Algorithmische Graphentheorie

Algorithmische Graphentheorie
Walter Unger
Lehrstuhl für Informatik I
20. April 2006
Teil I
Einleitung und Motivation
1
2
3
4
5
Einleitung
Erinnerung
Definition
Aussagen
Chordale Graphen
Definition
Aussagen
Erkennung
Algorithmen
Weitere Charakteriesierung
Vergleichbarkeitsgraphen
Definition
Aussagen
Intervallgraphen
Aussagen
SPGC und Komplement
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
Erinnerung
SPGC und Komplement
222/351
Erinnerung I
Färbung ist schwer!
Färbung ist NP-vollständig.
Färbung ist nicht approximierbar.
Keine guten Schranken bekannt.
Frage: gibt es Graphklasse mit guten Schranken?
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Erinnerung
223/351
Erinnerung II
Definition
Sei G = (V , E ) Graph.
max{ |V ′ | ; V ′ ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V ′ : (a, b) 6∈ E }
max{ |V ′ | ; V ′ ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V ′ : (a, b) ∈ E }
min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧
∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }
χ(G ) = min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧
∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) ∈ E }
α(G ) =
ω(G ) =
χ(G ) =
Weitere Schreibweisen:
ω(G ) = α(G ),
α(G ) = ω(G ) = β0 (G ),
κ(G ) = χ(G )
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Erinnerung
224/351
Aussagen I
Theorem
Sei G = (V , E ) Graph, dann gilt:
α(G ) = α(G ) und χ(G ) = χ(G )
Beweis:
max{ |V ′ | ; V ′ ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V ′ : (a, b) 6∈ E }
max{ |V ′ | ; V ′ ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V ′ : (a, b) ∈ E }
min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧
∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }
χ(G ) = min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧
∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) ∈ E }
α(G ) =
ω(G ) =
χ(G ) =
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Erinnerung
225/351
Aussagen II
Theorem
Sei G = (V , E ) Graph mit n = |V |, dann gilt:
n
6 χ(G ) 6 n − α(G ) + 1.
α(G )
Beweis:
α(G ) =
χ(G ) =
max{ |V ′ | ; V ′ ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V ′ : (a, b) 6∈ E }
min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧
∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Erinnerung
226/351
Aussagen III
Theorem
Sei G = (V , E ) Graph mit n = |V |, dann gilt:
√
2 n 6 χ(G ) + χ(G ) 6 n + 1
n+1 2
n 6 χ(G ) · χ(G ) 6
.
2
Beweisidee:
χ(G ) =
χ(G ) =
min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧
∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }
min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧
∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) ∈ E }
Betrachte die Überdeckungen wie ein Gitter.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Definition
227/351
Definitionen
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt:
1
χ-perfekt, falls für alle knoteninduzierten Teilgraphen H von G gilt:
χ(H) = ω(H).
2
α-perfekt, falls für alle knoteninduzierten Teilgraphen H von G gilt:
κ(H) = α(H).
3
perfekt, falls er χ-perfekt oder α-perfekt ist.
α(G )
ω(G )
χ(G )
=
=
=
χ(G )
=
max{ |V ′ | ; V ′ ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V ′ : (a, b) 6∈ E }
max{ |V ′ | ; V ′ ⊂ V ∧ ∀a, b ∈ V ′ : (a, b) ∈ E }
min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧
∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) 6∈ E }
min{ k ; ∃V1 , V2 , . . . , Vk : ∪ki=1 Vi = V ∧
∀i : 1 6 i 6 k : ∀a, b ∈ Vi : (a, b) ∈ E }
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Definition
228/351
Definitionen
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt:
1
χ-perfekt, falls für alle knoteninduzierten Teilgraphen H von G gilt:
χ(H) = ω(H).
2
α-perfekt, falls für alle knoteninduzierten Teilgraphen H von G gilt:
κ(H) = α(H).
3
perfekt, falls er χ-perfekt oder α-perfekt ist.
Definition
Eine Grapheigenschaft E von G = (V , E ) heißt hereditary (vererblich),
falls sie für jeden induzierten Teilgraph von G gilt.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Definition
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
229/351
Beispiele (χ-perfekt)
Planare Graphen: nein
Intervallgraphen: ja
Kreisbogengrpahen: nein
Permutationsgraphen: ja
Außenplanare Graphen: nein
Maximale Außenplanare Graphen: ja
Maximale Planare Graphen: nein
Bipatite Graphen: ja
K-Bäume: ja
Komplement eines Bipatiten Graphen: ja
Kreise ungerader Lange > 5: nein
Linegaphen von Bipatiten Graphen: ja
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
230/351
Erste Beobachtungen
Theorem
Disjunkte Vereinigung von perfekten Graphen ist ein perfekter Graph.
Theorem
Die Identifikation zweier perfekter Graphen an einer Clique ergibt einen
perfekten Graphen.
Theorem
Ein Graph G ist genau dann perfekt, wenn in allen induzierten
Teilgraphen es eine unabhängige Menge gibt, die alle maximum Cliquen
scheidet: ∀H ⊂ G : ∃I : ω(H − I ) 6 ω(H) − 1.
Beweis:
=⇒ : klar.
⇐= (Induktion):
I .V .
χ(H) 6 χ(H − I ) + 1 6 ω(H − I ) + 1 6 ω(H).
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
231/351
Stark perfekte Graphen
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt stark perfekt, falls jeder knoteninduzierter
Teilgraph eine unabhängige Menge hat, die alle maximalen Cliquen trifft.
Theorem
Ein stark perfekter Graph ist perfekt.
Theorem
Die Problem für χ(G ), α(G ), ω(G ), κ(G ) sind auf perfekten Graphen in
polynomzeit lösbar.
Erkennungsproblem
Das Erkennungsproblem für perfekte Graphen ist offen.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
232/351
Aussagen
Theorem
Die folgenden Aussagen sind äquivalent für einen Graphen G = (V , E ):
1
G ist χ-perfekt.
2
G ist α-perfekt
3
Für alle knoteninduzierten Teilgraphen H = (V ′ , E ′ ) von G gilt:
α(H) · ω(H) > |V ′ |.
Theorem
Perfekte Graphen sind abgeschlossen gegen Komplement.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
SPGC
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt minimal imperfekt, falls er nicht perfekt ist
und jeder knoteninduzierte echte Teilgraph perfekt ist.
Strong Perfect Graph Conjecture
Vermutung: Jeder minimal imperfekte Graph ist ein ungerader Kreis der
Länge > 5 oder sein Komplement.
233/351
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Definition
234/351
Definiton
Definition
Ein Graph G heißt chordal, falls er keinen Ck für k > 4 induziert.
Bemerkung: werden auch manchmal als Dreiecksgraphen oder trianguliert
bezeichnet.
Beispiele:
Intervallgraphen
Permutationsgraphen
Maximale Außenplarane Graphen
K-Bäume
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
235/351
Ausagen
Theorem
Ein Graph G ist chordal genau dann, wenn jeder inklusionsweise minimal
trennender Seperator eine Clique ist.
Beweis:
=⇒ :
Sei S inklusionsweise minimal trennender Seperator
S trenne H1 und H2 .
Alle Knoten aus S haben Nachbarn in H1 und H2 .
Seien u, v aus S.
Es gibt kürzesten Pfad Pi von u nach v in Hi .
Damit ist durch P1 und P2 ein Kreis gefunden.
Damit gibt es Kante {u, v }.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
236/351
Ausagen
Theorem
Ein Graph G ist chordal genau dann, wenn jeder inklusionsweise minimal
trennender Seperator eine Clique ist.
Beweis:
=⇒ : erledigt
⇐= :
Sei C ein Kreis der Länge > 4.
Seien u, v nicht benachbart auf C .
Falls {u, v } ∈ E , dann gilt Behauptung.
Ansonsten:
Bestimme minimalen Seperator S für u, v .
Der ist eine Clique.
Diese enthält zwei andere Knoten von C .
Diese sind verbunden.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
237/351
Simplizialknoten
Definition
Ein Knoten heißt Simplizialknoten, falls seine Nachbarn vollständig
verbunden sind.
Theorem
Jede Clique hat einen Simplizialknoten und jeder chordale Graph, der
keine Clique ist, hat zwei Simplizialknoten, die nicht verbunden sind.
Beweis per Induktion.
klar falls |V | 6 3.
Seien u, v zwei nicht benachbarte Knoten.
Bestimme minimalen Seperator S für u, v .
G − S zerfällt in Komponenten Hi , mit i > 2.
S ist eine Clique.
Hi ∪ S enthält damit einen Simplizialknoten.
Dieser ist Simplizialknoten in G .
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
238/351
Aussagen
Theorem
Chordale Graphen und ihre Komplemente sind perfekt.
Beweis Chordale Graphen:
per Induktion.
Sei G keine Clique.
Dann bestitzt G trennende Clique C .
G − C zerfällt in Komponenten Hi , mit i > 2.
Hi ∪ C sind perfekt.
Damit ist G perfekt.
Beweis Komplement Chordaler Graphen:
Finde Clique in G , die alle maximalen unabhängigen Mengen
trifft.
Wähle Simplizialknoten s, d.h. C = {s} ∪ Γ(s).
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Erkennung
239/351
PES
Definition
Sei G = (V , E ) Graph mit |V | = n. Eine totale Ordnung
ρ : V 7→ {1, . . . , n} heißt perfektes Knoten-Eliminationsschema, falls
jeder Knoten v ein Simplizialknoten in G [{u ∈ V | ρ(u) > ρ(v )}] ist.
Theorem
Ein Graph ist chordal genau dann, wenn er ein PES hat.
Zeige: ⇐=.
Sei C Kreis in G .
Sei u erste Knoten in C in der Ordnung ρ.
Damit sind die Nachbarn von u verbunden.
Damit ist G chordal.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
Erkennung
Erkennung
Theorem
Chordale Graphen können in Polynomzeit erkannt werden
Beweis: suche PES.
Theorem
Chordale Graphen können in Zeit O(n2 · m) erkannt werden
Theorem
Chordale Graphen können in Zeit O(n + m) erkannt werden
SPGC und Komplement
240/351
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Algorithmen
241/351
Überblick
Bestimme eine Ordnung für G .
Bestimme diese anhand der Knotengrade.
Zeige diese durch Knotengrade definierte Ordnung is immer ein
PES, falls G chordal ist.
Damit ergibt sich folgender Algorithmus:
Bestimme Ordnung anhand der Knotengrade.
Teste ob diese Ordnung ein PES ist.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
Algorithmen
SPGC und Komplement
242/351
Einfacher Algorithmus
Baue PES rückwärts auf:
Starte mit beliebigen Knoten vn .
wähle vi−1 so dass dieser mit möglichst vielen Knoten
vi , vi+1 , . . . , vn verbunden ist.
Zeige v1 , v2 , . . . , vn ist ein PES.
Lemma
Eine totale Ordnung ρ auf V ist genau dann ein PES, wenn
für alle Knotenpaare vi , vj ,
die durch einen Pfad verbunden sind, bei dem
für alle inneren Knoten u gilt:
ρ(u) < min(ρ(vi ), ρ(vj ))
gilt: diese Knoten vi , vj sind verbunden.
Beweis ⇐=: klar
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
Algorithmen
SPGC und Komplement
243/351
Beweis (Fortsetzung)
Lemma
Eine totale Ordnung ρ auf V ist genau dann ein PES, wenn
für alle Knotenpaare vi , vj ,
die durch einen Pfad verbunden sind, bei dem
für alle inneren Knoten u gilt:
ρ(u) < min(ρ(vi ), ρ(vj ))
gilt: diese Knoten vi , vj sind verbunden.
Beweis =⇒:
Beweis durch Widerspruch.
Seien vi , vj wie oben mit {vi , vj } 6∈ E .
Sei p ein kürzester Weg von vi nach vj .
Sei u der vorderste Knoten auf p in ρ.
Die Nachbarn von u auf p sind verbunden.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
Algorithmen
SPGC und Komplement
244/351
Erkennung (Fortsetzung)
Behauptung
Angenommen es gilt: ρ(u) < ρ(v ) < ρ(w ), mit
{u, w } ∈ E und {v , w } 6∈ E .
Dann gibt es Knoten z mit:
ρ(v ) < ρ(z), {u, z} 6∈ E und {v , z} ∈ E .
Beweis:
klar, wegen der gewählten Nummerierung.
D.h. v muss mindestens so viele Nachbarn haben wie u.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Algorithmen
245/351
Erkennung (Fortsetzung)
Zeige nun, ρ definiert PES.
Annahme das gilt nicht:
Damit gibt es v , w mit {v , w } 6∈ E und
für alle inneren Knoten u auf dem Pfad p von v , w gilt:
ρ(u) < min(ρ(v ), ρ(w )).
Seien nun ρ(w ) maximal gewählt und danach ρ(v ) maximal.
Wähle nun kürzesten Pfad P von w nach v .
Dieser enthält innernen Knoten u.
Damit gibt es z mit: ρ(v ) < ρ(z), {u, z} 6∈ E und {v , z} ∈ E .
Damit ist w mit z durch einen Pfad verbunden.
Wegen der Wahl von v und w gilt: {z, w } ∈ E .
Damit gibt es einen Kreis über P, {v , z} und {z, w }.
Wähle nun kürzesten Weg zwischen u und v .
Damit haben wir einen nicht chordalen Kreis aus > 4 Knoten.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Algorithmen
246/351
Erkennung (Laufzeit)
Das Bestimmen der Ordnung geht in linearer Zeit.
Beim Testen ist der Test der Cliqueneigenschaft ggf. aufwendig.
Teste auf Cliqueneigenschaft geschieht über die linken Knoten der
Clique.
Damit werden die Kanten nur einmal betrachtet.
Damit geht der Teil auch in linearer Zeit.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Algorithmen
247/351
Algorithmen für Graphproblem
Die standart Graphprobleme lassen sich in Polynomzeit lösen.
Vorgehen: Greedy mit der durch PES gegeben Ordnung.
Beachte: chordale Graphen haben höchstens |V | maximum Cliquen.
Daher sind nur alle simplizialen Knoten zum Cliquenproblem zu
betrachten.
Beim Färbungsproblem macht man Greedy in umgekehrten PES
Ordnung.
Für die anderen Probleme geht es ähnlich.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
Weitere Charakteriesierung
Schnittgraphdarstellung
Lemma
Sie T = {Ti | 1 6 i 6 n} eine Familie von Teilbäumen.
Die Bäume aus T schneiden sich paarweise.
Dann haben sie einen Knoten gemeinsam.
D.h. ∩16i6n Ti 6= ∅
Beweis: klar.
SPGC und Komplement
248/351
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Weitere Charakteriesierung
249/351
Aussagen
Theorem
Sei G = ({v1 , v2 , . . . , vn }, E ) Graph. Die folgenden Aussagen sind
äquivalent:
1
G ist chordal.
2
G ist Schnittgraph einer Familie von Teilbäumen.
3
Es gibt einen Baum B auf der Menge der maximalen Cliquen von G
mit:
Für ein Paar von Cliquen C ′ , C ′′ gilt:
die Clique C ′ ∩ C ′′ ist in jeder
maximalen Clique enthalten,
die auf dem Pfad von C ′ nach C ′′ in B liegt.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Weitere Charakteriesierung
Beweis I
Zeige: G ist chordal =⇒ G ist Schnittgraph einer Familie von
Teilbäumen.
Beweis per Induktion.
n = 1 klar.
Induktionsschritt: n − 1 → n
Knoten v1 , v , 2, . . . , vn , s = vn Simplizialknoten.
(Bn−1 , {T1 , T2 , . . . , Tn−1 }) Schnittgraphdarstellung für
v1 , v , 2, . . . , vn−1
Γ(s) \ {s} ist Clique.
Es gibt einen gemeinsame Knoten a in ∩v ∈Γ(s) V (Tv ).
Hänge in (Bn−1 an a ein weiteres Blatt b.
Und erzeuge neuen Teilbaum aus dem Knoten b.
Und verlängere alle Teilbäume aus Γ(s) um b.
250/351
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Weitere Charakteriesierung
Beweis II
Zeige: G ist Schnittgraph einer Familie von Teilbäumen =⇒ G ist
chordal.
Sei C = (v0 , v1 , . . . , vk−1 ) Kreis der Länge > 4.
Seien T0 , T1 , . . . , Tk−1 die zugehörigen Bäume.
Wenn man nun diese Teilbäume betrachtet ergibt sich sogleich ein
Kreis in dem Stützbaum.
Die anderen Teile des Beweises ergeben sich analog.
251/351
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Definition
252/351
Einleitung
Definition
Eine Relation 6 heißt teilweise Ordnung, falls gilt:
Reflexivität: x 6 x
Transivität: x 6 y ∧ y 6 z =⇒ x 6 z
Antisymmetrie: x 6 y ∧ y 6 x =⇒ x = y
Zwei Elemente heißen vergleichbar, falls x 6 y oder y 6 x.
Eine Menge paarweise vergleichbarer Elemente heißt Kette.
Eine Menge paarweise unvergleichbarer Elemente heißt Anitkette.
x bedeckt y (x 6 ·y ), falls x 6 y und x 6 a 6 y =⇒ a ∈ {x, y }.
teilweise Ordnung =
ˆ partially orderd set =
ˆ PO-set =
ˆ POS
Das PO-set wird mit P6 bezeichnet.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
Definition
SPGC und Komplement
253/351
Definition
Definition
Ein Graph G = (V , E ) heißt Vergleichbarkeitsgraph, falls es eine teilweise
Ordnung 6 auf V6 gibt, mit: {x, y } ∈ E gdw. x und y sind vergleichbar.
Beispiel: bipartite Graphen.
Vergleichbarkeitsgraphen sind transitiv orientierbar.
Beispiel: tranistive Orientierung eines bipartiten Graphen.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
254/351
Aussagen
Lemma
Sei P6 ein PO-set. Dann ist die maximale Länge einer Kette gleich der
minimalen Anzahl von Antiketten, in die sich P partionieren läßt.
6 : klar!
> :
x minimal: ∀a ∈ P : a 6 x =⇒ a = x
Damit kann Höhenfunktion h(x) definiert werden.
Damit sei x = z1 6 z1 6 . . . 6 zhy = y die längste
Kette der Länge h(y ).
Damit geben die Elemente gleicher Höhe eine
Anitkette.
Damit haben wir eine Partition in h(y ) Antikettnen.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
Aussagen
Theorem
Vergleichbarkeitsgraphen sind perfekt.
Beweis: klar!
Beachte, es gilt χ(G ) 6 ω(G ).
Lemma
Sei P6 ein PO-set. Dann ist die maximale Länge einer Anitkette gleich
der minimalen Anzahl von Ketten, in die sich P partionieren läßt.
Definition
Eine topologische Sortierung von G = (V , A) ist eine Ordnung der
Knoten ρ : V 7→ {1, 2, . . . , n} mit: (u, v ) ∈ A =⇒ ρ(u) < ρ(v ).
Lemma
Das Färbungsproblem läßt sich mit der topologischen Sortierung auf
Vergleichbarkeitsgraphen in Linearzeit lösen.
255/351
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
Aussagen
256/351
Aussagen
Theorem
Intervallgraphen sind perfekt.
Theorem
Das Komplement eines Intervallgraphen ist ein Vergleichbarkeitsgraph.
Theorem
Für einen Graphen G sind äquivalent:
G ist ein Intervallgraph.
G enthält keine induzierten C4 und G ist ein Vergleichbarkeitsgraph.
Die maximalen Cliquen von G können so angeordent werden, das
die Cliquen die einen Knoten gemeinsam haben aufeinander folgen.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
257/351
Aussagen I
Vermutung (SPGC):
Ein Graph ist perfekt genau dann, wenn er keinen induzierten ungeraden
Kreis der Länge > 5 oder dessen Komplement enthält.
Vermutung wurde gezeigt für:
Planare Graphen,
K1 , 3-freie Graphen,
(K4 − e)-freie Graphen und
K4 -freie Graphen.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
258/351
Aussagen II
Lemma
Wird ein Knoten x eines perfekten Graphen G durch einen perfekten
Graphen H ersetzt, so entsteht ein perfekter Graph GH .
Beweis:
Konstruiere unabhängige Menge I , die alle maximum Cliquen trifft.
Färbe G mit χ(G ) Farben.
Seien Ix die Knoten mit der gleichen Farbe wie x.
Sei IH unabhängige Menge in H, die alle maximum Cliquen in H trifft.
Setze: I = Ix \ {x} ∪ IH
Sei C eine maximum Clique in GH .
Falls C ∩ V (H) = ∅, dann ist C in G − x und
wegen ω(G ) > χ(G ) gilt C ∩ Ix 6= ∅.
Falls C ∩ V (H) 6= ∅, dann enthält C maximum Clique von H
und damit trifft IH dann C .
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
259/351
Aussagen III
Theorem
Das Komplement eines perfekten Graphen ist perfekt.
Beweis:
Per Induktion über n = |V (G )|.
Klar für n > 3.
Sei daher n > 4.
Alle induzierten echten Teilgraphen von (G ) sind perfekt.
Daher zeige χ(G ) 6 ω(G ).
Seien C1 , C2 , . . . , Ck di inclusionsmaximalen Cliquen von G .
Mache folgende Fallunterscheidung:
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
260/351
Beweis I
Fall a:
Es gibt ein Cj was alle maximum unabhängigen Mengen trifft.
I .V .
Dann gilt: χ(G ) 6 χ(G − Cj ) + 1 6 ω(G − Cj ) + 1 6 ω(G ).
Fall b:
∀j : 1 6 j 6 k: V \ Cj enthält unabh. Menge Ij mit |Ij | = α(G ).
s(x) = |{i | 1 6 i 6 k ∧ x ∈ Ii }|
Ersetze jeden Knoten x (mit s(x) > 0) durch eine Clique Cs(x) .
Dieser neue Graph G ∗ ist perfekt.
α(G ) = α(G ∗ ).
Pk
|V (G ∗ )| = i=1 |Ii |P
= k · α(G ).
ω(G ∗ ) = max16j6k x∈Cj s(x).
P
In x∈Cj s(x) wird jede Menge Ii nur einmal gezählt.
P
In x∈Cj s(x) wird eine Menge Ij nicht mitgezählt.
P
∗
ω(G ) = max16j6k x∈Cj s(x) 6 k − 1.
χ(G ∗ ) > |V (G ∗ )|/α(G ∗ ) = k · α(G )/α(G ∗ ) = k.
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
261/351
Fragen
Was ist ein perfekter Graph?
Welche Graphklassen sind perfekt?
Wie schwer ist das Erkennungsproblem von perfekten Graphen?
Wie schwer ist das Färbungsproblem auf perfekten Graphen?
Was ist ein minimal imperfekter Graph?
Welche Grahen sind minimal imperfekt?
Was ist ein chordaler Graph?
Was is zu chordalen Graphen bekannt?
Warum sind chordale Graphen nicht perfekt?
Einleitung
Chordale Graphen
Vergleichbarkeitsgraphen
Intervallgraphen
SPGC und Komplement
262/351
Fragen
Wie schwer ist das Erkennungsproblem für chordale Graphen?
Was ist ein PES?
Welche Probleme sind auf chordalen Graphen leicht?
Welche alternative Darstellung gibt es für chordale Graphen?
Was sind Vergleichbarkeitsgraphen?
Was ist zu Vergleichbarkeitsgraphen und Intervallgraphen bekannt?
Wie zeigt man Abschluss unter Komplement bei perfekten Graphen?