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Trigonometrie 4: Allgemeine Dreiecke, Trigonometrische Funktionen
1.
Berechnen Sie alle Seiten und Winkel des allgemeinen Dreiecks ABC, indem Sie mit Hilfe einer Höhe
das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilen.
2.
a) a = 10 cm, c = 4 cm, b = 55°
b) a = 12 cm, a = 100°, b = 40°
c*) b = 6 cm, c = 8 cm, b = 25°
d*) a = 6 cm, b = 10 cm, a = 35°
Berechnen Sie alle Seiten und Winkel des allgemeinen Dreiecks ABC mit Hilfe des Sinus– und des
Cosinussatzes.
a) a = 15 cm, a = 35°, b = 50°
b) b = 8 cm, a = 54°, g = 39°
c) c = 12.3 cm, b = 9.7°, g = 93.8°
d) a = 20 cm, b = 34 cm, b = 72°
e) a = 42.8 cm, c = 38.1 cm, g = 17.9°
f) a = 49 cm, b = 57 cm, a = 84°
g) a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm
h) a = 23 cm, b = 38 cm, c = 29 cm
C
3.
Vorwärts einschneiden
D
Berechnen Sie die Länge des Strecke CD. Folgende Messungen können
Sie verwenden: AB = 208 m, ÆBAD = 71.4°, ÆBAC = 55.6°,
ÆCBA = 93.0°, ÆDBA = 49.3°.
A
4.
B
Berechnen Sie die Höhe des senkrecht stehenden Turms! AB = 80 m,
S
ÆBAF = 48°, ÆFBA = 76°, ÆFAS = 71°.
5.
a) Rechnen Sie ins Gradmass um: 1, –0.1, 1.11, 10.
b) Rechnen Sie ins Bogenmass um: 55.5°, 0.555°, –5.5°, 5’555°.
6.
Bestimmen Sie die passenden Winkel j im Intervall 0° £ j < 360°.
a) sin(j) = 0.222
7.
c) tan(j) = 0.444
F
B
Bestimmen Sie x im Intervall 0 £ x < 2p:
a) sin(x) = –0.958
8.
b) cos(j) = –0.333
A
b) cos(x) = 0.911
c) tan(x) = –1.12
Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen für 0 £ x £ 2p. Bestimmen Sie Maximum, Minimum und
die Nullstellen in diesem Bereich. Ist die Funktion für alle x definiert?
a) f(x) = 1/tan(x) = cot(x)
b) g(x) = sin(2x)
c) g(x) = 4 .sin(x)
d) g(x) = sin(x+π/4)
Lösungen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a) a = 102.0°, g = 23.0°, b = 8.34 cm; b) b = c = 7.83 cm; c) a1 = 120.7°, g1 = 34.3°, a1 = 12.2 cm; a 2 = 9.3°,
g 2 = 145.7°, a2 = 2.29 cm; d) b1 = 72.9°, g1 = 72.1°, c1 = 9.95 cm; b2 = 107.1°, g2 = 37.9°, c2 = 6.43 cm.
a) b = 20.0 cm, c = 26.1 cm, g = 95°; b) a = 6.48 cm, c = 5.04 cm, b = 87°; c) a = 12.0 cm, b = 2.08 cm, a =
76.5°; d) c = 34.4 cm, a = 34.0°, g = 74.0°; e) a 1 = 20.2°, b1 = 141.9°, b1 = 76.5 cm; a 2 = 159.8°, b2 = 2.3°, b2 =
4.97 cm; f) –; g) a = 44.4°, b = 57.1°, g = 78.5°; h) a = 37.2°, b = 93.2°, g = 49.6°.
CD = 227.8 m.
SF = 271.9 m.
a) 57.3°, –5.7°, 63.6°, 573.0°; b) 0.97, 0.0097, –0.096, 96.6.
a) 12.8°, 167.2°; b) 109.5°, 250.5°; c) 23.9°, 203.9°.
7. a) 5.00, 4.42; b) 0.43, 5.86; c) 2.30, 5.44.
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Trigonometrie 4a: Zusatzaufgaben zu allgemeinen Dreiecken und trigonometrischen Funktionen
1.
Die Höhe eines Turms wird von einer horizontalen Basislinie aus gemessen, die 50 m lang ist. Von
den Endpunkten der Basislinie aus werden einerseits die Winkel zwischen Basislinie und der
horizontalen Verbindungslinie zum Fuss des Turms gemessen (63° resp. 72°) und andererseits vom
ersten Endpunkt aus auch der Höhenwinkel zur Turmspitze (24°).
a) Wie hoch ist der Turm?
b) Unter welchem Höhenwinkel kann der Turm vom anderen Ende der Basislinie aus gesehen
werden?
2.
Von einem Dreieck sind die Koordinaten der drei Eckpunkte A(0|0), B(5|1) und C(2|7) bekannt.
Bestimmen Sie die Länge aller Seiten und die Winkel des Dreiecks.
3.
Betrachten Sie die Sinuskurven sin(x), sin(2x), sin(3x), …, sin(n·x).
a) Wie verändern sich die Kurven mit zunehmendem n?
b) Wieviele Nullstellen hat die Funktion sin(n·x) im Intervall [0;2π]?
4.
Bestimmen Sie im Intervall [0;2π]
a) sin(x) = –0.25
b) sin(2x) = –0.25
c) sin(x/2) = –0.25
Lösungen
1a) 29.9 m; b) 25.4°. 2) a = √45 ,b = √53, c = √26, a = 62.7°, b = 74.7°, g = 42.5°. 3b) 2n+1
4a) 3.39, 6.03; b) 1.70, 3.01, 4.84, 6.16; c) keine Lösung im vorgegebenen Intervall.