Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller

Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
Die Einführung
der Zahlenbereiche
aufgrund
spezieller Problemstellungen
Allgemeines
Geschichtliches
Anwendungen

   
PAUL Christina, 0355866
TEUTSCH Elisabeth, 0355470
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
Inhaltsverzeichnis
1. Abstract
2. Introduction
3. Die Zahlenbereiche
3.1. Die natürlichen Zahlen
3.1.1. Allgemeines
3.1.2. Problemstellung
3.1.3. Die Ägypter
3.1.4. Die Römer
3.1.5. Heute
3.1.6. Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl
3.1.7. Rechnen mit natürlichen Zahlen- Übersichtstabelle
3.1.8. Die Erweiterung der natürlichen Zahlen mit der Zahl Null
3.2 Die ganzen Zahlen
3.2.1. Allgemeines
3.2.2. Problemstellung
3.2.3. Namensgebung
3.2.4. Die „ganzen Zahlen“ in Europa
3.2.5. Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl
3.2.6. Rechnen mit ganzen Zahlen- Übersichtstabelle
3.3. Die rationalen Zahlen
3.3.1. Allgemeines
3.3.2. Problemstellung
3.3.3. Die Ägypter
3.3.4. Die Babylonier
3.3.5. Die Römer
3.3.6. Brüche in Europa
3.3.7. Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl
3.3.8. Rechnen mit rationalen Zahlen- Übersichtstabelle
3.4. Die irrationalen Zahlen
3.4.1. Allgemeines
3.4.2. Problemstellung
3.4.3. Beweis √2 ∉
3.4.4. Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl
3.4.5. Berühmte irrationale Zahlen
3.4.5.1.Die Zahl π
3.4.5.2.Die Zahl e, die Eulersche Zahl
3.5. Die reellen Zahlen
3.5.1. Allgemeines
3.5.2. Graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl
3.5.3. Rechnen mit reellen Zahlen- Übersichtstabelle
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
3.6. Die komplexen Zahlen
3.6.1. Allgemeines und Problemstellung
3.6.2. Die graphische Darstellung in der Gauß´schen Zahlenebene
3.6.3. Die Polarform komplexer Zahlen
3.6.4. Die Exponentialform komplexer Zahlen
3.6.5. Rechnen mit komplexen Zahlen
3.6.5.1. Addition komplexer Zahlen in der Komponentenform
3.6.5.2. Subtraktion komplexer Zahlen in der Komponentenform
3.6.5.3. Multiplikation komplexer Zahlen in der Komponentenund Polarform
3.6.5.4. Division komplexer Zahlen in der Komponenten- und
Polarform
3.6.5.5. Potenzieren komplexer Zahlen in der Komponentenund Polarform
3.6.5.6. Radizieren komplexer Zahlen in der Polarform
3.6.6. Anderes Symbol für die imaginäre Einheit in der Technik
3.6.7. Anwendungen
4. Conclusion
5. Literaturverzeichnis
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
1. Abstract
Zahlen sind etwas alltägliches und jedem bekannt.
Sie werden eingeteilt in die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen , die rationalen Zahlen und
die irrationalen Zahlen, zusammengefasst spricht man von den reellen Zahlen. Ein weiterer
Zahlenbereich, der jedoch nicht zu den reellen Zahlen zählt, ist der Bereich der imaginären,
der komplexen Zahlen.
Im Folgenden wird die Notwendigkeit dieser Zahlenbereiche besprochen und Gründe für die
Erweiterung des Reiches der Zahlen erläutert.
2. Introduction
Die natürlichen Zahlen, die wir zum Zählen verwenden, reichen völlig aus, um einfache
positive ganzzahlige Größen zu addieren, das Ergebnis ist ebenfalls eine natürliche Zahl.
Neben der Addition ist auch die Multiplikation als Rechenverfahren möglich, die wieder eine
positive ganzzahlige Lösung ergibt.
Die Subtraktion und Division hingegen zwingen uns, manchmal über die natürlichen Zahlen
hinauszugehen. Um Antwort auf gewisse Aufgabenstellungen zu erhalten, sind negative
Zahlen und Brüche notwendig. Das Verlangen nach Vollständigkeit war Auslöser der
Erfindung negativer Zahlen. Zunächst wehrten sich einige Mathematiker gegen die negativen
Zahlen, die sie als „sinnlos“ oder „fiktiv“ bezeichneten.
Das Reich der Zahlen musste wieder vergrößert werden, als die Griechen versuchten, den
genauen Bruch der Quadratwurzel von zwei zu ermitteln. Die irrationalen Zahlen als neue
Zahlenart war unerlässlich.
Alle Zahlen im Universum schienen somit entdeckt. All diese Zahlen konnten auf der
Zahlengerade aufgelistet werden und ließen keinen Platz für andere.
Rafaello Bombelli stieß bei seinen Untersuchungen zur Quadratwurzel jedoch auf eine nicht
zu beantwortende Frage. Das Lösen der Quadratwurzel von minus eins schien unlösbar. Er
führte i als imaginäre Zahl ein.
Demnach muss es auch 2i geben, also existieren imaginäre natürliche Zahlen, imaginäre
ganze Zahlen, imaginäre Brüche und imaginäre irrationale Zahlen.
Die imaginären Zahlen scheinen das letzte Element zu sein, das nötig ist, um die Mathematik
zu vervollständigen.
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
3. Die Zahlenbereiche
3.1. Die Natürlichen Zahlen, 
3.1.1. Allgemeines
Unsere ersten Vorstellungen von Zahl und Form reichen bis in die ältere Steinzeit zurück, wo
Menschen in Höhlen wohnten, unter nicht wesentlich anderen Bedingungen als Tiere. In der
jüngeren Steinzeit gab es große Fortschritte im Verständnis für Zahlen. Zwischen Dörfern
entstand Handel , was zur Ausbildung der Sprache und zu einfachen Zahlenausdrücken führte.
Anfangs wollte man nur zwischen eins, zwei und viele unterscheiden.
3.1.2. Problemstellung
Unsere Vorfahren hatten das Bedürfnis verschiedene Mengen von Dingen miteinander zu
vergleichen, um herauszufinden, welche Menge mehr Bestandteile enthält. Dies kann man
durch Abzählen der Menge erreichen, oder durch Zuordnen. Man setzt einen Mann auf ein
Pferd und schaut, ob ein Mann oder ein Pferd über bleibt. Die Menge, von der ein oder mehr
Elemente überbleiben, ist dann die größere.
Ein zweites Bedürfnis bestand darin, Ordnungen innerhalb einer Menge zu schaffen. So
konnte festgelegt werden, wer bei der Jagd an 1., 2., 3, ... Stelle ritt. (z.B.: nach Alter
geordnet)
So entwickelten sich Kardinal- und Ordinalzahlen, die die beiden Aspekte der natürlichen
Zahlen bilden. Häufig rechnet man auch die Null dazu.
Auch konnten bereits einfache Gleichungen gelöst werden, wie zum Beispiel:
4x + 7x = 11x
5x = 15
3.1.3. Die Ägypter
Die Ägypter verwendeten ein dekadisches Zahlensystem (dekadische Stufen: 1, 10, 100,
1000,...) mit dem sie durch Aneinanderreihung der einzelnen Zeichen die natürlichen Zahlen
darstellen konnten.
Beispiel:
|
=1
∪
= 10
Die Zahl 23: ∪∪ |||
3.1.4. Die Römer
Die Römer verwendeten als Grundzeichen :
I
=1
X
= 10
C
= 100
M
= 1000
Und als Hilfszeichen:
V
=5
L
= 50
D
= 500
Steht das Zeichen einer kleineren Zahl links, wird subtrahiert, ansonsten addiert.
Beispiel:
Neun : IX (10-1) oder
VIIII (5+4)
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Nachteil des Additionssystem ist, dass die Zahlzeichen sehr lang werden können und daher
unübersichtlich.
Über den Ursprung der Zeichen besteht keine Klarheit. M für 1000, zum Beispiel, wird seit
dem Mittelalter verwendet.
3.1.5. Heute
Heute verwenden wir ein System, das auf die Inder zurückgeht. Man spricht von einem
dekadischen Positionssystem, auch Dezimalsystem. Um 800 u. Z. wurde die Null auch von
den Indern eingeführt.
3.1.6. Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl
3.1.7. Rechnen mit natürlichen Zahlen- Übersichtstabelle
A, B ∈ 
Rechenart
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Potenzieren
Radizieren
A+B
A–B
A*B
A/B
AB
B
√A
Bedingung
Keine
B<A
Keine
∃ C ∈ : C*B = A
Keine
falls B gerade, A > 0
∃ x ∈ : xB = A
möglich
3+5
5–3
2*6
8/4
23
√9
Nicht möglich
10 - 15
8/3
√12
3.1.8. Die Erweiterung der natürlichen Zahlen mit der Zahl Null, 0
Manchmal werden die natürlichen Zahlen mit der Zahl Null erweitert. Diese Erweiterung
muss aber explizit angegeben sein, denn die natürlichen Zahlen erhalten die Null normal
nicht. Gekennzeichnet wird diese Erweiterung zum Beispiel mit einem eigenen Symbol
3.2. Die Ganzen Zahlen,
3.2.1. Allgemeines
In der Realität kommt man in gewissen Gebieten mit den natürlichen Zahlen nicht aus. So
muss zum Beispiel angegeben werden, ob eine Temperatur oberhalb oder unterhalb des
Gefrierpunktes gemessen worden ist.
3.2.2. Problemstellung
Die Hindus stellten fest, dass 5 minus 3 offensichtlich 2 ergab, 3 minus 5 jedoch nicht so
einfach zu lösen war. Die Antwort lag jenseits der natürlichen Zahlen und so wurden die
negativen Zahlen eingeführt.
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Ansätze der Verwendung negativer Zahlen finden sich bei dem spätgriechischen
Mathematiker Diophant (um 250 u.Z.). Bei den Indern (um 700 u.Z.) war das Rechnen mit
negativen Zahlen voll entwickelt.
Gleichungen dieser Art konnten gelöst werden:
3x – 7x = -4x, -7x = 21
3.2.3. Namensgebung
Die Bezeichnungen positiv und negativ kommen von den Wörtern für Guthaben und
Schulden.
3.2.4. Die ganzen Zahlen in Europa
Der Grund dafür, dass negative Zahlen in Europa erst sehr spät eingebürgert wurden, liegt
vermutlich darin, dass sie von den Arabern, die die mathematische Brücke zwischen Indien
und Europa waren, abgelehnt wurden.
Endgültig aufgenommen in die Mathematik wurden sie durch Hermann Hankel (1839-1873).
3.2.5. Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl
3.2.6. Rechnen mit ganzen Zahlen- Übersichtstabelle
A, B ∈ 
Rechenart
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Potenzieren
Radizieren
Symbol
A+B
A–B
A*B
A/B
AB
B
√A
Bedingung
Keine
Keine
Keine
∃ C ∈ : C*B = A
Keine
∃ x ∈ : xB = A
falls B gerade: A > 0
Möglich
-3 + 5
10 – 15
2 * 6, -2 * 5
-4/2
23, 2-3, -46
√16, 3√-27
Nicht möglich
8/3
√12, √-9
3.3. Die Rationalen Zahlen, 
3.3.1. Allgemeines
Die Lehre von den Brüchen, so wie wir sie kennen, kam von Indien ( um 600 u.Z.) über die
Araber und italienischen Kaufleute zu uns.
3.3.2. Problemstellung
Die Erweiterung der natürlichen Zahlen mit den negativen Zahlen war ein Fortschritt
gewesen, doch auch in dem Bereich der ganzen Zahlen stieß man schnell auf Grenzen.
Denn nicht immer führen Berechnungen mit ganzen Zahlen wieder auf ganze Zahlen. Zum
Beispiel führt die Gleichung 2x = 5 niemals zu einem x- Wert aus den ganzen Zahlen.
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
Aus diesem Grunde führte man die rationalen Zahlen ein. Rationale Zahlen sind Brüche mit
endlich vielen Kommastellen, wie zum Beispiel ½, ¼, ¾ usw.
Nach Einführung der rationalen Zahlen konnten Aufgaben wie diese gelöst werden:
¾ x + 0,7x = , √9/3 =
3.3.3. Die Ägypter
Die Ägypter kannten nur Stammbrüche, die sich aus obig erwähnten Zeichen
zusammensetzen.
Alle anderen Brüche wurden als Summe von Stammbrüchen dargestellt, was oft sehr
umständlich war.
3.3.4. Die Babylonier
Die Babylonier verwendeten als Grundzahl 60, hergeleitet von der Zeit- und Winkelteilung
und stellten Brüche als Vielfache von 1/60 dar.
3.3.5. Die Römer
Die Römer stellten nur Brüche mit dem Nenner 12 dar. Der römische Name für 1/12 ist
Uncia, ein Wort, das später zum Gewichtmaß Unze (1 Unze entspricht 28,4 Gramm) wurde.
3.3.6. Brüche in Europa
In Europa wurden Brüche erst im Mittelalter bekannt. Zum Unterrichtsgegenstand in Schulen
wurden sie erst um etwa 1700, wo jedoch auch nur das Allernötigste ohne Begründung gelehrt
wurde.
Als Begründer der Lehre von den Dezimalbrüchen gilt der holländische Kaufmann und
Ingenieur Simon Stevin (1548-1620). Allerdings hatte er auch Vorläufer wie etwa Johannes
Regio-Montaus (1436-1476) und Francois Vieta Viéte (1540-1603).
3.3.7. Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl
3.3.8. Rechnen mit rationalen Zahlen- Übersichtstabelle
A, B ∈ 
Rechenart
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Potenzieren
Radizieren
A+B
A–B
A*B
A/B
AB
B
√A
Bedingung
Keine
Keine
Keine
∃ C ∈ : C*B = A
Keine
∃ x ∈ : xB = A
Falls B gerade: A > 0
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Möglich
2,3 + 5,6
1,7 – 3,4
1* 9,87
3,4 / 0,5
(-1,17)3,45
√12
Nicht möglich
U/d bei Kreis
√2, √-25
Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
3.4. Die Irrationalen Zahlen
3.4.1. Allgemeines
Die Entdeckung der irrationalen Zahlen gelang wahrscheinlich den pythagoreischen
Mathematikern um die Mitte des fünften Jahrhunderts. Hippasos veröffentlichte die
Konstruktion der „aus fünf Fünfecken zusammengesetzten Kugel“ und die Entdeckung des
Irrationalen. Die Geometrie forderte das Gebiet der rationalen Zahlen durch die irrationalen
Zahlen zu erweitern. Ihre bloße Vorstellung war Pythagoras zuwider, er lehnte sie ab. Ihre
Existenz widerlegt die Ideologie, alles in der Welt lasse sich durch natürliche Zahlen
ausdrücken. Er legte seinen Schülern nahe, „die Existenz dieser mathematischen Monster“ zu
verheimlichen.
3.4.2. Problemstellung
Betrachtet man die „einfachsten“ Brüche, die es gibt, wie zum Beispiel 1/2,1/3 und 1/4, wird
man erkennen, dass 1/3 unendlich viele Kommastellen hat. Das heißt, man kann die Zahl 1/3
nie exakt mit all ihren Kommastellen anschreiben. Will man die Zahl allerdings nicht als
Bruch anschreiben, schreibt man: 0,3°. Das Symbol ° über der Zahl 3 bedeutet „3 periodisch“,
das heißt, der 3 folgen unendlich viele mehr. Unendlich viele Nachkommastellen machen
allerdings nicht automatisch irrationale Zahl aus. Irrational ist eine Zahl dann, wenn die
unendlich viele Nachkommastellen in keiner Form periodisch sind.
Ein Beispiel für eine irrationale Zahl ist √2.
Mit der Durchsetzung einer strengen Beweisführung zur Zeit Karl Friedrich Gauß (17751855), Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) und Niels Abel (1802-1829) sah man die
irrationalen Zahlen als etwas Selbstverständliches.
Euklid wagte sich daran, zu beweisen, dass √2 nicht als Bruch darstellbar ist.
3.4.3. Beweis √2 ∉
Da er den Widerspruchsbeweis verwendete, ging er zunächst davon aus, das Gegenteil sei
wahr, nämlich dass √2 als noch unbekannter Bruch geschrieben werden könne. Dieser
p
dargestellt, wobei p und q ganze Zahlen
hypothetische Bruch wird durch den Ausdruck
q
sind.
2=
p
q
p2
2= 2
q
2 ⋅ q2 = p2
2 ⋅ q 2 = (2 ⋅ m) 2 = 4m 2
q 2 = 2m 2
(2n) 2 = 4n 2 = 2m 2
p 2⋅m m
2= =
=
q 2⋅n n
1. Schritt: Quadrieren beider Seiten
2. Schritt: umformen (bruchfrei machen)
Bemerkung: p² muss gerade sein, denn eine beliebige Zahl mit
zwei multipliziert ist immer gerade; demnach ist auch p gerade
3. Schritt: für p 2m einsetzen, ausquadrieren (m∈)
4. Schritt: durch 2 dividieren
Bemerkung: q² muss gerade sein, denn eine beliebige Zahl mit
zwei multipliziert ist immer gerade
5. Schritt: für q kann nun 2n eingesetzt werden (n∈)
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
Wir haben nun einen Bruch, der einfacher ist, als
m
p
. Das selbe Verfahren angewendet auf
q
n
g
, und so weiter, ohne Ende.
h
Brüche können nicht unendlich oft vereinfacht werden, deshalb ist die Folge ein Widerspruch
und √2 ist eine irrationale Zahl.
ergibt einen neuen Bruch
Die Lösung der Gleichung x2 = 2 ist also nur in den irrationalen Zahlen möglich, genauso wie
alle Gleichungen, die über mehrere Rechenschritte zu dieser Form führen, wie zum Beispiel
die quadratische Gleichung ½ x2 + 4x + 7 = 0.
Nach Einsetzen in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen kommt man zu dem
Ergebnis 1x2 = - 4 ± √2, und sieht sofort, dass es nur in den irrationalen Zahlen eine Lösung
gibt.
3.4.4. Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl
3.4.5. Berühmte irrationale Zahlen
Zwei „berühmte“ irrationale Zahlen sind π und e.
3.4.5.1. Die Zahl π
π gibt das Verhältnis zwischen dem Umfang U und dem Durchmesser d in einem Kreis an.
U = π*d
Werte für π
Ca. 1500 v. Chr.
Ca. 300 v.Chr.
Ca. 400 n. Chr.
Ca. 1400 n. Chr.
Ca. 1700 n. Chr.
Ca. 1800 n. Chr.
Im Jahre 1999
3,1605 (16/9)
3,1428 (22/7)
3,141593 (355/113)
Erstmals Berechnung von 14 Nachkommastellen
Leonhard Euler: berechnete innerhalb einer Stunde 20
Nachkommastellen
Johann Dase verwendete 2 Monate seines Lebens, um 200
Nachkommastellen zu berechnen
206.158.430.000 Stellen
Doch was bedeuten schon Milliarden angesichts der Unendlichkeit
π mit seinem ersten 100 Nachkommastellen
Pi = 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944
5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
3.4.5.2. Die Zahl e, die Eulersche Zahl:
Die nach Leonhard Euler benannte Zahl e ist die Basis der sogenannten natürlichen
Logarithmen.
e ist das Ergebnis eines Grenzübergangs. Die beiden bekanntesten Darstellungen dieser Zahl
lauten:
e = lim (1 + 1/n)n
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ......+ 1/n!
(n∈)
e = 2,71828182459.....
3.5. Die reellen Zahlen,
3.5.1. Allgemeines
Die reellen Zahlen sind eine Zusammenfassung aller bis jetzt erwähnten Zahlenbereiche.
Bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts hat es gedauert, bis die Mathematiker präzise mit reellen
Zahlen arbeiten konnten.
3.5.2. Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl
Der Zahlenstrahl hat nun keine Lücken mehr!
3.5.3. Rechnen mit reellen Zahlen- Übersichtstabelle
A, B ∈ 
Rechenart
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Potenzieren
Radizieren
A+B
A–B
A*B
A/B
AB
B
√A
Bedingung
Keine
Keine
Keine
Keine
Keine
∃ x ∈ : xB = A
Falls B gerade: A > 0
Möglich
3
√-27, √2
Nicht möglich
√-16
3.6. Die Komplexen Zahlen,
3.6.1. Allgemeines und Problemstellung
Wie bereits in den vorigen Kapiteln erläutert, gibt es quadratische Gleichungen der Form
ax2 + bx + c = 0, die in  lösbar sind.
Doch gibt es auch Gleichungen, die in den reellen Zahlen nicht lösbar sein können, wie z.B.
x2 = -1, denn die Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ. Die Menge der reellen Zahlen
reicht also nicht aus, alle Gleichungen der Form ax2 + bx + c = 0 zu lösen.
Die komplexen Zahlen haben ihren Ursprung also in der Forderung, den Quadratwurzeln aus
negativen Zahlen etwas zuzuordnen, also Zahlen anzugeben, deren Quadrate negativ sind.
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
Zu diesem Zweck führte Leonhard Euler eine neue Zahl ein: i. Diese Zahl sollte die Lösung
der Gleichung x2 = -1 sein. i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Multipliziert man diese imaginäre Einheit mit einer reellen Zahl b, so entsteht eine neue Art
von Zahlen. Zahlen der Form ib nennt man die imaginären Zahlen.
Wird eine imaginäre Zahl ib mit einer reellen Zahl a addiert, so erhält man eine komplexe
Zahl
a + ib.
Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Komponentenform z = a + ib (a,b ∈) darstellen.
Dabei heißt a der Realteil von z und b der Imaginärteil von z.
Man schreibt Re{z} = a und Im{z} = b.
Zwei komplexe Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen ihrer Imaginärteile unterscheiden,
nennt man konjugiert komplexe Zahlen.
Es gilt:
z = a + ib (a;b)
z* = a - ib (a;-b)
3.6.2 Die graphische Darstellung in der Gauß´schen Ebene
Die komplexen Zahlen haben jedoch den Nachteil, dass sie auf den ersten Blick nicht
anschaulich dargestellt werden können.
Der Zahlenstrahl, mit dem die Zahlenbereiche der vorigen Kapitel dargestellt werden, reicht
zur Darstellung nicht aus.
Der Erste, der eine gute Möglichkeit für die graphische Darstellung der komplexen Zahlen
sah, war Karl Friedrich Gauß. Er führte die graphische Darstellung der komplexen Zahlen als
Vektoren in der Ebene ein. Nach ihm benannt ist die Gauß´sche Zahlenebene, die bis heute
der Darstellung dient.
Dabei wird der bisher bekannte Zahlenstrahl um eine Achse erweitert, die imaginäre Achse.
Die Gauß´sche Zahlenebene
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
Einige Beispiele:
z1 = 3
z2 = i
z3 = 2 + i*2
z4 = 4 – i*2
z5 = -2 + i*3
z6 = -3 – i*4
Im
z5
z3
z2
z1
Re
z4
z6
3.6.3 Die Polarform komplexer Zahlen
Neben der Komponentenform gibt es eine weitere Vorschrift zum Beschreiben komplexer
Zahlen.
Im
r
ϕ
z
r
ϕ
Betrag der komplexen Zahl z; r =|z|
Argument der komplexen Zahl z;
ϕ = arg z
b
Re
a
Hierbei gelten folgende Zusammenhänge:
r = √a2 +b2
ϕ = arctan a/b
z = a + ib = r* cos ϕ + i* r* sin ϕ = (ϕ ; r)
Beispiel:
z = 4 +i*3
in Polarform:
r = √42 + 32 = 5
ϕ = acrtan ¾ = 26,87°
z = 4 + i*3 = 5*(cos 36,87° + i* sin 36,87°) = (36,87°; 5)
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
3.6.4. Die Exponentialform komplexer Zahlen
Neben der Komponentenform und der Polarform gibt es noch eine dritte Darstellungsform für
komplexe Zahlen.
Eulersche Formel: cos ϕ + i* sin ϕ = e iϕ
Aus diesem Grund lässt sich jede Zahl z = a+ ib = r(cos ϕ + i* sin ϕ) ≠ 0 in der
Exponentialform darstellen:
z = r* eiϕ
Ein Beispiel:
z = -2 – i*3
In Polarform:
z = 3,61 (cos 236,31° + i* sin 236,31°)
In Exponentialform:
z = 3,61*e4,1244 (Exponent in Radianten)
3.6.5. Rechnen mit komplexen Zahlen
A, B ∈ 
Rechenart
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Potenzieren
Radizieren
Symbol
A+B
A–B
A*B
A/B
AB
B
√A
Bedingung
Keine
Keine
Keine
Keine
Keine
Keine
Möglich
Nicht möglich
2 + i*3 + i*4
2–17+ i*3 – i*2
2*(3+i*5)
17/i*3
(2+ i*4)3
√-25, √-16, √i*3
Im folgenden Kapitel wird immer der einfachste Lösungsweg erklärt! Die komplexe Zahl
wird in der Form (Komponenten-, Exponential- oder Polarform, oder auch in zwei
verschiedenen) dargestellt, in der es am einfachsten ist, die Aufgabe zu lösen.
3.6.5.1. Addition komplexer Zahlen in der Komponentenform
z1 = a + ib, z2 = c + id
z = z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) = (a+c) + (ib+id)
Die Realteile werden addiert und die Imaginärteile werden addiert.
Beispiel:
z1 = 2 + i3, z2 = 1 + i2
z = (2 + i3)+( 1 + i2) = (2+1)+(i3+i2) = 3 + i5
3.6.5.2. Subtraktion komplexer Zahlen in der Komponentenform
z1 = a + ib, z2 = c + id
z = z1 - z2 = (a + ib) - (c + id) = (a-c) + (ib-id)
Die Realteile werden subtrahiert und die Imaginärteile werden subtrahiert.
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
Beispiel:
z1 = 4 + i2, z2 = 3 + i3
z = z1 - z2 = (4 + i2)-( 3 + i3) = (4-3)+(i2-i3) = 1 – i
3.6.5.3. Multiplikation komplexer Zahlen in der Komponenten- und Polarform
In Komponentenform:
z1 = a + ib, z2 = c + id
z = z1 * z2 = (a + ib) * (c + id) = a*c + a*id + c*ib + i2*b*d
Die Klammern werden ausmultipliziert und soweit vereinfacht wie möglich.
Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen wird es vorkommen, dass die Hilfszahl i nicht
nur in der ersten Potenz auftritt.
i0
i1
i2
i3
i4
i5
1
i
-1
-i
1
i
Beispiel
z1 = 2 + i2, z2 = 1 + i3
z = z1 * z2 = (2+i2) * (1+i3)= 2 + 2*i3 + i2+ i2*2*3 = 2 + i8 -6 = -4 +i8
In der Polarform:
z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ 2)
z = z1*z2 = (ϕ1 + ϕ2; r1*r2)
z1 = 1,2(cos 40° + i sin 40°), z2 = 0,8(cos 20° + i sin 20°)
z = z1*z2 = (40°+20°; 0,8*1,2) = (60°; 0,96)
3.6.5.4. Division komplexer Zahlen in der Komponenten- und Polarform
In der Komponentenform:
z1 = a + ib
z2 = c + id
z = (a + ib) = (a + ib) * (c - id)
(c + id) (c + id) * (c - id)
Der Nenner wird mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert, um ihn reell zu machen. Daher
muss natürlich auch der Zähler erweitert werden. Anschließend wird der Bruch soweit wie
möglich berechnet und vereinfacht.
Beispiel
z1 = 1+i, z2 = 1+i2
z = z1 = (1+i) = (1+i) *(1-i2) = (1+i2+i+i22) = (-1 +i3)
(1-4)
-3
z2 (1+i2) (1+i2)*(1-i2)
In der Polarform:
z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ 2)
z = z1 = (ϕ1 - ϕ2; r1 )
z2
r2
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
z1 = 1,2(cos 40° + i sin 40°), z2 = 0,8(cos 20° + i sin 20°)
z = z1 = (40°- 20°; 0,8) = (20°; 0,66)
z2
1,2
3.6.5.5. Potenzieren komplexer Zahlen in der Komponenten- und Polarform
In der Komponentenform:
z1 = (a +ib)
z = z1 2
Die binomische Formel wird angewandt.
Beispiel
z1 = (2+i3)
z = (2+i3)2 = 4 + 2*2*i3 + i29 = -5 + i12
In der Polarform:
z = (ϕ;r)
zn = (ϕ;r)n = (n*ϕ; rn)
Beispiel:
z = (20°; 5)
z2 = (2*20°; 52) = (40°; 25)
3.6.5.6. Radizieren komplexer Zahlen in der Polarform
z = (ϕ;r)
n
√z = (ϕ/n ; n√r)
Die so gefundene Lösung nennt man Hauptwert.
Die n-te Wurzel besitzt in C aber immer n Lösungen.
Die k-te Lösung ergibt sich durch: (ϕ/n + k*(360°/n); n√r)
Beispiel:
z = (60°, 8)
3
√z = ?
z0 = (20°, 2)
z1 = (20° + 1*(360°/3);2) = (140°;2)
z2 = (20° + 2*(360°/3);2) = (260°;2)
3.6.6. Anderes Symbol für die imaginäre Einheit in der Technik
In der Technik wird normalerweise statt einem i ein j für die imaginäre Einheit verwendet, da
zum Beispiel in der Elektrotechnik das i für den zeitabhängigen Strom steht. Mit der
Umbenennung sollen Verwechselungen und Unklarheiten vermieden werden.
2 + j3 entspricht 2 + i*3
3.6.7. Anwendungen
Die komplexen Zahlen finden vor allem Anwendung in der Elektrotechnik, zum Beispiel
werden sie bei der Berechnung von Widerstandsnetzwerken (Zusammenschaltung mehrerer
elektrischer Widerstände) gebraucht..
Sei zum Beispiel ein Widerstandsnetzwerk und die Eingangsspannung gegeben; zu berechnen
ist der Gesamtwiderstand der Schaltung und der Strom.
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Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
Das Ohmsche Gesetz
Liegt an einem Verbraucher(Widerstand) eine bestimmte Spannung an, so fließt ein gewisser
Strom.
Strom I
Spannung U
Widerstand R
Das Ohmsche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Spannung, dem Strom und
einem Widerstand, U = R*I
Enthält eine Schaltung nun mehrere Widerstände, muss der Gesamtwiderstand berechnet
werden.
In der Elektrotechnik gibt es verschiedene elektrische Widerstände. Manche haben nur einen
reellen Anteil, manche haben nur einen komplexen Anteil.
Ohmscher Widerstand:
Z=R
R
Induktiver Widerstand:
Kapazitiver Widerstand:
f
ω
L
Z = jωL
C
Z=
1
j ωC
ω = 2πf
Frequenz der Spannung bzw. des Stroms( in Österreich f = 50Hz)
Kreisfrequenz
Darstellung eines komplexen Widerstands z:
Im
Im
ωL
z
R
Re
ϕ
X
R
1/ωC
R
X
ϕ
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Wirkkomponente
Blindkomponente
Phasenwinkel
Re
Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
Beispiel für die graphische Darstellung und exakte Berechnung eines Gesamtwiderstandes bei
Serienschaltung. Durch die graphische Darstellung ist sehr leicht ersichtlich, wie gerechnet
werden muss(Pythagoras)
R
Im
Z = R + jωL
|Z|= √R2+(ωL)2
ϕ = arctan ωL
R
L
ωL
Re
R
R
Im
Z=R+1
jωC
|Z|= √R2+( 1 )2
ωC
1
ϕ = arctan ωCR
C
Re
R
1 /ωC
R
Im
ωL
L
1 /ωC
ωL – 1/ωC
C
Re
R
Z = R + jωL + 1
jωC
|Z| = √R + (ωL - 1 )
ωC
2
2
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1
ϕ = arctan ωL - ωC
R
Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen
4. Conclusion
Bereits in der älteren Steinzeit hatten die Menschen eine Vorstellung von Zahl und Form. Die
Erweiterung zu den natürlichen Zahlen ermöglichte die Lösung der Gleichung 3x=9 und
ähnliche.
Bei der Subtraktion zweier natürlichen Zahlen, wobei der Subtrahend größer ist, als der
Minuend, ergibt sich ein Problem, zu dessen Lösung eine Erweiterung der natürlichen Zahlen
zu den ganzen Zahlen notwendig ist. Die Gleichung –3x=9 kann somit gelöst werden.
Schon bald reichten aber auch die ganzen Zahlen nicht mehr aus und die rationalen Zahlen
wurden eingeführt. Aufgaben wie zum Beispiel √9/3 sind lösbar.
In der Geometrie stieß man auf die Notwendigkeit der Dezimalschreibweise mit unendlich
vielen Nachkommastellen. Konkrete Beweise nahmen immer mehr Bedeutung an und so
konnte mathematisch exakt bewiesen werden, dass √2 als Beispiel, nicht als Bruch darstellbar
ist, und daher irrational sein muss. Die Gleichung x²=2 hat somit eine irrationale Lösung.
Damit auch die Gleichung x² = -1 lösbar ist, wurde das Symbol `i´ der komplexen Zahlen
eingeführt. Vor allem die Elektrotechnik ist ein wichtiges Anwendungsgebiet der komplexen
Zahlen.
5. Literaturverzeichnis
Mathematik in Antike und Orient
Abriß der Geschichte der Mathematik
„Die Pythagoreer auf dem Weg zum exakten Denken“
(Diplomarbeit)
Fermats letzter Satz
Grosse Augenblicke aus der Geschichte der Mathematik
Irrationalzahlen
Kleine Enzyklopädie- Mathematik
Basiswissen Elektrotechnik
Mathematikskriptum HTL Braunau, Jahrgang2
Helmuth Gericke
Dirk J. Struik
Sandra Rieger
Simon Singh
Róbert Freud (Hrsg.)
Prof. Dr. Oskar Perron
Fleischmann, Dieter
www.amhorizontdersonne.de/KolumneMathematik.htm
www.members.tripod.com/sfabel/mathemaik/kulturen_griechen.html
www.groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Prime_numbers.html
www.mathematik-wissen.de/natuerliche_zahlen.htm
http://pi314.at/math/100000digits.html
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