Wissensrepräsentation und Schlussfolgern

Wissensrepräsentation und Schlussfolgern
Wissensrepräsentationshypothese: (B. Smith)
Die Verarbeitung von Wissen lässt sich trennen in:
Repräsentation von Wissen, wobei dieses Wissen eine
Entsprechung in der realen Welt hat;
und in einen Inferenzmechanismus, der Schlüsse daraus zieht.“
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 1
Repräsentations- und Inferenz-Systeme
Komponenten:
1. Eine Formale Sprache
Symbole, Formeln einer Wissensbasis, Anfragen
Wissensbasis ist Multimenge von Formeln.
2. Semantik
formale Sprache 7→ Bedeutung
3. Eine Inferenz-Prozedur (operationale Semantik)
kann neue Schlüsse (Formeln) aus einer Wissensbasis
Inferenzen müssen korrekt bzgl. der Semantik sein!
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 2
Logik: Motivation und Verwendung
• Fixiere Logikformalismus, der passend zur Aufgabe des Systems ist
• Schon bekanntes Wissen
entspricht Menge von Formeln
• Inferenzen: {Formeln} 7→ neue Formel
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 3
Aussagenlogik: Syntax
A ::= X | (A ∧ A) | (A ∨ A) | (¬ A) | (A ⇒ A) | (A ⇔ A) | 0 | 1
Prioritätsreihenfolge : ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔.
A ∧ B:
A ∨ B:
A ⇒ B:
A ⇔ B:
¬A:
A
A
Konjunktion (Verundung).
Disjunktion (Veroderung).
Implikation .
Äquivalenz.
negierte Formel.
Atom, falls A eine Variable ist.
Literal, falls A Atom oder negiertes Atom.
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Aussagenlogik: Semantik
Zunächst pro Operation ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
eine Funktion fop gemäß folgender Tabelle.
A
1
1
0
0
B ¬A ∧ ∨ ⇒
1 0
1 1 1
0
0 1 0
1 1
0 1 1
0
0 0 1
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 5
NOR
0
0
0
1
NAND
0
1
1
1
⇔
1
0
0
1
XOR
0
1
1
0
Interpretation
Definition
Eine Interpretation I ist
eine Funktion I : {aussagenlogische Variablen} → {0, 1}.
Eine Interpretation I liefert Wahrheitswert von Aussagen:
• I(0) := 0, I(1) := 1
• I(¬A) := f¬(I(A))
• I(A op B) := fop(I(A), I(B)), wobei op ∈ {∧, ∨, ⇒, ⇔ . . .}
I(F ) = 1 wird notiert als I |= F .
Sprechweisen für I |= F :
I ist ein Modell für F ,
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 6
F gilt in I,
I macht F wahr
Definition: Tautologie usw.
• A ist eine Tautologie (Satz, allgemeingültig) gdw. für alle Interpretationen I gilt: I |= A.
• A ist ein Widerspruch (widersprüchlich, unerfüllbar) gdw. für alle
Interpretationen I gilt: I(A) = 0.
• A ist erfüllbar (konsistent) gdw. es eine Interpretationen I gibt mit:
I |= A.
• ein Modell für eine Formel A ist eine Interpretation I mit I(A) = 1.
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 7
Beispiele für Tautologie usw.
• X ∨ ¬X ist eine Tautologie.
• (X ⇒ Y ) ⇒ ((Y ⇒ Z) ⇒ (X ⇒ Z)) ist eine Tautologie.
• X ∧ ¬X ist ein Widerspruch.
• X ∨ Y ist erfüllbar.
• I mit I(X) = 1, I(Y ) = 0 ist ein Modell für X ∧ ¬Y
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 8
Äquivalenzen von Aussagen
F, G sind äquivalent (F ∼ G),
gdw.
F ⇔ G ist eine Tautologie ist.
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 9
Tautologien/ Widersprüche: Komplexität
Satz
• Die Frage “Ist A Tautologie“ ist entscheidbar
• Die Frage “Ist A erfüllbar?“ ist N P-vollständig.
• Die Frage “Ist A Tautologie (Widerspruch)?“ ist
co-N P-vollständig.
Für N P-vollständig und co-N P-vollständig:
Es sind nur worst-case exponentielle Algorithmen bekannt
N P-vollst.
co-N P-vollst.
Algorithmen sind gutartig und optimierbar
Algorithmen sind nicht gutartig und wenig optimierbar
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Folgerungen: Anwendung
Gegeben bzw bekannt:
Frage:
Fakten, Regeln, Zusammenhänge
Was gilt dann auch noch??
Was weiss man noch (implizit)
Wenn das aussagenlogisch formulierbar ist,
dann entspricht das genau den Folgerungen
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 11
Folgerungsbegriffe
Zwei verschiedene Begriffe der Folgerungen für Logik:
• semantische Folgerung
Basis-Begriff; definiert über Modelle
• syntaktische Folgerung (Herleitung, Ableitung)
Algorithmus
meist ein nicht-deterministischer Kalkül, auf Formeln / Formelmengen
mögliche Ziele:
Erkennung von Tautologien
Erkennung von Folgerungsbeziehungen
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 12
Folgerungsbegriffe in der Aussagenlogik
Definition Sei F eine Menge von (aussagenlogischen) Formeln und G
eine weitere Formel.
G folgt semantisch aus F
Notation: F |= G
gdw.
∀ Interpretationen I : ∀F ∈ F : I(F ) = 1 impliziert I(G) = 1.
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Deduktionstheorem in der Aussagenlogik
Satz (Deduktionstheorem)
{F1, . . . , Fn} |= G
gdw.
F1 ∧ . . . ∧ Fn ⇒ G ist Tautologie.
Beachte: F und G sind äquivalent
gdw.
∀I : I |= F gdw. I |= G
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Kalüle / Verfahren
•
•
•
•
•
•
Wahrheitstafeln
Davis-Putnam Algorithmus und Varianten
(schnelle SAT-Solver)
BDD: binary decision diagrams
Tableau Kalküle
Erzeugungsalgorithmen für Tautologien (Hilbert Kalküle)
Heuristische Suchen für SAT
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Aussagenlogische Sätze
∧ und ∨ sind kommutativ, assoziativ, und idempotent:
F ∧G
F ∧F
F ∧ (G ∧ H)
F ∨G
F ∨ (G ∨ H)
F ∨F
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 16
⇔
G∧F
⇔
F
⇔ (F ∧ G) ∧ H
⇔
G∨F
⇔ (F ∨ G) ∨ H
⇔
F
Äquivalenzen:
¬(¬A))
(A ⇒ B)
(A ⇔ B)
¬(A ∧ B)
¬(A ∨ B)
A ∧ (B ∨ C)
A ∨ (B ∧ C)
(A ⇒ B)
A ∨ (A ∧ B)
A ∧ (A ∨ B)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
A
(¬A ∨ B)
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A))
¬A ∨ ¬B
(DeMorgansche Gesetze)
¬A ∧ ¬B
(A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
Distributivität
(A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Distributivität
(¬B ⇒ ¬A)
Kontraposition
A
Absorption
A
Absorption
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Normalformen
disjunktive Normalform (DNF).
Disjunktion von Konjunktionen von Literalen.
(L1,1 ∧ . . . ∧ L1,n1 ) ∨ . . . ∨ (Lm,1 ∧ . . . ∧ Lm,nm )
konjunktive Normalform (CNF).
Konjunktion von Disjunktionen von Literalen.
(L1,1 ∨ . . . ∨ L1,n1 ) ∧ . . . ∧ (Lm,1 ∨ . . . ∨ Lm,nm )
(Literal = Variable oder negierte Variable)
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 18
Transformation in Klauselnormalform
Prozedur:
1.
2.
Elimination von ⇔ und ⇒:
F ⇔ G → F ⇒ G ∧ G ⇒ F und
F ⇒ G → ¬F ∨ G
Negation ganz nach innen schieben:
¬¬F
¬(F ∧ G)
¬(F ∨ G)
3.
→
→
→
F
¬F ∨ ¬G
¬F ∧ ¬G
Distributivität (und Assoziativität, Kommutativität) iterativ
anwenden, um ∧ nach außen zu schieben (“Ausmultiplikation“).
F ∨ (G ∧ H) → (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 19
Transformation in Klauselnormalform
Resultat: Konjunktion von Disjunktionen von Literalen
D.h. eine CNF
Eigenschaften
• Die Resultat- CNF ist äquivalent zur eingegebenen Formel
• Der Algorithmus ist worst-case exponentiell (Zeit und Platz)
• Die Anzahl der Literale in der CNF kann exponentiell sein.
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 20
Transformation in Klauselnormalform
Gründe für die Explosion:
Verdoppelung von Unterformeln bei den Transformationsschritten:
•
•
die Elimination von ⇔:
Ausmultiplikation mittels Distributivgesetz:
Beispiele:
(A1 ⇔ A2) ⇔ (A3 ⇔ A4)
;
(A1 ⇒ A2 ∧ A2 ⇒ A1) ⇔ (A3 ⇒ A4 ∧ A4 ⇒ A3)
(A1 ∧ . . . ∧ An) ∨ B2 ∨ . . . ∨ Bm ; ((A1 ∨ B2) ∧ . . . ∧ (An ∨ B2)) ∨ B3 . . . ∨ Bn
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 21
CNF-Algorithmus: Beispiel
((A ∧ B) ⇒ C) ⇒ C
→
¬(¬(A ∧ B) ∨ C) ∨ C
→
(A ∧ B) ∧ ¬C) ∨ C
→
(A ∨ C) ∧ (B ∨ C) ∧ (¬C ∨ C)
Weitere Simplifikationen sind möglich.
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 22
Resolution für Aussagenlogik
Resolutionsverfahren:
• Erkennt Widersprüchlichkeit
• benötigt eine Klauselmenge als Eingabe.
• Löst Ist ¬F Widerspruch?“ statt Ist F Tautologie?“
”
”
Lemma Eine Formel A1 ∧ . . . ∧ An ⇒ F ist allgemeingültig gdw.
A1 ∧ . . . ∧ An ∧ ¬F widersprüchlich ist.
semantisch formuliert:
{A1, . . . , An} |= F gdw. es keine Interpretation I gibt, so dass
I |= {A1, . . . , An, ¬F }
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 23
Resolutionsverfahren für Aussagenlogik
Gegeben eine Menge M von Klauseln
Iteriere folgende Operation:
Wähle (nichtdeterministisch) 2 Klauseln K, L aus M .
Falls es eine Resolvente R von K, L gibt, füge R zu M hinzu
Stoppe erfolgreich, wenn die leere Klausel erzeugt wurde.
Stoppe nicht widersprüchlich, wenn alle Resolventen schon in M sind,
aber die leere Klausel nicht in M ist.
Klauseln werden als Mengen dargestellt!
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 24
Resolution für Aussagenlogik
Resolutions-Regel:
A
∨B1 ∨ . . . ∨ Bn
¬A ∨C1 ∨ . . . ∨ Cm
B1 ∨ . . . ∨ Bn ∨ C1 ∨ . . . ∨ Cm
zwei Eingabe- Klauseln sind die Elternklauseln
die neu hergeleitete Klausel ist die Resolvente.
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 25
Resolution: Eigenschaften
Aussage
Wenn C → C 0 mit Resolution, dann ist C äquivalent zu C 0.
Aussage
Resolution terminiert
Grund:
Es gibt nur endlich viele mögliche Klauseln, da Resolution keine neuen
Variablen einführt.
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 26
Resolution: Eigenschaften
Resolution ist nicht gut geeignet um Modelle von Formeln zu berechnen:
{{A, B}, {A, ¬A}, {B, ¬B}, {¬A, ¬B}}
Die Formelmenge ist erfüllbar und abgeschlossen bzgl Resolution.
besser Methoden zur Modellberechnung:
Davis-Putnam-Prozedur oder Tableaukalkül
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 27
Resolution: Eigenschaften
Satz In der Aussagenlogik gilt:
Für eine unerfüllbare Klauselmenge findet Resolution nach endlich vielen Schritten die leere Klausel.
Beweis geht mit Induktion nach
(Anzahl der Literale) - (Anzahl der Klauseln)
Satz In der Aussagenlogik gilt:
Resolution erkennt unerfüllbare Klauselmengen.
D.h. Resolution ist vollständig.
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 28
Resolution: Eigenschaften, Bemerkungen
Optimierung der Resolution durch
Elimination von Redundanzen:
•
•
Löschung von Tautologien
Löschen von redundanten Klauseln:
solche mit isolierte Literalen (kein Resolutionsgegenpart)
Subsumtion: Klauseln sind redundant,
wenn sie Obermengen von anderen Klauseln sind
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 29
Resolution: Komplexität
Untere Abschätzung der Komplexität im schlimmsten Fall
von ( A. Haken 1985):
Herleitungen können exponentiell lang dauern:
Es gibt Folge von Formeln
(die sogenannten Taubenschlag-formeln (pigeon hole formula,
Schubfach-formeln),
mit exponentiell langen Resolutionsherleitungen
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 30
Davis-Putnam Algorithmus DP (·)
Ist ein Resolutionsverfahren, algorithmisiert
mit Fallunterscheidungen für Literale (A gilt oder A gilt nicht)
und Erkennung isolierter Literale
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 31
Davis-Putnam Algorithmus DP (·)
1
1
2.
a.
b.
a
b
3.
4
Wenn leere Klausel in C: RETURN true.
Wenn C leere Klauselmenge: RETURN false.
wenn 1-Klausel {P } (bzw. {¬P }) ex:
Lösche Klauseln in denen P (bzw. ¬P ) vorkommt.
Lösche Literale ¬P (bzw. P ) in Klauseln
ergibt Klauselmenge C 0. RETURN DP (C 0)
Wenn isolierte Literale existieren:
Lösche Klauseln, in denen isolierte Literale vorkommen.
resultierende Klauselmenge: C 0. RETURN DP (C 0)
Sonst: wähle eine ex. Variable P aus.
RETURN DP (C ∪ {{P }}) ∧ DP (C ∪ {{¬P }})
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 32
Beispiel für DP
P,
¬P,
P,
¬P,
P,
¬P,
P,
¬P,
Q
Q
¬Q,
¬Q,
Q,
Q,
¬Q,
¬Q,
R
R
R
¬R
¬R
¬R
¬R
Fall 1: Addiere die Klausel {P }. nach einigen Schritten:
Q,
R
¬Q, R
Q, ¬R
¬Q, ¬R
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 33
Fall 1.1: Addiere {Q}: ergibt die leere Klausel.
Fall 1.2: Addiere {¬Q}: ergibt die leere Klausel.
Fall 2: Addiere die Klausel {¬P }. Nach einigen Schritten:
Q
¬Q R
Q ¬R
¬Q ¬R
Weitere Schritte für Q ergeben
R
¬R
ergibt leere Klausel.
Raymond Smullyan: Wer ist der Pfefferdieb?
Rätsel von Raymond Smullyan vor:
Es gibt drei Verdächtige: Den Hutmacher, den Schnapphasen und die
(Hasel-)Maus. Folgendes ist bekannt:
• Genau einer von ihnen ist der Dieb.
• Unschuldige sagen immer die Wahrheit
• Schnapphase: der Hutmacher ist unschuldig.
• Hutmacher: die Hasel-Maus ist unschuldig
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 35
Kodierung: H, S, M
1.
2.
3.
4.
5.
6.
H ∨S∨M
H ⇒ ¬(S ∨ M )
S ⇒ ¬(H ∨ M )
M ⇒ ¬(H ∨ S)
¬S ⇒ ¬H
¬H ⇒ ¬M
Klauselmenge:
{{H, S, M }, {¬H, ¬S}, {¬H, ¬M }, {¬S, ¬M }, {S, ¬H}, {H, ¬M }}
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 36
Kodierung: H, S, M : Resultat
pfefferdieb =
"((H \\/
/\\ (S =>
/\\(-S =>
dp
S \\/ M) /\\ (H => -(S \\/ M))
-(H \\/ M)) /\\ (M => -(H \\/ S))
-H) /\\ (-H => -M))"
Modell: S, -M, -H"
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 37
Schneller CNF-Algorithmus
CNF-Herstellung kann man beschleunigen zu polynomiell: fast O(n).
Trick: komplexe Subformeln iterativ durch neue Variablen abkürzen.
ABER: Formel F ist nicht äquivalent zur berechneten CNF(F ).
Es gilt:
F erfüllbar
gdw.
CNF(F ) erfüllbar.
Das reicht aus für Beweisverfahren und semantische Herleitungen
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 38
Schneller CNF-Algorithmus
Wesentlicher Schritt:
Gegeben H1 ∧ . . . ∧ Hn wobei Hj eine Tiefe ≥ 4 hat:
Ersetze in Hj alle Subformeln G1, . . . , Gm von Hj in Tiefe 3 durch neue
Variablen Ai:
D.h. Hj [G1, . . . , Gm] ; (G1 ⇔ A1) ∧ . . . ∧ (Gm ⇔ Am) ∧ Hj [A1, . . . , Am]
Iteriere diesen Schritt, bis er nicht mehr durchführbar ist.
(G1 ⇔ A1) ∧ . . . ∧ (Gm ⇔ Am) ∧ H1 ∧ . . . ∧ Hj [A1, . . . , Am] ∧ . . . ∧ Hn
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 39
Schnelle CNF-Herstellung
Hj [G1, . . . , Gm] ; (G1 ⇔ A1) ∧ . . . ∧ (Gm ⇔ Am) ∧ Hj [A1, . . . , Am]
Man sieht, dass Erfüllbarkeit erhalten bleibt.
Gegen-Beispiel zur Äquivalenz:
(A ∨ ¬A) ; (X ⇔ (A ∨ ¬A)) ∧ X
Die rechte Formel ist keine Tautologie:
X = 0 ist eine Interpretation, die die rechte Formel falsch macht.
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 40
Eine Logelei aus die Zeit“
”
Abianer sagen die Wahrheit, Bebianer lügen. Aussagen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Knasi: Knisi ist Abianer.
Knesi: Wenn Knösi Bebianer, dann ist auch Knusi ein Abianer.
Knisi: Wenn Knusi Abianer, dann ist Knesi Bebianer.
Knosi: Knesi und Knüsi sind beide Abianer.
Knusi: Wenn Knüsi Abianer ist, dann ist auch Knisi Abianer.
Knösi: Entweder ist Knasi oder Knisi Abianer.
Knüsi: Knosi ist Abianer.
A <=> I
E <=> (-OE => U)
I <=> (U => -E)
O <=> (E /\ UE)
U <=> (UE => I)
OE <=> (A XOR I)
UE <=> O
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 41
Logelei: Lösung
Die Eingabe in den Davis-Putnam-Algorithmus ergibt:
abianer1Expr = "((A <=> I) /\\ (E <=> (-OE => U)) /\\ (I <=> (U => -E))
/\\ (O <=> (E /\\ UE)) /\\ (U <=> (UE => I))
/\\ (OE <=> -(A <=> I)) /\\ (UE <=> O))"
Resultat:
"Modell: -OE, -O, -UE, E, U, -I, -A"
Damit sind Knesi und Knusi Abianer, die anderen sind Bebianer.
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 42
Ein weiteres Rätsel von Raymond Smullyan:
Hier geht es um den Diebstahl von Salz.
Die Verdächtigen sind:
Lakai mit dem Froschgesicht, Lakai mit dem Fischgesicht, Herzbube.
Die Aussagen und die bekannten Tatsachen sind:
• Frosch: der Fisch wars
• Fisch: ich wars nicht
• Herzbube: ich wars
• Genau einer ist der Dieb
• höchstens einer hat gelogen
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 43
Kodierung des Problems
Wir verwenden Variablen mit folgenden Namen und Bedeutung:
FRW
FIW
HBW
FID
FRD
HBD
Frosch sagt die Wahrheit
Fisch sagt die Wahrheit
Herzbube sagt die Wahrheit
der Fisch ist der Dieb
der Frosch ist der Dieb
der Herzbube ist der Dieb
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 44
Kodierung des Frosch-Fisch-Problems
höchstens einer hat gelogen:
¬F RW ⇒ F IW ∧ HBW
¬F IW ⇒ F RW ∧ HBW
¬HBW ⇒ F RW ∧ HIW
genau einer ist der Dieb:
F ID ∨ F RD ∨ HBD
F ID
⇒ ¬F RD ∧ ¬HBD
F RD
⇒ ¬F ID ∧ ¬HBD
HBD
⇒ ¬F ID ∧ ¬F RD
Die Aussagen:
F RW
⇒ F ID
F IW
⇒ ¬F ID
HBW
⇒ HBD
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 45
Frosch-Fisch: DP-Algorithmus:
dpalle "((-FRW => FIW /\\ HBW) /\\ (-FIW => FRW /\\ HBW)
/\\ (-HBW => FRW /\\ HIW)
/\\ (FID => -FRD /\\ -HBD) /\\ (FRD => -FID /\\ -HBD)
/\\ (HBD => -FID /\\ -FRD) /\\ (FRW => FID)
/\\ (FIW => -FID) /\\ (HBW => HBD))"
Die (einzige) berechnete Lösung ist:
HBD, −F ID, HBW, F IW, −F RW, −F RD
D.h FRW ist falsch, d.h. der Lakai mit dem Froschgesicht hat gelogen
und der Herzbube war der Dieb.
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 46
Das n-Damen Problem
Platziere auf einem n × n Schachbrett
n Damen so, dass keine Dame die andere sofort schlagen kann
Zug- und Schlagmöglichkeiten der Schach-Dame:
oben, unten, rechts, links
diagonal noch rechts oben, links oben, rechts unten, links unten
Jeweils beliebig viele Felder
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 47
Das n-Damen Problem aussagenlogisch
Funktion zum Erzeugen der aussagenlogischen Bedingungen:
Ausgabe im Fall n = 4:
[[1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12],
[13, 14, 15, 16], [1, 5, 9, 13],
[2, 6, 10, 14], [3, 7, 11, 15], [4, 8, 12, 16],
[-1, -5], [-1, -9], [-1, -13],
[-1, -2], [-1, -6], [-1, -3], [-1, -11], [-1, -4], [-1, -16],
[-5, -9], [-5, -13],
[-5, -2], [-5, -6], [-5, -10], [-5, -7], [-5, -15], [-5, -8],
[-9, -13],
[-9, -6], [-9, -10], [-9, -14], [-9, -3], [-9, -11], [-9, -12],
[-13, -10], [-13, -14],
[-13, -7], [-13, -15], [-13, -4], [-13, -16], [-2, -6], [-2, -10],
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 48
[-2, -14],[-2, -3], [-2, -7], [-2, -4], [-2, -12], [-6, -10],
[-6, -14], [-6, -3],
[-6, -7], [-6, -11], [-6, -8], [-6, -16], [-10, -14], [-10, -7],
[-10, -11], [-10, -15],[-10, -4], [-10, -12], [-14, -11],
[-14, -15], [-14, -8], [-14, -16], [-3, -7],
[-3, -11], [-3, -15], [-3, -4], [-3, -8], [-7, -11], [-7, -15],
[-7, -4], [-7,-8],
[-7, -12], [-11, -15], [-11, -8], [-11, -12], [-11, -16], [-15, -12],
[-15, -16], [-4, -8], [-4, -12], [-4, -16], [-8, -12],
[-8, -16], [-12, -16]]
Das n-Damen Problem aussagenlogisch
Das Ergebnis der DP-Prozedur sind zwei Interpretationen:
[[-4, -8, -15, 5, -13, 14, -6, -2, 12, -9, -1, 3, -16, -10, -7, -11],
[-4, 2, 8, -6, -1, 9, -12, -14, -13, -5, 15, -3, -16, -10, -7, -11]]
Zwei mögliche Platzierungen im Fall n = 4:
*DPexamples> dpqueensAlle 4
1.
- D - - D
D
-
D
-
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 50
2.
- D
- D - -
D
D
-
Das n-Damen Problem aussagenlogisch
Der Aufruf dpqueens 8 ergibt nach kurzer Zeit:
D
-
D
-
D
-
D
-
D
-
D
D
-
D
-
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 51
n-Damen Problem, Torus-Variante
Variante: die Bedrohung über die Diagonalen wirken so, also ob das
Brett, oben, unten, rechts, links nochmal einandergeklebt ist.
Keine d-Damen-Torus-Lösung ist:
D
-
D
-
D
-
D
-
D
-
D
D
-
D
-
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 52
n-Damen Problem, Torus-Variante
Polya: es gibt eine Lösung des n-Damen Torus-Problems wenn n ≥ 5
und n teilerfremd zu 6 ist. Lösungen für n = 5, 7, 11, 13, 17, ..
keine Lösungen für n = 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, . . ..
Eine Lösung:
D
-
D
-
D
-
D
D
-
dpqueenscyl n
KI, SS 11, Folien Aussagenlogik , Seite 53