Seminar zur Algebra: Knotentheorie - Friedrich-Schiller

Friedrich-Schiller-Universität Jena
Mathematisches Institut
Priv.-Doz. Dr. David J. Green
Seminar zur Algebra: Knotentheorie
Wintersemester 2005/06
Das Seminar findet mittwochs von 12 bis 14 Uhr im SR 130 statt. Beginn am 26.10.05.
Wir werden uns mit der Knotentheorie befassen, ein Gebiet, dessen Fragestellungen sehr
begreifbar sind – und gleichzeitig werden wir die Arbeiten von zwei Fields-Medailisten
(V. Jones und M. Kontsevich) zumindest streifen. Aufgrund der fehlenden topologischen
Vorkenntnissen werden wir manchmal Sätze z.B. aus der geometrischen Topologie ohne
Beweis zitieren bzw. Beweise durch anschauliche Beweisskizzen ersetzen müssen.
Wenn Sie teilnehmen möchten, so tragen Sie sich bitte bei Frau Spilling für einen der
folgenden Vorträge ein. Jeder Vortrag entspricht eine Doppelstunde (d.h. 90 Min.). So
entscheiden Sie mit, welche Themen wir behandeln: denn es sind zu viel, dass wir sie alle
unterbringen könnten.
1. Was sind Knoten? Knoten, (orientierte) Verschlingungen und deren Äquivalenz: naive Definition, Beispiele. Grundlegende Fragestellungen. Probleme mit wilden Knoten und
mit Äquivalenz. Polygonale Verschlingungen als Lösung. Existenz regulärer Knotendiagramme. [R] 1, 2.2; [A] 1.1–1.2.
2. Die Reidemeister-Züge Der polygonale Äquivalenzbegriff. Die Reidemeister-Züge:
einführen und zeigen, dass Sie für Äquivalenz von Verschlingungen ausreichen (Skizze).
[R] 2.3; [A] 1.3.
3. Die Dreifärbungszahl Kreuzungszahl und Entknotungszahl; Verschlingungszahl, die
Hopfverschlingung ist nicht trivial. Die Dreifärbungszahl: Definition, Beweis der Invarianz.
Der Kleeblattknoten ist verknotet. Die Menge der Dreifärbungen als Vektorraum. [R] 3.;
[A] 1.4, 1.5, 3.1, 3.3.
4. Das Jones-Polynom I
4.4.4; [A] 6.1.
Konstruktion, Beweis der Rekurrenz-Relation.
[R] 4. bis
5. Das Jones-Polynom II Der Kleeblattknoten und sein Spiegelbild sind nicht äquivalent. Der Achterknoten ist verknotet. Beweis der Tait-Vermutung über alternierende
Knoten. [R] 4.4.5 – 4.4.15; 4.5 bis Ende 4.; [A] 6.2.
Strang Zöpfe
6. Die Zopfgruppe Zöpfe. Der Satz von Alexander, dass jede Verschlingung von einem
Zopf kommt. Die Zopfgruppe. [BZ] 2D, 10A bis 10.2; [A] 5.4.
7. Eine Präsentierung für die Zopfgruppe Freie Gruppen und Gruppenpräsentierungen (aus einem Buch zur Gruppentheorie). Die Präsentierung der Zopfgruppe. Die
Zopfgruppe und die symmetrische Gruppe. Zopf-Automorphismen. Reine Zöpfe. Ausgewählte Themen aus [BZ] 10A, 10B.
8. Der Satz von Markov
in [BZ] 10D
Evtl. ist keine Zeit für den vollständigen Beweis.
Satz 10.22
9. Die Hecke-Algebra Das Jones-Polynom hat etwas mit der Darstellungstheorie zu tun,
wie wir in diesem und dem nächsten Vortrag sehen werden. [BZ] 16A.
10. Das HOMFLY-Polynom und die anderen Polynome
[BZ] 16B.
Strang Seifert-Flächen
11. Schnellkurs Topologie Topologische Räume. Stetige Abbildungen. Hausdorff-Axiom.
Kompaktheit. Kompakheit in Rn . Stetiges Bild einer kompakten Menge kompakt. Quotientenräume. Homotopie- und Isotopie-Begriff. Was eine Fläche ist. Der Jordan-Kurvensatz.
Vieles findet sich in: K. Jänich, Topologie (Springer, viele Auflagen).
12. Eulercharakteristik Beispiel: Ein Knoten, der eine Fläche berandet. Triangulierungen kompakter Flächen. Eulercharakteristik: Definition, Wohldefiniertheit (Beweisskizze).
Eulercharakteristik und zusammenhängende Summe. Beispiele. [A] 4.1.
13. Klassifikation von Flächen Klassifikation geschlossener kombinatorischer Flächen:
Behauptung, Beweisskizze. Klassifikation von Flächen mit Rand über Eulercharakteristik, Anzahl der Randkomponenten und Orientierbarkeit. Geschlecht. Beispiele, einschl.
nichtorientierbare Flächen mit Rand. [A] 4.2; [R] 5.7.
14. Seifert-Flächen Die Seifert-Fläche eines orientierten Knotendiagramms. Orientierbarkeit. Evtl. Seifert-Fläche für Kleeblatt basteln. Geschlecht eines Knoten. Beispiele. Nur der
Unknoten hat Geschlecht 0. Zusammenhängende Summe und Geschlecht (ohne Beweis).
[A] 4.3; [R] 6.
15. Die Seifert-Matrix und das Alexander-Polynom
Vielleicht etwas lang.
Quelle: [L] 6.1 – 6.3 sowie 3.5.
Weitere (Einzel-)Themen
16. Die Entstehung der Knotentheorie
(Vieweg 1999).
17. Knoten und DNS
Vorlage ist das gleichnamige Buch von M. Epple
Nach [A] 7.1 und [M] 13.
18. Knoten und Statistische Mechanik Nach [A] 7.4 und [M] 12. Sie sollten auf jedem
Fall die Yang-Baxter-Gleichung besprechen.
19. Die Vassiliev-Invarianten: Ein erster Blick Singuläre Knoten. Invarianten endlicher Ordnung. Gauß-Diagramme. Der Satz von Kontsevich (ohne Beweis). Beispiele berechnen. [M] 15; [PS] 4.
Literatur
[A] C. C. Adams. Das Knotenbuch. Spektrum 1995.
[BZ] G. Burde u. H. Zieschang. Knots. De Gruyter, 1985 u. 2003. Die Bibliothek hat nur die
1. Auflage, ich habe die 2.).
[L] C. Livingston. Knotentheorie für Einsteiger. Vieweg 1995.
[M] K. Murasugi. Knot Theory and its Applications. Birkhäuser 1996.
[PS] V. V. Prasolov u. A. B. Sossinsky. Knots, Links, Braids and 3-Manifolds. Amer. Math.
Soc. 1997. Nicht in der Bibliothek; ich habe ein Exemplar.
[R] J. D. Roberts. Knots Knotes. http://www.math.ucsd.edu/~justin/Papers/knotes.pdf
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Mathematisches Institut
Priv.-Doz. Dr. David J. Green
Seminar zur Algebra: Knotentheorie
Wintersemester 2005/06
Vortrag Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Teilnehmerliste
Name, Matrikel-Nr., Studiengang