
man im Bereich ganzzahliger Füllfaktoren die Tensorkomponenten ρxx = 0 und
ρxy = h/ie2 . Da ein Stromfluß nur in x-Richtung vorliegt, ergibt sich die Ten~ = ρ̂~j zu
sorrelation E
!µ ¶ µ
¶
µ ¶ Ã
h
0
Ex
0
jx
2
ie
=
,
(2.17)
=
Ey
− ieh2 jx
0
− ieh2 0
womit sich die Dissipation (Verlustleistung) pro Flächenelement zu Null ergibt
~ Wie in Abb. 2.10(a) zu sehen ist, beträgt der Hall-Winkel Θ (Winkel
( ∂P
= ~j E).
∂A
zwischen Hall-Feld und Stromrichtung) im Falle des QHE 90◦ . Der Verlauf der
Äquipotentiallinien zeigt jedoch, daß dies nur im Probeninneren zutrifft. In der
Nähe der Stromkontakte ist der Hall-Winkel ungleich 90◦ , was bedeutet das
an den Probenrändern Dissipation auftritt. Diese sogenannten Hot Spots“ an
”
den Probenrändern wurden experimentell von Klaß et al. beobachtet [25]. Im
Falle des Zusammenbruchs ist das elektrische Feld in Stromflußrichtung Ex 6= 0
(ρxx 6= 0), somit ist Θ 6= 90◦ , und Dissipation tritt in der gesamten Probe auf
(s. Abb. 2.10(b)).
Bis heute wurden unterschiedliche Mechanismen und Modelle zur Erklärung des
Zusammenbruchs des QHE vorgeschlagen, jedoch ist bisher kein Mechanismus
oder Modell dazu in der Lage, alle experimentell beobachteten Vorgänge korrekt
wiederzugeben [26, 27, 28, 29]. Im folgenden sollen zwei bisher vergleichsweise
erfolgreiche Modelle vorgestellt werden. Zum einen wird auf das QUILLS-Modell
22
2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen
Abbildung 2.10: Hall-Winkel in den Bereichen des QHE und des Zusammenbruchs.
Die gestrichelten Linien stellen Äquipotentiallinien dar. (a) (QHE:
jx < jc ) Der Hall-Winkel Θ beträgt 90◦ . Dissipation tritt nur in
Nähe der Stromkontakte auf. (b) (Zusammenbruch: jx > jc ) Der
Hall-Winkel Θ ist kleiner als 90◦ . Dissipation tritt in der gesamten
Probe auf.
[30] eingegangen, welches quasi-elastische Inter-Landau-Level Streuprozesse als
für den Zusammenbruch des QHE verantwortlichen Prozeß sieht. Desweiteren
soll das thermodynamische Hot-Electron-Modell [31] präsentiert werden.
2.3.3.1 QUILLS-Modell
Das QUILLS(Quasi-elastische Inter-Landau-Level Streuprozesse)-Modell wurde 1986 von Eaves und Sheard vorgeschlagen [30]. Anhand dieses Modells wollten die Autoren Ergebnisse erklären, die kurz zuvor von Bliek et al. veröffentlicht wurden [32]. Bliek et al. untersuchten den Zusammenbruch des QHE an
GaAs/AlGaAs-Proben mit schmaler Kanalbreite (w = 1 µm), an denen sie wesentlich höhere kritische Stromdichten beobachteten als zuvor von z.B. Cage
et al. [33] und Ebert et al. [10] berichtet. Nach diesem Modell wird der Zusammenbruch des QHE durch Hall-Feld-induziertes Tunneln von Elektronen
aus dem höchsten besetzten Landau-Niveau in das niedrigste unbesetzte Niveau verursacht. In Abb. 2.11 ist dieser Vorgang schematisch dargestellt. Die
Landau-Niveaus sind aufgrund des Hall-Feldes verkippt, was zu einem Überlapp der Wellenfunktionen beider Landau-Niveaus führt. Das sich aus diesem
Modell ergebende kritische Hall-Feld Ec erfüllt die Proportionalitätsgleichung
p
Ec ∼ ~ωc /`B ∼ B 3/2 , mit der magnetischen Länge `B = ~e/B. Qualitativ
wurde dies von Kawaji et al. nachgewiesen [34], jedoch weichen die experimentell gemessenen Ec um zwei Größenordnungen von den zu hohen theoretischen
Werten ab.
23
2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts
Abbildung 2.11: Schematische Darstellung eines quasi-elastischen Streuprozesses eines Elektrons vom gefüllten Landau-Niveau n in das unbesetzte
Niveau n+1. Die sich überlappenden Wellenfunktionen entsprechen denen der beiden Landau-Niveaus unterhalb und oberhalb der
Fermi-Energie.
2.3.3.2 Hot-Electron-Modell
Ebert et al. haben 1983 ein Hot-Electron-Modell (HEM) zur qualitativen Interpretation ihrer Daten herangezogen [10,31]. Erste quantitative Vergleiche zwischen experimentellen Ergebnissen und theoretischen Berechnungen des HEM
wurden 1985 von Komiyama et al. veröffentlicht [35]. Später befasste sich Nachtwei noch ausführlich mit der Ausarbeitung dieses Modells [11, 36].
Der Ausgangspunkt des HEM ist eine Gleichung für die Energie, bezogen auf
Flächen- und Zeiteinheit, in der, die dem 2DES zugeführte Leistung pro Fläche
pgain = σxx Er2 ,
(2.18)
mit dem radialen elektrischen Feld in einer Corbino-Probe Er , und die Verlustleistung des 2DES pro Fläche
ploss =
²(Tel ) − ²(TL )
τrelax
(2.19)
gleichgesetzt werden. Gl. 2.19 beschreibt die Relaxation der Energie ²(Tel ) bei
erhöhter Elektronentemperatur Tel zurück zur Energie ²(TL ) bei der Gittertemperatur TL . Man erhält so die Leistungsgleichung
σxx (Tel )Er2 =
24
²(Tel ) − ²(TL )
∆²(Tel , TL )
=
,
τrelax
τrelax
(2.20)
2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen
mit der zugehörigen Relaxationszeit τrelax . Die Relaxationszeit für Streuprozesse
an Phononen ist in folgender Weise von der Elektronentemperatur abhängig:
τep =
1
,
Cep Tel2
(2.21)
wobei Cep ein empirischer Parameter ist [35]. Spätere Untersuchungen ergaben, daß Streuung an Störstellen maßgeblich für den Zusammenbruch des QHE
verantwortlich ist [37, 38]. Damit verbunden ist die Driftzeit zwischen zwei inelastischen Streuprozessen τD :
τD = `D /vD = `D BG(r1 , r2 )/VSD ,
(2.22)
mit der inelastischen Streulänge `D , dem Magnetfeld B, der angelegten Spannung zwischen dem Source- und Drain-Kontakt der Corbino-Probe VSD und
dem Geometriefaktor G(r1 , r2 ) einer Corbino-Probe, wobei r1 und r2 die Radien
der Kontakte beschreiben. Damit ergibt sich die totale Streurate 1/τrelax zu:
1
τrelax
=
1
1
VSD
+
= Cep Tel2 +
.
τep τD
`D BG(r1 , r2 )
(2.23)
Die Energie des 2DES in Abhängigkeit von der Temperatur läßt sich analytisch
nur berechnen, wenn die Fermi-Energie EF bei einem ganzzahligen Füllfaktor ν
liegt. Unter der Voraussetzung, daß eine konstante Hintergrundzustandsdichte
lokalisierter Zustände DBG vorliegt, erhält man:
∆²(Tel , TL ) =
2
π 2 kB
DBG (Tel2 − TL2 ).
6
(2.24)
Die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit σxx ist gegeben durch (s. [37])
σxx (Tel ) = σ0 exp{−∆E/kB Tel } + σBG .
(2.25)
Der erste Term beschreibt hier die thermische Aktivierung (mit der Aktivierungslücke ∆E = ~ωc /2). Der zweite Term ist die Hintergrundleitfähigkeit σBG .
Diese basiert auf Tunnelprozessen, welche durch thermisch assistierte und/oder
elektrische Felder bedingte Delokalisierung ermöglicht werden [36, 37]. Ein Einsetzen der Gl. 2.23 und 2.24 in Gl. 2.20 ermöglicht, zusammen mit der Temperaturabhängigkeit von σxx (Tel ), das Aufstellen einer Gleichung, welche die
Spannung VSD als Funktion der Elektronentemperatur angibt:
r
1 2
1
2
V
+ Velph
,
(2.26)
VSD (Tel ) = VDrift +
2
4 Drift
mit dem Driftanteil VDrift (Tel )
VDrift (Tel ) =
G(r1 , r2 ) ∆²(Tel , TL )
`D B
σxx (Tel )
(2.27)
25
2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts
und dem Elektron-Phonon-Wechselwirkungsanteil Velph (Tel )
¶1/2
µ
2 ∆²(Tel , TL )
Velph (Tel ) = G(r1 , r2 ) Cep Tel
.
σxx (Tel )
(2.28)
Durch das Aufstellen der Umkehrfunktion von Gl. 2.26 erhält man die Elektronentemperatur als Funktion der angelegten Source-Drain-Spannung, welche einen
S-förmigen Verlauf aufweist (s. Abb 2.13). Da die Leitfähigkeit σxx mit der Elektronentemperatur Tel wächst, entspricht die erhaltene Funktion einer S-förmigen
I-V -Kennlinie [35]. Der Bereich des Kurvenverlaufs, in dem ∂Tel /∂VSD < 0
(→ ∂ISD /∂VSD < 0) gilt, ist instabil. Anhand dieses Ergebnisses läßt sich
die Entstehung einer, experimentell häufig beobachteten, Hysterese in der I-V Kennlinie erklären [10,11]. Einer Spannungserhöhung über den kritischen Punkt
Vmax hinaus (s. Abb. 2.13(c)) folgt ein drastischer Sprung der Elektronentemperatur (in Abb. 2.13(c) springt Tel von ca. 6 K auf ca. 38 K für σBG = 1 × 10−8 S).
Dieser abrupte Anstieg von Tel entspricht dem Sprung in der I-V -Kennlinie
beim Zusammenbruch des QHE in Abb. 2.9(b). Wenn VSD > Vmax ist, und VSD
dann verringert wird, erfolgt ein ähnlicher Sprung in der Elektronentemperatur,
nur erfolgt dieser an der in Abb. 2.13(c) mit Vmin gekennzeichneten Stelle. Somit
ergibt sich eine Hysterese in der I-V -Kennlinie. Die die Hysterese bestimmenden
Werte Vmin und Vmax sind von den Parametern `D , DBG , Cep , B, G(r1 , r2 ) und
σxx (Tel ) abhängig. In Abb. 2.13 ist zu sehen, wie eine Variation der Paramter
DBG , `D und σBG den Verlauf der Funktion beeinflussen. Besonders zu betonen
ist hier der starke Einfluß von σBG auf den Wert von Vmax . Wenn σxx (T ) als
rein thermisch aktiviertes Verhalten angenommen wird (d.h. σBG = 0), ergeben
sich Werte für Vmax , die wesentlich größer sind als die experimentell gemessenen
Werte. Durch die Inbezugnahme einer Hintergrundleitfähigkeit σBG erhält man
theoretische Werte für Vmax , die den experimentellen entsprechen (s. auch Kap.
6.1).
Eine viel diskutierte Frage bleibt nach wie vor, um welche Art Ladungsträgertransport es sich bei der subkritischen Leitfähigkeit σxx (vgl. Gl. 2.25) handelt.
Eine Möglichkeit wäre, daß es sich bei der subkritischen Leitfähigkeit nur um
thermisch aktivierte Inter-Landau-Niveau-Übergänge handelt. In diesem Fall
würde die Leitfähigkeit der Form
σxx (T ) ∼ exp{−∆E/kB T }
(2.29)
entsprechen (∆E entspricht der Energielücke ~ωc /2). Es besteht jedoch auch
die Möglichkeit, daß zusätzlich Intra-Landau-Niveau-Übergänge, sogenanntes
Hopping, das Zustandekommen der subkritischen Leitfähigkeit mitbewirken. Bei
diesen Intra-Landau-Niveau-Übergängen handelt es sich um Tunnelprozesse zwischen lokalisierten Zuständen (s. Abb. 2.12). Es wurden unterschiedliche Versuche unternommen, experimentell ermittelte σxx (T ) mit dem Hopping-Ansatz
σBG (T ) ∼ T −m exp{−(T0 /T )α }
26
(2.30)
2.3 Ladungstransport in zweidimensionalen Elektronengasen
Abbildung 2.12: Tunnelprozesse zwischen lokalisierten Zuständen. Die durchgezogene Kurve repräsentiert ein Landau-Niveau inklusive Energiefluktuationen. Die Zustände unterhalb der Fermi-Kante (gestrichelte Linie)
sind lokalisiert. Mögliche Tunnelprozesse von Elektronen zwischen
zwei lokalisierten Zuständen sind angedeutet.
zu beschreiben, wobei α=1/3 dem sogenannten Mott-Hopping entspricht [39].
Für m=1 und α=1/2 beschreibt Gl. 2.30 das sogenannte Variable-Range-Hopping
(VRH), dessen Annahme bei der Modellierung experimenteller Daten meist wesentlich bessere Ergebnisse erzielt als die Anwendung des Mott-Hoppings [40,41].
Anzumerken wäre noch, daß für die Berechnungen von Tel (VSD ) die Konstante
Cep = 1, 2 × 107 K−2 s−1 gesetzt wurde [35]. Desweiteren wurde der Geometriefaktor G(r1 , r2 ) = r2 − r1 gesetzt, was einem linearen Potentialverlauf entspricht, und nicht, wie für eine Corbino-Probe erwartet, einem 1/r-Profil. Dies
erfolgte aufgrund der Tatsache, das Modellierungsversuche mit einem linearen
Profil deutlich bessere Ergebnisse bezüglich des Experiments lieferten. Ähnliche
Ergebnisse, den Potentialverlauf betreffend, wurden auch von Ahlswede et al.
erzielt [42]. Ahlswede et al. beobachteten bei Untersuchungen des Potentialverlaufs in QH-Proben mit einem Rasterkraftmikroskop ein nahezu lineares Profil
sowohl in Proben mit Hall-Bar- als auch in Proben mit Corbino-Geometrie.
27
2 Grundlagen des Quanten-Hall-Effekts
Abbildung 2.13: Elektronentemperatur Tel als Funktion der Spannung VSD , für (a)
unterschiedliche Hintergrundzustandsdichten DBG (`D = 10 µm,
σBG = 1 × 10−8 S, ns =2,83×1011 cm−2 , TL =1,5 K); (b) verschiedene Streulängen `D (DBG = 6 × 109 meV−1 cm−2 ); (c) für drei
Werte von σBG (DBG = 6 × 109 meV−1 cm−2 , `D = 10 µm). In (c)
sind zusätzlich die kritischen Spannungswerte Vmin und Vmax , sowie die, durch die Differenz Vmax − Vmin entstehende, Hysterese
eingezeichnet.
28
3 Apparaturen und Proben
Im folgenden sollen die verwendeten Meßgeräte und Apparate kurz vorgestellt
und erläutert werden. Auf die genauen Schaltschemata für die unterschiedlichen
Messungen wird in den jeweiligen Kapiteln eingegangen.
3.1 Kryostaten
Um Transportmessungen an QH-Systemen durchführen zu können, benötigt
man einen Magnetkryostaten, der es ermöglicht, bei tiefen Temperaturen (hier
T ≤ 4,2 K), ein Magnetfeld anzulegen.
Für die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Messungen wurden zwei verschiedenen Apparaturen verwendet. Für Temperaturen im Bereich von 1,6 K
bis 4,2 K wurde ein 4 He -Kryostat benutzt, für niedrigere Temperaturbereiche
kam ein 3 He /4 He -Mischkryostat (Universität Hannover, AG Prof. Haug) zum
Einsatz.
3.1.1 4 He -Kryostat
Der 4 He -Magnetkryostat (s. Abb. 3.1) besitzt ein sogenanntes Hauptbad, in
welches das flüssige Helium eingefüllt wird. Zum einen wird über ein Nadelventil aus diesem Hauptbad Helium in die Meßkammer (VTI-variable temperature
insert) weitergeleitet, zum anderen hält das flüssige Helium die supraleitende
Magnetspule unterhalb ihrer kritischen Sprungtemperatur TC . Die Meßkammer
ist an eine Pumpe angeschlossen, die es ermöglicht den Dampfdruck auf etwa 9 mbar abzusenken, was Temperaturen bis hinab zu 1,6 K entspricht. Mittels
eines Probenhalters, einem sogenannten Meßspieß, wird die Probe so in die Meßkammer eingelassen, daß sich diese genau in der Mitte des Magneten befindet.
Am oberen Ende des Probenhalters befinden sich elektrische Anschlüsse, die es
gestatten, eine Spannung an die Probe anzulegen, bzw. den Stromfluß durch
diese zu messen. Desweiteren ist in unmittelbarer Nähe der Probe eine Diode
zur Temperaturmessung angebracht, welche auch am Kopf des Probenhalters beschaltet wird. Ebenfalls ein wichtiger Bestandteil des Kryostaten sind die beiden
Vakuumkammern, die das Hauptbad von der Umgebung isolieren (OVC-outer
vacuum case) und die Meßkammer vom Hauptbad trennen (IVC-inner vacuum
case). Zur Vermeidung von Wärmeleitung werden diese beiden Kammern auf
einen Druck von ca. 10−5 mbar (bei Raumtemperatur) abgepumpt.
29
3 Apparaturen und Proben
Abbildung 3.1: Schematische Darstellung eines 4 He -Magnetkryostaten
3.1.2 Mischkryostat
Das Kühlprinzip eines Mischkryostaten (s. Abb. 3.2) ähnelt dem des 4 He
Kryostaten insofern, als das auch hier ein Abpumpverfahren benutzt wird. Wesentlich ist hierbei das Auftreten einer Phasenseparation in 3 He /4 He -Mischungen bei tiefen Temperaturen. Es bilden sich eine leichte 3 He -reiche sowie eine
schwerere 3 He -arme Phase aus. Der Kühlmechanismus besteht in dem Übertritt
von 3 He -Atomen aus der leichten in die schwere Phase, was aufgrund der unterschiedlichen Entropien der 3 He -Atome in den beiden Phasen zustande kommt.
Es bedarf eines komplexen Kreislaufes, um diesen Kühlmechanismus kontinuierlich zu betreiben. Das Kreislaufsystem befindet sich in einem Vakuumbehälter,
der wiederum in ein 4 He -Bad eingelassen ist. Wesentliche Bestandteile sind
hier die Mischkammer, der Verdampfer und ein Gegenstromwärmetauscher. In
der Mischkammer befindet sich das Phasengemisch. Der Verdampfer wird auf
einer Temperatur von 0,7 K gehalten, wodurch aufgrund der unterschiedlichen
Dampfdrücke von 3 He und 4 He bei dieser Temperatur fast ausschließlich 3 He
abgepumpt wird, obwohl der 3 He -Anteil in der flüssigen Phase im Verdampfer
weniger als 1% beträgt. Das 3 He wird nach dem Abpumpen in einer Stickstoffalle
gereinigt und wieder in den Kryostaten geleitet, wobei es über den Wärmetauscher vorgekühlt wird, bevor es erneut in die Mischkammer gelangt.
Mit diesem Verfahren ist es möglich Temperaturen von einigen mK zu erreichen [43].
30
3.2 Meßgeräte
Abbildung 3.2: Schematische Darstellung des 3 He /4 He - Kreislaufes eines Mischkryostaten. Bei den zu 100% fehlenden Bestandteilen handelt es sich
um 4 He.
3.2 Meßgeräte
Für die Charakterisierungsmessungen, d.h. für die Messungen der Shubnikovde-Haas- Oszillationen und die Messungen der I-V -Kennlinien, wurden als Spannungsquelle ein Keithley 236 und als Voltmeter ein Keithley 2000 eingesetzt. Für
die Wechselspannungsmessungen wurden zwei unterschiedliche AC-Generatoren
verwendet. Bei den Messungen, die in Braunschweig durchgeführt wurden, wurde ein Leybold 52263 benutzt, bei den Messungen in Hannover stand ein HP3325A
zur Verfügung. Das verwendete Oszilloskop zum Auslesen der am seriellen Widerstand abfallenden Spannung war ein Tektronix TDS3052. Bei dem Impulsgenerator für die Impulsmessungen handelte es sich um ein HP8133A.
31
3 Apparaturen und Proben
3.3 Automatisierung
Alle Messungen wurden computerunterstützt mit selbstgeschriebenen Progammen unter LabView durchgeführt. Bei LabView handelt es sich um ein Programm, mit dem mittels einer graphischen Programmiersprache Meßprogramme geschrieben werden können. Diese Meßprogramme heißen hier VIs (Virtuelle Instrumente), da auf dem Monitor ein virtuelles Gerät dargestellt wird, an
dem alle Einstellungen, die jeweilige Messung betreffend, vorgenommen werden
können. Ein sogenanntes Blockdiagramm ermöglicht durch graphische Symbole,
welche vorgegebene Alghorithmen repräsentieren, den Progammablauf festzulegen. Meßgeräte, die über eine Schnittstelle (GPIB/RS232) verfügen, können in
LabView eingebunden werden.
3.4 Proben
Die verwendeten Proben wurden mittels Molekularstrahlepitaxie am MaxPlanck-Institut für Festkörperforschung in Stuttgart hergestellt und in der Physikalisch Technischen Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig strukturiert und
kontaktiert. Die Messungen wurden ausschließlich an Proben mit Corbinogeometrie (s. Abb. 3.3) durchgeführt. Der typische Aufbau der GaAs/AlGaAs Heterostruktur aus denen die verwendeten Proben gefertigt wurden ist in Abb.
2.1 dargestellt. Es wurden Proben aus zwei unterschiedlichen Wafermateriali-
Abbildung 3.3: Skizze einer Corbino-Probe. Die, die Kanalbreite bestimmenden Radien sind angegeben.
en, Wafer (a) und Wafer (b), verwendet, die sich in der Ladungsträgerdichte
und Elektronenbeweglichkeit voneinander unterscheiden. Richtwerte für die Ladungsträgerdichte und die Elektronenbeweglichkeit der beiden Wafermaterialien
sind in Tab. 3.1 angegeben. Die exakten Werte können bei ein und derselben
Probe bei verschiedenen Abkühlzyklen geringfügig variieren. Wenn eine Probe
zwischen zwei Messungen eine höhere Temperatur, von z.B. 50 K angenommen
hat, kann man faktisch davon ausgehen, daß es sich um unterschiedliche Proben
handelt. Die exakten Werte der Elektronendichte und -beweglichkeit wurden
vor jeder Messung anhand der Shubnikov-de-Haas-Oszillationen bestimmt. Die
32
3.4 Proben
Bestimmung der Elektronendichte erfordert eine Auftragung der Leitfähigkeit
σxx über 1/B. Dadurch ergeben sich Oszillationen mit einer Periode ∆(1/B).
Die Elektronendichte lässt sich mit diesem Wert zu
ns =
2e
h∆(1/B)
(3.1)
bestimmen. Mit bekannter Elektronendichte ns lässt sich auch die Elektronenbeweglichkeit wie folgt bestimmen:
µH =
σxx (B = 0)
.
ns e
(3.2)
Auf den beiden Wafern wurden Corbinoproben mit unterschiedlichen Kanalbreiten strukturiert, wobei der Radius der Innenkontakte bei allen Proben 100 µm
beträgt. Messungen wurden an je zwei Proben beider Wafer durchgeführt, wobei
die Innenradii der Außenkontakte 150 µm , 200 µm bzw. 300 µm betragen, d.h.
die Kanalbreiten haben Werte von 50 µm , 100 µm bzw. 200 µm . Die Kanalbreiten der jeweiligen Proben finden sich auch in Tab. 3.1 wieder.
Wafer
8447 (a)
8447 (a)
8816 (b)
8816 (b)
Probe ns [1011 cm−2 ]
(a1)
2,7
(a2)
2,7
(b1)
4,8
(b2)
4,8
µH [105 cm2 /Vs]
1
1
1,82
1,82
Kanalbreite [µm ]
100
200
50
100
Tabelle 3.1: Ladungsträgerdichte ns , Elektronenbeweglichkeit µH und Kanalbreite
der verwendeten Proben
33
3 Apparaturen und Proben
34
4 Impulsmessungen
Bei den im folgenden vorgestellten Impulsmessungen handelt es sich um eine
kurze Versuchsreihe, in der im wesentlichen die Ergebnisse der Messungen von
B.E. Sağol reproduziert wurden [12, 44].
Bei diesen Messungen wurden Rechteckimpulse von einigen Nanosekunden an
der Corbino-Probe angelegt und der Mittelwert der Längsleitfähigkeit hσxx i
wurde aufgenommen. Es wurden die Amplitude, die Impulsdauer, sowie das
Verhältnis zwischen Impuls- und Periodendauer, das sogenannte Tastverhältnis,
variiert. Die Ergebnisse dieser Messungen geben Aufschluß über das Anregungsund Relaxationsverhalten des Elektronensystems der QH-Corbino-Probe.
4.1 Versuchsaufbau
Abbildung 4.1: Schematischer Aufbau der Impulsmessungen (links). Rechteckige
Spannungsimpulse werden über einen Impulsgenerator zwischen beiden Kontakten der Corbino-Probe angelegt, und der Mittelwert der
Längsleitfähigkeit hσxx i wird über die am Widerstand abfallende
Spannung gemessen. Darstellung der angelegten Rechteckimpulse
(rechts). A ist die Amplitude, T die Periodendauer und tp die Impulslänge.
Das Schaltschema ist in Abb. 4.1 dargestellt. Über ein Koaxialkabel ist die
Corbino-Probe mit dem Impulsgenerator verbunden. Ein parallel geschalteter
50 Ω-Widerstand dient der Impedanzanpassung. Die an einem (in Reihe zur
35
4 Impulsmessungen
Corbino-Probe geschalteten) 50 Ω-Widerstand abfallende Spannung wird gemessen. Aufgrund der hohen Frequenzen der angelegten Impulse (Impulsdauer
¿ Zeitkonstante des Voltmeters) wird der durchschnittliche Spannungsabfall
hVSD i gemessen. Anhand von hVSD i kann dann wiederum die durchschnittliche
Leitfähigkeit hσxx i bestimmt werden. Diese Messungen wurden an der Probe
(a1) bei ν=2 (B=5,9 T) durchgeführt.
Abbildung 4.2: Die Leitfähigkeit σxx über der Impulsbreite aufgetragen. Das Tastverhältnis liegt konstant bei 35%, die Amplitude wird von 0,7 V-1,2 V
in 0,1 V Schritten erhöht. Die kritische Spannung für den Zusammenbruch liegt bei Vmax = 0, 77 V.
4.2 Meßergebnisse und Diskussion
Für eine Messung wurden die Impulsamplitude und das Tastverhältnis eingestellt und festgehalten. Die Impulsbreite wurde dann kontinuierlich von 0,1 ns
auf bis zu 9 ns erhöht, wobei sich (bei konstantem Tastverhältnis) die Periodendauer zusammen mit der Impulsbreite erhöht. In Abb. 4.2 sind die Ergebnisse verschiedener Messungen zu sehen, die mit konstantem Tastverhältnis und
variierender Amplitude aufgenommen wurden. Die aus der I-V -Kennlinie entnommene Spannung Vmax , bei der der Zusammenbruch des QHE stattfindet, lag
bei diesen Messungen bei 0,77 V. Für die Messung mit einer Impulsamplitude
von 0,7 V ist demnach, unabhängig von der Impulsbreite, auch kein Zusammenbruch zu beobachten. Die durchschnittliche Leitfähigkeit hσxx i bleibt gleich
null. Sobald die Amplitude jedoch diesen Wert Vmax überschreitet, ist ab einer
bestimmten Impulsbreite ein Zunehmen der Leitfähigkeit, und somit der Zusammenbruch des QHE, zu beobachten. Je größer die eingestellte Amplitude hierbei
36
4.2 Meßergebnisse und Diskussion
ist, desto kürzer ist die Impulsbreite, bei der der Zusammenbruch stattfindet.
Mit dem hier eingestellten Tastverhältnis von 35% erhält man im Durchschnitt
eine angelegte Spannung von hVA i ≈ Amplitude/3. Diese Durchschnittsspannung ist wesentlich geringer, als die kritische Zusammenbruchsspannung Vmax .
Die durchschnittliche Spannung ist somit offensichtlich nicht der kritische Parameter für den Zusammenbruch, sondern die Amplitude.
In einer weiteren Meßreihe wurde die Amplitude der Impulse konstant gehalten
und das Tastverhältnis geändert. Somit wurde hier die durchschnittliche Spannung hVA i verändert. In Abb. 4.3 sind die Ergebnisse dieser Messungen einmal
über der Periodenlänge (a) und einmal über der Impulsbreite (b) aufgetragen.
Es ist deutlich zu sehen, daß die Kurven für unterschiedliche Tastverhältnisse
nahezu übereinander liegen, wenn sie über der Impulsbreite aufgetragen werden.
Dies weist daraufhin, daß das Elektronensystem innerhalb von wenigen Nanosekunden in den Impulspausen vollständig relaxiert und die Impulsbreite der für
den Zusammenbruch des QHE wesentliche Zeitparameter ist.
Abbildung 4.3: Die Leitfähigkeit σxx über (a): der Periode und (b): der Impulsbreite
aufgetragen. Die unterschiedlichen Tastverhältnisse sind in (a) den
jeweiligen Kurven zugeordnet. Die Farben der Kurven in (b) stimmen
bzgl. des Tastverhältnisses mit denen in (a) überein. Die Amplitude
der Impulse beträgt 1 V.
37
4 Impulsmessungen
38
5 Relaxationsoszillator basierend
auf der Bistabilität einer
Corbino-Probe
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der Messungen präsentiert, die auf
einer Oszillatorschaltung unter Verwendung einer QH-Corbino-Probe im Bereich des Zusammenbruchs des QHE beruhen [45]. Im Hysteresebereich des Zusammenbruchs verhält sich die QH-Corbino-Probe bei Füllfaktor ν=2 bistabil.
Das heißt, das die Probe in diesem Bereich isoliert, wenn die Spannung bis auf
den Wert Vmax erhöht wird, und leitet wenn die Spannung bis auf einen Wert
Vmin < Vmax gesenkt wird. Bei einer Schaltung bestehend aus der CorbinoProbe, einem seriellen Widerstand und einem parallel geschalteten Kondensator
führt das bistabile Verhalten der Corbino-Probe zu einem sich ständig wiederholenden Ent- und Aufladen des Kondensators, was als Oszillationen auf einem
Oszilloskop beobachtet werden kann. Die beobachteten Oszillationen lassen sich
mittels Anwendung der Kirchhoffschen Regeln beschreiben und die so entstandenen Lösungen stimmen quantitativ gut mit den experimentellen Ergebnissen
überein. Anhand der erhaltenen Gleichungen und der Meßergebnisse lassen sich
wiederum einige Parameter der Schaltung, z.B. die Kapazität bestimmen.
5.1 Versuchsaufbau und Funktionsweise
Die Erzeugung von Relaxationsoszillationen beruht in diesem Fall auf dem
bistabilen Verhalten von QH-Corbino-Proben im Bereich des Zusammenbruchs
des QHE. Wenn sich die Corbino-Probe im QH-Zustand befindet, verhält sie
sich wie ein fast idealer Isolator. Überschreitet die an der Probe angelegte Spannung V0 jedoch den probenabhängigen Wert Vmax , so kommt es zu einem starken
Anstieg der Leitfähigkeit σxx , der sog. Zusammenbruch des QHE setzt ein. Die
Corbino-Probe besitzt nun einen endlichen Widerstand RCB . Wird die Spannung V0 daraufhin wieder verringert, so wird die Probe nicht bei Vmax , sondern
erst bei Vmin (Vmin < Vmax ) wieder in den QH-Zustand versetzt. In diesem Bereich Vmin < V0 < Vmax verhält sich die QH-Probe bistabil (s. inneres Diagramm
Abb. 5.1).
Ein Widerstand RV in Reihe zur Corbino-Probe geschaltet und ein parallel
geschalteter Kondensator CT , der in diesem Fall nur aus der Kabelkapazität
besteht, werden in die Schaltung integriert (s. Abb. 5.2 (a)). Wenn nun ei-
39
5 Relaxationsoszillator basierend auf der Bistabilität einer Corbino-Probe
Abbildung 5.1: Shubnikov-de-Haas-Oszillationen gemessen an QH-Corbino-Probe
(a1), inneres Diagramm: Ausschnitt einer I-V -Kennlinie bei ν=2 mit
ausgeprägter Hysterese
ne Spannung V0 angelegt wird, so wird der Kondensator über den Widerstand
aufgeladen. Die Corbino- Probe befindet sich in isolierendem Zustand. Ist der
Kondensator soweit aufgeladen, daß die an der Corbino-Probe anliegende Spannung Vmax entspricht, so bricht der QHE in der Corbino-Probe zusammen, d.h.
die Leitfähigkeit σxx ist nun 6= 0 und der Kondensator wird entladen. Sobald die
Spannung an der Corbino-Probe Vmin entspricht, kehrt sie in den QH-Zustand
zurück und der Kondensator wird erneut aufgeladen. Dieser Vorgang wiederholt
sich nun solange die Spannung V0 angelegt ist. Die Corbino-Probe fungiert hier
quasi als Schalter, der sich bei einer bestimmten Spannung Vmax schließt, und
bei Vmin wieder öffnet. Die Größe des Hysteresebereichs ∆V = Vmax − Vmin
beschreibt die Amplitude der Oszillationen. Gewisse Bedingungen müssen allerdings noch erfüllt sein, damit dieser Prozeß funktioniert:
• (a) Die angelegte Spannung V0 muß erstens größer sein als Vmax .
• (b) Desweiteren darf der Strom, welcher durch den Widerstand RV fließt,
wenn die Spannung an der Corbino-Probe Vmin entspricht, nicht größer als
Icmin = Vmin /RCB sein.
Für den Fall, daß Icmin RV ≤ V0 − Vmin , existiert eine stabile Lösung, bei der
die Corbino-Probe im leitenden Zustand verweilt und somit keine Oszillationen
zu beobachten sind (s. Abb. 5.2(b)) [45].
40
5.1 Versuchsaufbau und Funktionsweise
Abbildung 5.2: (a): Schematische Darstellung der Oszillatorschaltung. V0 : angelegte
Spannung, RV : Widerstand, CT : Kabelkapazität, VSD : An CT anliegende Spannung (b): Funktionsprinzip [45]. Im rechten Teil sind die
durch Vmin und Vmax begrenzten Oszillationen über der Zeit dargestellt. Im linken Teil sind die I-V -Kennlinien der Corbino-Probe (mit
sichtbarer Hysterese) und des Widerstandes RV abgebildet.
Das heißt, es existiert ein unteres Limit für den Widerstandswert von RV :
RV > ∆V /Icmin . Für einen festen Wert von RV lässt sich aus Bedingung (b) ein
Arbeitsbereich für die angelegte Spannung V0 bestimmen:
V0 − Vmin
Vmin
<
,
RV
RCB
(5.1)
so daß gilt:
RCB + RV
.
(5.2)
RCB
Die Zeitkonstanten für die Auf- bzw. Entladundsdauer des Kondensators ∆texc
und ∆trel , sowie die an der Corbino-Probe anliegende Spannung VSD (t) erhält
man durch Anwendung der Kirchhoffschen Regeln auf die Schaltung mit geöffnetem Schalter, bzw. mit dem Widerstand RCB . Es ergibt sich:
µ
¶
t
VSD (t) = V0 − (V0 − Vmin ) exp −
,
(5.3)
τexc
Vmax < V0 < Vmin
mit τexc = RV CT für den Aufladungsprozeß, sowie
µ
¶
·
µ
¶¸
t
t
RCB
VSD (t) = Vmax exp −
+ V0
1 − exp −
,
τrel
RCB + RV
τrel
(5.4)
CB RV
mit τrel = RRCB
C für den Entladungsprozeß, wobei RV und RCB hier als
+RV T
parallel geschaltete Widerstände fungieren. Die Oszillationsperiode T = ∆texc +
41
5 Relaxationsoszillator basierend auf der Bistabilität einer Corbino-Probe
∆trel wird nicht nur durch τexc und τrel bestimmt. Sowohl die probenabhängigen
Werte Vmin und Vmax , als auch die angelegte Spannung V0 spielen hierbei eine
Rolle:
¶
µ
V0 − Vmin
∆texc = τexc ln
,
(5.5)
V0 − Vmax
¶
µ
Vmax − ΘV0
∆trel = τrel ln
(5.6)
Vmin − ΘV0
mit
Θ=
RCB
.
RCB + RV
(5.7)
Mit zunehmender Spannung V0 nimmt die Aufladezeit ∆texc ab, und die Entladezeit ∆trel nimmt zu, wobei sich V0 innerhalb des in Gl. 5.2 angegebenen
Arbeitsbereiches befinden muß. Die Oszillationsfrequenz f als Funktion von V0
hat ein kapazitätsunabhängiges Maximum bei [45]:
µ
¶
RV
Vmin Vmax
V0 (fmax ) =
2+
.
(5.8)
Vmin + Vmax
RCB
Auf die Abhängigkeiten der Messungen von V0 und RV wird im weiteren näher
eingegangen (Kap. 5.2), es wurden auch magnetfeldabhängige Messungen durchgeführt, die zu einer Variation von Vmin und Vmax führen (Kap. 5.3). Diese Messungen wurden ausschließlich mit der Probe (a1) durchgeführt, wobei unterschiedliche Widerstandswerte für RV zum Einsatz kamen (47kΩ, 68kΩ, 91kΩ).
5.2 Spannungsabhängige Messungen
Bei den hier durchgeführten Messungen wurden die Relaxationsoszillationen
in Abhängigkeit von der angelegten Spannung V0 aufgenommen. Anhand der
Oszillationen wurden die Auf- bzw. Entladungszeiten der Kapazität, ∆texc bzw.
∆trel , bestimmt und unter Verwendung der Gleichungen 5.5 und 5.6 die zugehörigen theoretischen Werte.
5.2.1 Messungen und Auswerung
Ein Teil der Ergebnisse der im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Meßreihen mit drei unterschiedlichen Widerständen RV ist in Abb. 5.3 dargestellt.
Messungen mit unterschiedlichen Spannungen V0 sind hier der Übersicht halber gegeneinander verschoben. Deutlich zu sehen sind hier die mit zunehmender
Spannung V0 ebenfalls zunehmende Entladedauer ∆trel und die abnehmende
Aufladezeit ∆texc sowie ein sog. Arbeitsbereich; d.h. bei zu kleinen bzw. zu
großen V0 sind keine regelmäßigen Oszillationen zu beobachten. Dies wurde in
Kap. 5.1 aus Sicht der theoretischen Einführung bereits erwähnt und ist somit
qualitativ zunächst bestätigt.
42
5.2 Spannungsabhängige Messungen
Abbildung 5.3: Relaxationsoszillationen der Oszillatorschaltung bei T =1,7 K und
B =5,625 T (ν=2 ) für unterschiedliche Widerstandswerte RV und
variierende Spannungen V0 . Der Übersichtlichkeit halber sind die
Kurven vertikal gegeneinander verschoben. (a) RV = 47, 1 kΩ, (b)
RV = 68, 4 kΩ, (c) RV = 91, 2 kΩ.
Anhand dieser Oszillationen können jetzt ∆texc und∆trel in Abhängigkeit von
V0 bestimmt werden (Abb. 5.5). Mittels f = (∆texc + ∆trel )−1 läßt sich auch die
Oszillationsfrequenz ermitteln (Abb. 5.6). Wenn jetzt anhand der Gleichungen
5.5 und 5.6 die Größen ∆texc und ∆trel berechnet werden sollen, so ist es notwendig, die Größen Vmin , Vmax und RCB zu kennen. Zur Feststellung von Vmin
und Vmax wurden auch wieder die Relaxationsoszillationen herangezogen, denn
wie bereits in Kap. 5.1 besprochen und in Abb. 5.2(b) gut zu sehen, bestimmen
gerade diese beiden Werte die Amplitude der Oszillationen. Der Wert des Wi-
43
5 Relaxationsoszillator basierend auf der Bistabilität einer Corbino-Probe
derstandes der Corbino-Probe im Fall des Zusammenbruchs, RCB , wurde aus
der I-V -Kennlinie der Probe (Abb. 5.4) entnommen. Mit diesen Werten wurden
nun theoretische Kurven erstellt, die zum einen eine gute quantitative Übereinstimmung mit den Meßergebnissen liefern, wie in den Abb. 5.5 und 5.6 zu sehen
ist. Zum anderen erhält man die Größe der Kabelkapazität der Schaltung CT ,
die bei allen drei durchgeführten Modellierungen den gleichen Wert aufweist
(Tab. 5.1), da bei allen Messungen ein identischer Aufbau verwendet wurde.
Hier muß angemerkt werden, daß diese Probe nicht die im inneren Diagramm
Abbildung 5.4: Ausschnitt aus der DC-I-V -Kennlinie der für die Relaxationsoszillationen verwendeten QH-Corbino-Probe, die kein bistabiles Verhalten,
sondern eine deutliche Instabilität im Bereich des Zusammenbruchs
aufweist.
von Abb. 5.1 wohldefinierte Hysterese aufweist, sondern in diesem Bereich ein
ständiges Springen zwischen QH-Zustand und Zusammenbruch zu sehen ist
(Abb. 5.4). Dieses Verhalten deutet jedoch auch stark auf eine Instabilität in diesem Bereich hin. Ein vergleichbares Verhalten wurde schon von Cage et al. [33]
beobachtet. Desweiteren soll bemerkt werden, daß die Werte für Vmin und Vmax
nicht der DC-I-V -Kennlinie entnommen werden dürfen, da sich eine Veränderung der Werte bei den Relaxationsoszillationen im Gegensatz zur DC-Messung
einstellt.
Mittels der nun bekannten Werte Vmin , Vmax und RCB ließen sich auch noch die
zuvor bereits erwähnten theoretischen Arbeitsbereiche der Oszillatorschaltung
bei verschiedenen Widerständen RV ermitteln (Gl. 5.1). Diese sind neben den
Werten für Vmin und Vmax in Tab. 5.1 aufgelistet.
44
5.2 Spannungsabhängige Messungen
RV [kΩ]
47,1
68,4
91,2
Vmin [V]
0,61
0,60
0,60
Vmax [V]
0,74
0,755
0,72
CT [nF] RCB [kΩ]
Arbeitsbereich
1,7
40
0, 74 V< V0 < 1, 33 V
1,7
40
0, 755 V< V0 < 1, 65 V
1,7
40
0, 72 V< V0 < 2, 00 V
Tabelle 5.1: Experimentell ermittelte Werte für Vmin , Vmax , RCB und der Arbeitsbereich der Oszillatorschaltung, sowie der aus den Modellierungen erhaltene Wert für CT bei unterschiedlichen Widerständen RV .
5.2.2 Diskussion
Die bei den Auswertungen der Meßergebnisse erhaltenen Ergebnisse sollen im
folgenden näher diskutiert werden. Das auffälligste Resultat war die sich stark
verändernde Hysterese der QH-Corbino-Probe bei den Relaxationsoszillationen
im Vergleich zur Hysterese, die man im Fall einer DC-Messung erhält. Im Fall
der Relaxationsoszillationen wurden die Hysteresewerte den Amplituden in Abb.
5.3 entnommen. Das Entstehen der durchaus sichtbaren Schwankungen in der
Amplitude und der Frequenz läßt sich dadurch erklären, daß es sich bei dem
Zusammenbruch des QHE, mikroskopisch betrachtet, um einen nicht genau reproduzierbaren, nichtlinearen Vorgang handelt. D.h., der Zusammenbruch kann
jedesmal an anderen Stellen der Probe auftreten, wobei sich ein oder mehrere
dissipative Stromfilamente ausbilden [46,47]. Dieses Verhalten kann zu minimalen Abweichungen von Vmin , Vmax und auch RCB führen, was dann wiederum
Auswirkungen auf ∆texc und ∆trel und somit auf die Frequenz hat. Der Hysteresewert im Falle der Gleichspannungsmessung wurde Abb. 5.4 entnommen,
wobei die Werte für Vmin und Vmax jeweils dem Anfangs- bzw. Endpunkt der innerhalb des instabilen Bereichs auftretenden Sprünge zugeordnet wurden. Dies
geschah aufgrund der Tatsache, daß frühere Messungen der Probe (a1) mit diesen Werten vergleichbare Daten aufwiesen, wobei bei diesen Daten jedoch eine
klare Hysterese (vgl. inneres Diagramm Abb. 5.1) zu beobachten war. Die unterschiedlichen Hysteresewerte sind in Tabelle 5.2 angegeben. Es ist zu sehen, daß
∆V
DC [V]
0,02
Osz.(a) [V]
0,117
Osz.(b) [V]
0,127
Osz.(c) [V]
0,105
Tabelle 5.2: Vergleich der Größe der Hysterese ∆V im Falle einer DC-Messung,
mit der bei den Relaxationsmessungen erhaltenen. Osz.(a) RV =47,1kΩ,
Osz.(b) RV =68,4kΩ, Osz.(c) RV =91,2kΩ
die Hysterese, die man bei den Relaxationsoszillationen erhält, um einen Faktor 5-6 größer ist, als die Hysterese, die bei angelegter Gleichspannung gemessen
wurde. Dieses Resultat läßt zunächst den Schluß zu, daß es sich um ein frequenzabhängiges Phänomen handelt, da bei den Oszillatormessungen Frequenzen von
45
5 Relaxationsoszillator basierend auf der Bistabilität einer Corbino-Probe
Abbildung 5.5: Gemessene Auf- und Entladezeiten ∆texc (N) und ∆trel (H) der in
Abb. 5.3 dargestellten Oszillationen, sowie nach den Gleichungen
5.5 und 5.6 berechnete theoretische Verläufe (gestrichelte Kurven)
in Abhängigkeit von der angelegten Spannung V0 . (a) RV = 47, 1 kΩ,
(b) RV = 68, 4 kΩ, (c) RV = 91, 2 kΩ.
bis zu 25kHz auftraten, die an der Corbino-Probe anlagen (Abb. 5.6). Jedoch
ist der Frequenzbereich, der bei diesen Messungen abgedeckt wird, zu klein,
um dieses Phänomen mit dem verwendeten Meßaufbau besser untersuchen zu
können. Um der Frage der möglichen Frequenzabhängigkeit weiter nachzugehen,
wurden im Rahmen dieser Arbeit frequenzabhängige Messungen durchgeführt,
bei denen direkt eine Wechselspannung mit verschiedenen festen Frequenzen an
46
5.2 Spannungsabhängige Messungen
Abbildung 5.6: Oszillationsfrequenz in Abhängigkeit von der angelegten Spannung.
Meßergebnisse (•), sowie die dazugehörigen Modellierungen (gestrichelte Kurven). (a) RV = 47, 1 kΩ, (b) RV = 68, 4 kΩ, (c) RV =
91, 2 kΩ.
der Probe angelegt wurde. Die Ergebnisse dieser Messungen werden in Kap. 6
vorgestellt und diskutiert.
Auch die theoretische Beschreibung der Schaltung, welche man mittels Anwendung der Kirchhoffschen Regeln auf den Aufbau erhält, lieferte Ergebnisse in
guter Übereinstimmung mit den experimentellen Daten, wobei hauptsächlich in
den Randbereichen des Arbeitsbereichs für V0 Abweichungen auftreten. So sind
die Arbeitsbereiche, bei denen regelmäßige Oszillationen auftreten, im Experiment in der Regel etwas kleiner als die theoretischen Werte. Desweiteren sind bei
den Auf- bzw. Entladedauern des Kondensators, ∆texc und ∆trel , Abweichungen
von der berechneten Abhängigkeit in den Randbereichen der angelegten Spannung V0 zu beobachten.
In Bezug auf Anwendungsmöglichkeiten dieses Aufbaus als Relaxationsoszillator ist zu sagen, daß das vorrangige Ziel die Überprüfung der Möglichkeit war,
das nichtlineare Verhalten der Leitfähigkeit von QH-Corbino-Proben prinzipiell
zur Generation von Relaxationsoszillationen zu verwenden. Daß dies möglich ist
47
5 Relaxationsoszillator basierend auf der Bistabilität einer Corbino-Probe
wurde gezeigt. Es ist jedoch ersichtlich, daß eine technische Anwendung nicht
unbedingt sinnvoll ist, da die hier erzielten Grenzfrequenzen in keinem Vergleich
zu anderen, bereits etablierten Lösungen (z.B. resonante Tunneldiode) stehen.
Es wäre zwar durchaus vorstellbar, die Schaltung für einen Relaxationsoszillator auf der Basis einer QH-Corbino-Probe direkt auf einen Chip zu bringen, um
damit einen wesentlichen frequenzbegrenzenden Faktor, die Kapazität CT , zu
minimieren. Jedoch liegt die Grenze der maximal erreichbaren Frequenzen im
Bereich der Relaxationszeit des Elektronensystems der QH-Probe, und dieser
liegt im Bereich von einigen Nanosekunden (s.Kap. 4). Das würde eine maximale Frequenz von etwa 1 GHz bedeuten, was gegenüber Resonanten-Tunneldioden
mit Frequenzen von bis zu 700 GHz sehr gering ist [48].
5.3 Magnetfeldabhängige Messungen
Bei den im folgenden beschriebenen Messungen wurde die angelegte Spannung V0 konstant gehalten und das Magnetfeld variiert. Die Messungen wurden
ebenfalls an der Probe (a1) durchgeführt, jedoch in einem anderen Abkühlzyklus, wobei sich die Plateaumitte geringfügig verschoben hat und nicht mehr
bei B=5,625T, sondern bei B=5,64T lag. Das heißt, daß die Ladungsträgerkonzentration sich leicht von ns = 2, 72 × 1011 cm−2 auf ns = 2, 73 × 1011 cm−2
erhöht hat. Diese geringfügige Änderung der Ladungsträgerkonzentration führt
(bei fest eingestelltem Magnetfeld) zu einer entsprechend geringfügigen Änderung des Füllfaktors ν. Der Zusammenbruch des QHE ist in der Nähe des ganzzahligen Füllfaktors sehr empfindlich gegenüber kleinen Änderungen von ν. Es
wurden aus den hier erhaltenen Relaxationsoszillationen ebenfalls die die Aufund Entladedauern ∆texc und ∆trel , und anhand dieser die Frequenz bestimmt.
Im Gegensatz zu den zuvor diskutierten spannungsabhängigen Messungen lässt
sich jedoch hier auch eine Veränderung der Hysterese mit sich veränderndem
Magnetfeld feststellen, welche auch untersucht wurde.
5.3.1 Messungen und Auswertung
Es wurden wie bei den spannungsabhängigen Messungen drei unterschiedliche
Widerstände RV (47,1 kΩ, 68,4 kΩ und 91,2 kΩ) verwendet. Eine feste Spannung
V0 wurde angelegt, und das Magnetfeld wurde verändert. Mit der Änderung
des Magnetfeldes verschiebt sich der Füllfaktor ν, was zu einer Variation der
Parameter Vmin und Vmax führt. Die Auswertung geschah für die Parameter
∆texc , ∆trel und die Frequenz f wie in Kap. 5.2 beschrieben. Zusätzlich mußten
die Parameter Vmin , Vmax und RCB für jede einzelne Messung bestimmt werden.
Auch die Bestimmung dieser Parameter geschah nach der in Kap. 5.2 bereits
erwähnten Methode. Die sich ergebenden Kurvenverläufe von ∆texc , ∆trel und
f wurden anhand der Gleichungen 5.5 und 5.6 modelliert. Die Ergebnisse sind
in den Abbildungen 5.7 und 5.8 zu sehen.
48
5.3 Magnetfeldabhängige Messungen
Abbildung 5.7: Auf- (N) und Entladezeiten (H) des Relaxationsoszillators über dem
Magnetfeld für unterschiedliche Widerstände RV mit jeweils verschiedenen Spannungen V0 . Die Plateaumitte ν=2 liegt bei B=5,64 T.
Die gestrichelten Linien stellen die jeweiligen Modellierungen nach
den Gln. 5.5 und 5.6 dar. (a) RV = 47, 1 kΩ, V0 =830 mV, (b)
RV = 68, 4 kΩ, V0 =1000 mV, (c) RV = 91, 2 kΩ, V0 =820 mV.
49
5 Relaxationsoszillator basierend auf der Bistabilität einer Corbino-Probe
Abbildung 5.8: Oszillationsfrequenz in Abhängigkeit des angelegten Magnetfeldes
für unterschiedliche Widerstände RV und Spannungen V0 . Die zugehörigen Modellierungen nach den Gln. 5.5 und 5.6 werden durch
die gestrichelten Linien dargestellt. •: RV =47,1 kΩ, V0 =830 mV, N:
RV =68,4 kΩ, V0 =1000 mV, ¥: RV =91,2 kΩ, V0 =820 mV.
5.3.2 Diskussion
In der Abb. 5.7 lässt sich eine starke Magnetfeldabhängigkeit der Aufladedauer ∆texc über den gesamten vermessenen Bereich erkennen. Ein ausgeprägtes
Maximum ist genau bei ν=2 (B=5,64 T) zu beobachten. Die Entladedauer ∆trel
hingegen weist im Bereich von B=5,58-5,68 T nur relativ geringe Veränderungen auf. Erst im Bereich B >5,68 T wird ein starker Anstieg sichtbar. Qualitativ
stimmt die Form der modellierten Kurven von ∆texc mit den Meßergebnissen
überein. Quantitativ betrachtet treten jedoch größere Abweichungen auf, als
dies bei Modellierungen der spannungsabhängigen Messungen (s. Abb. 5.5) der
Fall war. So ist das gemessene Maximum von ∆texc in Abb. 5.7(a) ca. doppelt so groß wie der theoretische Wert. Für die Modellierung von ∆trel mußten
zusätzlich noch die Werte für RCB berücksichtigt werden. Mit der Änderung des
Füllfaktors erfolgt (im Bereich des Zusammenbruchs des QHE) eine Änderung
der Leitfähigkeit σxx . Dies hat, aufgrund der Beziehung zwischen σxx und ρxx (s.
Gl. 5.9), eine nahezu proportionale Änderung von ρxx zur Folge, was wiederum
eine Veränderung von RCB bedeutet.
ρxx =
σxx
2
+ σxy
2
σxx
mit
σxy À σxx
(5.9)
Die Werte für RCB wurden den I-V -Kennlinien, die bei den entsprechenden
Magnetfeldern aufgenommen wurden, entnommen. Es wurde zu beiden Seiten
50
5.3 Magnetfeldabhängige Messungen
Abbildung 5.9: Widerstand der Corbino-Probe RCB über dem Magnetfeld aufgetragen. Es sind die Verläufe der, den I-V -Kennlinien entnommenen
Werte (?) und die Werte, deren Verwendung eine Modellierung ergab,
welche den experimentellen Daten von ∆trel entsprach aufgetragen.
• entspricht der Messung mit RV =47,1kΩ, N RV =68,4kΩ und ¥
RV =91,2kΩ.
der Plateaumitte ein leichter, nicht symmetrischer Anstieg von RCB festgestellt.
Für Magnetfelder, die unterhalb der Plateaumitte liegen, entspricht die Modellierung dem Experiment gut, bei größeren Magnetfeldern werden jedoch starke
Abweichungen sichtbar (s. Abb. 5.7). Es gelang, Modellierungen zu erstellen, die
den experimentellen Daten bei den größeren Magnetfeldwerten entsprachen. Jedoch mußten hierfür wesentlich größere Werte für RCB eingesetzt werden, als die
aus den I-V -Kennlinien erhaltenen. Diese modellierten Verläufe von RCB sind
in Abb. 5.9 aufgetragen. In Abb. 5.9 ist zu sehen, daß die den experimentellen
Daten entsprechenden Modellwerte für RCB alle drei einen ähnlichen Verlauf mit
zunehmendem Magnetfeld haben. Der Vergleich mit den aus den I-V -Kennlinien
entnommenen Werten bringt jedoch Größenunterschiede bis zu einem Faktor 4,5
bei B=5,75 T zu Tage. Bei früheren Messungen der I-V -Kennlinie an der Probe
(a1) zeigte diese eine klare Hysterese wie im inneren Diagramm von Abb. 5.1
und nicht das instabile Verhalten wie im Laufe dieser Messungen (s. Abb. 5.4).
Bei diesen früheren Messungen wies die I-V -Kennlinie mit zunehmendem, von
ν=2 abweichendem Magnetfeld einen immer stärker ausgeprägten, mehrstufigen Zusammenbruch auf. Wäre das bei den gemessenen Relaxationsoszillationen ebenso der Fall, so könnte hiermit eine wesentlich stärkere Zunahme des
Widerstandes RCB erklärt werden. In diesem Fall würde nämlich ein wesentlich
51
5 Relaxationsoszillator basierend auf der Bistabilität einer Corbino-Probe
geringerer Strom bei nahezu gleicher Spannung fließen. Es muß jedoch gesagt
werden, daß anhand der, zu dieser Argumentation verwendeten I-V -Kennlinien
bei vergleichbarem Magnetfeld lediglich ein Widerstand von ca. 170 kΩ gemessen wurde, und nicht die modellierten 400 kΩ. Die Frage nach der Ursache für
die Erhöhung der gemessenen Entladezeiten bei höheren Magnetfeldern oberhalb der Plateaumitte bleibt damit offen.
Bei den Frequenzverläufen, die sich aus ∆texc und ∆trel ergeben (s. Abb. 5.8)
ist eine gewisse Abweichung zwischen Experiment und Modell auch bei sich
verringerndem Magnetfeld zu beobachten. Die Frequenzen nehmen mit abnehmenden Magnetfeld im Experiment am Rand des Plateaus deutlich stärker zu,
als dies im Modell der Fall ist. Für die Messungen mit RV =47,1 kΩ liegt die modellierte Kurve nahezu während des gesamten Verlaufs über den experimentell
ermittelten Werten, was auch in den starken Abweichung zwischen den experimentellen und modellierten Daten von ∆texc zum Ausdruck kommt (vgl. Abb.
5.7(a)).
Abbildung 5.10: Hysterese in Abhängigkeit des anliegenden Magnetfeldes für unterschiedliche Widerstände RV und Spannungen V0 . Deutlich zu sehen
ist ein Maximum bei ν=2 (B=5,64 T). •: RV =47,1 kΩ, V0 =830 mV,
N: RV =68,4 kΩ, V0 =1000 mV, ¥: RV =91,2 kΩ, V0 =820 mV.
Der Verlauf der Hysterese (bestimmt aus der Oszillationsamplitude, s. Abb.
5.10) über dem Magnetfeld zeigt bei allen drei Messungen ein ausgeprägtes
Maximum in der Plateaumitte und mit vom Füllfaktor ν=2 abweichendem Magnetfeld einen nahezu linearen Abfall. Von vergleichbaren Ergebnissen für den
kritischen Strom berichteten unter anderem schon Ebert et al. [10] und Nachtwei et al. [37], die den Zusammenbruch des QHE an Hall-Bars untersuchten.
52
5.4 Zusammenfassung
Hier wurde ein Maximum des kritischen Stroms in der Plateaumitte und ein
ebenso, nahezu linearer Abfall mit von der Plateaumitte abweichendem Füllfaktor gefunden. Bisher existieren keine theoretischen Berechnungen über das
Verhalten der Hysterese bei ν 6= 0 in der Literatur. Auch wurden wenig experimentelle Daten dazu veröffentlicht. Es gibt jedoch Hinweise, daß sich die
Größe der Hysterese ähnlich verhält wie der kritische Strom [49]. Anschaulich
läßt sich dieses Verhalten wie folgt erklären: Bei Magnetfeldern, die einem ganzzahligen Füllfaktor entsprechen, liegt die Fermienergie genau in der Mitte der
Energielücke zweier Landauniveaus. Mit einem vom ganzzahligen Füllfaktor abweichenden Magnetfeld liegt auch die Fermienergie nicht mehr in der Mitte der
Energielücke. Dadurch wird schon bei geringerer Energiezufuhr als im Fall der
in der Mitte der Energielücke liegenden Fermienergie, eine Anregung von Ladungsträgern ermöglicht. Damit wird im Falle der Hall-Bar der kritische Strom
und im Falle der Corbino-Probe die kritische Spannung verringert.
5.4 Zusammenfassung
Es wurde ein Relaxationsoszillator, basierend auf der Bistabilität und dem
nichtlinearen Verhalten von QH-Corbino-Proben in der Nähe des Zusammenbruchs des QHE, realisiert. Es wurden sowohl spannungs-, als auch magnetfeldabhängige Messungen durchgeführt. Die Auf- und Entladezeiten, ∆texc und
∆trel , wurden untersucht. Anhand eines Modells, welches auf den Kirchhoffschen
Regeln beruht, wurden ∆texc und ∆trel modelliert. Für die spannungsabhängigen
Messungen stand diese Modellierung in guter quantitativer Übereinstimmung
mit den experimentellen Ergebnissen. Bei den magnetfeldabhängigen Messungen traten z.T. Abweichungen zwischen den Daten und dem Modell auf, die
hier nicht zufriedenstellend geklärt werden konnten. Als wichtigstes Resultat
wird jedoch eine starke Zunahme der Hysterese bei den Relaxationsoszillationen im Vergleich mit der Hysterese der DC-I-V -Kennlinie beobachtet. Dieses
offensichtlich frequenzabhängige Verhalten wird in Kap. 6 näher untersucht.
53
5 Relaxationsoszillator basierend auf der Bistabilität einer Corbino-Probe
54
6 Frequenz- und
temperaturabhängige Messungen
der Leitfähigkeit
Aufgrund der Ergebnisse, die mittels der Oszillatorschaltung erzielt wurden
(Kap. 5), galt es, dieses augenscheinlich frequenzabhängige Verhalten der Hysterese der I-V -Kennlinie beim Zusammenbruch des QHE genauer zu untersuchen. Es wurden zuerst Messungen durchgeführt, bei denen die Hysterese
in Abhängigkeit von der Frequenz der angelegten Spannung untersucht wurde (Kap. 6.1). Hierbei wurden die QH-Corbino-Probe und ein Widerstand in
Reihe geschaltet und diese an einen Wechselspannungsgenerator angeschlossen.
Über ein Oszilloskop wurden die angelegte Spannung sowie die am seriellen Widerstand RV abfallende Spannung aufgenommen (s. Abb. 6.1). Mittels dieses
Aufbaus war es möglich, die kritischen Spannungen Vmin und Vmax sowie die
Hysterese ∆V = Vmax − Vmin zu bestimmen.
Abbildung 6.1: Schematische Darstellung des Aufbaus der AC-Messungen. Ch1 und
Ch2 kennzeichnen die Spannungsabgriffe welche auf einem Oszilloskop an Kanal 1 bzw. Kanal 2 dargestellt werden.
Die beobachtete Zunahme der Hysterese läßt sich anhand des Hot-ElectronModells (s. Kap. 2.3.3.2) unter Berücksichtigung einer sich ebenfalls verändernden Hintergrundleitfähigkeit σBG modellieren. Aufgrund dessen sollten bei späteren Messungen Veränderungen der Leitfähigkeit im Bereich kurz vor dem Zusammenbruch in Abhängigkeit von der Frequenz untersucht werden. Unter Ver-
55
6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit
wendung eines sehr großen Widerstandes RV , z.B. 10 MΩ, der in diesem Fall als
Spannungsverstärker wirkt, kann der Bereich der I-V -Kennlinie vor dem Zusammenbruch (V0 < Vmax ) besser aufgelöst werden. Es war zu erwarten, daß
mit den Veränderungen der kritischen Spannungswerte Vmin und Vmax die gesamte I-V -Kennlinie im Fall angelegter Wechselspannung, im Gegensatz zur
DC-Kennlinie, Veränderungen aufweist. Die Schaltung für diese Messungen ist
identisch mit dem eben schon erwähnten Aufbau zur Messung der Frequenzabhängigkeit der Hysterese, nur wurden andere Widerstände RV verwendet Bei
einigen Messungen kam zusätzlich ein Spannungsverstärker zum Einsatz. Um
einen weiteren Einblick in die Mechanismen des Ladungsträgertransportes im
subkritischen Bereich zu bekommen (s. Kap. 2.3.3.2) wurden zusätzliche temperaturabhängige Messungen vorgenommen. Diese Messungen wurden sowohl mit
DC- als auch mit AC-Spannung durchgeführt. Die Ergebnisse dieser Messungen
werden in Kap. 6.2 besprochen.
Abbildung 6.2: Beispiel für die Messungen der AC-Hysterese. Hier bei einer Frequenz
von 500 Hz. Die obere Kurve zeigt die angelegte Sinusspannung, die
untere die am Widerstand RV abfallende Spannung. Die Sprünge in
der unteren Kurve markieren den Zusammenbruch und die Rückkehr
in den QH-Zustand. Die Zuordnung der Spannungswerte Vmin und
Vmax mittels Projektion ist ebenfalls eingezeichnet.
56
6.1 Messungen der Hysterese in der I-V-Kennlinie beim Zusammenbruch des QHE
6.1 Messungen der Hysterese in der I-V-Kennlinie
beim Zusammenbruch des QHE
Die Ergebnisse der Oszillatormessungen (Kap. 5) lieferten eine Vergrößerung
der Hysterese im Vergleich zu DC-Messungen. Diese Ergebnisse galt es mit einer besseren Genauigkeit bezüglich der angelegten Frequenz zu untersuchen. Da
die bei den Relaxationsoszillationen generierten Frequenzen nicht die benötigte
Konstanz besaßen, und ein größerer Frequenzbereich untersucht werden sollte, wurden direkte Wechselspannungsmessungen durchgeführt. Die verwendete
Schaltung ist in Abb. 6.1 skizziert. An die Reihenschaltung, bestehend aus der
QH-Corbino-Probe und einem Widerstand RV , wird eine Wechselspannung angelegt. Mittels eines Oszilloskops werden sowohl die angelegte Spannung am
Generator, als auch die an RV abfallende Spannung aufgenommen. Dabei muß
natürlich die angelegte Spannung V0 > Vmax sein, damit der Zusammenbruch
beobachtet werden kann. Anhand dieser beiden Kurven ist es möglich, Vmin und
Vmax zu extrahieren.
6.1.1 Messungen und Auswertung
Es wurden mehrere Meßreihen an der Probe (a1) durchgeführt. Dabei wurden Wechselspannungen mit sinus- und dreieckförmigen Verlauf mittels des ACGenerators an der Corbino-Probe angelegt. Der untersuchte Frequenzbereich
erstreckte sich von 1,2 Hz-30 kHz. Die Bestimmung von Vmin und Vmax erfolgte über eine Projektion der am Widerstand RV abgefallenen Spannung (Ch2)
auf die am Generator abgenommenen Spannungskurve (Ch1). An der am Widerstand aufgenommenen Kurve sind sowohl der Zusammenbruch bei Vmax , als
auch der Übergang in den QH-Zustand bei Vmin als Sprünge in dem die Probe
durchfließenden Strom ISD zu beobachten. Da aufgrund der niedrigen Frequenzen keine meßbaren Phasenverschiebungen zwischen beiden Kurven auftreten,
ist es möglich, beide Kurven übereinanderzulegen. Der an der Corbino-Probe
anliegenden Spannungswert zum Zeitpunkt des Zusammenbruchs bzw. der Relaxation in den QH-Zustand läßt sich nun aus der an Ch1 aufgenommenen
Kurve ablesen (s. Abb. 6.2). Desweiteren wurden, wiederum in einem anderen
Abkühlzyklus, mehrere I-V -Kennlinien mit unterschiedlichen Flankensteilheiten
dV
aufgenommen. Diesen unterschiedlichen Flankensteilheiten konnten Frequendt
zen zugeordnet werden, um somit das Verhalten der Hysterese bei Frequenzen
f <1 Hz beobachten zu können (s. Abb. 6.5).
6.1.2 Diskussion
Den in den Abbildungen 6.3 und 6.4 dargestellten Ergebnissen ist eine deutliche Zunahme der Hysterese mit ansteigender Frequenz zu entnehmen. Die in
Kap. 5 angestellte Vermutung, daß es sich hier um einen frequenzabhängigen
57
6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit
Abbildung 6.3: Verlauf der Hysterese über der Frequenz.
Effekt handelt, ist klar bestätigt. In der Abb. 6.3 ist die Hysterese in einem Frequenzbereich von 1,5 Hz bis 30 kHz aufgetragen. Hier ist eine starke Zunahme
der Hysterese im Bereich niedriger Frequenzen mit einer Sättigung bei höheren Frequenzen zu beobachten. In Abb. 6.4 sind die Ergebnisse zweier Meßreihen in einem kleineren Frequenzbereich (bis 100 Hz) zu sehen. Diese Messungen
wurden in einem anderen Abkühlzyklus als die in Abb. 6.3 dargestellten aufgenommen. In der einen Meßreihe wurde eine dreieckförmige, in der anderen eine
sinusförmige Wechselspannung angelegt. In Abb. 6.4(a) ist wiederum die Hysterese aufgetragen, die qualitativ den gleichen Verlauf wie die in Abb. 6.3 aufweist.
In Abb. 6.4(b) sind die beiden Werte Vmin und Vmax separat aufgetragen. Hier
wird deutlich, daß für die Zunahme der Hysterese hauptsächlich eine Änderung
des Wertes von Vmax verantwortlich ist. Die Werte von Vmin weisen nur eine
sehr geringfügige Veränderung auf. Für die mit unterschiedlicher Flankensteilaufgenommenen I-V -Kennlinien ergibt sich ein vergleichbares Bild. Wie
heit dV
dt
in Abb. 6.5 zu sehen ist, nimmt mit zunehmender (aus der Flankensteilheit zugeordneter) Frequenz der Wert Vmax deutlich zu, während Vmin nahezu konstant
bleibt. Eine Möglichkeit, dieses Verhalten zu erklären, bietet das Hot-ElectronModell (s. Kap. 2.3.3.2). In diesem Modell setzt sich die Leitfähigkeit σxx aus
zwei unterschiedlichen Anteilen zusammen.
σxx (Tel ) = σ0 exp{−∆E/kB Tel } + σBG
(6.1)
Der erste Anteil beschreibt die thermische Aktivierung von Elektronenübergängen zwischen Landauniveaus. Die Energielücke ∆E beträgt im Fall ganzer,
geradzahliger Füllfaktoren ∆E = ~ωc /2. Der zweite Anteil steht für die sogenannte Hintergrundleitfähigkeit (background conductivity - BG). Diese Hinter-
58
6.1 Messungen der Hysterese in der I-V-Kennlinie beim Zusammenbruch des QHE
Abbildung 6.4: (a): Verlauf der Hysterese über der Frequenz. •: Meßreihe mit
sinusförmiger Wechselspannung. N: Meßreihe mit dreieckförmiger
Wechselspannung. (b): Die der Hysterese in (a) entsprechenden Werte für Vmin und Vmax . • und ◦ entsprechen Vmax bzw. Vmin aus der
Meßreihe mit sinusförmiger Wechselspannung. N und H entsprechen
Vmax bzw. Vmin aus der Meßreihe mit dreieckförmiger Wechselspannung.
grundleitfähigkeit entsteht durch Tunnelprozesse, welche durch thermisch assistierte und/oder elektrische Felder bedingte Delokalisierung verursacht werden.
Im Rahmen dieses Modells wird die Existenz und Veränderung der Hysterese
erklärbar. Es lassen sich Parameter bestimmen (Details s. Kap. 2.3.3.2), welche die Auftragung der Elektronentemperatur über der an der Corbino-Probe
angelegten Spannung ermöglichen [11, 35]. Hierbei entsteht eine S-förmige Kurve, deren Wendepunkte die Werte Vmin und Vmax zugeordnet werden können.
In Abb. 6.5 wurde diese Modellierung mittels der Parameter r1 , r2 und ns
der Probe (a1) vorgenommen. Der verwendete Wert für die Zustandsdichte
59
6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit
Abbildung 6.5: I-V -Kennlinien der Probe (a1) bei B =5,85 T mit unterschiedlicher
Flankensteilheit dV
dt . Der Flankensteilheit entsprechend können den
Kurven Frequenzen von 0,0065 Hz (gestrichelte Kurve), 0,029 Hz
(gestrichelt-gepunktete Kurve) und 0,0333 Hz (durchgezogene Kurve) zugeordnet werden.
DBG = 5 × 109 cm−2 meV−1 wurde einer Arbeit von Stahl et al. entnommen [50].
Weitere Parameter sind die Hintergrundleitfähigkeit σBG , die Gittertemperatur
TL , die Energielücke ∆E und die freie Weglänge `D zwischen zwei Störstellenstreuprozessen. Als Gittertemperatur wurde die Heliumbadtemperatur von
1,6 K angenommen. Die Energielücke ergab sich aus dem angelegten Magnetfeld
B=5,85 T zu ∆E=5,05 meV. Für σBG und `D wurden typische Werte aus zuvor
veröffentlichten Arbeiten verwendet (σBG = 2, 3 × 10−8 S [36, 37], `D = 10 µm
[36, 51]). Anhand dieser Modellierung erhält man die Werte Vmin =0,68 V und
Vmax =0,904 V. Im inneren Diagramm von Abb. 6.6 ist der Ausschnitt einer I-V Kennlinie der Probe (a1) abgebildet, welcher einen Vergleich der modellierten
mit den experimentellen Daten zuläßt. Hier erhält man die Werte Vmin =0,78 V
und Vmax =0,906 V. D.h., die Werte für Vmax stimmen nahezu überein, und der
modellierte Wert von Vmin weist eine Abweichung von ca. 13% gegenüber dem
experimentellen Wert auf. Eine akzeptable quantitative Übereinstimmung der
Daten dieser Hysteresekurve mit dem Modell ist somit vorhanden. Die im Experiment beobachtete Zunahme von Vmax lässt sich nun anhand dieses Modells
mittels einer Abnahme der Hintergrundleitfähigkeit σBG erklären. Wenn sich
in der Modellierung der Wert von σBG verkleinert, ist eine deutliche Zunahme
von Vmax bei nahezu konstantem Vmin zu beobachten. In Abb. 6.7 ist eine Modellierung zu sehen, bei der die zuvor bereits erwähnten Parameter verwendet
wurden. Der einzige variierende Parameter ist die Hintergrundleitfähigkeit σBG .
60
6.1 Messungen der Hysterese in der I-V-Kennlinie beim Zusammenbruch des QHE
Abbildung 6.6: Elektronentemperatur als Funktion der angelegten Spannung bei
B=5,85 T. Die für die Modellierung verwendeten Parameter
µ=100000 cm2 /Vs und ns =2,83×1011 cm−2 entsprechen denen der
Probe (a1). Weitere Parameter sind die Hintergrundleitfähigkeit
σBG =3,3×10−8 S, die Gittertemperatur TL =1,6 K und die freie
Weglänge zwischen zwei Störstellenstreuungen `D =10 µm. Inneres
Diagramm: Ausschnitt aus der I-V -Kennlinie der Probe (a1), welche einen Vergleich der gemessenen und modellierten Werte für Vmin
und Vmax ermöglicht.
Diese wurde so gewählt, daß der Vmax entsprechende Wert mit dem experimentell ermittelten Vmax in Abb. 6.4(b) übereinstimmt. Es wurden drei Kurven, den
Frequenzen 1,2 Hz, 10 Hz und 100 Hz entsprechend modelliert. Die Zunahme des
Vmax entsprechenden Wertes mit abnehmender Hintergrundleitfähigkeit σBG ist
deutlich zu sehen.
Das Zustandekommen dieser Hintergrundleitfähigkeit und eine Abnahme derselben bei zunehmender Frequenz lässt sich anhand des in Abb. 6.8 dargestellten
Schemas erläutern. Bei ganzzahligen Füllfaktoren existieren innerhalb des 2DEG
ausschließlich lokalisierte Zustände, die von lokalisierten Elektronen auf Äquipotentiallinien umlaufen werden. Ein Elektron muß, damit es zum effektiven
Ladungstransport beiträgt, von einem Kontakt aus das 2DEG durchqueren,
um zum gegenüberliegenden Kontakt zu gelangen. Aufgrund der lokalisierten
Zustände wird dies nur möglich sein, wenn das Elektron zwischen verschiedenen lokalisierten Zuständen tunnelt. Wir betrachten bei angelegtem E -Feld ein
Elektron, das als erstes vom Source-Kontakt (s. Abb. 6.8) in den von der In”
sel“ A dargestellten lokalisierten Zustand tunnelt. Hier vollführt es einen oder
mehrere Umläufe und tunnelt dann in den nächsten Zustand B, um von diesem
zum Drain-Kontakt zu tunneln. Dieses Elektron hat jetzt zum effektiven La-
61
6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit
Abbildung 6.7: Elektronentemperatur als Funktion der angelegten Spannung bei
B=5,85 T. Die Parameter - außer σBG - entsprechen denen in Abb.
6.6. Die Hintergrundleitfähigkeit wurde so modelliert, daß die Werte
für Vmax denen in Abb. 6.4(b) bei 1,2 Hz (gestrichelte Kurve), 10 Hz
(gepunktet-gestrichelte Kurve)und 100 Hz (durchgezogene Kurve)
entsprechen.
dungstransport beigetragen. Wenn aber eine Wechselspannung angelegt ist und
das elektrische Feld seine Polarität wechselt, nachdem das betrachtete Elektron
erst die Insel“ B erreicht hat, und auf die Insel“ A zurücktunnelt, so hat
”
”
dies keinen Beitrag zum effektiven Ladungstransport zur Folge. Man kann sich
vorstellen, daß mit zunehmender Frequenz eine steigende Anzahl von Elektronen es nicht schafft, während einer halben Periode das 2DEG zu durchqueren,
was eine Abnahme von σBG zur Folge hat. Die Zeitskalen der beschriebenen
Transportprozesse der Elektronen müssen, um die beschriebene Abnahme der
Leitfähigkeit erklären zu können, vergleichbar mit der Periodendauer der angelegten AC-Wechselspannung sein.
Die Unterdrückung von Tunnel- und Driftprozessen, welche eigentlich Zeitskalen
im Subnano- bis Nanosekundenbereich haben [44], bei angelegten Frequenzen im
Bereich weniger Hz läßt sich anhand von den von Wei [52] erzielten Ergebnissen
diskutieren. Wei legte eine Spannung an einer QH-Probe an und untersuchte
das zeitliche Verhalten des elektrostatischen Potentials in der Mitte des 2DEG.
Weis Ergebnisse zeigten, daß bei Temperaturen im mK-Bereich ein thermodynamisches Gleichgewicht in der QH-Probe bei ν=2 auch nach 20 Minuten noch
nicht erreicht ist. Das zeitliche Verhalten des elektrostatischen Potentials in der
Probenmitte wird mittels einer Exponentialfunktion beschrieben:
φ = V0 (1 − e−t/τ ).
62
(6.2)
6.2 Messungen der Leitfähigkeit σxx im subkritischen Bereich
Abbildung 6.8: Schematische Darstellung des Zustandekommens der Hintergrundleitfähigkeit σBG . Hier ist der Ausschnitt einer QH-Corbino-Probe
mit den Source- und Drain-Kontakten, sowie dem das 2DEG enthaltenden Kanal zwischen den Kontakten zu sehen. Die Inseln“ stellen
”
Äquipotentialverläufe dar, die von lokalisierten Elektronen umlaufen
werden. Die Pfeile zwischen den Inseln“ deuten mögliche Tunnel”
prozesse von Elektronen an.
V0 beschreibt hier die an der Probe angelegte Spannung, τ ist die den Relaxationsprozeß beschreibende Zeitkonstante, die stark von der Temperatur und der
anliegenden Spannung abhängt. Für ν=2 konnte τ aufgrund der langen Relaxationszeiten nicht genau bestimmt werden. Um ν=2 herum jedoch liegen die
Werte bei ca. 200 s. Dieses Ergebnis läßt für hinreichend tiefe Temperaturen
den Schluß zu, daß schon bei sehr geringen Frequenzen der Potentialverlauf innerhalb der Probe der angelegten Spannung nicht mehr folgen kann, was eine
massive Unterdrückung von Tunnelprozessen zur Folge hat. Eine Betrachtung
der Temperaturabhängigkeit der Hintergrundleitfähigkeit (s. auch [11, 36, 37])
erfolgt in Kap. 6.2.
6.2 Messungen der Leitfähigkeit σxx im
subkritischen Bereich
Bei den Messungen, die im folgenden besprochen werden sollen, wurde die
Leitfähigkeit σxx im subkritischen Bereich kurz vor dem Zusammenbruch untersucht. Spannungswerte von wenig kleiner als Vmin bis wenig kleiner als Vmax beschränken diesen Bereich. Es galt zu versuchen, die in Kap. 6 diskutierte Abnahme der Hintergrundleitfähigkeit σBG mit zunehmender Frequenz nachzuweisen.
Der Meßaufbau entspricht dem in Abb. 6.1 dargestellten. Nur wurden hier größere Widerstände RV (> 100k Ω) verwendet, welche eine bessere Auflösung der am
Widerstand abfallenden Spannung VSD ermöglichten. Es wurden Messungen an
63
6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit
den Proben (a2) und (b2) durchgeführt, wobei sowohl die Frequenz-, als auch
die Temperaturabhängigkeit untersucht wurden. Die Temperaturabhängigkeit
wurde in einem Bereich von 50 mK-4 K untersucht, die Frequenzabhängigkeit
wiederum im Bereich niedriger Frequenzen bis maximal 118 Hz.
6.2.1 Messungen
Die Durchführung der frequenzabhängigen Messungen erfolgte wie die in Kap.
6.1 beschriebenen Messungen der Hysterese. Nur wurden hier geringere Spannungen angelegt, wodurch die Probe im QH-Zustand verweilt, und nur ein geringer Anstieg in der Leitfähigkeit σxx zu beobachten ist. Die Temperaturabhängigkeit wurde anhand von AC-Messungen und DC-I-V -Messungen untersucht. Die
Messungen wurden in einem Frequenzbereich von 0,52-118 Hz durchgeführt. An
der Probe (a2) wurden in den beiden Temperaturbereichen 70-770 mK und 1,64 K DC-I-V -Messungen vorgenommen. Die Probe (b2) wurde ebenfalls in diesen
beiden Temperaturbereichen auf ihre Frequenzabhängigkeit hin untersucht.
Abbildung 6.9: Verlauf der Leitfähigkeit σxx über der Frequenz. (a): Probe (a2) bei
einer bei einer Temperatur von 3,75 K. (b): Probe (a2) bei einer Temperatur von 1,6 K. (c): Probe (b2) bei einer Temperatur von 2,9 K.
(d) Probe (b2) bei einer Temperatur von 770 mK. Die angelegte
Spannung VSD und die kritische SpannungVC sind jeweils angegeben. Beachte: In (d) beginnen die Messungen erst bei 7 Hz, und σxx
ist wesentlich kleiner als bei den Messungen in (a)-(c) (bei höheren
Temperaturen).
64
6.2 Messungen der Leitfähigkeit σxx im subkritischen Bereich
6.2.2 Diskussion der Frequenzabhängigkeit
In Abb. 6.9 ist ein exemplarischer Auszug der frequenzabhängigen Meßergebnisse präsentiert. Deutlich ist ein Abfall der Leitfähigkeit bei geringen Frequenzen im Bereich einiger Hz zu beobachten. Der Frequenzbereich stimmt mit
dem überein, in dem die in Kap. 6.1 besprochene Zunahme der Hysterese beobachtet wurde. Desweiteren wurde in Kap. 6.1 modelliert, daß diese Zunahme
der Hysterese durch eine Abnahme der Hintergrundleitfähigkeit σBG erreicht
wird. Ein direkter Vergleich der hier erhaltenen und der in Kap. 6.1 diskutierten
Ergebnisse ist leider nicht möglich, da die Probe (a1) nicht auf das Frequenzverhalten im subkritischen Bereich untersucht worden ist. Ein vergleichbares
Meßergebnis ist jedoch in Abb. 6.9(b) zu sehen. Die Probe (a2) unterscheidet
sich von der Probe (a1) nur in der Kanalbreite, und die Heliumbadtemperatur
lag auch bei den Messungen in Kap. 6.1 bei 1,6 K. Es wurde in Abb. 6.7 eine
Modellierung vorgenommen, welche eine Abnahme der Hintergrundleitfähigkeit
um 0, 8 × 10−8 S bei einer Frequenzänderung von 1,2 Hz auf 100 Hz ergab. In
Abb. 6.9 (b) ist bei Änderung der Frequenz von 1,2 Hz auf 118 Hz eine Abnahme um 1, 83 × 10−8 S in der gemessenen Leitfähigkeit σxx zu beobachten. Die
Größenordnungen der Leitfähigkeitsänderungen stimmen also überein, wodurch
die Annahme der Vergrößerung der I-V -Hysterese durch eine Verminderung der
Hintergrundleitfähigkeit gestützt wird.
√
Abbildung 6.10: Verlauf von ln σxx über 1/ T (Meßdaten und Modellierung). Die
Daten in (a) entstammen Messungen an der Probe (a2) in einem
Temperaturbereich von 2,3-3,56 K, die in (b) Messungen an der Probe (b2) in einem Temperaturbereich von 300-1000 mK.
65
6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit
6.2.3 Diskussion der Temperaturabhängigkeit
Die Untersuchung der Temperaturabhängigkeit dient dem Zweck, einen Einblick in Transportmechanismen der Hintergrundleitfähigkeit σBG zu erlangen (s.
Kap. 2.3.3.2). Es wurden
√ unterschiedliche Modellierungsansätze verfolgt, wobei
der Ansatz einer 1/ T -Abhängigkeit von ln σxx , welche dem variable-rangehopping entspricht, durchgehend eine Modellierung mit niedrigerer Standardabweichung von den Meßdaten lieferte, als der Ansatz einer 1/T 1/3 -Abhängigkeit
√
(Mott-hopping). In Abb. 6.10 ist repräsentativ der Verlauf von ln σxx über 1/ T
inklusive Modellierung zu sehen. Für die bei höheren Temperaturen gemessenen Daten war ebenfalls eine Modellierung√mit einer 1/T -Abhängigkeit möglich.
Anhand der Modellierungen mit einer 1/ T -Abhängigkeit erhält man aus der
Steigung die charakteristische Temperatur T0 (s. Kap. 2.3.3.2), die wiederum
mit der Lokalisierungslänge ξ der Elektronen verknüpft ist:
e2
ξ=C
,
kB ²²0 T0
(6.3)
mit dem empirischen Parameter C=6 und der dielektrischen Funktion ² = 13
(Wert für GaAs) [41, 53]. Anhand der DC-I-V -Messungen ist es somit möglich,
T0 bzw. die Lokalisierungslänge ξ über der angelegten Spannung aufzutragen. In
Abb. 6.11 sind die aus den Modellierungen erhaltenen Werte von ln T0 und ln ξ
über der Spannung aufgetragen, wobei die Werte in Abb. 6.11(a) aus Messungen
im Temperaturbereich von 70-770 mK, die in Abb. 6.11(b) aus Messungen im
Temperaturbereich von 1,6-4 K stammen. Im Bereich tieferer Temperaturen ist
eine lineare Zunahme von ln ξ mit der angelegten Spannung deutlich zu sehen,
bei höheren Temperaturen wird dieser Verlauf qualitativ bestätigt. Der Vergleich
der T0 - und ξ-Werte in den Abb. 6.11(a) und (b) liefert eine Diskrepanz von
zwei Größenordnungen. Dieser Unterschied war bei allen Messungen festzustellen, höhere Temperaturen lieferten generell in höheres T0 und somit eine kleinere
Lokalisierungslänge ξ. Hier muß wiederum angemerkt werden, daß das Verhältnis E/Ecr (E angelegtes elektrisches Feld, Ecr kritisches elektrisches Feld) bei
beiden Messungen vergleichbar ist. Aufgrund des Ansteigens von Ecr mit sinkender Temperatur ist jedoch E in Abb. 6.11(a) ca. einen Faktor 2 größer als in Abb.
6.11(b). D.h., betrachtet man den generellen Trend eines Anstiegs von ξ mit zunehmendem E-Feld, ließe sich die wesentlich größere Lokalisierungslänge in Abb.
6.11(a) erklären. Eine Extrapolation der beiden Modellierungen des Verlaufs von
ξ in Abb. 6.11 ist in Abb. 6.12 zu sehen. Hierbei wird deutlich, daß die zuvor gemachte Annahme eines linearen Verlaufs von ln ξ über der Spannung innerhalb
dieses großen Spannungbereichs nicht bestätigt werden kann. Davon ausgehend,
daß die Temperatur ebenfalls Einfluß auf die Lokalisierungslänge hat, ließen
sich Abweichungen in den beiden betrachteten Temperaturbereichen erklären.
Die Lokalisierung müßte mit sinkender Temperatur effektiver werden, was eine
lineare Extrapolation der ξ-Werte tieferer Temperaturen zu einem geringeren
E-Feld bestätigt. Diese Extrapolation weist ξ-Werte auf, die einige Größen-
66
6.2 Messungen der Leitfähigkeit σxx im subkritischen Bereich
Abbildung 6.11: Verlauf von ln T0 und ln ξ über der Spannung. Die Werte für T0
entstammen Messungen an Probe (a2) im Temperaturbereichen 70770 mK (a) und 1,6-4 K (b). Die Modellierungen machen den linearen Verlauf von ln T0 und ln ξ über der Spannung deutlich.
ordnungen unterhalb der bei höheren Temperaturen gemessenen Werte liegen.
Generell muß jedoch auch die Anwendung dieses Hopping-Modells auf Messungen, die bei Temperaturen T >1 K durchgeführt wurden, kritisch betrachtet
werden. Es ist davon auszugehen, daß bei T >1 K thermisch aktivierte Prozesse
zur Leitfähigkeit beitragen. Dies würde bei einer Modellierung mit einem reinen
Hopping-Ansatz zu Verfälschungen führen. Deswegen wurden auch Korrekturen
vorgenommen, wobei thermisch aktivierte Anteile von der Leitfähigkeit abgezogen wurden. Diese Korrekturen hatten jedoch nur verschwindend geringen
Einfluß auf die Ergebnisse sofern als Korrekturterm ∆E = ~ωc /2 verwendet
wird (vgl. Abb. 6.14: experimentell bestimmte Werte für ∆E sind wesentlich
kleiner).
67
6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit
Abbildung 6.12: Vergleich der linearen Extrapolationen des Verlaufs von ln ξ über
V . Dargestellte Meßwerte aus Abb. 6.11(a) (•) und (b) (N).
Vergleichbare Angaben zu T0 bzw. ξ lassen sich z.B. bei Hohls et al., Furlan und Svoboda et al. finden [40, 41, 54]. Diese Autoren haben unterschiedliche Messungen in verschiedenen Temperaturbereichen durchgeführt (Hohls:
50-1000 mK, Furlan: 300 mK-20 K, Svoboda: 4,2 K-85 K). Die von den Autoren
angegebenen Werte für T0 sind durchgehend nicht in der Mitte der Energielücke
zweier Landau-Niveaus (d.h. ν 6= i, i = 1, 2, 3 . . .) gemessen. Eine Abschätzung
erhält man jedoch durch Extrapolation ihrer Daten auf ν=2 . Anhand der Daten
von Furlan und Svoboda erhält man: T0 ≈ 500 − 2000 K → ξ ≈ 50 − 200 nm.
Die Daten von Hohls liefern: T0 ≈ 200 K → ξ ≈ 500 nm. Ein weiterer Unterschied bei den Messungen von Svoboda, Furlan und Hohls ist der, daß sie unterschiedlich starke Hall-Felder an ihren Proben anlegten (Hohls: EH → 0 V/m,
Furlan: EH ∼ 13 V/m, Svoboda: EH ∼ 1600 V/m). Ein Vergleich der Daten von
Hohls, Furlan und Svoboda liefert also keine offensichtliche Abhängigkeit der
charakteristischen Temperatur T0 und der Lokalisierungslänge ξ vom anliegenden Hall-Feld. Jedoch wurde ein solcher Zusammenhang von ihnen auch nicht
explizit untersucht. Grundsätzlich ist die Größenordnung der T0 - und ξ-Werte
in Abb. 6.11 mit denen aus der Literatur vergleichbar [40, 41, 54].
Als weiterer Modellierungsansatz wurde eine 1/T -Abhängigkeit von ln σxx
untersucht. Dieses temperaturabhängige Verhalten würde thermisch aktivierten
Transportmechanismen entsprechen, und bietet die Möglichkeit, aus der Steigung von ln σxx über 1/T die Energielücke ∆E zwischen der Fermi-Energie und
dem obersten nicht besetzten Landau-Niveau zu bestimmen. Diese Energielücke
entspricht ∆E = ~ωc /2. Man kann jedoch davon ausgehen, daß das Anlegen
eines elektrischen Feldes an der Probe zu einer Verkippung des Potentialver-
68
6.2 Messungen der Leitfähigkeit σxx im subkritischen Bereich
Abbildung 6.13: Verlauf von ln σxx über 1/T . (a) Im Temperaturbereich 2-3,5 K ist
ein linearer Verlauf deutlich sichtbar. (b) Im Temperaturbereich von
70-770 mK ist eine deutliche Abweichung vom linearen Verlauf zu
sehen.
laufes führt, was eine effektive Reduzierung dieser Energielücke zur Folge hat.
Demnach müßte ∆E mit zunehmendem elektrischen Feld abnehmen.
Die Ergebnisse der Modellierungen lieferten einen deutlichen linearen Verlauf
von ln σxx über 1/T für die Messungen bei höheren Temperaturen (s. Abb.
6.13(a)). Im Temperaturbereich von 70-770 mK hingegen ist eine starke Abweichung von diesem linearen Verlauf zu erkennen (Abb. 6.13(b)). Damit lässt
sich für den Bereich höherer Temperaturen die Energielücke ∆E bestimmen. In
Abb. 6.14 ist ∆E über der angelegten Spannung aufgetragen. Eine Abnahme
von ∆E mit zunehmender Spannung ist hier deutlich zu sehen, desweiteren sind
die Werte von ∆E durchgehend kleiner als ~ωc /2 = 5 meV (für B=5,8 T). Diese
Ergebnisse stützen die Annahme einer effektiven Reduzierung der Energielücke
mit zunehmender Spannung. Es kann mit sehr großer Wahrscheinlichkeit davon
ausgegangen werden, daß es sich bei den beobachteten Leitungsmechanismen sowohl um thermisch aktivierten Ladungsträgertransport, als auch um thermisch
unterstütztes Tunneln im elektrischen Feld und um variable-range-hopping handelt. Es lässt sich ferner vermuten, daß in dem vermessenen Temperaturbereich
der Anteil thermisch aktivierter Leitfähigkeit mit steigender Temperatur deutlich zunimmt.
Für Messungen im Temperaturbereich von 70-770 mK war es anhand der vorhandenen Daten zusätzlich möglich, die Frequenzabhängigkeit der Größen T0
und ξ herauszuarbeiten.
√ Dies geschah erneut durch die Modellierung des Verlaufs von ln σxx über 1/ T . In Abb. 6.15 ist die Auftragung√der Meßdaten ln σxx
(der Übersichtlichkeit halber ohne Modellierung) über 1/ T für unterschiedliche Frequenzen zu sehen. Ein linearer Verlauf, sowie die Zunahme der negativen
Steigung mit wachsender Frequenz sind hier deutlich zu sehen. Die sich aus
diesen Modellierungen ergebenden Werte für T0 und ξ sind in Abb. 6.16 über
der Frequenz aufgetragen. Hier sind deutlich eine Zunahme von T0 und die da-
69
6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit
Abbildung 6.14: Verlauf der Energielücke ∆E über der angelegten Spannung VSD
im Temperaturbereich von 2-3,5 K.
mit einhergehende Abnahme von ξ mit zunehmender Frequenz zu erkennen.Das
Ergebnisse einer abnehmenden Lokalisierungslänge mit zunehmender Frequenz
stützt das in Kap. 6.1 beschriebene qualitative Schema eines Ladungsträgertransportes mittels Tunnelprozessen lokalisierter Elektronen (s. auch Abb. 6.8).
Die dort gemachte Annahme einer Unterdrückung von Tunnelprozessen aufgrund des elektrischen Wechselfeldes kommt einer effektiven Abnahme der Lokalisierungslänge der Elektronen gleich.
Abbildung 6.15: ln σxx über T −1/2 für unterschiedliche Frequenzen. H: 7 Hz, N: 11 Hz,
•: 14 Hz, ?: 19 Hz, ¥: 27 Hz. Temperaturbereich 70-770 mK.
70
6.3 Zusammenfassung
Abbildung 6.16: Verlauf von T0 und ξ über der Frequenz.
6.3 Zusammenfassung
Es wurde das frequenzabhängige Verhalten sowohl der Hysterese ∆V = Vmax −
Vmin in der I-V -Kennlinie, als auch der Leitfähigkeit im subkritischen Bereich
bei Frequenzen von wenigen Hz untersucht. Eine starke Zunahme der kritischen Spannung Vmax , einhergehend mit einer Abnahme der Leitfähigkeit im
subkritischen Bereich mit zunehmender Frequenz ließ sich anhand des HotElectron-Modells modellieren. Aufgrund der Ergebnisse temperaturabhängiger
Messungen der subkritischen Leitfähigkeit σxx lässt sich vermuten, daß diese
Beiträge aus thermisch aktivierter und Variable-Range-Hopping-Leitfähigkeit
enthält. Dabei überwiegt die Variable-Range-Hopping-Leitfähigkeit im Bereich
niedriger Temperaturen. Der Anteil thermisch aktivierter Leitfähigkeit nimmt
mit der Temperatur zu und ist im Bereich von T =1,6-4 K deutlich vorhanden.
Die aus den temperaturabhängigen Messungen bestimmte Lokalisierungslänge
ξ konnte auf E-Feld- und Frequenzabhängigkeit untersucht werden. Hierbei ergab sich eine effektivere Lokalisierung mit zunehmender Frequenz, sowie eine
Zunahme der Lokalisierungslänge mit steigendem E-Feld.
71
6 Frequenz- und temperaturabhängige Messungen der Leitfähigkeit
72
7 Résumeé
In dieser Arbeit wurden Messungen den elektrischen Zusammenbruch des
Quanten-Hall-Effektes betreffend durchgeführt. Es wurde ein Relaxationsoszillator realisiert, der auf dem bistabilen Verhalten von Quanten-Hall-Proben
mit Corbino-Geometrie im Bereich des elektrischen Zusammenbruchs des QHE
basierte. Dabei konnten Oszillationen im Frequenzbereich einiger kHz erzeugt
werden. Die Oszillationsfrequenz konnte über die probenexternen Parameter V0
(angelegte Spannung), RV (Widerstand) und CT (Kapazität) variiert werden.
Vor allem aber hatten die Probenparameter Vmin und Vmax bzw. deren Differenz
(die Hysterese ∆V = Vmax − Vmin ) einen maßgeblichen Einfluß auf die Frequenz
f , wobei f mit zunehmender Hysterese abnahm. Eine Veränderung der Parameter Vmin und Vmax an einer Probe war durch die Variation des angelegten
Magnetfeldes möglich. Es gelang die Oszillationsfrequenzen bzw. die Auf- und
Entladedauern ∆texc und ∆trel in Abhängigkeit der erwähnten Parameter über
ein einfaches Ersatzschaltbild und die Anwendung der Kirchhoffschen Regeln zu
modellieren. Für praktische Anwendungen ist diese Art von Relaxationsoszillator jedoch weniger geeignet, da die minimalen Relaxationszeiten innerhalb des
2DES in der Größenordnung von ns liegen. Die daraus resultierende Grenzfrequenz von ca.1 GHz wird von den bereits etablierten Resonanten-Tunneldioden
um ca. einen Faktor 700 übertroffen.
Bei diesen Oszillationsmessungen wurde, im Vergleich zu Gleichspannungs(DC)I-V -Messungen eine deutlich vergrößerte Hysterese festgestellt. Diese Zunahme wurde auf die schaltungsbedingt an der Corbino-Probe anliegende Wechselspannung zurückgeführt. Folgende Messungen, bei denen direkt eine Wechselspannung zwischen den Kontakten der Probe angelegt wurde, bestätigten
diese Vermutung. Es wurde schon bei niedrigsten Frequenzen (f <1 Hz) eine
deutliche Zunahme des die Hysterese ∆V = Vmax − Vmin begrenzenden Wertes Vmax beobachtet, während Vmin nahezu unverändert blieb. Anhand eines
Hot-Electron-Modells wurde dieses Verhalten modelliert. Diese Modellierung
erforderte, zusätzlich zur thermisch aktivierten Leitfähigkeit eine Hintergrundleitfähigkeit σBG miteinzubeziehen, welche einen starken Einfluß auf den Wert
Vmax hat. Nach dem angewendeten Modell entspricht eine Abnahme dieser Hintergrundleitfähigkeit mit zunehmender Frequenz einem Anstieg von Vmax . Nun
wurden Messungen der Leitfähigkeit σxx im subkritischen Bereich (angelegte
Spannung V0 < Vmax ) als Funktion der Parameter Spannung, Frequenz und
Temperatur durchgeführt. Dabei wurde eine Abnahme der Leitfähigkeit σxx mit
zunehmender Frequenz in dem gleichen Frequenzbereich, in dem die Zunahme
von Vmax beobachtet wurde, aufgezeichnet. Die Größenordnung der im Expe-
73
7 Résumeé
riment beobachteten Abnahme der Leitfähigkeit konnte anhand des verwendeten Hot-Electron-Modells reproduziert werden. Zusätzliche Untersuchungen der
Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit im subkritischen Bereich sollten Aufschluß über die Transportmechanismen geben. Anhand der Ergebnisse dieser
temperaturabhängigen Untersuchungen ließen sich einige Abschätzungen über
die in unterschiedlichen Temperaturbereichen dominierenden Transportprozesse
vornehmen. Während bei Temperaturen T < 1K Tunnelprozesse zwischen lokalisierten Zuständen bzw. Variable-Range-Hopping-Transport den Ladungstransport dominieren, so nimmt mit der Temperatur T = 1, 6 − 4, 0K auch der Anteil
thermisch aktivierter Leitfähigkeit zu. Das Anlegen eine Wechselspannung hat
allem Anschein nach eine starke Unterdrückung von Tunnelprozessen zwischen
lokalisierten Zuständen zur Folge. Dies läßt sich aus der, aus den Meßergebnissen
erhaltenen, Verminderung der Lokalisierungslängen mit zunehmender Frequenz
schließen. Die experimentellen Untersuchungen belegen die Bedeutung der (zum
Beitrag der thermischen Aktivierung) zusätzlichen Leitfähigkeit σBG im subkritsichen Bereich für das Verhalten von QH-Systemen beim Zusammenbruch des
QHE.
74
Abbildungsverzeichnis
1.1
Der Quanten-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
GaAs/AlGaAs-Heterostruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zustandsdichte eines 2DES im Magnetfeld . . . . . . . . . . . .
Meßaufbau an Proben mit Hall-Bar- und Corbino-Geometrie . .
Magnetotransportkurve mit drei wichtigen Bereichen . . . . . .
Besetzung der Landau-Niveaus im Magnetfeld . . . . . . . . . .
Randkanäle nach dem Büttiker-Modell . . . . . . . . . . . . . .
Ausbildung von Randzuständen in einer Hall-Probe . . . . . . .
Einfluß der Streuzentren im 2DES . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrisch herbeigeführter Zusammenbruch des QHE . . . . . .
Hall-Winkel in den Bereichen des QHE und des Zusammenbruchs
Quasi-elastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tunnelprozesse zwischen lokalisierten Zuständen . . . . . . . . .
Tel als Funktion von VSD mit unterschiedlichen Parametern . . .
12
14
16
17
18
19
20
21
22
23
24
27
28
3.1
3.2
3.3
Schematische Darstellung eines 4 He -Kryostaten . . . . . . . . . 30
Schematische Darstellung des Kühlkreislaufs in einem 3 He /4 He -Mischkryostaten 31
Skizze einer Corbino-Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1
4.2
4.3
Schematischer Aufbau der Impulsmessungen und Darstellung der angelegten Pulse 35
σxx über der Impulsbreite bei konstantem Tastverhältnis . . . . 36
σxx über der Periode und über der Impulsbreite bei konstanter Amplitude 37
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
Shubnikov-de-Haas-Oszillationen gemessen an QH-Corbino-Probe (a1), I-V -Kennlinie m
Schematische Darstellung und Funktionsprinzip der Oszillatorschaltung 41
Relaxationsoszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Ausschnitt aus einer I-U-Kennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Auf- und Entladezeiten des Relaxationsoszillators in Abhängigkeit von der angelegten S
Oszillationsfrequenz in Abhängigkeit von der angelegten Spannung V0 47
Auf- und Entladezeiten des Relaxationsoszillators in Abhängigkeit des Magnetfeldes 49
Oszillationsfrequenz in Abhängigkeit des Magnetfeldes . . . . . 50
Widerstand der Corbino-Probe RCB . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Hysterese in Abhängigkeit des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . 52
6.1
Schematische Darstellung des Aufbaus der AC-Messungen . . .
55
75
Abbildungsverzeichnis
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
76
Beispiel für die Messungen der AC-Hysterese . . . . . . . . . . . 56
Verlauf der Hysterese über der Frequenz . . . . . . . . . . . . . 58
Hysterese, Vmin und Vmax über der Frequenz . . . . . . . . . . . 59
I-V -Kennlinien mit unterschiedlicher Flankensteilheit . . . . . . 60
Elektronentemperatur als Funktion der angelegten Spannung . . 61
Elektronentemperatur als Funktion der angelegten Spannung mit unterschiedlichen σ BG 6
Schematische Darstellung des Zustandekommens der Hintergrundleitfähigkeit σBG 63
Verlauf der Leitfähigkeit σ√
65
xx über der Frequenz . . . . . . . . .
Verlauf von ln σxx über 1/ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Verlauf von ln T0 und ln ξ über der Spannung . . . . . . . . . . . 67
Vergleich der linearen Extrapolationen des Verlaufs von ln ξ über V 68
Verlauf von ln σxx über 1/T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Verlauf der Energielücke ∆E über der Spannung . . . . . . . . . 70
ln σxx über T −1/2 für unterschiedliche Frequenzen. . . . . . . . . 70
Verlauf von T0 und ξ über der Frequenz . . . . . . . . . . . . . . 71
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79
Literaturverzeichnis
80
Danksagung
Die in dieser Diplomarbeit präsentierten Arbeiten wurden hauptsächlich an
der Technischen Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig und teilweise an der Universität Hannover durchgeführt. Die verwendeten Proben wurden am Max-Planck-Institut für Festkörperforschung in Stuttgart epitaktisch
hergestellt und in der Physikalisch-Technischen-Bundesanstalt in Braunschweig
strukturiert und kontaktiert. Diesen Institutionen gilt mein Dank, da diese jegliche Arbeit erst ermöglichten. Desweiteren möchte ich einigen Personen ganz
besonders danken:
• Prof. Dr. G. Nachtwei für seine Unterstützung in allen Bereichen. Seine
Ideen, Anregungen und die Möglichkeit viel aus seinem Erfahrungs- und
Wissensschatz mitzunehmen waren über alles andere hilfreich. Für seine
schier grenzenlose Geduld möchte ich mich besonders bedanken.
• Dr. B. E. Sağol für die Hilfe bei der Einarbeitung in das Arbeitsthema
und das Arbeitsgerät.
• Prof. Dr. N.G. Kalugin für seinen engagierten Einsatz beim Auftreten
jeglicher Probleme, sowie für eine Menge Anekdoten.
• Christian Stellmach, Alexander Hirsch und Felix Vogt für ein gutes Arbeitsklima, sowie Unterstützung meiner Arbeit.
• Dr. F. Hohls, Prof. Dr. R. Haug und F. Schultze-Wischeler dafür, daß
sie mir ermöglichten Messungen im Institut für Festkörperphysik an der
Universität Hannover durchzuführen, sowie für die Unterstützung bei der
Durchführung dieser Messungen.
• Herrn F. Werner, Herrn H.J. Wruck und Herrn H. Kroker dafür, daß es
sie es immer wieder schafften die Heliumverflüssigungsanlage zum Laufen zu bringen, sowie für ihre Hilfsbereitschaft und ihren Einsatz die es
ermöglichten die kleinen Probleme schnell zu lösen.
• Den Dimovskis für viele Diskussionen, sowie die Erkenntnis, daß Entspannung sehr wichtig ist.
• Snoopy, Matthias, Olli, Felix und Thomas für lange Nächte.
81
• Anne für Abwechslung, Einsicht und meistens sehr viel Spaß.
• Und letztendlich meiner Familie
Erklärung
Hiermit erkläre ich, André Buß, geboren am 06.04.1977, daß ich die vorliegende Arbeit selbständig verfaßt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel
benutzt und Zitate kenntlich gemacht habe.
Braunschweig, den 19.01.2004
82
Andre Buß