Plasmaphysik II - Kernfusionsforschung ¨Ubung 4 (Besprechung am

Plasmaphysik II - Kernfusionsforschung Übung 4 (Besprechung am 03.06.2016)
Aufgabe 4.1 (Grad-Shafranov Gleichung):
Die Grad-Shafranov Gleichung (GS-Gleichung)
∆∗ ψ = −µ0 (2πR)2
∂p
∂Ipol
− µ20 Ipol
∂ψ
∂ψ
beschreibt das magnetische Gleichgewicht in Anordungen mit toroidaler Symmetrie. Dabei ist
∂
∆ ψ=R
∂R
∗
1 ∂ψ
R ∂R
!
+
∂2ψ
∂z 2
Benutzen Sie
∂ψ
= 2πRBz
∂R
;
∂ψ
= −2πRBR
∂z
;
Bφ =
µ0 Ipol
2πR
und leiten Sie aus dem Kräftegleichgewicht die GS-Gleichung in obiger Form her.
Aufgabe 4.2 (Analytische Lösung der Grad-Shafranov Gleichung):
Die Lösung der GS-Gleichung erfolgt in der Regel numerisch. Für Spezialfälle existieren auch
analytische Lösungen.
∂I
∂p
pol
4.2.1 Zeigen Sie unter der Annahme −µ0 4π 2 ∂ψ
= A1 = const. und µ20 Ipol ∂ψ
= A2 = const.,
dass eine Lösung der GS-Gleichung dargestellt werden kann durch ψ = ψ0 + P (R, z). Dabei
soll ψ0 eine Lösung der Gleichung ∆∗ ψ = 0. Beschränken Sie sich bei der Suche nach einer
Lösung für P (R, z) auf ein möglichst einfaches Polynom in R und z ohne gemischte Terme.
1
(A1 R − AR2 ). (Solovev-Gleichgewicht)
Zeigen Sie außerdem, dass gilt jφ = − 2πµ
0
Vs
Vs
4.2.2 Es sei A1 = 1 m
4 und A2 = −1 m2 . Skizzieren Sie (wenn möglich mit Hilfe eines Computerprogramms) für die Lösung aus 4.2.1 den Verlauf von Linien in der R,z-Ebene (im Bereich
−3 m < z, R < 3m) entlang derer ψ konstant ist für den Fall, dass ψ0 = 0. Da ψ0 die homogene Lösung der GS-Gleichung ist, resultiert es aus den Vakuumfeldern. Verändert sich die
Vs
Topologie der Linien für den Fall, dass ψ0 = −C0 R2 mit C0 = 1 m
2 ? Skizzieren Sie (wenn
möglich mit Hilfe eines Computerprogramms) den Verlauf der Linien! Wie sieht ein Magnetfeld aus, das ein derartiges ψ0 erzeugt?
4.2.3 Betrachten Sie nun wieder die allgemeine GS-Gleichung und nehmen Sie an dass jφ = 0.
Welche Form nimmt die GS-Gleichung demnach an? Wie sieht für diesen Fall der Verlauf von
Linien in der R,z-Ebene aus entlang derer ψ konstant ist?