Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement: Konzepte

Praktische Aspekte der Quantitativen
Risikomanagement:
Konzepte, Methoden und Implementierung in Matlab
M.Sc.Brice Hakwa
SS 2014
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Kapitel 1: Stochastische Modellierung
von Risiken
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Quantitative Modellierung
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Theoretische Konzepte I: Risiko, Risikofaktor?
Allgemein Betrachtung
Der Begriff ’Risiko’ ist mit der Unsicherheit im Hinblick auf
potenzielle zukünftige Veränderungen verbunden (z.B. Verlust auf
Grund eines zufälligen Ereignisses ).
Ein Risiko wird im Allgemein als die Gefahr einer (negativen)
Abweichung von einem in der Zukunft erwarteten Ergebnis
interpretiert werden.
Risiken sind somit zufällige Ereignisse und können deshalb als
Ergebnisse von Zufallsexperimente betrachtet werden.
Betriebswirtschaftliche Betrachtung
Risiko wird in der Praxis als eine Verlustmöglichkeit, die mit einer
unsicheren Unternehmung (z.B. Investition) verbunden ist
interpretiert.
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Theoretische Konzepte I: Grundannahme der
Stochastischen Modellierung
Die Grundannahme bei der Beschreibung eines Risikos durch ein
Zufallsexperiment besteht darin,
dass das zukünftige Verhalten des betrachteten Risiko nicht
vorausgesagt werden kann. D.h. es gibt kein Ereignis, das mit
Sicherheit eintritt (Die Veränderungen sind nicht
deterministisch)
dass, die Veränderungen Resultat eines Zufallsexperiments
sind.
dass alle möglichen Ergebnisse des zugrundeliegenden
Zufallsexperimentes und somit alle zukünftigen Realisationen
dieses Risiko bekannt sind und
dass genau eines dieser Ergebnis bzw. Realisationen eintreten
wird.
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Theoretische Konzepte II:
Man betrachtet zwei Zeitpunkte, den Anfangszeitpunkt t0 = 0
gegebene zukünftige Zeitpunkt t1 > 0
1
Der erste Schritt bei der stochastischen Modellierung von
Risiken ist es alle möglichen zukünftigen Ergebnisse bzw.
Szenarien zu einer Menge, dem sogenannten Ergebnis- bzw.
Zustandsraum Ωt1 , zusammenzufassen (Dies ist eine
Grundvoraussetzung um Resultate aus der
Wahrscheinlichkeitstheorie anzuwenden: Kolmogorov ).
2
danach wird jeder möglichen zukünftigen Realisation des
Risikos ein Element ω aus Ωt1 zugeordnet.
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Theoretische Konzepte: III
Sei X ein Risiko (z.B. Verlust, Rendite, Optionspreise,
Schadenanzahl ) und Ωt1 Dann haben wir im Kontext der
stochastischen Modellierung, dass
der Wert von X zum Zeitpunkt t0 (Xt0 ) deterministisch
bekannt ist (D.h. Xt0 ist eine Zahl).
Zum Zeitpunkt 0 sind alle möglichen zukünftigen Zustände
und somit alle möglichen zukünftigen Werte Xt (ω) bekannt.
der Wert von X zum Zeitpunkt t1 (Xt1 ) vom eintretenden ω
abhängt. D.h. Xt is eine Funktion auf Ωt1
Xt1 : Ωt1 → R
(1)
Xt1 (ω) beschreibt den Wert des betrachteten Risiko zum
Zeitpunkt t im Zustand ω.
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Theoretische Konzepte: IV
Angenommen dass die Menge der möglichen Szenarien endlich ist.
d.h.
Ω = {ω1 , . . . , ωK } ,
K ∈N
Dann haben wir, dass zum Zeitpukt t = 0 alle K Zustände der
Menge Ω mögliche Endzustände zum Zeitpunkt t1 sind.
Aber es wird nur einer dieser Zustände als Endzustand realisiert.
Xt1 ist dann zum Zeitpunkt t0 nicht deterministisch sondern eine
zufällige Ereignis.
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Fragestellung des quantitativen Risikomanagement
Beim Risikomanagement interessiert man sich vor allem für die
probabilistischen Eigenschaften von Risiken.
Z.B.
Häufigkeiten: Z.B. Ruin-, Ausfallwahrscheinlichkeit
Erwartungswert: Z.B. Faire Preise
Quantil: Z.B. Value-at-Risk
Dies setzt die Beantwortung der folgenden Frage voraus
- Welche Realisation des Risikos ist wie oft zu erwarten ?
D.h. ein Maß für das Eintreffen von Realisationen ist hier gefragt.
Hierbei ist das Konzept eines Wahrscheinlichkeitsraumes bzw.
Wahrscheinlichkeitsmaß grundlegend
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Wahrscheinlichkeitsdefinition
Definition
Das Fundament der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die axiomatischen
Definition einer Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P).
Sei Ω eine Menge und F eine Familie von Teilmengen von Omega. F
heißt σ-Algebra, falls
1
∅∈F
2
F ∈ F ⇒ Ω\F ∈ F
3
F1 , F2 , F3 , ... ∈ F ⇒
∞
S
Fi ∈ F
i=1
Das Paar (Ω, F) heißt messbarer Raum.
Eine Funktion P : F 7→ [0, 1] heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, falls
1
P (∅) = 0; P (Ω) = 1
2
Sind
∞F1 , F2 , F3 , . . . ∈ F paarweise disjunkt so ist
S
P∞
P
Fi = i=1 P (Fi )
i=1
Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Das Tripel (Ω, F, P) heißt Brice
Wahrscheinlichkeitsraum
Wahrscheinlichkeitsdefinition
Interpratation
Ω lässt sich als Menge der Elementarereignisse interpretieren.
Nur eines der Elementarereignisse kann eintreten
Eine Teilmenge F ⊂ Ω kann als Fragestellung (Ereignis)
interpretiert werden, ob eines der Elementarereignisse in F
eingetreten ist.
P (F ) als die Wahrscheinlichkeit, dass eines der
Elementarereignisse in F eintritt
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Zufall variable als modell für Risiko
Ein Risiko wird durch eine Zufallsvariable
Xt : (Ω, F, P) → (R, B, PX )
modelliert.
Dabei is P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Meßraum (Ω, F)
und
PXt (F ) := P Xt−1 (F ) := P ({ω ∈ Ω; Xt (ω) ∈ F }) ∀ F ∈ F
(2)
ist das durch Xt und P auf (R, B) induzierte
Wahrscheinlichkeitsmaß (Bildmaß)
Das Bildmaß PXt ist ein W-Maß auf und wird Verteilung von Xt
gennant.
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Beschreibung durch Dichte f und Verteilungsfunktion F
Es gilt:
R +∞
f (t)dt = 1
Rx
F (x) = −∞ f (t)dt
Rb
P(X ∈ [a, b]) = a f (x) dx = F (b) − F (a)
P
R∞ k
k ·p =
mk = E X k = ∞
x
x dF (x) =
i
i=1 i
−∞
R∞
−∞
−∞
x k f (x)
dx. k ∈ N
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Beschreibung durch Dichte f und Verteilungsfunktion F
Sei f die Dichte eine ZV. X. Nehmen wir an, dass f stetig ist.
Dann gilt
Z t+∆t
P (t ≤ X ≤ t + ∆t) =
f (x) dx ≈ ∆ · f (t)
(3)
t
und somit
P (t ≤ X ≤ t + ∆t)
.
(4)
∆t
D.h. die wahrscheinlichkeit, dass X ∈ [t; t + ∆] lässt sich durch
f (t) ≈
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Spezielle Verteilungen: Gleichverteilung
Die Dichtefunktion einer auf dem Intervall [a;b] gleichverteilten
Zufallsvariable X ∼ U(a; b) hat die Gestalt
(
f (x) =
1
b−a
0
a ≤ x ≤ b,
sonst.
(5)
Die Verteilung ist
Zx
F (x) =
f (t)dt =
1
b−a
a
Z
x
dt =
a


0




1
· t|xa = x−a
b−a

b−a



1
for x < a
for a ≤ x < b
for x ≥ b
Es gilt
b+a
2
(b − a)2
Var [X ] =
12
E [X ] =
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Anwendung
Die Gleichverteilung ist ein einfaches Modell für Kleinschäden mit
vorgegebener Obergrenze b, wie sie z. B. in der
Kfz-Kasko-Versicherung vorkommen, oder für die Modellierung von
Schadenquoten
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Gamma-Verteilung
Die Dichtefunktion einer Gamma-verteilten Zufallsvariablen
X ∼ Γ(k, λ). mit den reellwertigen Parametern k > 0 und λ > 0
hat die Gestalt
( k
λ
k−1 · e −λx falls x > 0,
Γ(k) · x
(6)
fX (x) =
0
falls x ≤ 0.
Z
mit Γ (x) :=
∞
t x−1 · e −t dt.
0
Eigenschaften der Gammafktion
Γ(k) = (k − 1)!, , k ∈ N
Γ(x + 1) = x · Γ(x),
√
1
Γ
= π
2
Brice Hakwa
x <0
(7)
(8)
(9)
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Gamma-Verteilung
Die Verteilungsfunktion der Gamma Verteilung ist explizit gegeben
nur für k ∈ N
Z x
λn
t n−1 e−λt dt
F (x) =
Γ (n) 0
Z x
λn
=
t n−1 e−λt dt
(n − 1)! 0
= .....
Γ(n, λx)
=1−
(n − 1)!
n−1
X
(λx)i
−λx
=1−e
i!
i=0
und wird in diesem fall auch als Erlang Verteilung bezeichnet.
k
Es gilt :
E [X ] =
(10)
λ
k
Var [X ] = 2
(11)
Brice Hakwa
Praktische Aspekte derλ
Quantitativen Risikomanagement
Anwendung
Die Gamma-Verteilung ist wegen ihrer zwei Parameter recht
flexibel und wird zur Modellierung kleiner bis mittlerer Schäden
verwendet, z. B. in der Hausrat-, Gewerbe-, Kfz-Kasko- und
Kfz-Haftpflichtversicherung.
Der Formparameter k bestimmt die Form der Dichte
Der Skalenparameter
λ bestimmt,
wie stark die Dichte bzgl.
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Weibull-Verteilung
Die Dichtefunktion einer Weibullverteilten Zufallsvariablen X (k; λ)
mit den reellwertigen Parametern k > 0 und λ > 0 ist für x > 0
gegeben durch
f (x) = λ · k · x k−1 e−λ·x
k
(12)
Die entspreschende Verteilungsfunktion F (x) ist
k
F (x) = 1 − e−(λ·x)
(13)
Es gilt:
1
E [X ] = λ · Γ 1 +
k
!
2
2
1 2
Var [Var ] = λ k · Γ 1 +
−Γ 1+
k
k
1
k
Brice Hakwa
(14)
(15)
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Weibull-Verteilung
Anwendung
In der Schadenmodellierung wird die Weibull-Verteilung in der
Regel nur für k < 1 verwendet, und zwar zur Abbildung von
Groäden, z. B. im Industriebereich, in der Kfz-Haftpflicht und der
Rückversicherung; für k > 1 eignet sie sich nur für die
Modellierung von Kleinschäden.
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Exponentiel verteilung
Die Dichtefunktion einer Exponentialverteilten Zufallsvariablen X (
X ∼ Exp(λ) mit λ > 0) ist gegeben durch
(
λe −λx x ≥ 0
f (x) =
(16)
0
x <0
Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist
(
Zx
1 − e−λx x ≥ 0,
F (x) =
f (t) dt =
0
x < 0.
−∞
Es gilt:
E(X ) =
Z∞
1
−λx
λxe
dx = .
λ
0
Z∞
Z∞
Z∞
Z∞
1 2
1
1
−λx
2 −λx
−λx
−λx
Var(X ) =
x−
λe
dx = λ
x e
dx − 2
xe
dx +
e
dx =
λ
λ
λ2
0
0
Brice Hakwa
0
0
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Exponentiel verteilung
Anwendung
Modellierung von Wartezeit
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Normal Verteilung
Die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen X (
X ∼ N (µ, σ) ist gegeben durch
1 x−µ 2
1
f (x) = √ e − 2 ( σ )
σ 2π
Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist
1
F (x) = √
σ 2π
Es gilt für z =
x
Z
1
e− 2 (
t−µ 2
σ
) dt
−∞
t−µ
σ
1
F (X ) = √
2π
(x−µ)/σ
Z
1 2
e − 2 z dz = Φ(
x −µ
)
σ
(17)
−∞
Dabei ist Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
Z x
1 2
1
Φ(x) = √
e − 2 t dt.
2π −∞
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Normal Verteilung
Es gilt
E (X ) = µ
(18)
2
(19)
VaR(X ) = σ
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
t Verteilung
Die Dichtefunktion einer t verteilten Zufallsvariablen X
− n+1
2
Γ n+1
x2
2
fn (x) = √
1
+
n
nπΓ n2
(20)
Es gilt für den Erwartungswert erhält man für n > 1
E(X ) = 0.
(21)
und die Varianz ergibt sich für n > 2
Var(X ) =
Brice Hakwa
n
.
n−2
(22)
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
t Verteilung
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Parametric Distributions in Matlab

pdf - Probability density functions




 cdf - Cumulative distribution functions
inv - Inverse cumulative distribution functions
Distribution name +


fit - Distribution fitting functions



rnd - Random number generators
Example: Normal distribution
1
2
3
4
5
6
7
8
9
q = 0 % specify quantiles
p = 0.5 % specify probabilities
mu = 1 % mean
sigma = 2 % standard deviation
normpdf (q , mu , sigma ) % return density at q
normcdf (q , mu , sigma ) % return cumulative prob at q
norminv (p , mu , sigma ) % return quantile at p
normrnd ( mu , sigma ,10 ,2) % return m by n matrix
normfit ( x ) % return estimated parameters
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Example: Binomial distribution
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
p =0.3; % Parameter p
N =10; % Parameter N
x =( -2.0:1:12) ; % Wertebereich der Darstellung
bindist = binopdf (n ,N , p ) ; % density
bindist = binocdf (x ,N , p ) ; % distribution
subplot (1 ,2 ,1) % Plotten der Funktionen
h = stem (n , bindist , ’b - ’) ;
xlabel ( ’n ’) ; ylabel ( ’P ( X = n ) ’)
subplot (1 ,2 ,2)
stairs (x , binvert , ’b - ’)
xlabel ( ’x ’) ; ylabel ( ’P ( X \ leq x ) ’)
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Example: Binomial distribution
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Example: Lognormal distribution
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
sigma =0.15; % Parameter p der B in om ia l ve rt ei l .
mu =2; % Parameter N der B i no mi al v er te il .
x =(0.0: 0.01:15) ; % Wertebereich der Darstellung
dens = lognpdf (x , mu , sigma ) ; % density
dist = logncdf (x , mu , sigma ) ; % distribution
plot (x , dens , ’b - ’) ;
xlabel ( ’n ’) ; ylabel ( ’P ( X = n ) ’)
hold on
plot (x , dist , ’b - ’)
legend ( ’ Density ’ , ’ distribution ’) ;
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Example: Lognormal distribution
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Basic data analysis measures in matlab
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
length ( S ) % number of elements in y
sum ( S ) % sum of elements
prod ( S ) % product of elements
range ( S ) % difference between maximum and minimum
mean ( S ) % mean
median ( S ) % medium
var ( S ) % variance
std ( S ) or sqrt ( var ( S ) ) % standard deviation
corrcoef ( S ) % correlation coefficients
skewness ( S ) % get the skewness
kurtosis ( S ) % get the kurtosis ( NOT excess )
quantile (S ,0.01) % returns the quantiles at p
min ( S ) % minimum value
max ( S ) % maximum value
sort ( S ) % sort in ascending or descending order
abs ( S ) % absolute value
diff ( S ) % differences between elements
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement
Praxis der Risikomodellierung
Für ein bestimmtes Risiko
1
Wahl einer geeigneten Verteilung bzw. Verteilungstype (durch
f , F , oder ϕ)
Tools: Datenanalyse
Visualisierung z.B. einfache plot, Trend,....
Expertenwissen, Intuition
Statistischer Test (z.B. QQ-Plot, PP-Plot, und
Hypothese-Test)
2
Wahl geeigneter Parameter (Kalibrierung)
Tools:
Momentenmethode
Regression (Kleinste-Quadrate)
Maximum Likelihood Methode
Brice Hakwa
Praktische Aspekte der Quantitativen Risikomanagement