EM-Schwingungen 01 (LC-Schwingkreis)

6 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Gegen Ende des 19.Jahrhunterts gelang dem berühmten deutschen Physiker Heinrich Rudolph Hertz
(1857-1894) zum ersten Mal in der Geschichte der Menschheit der experimentelle Nachweis von
elektromagnetischen Wellen, die bereits einige Jahre zuvor von James Clerk Maxwell vorausgesagt
wurden.
[29] „Alex“ - Fernsehturm Berlin
Schon kurz darauf entwickelten Ingenieure wie Nicola Tesla, Guglielmo Marconi und Alexander
Stepanowitsch Popow die drahtlose Telegraphie mit Hilfe von Radiowellen. Hierdurch wurde ein
Grundstein für die gesamte moderne Informationsgesellschaft gelegt in der Handys, Radios,
Satellitenschüsseln, WLan usw. nicht mehr wegzudenken sind.
© M.Brennscheidt
6.1 Elektromagnetische Schwingungen
Physikalische Grundlage für die Erzeugung von elektromagnetischen Wellen sind elektromagnetische
Schwingungen. In diesem Kapitel wird ein Experiment beschrieben mit dem elektromagnetische
Schwingungen erzeugt werden können:
6.1.1 Der LC-Schwingkreis
Ein Kondensator mit einer Kapazität von
wird über eine Spannungsquelle elektrisch
aufgeladen. Ist dies erfolgt, so wird mit Hilfe eines Kippschalters der Kondensator von der
Spannungsquelle getrennt und in Reihe mit einer hohen Induktivität (Spule)
geschaltet.
Spule und Kondensator bilden dann einen geschlossenen Stromkreis.
Schaltet man ein Volt- und eine Amperemeter hinzu so kann beobachtet werden, dass die Zeiger der
Messinstrumente direkt nach dem Umlegen des Kippschalters eine gedämpfte Schwingung mit einer
Schwingungsdauer von ca.
ausführen.
Definition:
Ein Kreis aus Kondensator und Spule heißt elektrischer Schwingkreis bzw. LCSchwingkreis, da in ihm elektrische Schwingungen stattfinden können.
Das Auftreten der beobachten Schwingung soll nun in vier Schritten erklärt werden:
Schritt 1:
Der Kondensator wird mit der Spannung
aufgeladen und es baut sich ein elektrisches Feld
zwischen den Kondensatorplatten auf. Dabei wird die Energie
im Kondensator bzw. genauer im elektrischen Feld gespeichert.
Schritt 2:
Der Kippschalter wird nun umgekippt, sodass sich der Kondensator über die Spule entladen kann.
Dabei baut sich in der Spule ein magnetisches Feld auf. Die gespeicherte Energie wird dabei vom
elektrischen Feld des Kondensators in das magnetische Feld der Spule transferiert.
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Schritt 3:
Ist der Kondensator vollständig entladen so wird die Feldstärke gleich Null. Zu diesem Zeitpunkt
hat der Entladestrom
seine größte Stärke erreicht, sodass die gesamte Energie nun im
magnetischen Feld der Spule gespeichert ist. Diese beträgt dann:
Schritt 4:
Fließt der Entladestrom nun weiter, so lädt sich der Kondensator mit entgegengesetzter Polung
wieder auf. Das magnetische Feld der Spule wird abgebaut, und das elektrische Feld im Kondensator
wieder aufgebaut. Die gespeicherte Energie wird somit vom magnetischen Feld wieder ins
elektrische Feld transferiert und der Vorgang kann von neuem beginnen.
Zusammenfassung:
Im elektrischen Schwingkreis finden periodische Umwandlungen von
elektrischer und magnetischer Feldenergie statt.
Ein elektrischer Schwingkreis ist mit der Schwingung eines harmonischen Oszillators vergleichbar, wie
die nebenstehende Abbildung zeigt. Dort werden ständig potentielle und kinetische Energie
ineinander umgewandelt. Bei maximaler Auslenkung besitzt das Pendel nur potentielle Energie.
Dieser Zustand ist mit dem maximal aufgeladenen Kondensator vergleichbar in dem die
Gesamtenergie vollständig im elektrischen Feld gespeichert ist. Beim Durchgang durch die Ruhelage
besitzt das Pendel nur kinetische Energie. Dieser Zustand ist vergleichbar mit dem maximalen
Stromfluss durch die Spule. Dort ist die Gesamtenergie des Schwingkreises vollständig im
magnetischen Feld gespeichert.
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6.1.2 Schwingungsdauer im LC-Schwingkreis
Ziel der nachfolgenden Überlegung ist es die Schwingungsdauer der elektromagnetischen
Schwingung im LC-Schwingkreis zu berechnen. Hierzu betrachtet man die im Schwingkreis
auftretenden elektrischen Spannungen:
Die Spannung am Kondensator ergibt sich aus der Beziehung
:
Für die Spannung an der Spule gilt:
Dabei ist
die Kapazität der Kondensators und die Induktivität der Spule. Schließt man den
Schalter des Schwingkreises so entsteht ein geschlossener Stromkreis. Die am Kondensator
anliegende Spannung ist dann gleich der an der Spule anliegenden Spannung:
Leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab so ergibt sich:
In dieser Gleichung kann nun
durch
ersetzt werden:
Dies ist die Differentialgleichung zweiter Ordnung der freien elektromagnetischen Schwingung. Diese
kann nun mit Hilfe eines geeigneten Ansatzes gelöst werden. Wie im Experiment zu beobachten war
schwingt die Stromstärke im Schwingkreis in Form einer Sinusschwingung, wenn man von der
Dämpfung durch den elektrischen Widerstand des Schwingkreises absieht:
Durch zweimaliges Ableiten ergibt sich auch
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:
Setzt man
und
in die obige Gleichung ein, so erhält man durch geschicktes algebraisches
Umformen die Lösung der Differentialgleichung:
Mit
ergibt sich:
Für die Schwingungsdauer im LC-Schwinkreis erhält man also die Formel:
Diese wird mit Thomsonscher Schwingungsformel bezeichnet.
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