Über die Konvergenz eines gewissen Iterationsverfahrens für

Aplikace matematiky
Miroslav Šisler
Über die Konvergenz eines gewissen Iterationsverfahrens für zyklische Matrizen
Aplikace matematiky, Vol. 18 (1973), No. 2, 89--98
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SVAZEK 18 (1973)
APLIKACE MATEMATIKY
ČÍSLO 2
ÜBER DIE KONVERGENZ EINES GEWISSEN ITERATIONSVERFAHRENS
FÜR ZYKLISCHE MATRIZEN
M I R O S L A V SISLER
(Eingegangen a m 8. April 1972)
Die Arbeit befasst sich mit einigen Eigenschaften eines in der Arbeit [3] unter­
suchten Iterationsverfahrens für die Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b.
Das Iterationsverfahren wird folgenderweise definiert:
Es sei A = D — P — R eine gewisse Zerlegung der Matrix A, wo D eine verall­
gemeinerte Diagonalmatrix ist und P, R die zugehörigen verallgemeinerten Dreiecks­
matrizen sind. Die Matrix A drückt man ferner in der Form A = M — N aus, wo
Ni = D — coP, N = (1 — co) P + R ist und co ein reeller Parameter ist. Die Iterations­
vorschrift für die betrachtete Methode ist von der Form
(1)
(D - coP) x v + 1 = [(1 - co) P + R] x v + b .
Falls man L = D~lP, U = D~XR setzt, geht die Formel (1) in die Form
(£ - coL) x v + 1 = [(1 -co)L+
U] x v + D~xb ,
über, d. h. in die F'orm
(2)
wo b' = D~ib
(3)
x v + 1 = T(co)xv + b' ,
und
T(co) = (E - coL)~l [(1 - co)L+
ü]
ist.
Für co = 1 geht offensichtlich das durch die Beziehungen (2) und (3) definierte
Verfahren in das übliche Gauss-Seidelsche Verfahren über; für co = 0 in das JacobiVerfahren über.
Ähnlicherweise wie in der Arbeit [3] setzt man voraus, dass die Matrix ß = T(0) =
= L + U einen linearen Operator darstellt, welcher den Vektorraum R in R abbildet,
und dass dieser Vektorraum durch die direkte Summe der Unterräume v l 5 . . . , vm
89
gebildet wird. Ferner setzt man wieder voraus, dass die Matrizen L, U die Bedingungen
(4)
Lv, c v l V , ,
Uv
* <= V£- k?
i = 1, ..., m
erfüllen, wo h, k positive ganze Zahlen sind, h + k = T, (P ^ m) und wo /?, k, p
teilerfremd sind (dabei ist v£ = 0 für i < 1 und i > m).
B e m e r k u n g 1. Wir geben jetzt ein eifaches Beispiel an, in dem die höher angeführten Bedingungen (4) erfüllt sind. Die n x n Matrix ß soll die Form
Ч,k
l
2,k+í
л
n-k+
1 ,n
*n,n-h+\
haben (mit zwei Nebendiagonalen). Es ist also ß = L + U, wo
•1,*
a
l
2,k+ 1
U
h + 1,2
l
o
0
n-k+
1 ,л
Den Vektorraum R„ zerlegt man in die direkte Summe der Unterräume v 3 , ..., v,,,
wo V; aus Vektoren von der Form vj = (0, ..., 0, xh 0, ..., 0) besteht. Dann gelten
offensichtlich die Bedingungen (4). Die Zahlen h, k bedeuten hier die „Entfernungen"
der beiden Nebendiagonalen von der Hauptdiagonale.
In der Arbeit [3] wurde ein Satz bewiesen (Satz 1 der Arbeit [3]), welcher unter
den höher angeführten Voraussetzungen über die Matrizen ß, JL, U den Zusammenhang der Eigenwerte X der Matrix T(co) mit den Eigenwerten \i der Matrix ß ausdrückt.
Es handelt sich um die folgende Behauptung:
Falls p ein Eigenwert der Matrix
(5)
ß ist, dann ist jede der
Я" = ^"(1 -co
Gleichunj
+ Åtûf
genügende X Zahl ein Eigenwert der Matrix 7"(cd)', falls im Gegensatz co 4= 1 oder
gleichzeitig co = 1 und X + 0 ist und X der Eigenwert der Matrix T(co) ist, dann
ist jede der Gleichung (5) genügende Zahl \i der Eigenwert der Matrix ß .
In der Arbeit [3] wurde ausführlich der wichtige Fall untersucht, wenn p = 2
und h = k = 1 ist und wenn die Matrix ß 2 nur reelle nichtnegative Eigenwerte hat.
90
Satz 4 in der Arbeit [3] gibt das Intervall für die Werte des Parameters co an, für die
der Spektralradius Q(T(CO)) der Matrix T(co) kleiner als 1 ist (d. h. die Werte co, für
die das untersuchte Verfahren konvergiert) und es wurde hier auch der Optimalparameter cob angegeben, für den der Wert Q(T(CO)) minimal ist.
Diese Arbeit befasst sich mit einem allgemeineren Fall, wenn p ^ 2 ist. Man befasst
sich mit der Frage, für welche Parameterwerte co unseres Iterationsverfahren konvergiert, d. h. wann Q(T(OJ)) < 1 ist. Im ganzen Artikel wird vorausgesetzt, dass
Q(B) < 1 ist (d. h. dass das Verfahren für co = 0 konvergiert).
1. Fs sei Q(B) der Spektralradius der Matrix ß. Dann ist O(T(0)) = Q(B) und
O(T(1)) = Qp/ip-k\B),
sodass Q(T(1)) < O(ß) < 1 gilt.
B e m e r k u n g 2. Satz 1 vergleicht also die Konvergenzgeschwindigkeit des GaussSeidelschen und des Jacobi-Verfahrens im Falle einer zyklischen Matrix ß. Das
Gauss-Seidelsche Verfahren konvergiert in diesem Falle schneller als das JacobiVerfahren.
Beweis. Da T(0) = ß ist, ist auch O(T(0)) = O(ß). Falls man in (5) co = 1 legt,
bekommt man die Beziehung
Xp =
(6)
fipXk.
Nach Satz 1 der Arbeit [3] und aus (6) folgt sofort, dass im Falle, wenn \i ein
Eigenwert der Matrix ß ist, die Nullstellen der Gleichung (6) die Eigenwerte der
Matrix T(l) darstellen. Die Gleichung (6) besitzt aber die k-fache Nullstelle X = 0
und ferner sind ihre Nullstellen die (p — k)-ten Wurzeln der Zahl pP. Es ist offensichtlich O(T(1)) = QpKp~k)(B) < O(ß) = e(T(0)), wodurch der Satz 1 bewiesen ist.
2. Es sei
o
'(>-ü<»<;(>
+ C'"(B)
«"'(»V
2\
2\
Dann gilt Q(T(CO)) < 1.
Beweis. Die Gleichung (5) schreibt man in der Form
(8)
Xp - pp £ (k\ Xk-Jtok-J(\
- co); = 0
(jip bezeichnet irgendeinen Eigenwert der Matrix ß P ). Nach der bekannten Gerschgoring-Abschätzung liegen alle Nullstellen der Gleichung (8) in dem Einheitskreise,
wenn
(9)
|ii,^i Qn'-qi-co^i
gilt.
91
a) Es sei cO > 1. Dann kann man (9) folgenderweise schreiben:
H"io (k) °>k~\°> - i)y < i .
Hp (°> + "> - i)* < i
oder
(ű < -i л i + i
2V
\ßi\"kJ
b) Es sei 0 < co < 1. Dann kann man (9) folgenderweise schreiben:
Hp t (k) ojk~\l - <°y < { >
N * (<*> + 1 - o>y < i ,
was für jedes CO mit 0 < co < 1 gilt.
c) Es sei cO < 0. Dann bekommt man aus (9) schrittweise die Ungleichungen
k
N p I ( - o > ) * - j ( i - ©y < i ,
H p (-cO + i - LOy < 1,
«,>-Yi
P/
2 V
|/>.] ".
d) Mit dem Fall cO = 0 und cO = 1 befasst sich der Satz 1.
Aus den Fällen a), b), c) und d) bekommt man insgesamt, dass bei gegebenem
Eigenwert /it der Matrix ß alle Nullstellen der Gleichung (5) in dem Einheitskreise
liegen, wenn co dem Intervalle
w
i - ^ - ) <
2\
zugehört. Da O(ß) =
max
,,k
H )
( a
<
1
- ( i
2V
]
+
Hplk.
\ßt\ ist, gilt für alle cO aus dem Intervalle (7) O(T(cO)) < \,
i=l,.,.,n
was wir beweisen sollten.
3. Es sei cO ^ 0. Dann gilt immer Q(T(CO)) g: O(ß).
Beweis. Man beweist, dass für gegebene fit die Gleichung (5) wenigstens eine
solche Nullstelle X besitzt, dass \X\ §: \fit\ ist, sodass Q(T(CO)) >. O(ß) ist.
Es gelte im Gegenteil für alle Nullstellen Xs der Gleichung (5) die Ungleichung
\XS\ < |/i;|. Die Gleichung (5) schreibt man in der Form
X" - |i~ £ (k\ ti (aj{\ - co)k~J = 0 .
92
Das Absolutglied dieser Gleichung ist der Ausdruck — /xp(l — cof. Da
1-/4(1 - cof\ = Fl |A,| < H P
s=l
gilt, bekommen wir schrittweise (co < 0)
\ßi\"(l
-a>Y£\iit\>
(1 - < » ) ' < . 1 ,
was ein Widerspruch ist, da 1 — co _ 1 ist. Dadurch ist der Satz 3 bewiesen.
Aus den Sätzen 3 und 1 ist klar, dass der Minimalspektralradius Q(T(CO)) immer
kleiner als die Zahl Q(B) ist (er ist sogar kleiner oder gleich der Zahl QpKp~k)(B))
und dass der Optimalparameter (d.h. der Parameterwert, für den Q(T(CO)) minimal ist)
also nicht im Intervalle co ^ 0 liegen kann. Deshalb ist auch der negative Teil des
Intervalles (7) aus Satz 2 vom Gesichtspunkte der Optimierung der Methode uninteressant. Weiter beschränken wir uns daher auf die obere Grenze des Intervalles der
Werte co, für die Q(T(CO)) < 1 ist.
Es gilt der folgende Satz:
4. Es sei co = 1 + l/(e p/fc (ß)). Dann gilt o(T(co)) = 1.
Beweis. Man beweist, dass für co ^ 1 4- l/|//f|p/*. i = 1, ..., n die Gleichung (5)
(wo \i = ixi ist) wenigstens eine solche Nullstelle X besitzt, dass |/l| — 1 gilt. Man
setze im Gegenteil voraus, dass für alle Nullstellen Xs der Gleichung (5) \XS\ < 1
gilt. Die Gleichung (5) schreibt man in der Form
k
*•" - /<; E (k)
x>
^ O - o)f-J = 0 .
Das Absolutglied dieser Gleichung ist der Ausdruck — /xf(l — cof und es gilt dabei,
dass
i-tfo -»)f-nw<i
s= 0
ist, da |/is| < 1 für alle s gilt. Man bekommt nun schrittweise (mit Rücksicht auf
die Ungleichung co > 1)
HP(rD-1)fc<1,
„ < ! + - ] _
was aber einen Widerspruch bedeutet. Für |^ f | = O(ß) dann bekommt man die
Behauptung des Satzes 4.
Aus den Sätzen 2 und 4 folgt, dass für die obere Grenze Q des Intervalles der
Parameterwerte co, für die Q(T(CO)) < 1 gilt, die Ungleichungen
1 /
2V
i
+
- ^ - ^ ß < i
ßp/k(B)J ~
~
+
Q"'k(B)
gelten.
93
Im folgenden Satze 5 werden wir uns mit dem Fall befassen, wenn Q =
= ^(1 + lJQp/k(B) ist, d. h. wenn die obere Grenze des Intervalles (7) scharf ist
(der Vollständigkeithalber geben wir auch die Fälle an, für die auch die untere Grenze
scharf ist). Wir werden dabei voraussetzen, dass alle Eigenwerte JXP der Matrix Bp
reell sind. Dann gilt der Folgende Satz:
max pFt = QP(B) (d. h. falls
5. a) Es seien p und k ungerade Zahlen. Falls 0 <
i=l,...,n
der im Absolutbetrag maximale Eigenwert der Matrix Bp positiv ist), hat die
Matrix T(co) für co2 = i(l + l/(Op//c(ß)) den Eigenwert X = — 1 und es ist also
Q(T(CO2)) ^ 1. Falls 0 > min pP = —QP(B) ist (d. h. falls der im Absolutbetrag
t=l,...,n
maximale Eigenwert der Matrix Bp negativ ist), hat die Matrix T(co) für co1 =
= {-(l - ll(Qp/k(B)) den Eigenwert X = ~1 und es ist also Q(T(COI)) ^ 1.
min pp =
b) Es sei p eine ungerade und k eine gerade Zahl. Falls 0 >
~QP(B)
i=l,...,n
ist, hat die Matrix T(co) für co± = | ( l — lj(Qp/k(B)) und auch für co2 =
= \(i + l/(Op/fc(ß)) den Eigenwert X = — 1 und es ist also O(T(cox)) ^ 1,
Q(T(CO2)) ^
1.
c) Es sei p eine gerade und k eine ungerade Zahl. Falls 0 <
max jip = QP(B)
i= 1 ,...,n
ist, hat die Matrix T(co) für co^ = ^(1 — lj(Qp/k(B)) den Eigenwert X = — 1 und es
ist also Q^cOi)) ^ 1. Falls 0 > min \i\ = — QP(B) ist, hat die Matrix T(co) für
i=l,...,n
<£2 = 1(1 + ll(@P/k(fy) den Eigenwert X = — 1 und es ist also Q(J(CO2)) ^ 1.
Beweis.
Es seien
p,
k ungerade
Zahlen,
0 <
max
\i\ = QP(B),
CO2 =
i
= i ( l + \j(Qp/k(B)). Wenn man in der Gleichung
Xp - QP(B) (1 - co2 + Xco2)k = 0
X = — 1 setzt, bekommt man schrittweise
W
-1 - Q"(B) (
\2
2Q'lk(B)
—) = 0,
2
2Q"\B))
- 1 + oHB) - X -
= 0,
was eine gültige Beziehung ist. Ganz analogisch verläuft der Beweis auch in den
übrigen Fällen.
B e m e r k u n g 3. Der Fall, wenn beide Zahlen p und k gerade sind, kommt nicht
in Betracht, da die Zahlen p, k, h nach Vorraussetzung teilerfremd sind.
94
B e m e r k u n g 4. Eine anschauliche Vorstellung über die reellen Nullstellen der
Gleichung (5) im Falle, wenn der Eigenwert fiP der Matrix Bp reell und von Null
verschrieden ist, bekommt man, wenn man die Gleichung (5) in der Form
= (1 ~ CO + AC0f
schreibt. Die graphische Darstellung der Funktion mt(X) = Xp\[iv ist eine Parabel
p-ten Grades mit dem Scheitelpunkt im Koordinatenursprung und die graphische
Darstellung der Funktion gto(A) = (1 — co + Xcof ist eine Parabel k-ten Grades,
die durch den Punkt [1, 1] geht und den Scheitelpunkt im Punkte [(co — l)/co, 0]
Abb. 2.
Abb. 1.
hat (es ist dabei (co — l)/co > 1 für co < 0, (co — l)/co < 0 für 0 < co < 1 und
0 < (co — l)/co < 1 für co > 1). Der Anstieg der Tangente der Funktion gJ(A)
im Punkte [1, 1] ist dem Exponenten k gleich. Die Schnittpunkte beider Graphen
der Funktionen m{ und g^ entsprechen dann den reellen Nullstellen der Gleichung (5).
In Abb. 1 ist die Situation darstellt, wenn p ungerade und k gerade ist, JIP < 0 und
1 < co ist. In Abb. 2 sehen wir den Fall, wenn p gerade und k ungerade ist, \xv > 0
und 0 < co < 1 ist.
Zum Schluss führen wir noch den folgenden Satz an:
6. Es sei p gerade,
k = 1, 0 <
max fit = O(ß) und es gelte co — 1 +
P
+ (p — l)/O (ß). Dann liegt keiner von den Eigenwerten der Matrix T(co) im Einheitskreise.
Beweis. Mit Rücksicht auf die kleinere praktische Bedeutung dieses Satzes
deuten wir seinen Beweis nur kurz an. Man setze voraus, dass im Einheitskreise
95
eine Nullstelle X = x + iy existiert, wo x2 + y2 = r 2 < 1 ist. Aus (5) folgt, dass x
und y die Gleichungen
(8)
(o) xP ~ fyxP~2y2 + (l) x P _ V " - + (" 1 ) W2 (^ P - iiptox + IIP(CO -
1) = 0 ,
(9) (jV-'y - ( j W v + ( j W v - ... + (--T2-1 ( ^ W"1 -
jt£POJy =
0
erfüllen. Da man leicht zeigen kann, dass die Gleichung (5) im Einheitskreise keine
reelle Nullstelle besitzen kann, ist y + 0 und angesichts der Beziehung y2 = r2 — x2
bekommt man nach einer Umformung und Addition der Gleichungen (8) und (9)
die Gleichung
-HO)—v-*•)((;)-(;)) +
(10)
+ x"-4{r2
- x2)2(fP\
- (P\\
- ... + {-\)<>l2(r2 - x2)"'2 (P\
+ n'(o> - l) = 0
und nach einer weiteren Umformung die Gleichung
^^—OTX'J-CX/.JF
+ /ip(co - 1) = 0 .
Es ist also
(12)
P
f(-iyxp-2ir2i2p-2ifP
~y
+
V\ + fip(co - 1) = 0
in Hinsicht auf die kombinatorische Beziehungen
JT/^j-cm
p/2-i
j)J
\
c-:r)
2P_2i/P-(i
("hier setzt man für i = 0 ^
96
" _ |
+ i)\
1}
j J\2(i+j)
í =
) = ( ' j
+1
0 ) 1 ) 2 ) 3 ;
*) = 0.)
_
Man setze in (12) x = ur. Es genügt dann zu beweisen, dass die Gleichung
(13)
f ( - 1 ) - - u — 2 — ( ' - ('
;= i
\
+
^
i —1
- - - f e ~ -) = 0
rp
/
für — 1 < u < 1 und co ^ 1 + (p — l)jjip keine reellen Nullstellen besitzt. Dazu
genügt zu beweisen, dass für — 1 < u < 1 die linke Seite der Gleichung (13) negativ
ist. Da aber iip(w — i)jrp > p — 1 gilt, genügt es zu beweisen, dass die linke Seite
der Gleichung
E(-l) 1 '- 1 up-2i 2p~2i (P ~ (* + ]A - (p - 1) = 0
(14)
für — 1 < u < 1 negativ ist.
In Hinsicht auf die Gültigkeit der kombinatorischen Beziehung
Z(-l) 1 " 1 2"~2' (P ~ ^ + ^ = p - 1
(15)
ist nun klar, dass die Gleichung (14) reelle Nullstellen u = 1 und u = — 1 hat.
Wenn man die Gleichung (14) mit den Wurzelfaktor u2 — 1 < 0 dividiert, bekommt
man angesichts (15) nach der Substitution z = 2u die Gleichung
2
(.«> «„- .-(- )+ ,-(2= (-*) -(-'))+ 0
.
/
3
\
l
/ \
2
/ /
- 2 - ( - ) + ... + (-.r-» ( ( /
/2
V
V o
4)/2 ))-.
Die linke Seite dieser Gleichung ist aber positiv für alle reellen Zahlen z. Das kann
man folgenderweise beweisen:
Es gilt vor allem, dass f4(z) = l
fp+2(z)
) = 1 > 0 ist. Ferner stellt man fest, dass
^ fp(z) ist, da man den Ausdruck fp+2(z)
fp+2(z)-/p(z)
=
~ fP(z) angesichts (16) in der Form
- [ K P - 2 ) ]]
y
( _ I ) U P - 2 - 4 0 fi(p
-
2 ~
2l)\
2
> 0
schreiben kann (hier bezeichnet [{-(p — 2)] den ganzen Teil der Zahl {-(p — 2).
Man bekommt endlich einen Widerspruch mit der Voraussetzung, dass die Gleichungen (8) und (9) im Einheitskreise eine Nullstelle besitzen. Dadurch ist der
Satz 6 bewisen.
97
Literaturverzeichnis
[1] Kjellberg, G.: On the successive over-relaxation method for cyclic Operators. Numerische
Math., 3, 1961, 8 7 - 9 1 .
[2] Varga, R. S.: Matrix Iterative Analysis. Prentice-Hall, INC, 1962.
[3] Šisler, M.: Über ein Iterationsverfahren für zyklische Matrizen. Aplikace matematiky, 17,
225-233, 1972.
Souhrn
O KONVERGENCI JEDNÉ ITERAČNÍ METODY PRO CYKLICKÉ MATICE
MIROSLAV ŠISLER
V práci je zkoumána konvergence jisté iterační metody pro řešení soustavy lineár­
ních rovnic Ax = b. Iterační metoda je definována vzorcem
* v + i = T(co)xv +
y.
Zde T(co) = (£ — OJL)'1 [(1 — OJ) L + U], b' = D~lí>, kde co značí reálný parametr,
matice L, U jsou definovány vztahy L = D~lP, U = D^R a 4 = D - P - R
je jistý rozklad matice A (přitom je D blokově diagonální matice, P a R jsou odpoví­
dající blokově trojúhelníkové matice). Je zřejmé, že metoda přechází pro co = 0
v Jacobiho metodu a pro co = 1 v Gauss-Seidelovu metodu. Předpokládá se, že
matice B = 7(0) = L + U je lineárním operátorem zobrazujícím vektorový prostor
R do R, že R je direktním součtem podprostorů v l 5 ..., vm a že matice L, U splňují
podmínky Lv£ <= v i + h , Uvt a v ř _ k , i = 1, ...,m, kde //, k jsou celá kladná čísla,
h + k = p, přičemž čísla h, k, p nemají netriviálního dělitele.
V práci je zkoumána otázka, pro které hodnoty parametru co metoda konverguje
jak v obecném případě, kdy vlastní čísla matice Bp jsou komplexní, tak i ve speciálním
případě reálných vlastních čísel matice Bp,
Anschrift des Verfassers: Dr. Miroslav Šisler, CSc, Matematický
Žitná 25, 115 67 Praha 1.
98
ústav ČSAV v Praze,