Der Goldene Schnitt - Hochschule Darmstadt
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Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Der Goldene Schnitt Dario Jotanovic Mathematisches Proseminar Implementierung mathematischer Algorithmen Hochschule Darmstadt 19. Dezember 2013 Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Inhaltsangabe 1 2 3 4 5 6 Geschichte Grundlagen Teilung im goldenen Schnitt und Φ Charakteristische Eigenschaften von Φ Fibonacci-Zahlen Φ und Fibonacci Lucas-Folge Binet-Formel (MATLAB) Fibonacci-Quotient und weitere Darstellungen von Φ (C++) Geometrischer Trugschluß Anwendung Kunst Architektur Natur Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Bekannt seit der Antike Lat. Übersetzung: proportio habens medium et duo extrema Kepler: Teilung im äußeren und mittleren Verhältnis Pacioli: 16. Jhd. divina proportio (göttliche Verhältnis) 19. Jhd. Goldener Schnitt oder Goldenes Verhältnis [1] Abbildung : Euklid von Alexandria, ca.3.Jahrhundert v.Chr. gelebt, griech.Mathematiker [2] Abbildung : Johannes Kepler,15711630, deut.Mathematiker [3] Abbildung : Luca Pacioli, 1445-1517, ita. Mathematiker Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Das zweite Buch der Elemente; 11. Satz; von Euklid: Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. [4] Abbildung : Buch der Elemente, zwischen ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr. Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Teilung im goldenen Schnitt und Φ Definition (Der goldene Schnitt) Sei AB eine Strecke. Der Punkt P teilt AB im sog. goldenen Schnitt, falls die größere Teilstrecke zur kleineren Teilstrecke so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil. Phi Φ Φ= √ (1+ 5) 2 ≈ 1, 6180339887498948482045... Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Charakteristische Eigenschaften von Φ 1 Φ2 = Φ + 1 2 1 Φ 3 = Φ−1 = √ Φ + Φ1 = 5 √ 5−1 2 Anwendung Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Φ und Fibonacci bei Google [5] Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Φ und Fibonacci Wir betrachten folgende Zahlenfolgen: un = Φ n vn = (− Φ1 )n Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß un = Φn un+2 = Φn+2 = Φn ∗ Φ2 = Φn ∗ (Φ + 1) = Φn+1 + Φn = un+1 + un Anwendung Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung vn = (− Φ1 )n 1 vn+2 = (− )n+2 Φ 1 1 = (− )n ∗ (− )2 Φ Φ 1 n 1 2 = (− ) ∗ ( ) Φ Φ 1 n 1 = (− ) ∗ [1 − ] Φ Φ 1 n 1 = (− ) + (−1)n+1 ∗ ( )n+1 Φ Φ 1 n 1 n+1 = (− ) + (− ) Φ Φ = vn + vn+1 Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Lucas-Folge Definition (Lucas-Folge) Eine Folge a1 ,a2 ,a3 , ... reeller Zahlen heißt eine Lucas-Folge, falls für alle n ≥ 1 gilt an+2 = an+1 + an Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Lucas-Folge Hilfssatz (Lucas-Folge) Für jede Lucas-Folge (a1 , a2 , ...) und für jede natürliche Zahl k ≥ 2 gilt ak+1 = fk ∗ a2 + fk−1 ∗ a1 Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Spezielle Lucas-Folgen Wir betrachten folgende spezielle Lucas-Folgen: (u1 , u2 , ...) = (Φ, Φ2 , ...) (v1 , v2 , ...) = (− Φ1 , ( Φ1 )2 , ...) Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung (u1 , u2 , ...) = (Φ, Φ2 , ...) Φn = un = fn−1 ∗ u2 + fn−2 ∗ u1 = fn−1 ∗ Φ2 + fn−2 ∗ Φ = fn−1 ∗ (Φ + 1) + fn−2 ∗ Φ = (fn−1 + fn−2 ) ∗ Φ + fn−1 = fn ∗ Φ + fn−1 Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung (v1 , v2 , ...) = (− Φ1 , ( Φ1 )2 , ...) 1 (− )n = vn Φ = fn−1 ∗ v2 + fn−2 ∗ v1 fn−1 fn−2 = 2 − Φ Φ = fn−1 ∗ (2 − Φ) − fn−2 ∗ (Φ − 1) = fn−1 − (fn−1 + fn−2 ) ∗ (Φ − 1) = fn−1 − (Φ − 1) ∗ fn fn = fn−1 − Φ Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Binet-Formel Satz (Binet-Formel) Für alle natürlichen Zahlen n gilt fn = [Φn −(− Φ1 )n ] √ 5 √ = ( 1+2 √ 5 n ) −( 1−2 5 )n √ 5 Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Bemerkungen zur Binet-Formel 1 2 3 De Moivre (franz. Mathematiker,1667-1754) entdeckt vor Binet (franz. Mathematiker,1786-1856) die Formel. Jede natürliche Zahl n führt zu einem ganzzahligen Ergebnis Binet-Formel nutzen, um die Fibonacci-Zahlen asymptotisch zu bestimmen [6] Abbildung : Abraham de Moivre [7] Abbildung : Jacques Binet Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Fibonacci-Quotient fn 1 1 2 3 5 8 13 21 fn+1 1 2 3 5 8 13 21 34 fn+1 fn 1.0 2.0 1.5 1.6666... 1.6 1.625 1.6153... 1.6190... Anwendung Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Weitere Darstellungen von Φ s 1 Φ=1+ 1+ Φ= 1 1+ 1 ... r 1+ q 1+ 1+ √ 1 + ... Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Funktionswerte 2 Fibonacci−Quotient Kettenbruch Kettenwurzel 1.9 1.8 1.7 Wert 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0 5 10 Iterationsschritte 15 Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Genauigkeit der Nachkommastellen Anwendung Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Genauigkeit der Nachkommastellen 0 Fibonacci−Quotient Kettenbruch Kettenwurzel −2 Genauigkeit der Nachkommastellen −4 −6 −8 −10 −12 −14 −16 −18 0 10 20 30 40 50 Iterationsschritte 60 70 80 90 100 Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Weitere Darstellungen von Φ π Φ = 2 ∗ cos( ) 5 π π = 2 ∗ sin( + ) 5 2 7π = 2 ∗ sin( ) 10 3π = 2 ∗ sin( ) 10 Anwendung Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Geometrischer Trugschluß 5 8 8 A B C 5 C D 13 8 B A D 21 Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Kunst [8] Abbildung : Mona Lisa, 1503 - 1506, Leonardo Da Vinci, 1452-1519 Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Architecktur [9] Abbildung : Rathaus Leipzig Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Natur [10] Abbildung : Ein Pferd, m=kleine Teilstrecke, M=große Teilstrecke Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Den goldenen Schnitt findet man fast überall Verwandte Themen: Das goldene Rechteck Der goldene Winkel (Ψ ≈ 137,5◦ ) Die goldene Spirale √ Siberner Schnitt ( 2a+b = ba ≈ 1 + 2) a Effizientere Darstellungen für Φ? Was wird als nächstes entdeckt? Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Danke für eure Aufmerksamkeit !!! Anwendung Fazit und Ausblick Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Quellenangaben Bilder: [1] Euklid - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euklidvon-Alexandria_1.jpg [2] Kepler http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/ Johannes_Kepler_1610.jpg [3] Pacioli http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/ pacioli.jpg [4] Elemente http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/ Euclid_Vat_ms_no_190_I_prop_47.jpg [5] Stand vom: 08.12.2013 Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Quellenangaben Bilder: [6] de Moivre http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/A Abraham_de_moivre.jpg [7] Binet - http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/ /af/Jacques_Binet.jpg [8] Mona Lisa - http://www.michaelholzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-arch-kunst/gsdavinci2.jpg [9] Rathaus - http://www.leipzigergeschichtsverein.de/CMS/images/rathaus.jpg [10] Pferd - http://www.michaelholzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-natur/gs- Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick Quellenangaben Literatur: [11] A.Beutelspacher/B.Petri, Der Goldene Schnitt, Spektrum Akademischer Verlag, 1996: Geschichte: Seite 9-12 (Vorwort) Teilung im goldenen Schnitt und Φ: Seite 15 (Kapitel 1.1 Definition des goldenen Schnittes) Charakteristische Eigenschaften von Φ: Seite 18 (Kapitel 1.2 Charakteristische Eigenschaften der Zahl Φ) Phi und Fibonacci; Zahlenfolgen: Seite 91 (Kapitel 6.2 Phi und Fibonacci) Lucas-Folgen; Spezielle Lucas Folgen: Seite 93 (Kapitel 6.2 Phi und Fibonacci) Binet-Formel; Bemerkungen zur Binet-Formel: Seite 93-94 (Kapitel 6.2 Phi und Fibonacci) Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Quellenangaben Informationen http://www.golden-section.eu/kapitel5.html Fazit und Ausblick
