Wurzel aus 2 ist keine rationale Zahl Vorwissen

Didaktik der Algebra und Analysis SS 2011
Bürker, 10. 6. 2011
3.5 Zahlbereichserweiterung ℚ → ℝ
Thema: Wurzel aus 2 ist keine rationale Zahl
Vorwissen:
Die Schüler müssen wissen, dass die Menge der rationalen Zahlen
gleich der Menge der Bruchzahlen ist.
Andererseits hat jede Bruchzahl eine Dezimaldarstellung als
abbrechende oder periodische Dezimalzahl.
In diesem Zusammenhang sollte auch 0, 9=1 besprochen sein.
Hinführungsbeispiel
Lehrtext
Suche nach einer dezimalen Darstellung von d
Warum erstaunlich ?
Merksatz
Historischer Einschub:
Dies war für die Pythagoreer der Grund, in der Proportion ganzer
Zahlen ein Grundprinzip zu sehen. Die Länge zweier Strecken
sollte sich stets durch das Verhältnis ganzer Zahlen ausdrücken
lassen. Dass dem nicht so war, führte zur Krise der
Pythagoreischen Philosophie.
Definition: Zahlen, die nicht rational sind, nennt man irrationale
Zahlen.
Ein Stundenentwurf zum Thema „Wurzel aus 2 ist keine rationale
Zahl“ könnte so aussehen:
Tabellarischer Unterrichtsentwurf
Thema: Wurzel aus 2 ist keine rationale Zahl
Ziel:
Die SuS sollen lernen, dass es außerhalb der Menge der rationalen Zahlen Zahlen gibt,
die sich nicht als Bruchzahl darstellen lassen.
Zeit
Phase
Unterrichtsschritt
Sozialform / Medien
0 - 5'
Vorwissen
Die Hilfsmittel werden bereitgestellt, das Vorwissen Unterrichtsgespräch
geklärt
Merksatz an der Tafel
● Was sind rationale Zahlen?
mit einer Skizze
Eine rationale Zahlen ist eine Zahl, die als
Bruchzahl geschrieben werden kann.
5' 15'
Hinführung
Wie kann man den Flächeninhalt eines
Mit OH-Projektor und
quadratischen Teichs so verdoppeln, dass wieder ein Folien
Quadrat entsteht und die 4 Weiden an den 4
Quadratecken stehen bleiben können?
Die Lehrperson teilt Blätter aus, auf denen 4
Quadrate mit dem Flächeninhalt von je 1 dm² so
gezeichnet sind, dass sich ein Quadrat ergibt.
Im großen Quadrat wird jedes der 4 Quadrate so
durch eine Diagonale halbiert, dass sich ein schräg
stehendes Quadrat mit dem Flächeninhalt 2 dm²
ergibt. Gesucht ist die Seitenlänge d dieses
Quadrats.
15' 25'
Erarbeitungs- Die Seitenlänge des schräg stehenden Quadrats liegt
phase 1
zwischen 1 und 2. Aufgabe für SuS: Bestimme diese
Seitenlänge möglichst genau:
Nach mehreren Schritten erkennt man:
1,414 < d < 1,415
Grundsätzliche Überlegung: Kann man diese
Seitenlänge exakt bestimmen?
Ist die Seitenlänge eine rationale Zahl?
25' –
35'
Erarbeitungs- Man nimmt an, d sei eine rationale Zahl und führt
phase 2
diese Annahme zum Widerspruch. (Möglichst kurzer Heft / Tafel
Beweis!)
35' –
40'
Haupterg.
Der Merksatz „die Diagonalenlänge eines Quadrats
mit der Seitenlänge 1 ist keine rationale Zahl“ wird
formuliert
Lehrerzentriert
Heft-/Tafel
40' –
45'
Zusammenfassung
Nochmals Gedankengang und Haupergebnis
zusammenfassen oder zusammenfassen lassen
Lehrer-/Schülerzentr.
schülerzentriert
Schüleraktivierende
Unterrichtsform,
Partnerarbeit
Ergebnisse an der
Tafel
Heft / Tafel
3.5.2
Alternativer Zugang zu irrationalen Zahlen:
(nach LS neu, Bd 4 für Klasse 8):
Beispiel: Mit Würfeln eine nichtabbrechende, nichtperiodische
Dezimalzahl erzeugen.
Wiederholung:
Rationale Zahlen sind als Zahlen festgelegt, die man als Bruchzahl
schreiben kann. Formt man einen Bruch in eine Dezimalzahl um,
so entsteht entweder eine abbrechende oder eine periodische
Dezimalzahl.
[Gemischtperiodische Dezimalzahlen subsummiert man
neuerdings auch unter „periodische Dezimalzahlen“.]
Jede rationale Zahl kann man als abbrechende oder periodische
Dezimalzahl und als Bruchzahl schreiben. Es gibt darüber hinaus
Dezimalzahlen, die weder abbrechend noch periodisch sind.
Solche Dezimalzahlen heißen irrationale Zahlen.
Alle rationalen und irrationalen Zahlen zusammen heißen reelle
Zahlen. Man bezeichnet die Menge der reellen Zahlen mit ℝ.
Der Begriff Intervallschachtelung taucht in den Schulbüchern
nicht mehr auf.
Irrationale Zahlen werden als nichtabbrechende, nichtperiodische
Dezimalzahlen bezeichnet, mit denen man näherungsweise wie
gewohnt rechnen kann (in LS 4 im Abschnitt „Rechnen mit
Näherungswerten“).
Das Rechnen mit reellen Zahlen wird nicht mehr genauer
begründet:
Die in ℚ gültigen Rechenregeln (Assoziativ-, Kommutativ- und
Distributivgesetz) gelten auch in ℝ (Permanenzprinzip)
Allerdings muss den SuS gesagt werden, dass man zeigen kann,
dass die gewohnten Rechengesetze auch in ℝ gelten.
Insbesondere ist wichtig, dass der Taschenrechner irrationale
Zahlen nicht exakt, sondern nur als abbrechende Dezimalzahlen
und damit nur näherungsweise anzeigt. Die Dezimalstellen
irrationaler Zahlen lassen sich i. a. nicht mit Algorithmen
berechnen.
3.5.3 Wichtiges Iterationsverfahren:
An dieser Stelle lernen die SuS zum ersten Mal ein
Iterationsverfahren kennen, nämlich das Heronverfahren. Es war
schon im Altertum bekannt. Es ist nach dem Mathematiker und
„Techniker“ Heron benannt. Schwierigkeiten machen SuS dabei
vor allem die Berechnungs- und die Bezeichnungsweise, weil
Indizes noch nicht bekannt sind.
Beispiel Heronverfahren:
1
6
y= ⋅ x  
2
x
Es gibt eine geometrische Interpretation des Heronverfahrens:
Man wandelt ein Rechteck mit dem Flächeninhalt z. B. 6 FE
schrittweise mit immer besserer Näherungswerten in ein (exakt)
flächengleiches Quadrat um. Die Seitenlänge dieser Rechtecke
nähert sich in den einzelnen Iterationsschritten dem Wert  6 .
Schritt Nr. x (Länge)
6/x (Breite)
y (Länge neu)
1
3
2
2,5
2
2,5
2,4
2,45
3
2,45
2,448979592
2,449489796
4
2,449489796
2,44948969
2,449489743
1.
Man geht von einem Rechteck des Flächeninhalts 6
(= Radikand) und von einer Anfangsseitenlänge des
Rechtecks, z. B. von 3 LE aus .
Die Breite ergibt sich dann zu 2. Man bildet das
arithmetische Mittel von Länge und Breite, also von 3 und
von 2 LE. Dies bedeutet: Man setzt die anfängliche
Seitenlänge in den obigen Heronterm ein, somit ergibt sich
im ersten Iterationsschritt der Wert 2,5 für die Seitenlänge
eines neuen Rechtecks mit dem Flächeninhalt 6. Die Breite
ergibt sich dann zu 2,4. Das Rechteck ist schon fast ein
Quadrat.
Diesen Schritt kann man mehrmals durchführen:
2. Setzt man die neue Seitenlänge 2,5 in den Heronterm ein, so
ergibt sich 2,45. Die zugehörige Breite ist dann (6/2,45 ), d.h.
2,448979... . Länge und Breite dieses Rechtecks
unterscheiden sich nur noch um ca. 1/1000 LE.
3. Der nächste Wert für die Seitenlänge eines neuen Rechtecks
ergibt sich durch den Wert des Heronterms für x =
2,448979... , die neue Breite durch 6/2,448979... . Die neue
Seitenlänge beträgt 2,449489796..., die zugehörige Breite ist
6/2,449489796... = 2,449489969. Länge und Breite
unterscheiden sich nur noch ab der 8. Nachkommastelle.
Da das geometrische Mittel aus Seitenlänge und Breite stets
gleich  6 ist und das geometrische Mittel stets kleiner als das
arithmetische Mittel ist, nähern sich die Iterationswerte für die
Seitenlänge von oben her dem Wert  6 .
Schreibweise:
1
6
x n1 = ⋅ x n 

2
xn
Das Heron-Verfahren konvergiert quadratisch.
Das bedeutet: Für die Folge fn der Differenzen fn = xn -  6 gilt:
fn+1 < cfn² für eine geeignete Konstante c.