lektronik abor Schaltungstechnik (SC) Prof. Dr. Martin J. W. Schubert Ostbayerische Technische Hochschule Regensburg Prof. Dr. M. Schubert Schaltungstechnik Ostbayerische TH Regensburg Skript: Analoge Schaltungstechnik Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1.1 Symbole und Zeichen 1.1.1 1.1.1.1 1.1.1.2 1.1.2 1.1.2.1 1.1.2.2 1.1.2.3 Quellen Normierte Symbole für Quellen Andere, übliche Symbole für Quellen Halbleiter-Bauelemente Transistorsymbole, mit denen wir arbeiten Varianten: ähnliche Transistor-Symbole Symbole mit mehreren Transistoren 1.2 Spannung, Strom und Ladung 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.5.1 1.2.5.2 1.2.5.3 1.2.6 1.2.6.1 1.2.6.2 1.2.6.3 1.2.7 1.2.8 Kirchhoff’sche Maschenregel Kirchhoff’sche Knotenregel Ströme und Ladungen eines Bauelementes Ströme und Ladungen einer Schaltung Spannungs- und Stromteiler Regeln zur Berechnung von Spannungs- und Stromteilern Anwendung von Spannungsteilern zur Impedanzmessung Parallelschaltung von Widerstand und Leitwert Energie-Quellen und -Senken Identifikation von Energie-Quellen und -Senken Umformung von Spannungs- und Stromquellen Spannungsquelle mit Spannungsteiler realisieren Lineare Überlagerung in linearen Netzwerken (lineare Superposition) R2R-Leiter: Spannungsteiler und D/A-Wandler 1.3 Verstärkung von Signalen in Netzwerken 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Das Grundprinzip der Verstärkung Verstärkung eines Vierpols Das Verstärkungs-Bandbreite-Produkt 1.4 Miller-Effekt 1.4.1 1.4.2 1.4.2.1 1.4.2.2 1.4.2.3 1.4.2.4 Miller-Effekt: Herleitung Miller-Effekt Anwendungen Miller-Effekt mit negativer Rückkopplung in bipolarer Verstärkerstufe Kaskoden-Schaltung zur Reduktion des Miller-Effekts Miller-Effekts mit positiver Rückkopplung: Bootstrapping Großsignalanwendung des Miller-Effekts in der Digitaltechnik -2- Prof. Dr. M. Schubert Schaltungstechnik Ostbayerische TH Regensburg 1.5 Geschaltete Kapazitäten 1.5.1 1.5.2 1.5.3 Quer geschaltete Kapazität als äquivalenter Leitwert Quer geschaltete Kapazität als treibende Spannungsquelle Längs geschaltete Kapazität als äquivalenter Leitwert 1.6 Arbeiten mit Polen und Nullstellen 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.3.1 1.6.3.2 Pole und Nullstellen im Orts- und Bode-Diagrammen Pole und Nullstellen in Übertragungsfunktionen Die inverse Übertragungsfunktion Mathematische Betrachtungen und Folgerungen Anwendungen der inversen Übertragungsfunktion 1.7 Definition von Bel und deziBel (dB) 1.8 Die vier Axiome der Signalverarbeitung 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.8.4 1.8.5 1.8.6 Zeitvarianz und Zeitinvarianz Linearität Kausalität Stabilität Anwendung der LZI-Eigenschaften Zusammenhang von Impuls- und Sprungantwort bei LZI-Systemen 1.9 Schaltkreisanalyse: Techniken und Werkzeuge 1.9.1 1.9.2 1.9.2.1 1.9.2.2 1.9.2.3 1.9.2.4 Einfachste Grundlagen einer Spice-Schaltungsbeschreibung Analysen .OP: Operating Point bzw. Arbeitspunkt .DC: Statische Großsignal-Analyse .TRAN: Dynamische Großsignal-Analyse .AC: Kleinsignal-Analyse 1.10 Refrenzen 2 Arbeiten mit einzelnen Halbleiter-Bauelementen 2.1 Einfache Transistor-Modelle 2.1.1 2.1.2 2.1.2.1 2.1.2.2 2.1.2.3 2.1.2.4 2.1.3 2.1.4 Bipolartransistor-Modelle Feldeffekt-Transistor-Modelle Eingangs-Charakteristiken des Feldeffekt-Transistors Ausgangs-Charakteristiken des Feldeffekt-Transistors Einfachste Modell-Gleichungen für MOSFET und JFET Eigenschaften und technische Bedeutung der CMOS-Technologie Die Grundschaltungen von Bipolar- und Feldeffekt-Transistoren Zusammenfassung der Kleinsignal-Impedanzen des Transistors 2.2 Transistoren als Schalter 2.2.1 Eigenschaften eines Schalters -3- Prof. Dr. M. Schubert 2.2.2 2.2.3 2.2.3.1 2.2.3.2 2.2.3.3 2.2.4 2.2.4.1 2.2.4.2 Schaltungstechnik Ostbayerische TH Regensburg Bipolartransistor als Schalter FET als Schalter Generelle Eigenschaften (auch für Leistungsschalter) NMOS-Schalter in programmierbarer Logik Transmission-Gate: komplementärer (=ergänzender) MOS-Schalter Gemischt bipolare und CMOS (BiCMOS) Technologien Vergleich der Vor- und Nachteile verschiedener Logik-Technologien Gemischt bipolare und CMOS (BiCMOS) Technologien 2.3 CMOS-Technologie: Eigenschaften und technische Bedeutung 2.4 Berechnung der 3 Grundschaltungen des Bipolartransistors 2.4.1 2.4.1.1 2.4.1.2 2.4.1.3 2.4.1.4 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 Emitter-Schaltung mit Bipolartransistor Emitter-Schaltung mit Lastwiderstand -> ∞ (Stromquelle): Emitter-Schaltung mit endlichem Lastwiderstand und rCE -> ∞: Emitter-Schaltung mit Lastwiderstand und rCE endlich: Emitter-Schaltung mit aktiver Last (typisch für integrierte Schaltungen) Basis-Schaltung mit Bipolartransistor Kollektor-Schaltung mit Bipolartransistor (Emitter-Folger) Variante der Emitter-Schaltung: mit Emitterwiderstand Variante der Emitter-Schaltung: Induktivität als Last 2.5 Berechnung der 3 Grundschaltungen des FETs 2.5.1 2.5.1.1 2.5.1.2 2.5.1.3 2.5.1.4 2.5.2 2.5.3 Source-Schaltung mit Feldeffekt-Transistor Source-Schaltung mit Lastwiderstand -> ∞ (Stromquelle): Source-Schaltung mit endlichem Lastwiderstand und rDS -> ∞: Source-Schaltung mit Lastwiderstand und rCE endlich: Source-Schaltung mit aktiver Last (typisch für integrierte Schaltungen) Gate-Schaltung mit Feldeffekt-Transistor Drain-Schaltung mit Feldeffekt-Transistor (Source-Folger) 2.6 Strom- und Spannungsquellen (Biasing Circuits) 2.6.1 2.6.1.1 2.6.1.2 2.6.1.3 2.6.1.4 2.6.1.5 2.6.1.6 2.6.1.7 2.6.1.8 2.6.1.9 2.6.1.10 2.6.1.11 2.6.1.12 2.6.1.13 2.6.2 Stromquellen Widerstand als Stromquelle Induktivität als Stromquelle Transistor als Stromquelle Selbstleitender JFET als Stromquelle Einfache Stromspiegel mit MOSFETs (Quellen und Senken) Einfache Stromspiegel mit Biopolartransistoren Verringerung des Basisstromfehlers beim bipolaren Stromspiegel Stromquellen mit Source- / Emitter-Widerständen Kaskadierter Stromspiegel mit MOSFETs und Bipolartransistoren Wilson Stromspiegel mit MOSFETS und Bipolartransistoren Stromspiegel mit Schwellenstrom Stromspiegel mit Iout ≠ Iin: Mehrfache Verwendung einer Transistor-Basiszelle Ausnutzen der unendlichen Impedanz einer idealen Stromquelle Treibende Spannungsquellen -4- Prof. Dr. M. Schubert 2.6.2.1 2.6.2.2 2.6.2.3 2.6.2.4 2.6.2.5 2.6.3 2.6.3.1 Ostbayerische TH Regensburg Batterie als treibende Spannungsquelle Widerstand, Diode, Zenerdiode als treibende Spannungsquellen Geschaltete Kapazitäten als treibende Spannungsquelle Bipolartransistor mit 2 Widerständen als treibende Spannungsquelle Geschachtelte Bipolartransistoren als treibende Spannungsquelle DC/DC-Wandler Abwärtswandler (Buck Converter) 2.6.3.1.1 2.6.3.1.2 2.6.3.2 2.6.3.3 2.6.3.4 2.6.3.5 Schaltungstechnik Mit Längsregler und Wärmeverlusten: Pin > Pout Mit ausgeglichener Leistungsbilanz: Pin = Pout Aufwärstwandler (Boost Converter) Kombinierte Aufwärts-/Abwärts-Wandler Wandler mit Vorzeichenumkehr Transformator 2.7 Verstärkerstufen mit einzelnem Bipolar-Transistor 2.8 Verstärkerstufen mit einzelnem Feldeffekt-Transistor 2.8.1 2.8.1.1 2.8.1.2 2.8.1.3 2.8.1.4 2.8.1.5 2.8.2 2.8.2.1 2.8.2.2 2.8.2.3 Diskreter Verstärker mit JFET in Source-Schaltung Einstellung des Arbeitspunktes an Gate und Source Berechnung des Drain-Stromes IDa für RL=0 Berechnung des Drain-Stromes IDa für RL-> JFET in Source-Schaltung mit beliebiger Last ZL Berechnung der Mindestwerte für die Kapazitäten Diskreter Verstärker mit JFET in Drain-Schaltung (Source-Folger) Einfachste Version des Source-Folgers Ausgangswiderstand und maximale Ausgangsamplitude getrennt einstellen Erhöhung des Eingangswiderstandes mittels Bootstrap - Schaltung 2.9 Kopplung von Verstärkerstufen 2.10 Klassifizierung von Verstärkerstufen 3 Verstärker für differentielle Signale 3.1 Die differentielle Eingangsstufe 3.1.1 3.1.1.1 3.1.1.2 3.1.1.3 3.1.1.4 3.1.1.5 3.1.2 3.1.2.1 3.1.2.2 3.1.2.3 3.1.2.4 Schaltungstechnik und Verhalten Differentielle Eingangsstufe mit MOSFETs Differentielle Eingangsstufe mit Bipolar-Transistoren Großsignalverhalten der differentiellen Eingangsstufe Kleinsignalverhalten der differentiellen Eingangsstufe Differentielle Eingangsstufe mit Kollektor-Widerstand Eigenschaften und charakteristische Größen Eingangsimpedanzen Common Mode Rejection Ratio (CMRR) Power Supply Rejection Ratio (PSRR) Common Mode Range (CMR) 3.2 Differentielle Verstärkerstufen für analoge Signale 3.2.1 Differential-In – Differential-Out Verstärker mit passiver Last -5- Prof. Dr. M. Schubert 3.2.1.1 3.2.1.2 3.2.1.3 3.2.1.4 3.2.2 3.2.2.1 3.2.2.2 3.2.3 3.2.3.1 3.2.3.2 3.2.3.3 Schaltungstechnik Ostbayerische TH Regensburg Differential Input to Differential Output Verstärker, Emitter direkt gekoppelt Differential Input to Differential Output Verstärker, Emitter getrennt Digitally Probrammable Gain Amplifier (PGA) Verstärkung mit Lastimpedanz Single-Ended Verstärker mit zusätzlicher passiver Last Verstärkung mit Lastimpedanz Differentialstufe als gesteuerte Stromquelle Differentielle Verstärker mit aktiver Last Differentielle Eingangsstufe mit Stromspiegel Einfachste Differential Input to Differential Output CMOS Stufe Einfacher Rail-to-Rail Push-Pull CMOS Operationsverstärker 3.3 Beispiele für „Diff-In / Single-Ended-Out“ Verstärker 3.3.1 3.3.2 Das dreistufige Verstärkerprinzip für „Single-Ended“ Ausgänge Der TL08x von Texas Instruments 3.4 Vollständig differentielle (Diff-In / Diff-Out) Verstärker 3.4.1 3.4.2 3.4.3 Das Prinzip der gefalteten Kaskode Einfacher Diff-In / Diff-Out - Verstärker Vollständig symmetrischer Diff-In / Diff-Out - Verstärker 3.5 Spezielles + Aktuelles 3.5.1 3.5.2 3.5.2.1 3.5.2.2 3.5.3 Differentieller Komparator EEPROM Mixed-Signal-Schaltkreise Ladungspumpe zur erzeugung einer erhöhten Spannung Sense Amplifier Vorhergesagte 0,5-Volt Technologie und VT0>½VDD [7]: Bulk-Input 3.6 Referenzen 4 Schaltungen mit Operationsverstärkern 4.1 Der ideale Operationsverstärker 4.1.1 4.1.1.1 4.1.1.2 4.1.1.3 4.1.1.4 4.1.1.5 4.1.2 4.1.2.1 Idealer OP mit positiver Rückkopplung Komparator Schmitt-Trigger Oszillator Fensterkomparator Die wichtigsten Kennwerte realer Komparatoren Idealer OP mit negativer Rückkopplung Der virtuelle Kurzschluß 4.1.2.1.1 Das Prinzip des virtuellen Kurzschlusses 4.1.2.1.2 Anwendungsbeispiel des virtuellen KS: gesteuerte Stromquellen 4.1.2.2 Der ideale OP in der Grundschaltung als Invertierer 4.1.2.2.1 Das Prinzip des als Invertierer geschalteten OPs 4.1.2.2.2 Einfacher Invertierer 4.1.2.2.3 Summierer für Ströme: Strom-Spannungs-Wandler 4.1.2.2.4 Invertierender Summierer für Spannungen -6- Prof. Dr. M. Schubert 4.1.2.2.5 4.1.2.2.6 4.1.2.2.7 4.1.2.2.8 4.1.2.2.9 4.1.2.2.10 4.1.2.2.11 4.1.2.2.12 4.1.2.2.13 4.1.2.2.14 4.1.2.2.15 4.1.2.2.16 4.1.2.2.17 4.1.2.3 Schaltungstechnik Ostbayerische TH Regensburg Digital-Analog-Wandler Integrator Differenzierer Invertierer, Integrator, Differenzierer mit geschalteten Kapazitäten Differenzierer mit vorgeschaltetem Widerstand R1 Differenzierer mit Integrator im Rückkopplungszweig Integrator mit Nullstelle Einstellbarer Tiefpaß / Hochpass, RC seriell Einstellbarer Tiefpaß / Hochpass, RC parallel Einstellbarer Tiefpaß / Hochpass, RC parallel und seriell Invertierer für sehr hohe Spannungsverstärklungen Nichtlineare Funktionen: Logarithmus und Exponent Analoger Multiplizierer Der ideale OP in der Grundschaltung als Nichtinvertierer 4.1.2.3.1 Idealer OP als Nichtinvertierer 4.1.2.3.2 Anwendung des Nichtinvertierers als Wechselspannungsverstärker 4.1.2.4 4.1.2.5 4.1.2.6 4.1.2.7 4.1.2.8 4.1.2.9 4.1.2.10 4.1.2.11 4.1.2.12 Kombinierter Invertierer und Nichtinvertierer Diff.-In / Single-Endet-out Verstärker mit Eingangsstrom Iin1 = - Iin2 Diff.-In / Single-Endet-out Verstärker mit Eingangsspannungen Uin1, Uin2 Diff.-In / Diff-Out – Buffer mit zwei OPs Diff.-In / Single-Ended Out – Instrumentation Amp., Voltage-Feedback (VFB) Diff.-In / Single-Ended Out – Instrumentation Amp., Current-Feedback (CFB) Messverstärker in Brückenschaltung Single-Ended → Differentiell Signalumwandlung mit CMFB - Einstellung Optional: SC Based CMFB Generation for Fully Differential CMOS-OpAmp 4.2 Der reale Operationsverstärker 4.3 Techniken zur Kompensation der Offset-Spannung 4.3.1 4.3.2 4.3.3 Justieren einer Kompensationsspannung Chopper-Stabilisierung Auto-Zero-Technik 4.4 Makromodelle für Operationsverstärker 4.4.1 4.4.2 4.4.3 Spannungsgesteuerte Spannungsquelle Spice-Macro für den TL08x mit JFET- Eingang Spice-Macro für den OP07 mit bipolarem Eingang 5 Rückgekoppelte Systeme 5.1 Das Prinzip der linearen Rückkopplung 5.1.1 5.1.2 5.1.2.1 5.1.2.2 5.1.2.3 5.1.2.4 5.1.2.5 5.1.2.6 System mit differentiellem Eingang System mit summierendem Eingang Mathematische Herleitung Signalfluß-Modell für den Summierer Signalfluß-Modell für den summierenden Integrierer Signalfluß-Modell für den summierenden Integrierer Anwendung 1: Rückgekoppeltes System 1. Ordnung mit Integrator Anwendung 2: Rückgekoppeltes System 2. Ordnung mit 2 Integratoren -7- Prof. Dr. M. Schubert Schaltungstechnik Ostbayerische TH Regensburg 5.2 Fehlerunterdrückung durch Rückkopplung 5.3 Stabilität rückgekoppelter Systeme 5.3.1 5.3.2 5.3.2.1 5.3.2.2 5.3.2.3 5.3.3 Stabilitätsbetrachtungen and der offenen Schleife Stabilitätsbetrachtungen an der geschlossenen Schleife D=1: Aperiodischer Grenzfall D>1: Kriechfall D<1: Schwingfall Berechnung der Pole der geschlossenen Schleife 5.4 Das Verstärkungs-Bandbreite-Prod. rückgekoppelter Systeme 5.5 Die vier Varianten der elektrischen Rückkopplung 5.5.1 5.5.1.1 Spannungsgesteuerte Spannungsquelle: RK-Einkop. seriell / parallel Berechnung von Z in* bei i2=0: 5.5.1.2 * Berechnung von Z out bei u1=0: 5.5.2 5.5.2.1 Stromgesteuerte Stromquelle: RK-Einkopplung parallel / seriell Berechnung von Z in* bei u2=0: 5.5.2.2 * Berechnung von Z out bei i1=0: 5.5.3 5.5.3.1 5.5.3.2 Spannungsgesteuerte Stromquelle (OTA): RK-Eink. seriell / seriell * Berechnung von Z in bei u2=0: * bei u1=0: Berechnung von Z out 5.5.4 5.5.4.1 Stromgesteuerte Spannungsquelle: RK-Einkoppl. parallel / parallel Berechnung von Z in* bei i2=0. 5.5.4.2 * Berechnung von Z out bei ug=0: 5.6 Mitkopplung 5.6.1 5.6.2 Harmonische Oszillatoren Nichtlineare Oszillatoren 5.7 Frequenz-Kompensation rückgekoppelter Systeme 5.7.1 5.7.2 5.7.3 5.7.4 5.7.5 5.7.6 5.7.7 5.7.8 5.7.9 Invertierer oder Nicht-Invertierer ? Stabilitätskriterien Kompensation durch einen resistiven Spannungsteiler Kompensation durch einen Tiefpaß Kompensation durch ein Verzögerungs-Vorhalte-Glied (Lead-Lag) Pol-Nullstellen-Kompensation mit Miller-Kondensator Kompensation großer Lastkapazitäten Wo soll kompensiert werden? Eingangs-Kompensation 6 Gemischt analog/digitale Regelschleifen -8- Prof. Dr. M. Schubert Schaltungstechnik Ostbayerische TH Regensburg 6.1 Quantisierung: D/A- und A/D-Wandler 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.3.1 6.1.3.2 6.1.4 Digital / Analog Konverter (DAC) 6.1.1.1 Gewichtete Summation 6.1.1.2 DAC mit R-2R - Leiter 6.1.1.3 R-String - DAC 6.1.1.4 D/A - Konversion mit Sigma-Delta-Modulator Analog / Digital Konverter (ADC) 6.1.2.1 SAR-ADC: Sukzessive Approximation (Wägeverfahren) 6.1.2.2 Flash-ADC 6.1.2.3 Pipeline-ADC 6.1.2.4 Sigma-Delta-ADC Qualitätsmerkmale und wichtige Eigenschaften Wichtige statische Kenngrößen Wichtige dynamische Kenngrößen Praktische Anwendungsbeispiele für ADCs 6.1.4.1 Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften von ADCs 6.1.4.2 Anwendungsbeispiele für ADCs 6.1.4.2.1 Beispiel 1: Ein oder mehrere Eingänge, 16 Bit Auflösung 6.1.4.2.2 Beispiel 2: Mehrfache Eingänge mit je 14 Bit Auflösung 6.1.5 Literatur 6.2 Übertaktende Modulatoren 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 Historisches zur Modulation Delta-Modulation Delta-Sigma-Modulation Literatur zu übertaktenden Modulatoren 6.3 Phasengerastete Schleifen 6.3.1 6.3.1.1 6.3.1.2 6.3.1.3 6.3.2 6.3.3 6.3.3.1 6.3.3.2 6.3.3.3 6.3.3.4 6.3.3.5 6.3.4 6.3.5 Die Baugruppen Phasen- und Frequenzdetektoren Schleifenfilter für PLLs Spannungsgesteuerte Verzögerungsglieder und Oszillatoren Delay Locked Loop (DLL) PLL mit Phasen – Frequenz - Detektor (PFD) PLL erster Ordnung PLL zweiter Ordnung mit RC-Tiefpass PLL zweiter Ordnung mit Lead-Lag-Glied PLL zweiter Ordnung: Filter ist Integrator mit Nullstelle Zusammenfassung der Eigenschaften von PLLs 1. und 2. Ordnung Clock Data Recovery Circuits (CDR) Literatur zu Phasengerasteten Schleifen 7 Rauschen 7.1 Rauscharten 7.1.1 Thermisches Rauschen (Johnson noise) -9- Prof. Dr. M. Schubert 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 Schaltungstechnik Ostbayerische TH Regensburg Stromrauschen 1/f - Rauschen Quantisierungsrauschen Äquivalentes Rauschen 7.2 Signal-Rauschleistungs-Verhältnis 7.2.1 7.2.2 Definition des Signal-Rauschleistungs-Verhältnisses Rauschzahl und Zusatzrauschzahl 7.3 Summation korrelierter und nicht-korrelierter Signale 7.3.1 7.3.2 7.3.3 Was ist Korrelation? Verbesserung des Signal-Rauschleistungs-Verhältnisses Berechnung des Rauschens einer Schaltung mit OP 7.4 Berechung der Leistung nicht-korrelierter Signale 7.4.1 7.4.1.1 7.4.1.2 7.4.1.3 Berechnung mittlerer und effektiver Spannungen Effektivwert sinusförmiger Spannungen Effektivwert dreieckförmiger Spannungen Effektivwert rechteckförmiger Spannungen 7.5 Arbeiten mit spektralen Rauschleistungsdichten 7.6 Literatur zum Thema Rauschen 8 Felder, Wellen, Leitungen 8.1 Unterschied Nieder und- Hochfrequenz-Schaltungstechnik 8.2 Freie elektromagnetische Welle: 8.3 Leitergebundene elektromagnetische Wellen 8.3.1 8.3.2 Leitungsmodelle Beispiel: Samtec Stecker BT3BS1E 8.4 Resistiv belastete Leitungen 8.5 Kapazitiv belastete Leitungen 8.6 Literatur 9 Switched-Capacitor (SC) Schaltungen 9.1 Geschaltete Kapazitäten der ersten Generation 9.2 Geschaltete Kapazitäten der zweiten Generation 9.3 Geschaltete Kapazitäten der dritten Generation - 10 - Prof. Dr. M. Schubert Schaltungstechnik Ostbayerische TH Regensburg Vorwort Ziel Ziel der Vorlesung Analoge Schaltungstechnik ist es, dass der Student nach deren erfolgreichem Abschluss die von der Werbung einer Firma die analoge Schaltkreise und Bauelement verkauft im Schnitt ca. 50% versteht. Abgrenzung In der Vorlesung Analoge Schaltungstechnik wird keine Hochfrequenz-Schaltungstechnik geleehrt. Das bedeutet es werden analoge Schaltkreise bei Frequenzen behandelt, bei denen die räumliche Ausdehnung der Schaltung vernachlässigbar ist im Vergleich zur Wellenlänge. Daher sprechen wir von Schaltungsknoten statt von Leitungen. Die Wellengleichung Die allgemeine Wellengleichung in einer Dimension lautet U(x,t) = A sin(t - kx) mit A = 2πf t k x Amplitude, Kreisfrequenzen Zeit Wellenvektor Ortsachse längs der Wellenausbreitung Dabei ist T = 2π/ = 2π/k =1/f die Periodendauer und die Wellenlänge im Raum. Beobachten wir einen Nulldurchgang dieser Welle, also den Punkt dann ist t-kx = 0 und somit seine Ausbreitungsgeschwindigkeit v = x/t = /k . Es lässt sich sich der vollstädnigkeit halber noch ein beliebiger Winkel φ0 einfügen: U(x,t) = A sin(t - kx - φ0) Da eine Welle sich typischerweise im dreidimensionalten Raum ausbreitet, lautet die vollständige, dreidimensionale Wellengleichung U (t ) A sin(t k r 0 ) - 11 - Prof. Dr. M. Schubert Schaltungstechnik Ostbayerische TH Regensburg mit kx k ky k z Wellenvektor x r y z Ortsvektor die Ausbreitung der Welle erfolgt nun in Richtung des Wellenvektors k mit der Geschwindigkeit v=/k: v k k k - 12 -