Modellierung von Optimierungsproblemen
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1. Übungsblatt: Modellierung von Optimierungsproblemen Versuchen Sie, für die folgenden Probleme mathematische Modelle zu formulieren ! Investitionsproblem Einer Unternehmung stehen sieben Investitionsprojekte mit positiven Kapitalwerten zur Auswahl, die auf Grund von Kapitalbeschränkungen in den beiden folgenden Jahren in der Höhe 450 (1. Jahr) und 420 (2. Jahr) nicht alle gemeinsam getätigt werden können. Projekt 1 2 3 4 5 6 7 Beschreibung Modernisierung der Montageanlage Neuanschaffung der Montageanlage EDV-gestütztes Kontrollsystem für Neuanschaffung Modernisierung der Reparaturwerkstätte Eigenerstellung einer Rohmaterialverarbeitungsanlage Kauf gebrauchter Anlage für Rohmaterialverarbeitung Kauf neuer LKWs Auszahlungen Kapitalwert 1.Jahr 2.Jahr 300 0 100 100 300 150 0 200 35 50 100 75 50 300 125 200 0 60 70 10 30 Die Situation der Unternehmung erfordert zumindest eine Modernisierung der Montageanlage. Die Errichtung eines EDV-gestützten Kontrollsystems ist nur bei einer Neuanschaffung der Montageanlage möglich. Die Projekte 5 und 6 schließen einander aus. Als ein Ziel soll die Kapitalwertmaximierung verfolgt werden. Schichtplan Der Personaleinsatzplaner eines Bahnhofs steht vor der Aufgabe, für einen bestimmten Zeitraum Arbeiter zum Rangierdienst einzuteilen. Die folgende Übersicht gibt den Personalbedarf für die Rangierarbeiten an: 00 04 08 12 16 20 Halbschicht Uhr bis 04 Uhr Uhr bis 08 Uhr Uhr bis 12 Uhr Uhr bis 16 Uhr Uhr bis 20 Uhr Uhr bis 24 Uhr Personalbedarf 3 8 10 8 14 5 Die Schicht eines Arbeiters dauert jeweils 8 aufeinanderfolgende Stunden. Die erste Schicht beginnt um Mitternacht, die nächste um 4 Uhr morgens, usw. Der Eisatzplaner soll den Schichtplan so aufstellen, daß der Personalbedarf während der Rangierzeiten gedeckt wird, wobei möglichst wenig Arbeiter zum Schichtdienst herangezogen werden sollen. Zuschnitt von Walzadern Ein Walzwerk erhält den Auftrag zur Lieferung spezieller Profileisen in vorgegebenen Stückzahlen und Längen. Es werden mindestens 700 Stück der Länge 11 m 900 Stück der Länge 7 m 1500 Stück der Länge 6 m benötigt. Die geforderten Längen müssen aus Walzadern der Länge 20 m geschnitten werden. Wie muß der Zuschnitt erfolgen, damit möglichst wenig Walzadern verbraucht werden ? Diskontinuierliches Versorgungsproblem Ein Kraftwerk benötigt täglich in Abhängigkeit vom Wochentag eine bestimmte Menge Kohle zur Verstromung. Der Bezug der Kohle erfolgt aus umliegenden Tagebauen. Erfolgt eine Lieferung aus einem Tagebau, so muß dort eine bestimmte Mindestmenge abgenommen werden. Der organisatorische Ablauf des Transportes über das Schienennetz beschränkt die Liefermenge nach oben. Die Kosten je gelieferter Mengeneinheit hängen von vielen Faktoren ab und werden als linear angenommen. Die Lieferungen sind so zu gestalten, daß die Kosten minimal ausfallen. 2. Übungsblatt: Graphisches Lösen von linearen Optimierungsaufgaben Formulieren sie für die folgenden Probleme lineare Optimierungsmodelle und bestimmen Sie anschließend Optimallösungen mit Hilfe der graphischen Darstellung ! Produktionsplanung eines Konservenproduzenten Ein Unternehmen stellt Konserven in 1-kg- und 2-kg-Dosen her. Es wird davon ausgegangen, daß nur in Mengeneinheiten zu je 100 1-kg-Dosen bzw. zu je 100 2-kg-Dosen produziert und verkauft werden kann. Auf einer Produktionsanlage, auf der gekaufte Bleche zu verkaufsfertigen Dosen verarbeitet werden, und die pro Woche 70 Stunden in Betrieb sein kann, dauert die Fertigung einer Mengeneinheit gleich welcher Größe immer eine Stunde. Von dem Erzeugnis, welches ohne Abfälle in Dosen gefüllt wird, können bis zu 10000 kg pro Woche bereitgestellt werden. Die Verkaufsabteilung kann pro Woche höchstens 60 Mengeneinheiten an 1-kg-Dosen und höchstens 40 Mengeneinheiten an 2-kg-Dosen absetzen. Der Deckungsbeitrag beträgt bei 100 1-kg-Dosen 2 Gewinneinheiten und bei 100 2-kg-Dosen 3 Gewinneinheiten. Der Gesamtdeckungsbeitrag ist zu maximieren ! Diätenproblem Eine bestimmte Diät hat mindestens 10 Einheiten Vitamine, 12 Einheiten Mineralien und 12 Einheiten Kalorien zu enthalten. Zwei Nahrungsmittel N1 und N2 stehen zur Verfügung, wobei N1 3 Geldeinheiten und N2 2 Geldeinheiten kostet. Folgende Tabelle zeigt, wieviele Vitamine, Mineralien und Kalorien jeweils eine Einheit von N1 und N2 enthält: Nahrungsmittel N1 N2 Vitamine 5 1 Mineralien 2 2 Kalorien 1 4 Wieviele Einheiten der beiden Nahrungsmittel sollen gekauft werden, um die Diätvorschriften zu erfüllen und die Kosten zu minimieren ? Produktionsplanung für Strumpfhosen Die Strickstrumpf KG stellt Socken, Kniestrümpfe und Strumpfhosen aller Art her. Neu ins Programm aufgenommen werden demnächst zwei Arten von Baumwollstrumpfhosen, die auf einer zu diesem Zweck angeschafften Spezialmaschine mit einer Kapazität von 10200 Minuten pro Monat produziert werden soll. Modell ”Luxus” verbraucht davon pro Stück 12 Minuten, Modell ”Jedermann” lediglich 6 Minuten. Die zur Herstellung beider Strumpfhosen benötigte Baumwolle ist auf Röllchen zu je 100 g gewickelt, von denen pro Monat 3600 Stück zur Verfügung stehen. Diese Menge vermindert sich durch die Produktion von ”Luxus” um 4 Röllchen und durch ”Jedermann” um 3 Röllchen je Stück. Eine Verpackungsmaschine der Unternehmung kann für 2700 Minuten freigestellt werden und wird von einer Strumpfhose ”Jedermann” 3 Minuten in Anspruch genommen. Die Luxusausführung kommt dagegen mit 2/3 der Zeit aus. Da die variablen Kosten von ”Luxus” mit 8,- DM pro Strumpfhose doppelt so hoch sind wie von ”Jedermann”, möchte die Strickstrumpf KG das Modell ”Luxus” zu einem Preis von 18,-DM pro Stück und das Modell ”Jedermann” zu 10,- DM pro Stück anbieten und rechnet bei diesen Preisen mit Absatzhöchstmengen von 720 Stück für ”Luxus” bzw. 700 Stück für ”Jedermann” pro Monat. Zu Bestimmen ist die Anzahl der Strumpfhosen, die von den Modellen ”Luxus” und ”Jedermann” unter der Zielsetzung Deckungsbeitragsmaximierung hergestellt werden sollen ! Gasmischungsproblem Gegeben seien drei Gase mit unterschiedlichen Herstellungskosten pj , Heizwerten hj und Schwefelgehalten sj gemäß der folgenden Tabelle : 3 3 pj M/10 m hj kcal/m3 sj gS/m3 1.Gas 2.Gas 3.Gas 12.80 36.60 9.70 1060 1800 5700 7.20 0.50 2.00 Aus diesen drei Gasen ist eine vorgegebene Menge Heizgas zu mischen, dessen Heizwert zwischen gewissen Schranken liegt, dessen Schwefelgehalt eine obere Schranke nicht übersteigt und das möglichst billig ist. Dabei steht das 3. Gas nur in beschränkter Menge zur Verfügung: geforderte Heizgasmenge: 25000 untere Heizwertschranke: 2200 obere Heizwertschranke: 2600 obere Schwefelschranke: 3.0 Schranke für das 3.Gas: 6800 m3 kcal/m3 kcal/m3 gS/m3 m3 3. Übungsblatt: Lösen von linearen Optimierungsaufgaben mit Hilfe der Simplexmethode 1. Bestimmen Sie für das Problem des Konservenproduzenten, für das Diätenproblem und für das Problem der Produktion von Strumpfhosen (siehe 2. Aufgabenblatt) jeweils eine Optimallösung mit Hilfe der Simplexmethode ! Versuchen Sie, den Ablauf der Simplexmethode an Hand der graphischen Darstellung nachzuvollziehen ! Nutzen Sie auch die Möglichkeit, für das Diätenproblem eine Optimallösung zu bestimmen, indem Sie die zugehörige Dualaufgabe mit Hilfe der Simplexmethode lösen ! Studieren Sie die mit dem Programmpaket Lindo erzeugten Tabellen und Zusammenfassungen zur Lösung der beschriebenen Probleme ! 2. Interpretieren Sie die vom Programmpaket Lindo erzeugte Zusammenfassung der relevanten Daten zur Lösung des Gasmischungsmodells (siehe 2. Aufgabenblatt) ! 3. Interpretieren Sie die vom Programmpaket Lindo erzeugten Daten zur Lösung des Schichtplanes und des Zuschnittproblems (siehe 1. Aufgabenblatt) ! Untersuchen Sie insbesondere die Existenz weiterer Optimallösungen ! 4. Übungsblatt: Postoptimale Betrachtungen für lineare Optimierungsaufgaben 1. Diskutieren Sie die vom Programmpaket Lindo erzeugten Schattenpreise für den Schichtplan und das Zuschnittproblem (siehe 1. Aufgabenblatt), für das Problem des Konservenproduzenten, für das Diätenproblem, für das Problem der Produktion von Strumpfhosen und für das Gasmischungsmodell (siehe 2. Aufgabenblatt) ! 2. Führen Sie für das Problem des Konservenproduzenten die folgenden postoptimalen Betrachtungen durch: a) Für welche Änderung der Wochenarbeitszeit von b1 = 70 bleibt die erzeugte optimale Basisdarstellung zulässig ? Wie lautet ein optimales Produktionsprogramm, wenn die Anlage maximal 55 Stunden in der Woche genutzt werden kann ? b) Reagiert die erzeugte Optimallösung empfindlich, wenn der Deckungsbeitrag für die 1-kg-Dosen um 10% nach oben oder unten abweichen kann ? Wie lautet das optimale Produktionsprogramm, wenn sich der Deckungsbeitrag auf c1 = 1 verringert ? c) Geplant wird die Produktion einer 3-kg-Dose. Die Fertigung einer Mengeneinheit zu 100 3-kg-Dosen beträgt ebenfalls nur eine Stunde. Absatzschranken sollen nicht berücksichtigt werden. Wie hoch muß der Deckungsbeitrag mindestens sein, damit die Produktionsaufnahme sinnvoll ist ? Für einen Deckungsbeitrag von 5 GE ist ein optimaler Plan aufzustellen ! d) Für den Konservenproduzenten wird die Pappe zur Herstellung der Kartons ein Engpaß. Er benötigt für die Verpackung von 100 1-kg-Dosen genau 3.5 m2 Pappe, für 100 2-kg-Dosen genau 6 m2 Pappe. Zur Zeit stehen pro Woche nur 300 m2 zur Verfügung. Wie ist das Programm unter diesen neuen Bedingungen zu ändern ? 3. Untersuchen Sie für das Diätenproblem, für das Problem der Produktion von Strumpfhosen und für das Gasmischungsmodell (siehe 2. Aufgabenblatt), welche Koeffizienten des Kosten- bzw. Ressourcenvektors empfindlich auf Änderungen reagieren ! Nutzen Sie dafür die vom Programmpaket Lindo erzeugten Daten zur Sensitivitätsanalyse ! 5. Übungsblatt: Parametrische lineare Optimierung 1. Problem des Konservenproduzenten (siehe 2. Aufgabenblatt) a) Infolge von Preissteigerungen bei den Produktionsfaktoren muß das Unternehmen mit einer periodisch gleichbleibenden Minderung des Deckungsbeitrages von 5% bei 1-kg-Dosen und 3.33% bei 2-kg-Dosen rechnen. Wie entwickelt sich das optimale Produktionsprogramm im Laufe der Zeit ? b) Für die zur Verfügung stehende Wochenarbeitszeit von 70 h ist eine parametrische Sensitivitätsanalyse durchzuführen ! 2. Ermittlung einer Nachfragefunktion Eine Unternehmung benötigt zur Herstellung einer ME der Produkte Wash bzw. Wush genau 2 ME bzw. 1 ME des Rohstoffes Gilb. Die Zeitbeanspruchungen und Absatzhöchstmengen der beiden Produkte sind aus der folgenden Tabelle zu entnehmen: Wash Wush Abteilung 1 5 2 Abteilung 2 4 3 Absatzhöchstmenge 1000 2000 Der Deckungsbeitrag von Wash bzw. Wush beträgt ohne Berücksichtigung der Kosten des Rohstoffes Gilb jeweils 50 GE. In Abteilung 1 stehen 7000 ZE und in Abteilung 2 genau 8000 ZE zur Verfügung. Ermitteln Sie die Nachfrage der Unternehmung nach dem Rohstoff Gilb für ein optimales Programm in Abhängigkeit vom variablen Preis p des Rohstoffs ! Stellen Sie die Nachfragefunktion und die Optimalwertfunktion graphisch dar ! 3. Ankauf von Maschinen Eine Zweiprodukt-Unternehmung plant, ihre beiden Produkte in einer dritten Fertigungsstufe zu verbessern. Für diesen weiteren Arbeitsgang wird die Maschine Mach angeboten, die pro Periode 500 ZE eingesetzt werden kann und dabei 7500 GE an Fixkosten verursacht. Weitere Bedingungen sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: Produkt 1 Produkt 2 Zeitbeanspruchung je ME Abt.I Abt.II Abt.III 5 4 1 2 3 2 Deckungsbeitrag je ME 30 40 In Abteilung I stehen 7000 ZE und in Abteilung II genau 8000 ZE zur Verfügung. Von Produkt 1 sollen mindestens 500 ME, aber höchstens 1000 ME produziert werden. Bestimmen Sie, wieviele Maschinen des Typs Mach die Unternehmung ankaufen soll ! 4. Bestimmung des Verkaufspreises eines neuen Produktes Die Absturz-GmbH sucht einen Verkaufspreis p zur Plazierung ihres neuen Programmpakets Screencrash am Software-Markt. Die variablen Herstellungskosten des Programms betragen 5 [DM/ME], die Absatzhöchstmenge wird auf 1500 ME geschätzt. Bisher wurde nur das bewährte Infiniteloop verkauft, für das aufgrund vorhandener Konkurrenzprodukte ein fester Marktpreis von 75 [DM/ME] vorgegeben ist; die variablen Herstellkosten betragen 15 [DM/ME], als Absatzhöchstmenge vor Einführung von Screencrash werden 3000 ME erwartet. Das neue Produkt wird eine große Werbewirkung für die Absturz-GmbH zur Folge haben: Jeweils 3 ME verkaufte Screencrash werden die Absatzhöchstmenge von Infiniteloop um 1 ME steigern. Dieser Werbewirkung entgegengerichtet sind die begrenzten Kundenbudgets zur Softwarebeschaffung: Die Absatz-GmbH rechnet mit einem Rückgang der Absatzhöchstmenge von Infiniteloop nach Vorstellung von Screencrash um das 40-fache des für Screencrash geltenden Absatzpreises p. Die maximale Fertigungskapazität der Absturz-GmbH wird mit 6000 ZE angegeben, die Produktionskoeffizienten betragen 2 [ZE/ME] für Screencrash und 3 [ZE/ME] für Infiniteloop; es wird nichts gelagert und nichts vernichtet. Es sei xS bzw. xI die Produktions- und Absatzmenge von Screencrash bzw. Infiniteloop. (a) Gesucht sind die optimalen Produktions- und Absatzmengen xoS (p) und xoI (p) in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p sowie die Optimalwertfunktion zo (p), die für jeden möglichen Verkaufspreis p den maximalen Deckungsbeitrag angibt. (b) Stellen Sie xoS (p), xoI (p) und zo (p) graphisch dar ! (c) Angenommen, die Absturz-GmbH könnte jeden Preis für Screencrash am Markt durchsetzen. Welcher Preis sollte in diesem Fall gewählt werden ? Welche Absatzmengen sind erzielbar und welcher Deckungsbeitrag ist möglich ? (d) Die Absturz-GmbH ist nicht mächtig genug, um Verkaufspreise beliebig setzen und halten zu können. Wegen bereits angekündigter, vergleichbarer Konkurrenzprodukte wird sich vielmehr nach Vorstellung von Screencrash ein Marktpreis p∗ bilden, der nicht überboten, aber - ohne Rückwirkungen auf p∗ - beliebig unterboten werden kann. Wie hoch muß p∗ mindestens sein, damit sich der Verkauf von Screencrash lohnt ? Welche Werte von p∗ wird die Absturz-GmbH unterbieten ? Welche Werte von p∗ wird die Absturz-GmbH exakt einhalten ? Lösungshinweis: p x0S (p) [0; 25] 0 [25; 45] 40p − 1000 [45; 62.5] 1500 [62.5; 87.5] 1500 [62.5; ∞) − x0I (p) z0 (p) 2000 120000 1 2 (8000 − 80p) 40p − 2800p + 165000 3 1000 1500p + 52500 3500 − 40p 202500 − 900p − − 6. Übungsblatt: Mehrkriterielle lineare Optimierung 1. Gegeben ist die folgende lineare Vektormaximierungsaufgabe: z1 = 4x1 + x2 } → ”Max” z2 = x1 + 4x2 x1 + 2x2 x1 + x2 2x1 + x2 x1 ≤ ≤ ≤ ≤ 16 10 16 7 xj ≥ 0 j = 1, 2 a) Bestimmen Sie für die lineare Vektormaximierungsaufgabe die Menge aller effizienten Punkte mit Hilfe der graphischen Darstellung ! b) Die lineare Vektormaximierungsaufgabe kann auch mit Hilfe der parametrischen Optimierung gelöst werden. Stellen Sie dafür ein entsprechendes mathematisches Modell auf ! 2. Bestimmen Sie für die lineare Vektormaximierungsaufgabe z1 = z2 = x1 } → ”Max” x1 + 2x2 x1 + − x1 + x1 x2 x2 ≤ ≤ ≤ 4 2 3 xj ≥ 0 j = 1, 2 die Menge aller effizienten Punkte mit Hilfe der graphischen Darstellung ! Ã Begründen Sie, weshalb x1 x2 ! Ã = 3 0 ! keine effiziente Lösung ist ! 3. Ferienplanungsproblem Die Studenten Franz und Gustav planen den Ablauf der kommenden Semesterferien: Jeder Tag kann mit Prüfungsvorbereitung, mit Ferienjob oder mit Urlaub verbracht werden. Bei der Aufteilung dieser Beschäftigungen auf die zur Verfügung stehenden 68 Ferientage kommt es zu Meinungsverschiedenheiten. Franz und Gustav erarbeiten deshalb zunächst eine individuelle Punktbewertung der mit einer bestimmten Tätigkeit verbrachten Tage, wobei jeder insgesamt 5 Punkte vergeben darf: Tätigkeit Prüfungsvorbereitung Ferienjob Urlaub Franz Gustav 2 1 0 3 3 1 Zusätzlich erstellen sie einen Forderungskatalog, dessen Einhaltung unumgänglich ist: • Zur Prüfungsvorbereitung müssen mindestens 18 Tage reserviert werden. • Es sind mindestens 14 Tage Urlaub einzuplanen. • Jeder Urlaubstag, der über diese 14 Mindesttage hinausgeht, muß durch mindestens 3 Tage Ferienjob finanziert werden. Franz und Gustav möchten ihre individuelle Punktsumme über alle Ferientage maximieren, wobei sie jeden Tag gemeinsam mit der gleichen Beschäftigung verbringen wollen. a) Formulieren Sie das oben beschriebene Ferienplanungsproblem als ein lineares Optimierungsmodell mit zwei Zielen! b) Bestimmen Sie ”effiziente Lösungen”, indem Sie ein einparametrisches Optimierungsmodell durch konvexe Linearkombination der beiden individuellen Ziele aufstellen und dieses lösen! c) Welche Lösungen wären für Franz und Gustav isoliert betrachtet optimal (individuelle Optima)? d) Welche ”effiziente” Ferienplanung wird realisiert, wenn die Zielsetzungen der beiden Studenten gleiches Gewicht haben sollen? e) Letzlich wählen die beiden Studenten jeweils die arithmetischen Mittel der Anzahl der Tage, die sie für diese Tätigkeiten in ihren individuellen Optima ermittelt haben. Geben Sie an, welche Ferienplanung realisiert wird und überprüfen Sie die Zulässigkeit und ”Effizienz” dieser Planung! Lösungshinweis: t x01 (t) x02 (t) x03 (t) 2 [0; 5 ] 18 36 14 2 6 [ 5 ; 11 ] 18 27 23 6 [ 11 ; 1] 54 0 14 7. Übungsblatt: Transportoptimierung 1. Auslieferung von Erbsen Die Kohl-AG stellt als eines ihrer Hauptprodukte Erbsen in Dosen her. Die Erbsen werden in drei Fabriken eingedost. Anschließend werden sie mit dem LKW an vier Auslieferungslager verteilt. Da die Transportkosten einen Hauptkostenblock bilden, hat das Management eine Studie in Auftrag gegeben mit dem Ziel, diese soweit wie möglich zu reduzieren. Für die kommende Saison ist der Ausstoß jeder Fabrik geschätzt worden und jedem Lagerhaus ein bestimmter Teil der Erbsenproduktion zur Verteilung vorgegeben worden. Die nachfolgende Tabelle zeigt diese Daten (als Einheit gelten LKW-Ladungen) zusammen mit den Transportkosten pro LKW-Ladung zwischen den einzelnen Fabriken und Lagerhäusern. Fabrik 1 Fabrik 2 Fabrik 3 Zuteilung 1 630 710 340 80 Lager 2 3 150 320 380 600 250 170 65 70 4 310 400 420 85 Ausstoß 75 125 100 Es ist ein Plan zu ermitteln, der die Transportmengen zwischen den Fabriken und Lagerhäusern so festlegt, daß die gesamten Transportkosten minimiert werden. 2. Betontransport Ein mittelständischer Betonhersteller verfügt über zwei an der B1 gelegenen Zementwerke in Soest und Salzkotten. Die mit Beton zu beliefernden Baustellen liegen gleichfalls an der B1, und zwar in Osttönnen und Geseke. Die Entfernungen der Städte, die Kapazitäten der Zementwerke und der Bedarf der Baustellen sind der folgenden Skizze zu entnehmen: ———– 10 km Osttönnen 7 ME ———– Soest 10 ME 40 km ———– Geseke 8 ME 10 km ——— Salzkotten 5 ME – B1 – Die Transportkosten je gefahrenen Kilometer betragen 10 DM. a) Geben Sie die Datentabelle des zugehörigen klassischen Transportproblems an ! b) Bestimmen sie einen kostenminimalen Transportplan ! c) In Osttönnen werden zwei zusätzliche ME Beton benötigt. Die Produktionskapazität kann jedoch nur in Salzkotten um zwei ME erweitert werden. Bestimmen Sie unter diesen geänderten Rahmenbedingungen einen neuen kostenminimalen Transportplan ! Begründen sie, weshalb die Gesamtkosten geringer ausfallen, obwohl zwei ME mehr zu transportieren sind ! 3. Bereitstellen von Servietten Ein Hotelier erhält den Auftrag, die Teilnehmer eines 6-tägigen Kongresses mit Mahlzeiten zu versorgen. Für die Mahlzeiten werden spezielle Servietten mit dem Emblem der Tagungsgesellschaft gewünscht. Der Hotelier weiß, daß an den Kongreßtagen jeweils folgende Anzahl an frischen Servietten benötigt wird (Angaben zu je 100 ME) : Tag Anzahl 1 5 2 4 3 5 4 6 5 7 6 3 Der Hotelier kann die gewünschten Servietten zu 5 GE pro Stück einkaufen. Benutzte Servietten können gereinigt werden. Es bestehen zwei Möglichkeiten der Reinigung. Eine Normalreinigung kostet 2 GE pro Stück und dauert 2 Tage, d.h. die Servietten sind am zweiten Tag nach der Abgabe bei der Wäscherei wieder verfügbar. Bei einer Schnellreinigung hingegen entstehen Kosten von 3 GE pro Stück, und die Servietten können bereits am nächsten Tag wieder verwendet werden. Der Hotelier möchte die gewünschten Servietten zu möglichst geringen Kosten bereitstellen. 4. Belieferung von Großkunden Einem Unternehmen liegen Bestellungen von drei Großkunden vor, die 80 ME (Kunde K1), 60 ME (Kunde K2) und 110 ME (Kunde K3) eines bestimmten, beliebig teilbaren Produktes bestellt haben. Das Unternehmen verfügt über drei Auslieferungslager (L1,L2,L3), in denen die folgenden Mengen des betreffenden Produktes lagern: 120 ME in L1, 60 ME in L2 und 90 ME in L3. Die Entfernungen (in km) zwischen den Auslieferungslagern und den einzelnen Kunden können der folgenden Entfernungsmatrix entnommen werden: L1 L2 L3 K1 K2 1500 1600 1400 1250 850 950 K3 750 1100 1450 Eine Belieferung des Kunden K3 aus Lager L1 ist ausgeschlossen, da diese Verkehrsverbindung über eine Brücke führt, die von den für den Transport vorgesehenen Spezialfahrzeugen nicht passiert werden kann. Die mengenabhängigen Transportkosten betragen pro 100 km genau 2 DM/ME. Ferner fallen auf den folgenden Lieferstrecken Umladekosten in Höhe von 5 DM/ME an: von L2 nach K3, von L3 nach K1 und von L3 nach K2. (a) Bestimmen Sie die Menge aller optimalen Lösungen ! (b) Im Rahmen von Förderungsmaßnahmen zur Verbesserung der Infrastruktur wird ein neues Autobahnstück gebaut, das die Wegstrecke zwischen L2 und K2 verkürzt. Wieviele Kilometer darf diese Verkürzung höchstens betragen, damit eine im Aufgabenteil a) ermittelte Lösung optimal bleibt ? (c) Um wieviel dürfen die Umladekosten maximal steigen (in DM/ME), ohne das eine unter a) gefundene Lösung ihre Optimalitätseigenschaft verliert ? (d) Welche Optimallösung erhält man, wenn das Lager 1 zu räumen ist ? 5. Obstimport Der Obstimporteur Trutz Graf Erbsenbruch verfügt über 50 Schiffscontainer Bananen in den Seehäfen Hamburg (24 Container), Bremen (10 Container) und Rotterdam (16 Container). Er beliefert Großmärkte in München (19 Container), Dresden (13 Container) und Saarbrücken (16 Container). Der Transport der Großcontainer erfolgt per Sattelschlepper (ein Container pro LKW). Graf Erbsenbruch arbeitet dabei mit drei Speditionsfirmen zusammen: In Ergänzung zur übermächtigen Eurotrans, die von den Seehäfen direkt zu den Großmärkten fährt, nimmt er die nur regional tätigen Spediteure Friesentruck und Bayernexpress über Zwischenlager in Frankfurt und Kassel in Anspruch. Während in Frankfurt beliegig viele Großcontainer zwischengelagert werden können, ist die Lagerkapazität in Kassel auf 6 Großcontainer beschränkt. Umlagerungen zwischen Frankfurt und Kassel sind wegen der kurzen Entfernung unwirtschaftlich und damit ausgeschlossen. Zudem verweigert die Firma Eurotrans dem Obstimporteur Fahrten von und nach Frankfurt bzw. Kassel, um die regional operierenden Konkurrenzunternehmen zu schwächen. Die von den drei Spediteuren befahrenen Routen sowie die jeweils entstehenden Transportkosten hat Graf Erbsenbruch wie folgt tabellarisch zusammengefaßt (Angaben in DM pro Container und Strecke; der Kostensatz x bedeuted, daß die entsprechende Route nicht angeboten wird): HH HB Ro Mü Dr Sb 1000 700 800 1200 900 x 1100 800 700 HH HB Ro Fr 600 x 400 Ka 500 600 600 Fr Ka Mü 400 500 Dr Sb 300 300 x 500 Auf Grund der bestehenden Konkurrenzsituation war es Graf Erbsenbruch möglich, die Kosten für das Umladen und die kurze Zwischenlagerung in Frankfurt und Kassel auf die Unternehmen Friesentruck und Bayernexpress abzuwälzen. Nichtnachgefragte Container verbleiben in den Lagerhallen der Seehäfen. Allerdings ist zu beachten, daß in Rotterdam keine Einlagerung möglich ist. Bei der Einlagerung fallen in Hamburg 100 DM und in Bremen 200 DM Einlagerungskosten je Großcontainer an. (a) Bestimme die Menge der optimalen Lösungen mit minimalen Transport- und Einlagerungskosten ! (b) Für welche der bestimmten optimalen Pläne wird sich der Obstimporteur entscheiden, wenn er i. den Umsatz von Eurotrans möglichst klein halten möchte ? ii. möglichst viele der etwas frischeren Bananen aus dem Seehafen Rotterdam an den Kunden in München liefern möchte? 8. Übungsblatt: Diskrete Optimierung 1. Modellierung von Diskretheitsforderungen Formulieren Sie für die folgenden Probleme jeweils äquivalente gemischt-ganzzahlige lineare 0-1-Optimierungsaufgaben ! a) Diskontinuierliche Versorgungsproblem (siehe 1. Aufgabenblatt) b) Gegeben sei eine Optimierungsaufgabe der Gestalt z= n X j=1 n X cj xj −→ M ax. aij xj ≤ bi , i=1,...,m (?) 0 ≤ xj ≤ sj , j=1,...,n . j=1 Von den m Nebenbedingungen (?) müssen nicht alle, aber mindestens k Bedingungen erfüllt werden ! c) Gegeben sei eine Optimierungsaufgabe der Gestalt z= n X j=1 n X fj (xj ) −→ M in. aij xj = bi , i=1,...,m 0 ≤ xj ≤ sj , j=1,...,n . j=1 Die Funktionen fj (xj ), j = 1, ..., n, berücksichtigen Fixkosten und haben die Gestalt fj (xj ) = 0 , falls xj = 0 fj (xj ) = cj xj + fj , falls xj > 0 . 2. Kapitalanlage Jemand verfügt über 37 TDM. Er kann sie in 5 verschiedene Projekte investieren. Erforderliche Investitionen und erwartete Gewinne je Projekt ergeben sich aus der folgenden Tabelle: Projekt 1 2 3 4 5 Investitionen in TDM 17 16 21 12 8 Gewinn (pro Jahr) in TDM 11 14 16 7 8 In welche Projekte sollte man die Mittel investieren, um den jährlichen Gewinn zu maximieren ? 3. Nettoeinkommen einer Farmerfamilie Eine Farmerfamilie besitzt 125 ha Land und Geldmittel in Höhe von $ 40000, die für Investitionen zur Verfügung stehen. Während der Wintermonate (Mitte September bis Mitte Mai) kann die Familie ihre Arbeitskraft für 3500 h produktiv einsetzen, im Sommer für 4000 h. Falls diese Arbeitsstunden nicht alle auf der eigenen Farm benötigt werden, können die jüngeren Familienmitglieder für $ 5.00/h im Winter und $ 6.00/h im Sommer auf der Nachbarfarm arbeiten. Ihr Einkommen kann die Familie aus dem Anbau von 3 Feldfrüchten und der Haltung von Milchkühen und Legehennen beziehen. Der Anbau der Feldfrüchte erfordert keine Investitionen, während jede Kuh $ 1200 und jede Henne $ 9 kostet. Jede Kuh benötigt 1.5 ha Land sowie 100 Arbeitsstunden während der Wintermonate und weitere 50 Arbeitsstunden im Sommer. Jede Kuh bringt der Familie ein Nettoeinkommen von $ 1000. Die entsprechenden Werte für Hennen sind: kein Landbedarf, 0.6 Arbeitsstunden im Winter und weitere 0.3 h im Sommer, ein jähliches Nettoeinkommen von $ 5. Der Hühnerstall kann maximal 3000 Hennen aufnehmen; die Größe der Scheune begrenzt die Kuhherde auf maximal 32 Tiere. Den notwendigen Arbeitseinsatz und das Einkommen je bestelltem ha Land beträgt für die 3 Feldfrüchte Arbeitsstunden im Winter Arbeitsstunden im Sommer jährliches Nettoeinkommen Sojabohnen 20 50 500 Mais 35 75 750 Hafer 10 40 350 Welche Flächen sind wie zu bepflanzen und wieviel Kühe und Hennen sind zu halten, um das Nettoeinkommen zu maximieren ? Welchen Wert besitzt die geleistete Arbeit auf der eigenen Farm im Winter bzw. im Sommer ?
