Grundbegriffe - Fachbereich Stadt
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Erfassung von Netzen und räumlichen Strukturen • Die Graphentheorie als Instrument der Netzwerkanalyse – Grundbegriffe und Eigenschaften – zur Abbildung topologischer Sachverhalte – Beispiele • Abbildung von Infrastruktur-Netzen und räumlichen Strukturen – zur Erstellung eines IV und ÖPNVGraph – Definition der Adjazenzmatrix – Beispiele • Optimierungsaufgaben – die Kürzeste Wege Matrix – Minimierung von Netzwerken – Beispiel • Maßzahlen zur Kennzeichnung – für die Knoten im Netz – für die Netzstruktur R. Giffinger SS 2007 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 1 Graphentheorie als Instrument • Netzwerke zur Erfassung/Abbildung von – materiellen oder immateriellen Zusammenhängen und – logisch aufeinanderfolgenden Abläufen • räumlich und zeitlich – linearen Bewegungen • z.B. in Verkehrsnetzen, Flußnetzen, Produktionsprozessen, etc. • Kennzeichnung von Netzwerken – topologische Eigenschaften • Konnektivität, Nachbarschaft und Erreichbarkeiten in räumllichen Netzen abgebildet werden • die räumliche Abbildung mithilfe von (geographischen) Koordinaten ist nicht notwendig R. Giffinger SS 2007 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 2 1 Beispiele für Netzwerke im Raum • • • • Siedlungen und übergeordnetes Straßennetz Grundstücke (Baublocks) und innerstädtisches Straßennetz Stationen und Linien des ÖffentlichenPersonenNahverkehrssystems Leitungsnetzwerke: elektrische Energie (Schaltkreis), Kanalisation, Flussnetz, Wasserleitungsnetz R. Giffinger SS 2007 Quelle: Giffinger, et al., 2003 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 3 Aufgabe von Verkehrsgraphen ¾ Erfassung der räumlichen Lage von Standorten im innerstädtischen Gebiet oder von einzelnen Siedlungen im Siedlungsgefüge einer Region ¾ Erfassung des entsprechenden Verkehrswegenetzes ¾ Individualverkehr: Straßen, Verkehrsregelungen (Einbahn, etc.) ¾ öffentlicher Verkehr: Linien mit Stationen (Einsteige- und Umsteigemöglichkeiten ¾ Kennzeichnung der Erschließung eines Standortes durch das betrachtete Verkehrswegenetz ¾ Kennzeichnung der Erreichbarkeiten von einem Standorten zu (allen) anderen Standorten ¾ Definition der kürzesten Wege zwischen den betrachteten Standorten R. Giffinger SS 2007 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 4 2 Verkehrsgraphen in der Regionalanalyse • Analyse von – – – • Netzstrukturen • Konfiguration der Lage einzelner Standorte im Netz • Qualität der Erschließung topologischen Eigenschaften • Adjazenz, Nachbarschaft, etc. Identifikation – – kürzester Wege zwischen Standorten gleicher und komplementärer Nutzung • Erreichbarkeitsverhältnisse des Weg-Zeit-Aufwandes • Transportkosten • Reichweiten • Markteinzugsgebiete R. Giffinger SS 2007 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 5 Verkehrsgraphen in der Raumplanung R. Giffinger SS 2007 Ev Ber al at ui un er g un g Regionalpolitik n io at se rm o fo gn In r o P Raumplanung Methoden der Regionalanalyse en n nn ibe e k re Er ch s Be Üb Regionalforschung er Te prü st fe en n VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 6 3 Verkehrsgraphen im Planungsablauf Zustand 1. Informationsgewinnung K o n t r o l l e 2. Informationsverdichtung 3. Ziel- und Problemdefinition 4. Analyse des Zustandes 5. Planentwicklung P l a n u n g 6. Folgeprognose / Simulation 7. Bewertung und Wahl der Maßnahme nach Meise, Volwahsen (1980) R. Giffinger SS 2007Durchführung VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 7 regionalanalytische Methoden im Planungsprozess R. Giffinger SS 2007 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 8 4 Basiselemente des Graphen • Definition v1 v5 • Menge aus Punkten, so genannte Knoten V, und • dazwischen liegenden Linien, sog. Kanten E v4 v3 – Graph X = (V, E), wobei • V = v1, v2, v3, ...., vn (v wie vertex) • E = e1, e2, e3, ...., em (e wie edge) v2 v1 v5 • Die Kombination aus Knoten und Kanten führt zu einer Vielzahl möglicher Konfigurationen. v4 v3 v2 R. Giffinger SS 2007 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 9 Grundbegriffe • ungerichteter Graph – Der ungerichtete Graph ist definiert aus der Menge V an Knoten und der Menge E an Kanten. – Die Kante ei ist definiert aus dem ungeordneten Paar (vi,vj), welche diese beiden Knoten verbindet. Der Kante ist keine Orientierung zugewiesen. – z.B. Straße mit Fahrbahnen für beide Fahrtrichtungen • gerichteter Graph – Die Kante ei ist aus einem geordneten Paar (vi, vj) definiert. Sie weist eine Orientierung auf. – z.B. notwendig zur Abbildung von Einbahnstraßen im Straßennetz einer Stadt • Schlinge – Eine Kante, die definiert ist als ei = (vi, vi), heißt Schlinge. R. Giffinger SS 2007 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 10 5 Grundbegriffe • Teilgraph – Ein Graph kann in Teilgraphen zerlegt sein. Sie umfassen nur eine Teilmenge von Knoten und Kanten des ursprünglichen, vollständigen Graphen. – Graph X1 = (V1, E1) ist Teilgraph von X = (V, E), wenn gilt • V1 ist Teilmenge von V • E1 ist Teilmenge von E • Kantenfolge oder Weg – endliche Folge von Kanten • je zwei aufeinander folgende Kanten haben einen gemeinsamen Knoten – offen: Anfangs- und Endknoten nicht identisch – geschlossen: Anfangs- und Endknoten identisch • Zyklus oder Kreis – wie Kantenfolge, jedoch mit identem Anfangs- und Endknoten R. Giffinger SS 2007 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 11 Grundbegriffe • Nachfolger – jener Knoten vj, der unmittelbar auf Knoten vi folgt und die gemeinsam die dazwischen liegende Kante definieren. • Vorgänger – jener Knoten vi, der unmittelbar vor Knoten vj liegt und die gemeinsam die dazwischen liegende Kante definieren. • Konnektivität – bezeichnet den Zusammenhang zwischen Kanten im Graphen. • Inzidenz – Kanten mit einem gemeinsamen Knoten werden als inzident (benachbart) bezeichnet. R. Giffinger SS 2007 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 12 6 Grundbegriffe • Baum v1 – Als Baum wird jeder Graph bezeichnet, wenn kein Kreis/Zyklus in diesem besteht. Das heißt, es muss gelten, dass für je zwei Knoten nur jeweils ein Weg/eine Kantenfolge besteht. Vollständig ist ein Baum nur dann, wenn die Zahl der Kanten um eins kleiner ist als die Zahl der Knoten. • v4 v3 v2 Wurzelbaum v1 – Dies ist eine Spezialform des Baumes. Damit wird ein gerichteter Graph bezeichnet, in dem ein einziger Knoten besteht, zu dem keine Kante hinführt, und von dem genau eine Kantenfolge zu jedem der anderen Knoten besteht. Sie eigenen sich speziell zur Abbildung hierarchischer Strukturen v3 v2 v4 R. Giffinger SS 2007 v5 v5 VU: Methoden der Regionalanalyse v7 v6 Graph_1 13 Eigenschaften von Graphen • planarer Graph – Knoten und Kanten müssen so in einer Ebene liegen, dass sich zwei Kanten nur in einem Knoten schneiden – und nicht überschneiden v1 v4 v3 • vollständiger Graph – je zwei Knoten sind durch eine Kante verbunden. In diesem Fall besteht auch eine vollkommene Vermaschung. • symmetrischer Graph – Diese Eigenschaft ist dann gegeben, wenn es für jedes geordnete Paar (vi, vj) auch ein geordnetes Paar (vj, vi) gibt. R. Giffinger SS 2007 v2 Ein vollständiger planarer Graph kann aus maximal 4 Knoten bestehen. VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 14 7 Beispiele: technische Infrastruktur • Eigenschaften • gerichteter Graph, Baumstruktur • planar, keine Vermaschung Wasserleitungsnetz Kanalnetz Quelle R. Giffinger SS 2007 Kläranlage VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 15 Beispiel Straßennetz Region Wien vermascht nicht planar gerichtet Quelle: http://www.map24.de/map24/index.php3?map24 R. Giffinger SS 2007 VU: Methoden der Regionalanalyse Graph_1 16 8
