A 7 -13 Normalverteilung

Mathematik: LehrerInnenteam
Arbeitsblatt 7-13
7. Semester
Die Normalverteilung
Herleitung und Motivation
Anmerkung: Der folgende Teil ist teilweise ziemlich mathematisch. Lassen sie sich bitte nicht
verwirren. Dies ist nur für Interessierte gedacht und keineswegs Schularbeits-oder Maturastoff.
Bisher haben wir uns lediglich mit diskreten Zufallsvariablen (X=0,1,2...) befasst
(Man kann zum Beispiel aus einer Urne 1 rote Kugel oder 2 rote Kugeln ziehen,
das Ziehen von 1,3 roten Kugeln ist aber unmöglich. Es sind also nur ganzzahlige Werte möglich). In der Praxis treten aber sehr häufig stetige Zufallsvariable
auf (z.B. Um wie viel µ mm eine Siliziumscheibe von der vorgeschriebenen Dicke abweicht). Prinzipiell ist aber für diese Abweichung jeder erdenkliche
Wert logisch. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Abweichung jedoch genau
einen bestimmten Wert annimmt ist 0 (Es ist unwahrscheinlich, dass wir eine
Abweichung von 1,0013453 µ mm messen). Dies bedeutet, dass die für
P(X=x)=0 dazugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion f:y=0 eine Nullfunktion ist,
die keine Aussagekraft besitzt.
Logischerweise machen wir uns deshalb eine Klasseneinteilung (Intervalle)
und schauen, wie wahrscheinlich es ist, dass Werte in dieser Klasse liegen.
Beispiel: Von einer Maschine werden Nägel hergestellt. Man nimmt eine
Stichprobe von 80 Stück und misst auf mm genau. Fertige ein Histogramm an.
Messung in
mm
38
39
40
41
42
Absolute Häu- Relative
figkeit
Häufigkeit
5
5/85
17
17/85
32
32/85
21
21/85
10
10/85
Lösung:
Relative Häufigkeit
0,40
0,30
Relative
Häufigkeit
0,20
0,10
41
40
39
38
Messung
in mm
0,00
Beachte: Die Gesamtfläche dieser Treppenfunktion ist 1, da die Gesamtsumme aller relativen Häufigkeiten stets 1 sein muss.
1
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7. Semester
Nun möchte man allerdings doch etwas genauer werden. Deshalb wird
dieselbe Stichprobe noch einmal gemessen, diesmal allerdings auf halbe mm genau. Fertige wieder ein Histogramm an.
Messung in
mm
38,0
38,5
39,0
39,5
40,0
40,5
41,0
41,5
42,0
42,5
Absolute
Häufigkeit
2
3
5
12
15
17
16
5
6
4
Relative
Häufigkeit
2/85
3/85
5/85
12/85
15/85
17/85
16/85
5/85
6/85
4/85
Wir erhalten folgendes Diagramm:
Relative Häufigkeit
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
M
es
su
ng
in
m
m
38
38
,5
39
39
,5
40
40
,5
41
41
,5
42
Relative
Häufigkeit
Beachte: Die Gesamtfläche bleibt 1.
Je genauer man also misst, desto feiner wird die Klasseneinteilung. Im
Grenzwert (bei "unendlich" kleiner Unterteilung) entsteht aus der Treppenkurve eine stetige Kurve f, die man als die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f bezeichnet. Die Gesamtfläche dieser Funktion ist 1. Typisch
ist außerdem diese Glockenform der Kurve. Gauß hat festgestellt, dass
2
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diese Form sehr häufig auftritt, deshalb wollen wir uns mit ihrer Berechnung näher befassen:
Beachte:
1)Unabhängig von der Klasseneinteilung ist die Gesamtfläche unter der Kurve stets 1. Auch die Summe der Wahrscheinlichkeiten
von allen Einzelergebnissen ist stets 1.
2)Nach dem Satz für große Zahlen ist für große n die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses gleich seiner relativen
Häufigkeit.
Folgerung: Eigentlich interessiert bei derartigen Problemen ja lediglich
die Frage ob ein Wert unterhalb, oberhalb oder in einen bestimmten Intervall liegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist jedoch genau die Fläche
der Kurve.
Beispiel:
1) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Messwert kleiner als 50
ist.
P(X<50)=1= Gesamte Kurvenfläche
2) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Messwert größer als 40
ist.
P(X>40)= Fläche der Kurve von 40 bis zum Ende.
3) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Messwert zwischen 40
und 41 liegt.
P(40<X<41)= Fläche der Kurve zwischen 40 und 41.
Was wir also benötigen ist das Wissen, wie man die Fläche derartiger Glockenkurven berechnet.
Einfachkeitshalber wollen wir dafür noch eine kleine Überlegung anführen.
Eigentlich interessiert uns immer, ob ein Wert eine bestimmte Bedingung erfüllt
oder nicht (Entweder der Messwert ist größer als 40 oder er ist <= 40), wobei
die Wahrscheinlichkeit p für das Erfüllen der Bedingung auch bei mehrmaliger
Überprüfung stets gleich bleibt und die Wahrscheinlichkeit q für das Nichterfüllen der Bedingung gleich 1-p ist. Intuitiv erkennt man also, dass sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren lässt, d.h. die Binomialverteilung ist lediglich eine spezielle Normalverteilung. Deshalb verwenden wir für die Berechnung der Glockenkurve eine Binomialverteilung.
3
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Herleitung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Dieser Teil ist natürlich nur für die Interessierten und für das Verständnis gedacht, wird aber dann kein Prüfungsstoff sein. Einen groben Überblick über
diese Theorie werde ich ihnen in der Kontaktstunde liefern!!
1
(z.B. 10
2
maliges Werfen einer Münze) und tragen P(X=k),k=0,1,...,10 als Histogramm in
ein Koordinatensystem ein. (Mittelwert µ = n ⋅ p = 5 , Varianz σ 2 = n ⋅ p ⋅ q = 2 , 5 )
Berechnung:
0
10
10   1   1 
P( X = 0) =   ⋅   ⋅   = 0,00098
 0  2 2
1.Schritt: Wir denken uns eine Binomialverteilung mit n=10 und p =
1
9
10   1   1 
P( X = 1) =   ⋅   ⋅   = 0,0098
 1  2 2
u.s.w.
Wir erhalten folgendes Diagramm:
P
0,3
0,25
0,2
P
0,15
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
Wir vermuten nun nach dem Gesetz der großen Zahlen. Je größer n wird, desto besser wird die Binomialverteilung die eingezeichnete Glockenkurve approximieren. Wählen wir z.B. n=15,p=0,5 und n=20,p=0,5;
P
0,2
0,15
0,1
P
0,05
0
1 3 5
7 9 11 13 15 17 19 21
4
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Wir sehen: Die Kurven werden immer breiter und sie "wandern nach rechts" je
größer n wird. Wir hätten nun folgende Aufgabe. Wir müssten das oben angegebene Diagramm abrunden (Also eine Funktion finden, die den Verlauf
hinreichend beschreibt).
P
0,2
0,15
0,1
0,05
P
0
-0,05 0
5
10
15
20
25
Nun müssten wir eine Funktion finden, die diesen Graphen beschreibt. Dies ist
die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, welche aber sehr kompliziert ist. Sie lautet: y =
1
σ ⋅ 2π
⋅e
1  x− µ 
− ⋅

2 σ 
2
. Jede Funktion, die dieser Form entspricht, nennt man
normalverteilt. Um jetzt eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssten wir die
Fläche unter der Funktion in einem bestimmten Intervall berechnen. Wir müssten also integrieren. Wie sich aber jeder vorstellen kann, ist das integrieren von
obiger Funktion mit einfachen Mitteln nicht möglich. Aus diesem Grund kam
Gauß auf eine geniale Idee. Wir transformieren alle diese ähnlichen Funktionen auf eine einzige standardisierte Funktion (Diese nennt man dann die
Standardnormalverteilung). Für diese Standardnormalverteilung haben uns
dann die Mathematiker die Integrale alle berechnet und eine Tabelle dazu
herausgegeben, so dass wir nur noch in der Tabelle nachschauen müssen.
P
y
0,3
0,50
0,2
P
y
0,1
0
0
5
10
15
-4,00
Ursprüngliche Normalverteilung
-2,00
0,00
0,00
2,00
4,00
Standardnormalverteilung
Die Flächen unter den beiden Funktionen müssen natürlich identisch groß, also 1 sein, da wir diese ja dann als die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes
Ereignis interpretieren wollen. Zur Unterscheidung werden alle Werte in der
5
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ursprünglichen Normalverteilung mit x benannt, der entsprechende Wert in
der Standardnormalverteilung mit z.
Um nun die Binomialverteilung miteinander vergleichen zu können, führen wir
im 2. Schritt diese sogenannte Standardisierung durch; d.h., wir transformieren
die Treppenfunktion so, dass sich die Häufigkeiten der transformierten Zufallsvariablen um den neuen Mittelwert 0 verteilen und die Standardabweichung
σ=1 beträgt:
2.Schritt: (Standardisierung von X)
Wir ersetzen die Zufallsvariable X durch Z =
X −µ
σ
und nennen diese (neue)
Zufallsvariable Z, die zu X standardisierte Variable (Wenn wir jeden Wert x um µ
verschieben, so muss der neue Mittelwert bei Null liegen, was wir ja erreichen
wollen. Durch die Division durch σ wird die neue Standardabweichung 1, was
ebenfalls erwünscht ist). Der Vorteil: Z hat den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1.
Durch die Transformation geschieht folgendes:
1) Der Nullpunkt fällt jetzt mit dem Mittelwert µ zusammen.
2) Die Breite der Treppenstufen wird verändert. Die neue Breite ist
1
das
-fache der alten. Zum Ausgleich dafür (die Gesamtfläche
σ
muss ja weiterhin 1 sein) ist die neue Höhe der Treppenfunktion
das σ -fache der alten.
Diese vorerst standardisierte Binomialverteilung sieht folgendermaßen aus:
y
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
3. Schritt: Wir sehen nun bereits, dass sich die Treppenfunktionen der standardisierten Binomialverteilungen bei n → ∞ einer (glatten) Glockenkurve annähern werden. Und diesen Grenzübergang wollen wir nun auch rechnerisch
durchführen, um die Gleichung der Glockenkurve zu erhalten.
Die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten bei der Binomialverteilung mit p =
lautet wie folgt:
6
1
2
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x
n  1   1 
P ( X = x ) = f (x ) =   ⋅   ⋅  
 x  2   2 
n− x
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n 1 1
n 1
1
=   ⋅ x ⋅ n − x =   ⋅ x ⋅ n − x
 x 2 2
 x 2 2 ⋅ 2
 n 1 2x  n  1
n!
1
=   ⋅ x ⋅ n =   ⋅ n =
⋅ n
x!⋅(n − x )! 2
 x 2 2
 x 2
Untersuchen wir nun, was mit dieser Binomialverteilung geschieht, wenn n sehr
groß wird. Dazu verwenden wir die STIRLING-Formel für die Fakultäten:
n n ⋅ 2π ⋅ n
n! ≈
en
Wir wenden die Formel an:
n n ⋅ 2π ⋅ n
n!
en
≈ x
x!⋅(n − x )! x ⋅ 2π ⋅ x (n − x )n − x ⋅ 2π ⋅ n − x
⋅
ex
en− x
Wir formen den Doppelbruch um:
n n ⋅ 2π ⋅ n ⋅ e x ⋅ e n − x
= n x
n− x
e ⋅ x ⋅ 2π ⋅ x ⋅ (n − x ) ⋅ 2π ⋅ n − x
Da e x ⋅ e n − x ⋅ e − n = 1 für große n folgt:
nn ⋅ n
=
n− x
2π ⋅ x (n − x ) ⋅ x x ⋅ (n − x )
Damit erhalten wir folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:
nn ⋅ n
1
f ( x) ≈
⋅ n
n− x
x
2
2π ⋅ x (n − x ) ⋅ x ⋅ (n − x )
Nun müssen wir unsere graphisch bereits durchgeführte Transformation auch
X −µ
rechnerisch durchführen. Wir setzen Z =
. Durch Umformen gilt also:
σ
x = z ⋅σ + µ
wobei wegen der Binomialverteilung gilt:
n
n
µ = n⋅ p = σ 2 = n⋅ p⋅q =
2
4
n
σ=
2
Wir setzen also σ und µ ein und erhalten:
n n
x = z ⋅σ + µ = z ⋅
+
2 2
1
x = ⋅ n+ z⋅ n
2
Außerdem benötigen wir noch n-x:
(
)
7
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7. Semester
n z⋅ n
+
/⋅ (− 1)
2
2
n z⋅ n
−x=− −
/+ n
2
2
n z⋅ n 1
n− x = −
= ⋅ n−z n
2
2
2
Nach der Transformation erhalten wir eine neue Funktion ϕ in Abhängigkeit
von z. Graphisch haben wir uns bereits überlegt, dass die Balkenhöhe (Also
die Funktionswerte) der transformierten Funktion genau das σ -fache der ursprünglichen Funktion ist. Es gilt also:
n
ϕ (z ) = σ ⋅ f ( x ) =
⋅ f (x )
2
Nun setzen wir f(x) ein:
n
nn ⋅ n
1
ϕ (z ) ≈
⋅
⋅ n
n− x
x
2
2
2π ⋅ x (n − x ) ⋅ x ⋅ (n − x )
x=
(
)
Nun setzen wir die für x und n-x transformierten Werte ein und formen um:
n
nn ⋅ n
1
=
⋅
⋅ n
n+ z n
n− z n
2
2
1
1
1
 2 1
 2
2π ⋅
⋅ n+ z n ⋅ ⋅ n− z n ⋅ ⋅ n+ z n 
⋅ ⋅ n− z n 
2
2


2
2
(
=
Da gilt:
n
⋅
2
1
a
) (
)
(
)
(
)
nn ⋅ n
2π ⋅
=
1
1a
2a
(
)
1 2
1
⋅ n − z 2n ⋅  
4
2
1
1
=
=
= 2a
1 2−a
2a
n+ z n
2
(
⋅ n+z n
)
n+z n
2
1
⋅ 
 2
n− z n
2
(
⋅ n−z n
⋅
)
n− z n
2
1
 
 2
folgt für unsere Funktion:
n ⋅n ⋅ n ⋅2
n
ϕ (z ) =
n+ z n
2
)(
(
⋅2
n− z n
2
)
(
n+ z n
2
1 2 2
n −z n ⋅ n+z n
⋅ n−z n
4
Durch Zusammenfassen und Kürzen erhält man:
2 ⋅ 2π ⋅
n⋅n ⋅2
n
ϕ ( z) =
n+ z n
2
(
⋅2
n −z n
⋅ n+z n
4
Nun zerlegen wir die Exponenten:
2 ⋅ 2π ⋅
2
2
=
n− z n
2
)
n+ z n
2
n
n ⋅ nn ⋅ 2 2 ⋅ 2
(
)
n− z n
2
z⋅ n
2
) (
(
⋅ n− z n
n
⋅ 22 ⋅ 2
)
−
⋅
1
2n
1
2n
z⋅ n
2
z⋅ n
2
n
2
)
n− z n
2
⋅
(
) (
n
2
1
2 ⋅ 2π ⋅ ⋅ n 2 − z 2 n ⋅ n + z n ⋅ n + z n
⋅ n−z n ⋅ n−z n
2
Nun kürzen wir und fassen die 2er Exponenten zusammen:
8
)
z⋅ n
−
2
⋅
1
2n
1
2n
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(
)
− z n ⋅ (n + z n ) ⋅ (n − z n ) ⋅ (n + z n )
n ⋅ n ⋅ (n − z n )
− z n ⋅ (n + z n ) ⋅ (n − z n ) ⋅ (n + z n )
n ⋅ n n ⋅ 2n ⋅ n − z n
=
2π ⋅ n 2
z⋅ n
2
n
2
2
n
2
z⋅ n
2
n
z⋅ n
⋅
1
2n
z⋅ n
2
n
=
7. Semester
n
2
2
2
2π ⋅ n 2 2
Nun fassen wir die eingezeichneten Terme zusammen:
Dadurch erhalten wir:
2
n
n−z n 

⋅ 

n
+
z
n


z⋅ n
2
n
1
n
⋅
⋅
n
2
n − z n 2π
n 2 − z 2n 2
Nun ist es noch günstig die einzelnen Faktoren etwas umzuformen:
n2
Zunächst formen wir
um:
n 2 − z 2n
ϕ ( z) =
(
2
n2 ÷ n2
(n 2 − z 2 n )÷ n 2 =
=
Nun formen wir
nn
(n
2
− z n)
n
2
2
=
nn
[n ⋅ (n − z )]
=
n
1
2
1
=
2
n
z n
− 2
2
n
n
1−
um:
2
=
)
n
2
=
nn
n 2 ⋅ (n − z 2 )2
n
n

n

2
 n 
 1
=
=
2 
z2

n−z 
 1−
n

n
2
(n − z )
n
2 2
n
2





1
n
 z2 2
1 − 
n

n−z n 

Nun formen wir noch 

n
+
z
n


z⋅ n
2
n

n−z n  


= 
 n + z n  


um:
z
2

 1 −
= 

 1 +
 
9
z
z 

n
z 

n
2


n 


n
z2
n
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7. Semester
Wir erhalten also folgende Dichtefunktion:
ϕ (z ) =
1
z2
1−
n
⋅
1
⋅
2π
1
n

 1 −
⋅ 

 1 +
 
z
z 

n
2


n 


n
z 
 z2 2

1 − 
n

n

Nun benötigen wir noch einen weiteren Satz aus dem Bereich der Grenzwertberechnung, und zwar gilt:
n
 a
lim1 ±  = e ± a
n→∞
 n
Nun bilden wir den Grenzwert für unsere Dichtefunktion, da diese ja für große
n gelten soll:
z


n 2 


z 

 1 −
  
1
1
1
n  



⋅
lim ϕ (z ) = lim
⋅
⋅
n 
n  
n→ ∞
n → ∞
2π
2 2
z2
 z   1 + z   
 1−
1 −  
n

n   
n  



z
1
1  e−z  2
= 1⋅
⋅ z 2 ⋅  z 
2π − 2  e 
e
=
z2
2
−
z2
2
1
e
⋅ e ⋅ z2 =
2π
e2
z2
−
1
⋅e 2
2π
z2
−
1
=
⋅e 2
2π
Bemerkung: Es ist üblich die Dichtefunktion der standardisierten Normalverteilung mit ϕ statt mit f zu bezeichnen. Analog schreibt man für die Verteilungsfunktion statt F meist Φ.
Und diese Gleichung ist- wie wir gleich sehen werden- die Gleichung der gesuchten Glockenkurve.
4.Schritt: Was fangen wir nun mit dieser Kurve an? Hauptzweck der meisten
Aufgaben ist die Berechnung von P (x1≤ X ≤ x 2 ) . Wenn wir z. B. unsere Binomialverteilung am Beginn der Herleitung standardisieren (d.h. µ=0 und σ=1) und
z2
−
1
diese Treppenfunktion durch die Glockenkurve ϕ (z ) =
⋅ e 2 approximieren,
2π
so ist unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit P nichts anderes als die Fläche dieser Glockenkurve im Intervall z1 ;z 2 . Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt
dann
10
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P (x1 ≤ X ≤ x 2 ) = P (z 1≤ Z ≤ z 2 ) ≈ Fläche unter der Glockenkurve im Intervall
z
z2
2
−
1
=
⋅ ∫ e 2 dz
2π z1
Dies sieht zunächst nicht nach einer Vereinfachung aus. Dennoch liegt eine
Vereinfachung vor, denn mittels unserer Standardisierung haben wir sämtliche
Wahrscheinlichkeiten bei ganz beliebig verteilten Variablen auf eine einzige
Funktion Φ zurückgeführt. Dies ist deshalb ein so großer Vorteil, weil sich unsere
Glockenkurven nur sehr schwer integrieren lassen (Lassen sich mittels numerischer Integration approximieren). Durch die Standardisierung ist für uns lediglich eine Glockenkurve interessant, und deren Flächen, also die Wahrscheinlichkeiten, wurden tabelliert.
5.Schritt:
Definition: Ist eine Zufallsvariable so verteilt, dass ihre Wahrscheinlichkeitsdichz2
−
1
te ϕ (z ) =
⋅ e 2 ist, so sagen wir: Z ist 0-1-normalverteilt, kurz N(0,1)-verteilt.
2π
Die Bezeichnung N(0,1) ist dadurch gerechtfertigt, dass der Erwartungswert 0
und die Standardabweichung 1 ist.
Diese Funktion heißt nach ihrem Entdecker und ihrer Gestalt GAUSSsche Glockenkurve.
11
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PRAKTISCHE ANWENDUNG DER NORMALVERTEILUNG
Wie wir sofort sehen werden, ist die so schwierige Theorie in der Praxis wieder
einmal relativ leicht anzuwenden.
Beispiel: Eine Maschine stellt Nägel her. Die Länge der Nägel sei normalverteilt
mit dem Erwartungswert µ = 10 cm und der Standardabweichung σ = 0,2 cm .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) die Länge eines beliebigen Nagels unter 10,2 cm liegt
b) die Länge eines beliebigen Nagels unter 9,7 cm liegt?
c) die Länge eines beliebigen Nagels über 10,1 cm liegt?
d) die Länge eines beliebigen Nagels zwischen 9,8 cm und 10,25 cm liegt?
e) die Länge eines Nagels um maximal ε=0,1 cm vom Erwartungswert abweicht?
Lösung:
Wir haben laut Angabe eine Normalverteilung vorliegen, wobei wir µ
und σ kennen. Wir nennen zunächst einmal
X.......Länge eines Nagels
a) Hier sollen wir also Folgendes berechnen:
P ( X < 10,2) =
Wir wechseln nun von unserer Normalverteilung in die Standardnormalverteilung, das heißt wir suchen den zu x=10,2 entsprechenden z-Wert.
x−µ
Diesen erhalten wir mittels unserer Transformationsformel z =
.
σ
Wir transformieren x=10,2 indem wir einsetzen:
10,2 − 10
z=
=1
0,2
In der Standardnormalverteilung entspricht also unsere Fragestellung:
P( X < 10,2) = P( Z < 1)
Das vorhandene Tabellenwerk für die Standardnormalverteilung gibt
aber genau alle Wahrscheinlichkeiten an, die kleiner als ein bestimmter
Wert sind. Wir müssen also nur noch die entsprechende Fläche ablesen.
Formal bezeichnet man die einem bestimmten z-Wert zugeordnete Fläche mit der Funktion ϕ ( z ) . Wir benötigen also:
P( X < 10,2) = P( Z < 1) = ϕ (1)
Die Tabelle finden sie nun in ihrem Formelheft oder in ihrem Lehrbuch
REICHEL 8 ganz hinten. Um den richtigen Wert zu finden, suchen wir zunächst in der Zeile z=1,00. Die Spaltenüberschriften oben geben ihnen
anschließend die zweite Nachkommastelle an. Da bei uns diese Null ist,
suchen wir den Wert in der 1. Spalte und erhalten:
12
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7. Semester
Wir erhalten also: P ( X < 10,2) = P ( Z < 1) = ϕ (1) = 0,84134
Mit 84,13% iger Wahrscheinlichkeit ist ein Nagel also kürzer als 10,2 cm.
Übung:: Übungsblatt 12; Aufgabe 104
Lösen wir nun Teil b) der Aufgabe:
b) Hier sollen wir also Folgendes berechnen:
P ( X < 9,7) =
Wir wechseln wieder von unserer Normalverteilung in die StandardnorStandardno
malverteilung,
teilung, das heißt wir suchen den zu x=9,7 entsprechenden zz
x−µ
Wert. Diesen erhalten
ten wir mittels unserer Transformationsformel z =
.
σ
Wir transformieren
formieren x=9,7 indem wir einsetzen:
13
Mathematik: LehrerInnenteam
Arbeitsblatt 7-13
7. Semester
9,7 − 10
= −1,5
0,2
In der Standardnormalverteilung entspricht also unsere Fragestellung:
P( X < 9,7) = P( Z < −1,5) = ϕ (− 1,5)
Das vorhandene Tabellenwerk für die Standardnormalverteilung gibt
aber nur Werte für positive z an
a (Anmerkung:
Anmerkung: Hat ihr Tabellenwerk im
Formelheft auch eine Spalte ϕ (− z ) , so können sie dort direkt die WahrWah
scheinlichkeit für negative z-Werte
z
ablesen!).
). Wir müssen also zunächst
einmal logische Überlegungen anstellen, wie wir eine gleich große Fläche mit positivem z erhalten. Dazu zeichnen wir uns die StandardnorStandardno
malverteilung (Beachte: µ=0) und tragen einen negativen z-Wert
z
ein:
z=
Wenn wir ϕ (− z ) benötigen, so berechnen wir ja die Fläche, die links von
–z liegt (Siehe obere
bere Zeichnung). Wegen der Symmetrie der NormalverNormalve
teilung muss diese Fläche aber genau gleich sein, der Fläche, die rechts
von +z liegt. Da die Gesamtfläche unter der Funktion aber 1 ist, muss
diese Fläche 1 minus der Fläche, die links von +z liegt, sein (Siehe
(
untere
Zeichnung). Es gilt also:
Negativitätsregel: ϕ (− z ) = 1 − ϕ (z )
Nun wenden wir diese Formel auf unser Beispiel an:
P( X < 10,2) = P( Z < −1,5) = ϕ (− 1,5)
= 1 − ϕ (1,5)
Nun suchen wir in unserem Tabellenwerk ϕ (1,5) . Wir erhalten:
erhalte
= 1 − 0,93319 = 0,06681
Mit 6,68% iger Wahrscheinlichkeit ist ein Nagel also kürzer als 9,7 cm.
Übung:: Übungsblatt 12; Aufgabe 105
Lösen wir nun Teil c) der Aufgabe:
c) Hier sollen wir also Folgendes berechnen:
P ( X > 10,1) =
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Mathematik: LehrerInnenteam
Arbeitsblatt 7-13
7. Semester
Wir wechseln wieder von unserer Normalverteilung in die Standardnormalverteilung, das heißt wir suchen den zu x=10,1 entsprechenden zx−µ
.
Wert. Diesen erhalten wir mittels unserer Transformationsformel z =
σ
Wir transformieren x=10,1 indem wir einsetzen:
10,1 − 10
z=
= 0,5
0,2
In der Standardnormalverteilung entspricht also unsere Fragestellung:
P ( X > 10,1) = P ( Z > 0,5)
Das vorhandene Tabellenwerk für die Standardnormalverteilung gibt
aber nur Werte an, die kleiner als ein bestimmter z-Wert sind. Folglich
müssen wir auch hier die gesuchte Fläche durch eine andere ausdrücken. Überlegen Sie sich mittels ihres Lehrbuches (REICHEL 8; Seite 113;
Skizze zu „Rechter Spitz“), dass Folgendes gilt:
Satz: P ( Z > z ) = 1 − P ( Z < z )
Auf unser Beispiel angewandt erhalten wir:
P ( X > 10,1) = P ( Z > 0,5)
= 1 − P ( Z < 0,5)
= 1 − ϕ (0,5)
Wir schlagen wieder in unserem Tabellenwerk nach:
= 1 − 0,69146 = 0,30854
Mit 30,85% iger Wahrscheinlichkeit ist ein Nagel also länger als 10,1 cm.
Übung: Übungsblatt 12; Aufgabe 106
d) Hier sollen wir also Folgendes berechnen:
P (9,8 < X < 10,25) =
Wir wechseln wieder von unserer Normalverteilung in die Standardnormalverteilung. Diesmal müssen wir zwei x-Werte mittels unserer Formel
transformieren, nämlich x=9,8 und x=10,25.
Wir transformieren x=9,8 indem wir einsetzen:
9,8 − 10
z=
= −1
0,2
Nun transformieren wir x=10,25:
10,25 − 10
z=
= 1,25
0,2
In der Standardnormalverteilung entspricht also unsere Fragestellung:
P (9,8 < X < 10,25) = P ( −1 < Z < 1,25)
Nun müssen wir uns wieder etwas einfallen lassen, wie wir nun die entsprechende Fläche erhalten. Wie wir an folgender Skizze sehen, berechnen wir bei dieser Fragestellung die Fläche zwischen zwei z-Werten:
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7. Semester
y
1
-4,00
-2,00
z1
0
0,00 z2
2,00
4,00
Diese Fläche erhalten wir aber, indem wir uns die Fläche, die kleiner als
z2 ist und die Fläche, die kleiner als z1 ist ausrechnen und dann die Differenz der beiden Flächen bilden:
P( Z < z 2 )
y
1
-4,00
-2,00
z1
0
0,00 z2
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2,00
4,00
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7. Semester
P( Z < z1 )
y
1
-4,00
-2,00
z1
0
0,00 z2
2,00
4,00
Wenn Sie die Differenz der beiden Flächen oben bilden erhalten wir die
gewünschte Fläche. Es gilt also:
Satz: P( z1 < Z < z 2 ) = P( Z < z 2 ) − P( Z < z 2 )
Wir wenden diese Formel auf unser Beispiel an:
P ( −1 < Z < 1,25) = P ( Z < 1,25) − P ( Z < −1)
= ϕ (1,25) − ϕ (− 1)
Nach der Negativitätsregel beseitigen wir noch den negativen z-Wert.
= ϕ (1,25) − (1 − ϕ (1))
Wir lösen die Klammer auf:
= ϕ (1,25) − 1 + ϕ (1)
Wir suchen in unserem Tabellenwerk die beiden Werte und erhalten:
= 0,89435 − 1 + 0,84134 = 0,73569
Mit 73,57% iger Wahrscheinlichkeit hat ein Nagel eine Länge zwischen
9,8 und 10,25 cm.
Übung: Übungsblatt 12; Aufgabe 107
e) Da der Erwartungswert bei 10 cm liegt, bedeutet eine Abweichung
um maximal 0,1 cm, dass die Länge des Nagels zwischen 9,9 cm und
10,1 cm liegen soll:
P (9,9 < X < 10,1) =
Wir könnten diese Aufgabe nun wie Teil d) lösen, da die beiden Grenzen aber hier symmetrisch um µ liegen, lässt sich hier eine einfache
Formel herleiten:
P( x − ε < X < x + ε ) =
Da die beiden Grenzen symmetrisch zu µ liegen, müssen sie in der
Standardnormalverteilung symmetrisch zu Null (Dies ist ja dort µ) liegen,
das heißt die beiden entsprechenden z-Werte unterscheiden sich nur
durch das Vorzeichen. Sie lauten also +z und –z. Wir setzen dies ein:
P( − z < Z < z ) =
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Mathematik: LehrerInnenteam
Arbeitsblatt 7-13
7. Semester
Nun wenden wir unser Rechengesetz aus d) an:
= P ( Z < z ) − P( Z < − z )
= ϕ (z ) − ϕ (− z )
Wir wenden die Negativitätsregel an:
= ϕ (z ) − (1 − ϕ (z ))
Wir lösen die Klammer auf:
= ϕ (z ) − 1 + ϕ (z ))
Wir fassen zusammen und erhalten:
= 2 ⋅ ϕ (z ) − 1
Satz: Ein symmetrisches Intervall um den Mittelwert nennt man einen Streubereich. Dieser lässt sich folgendermaßen berechnen:
P ( − z < Z < z ) = P ( Z > z ) = 2 ⋅ ϕ (z ) − 1
Nun wenden wir unser Rechengesetz auf das Beispiel an. Wir transformieren zunächst den größeren x-Wert.
Anmerkung: Verwenden Sie bei der Streubereichsformel immer den
größeren x-Wert zur Berechnung des z-Wertes.
Wir transformieren x=10,1 indem wir einsetzen:
10,1 − 10
z=
= 0,5
0,2
Nun setzen wir in unsere Formel ein:
P(9,9 < X < 10,1) = 2 ⋅ ϕ (0,5) − 1
Wir schlagen in unserem Tabellenwerk nach:
= 2 ⋅ 0,69146 − 1 = 0,38292
Mit 38,29% iger Wahrscheinlichkeit hat ein Nagel eine Länge zwischen
9,9 und 10,1 cm.
Übung: Übungsblatt 12; Aufgaben 108 - 112
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