Einser-Flächen Online-Ergänzung

Einser-Flächen
H EINZ K LAUS S TRICK
Online-Ergänzung
MNU 66/7 (15.10.2013) Seiten 1–5, ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss
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H EINZ K LAUS S TRICK
Einser-Flächen
S I, S II oder S I + S II ???
EINSER-FLÄCHEN // H EINZ K LAUS S TRICK
?
Die abgebildeten Figuren haben eines gemeinsam: Die grau unterlegten Flächen haben jeweils das Flächenmaß 1 FE.
Dadurch ist die restliche Figur bestimmt.
1. Welche Länge haben die in den Figuren auftretenden Seiten? Welches Flächenmaß haben die übrigen Flächenstücke?
gc
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Einser-Flächen - Lösungshinweise
Die grau unterlegten Flächen haben jeweils das Flächenmaß 1 FE. Dadurch ist die restliche Figur
bestimmt.
Das innen liegende Quadrat hat die Fläche 1 FE; daher haben die
Seitenlängen alle die Länge 1 LE. Das äußere Quadrat hat die Fläche
5 FE; daher haben die zugehörigen Seitenlängen die Länge 5 LE.
Die Diagonale des äußeren Quadrats hat die Länge 10 LE (gemäß
dem Satz von PYTHAGORAS); die Länge der Diagonale des inneren
Quadrats beträgt 2 LE. Folglich haben die „schrägen“ Seiten der vier
Trapeze eine Seitenlänge von ½ · (10 – 2) 0,874 LE.
a²
3 hat,
4
4
2
= 4 1,520 .
3
3
Wenn das gleichseitige Dreieck den Flächeninhalt 1 FE =
dann ist die Seitenlänge a des Dreiecks gleich a =
Da die Rechtecke ebenfalls den Flächeninhalt 1 FE haben, ist die
Seitenlänge der kürzeren Rechteckseite gleich b =
4
3
0,658 . Von
2
den weißen gleichschenkligen Dreiecken kennen wir also eine Seite
(b) und können die Winkel berechnen: = 360° – 60° – 2 · 90° = 120°;
für die Basiswinkel gilt demnach = 30°. Die weißen Dreiecke
bestehen also aus zwei Teildreiecken, die zusammen ein
gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge b bilden. Die Höhe dieses
gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge b ist dann gleich
4
4
b
3
27
3=
3=
0,570 , die doppelte Höhe ergibt dann die
2
4
4
fehlende Randseite der Figur: c 1,140 LE. Jedes dieser
gleichseitigen Dreiecke hat daher den Flächeninhalt
3
3
b²
3=
3=
= 0,1875 FE.
16
16
4
Da das grau gefärbte Quadrat den Flächeninhalt a = 1 FE hat, beträgt
die Seitenlänge a = 1 LE. Die vier gleichseitigen Dreiecke haben
daher den Flächeninhalt
a²
3 0,433 FE. Von den außen
4
liegenden gleichschenkligen Dreiecken kennen wir demnach die
Seitenlänge der Schenkel und können den Winkel gegenüber der
Basis c berechnen:
= 360° – 90° – 2 60° = 150°; die beiden Basiswinkel sind daher
gleich
= 15°. Das halbe gleichschenklige Dreieck ist rechtwinklig; mithilfe
von cos( ) =
c/2
= c / 2 , also ergibt sich c = 2 cos() 1,932 LE.
a
Die Höhe h der gleichschenkligen Dreiecke ergibt sich aus
sin( ) =
h
= h . Der Flächeninhalt der außen liegenden Dreiecke ist
a
dann gleich
c h = cos() sin() =
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sin(2) =
sin(30°) = 0,25 FE.
3
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Die vier gleichschenkligen Dreiecke sind zusammen daher genauso
groß wie das grau gefärbte Quadrat!
Zur Kontrolle kann man auch so rechnen: Die äußere Figur ist ein
Quadrat der Seitenlänge c. Subtrahiert man vom Flächeninhalt c² den
Flächeninhalt 1 FE des innen liegenden Quadrats sowie den
Flächeninhalt 3 FE für die vier gleichseitigen Dreiecke, so erhält man
den Gesamtflächeninhalt der vier weißen Dreiecke.
Die innen liegende weiße Figur setzt sich zusammen aus einem
Quadrat einer unbekannten Seitenlänge a und vier aufgesetzten
halben Quadraten. Die grau gefärbten Flächenstücke sind
Parallelogramme, deren Seitenlängen a und a · 2 (= Länge der
Diagonale im Quadrat) sind; zerlegt man sie längs der kürzeren
Diagonale, so sieht man, dass sich die beiden Hälften zu einem
Quadrat der Seitenlänge a ergänzen. Da der Flächeninhalt eines
jeden Parallelogramms nach Voraussetzung 1 FE ist, ergibt sich a = 1
LE und daher für den Flächeninhalt der weißen Figur 1 + 4 · ½ FE = 3
FE.
Da die gleichseitigen Dreiecke mit den Seiten a und der Höhe h =
a
3
2
a²
3 haben, beträgt die Seitenlänge
4
1 2
4
2
= 4 1,520 LE, die Höhe h = 4 3 = 4 3 1,316
2 3
3
3
den Flächeninhalt 1 FE =
a=
LE.
Die Gesamtfigur ist ein Quadrat der Seitenlänge h + ½ · a 2,076
setzt sich zusammen aus den beiden gleichseitigen Dreiecken mit
Flächeninhalt 1 FE, zwei halben gleichseitigen Dreiecken (zusammen
1 FE), einem Quadrat der Seitenlänge ½ · a 0,760 LE sowie einem
achsensysmmetrischen Viereck, das keilförmig zwischen den beiden
grau gefärbten gleichseitigen Dreiecken liegt. Die längeren Seiten
dieses Vierecks haben die Länge a 1,520 LE, die kürzeren die
Länge (h + ½ · a) – a = h – ½ · a 0,556 LE.
Der Flächeninhalt des Vierecks ergibt sich aus der Differenz
(h + ½ · a)² – 2 – 1 – (½ a)² = h² + ah – 3 = 3 + 2 – 3 = 3 – 1 0,732 FE.
Da die gleichseitigen Dreiecke mit den Seiten a und der Höhe h =
a
3
2
a²
3 haben, beträgt die Seitenlänge
4
1 2
4
2
=
1,520 LE, die Höhe h = 4 3 = 4 3 1,316
2 3
3 43
den Flächeninhalt 1 FE =
a=
LE.
Die gesamte Figur ist ein regelmäßiges Achteck mit Seitenlänge a.
Das regelmäßige Achteck setzt sich aus acht gleichschenkligen
Dreiecken mit Basis a zusammen; der (Zentri-) Winkel gegenüber der
Basis ist 360°/8 = 45°.
Die Berechnung des Flächeninhalts A eines gleichschenkligen
Dreiecks mit Basis a und Höhe h kann mithilfe des Tangens des
halben Zentriwinkels erfolgen: tan( 22,5°) =
4
a / 2 , also
h
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h=
a
a²
und daher A = a h =
1,394 FE.
2
4 tan( 22,5°)
2 tan( 22,5°)
Die Gesamtfläche des regelmäßigen Achtecks beträgt also ca. 11,15
FE, die der sternförmigen Figur daher ca. 11,15 FE – 8 FE = 4,15 FE.
Man kann die Berechnung auch ohne Anwendung der
Tangensfunktion vornehmen: Um das regelmäßige Achteck kann man
ein Quadrat einzeichnen, bei dem „Ecken“ abgeschnitten werden
müssen. Die abgeschnittenen „Ecken“ sind gleichschenklig
rechtwinklige Dreiecke mit einer Hypotenuse der Länge a und
Katheten der Länge a/2 (nach dem Satz des PYTHAGORAS). Da die
Seiten des Achtecks die Seitenlänge a haben, beträgt demnach die
Seitenlänge des Quadrats a/2 + a + a/2 = a · (1 + 2). Zieht man die
Flächeninhalte der vier „Ecken“ ab – dies sind vier halbe Quadrate der
Seitenlänge a/2, also zusammen genauso groß wie ein Quadrat der
Seitenlänge a – dann ergibt sich als Flächeninhalt des regelmäßigen
Achtecks: a² · (1 + 2)² – a² = a² · (22 + 2) 11,15 FE.
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