Mathematik verstehen 8 Die Normalverteilung Lösungsblatt Aufgabe

Mathematik verstehen 8
Die Normalverteilung
Lösungsblatt
Aufgabe 5.15
Aufgabenstellung:
Die Brenndauer von bestimmten Glühbirnen ist annähernd normalverteilt mit
 = 900 und  = 100 (Angaben in Stunden). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass eine zufällig ausgewählte Glühbirne dieser Art a) mindestens 1000 Stunden, b)
höchstens 800 Stunden, c) mindestens 750 und höchstens 1100 Stunden brennt?
Verwendete Formeln:
Standardisierung:
x =   z ⋅
⇒
z=
x−

Lösung der Aufgabe:
ad a)
Soll eine Glühbirne mindestens 1000 Stunden brennen, ist die Wahrscheinlichkeit P X ≥ 1000
zu berechnen.
Standardisierung:
z=
Berechnung von
X −  1000 − 900
=
=1

100
P X ≥ 1 :
P X ≥ 1 = 1 − 1 = 1 − 0,8413 ≈ 0,1587
ad b)
Soll eine Glühbirne höchstens 800 Stunden brennen, ist die Wahrscheinlichkeit P X ≤ 800 zu
berechnen.
Standardisierung:
z=
Berechnung von
X −  800 − 900
=
= −1

100
P X ≤ 800 :
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Die Normalverteilung
Lösungsblatt
Aufgabe 5.15
P X ≤ 800 = −1 = 1 − 1 ≈ 0,1587
ad c)
Soll eine Glühbirne mindestens 750 Stunden und höchstens 1100 Stunden brennen, ist die
Wahrscheinlichkeit P750 ≤ X ≤ 1100 zu berechnen.
Standardisierung:
z1
=
z2
=
X−

X−

=
=
750 − 900
100
1100 − 900
100
=
− 1,5
=
2
Berechnung von z 1  und  z 2  :
−1,5 =
2
≈
Berechnung von
1 − 1,5 =
0,9772
0,0668
P750 ≤ X ≤ 1100 :
P750 ≤ X ≤ 1100 =  z 2  − z 2  ≈ 0,9772 − 0,0668 = 0,9104
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