beispielsammlung bildungsstandards

Susanne Ripper
HLT K
REMS BEISPIELSAMMLUNG BILDUNGSSTANDARDS Beispielsammlung Bildungsstandards 1) Auslastung
Laut Bundessparte Tourismus und Freizeitwirtschaft gibt es folgende Formel zur Berechnung der
Auslastung eines Hotels (Quelle: www.dertourismus.at)
Auslastung in % = (Übernachtung * 100)/(Betten * Tage)
a) Erkläre diese Formel!
b) Dokumentiere die Anwendung der Formel an Hand folgender Angaben:
„Hotel unter den 3 Eichen“
44 Betten
Sommermonate Juni – August: 2700 Übernachtungen
Möglicher Lösungsweg:
a) Unter Auslastung versteht man den Anteil der verkauften Betten an der vorhandenen
Bettenkapazität.
Wenn an einem Tag von beispielsweise 100 vorhandenen Betten 50 verkauft werden, beträgt die
Auslastung 50%.
Soll die Auslastung für einen größeren Zeitraum angegeben werden, so muss die Anzahl der
vorhandenen Betten mit der Anzahl der Tage (der gefragte Zeitraum) multipliziert werden, damit
erhält man die größtmögliche Übernachtungszahl für den gegebenen Zeitraum. Soll nun in Folge
der Anteil ermittelt werden, so muss nur die Anzahl der tatsächlichen Übernachtungen durch die
größtmögliche Übernachtungszahl dividiert werden. Damit erhält man den Anteil als Dezimalzahl,
multipliziert man diese mit 100, so wird der Anteil, die sogenannte Auslastung, in % angegeben.
b) Übernachtungen: 2700
Betten: 44
Tage: 92 (Juni, Juli, August)
Auslastung :
2700 100
 66,6996%  66,7%
44  92
2) Eintrittskarten
Eine Agentur hat Eintrittskarten zu einer sehr stark nachgefragten Vorstellung gekauft, um diese
mit Gewinn wieder zu verkaufen. Leider hat sehr kurzfristig die Hauptdarstellerin abgesagt, sodass
die Theaterkarten in ihren Preis um 50% gefallen sind. Da sehr rasch nach gutem Ersatz gesucht
worden war, konnten die Karten ihren Preis wieder um 50% steigern.
Beurteilen Sie die folgenden Aussagen:
a)
b)
c)
d)
Der
Der
Der
Der
Kartenpreis
Kartenpreis
Kartenpreis
Kartenpreis
Mag. Susanne Ripper ist nach den Änderungen derselbe wie ursprünglich.
beträgt nun 75% des ursprünglichen Preises.
ist um ein Viertel gesenkt worden.
ist um die Hälfte gestiegen.
Seite 2 Beispielsammlung Bildungsstandards Möglicher Lösungsweg:
x....Preis pro Karte
x . 50% . 150% = x . 75%
Antwort b) und c) richtig
ODER:
Hälfte des ursprünglichen
Kartenpreises
25%
50%
Hälfte des verminderten
Kartenpreises kommt
wieder dazu!
25%
Aus dieser grafischen Darstellung ist eindeutig erklärbar, dass Antwort b) und c) richtig sind!
3) Schipisten
In einem Prospekt zu einem neu eröffneten Schigebiet kann man folgende Schlagzeile lesen:
„Unsere schwarzen Pisten haben ein Gefälle von 79%, nur 20% mehr und sie wären senkrecht“
Was ist falsch an dieser Aussage? Was bedeutet 100% Steigung?
Skizze:
100% Steigung bedeutet 45°
Mag. Susanne Ripper Seite 3 Beispielsammlung Bildungsstandards Würde der Steigungswinkel 79° betragen, dann würden nur 11° fehlen, um einen rechten Winkel,
also senkrechte Steigung zu erhalten. Bei Gefälle von 79% bedeutet das ein Gefälle von weniger
als 45°. Möglicherweise wurde % mit ° verwechselt!
4) Weg-Zeit-Diagramm
Mag. Susanne Ripper Seite 4 Beispielsammlung Bildungsstandards 5) Kartoffelkauf
6) Graphen zuordnen
Mag. Susanne Ripper Seite 5 Beispielsammlung Bildungsstandards Mag. Susanne Ripper Seite 6 Beispielsammlung Bildungsstandards 7) Diagramm lesen
8) x, f(x) ???
Mag. Susanne Ripper Seite 7 Beispielsammlung Bildungsstandards 9) Geschwindigkeit - Kraftstoffverbrauch
10)
Celsius - Fahrenheit
11)
Lage von Geraden
Mag. Susanne Ripper Seite 8 Beispielsammlung Bildungsstandards 12)
Wirkstoffanteil
13)
Bewegung zweier Fahrzeuge
Mag. Susanne Ripper Seite 9 Beispielsammlung Bildungsstandards 14)
Lösen von Gleichungen mittels Funktionsgrafen
15)
Lineare Funktion?
Mag. Susanne Ripper Seite 10 Beispielsammlung Bildungsstandards 16)
Fläche von Italien
Die folgende Karte zeigt Italien. Schätze mit Hilfe des angegebenen Maßstabs die Fläche von
Italien (mit Sizilien und Sardinien). Zeichne in der Karte, wenn es dir hilft!
Mag. Susanne Ripper Seite 11 Beispielsammlung Bildungsstandards 17)
Bildungsstandard der Österreicherinnen und Österreicher
In einer Tageszeitung findet man folgende Schlagzeile:
„3/4 aller Österreicher(innen) haben keine Matura“
Welche der folgenden Aussagen gibt die Bedeutung der Aussage der Schlagzeile sinngemäß richtig
wieder, welche nicht?
richtig Falsch
A
B
C
Jede/r dritte Österreicher(in) hat keine Matura
25% aller Österreicher(innen) haben Matura
Das Verhältnis der Österreicher(innen) mit Matura
zu jenen ohne Matura ist 3:4
D Im Durchschnitt hat eine/r von vier Österreicher(inne)n Matura
18)
Mädchen in der Überzahl
In einer Schule sind die Mädchen deutlich in der Überzahl. In jeder einzelnen Klasse gilt sogar:
M> B.2
Wenn in einer Klasse 8 Buben sind, welche der folgenden Aussagen über die Anzahl der Mädchen
in dieser Klasse wird durch die Ungleichung ausgedrückt?
O
O
O
O
O
O
Es
Es
Es
Es
Es
Es
sind
sind
sind
sind
sind
sind
19)
mindestens 15.
höchstens 15.
mindestens 16
höchstens 16.
mindestens 17.
höchstens 17.
Wandertag
Die Klasse will am Wandertag mit dem Bus zu einem Schloss fahren. Sandra und Lukas haben in
zwei Reisebüros nachgefragt und folgende Auskünfte erhalten:
Tarif 180/2: Für den Bus wird eine Tagesgebühr von 180 € verlangt, zusätzlich kostet jeder
gefahrene Kilometer noch 2 €.
Tarif 120/3: Für den Bus wird eine Tagesgebühr von 120 € verlangt, zusätzlich kostet jeder
gefahrene Kilometer noch 3 €.
Sandra hat auch schon ausgerechnet, dass beide Tarife gleich teuer wären, wenn man genau 60
km fährt.
Bei welchen Fahrtstrecken ist welcher Tarif günstiger? Warum ist dies so?
Mag. Susanne Ripper Seite 12 Beispielsammlung Bildungsstandards 20)
Bildungsstand 2002
Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung der österreichischen Wohnbevölkerung (15 Jahre und
älter) hinsichtlich der höchsten abgeschlossenen Ausbildung:
Bildungsstand
Relative Häufigkeit in %
Pflichtschule
31
Lehre
35
Fachschule
11
AHS, BHS
16
Universität, Hochschule
7
insgesamt
100
Stelle diese Verteilung in einem Streifendiagramm dar!
in %
21)
Reiseangebot
Ein Reiseanbieter stellt fest, dass die dreitägige Fahrt zum Christkindlmarkt nach Nürnberg bei
einem Preis von € 179,- von 120 Gästen gebucht wird. Bei einer Preissenkung auf € 159,- kann der
Verkauf der Reise auf 150 Gäste gesteigert werden.
a) Welche Funktion erklärt den zu erwartenden Erlös?
b) Kann durch die Preissenkung der Erlös erhöht werden?
c) Man spricht von elastischer Nachfrage, wenn die prozentuelle Änderung der
Nachfrage größer ist als jene des Preises. Berechnen Sie, ob die Nachfrage für diese
Preissenkung elastisch oder unelastisch ist!
Möglicher Lösungsweg
a) E(x) = p . x
b)
E1(x) = 179 . 120 = 21480
E2(x) = 159 . 150 = 23850
Erlös erhöht sich durch Preissenkung und daraus resultierender gestiegener Nachfrage deutlich!
c) p(x) = ax + b
179 = 120a + b
159 = 150a + b
20 = - 30a
a = -2/3
b = 259
Mag. Susanne Ripper Seite 13 Beispielsammlung Bildungsstandards 2
p( x)   x  259
3
Prozentuelle Änderung der Nachfrage: 150/120 = 1,25  25% Steigerung
Prozentuelle Änderung des Preises: 159/179 = 0,888268..  11,2% Abnahme
Die prozentuelle Änderung der Nachfrage ist größer als die prozentuelle Änderung des Preises 
elastische Nachfrage!!)
22)
Graphen finden
Eine Polynomfunktion 3. Grades beschreibt den Verlauf der Gesamtkosten eines bestimmten
Produkts in einem Unternehmen in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x. Die Funktion ist so
erklärt, dass die Kosten zuerst degressiv, dann progressiv steigen. Der Fixkostenanteil beträgt 20
GE. Welcher der unten dargestellten Grafen passt zu dieser Beschreibung?
1)
3)
2)
4)
Möglicher Lösungsweg:
Interpretation der Begriffe degressiv und progressiv: unter- bzw. überproportional
Bedeutung dieser Aussage – grafische Umsetzung
Bei Grafik 3) und 4) ist durch den quadratischen bzw. linearen Kostenverlauf keine Änderung von
degressiv auf progressiv möglich und auch nicht erkennbar. Bei Grafik 1) ist der Funktionsverlauf
zuerst fallend, dann steigend, nur Grafik 2) erfüllt alle Anforderungen.
Mag. Susanne Ripper Seite 14 Beispielsammlung Bildungsstandards 23)
Maximaler Erlös
Eine kleine Fluglinie hat mit 60 beförderten Personen volle Auslastung auf einer bestimmten Route.
Ein Flugticket kostet dabei € 80,-. Um den Erlös zu steigern, überlegt die Fluglinie eine Erhöhung
des Ticketpreises. Sie schätzt, dass pro Erhöhung um 2 € eine Person weniger bucht. Welcher
Ticketpreis führt zum größtmöglichen Erlös?
Möglicher Lösungsweg
p(x) = ax + b
80 = 60a + b
82 = 59a + b
 a= -2, b = 200  p(x) = -2x + 200
E(x) = -2x² + 200x
E’(x) = -4x + 200
E’(x) = 0
-4x + 200 = 0
x = 50  p(50) = 100
Der größtmögliche Erlös wird bei einem Ticketpreis von 100 € erzielt.
Mag. Susanne Ripper Seite 15 Beispielsammlung Bildungsstandards 24)
Betriebsoptimum
Die unten dargestellte Grafik zeigt eine Durchschnittskostenfunktion. Erklären Sie den
Verlauf der Funktion und ermitteln Sie aus der Grafik das Betriebsoptimum.
Möglicher Lösungsweg:
Die Stückkostenfunktion ist ein gebrochen rationale Funktion (K(x)/x), daher an der Stelle 0 nicht
definiert. Unter Betriebsoptimum versteht man den Tiefpunkt der Stückkostenfunktion bzw. die
stückkostenminimale Menge, also anders gesagt die Menge die zu den niedrigsten Stückkosten
produziert werden kann.
Somit sucht man aus der Grafik den Tiefpunkt, das Minimum  xopt = 15
Grafik erklären
Die unten dargestellte Grafik zeigt eine Kostenfunktion 3. Grades, eine lineare Erlösfunktion,
sowie die daraus resultierende Gewinnfunktion. Ordnen Sie diese Begriffe den Funktionen in
der Grafik zu und erklären Sie auch die Bedeutung der eingezeichneten Punkte (BE, GG, KK,
Gmax). Erklären Sie weiters die Aussage der Tangente in dem Punkt BE an die dargestellte
Funktion.
Mag. Susanne Ripper Seite 16 Beispielsammlung Bildungsstandards Möglicher Lösungsweg:
Lineare Erlösfunktion ist eine Gerade und geht durch den Ursprung
Kostenfunktion schneidet die y-Achse in der Höhe der Fixkosten (also im positiven Bereich) und
geht vom degressiven Kostenverlauf in progressiven Kostenverlauf über.
Gewinnfunktion muss dort die Nullstellen haben, wo Kosten und Erlös einander schneiden. Gewinn
ist dort Null, wo Kosten durch Erlöse abgedeckt werden.
BE... break even – Gewinnschwelle, weder Gewinn noch Verlust, es wird kostendeckend
gearbeitet, am Beginn der Gewinnzone
GG... Gewinngrenze – kostendeckend, am Ende der Gewinnzone, ab dieser Menge steigen die
Kosten so stark an, dass die Erlöse die Kosten nicht mehr abdecken können, daher Übergang in
Verlust!
KK... Kostenkehre – Wendepunkt der Kostenfunktion, Übergang von degressiven in progressiven
Kostenverlauf, Krümmung (2. Ableitung) = Null
Gmax...maximaler (größtmöglicher) Gewinn, Hochpunkt der Gewinnfunktion, Steigung (1.
Ableitung) der Gewinnfunktion gleich Null
Die Tangente in BE gibt Auskunft über die Steigung des Gewinns im BE. Jede Tangente in
beliebigen Punkten an Funktionen beschreibt den Funktionsverlauf an der jeweiligen Stelle, und
gibt die Veränderung (Steigung oder Abnahme) des Funktionswertes bezogen auf das Argument
an.
Mag. Susanne Ripper Seite 17 Beispielsammlung Bildungsstandards 25)
Preisrätsel
Ein Reisebüro kreiert ein Preisrätsel das aus 15 Fragen besteht, jede Frage mit 5 vorgeschlagenen
Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Ein Kunde kreuzt die Antworten durch
bloßes Erraten an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde.....
Durch welche Wahrscheinlichkeitsfunktion kann die Wahrscheinlichkeit für obige Angabe berechnet
bzw. veranschaulicht werden? Begründen Sie Ihre Entscheidung!
Möglicher Lösungsweg:
Da bei dem Ausgang des Einzelereignisses nur richtig oder falsch möglich ist, und die
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses „Frage richtig beantwortet“ immer gleich p ist
(p = 1/5 = 20%), handelt es sich um eine binomial verteilte Wahrscheinlichkeitsfunktion.
26)
Manipulation von Diagrammen
Was können Sie über Manipulation von Diagrammen in Bezug auf die unten dargestellten Grafiken
sagen?
Möglicher Lösungsweg:
Durch die unterschiedliche Skalierung wird die Aussage über das Wachstum, das absolute
Wachstum, verfälscht. Im ersten Diagramm beginnt die Skalierung der y – Werte nicht bei Null,
dadurch wirkt ein geringer Zuwachs sehr viel größer.
Hier bietet sich an über die verschiedenen Arten der Manipulation von Diagrammen zu sprechen.
Mag. Susanne Ripper Seite 18 Beispielsammlung Bildungsstandards 27)
Interview durchführen
Ein Interview hat ganz bestimmte Rahmenbedingungen. Es dient dazu, feststellen zu können, ob
SchülerInnen den Stoff erfasst haben und darüber sprechen können. Vom Interviewer werden nur
Fragen gestellt, Feedback kommt erst zum Schluss. Über Fehler wird während des Interviews
hinweggesehen, aber man versucht durch Veränderung der Fragestellung, den Schüler noch
einmal zum Nachdenken über dieselbe Fragestellung zu bringen. …
Fragenkatalog für die Durchführung der Interviews
•
Beschreibe, was du siehst, was ist auf der Grafik dargestellt?
•
Wie hoch sind die Fixkosten dieses Betriebes (ca.)?
•
Wo befindet sich die Gewinnzone?
•
Bei welchen Mengen macht der Betrieb Verlust?
•
Wo ist der Erlös am größten –
ist diese Produktionsmenge erstrebenswert?
– Welcher Erfolg entsteht?
• Wie hoch ist der Gewinn bei Verkauf von 10ME?
•
Wodurch kann die Gewinnzone vergrößert werden –
wie wirkt sich diese Veränderung grafisch aus?
•
Zu welchem Preis wird das Produkt verkauft?
•
Was passiert, wenn die Fixkosten angehoben werden?
– wie würde dann die Grafik aussehen?
•
Wie verläuft die Kostenfunktion, wenn die variablen Kosten gesenkt werden?
•
Wo ist der Gewinn maximal?
•
Wie viel kann der Betrieb maximal produzieren?
Mag. Susanne Ripper Seite 19 Beispielsammlung Bildungsstandards 28)
Gehaltserhöhung
Mag. Susanne Ripper Seite 20 Beispielsammlung Bildungsstandards 29)
„Normale Äpfel“
30)
Druckkosten
Mag. Susanne Ripper Seite 21 Beispielsammlung Bildungsstandards 31)
Grafisches Zuordnen der Ableitungsfunktion
Mag. Susanne Ripper Seite 22 Beispielsammlung Bildungsstandards 32)
Zentral- und Streuungsmaße
Mag. Susanne Ripper Seite 23 Beispielsammlung Bildungsstandards 33)
Gewinnspiel
Mag. Susanne Ripper Seite 24 Beispielsammlung Bildungsstandards 34)
Arbeitslosenstatistik
35)
Nullstellen von Polynomfunktionen 3. Grades
Mag. Susanne Ripper Seite 25 Beispielsammlung Bildungsstandards 36)
Quadratische Funktionen
37)
Ableitung und Stammfunktion
Mag. Susanne Ripper Seite 26 Beispielsammlung Bildungsstandards 38)
Kostenarten
In untenstehender Grafik werden einige Begriffe aus der Kostentheorie anhand von Grafiken
erklärt.
a) Versuche den Unterschied zwischen fixen, variablen, Gesamt- und Stückkosten zu erfassen
und kurz und prägnant zu beschreiben! Erkläre auch die Form der „Kurven“
b) Gib zu jeder Kostenart Beispiele an!
K
o
s
t
e
n
Fixe Kosten
Menge
K
o
s
t
e
n
Variable Kosten
Menge
Gesamtkosten
Stückkosten
Mag. Susanne Ripper Seite 27 Beispielsammlung Bildungsstandards 39)
Gleichgewichtspreis
In untenstehender Grafik wird der Gleichgewichtspreis durch das Zusammenspiel von Angebot und
Nachfrage erklärt.
Erläutere zunächst die beiden Kurven für sich (Angebotskurve und Nachfragekurve) Welche
Bedeutung hat der Gleichgewichtspreis?
Mag. Susanne Ripper Seite 28 Beispielsammlung Bildungsstandards 40)
PISA Ergebnis
Das folgende Diagramm zeigt, dass die von österreichischen Schülerinnen und Schülern beim PISA
Test Mathematik im Jahre 2003 durchschnittlich erzielten Punkte geringer waren als die im Jahr
2000 erzielten Punkte. Unter Verweis auf die folgende Grafik sprechen österreichische
Tageszeitungen nach Bekanntwerden der Testergebnisse 2003 von einem katastrophalen Absturz.
Warum ist eine derartige Interpretation der angegebenen Grafik nicht angemessen?
516
514
512
510
508
506
504
502
500
Pisa 2000
41)
Pisa 2003
Bevölkerungswachstum in Österreich
Man weiß, dass die Bevölkerung Österreichs in den Jahren 1971 – 1991 recht langsam, in den
Jahren 2001 – 2005 besonders rasch gewachsen ist.
Begründe, warum dieses Wachstumsverhalten in der angegebenen Grafik nicht erkennbar ist!
8500
8000
7500
7000
6500
6000
1951
Mag. Susanne Ripper 1971
1991
2001
2005
Seite 29 Beispielsammlung Bildungsstandards 42)
Durchschnittliches Monatsgehalt
Für die sieben Mitarbeiter(innen) eines Betriebes fallen monatlich folgende Bruttgehälter (in €) an:
1240,980,8.760,950,1.200,1.120,1.500,Die Berechnung des arithmetischen Mittels dieser Bruttogehälter liefert einen um mehr als 1.000 €
höheren Wert als der Median. Kreuze an, welche Gründe es dafür geben könnte:
Trifft
zu
Trifft
nicht
zu
Beim arithmetischen Mittel werden alle Gehälter addiert, daher muss das
arithmetische Mittel immer größer sein als der Median.
Beim Median wirkt sich der hohe Wert 8.760,- nicht sehr stark aus, beim
arithmetischen Mittel hingegen schon.
Beim Median wirken sich die beiden niedrigen Gehälter (unter 1.000 €) sehr stark
aus.
Da der Median den zufällig in der Mitte stehenden Wert (hier 950 €) angibt, kann
der Median auch ein (im Vergleich zu den anderen Werten) sehr niedriger Wert
sein!
Mag. Susanne Ripper Seite 30