Kanalzuweisung bei großen Forderungen

Kanalzuweisung bei großen Forderungen - Teil 1
Teresa Mayer
20. Dezember 2007
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1
2 Präzisierungen
1
3 Alternative Definitionen
3.1 Eine Approximation und alternative Definition für den fraktalen Spann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Alternative Definition für den Unvollkommenheitsgrad . . . .
3
I
3
4
II
1
Einführung
Problemstellung: Gefunden werden soll eine Zuweisung von Funkkanälen an
Transmitter auf die Art, dass
• die resultierende Störung akzeptabel ist
• die Forderung an jeden Transmitter befriedigt ist
• und der kleinstmögliche Spann des Spektrums benutzt wird
Dafür stellen wir ein Modell für zulässige Zuweisungen“auf, welches fol”
gende Frage untersuchen soll: Welche Auswirkungen hat eine Änderung der
Forderungen bei gleichbleibenden Rahmenbedingungen auf die Zuweisung
der Funkkanäle?
Wir beschäftigen uns dafür mit drei Themen:
• mit dem Finden des kleinsten Spektrums des Spanns. Im Allgemeinen
ist dieses schwer zu finden, aber wir versuchen, untere Schranken für
den Spann zu finden, deren Leistung wir betrachten, wenn die Forderungen groß werden.
• mit der Zeit, die für die Berechnung des Spanns span(B, x) benötigt
wird, wenn B aus einer Clique hervorgeht. Dafür kann man ganzzahlige
Programmierung benutzen.
• mit der Berechnung des Spanns mit Ko-Ort und Adjazenz-Bedingungen.
2
Präzisierungen
Wir betrachten einen bestimmten Fall des Kanal-Zuweisungs-Modells mit einer Menge T von Transmittern, die festgesetzte Orte, Kräfte, Orientierungen
etc. haben und festgesetzte Vermehrungsgesetze. Dabei gilt die Annahme:
Die möglichen Kanäle sind gleichverteilt im Spektrum, so dass die Kanäle
positive ganze Zahlen repräsentieren.
Definition 2.1. Eine Zuweisung f an T ist eine Familie (f (t) : t ∈ T ).
Dabei soll später gelten: |f (t)| = Anzahl der vom Transmitter t geforderten Kanäle.
Als zulässige Zuweisungen gelten dabei Zuweisungen, die zu einem akzeptablen Grad der Störung führen. Diese sind in der Menge A zusammengefasst.
Definition 2.2. Ein Fall des Modells für zulässige Zuweisungen besteht aus
• einer nichtleeren Menge T (der Menge der Transmitter),
1
• einer positiven ganzen Zahl k (des Bereichs) und
• einer Menge A von Zuweisungen an T (den zulässigen Zuweisungen),
so dass die folgenden vier Eigenschaften gelten:
• A1 Zu jedem Transmitter t ∈ T gibt es eine Zuweisung f ∈ A mit
f (t) 6= ∅.
• A2 Wenn die Zuweisung (f (t) : t ∈ T ) in A ist und f 0 (t) ⊆ f (t) ∀t ∈ T ,
dann ist die Zuweisung (f 0 (t) : t ∈ T ) in A.
• A3 Für jede Zuweisung (f (t) : t ∈ T ) gilt: (f (t) : t ∈ T ) ∈ A ⇔
(f (t) + 1 : t ∈ T ) ∈ A; S + i bezeichnet hier die übersetzte“Menge
”
{s + i : s ∈ S}.
• A4 Eine Zuweisung f ist immer dann in A, wenn jede Bild-Einschränkung
von f auf einem Intervall von k aufeinanderfolgenden Kanälen in A
ist. Die Bildeinschränkung einer Zuweisung f auf einer Menge I von
Kanälen ist hier die Zuweisung g mit g(t) = f (t) ∩ I ∀t ∈ T .
Ein Modell für zulässige Zuweisungen kann repräsentiert werden durch
Durchschnitte der Menge Ak von A-zulässigen Zuweisungen f mit f (t) ⊆
{1, ..., k}∀t ∈ T . Es gilt: |Ak | ≤ 2nk , also ist insbesondere Ak endlich.
Nun betrachten wir einen bestimmten Fall (T, k, A) des Modells für
zulässige Zuweisungen.
Definition 2.3.
A.
• Eine A-zulässige Zuweisung“ist eine Zuweisung in
”
• Ein Forderungs-Vektor“für T ist ein nicht-negativer Vektor x = (xt :
”
t ∈ T ).
• Für einen ganzzahligen Forderungsvektor x nennt man eine A-zulässige
Zuweisung (A, x)-zulässig“, wenn die Anzahl der jedem Transmitter
”
t zugewiesenen Kanäle xt ist, also |f (t)| = xt ∀t ∈ T .
Definition 2.4. Seien fmax und
S fmin die maximalen bzw. minimalen Elemente von f (T ) mit f (T ) = t∈T f (t), f (T ) 6= ∅. Dann definieren wir
den Spann der (A, x)-zulässigen Zuweisungen als span(A, x):= der geringste
Wert von fmax über alle (A, x)-zulässigen Zuweisungen f .
Es gilt:
span(A, x) ≥ xmax
xmax = der maximale Wert von xt über alle Transmitter t ∈ T . Und:
span(A, x) ≤ k
P
t xt
2
≤ k|T |xmax
Wir betrachten nun eine Sammlung ((T, k, B) : B ∈ B) von Fällen des
Modells für zulässige Zuweisungen, bei dem für jedes B gilt: B ⊇ A (und wo
jedes B die selbe Menge T von Transmittern und den selben Bereich k hat):
Wir wollen untersuchen, wie gut wir eine untere Schranke für span(A, x)
erhalten, wenn einige Forderungen groß werden. Deshalb interessieren wir
uns für das Verhältnis
span(A,x)
maxB∈B span(B,x)
an der Grenze, wenn die Forderungen groß werden.
Definition 2.5. Für jede positive ganze Zahl l definieren wir:
rl (A, B) = maxx { maxspan(A,x)
: xmax = l}
B∈B span(B,x)
Dies ist das Maximum über alle ganzzahligen Forderungsvektoren x mit
xmax = l.
rl (A, B) konvergiert für l → ∞:
Definition 2.6. Diese Grenze ist der Unvollkommenheitsgrad“ imp(A, B)
”
des Paares (A, B), definiert als
f
(A,x)
imp(A, B) = supx { maxspanspan
f (B,x) }
B∈B
Dies ist das Supremum über alle ganzzahligen Forderungsvektoren x 6= 0.
Da der Bereich = k ist gilt:
span(A, (a + b)x) ≤ span(A, ax) + span(A, bx) + k − 1
für alle positiven ganzen Zahlen a und b.
Definition 2.7. Daher gilt (als ein Resultat der Subadditivität): Der Grenzwert
spanf (A, x) := liml→∞ span(A,lx)
l
existiert und wird bezeichnet als der fraktale Spann“.
”
3
3.1
Alternative Definitionen
Eine Approximation und alternative Definition für den
fraktalen Spann
Ak = Menge der A-zulässigen Zuweisungen f mit z.B. fmax ≤ k, f (t) ⊆
{1, ..., k} ∀t ∈ T . Es gilt: |Ak | ≤ 2nk .
Definition 3.1. Eine Zuweisung ψ ∈ Ak folgt“φ ∈ Ak , falls die Zuweisung
”
g, definiert durch g(t) = φ(t) ∪ (ψ(t) + k), A-zulässig ist. (Mit ψ(t) + k =
{c + k : c ∈ ψ(t)})
3
Definition 3.2. Einen gerichteten Graphen, in dem die Knoten die Zuweisungen von Ak repräsentieren und in dem es einen Bogen gibt von einem
Knoten uφ zu einem Knoten uψ (wenn gilt: ψ folgt φ), diesen nennen wir
einen gerichteten Graphen der Nachfolger“. Die geführten Kreise dieses
”
gerichteten Graphen sind die Elementarkreise“von A; C=Menge der Ele”
mentarkreise.
Schlüsselbeobachtung:
Jeder Pfad in dem gerichteten Graphen der Nachfolger, und im Speziellen
jeder wiederholte Pfad um einen Elementarkreis, liefert eine A-zulässige Zuweisung nach der Voraussetzung A4.
Sei C ein Elementarkreis mit l Knoten, dann sei kC = kl.
Sei t ∈ T , dann sei mC,t = |φ1 (t)| + |φ2 (t)| + ... + |φl (t)|, wobei φ1 , ..., φl ∈ Ak
die zu den Knoten von C gehörenden Zuweisungen sind.
Wir interessieren uns für den Wert span∗ (A, x) des folgenden linearen
Programms mit einer Variablen yc für jeden Elementarkreis C ∈ C:
P
P min C∈C kC yC
C∈C mC,t yC ≥ xt ∀t ∈ T
yC ≥ 0 ∀C ∈ C
Wir werden sehen, dass gilt: span∗ (A, x) = spanf (A, x) für jeden nicht negativen rationalen Vektor x.
Lemma 3.3. Für jeden Fall (T, k, A) des Modells für zulässige Zuweisungen
und für jeden Forderungsvektor x gilt
P
xmax ≤ span∗ (A, x) ≤ k t∈T xt .
Lemma 3.4. Für jeden Fall (T, k, A) des Modells für zulässige Zuweisungen
mit |T | = n, und jeden ganzzahligen Forderungsvektor x gilt
span∗ (A, x) − nk 2 2nk ≤ span(A, x) ≤ span∗ (A, x) + nk(2nk + 1).
span∗ (A, x) ist der Wert eines linearen Programms, und deshalb gilt:
span∗ (A, ax) = a ∗ span∗ (A, x) für alle positiven rationalen Zahlen a. Damit
und mit dem vorausgehenden Lemma folgt:
Theorem 3.5. Für jeden rationalen Forderungsvektor x gilt: span∗ (A, x) =
spanf (A, x).
3.2
Alternative Definition für den Unvollkommenheitsgrad
Wir benötigen Verallgemeinerungen des Polytops der stabilen Menge ST AB(G)
und des fraktalen Polytops der stabilen Menge QST AB(G) eines Graphen
G = (V, E). ST AB(G) ⊆ [0, 1]V ist die konvexe Hülle des Inzidenzvektors
der stabilen Menge in G.
4
T
Definition 3.6. QST AB(G) := K ST AB(K), mit dem Durchschnitt
über alle Cliquen K in G, K ist ein Graph auf dem Ganzen von V mit
ST AB(K) ⊆ [0, 1]V .
Definition 3.7. Das Elementarkreis-Polytop“ ECP (A) von A ist die kon” m 1 mC,t2
m n
vexe Hülle der Vektoren ( kC,t
, kC , ..., kC,t
) mit den Transmittern t1 , ..., tn ,
C
C
wenn sich C über die Menge C der Elementarkreise von A bewegt.
Da die Null-Zuweisung f (t) = ∅ ∀t ∈ T zu einer Schleife in dem gerichteten Graphen der Nachfolger gehört, deshalb ist 0 ∈ ECP (A).
Wegen des Theorems gilt für alle h ≥ 0:
spanf (a, x) ≤ h ⇔ x ∈ hECP (A).
hP bezeichnet hier die scalierte Menge {hx : x ∈ P }.
Definition 3.8. Für eine Sammlung B von Mengen B von Zuweisungen für
t1 , ..., tn definieren wir das Elementarkreis-Polytop“ECP (B) durch
”
T
ECP (B) = B∈B ECP (B).
Es gilt
maxB∈B spanf (B, x) ≤ h ⇔ x ∈ hECP (B),
und ECP (A) ⊆ ECP (B), wenn jedes B ∈ B eine Obermenge von A ist.
Wir nehmen an, dass die Transmitter durch die Knoten des Graphen G
repräsentiert werden und A die Menge aller zulässigen Färbungen von G
durch Mengen positiver ganzer Zahlen ist. D.h., dass eine Zuweisung genau
dann zulässig ist, wenn die Mengen der an benachbarte Knoten zugewiesenen
Kanälen disjunkt sind. Dann gelten A1-A4 mit dem Bereich k = 1. Der
gerichtete Graph der Nachfolger hat einen Knoten für jede stabile Menge
in G und enthält alle möglichen Bögen und Schleifen. Das ElementarkreisPolytop ECP (A) ist genau das Polytop der stabilen Menge ST AB(G).
Wir führen außerdem eine Menge BK ein für jede Clique K von G.
Diese Cliquen bestehen aus allen Färbungen von G, die die Knoten von
K mit disjunkten Mengen von Farben einfärben. Damit ist ECP ({BK :
K Clique in G}) genau das fraktale Polytop der stabilen Menge QST AB(G).
Theorem 3.9. Seien (T, k, A) und ((T, k, B) : B ∈ B) Fälle des Modells
für zulässige Zuweisungen mit B ⊇ A ∀B ∈ B. Dann gilt:
imp(A, B) = min{h ≥ 0 : ECP (B) ⊆ hECP (A)}
f
(1)
= max{span (A, x) : x ist eine Ecke von ECP (B)}
(2)
= liml→∞ rl (A, B).
(3)
Außerdem existiert ein ganzzahliger Forderungsvektor x mit
imp(A, B) =
spanf (A,x)
.
maxB∈B spanf (B,x)
5
Die Definition des Unvollkommenheitsgrades und das erste Lemma liefern uns eine obere Schranke des Unvollkommenheitsgrades:
Wenn (T, A) und ((T, B) : B ∈ B) Fälle des Modells für zulässige Zuweisungen sind mit B ⊇ A ∀B ∈ B, dann gilt:
imp(A, B) ≤ nk.
6