Ein neuer Blick auf Kreiszelregungen - WiSo

Universität Dortmund
Wirtschafts- und Sozialwissenschaftliche Fakultät
Diskussionsbeiträge des Fachgebietes
Operations Research und Wirtschaftsinformatik
No. 25 (2002)
Über maximale kantendisjunkte
Kreiszerlegungen in Graphen
Jan Degenhardt
Peter Recht
Universität Dortmund, Operations Research und Wirtschaftsinformatik, Vogelpothsweg 87, D 44 221
Dortmund, Germany, e-mail: [email protected] oder
[email protected]
1
Über maximale kantendisjunkte
Kreiszerlegungen in Graphen
Abstract: Im vorliegenden Artikel beschäftigen wir uns mit Eigenschaften einer maximalen Anzahl
kantendisjunkter Kreise in ungerichteten Graphen. Dieses spezielle Extremalproblem ist systematisch
bisher eher wenig untersucht.
Das Problem wird zurückgeführt auf eine entsprechende Zerlegung in Eulerschen Graphen. Für diese
Klasse von Graphen werden Bedingungen angegeben, unter denen eine gegebene Zerlegung noch vergrößert werden kann. Diese Bedingungen können innerhalb einer Lokalen-Suche Heuristik verwendet
werden.
Es wird ein Zusammenhang zwischen der maximalen Anzahl kantendisjunkter Kreise und der Anzahl
elementarer Kreise hergestellt. Auf diese Weise kann die Klasse derjenigen Graphen charakterisiert
werden, bei denen Kreiszerlegungszahl und zyklomatische Zahl identisch sind.
Keywords: kantendisjunkte Kreiszerlegungen, Eulersche Graphen, Extremalprobleme
2
1
Einführung
Wir betrachten einen beliebigen, ungerichteten, endlichen Graphen G = (V, E), bei dem
(zunächst) Schlingen und Mehrfachkanten zugelassen seien. Mit |V (G)| bzw. |E(G)| seien die
Anzahl der Knoten bzw. der Kanten von G bezeichnet. (Falls keine Verwechslungen möglich
sind, schreiben wir kurz |V | und |E|.) Ein Graph G0 = (V 0 , E 0 ) heißt Untergraph von G,
falls V 0 ⊆ V und E 0 ⊆ E. Wir schreiben in diesem Fall G0 ⊆ G. Den Graphen G nennen
wir dann Obergraph von G0 . Zwei Untergraphen G0 = (V 0 , E 0 ) und G00 = (V 00 , E 00 ) von
G heißen kantendisjunkt, falls E 0 ∩ E 00 = ∅. Für einen ebenen Graphen G mit f Gebieten
definieren wir einen Dualgraphen G̃ = (Ṽ , Ẽ) mit |Ṽ | = f und (ṽi , ṽj ) ∈ Ẽ genau dann, wenn
Gebiet i und j eine gemeinsame Kante besitzen. Für E 0 ⊆ E ist G \ E 0 = (V, E \ E 0 ). Unter
der Vereinigung zweier Graphen G1 = (V1 , E1 ) und G2 = (V2 , E2 ) verstehen wir den Graphen
G1 ∪G2 = (V1 ∪V2 , E1 ∪E2 ). Eine Brücke (u, v) ∈ E ist eine Kante eines zusammenhängenden
Graphen G, so dass G \ {(u, v)} nicht zusammenhängend ist. Ein Graph G heißt Zyklus, falls
E(G) einen geschlossenen Kantenzug darstellt.
Unter einer Zerlegung Z = {G1 , . . . , Gm } von G verstehen wir eine Menge von Untergraphen Gi (i = 1, . . . , m) mit der Eigenschaft, dass alle Gi paarweise kantendisjunkt sind und
S
G= m
i=1 Gi . Weiter bezeichne C(Z) ⊆ Z die Familie von Zyklen in Z, das heißt
Gi ∈ C(Z) ⇐⇒ Gi ∈ Z ∧ Gi ist Zyklus.
Allgemeiner Gegenstand des vorliegenden Papers ist die Untersuchung der Kreiszerlegungszahl
κ(G) = max{|C(Z)| | Z ist Zerlegung von G}
für einen gegebenen Graphen G, bzw. die Bestimmung einer zugehörigen maximalen (Kreis-)
Zerlegung Z ∗ mit C ∗ = C(Z ∗ ) und |C ∗ | = κ(G).
In der Literatur taucht das Problem der Bestimmung einer maximalen Zerlegung Z ∗ als
cycle packing Problem bzw. als MAX-ECD-Problem (maximal Eulerian cycle decomposition)
auf. Obwohl es sich hierbei grundsätzlich um relativ natürliche graphentheoretische Fragen
handelt und Kreiszerlegungen von Graphen durchaus von breitem wissenschaftlichen Interesse sind, ist dieses spezielle Extremal-Problem systematisch bisher recht wenig untersucht
worden (siehe exemplarisch etwa [1], [9] oder auch [8]).
Bei weitem häufiger sind dagegen in der Literatur Beiträge zu finden, die sich mit dem Bereich der Bestimmung einer maximalen Anzahl knotendisjunkter Kreise, also einer maximalen
Anzahl kantendisjunkter Kreise, die keine gemeinsame Knoten besitzen, beschäftigen (siehe
etwa [5] oder [6]).
Neuere Ergebnisse im Zusammenhang mit maximalen Zerlegungen beziehen sich fast ausschließlich auf algorithmische Komplexitätsaussagen (siehe [2], [3], [4]).
3
2
Einige elementare Eigenschaften der Kreiszerlegungszahl
Offenbar ist die Kreiszerlegungszahl κ(G) wohldefiniert und endlich. Eine zugehörige maximale Zerlegung C ∗ ist allerdings nicht notwendig eindeutig. Wir fassen folgende leicht nachprüfbaren Eigenschaften zusammen.
Proposition 1
Sei G = (V, E) ein Graph.
(i) Ist G0 Untergraph von G, so gilt κ(G0 ) ≤ κ(G).
(ii) Ist (u, v) Brücke in G und G0 = G \ {(u, u)}, so gilt κ(G0 ) = κ(G).
(iii) Ist (u, u) Schlinge in G und G0 = G \ {(u, u)}, so gilt κ(G0 ) = κ(G) − 1.
(iv) Ist (u, v) Mehrfachkante in G (also Kante mit Vielfachheit k ≥ 2) und G0 der Graph,
der durch Elimination des Kreises ((u, v), (v, u)) entsteht, so gilt κ(G0 ) = κ(G) − 1.
(v) Zerfällt G in die Zusammenhangskomponenten Gi (i = 1, . . . , k), so gilt κ(G) =
P
i κ(Gi ).
(vi) Seien G1 und G2 Untergraphen von G und G0 = G1 ⊕ G2 (gemeinsame Kanten von G1
und G2 seien entsprechende Mehrfachkanten in G0 ), so gilt die Ungleichung
κ(G0 ) ≥ κ(G1 ) + κ(G2 ).
Ist G3 = (V3 , E3 ) ⊆ G1 ∩ G2 , so erhalten wir die allgemeinere Ungleichung
κ(G0 ) ≥ κ(G1 \ E3 ) + κ(G2 \ E3 ) + |E3 |.
Aus (i) und (ii) folgt unmittelbar, dass κ(G) = 0 genau dann, wenn G ein Wald ist.
Die Eigenschaften (ii), (iii) und (iv) erlauben es, sich im Weiteren auf die Untersuchung
schlichter, zusammenhängender (sogar 2-zusammenhängender) Graphen G zu beschränken.
Diese Klasse von Graphen kann diesbezüglich sogar noch weiter eingeschränkt werden.
Lemma 1
Vor.: Sei G = (V, E) schlichter, zusammenhängender Graph (|V | = n) mit k Knoten ungeraden Grades.
Beh.:
(i) Es gibt Wege Wi für i = 1, . . . , k2 und einen Eulerschen Untergraphen G¦ mit
S k2
Wi , so dass
G \ G¦ = i=1
κ(G¦ ) = κ(G).
(ii) Es gibt Kanten ei für i = 1, . . . , k2 und einen Eulerschen Obergraphen G¦ mit
S k2
G¦ \ G = i=1
ei , so dass
k
κ(G¦ ) = κ(G) + .
2
4
Beweis: (i) Nach dem Handschlaglemma ist k gerade. Angenommen, wir hätten κ(G)
nebst einem zugehörigen C ∗ bestimmt. Dann ist G \ C ∗ ein Wald, der ebenfalls k Knoten
ungeraden Grades besitzt. Sei vi ein solcher Knoten, u ∈ G \ C ∗ und Wi = W (vi , u)
ein Weg in G \ C ∗ , welcher nicht weiter verlängerbar ist. D. h. es gibt keinen Knoten w
mit Wi ∪ (u, w) ∈ E(G \ C ∗ ). Dann ist u ebenfalls ein Knoten ungeraden Grades in G.
Iterativ lassen sich also auf diese Weise k2 kantendisjunkte Wege Wi bilden. Der Graph
S k2
G¦ = G \ i=1
Wi erfüllt dann die Behauptung.
(ii) Sei ei Kante zwischen den Endknoten eines Weges Wi aus (i). Dann bilden Wi und ei
zusammen einen Kreis und der Graph
¦
G = G¦ ∪
k
k
2
[
2
[
i=1
Wi ∪
ei
i=1
erfüllt die Behauptung.
¥
Offensichtlich ist dieses Lemma nicht konstruktiv hinsichtlich der Bestimmung von κ(G).
k
Prinzipiell müssten dazu nämlich O((2k) 2 ) verschiedene minimale1 Eulersche Obergraphen
des Graphen G betrachtet werden. Die folgende Überlegung führt jedoch dazu, dass wir uns
im Weiteren bei der Bestimmung von κ(G) auf die Berechnung der Kreiszerlegungszahlen
zweier schlichter Eulergraphen beschränken können.
Sei nämlich G ein zusammenhängender, schlichter, nicht-Eulerscher Graph, dann gilt zwischen κ(G) und κ(G¦ ) eines minimalen Eulerschen Obergraphen G¦ folgende Beziehung
k
κ(G) + 1 ≤ κ(G¦ ) ≤ κ(G) + .
2
Sind G¦1 und G¦2 zwei minimale Eulersche Obergraphen für G mit der Eigenschaft, dass
κ(G¦1 ) > κ(G¦2 ), so gilt
k
κ(G¦1 ) − ≤ κ(G) ≤ κ(G¦2 ) − 1.
2
Die Bestimmung von κ(G) lässt sich also auf die Angabe zweier minimaler Eulerscher Obergraphen G¦1 und G¦2 mit |κ(G¦1 ) − κ(G¦2 )| = k2 − 1 zurückführen.
Darüber hinaus genügt es, bei der Bestimmung der Kreiszerlegungszahl eines schlichten
Eulergraphen G nur solche Zerlegungen Z mit C(Z) = Z zu betrachten. Die Größe κ(G) gibt
in diesem Fall die maximale Anzahl kantendisjunkter Kreise Gi an, in die sich G zerlegen lässt.
Die zugehörige Zerlegung Z ∗ bezeichnen wir entsprechend als maximale Zerlegung von G.
1
Ein Eulerscher Obergraph G¦1 eines Graphen G heißt minimal, falls es keinen Eulerschen Obergraphen G¦2
von G gibt, mit |E(G¦1 )| > |E(G¦2 )|.
5
3
Heuristik zur Bestimmung einer maximalen Zerlegung in G
Bevor im 4. Abschnitt weitere Eigenschaften der Kreiszerlegungszahl schlichter Eulerscher
Graphen erarbeitet werden, wollen wir uns zunächst mit der Bestimmung einer guten“ Zer”
legung für G beschäftigen.
Zu Beginn der 80er Jahre konnte bewiesen werden, dass die Überprüfung, ob die Kantenmenge eines gegebenen Graphen G in vollständige Untergraphen der Größe k zerlegt werden
kann, für k ≥ 3 ein NP-vollständiges Problem darstellt ([7]). Im Besonderen führt dies für
k = 3 auf die Frage einer Dreieckszerlegung des Graphen G. Da G als Eulerscher Graph
angenommen werden kann, ist also eine Dreieckszerlegung eines entsprechenden Graphen
NP-vollständig. Wir haben also folgenden Sachverhalt (vgl. [3]).
Theorem 2
Vor.: Es sei G = (V, E) ein schlichter Eulerscher Graph.
Beh.:
(i) Die Bestimmung einer maximalen Zerlegung Z ∗ von G ist NP-schwer.
(ii) Falls δ(v) ≤ 4 für alle v ∈ V , so ist die Bestimmung einer maximalen Zerlegung
Z ∗ von G ebenfalls NP-schwer.
¤
Im Spezialfall planarer Eulerscher Graphen wurde nachgewiesen, dass es ein polynomiales
Verfahren der Größenordnung O(n · m) zur Bestimmung von Z ∗ gibt ([4]).
Aufgrund des vorhergehenden Theorems wird man sich also im Allgemeinen bei der Suche
nach einer maximalen Zerlegung von Eulerschen Graphen G mit suboptimalen Verfahren
begnügen müssen. Die folgende Heuristik nutzt eine Reihe unterschiedlicher Kriterien, welche
innerhalb eines solchen Verfahrens eine Entscheidung darüber ermöglichen, ob eine gefundene
Zerlegung Z von G noch vergrößerbar“ ist.
”
Gegeben sei ein Eulergraph G = (V, E) und eine Zerlegung Z mit C(Z) = Z. Eine solche
Zerlegung Z kann beispielsweise lediglich aus einem Eulerzyklus bestehen. Dann sind die
folgenden drei Bedingungen hinreichend für die Existenz einer Zerlegung Z 0 mit C(Z 0 ) = Z 0
und |Z 0 | = |Z| + 1.
(I) Es gibt G1 = (V1 , E1 ) ∈ Z mit |V1 | < |E1 |.
(II) Es gibt G1 = (V1 , E1 ), G2 = (V2 , E2 ) ∈ Z, mit |V1 ∩ V2 | ≥ 3.
(III) Es gibt G1 = (V1 , E1 ), G2 = (V2 , E2 ), G3 = (V3 , E3 ) ∈ Z mit |V1 ∩V2 |+|(V1 ∪V2 )∩V3 | ≥ 5,
deren Vereinigung keine Unterteilung des vollständigen Graphen K5 darstellen.
Dann können wir folgendes Resultat beweisen.
Proposition 2
Vor.: Sei G = (V, E) ein schlichter Eulerscher Graph und Z eine Zerlegung mit C(Z) = Z.
6
Beh.: Ist eine der Bedingungen (I), (II) oder (III) erfüllt, so existiert eine Zerlegung Z 0 mit
C(Z 0 ) = Z 0 und |Z 0 | = |Z| + 1.
Beweis: Sei (I) erfüllt. Dann gibt es einen Knoten v ∈ V1 mit δ(v) ≥ 4, in dem sich G1 in
zwei Zyklen G01 und G001 kantendisjunkt zerlegen lässt. Die Menge Z 0 = Z \ {G1 } ∪ {G01 , G001 }
hat damit die geforderte Eigenschaft.
Sei (II) erfüllt. Seien v1 , v2 , v3 ∈ V1 ∩ V2 . Dann gibt es in Gk (k = 1, 2) kantendisjunkte
Wege W (k) (vi , vj ) für i, j ∈ {1, 2, 3}. Für jedes der drei Paare (i, j) ist G(i,j) = W (1) (vi , vj ) ∪
W (2) (vi , vj ) ein Zyklus. Diese drei Zyklen zerlegen G1 ∪ G2 kantendisjunkt und induzieren
damit die Zerlegung Z 0 .
a
b
a
v
a
v
a
b
a
Åv
d
b
c
c
d
c
c
b
v
v
Å
c
b
d
d
d
Abbildung 1: Situation bei Erfülltsein von (III)
Ist (III) erfüllt und die zugehörigen Zyklen G1 , G2 und G3 erfüllen nicht schon eine der
anderen beiden Bedingungen, so liegt die in Abbildung 1 dargestellte Situation vor, aus der
die Konstruktion der Zerlegung Z 0 aus Z ersichtlich wird.
¥
Die vorgestellten Bedingungen erlauben also die einfache Konstruktion einer größeren Zerlegung unter Einbeziehung lediglich eines, zweier bzw. dreier Kreise. Wenngleich die Bedingungen (I) bis (III) nicht notwendig für die Existenz einer größeren Zerlegung Z 0 sind, so zeigt
der folgende Sachverhalt, dass bei Nichterfülltsein der Bedingungen eine größere Zerlegung
nicht gefunden werden kann, in dem man maximal Tripel von Kreisen betrachtet.
Lemma 3
Vor.: Sei G = (V, E) ein schlichter Eulerscher Graph und Z eine Zerlegung mit C(Z) = Z.
Beh.: Ist keine der Bedingungen (I) bis (III) erfüllt, so gibt es keine Zerlegung Z 0 von G mit
C(Z 0 ) = Z 0 , |Z 0 | = |Z| + 1 und |Z 0 \ Z| ≤ 4.
¤
Der Zusammenhang zwischen den drei Bedingungen wird deutlich, wenn wir sogenannte
Kreistausche betrachten.
7
Definition 1
Sei Z = {G1 , . . . , Gm } eine Zerlegung eines Eulerschen Graphen G mit C(Z) = Z. Wir
sagen, eine Zerlegung Z 0 = {G01 , . . . , G0m } geht durch Kreistausch aus Z hervor, wenn es
Zyklen Gi , Gj ∈ Z und G0i , G0j ∈ Z 0 gibt, mit Gi ∪ Gj = G0i ∪ G0j und |V (Gi ) ∩ V (Gj )| ≥ 2,
wobei weiter gilt Z \ {Gi , Gj } = Z 0 \ {G0i , G0j }.
Der Begriff des Kreistausches, bei dem die beiden Zyklen Gi und Gj durch zwei andere ersetzt
werden, wird anhand von Abbildung 2 verdeutlicht.
u
a
u
c
v
Å
b
u
d
v
a
u
c
b
d
a
v
u
d
Å
v
c
b
v
Abbildung 2: Vorgehen bei einem Kreistausch
Proposition 3
(i) Ist in einer Zerlegung Z mit C(Z) = Z das Kriterium (III) erfüllt, so gibt es eine Zerlegung Z 0 mit C(Z 0 ) = Z 0 , die durch Kreistausch aus Z hervorgeht und die Bedingung (II)
erfüllt.
(ii) Ebenso existiert ein Kreistausch, der Bedingung (II) auf Bedingung (I) zurückführt.
Während Kriterium (II) selbst leicht zu prüfen ist, ist die Überprüfung von Bedingung (III)
aufwendiger, so dass wir in der nachfolgenden Heuristik lediglich (I) und (II) überprüfen und
Kreistausche durchführen.
Heuristik:
Input
Eulerscher Graph G = (V, E)
Schritt 1
Bilde eine erste Zerlegung Z mit C(Z) = Z.
Schritt 2
Überprüfe Z auf Erfülltsein von (I) und (II) und verändere Z
gegebenenfalls entsprechend Proposition 2.
Falls ein Abbruchkriterium erfüllt ist, beende die Iteration.
Sonst führe einen Kreistausch durch und gehe zu Schritt 2.
Schritt 3
Für Schritt 2 und 3 ist es sinnvoll, eine quadratische Matrix C = (cij ) mit i, j = 1, . . . , |Z|
anzulegen mit

 |V (G ) ∩ V (G )|,
für i 6= j
i
j
cij =
 |E(G )| − |V (G )|, für i = j.
i
i
Ein Eintrag cij > 2 bedeutet das Erfülltsein von Bedingung (II). Gilt cii ≥ 1, so ist Bedingung (I) erfüllt. Da G zusammenhängend ist, gibt es zu jedem i ein j 6= i mit cij > 0.
8
Einfaches Überprüfen liefert das folgende hinreichende Optimalitätskriterium.
Proposition 4
Gilt für eine gegebene Zerlegung Z eines schlichten Eulerschen Graphen G mit C(Z) = Z die
Bedingung cij ≤ 1 für alle i 6= j und cii = 0 für alle i, so ist κ(G) = |Z|.
Abbildung 3 zeigt einen schlichten Eulerschen Graphen und die durch obige Heuristik
gewonnene Zerlegung.
v4
v3
v4
v3
v2
v2
v6
v1
v11
v8
v10
v12
v11
©
v13
v11
v8
v8
v13
v11
v7
©
v12
v9
v12
v6
v7
v1
v5
v6
©
v2
v7
v8
©
v3
v5
v6
v4
v9
v11
v10
Abbildung 3: Beispiel einer Zerlegung mittels der vorgestellten Heuristik
9
4
Kreiszerlegungszahl und zyklomatische Zahl
Im Folgenden wollen wir zeigen, dass für eine bestimmte Klasse von Eulerschen Graphen ein
enger Zusammenhang zwischen der Kreiszerlegungszahl von G und einer weiteren Invarianten von G, seiner zyklomatischen Zahl, besteht. Es kann dabei eine Charakterisierung einer
Graphenklasse angegeben werden für den Fall, dass beide Invarianten gleich groß sind.
Wir betrachten einen Graphen G = (V, E) mit r Zusammenhangskomponenten Rl und
einem spannenden Wald T von G, d. h. Vereinigung von spannenden Bäumen der Zusammenhangskomponenten. Dann ist ein elementarer Kreis bzgl. T derjenige Kreis, der in T dadurch
entsteht, dass eine der Kanten e ∈ E \ E(T ) in E(T ) aufgenommen wird. Das System elementarer Kreise bezüglich T ist die Menge aller elementarer Kreise bzgl. T . Ist der zu Grunde
liegende Wald T nicht von Interesse, so spricht man von einem System elementarer Kreise
bzgl. G. Die Kardinalität eines Systems elementarer Kreise bzgl. G bezeichnet man dann als
zyklomatische Zahl γ(G).
Bekanntlich erfüllt die zyklomatische Zahl folgende Identität.
Lemma 4
Für einen Graphen G = (V, E) mit |V | = n, |E| = m und r Zusammenhangskomponenten
gilt
γ(G) = m − n + r.
Beweis: siehe [10]
¥
Aus dem nächsten Lemma ist unmittelbar ersichtlich, dass κ(G) ≤ γ(G), da in G mindestens κ(G) Kanten entfernt werden können, ohne dass der so entstehende Graph unzusammenhängend wird.
Lemma 5
Sei Z = {G1 , . . . , Gk } eine kantendisjunkte Kreiszerlegung eines schlichten, zusammenhängenden Graphen G = (V, E) und ei ∈ E(Gi ). Dann ist G0 = (V, E \ (∪i ei )) ebenfalls zusammenhängend.
S
S
Beweis: G \ ( ki=1 Gi ) ist ein Wald T . ki=1 Gi ∪ T ist also zusammenhängend. Sei G̃ =
Sj
Sk
i=1 (Gi \ {ei }) ∪ i=j+1 Gi ∪ T zusammenhängend für ein j ≥ 0. Der Graph G̃ \ {ej+1 } ist
ebenfalls zusammenhängend, da die Kante ej+1 in jedem Weg W mit ej+1 ∈ E(W ) durch
den Weg Gj+1 \ {ej+1 } ersetzt werden kann.
¥
Korollar 1
Vor.: Es sei G = (V, E) ein schlichter, zusammenhängender Graph, |V | = n und |E| = m,
mit κ(G) = γ(G) sowie Z = {Gi , i = 1, . . . , κ(G)} eine zugehörige Zerlegung.
10
Beh.: Für jeden spannenden Baum T von G existieren Kanten ei ∈ E(Gi ), so dass T =
κ(G)
G \ {∪i=1 ei }.
Beweis: Für i = 1, . . . , κ(G) seien e0i ∈ E(Gi ). Aus vorherigem Lemma wissen wir, dass
κ(G)
T 0 = G \ {∪i=1 e0i } zusammenhängend ist, und wegen κ(G) = γ(G) ist T 0 kreisfrei, d. h. T 0
ist ein Baum. Falls T 6= T 0 , so gibt es eine Kante e ∈ E(T ) \ E(T 0 ). Dann ist e = e0i für
ein i. Außerdem gibt es dann eine Kante ei ∈ E(Gi ) mit ei ∈ E(T 0 ) \ E(T ). Der Graph
T 00 = T 0 \ {ei } ∪ {e0i } ist ein Baum, welcher wiederum aus G dadurch entsteht, dass aus jedem
Kreis Gi eine Kante entfernt wurde. Außerdem ist |E(T ) ∩ E(T 00 )| > |E(T ) ∩ E(T 0 )|. Iterativ
erzeugen wir auf diese Weise dann den gegebenen Baum T .
¥
Unmittelbar folgt also:
Korollar 2
Vor.: Gegeben sei ein schlichter, zusammenhängender Graph G = (V, E) mit κ(G) = γ(G)
und T als spannender Baum von G.
Beh.: Die elementaren Kreise bzgl. T entsprechen einer maximalen Zerlegung Z ∗ von G.
Bevor wir eine Charakterisierung der Eulerschen Graphen mit κ(G) = γ(G) geben, formulieren wir zunächst noch folgendes Lemma.
Lemma 6
Vor.: Sei G = (V, E) ein schlichter Eulerscher Graph mit |V | = n, |E| = m und κ(G) =
γ(G).
Beh.: Für alle spannenden Bäume T von G gilt:
Ist v ∈ V ein Knoten mit Grad δT (v) = 1 in T , so gilt δG (v) = 2 für den entsprechenden
Knotengrad in G.
¤
Beweis: Wegen κ(G) = m − n + 1 besteht Z ∗ aus m − n + 1 elementaren, kantendisjunkten
Kreisen. Sei nun v ∈ V mit δT (v) = 1, d. h. es gibt ein w ∈ V mit (w, v) ∈ E(T ). Weiter
sei (v, u) ∈ E(G) \ E(T ). In T ∪ {(u, v)} existiert dann exakt ein elementarer Kreis K ∈ Z ∗ .
Dieser besitze m1 +1 Kanten (und Knoten). Da T aus n−1 Kanten besteht, besitzt T 0 = T \K
genau n − 1 − m1 Kanten und G0 = G \ K genau m − (m1 + 1) Kanten, welche sich in m − n
kantendisjunkte, elementare Kreise zerlegen lassen.
Mit Lemma 4 gilt γ(G0 ) = (m−(m1 +1))−n+r = m−n. Damit hat man für die Anzahl r der
Zusammenhangskomponenten von G0 die Gleichheit r = m1 + 1. Im Wald T 0 gilt γ(T 0 ) = 0
und daher ((n − 1) − m1 ) − n + r 0 = 0, bzw. r 0 = m1 + 1.
Da T zusammenhängend ist und T 0 in r0 = |E(K)| Zusammenhangskomponenten zerfällt,
liegt jeder Knoten zi ∈ V (K) in genau einer Zusammenhangskomponente Ti von T 0 . Diese
sind aber auch spannende Bäume der einzelnen Zusammenhangskomponenten Ri von G0 .
Sei nun Tj der spannnende Baum von Rj , der den Knoten v enthält. Dann gilt δTj (v) = 0 und
somit δRj (v) = 0. Folglich sind u und w die einzigen Nachbarn von v in G, also δG (v) = 2. ¥
11
Die Klasse von Eulergraphen G mit κ(G) = γ(G) lässt sich nun folgendermaßen charakterisieren.
Theorem 7
Vor.: Sei G = (V, E) ein schlichter Eulerscher Graph mit |V | = n und |E| = m.
Beh.: Es gilt κ(G) = γ(G) genau dann, wenn zwischen allen Knotenpaaren u, v ∈ V genau
zwei kantendisjunkte Wege in G existieren.
¤
Beweis: Wir zeigen zunächst ⇒“ per Induktion:
”
Die Behauptung ist klar für Graphen G = (V, E) mit |V | = 3. Also gibt es ein ñ ≥ 0, so dass
sie für alle |V | ≤ ñ erfüllt ist.
Sei v Blatt eines spannenden Baumes von G, sowie der Kreis K und der Graph G0 konstruiert wie in Lemma 6. Da v in G0 isoliert ist, gibt es in G genau zwei kantendisjunkte Wege
zwischen v und jedem Knoten zi ∈ V (K). Da die zi in verschiedenen Zusammenhangskomponenten Ri = (Vi , Ei ) von G0 liegen, gilt dies ebenfalls paarweise für diese. Offensichtlich sind
die einzelnen Ri jeweils Eulersche Graphen und |Vi | < ñ. Es gilt
m1
X
(?)
κ(Ri ) + 1 ≤ κ(G) = γ(G) =
m1
X
γ(Ri ) + 1.
i=1
i=1
Da v in einem Kreis der maximalen Zerlegung Z ∗ in κ(G) Kreise liegen muss und G \ K
in m1 Zusammenhangskomponenten zerfällt, gilt K ∈ Z ∗ . Daher gilt Gleichheit bei (?) und
wegen κ(Ri ) ≤ γ(Ri ) schließlich κ(Ri ) = γ(Ri ) für alle Zusammenhangskomponenten von
G0 . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also genau zwei kantendisjunkte Wege zwischen
beliebigen Knoten u, v ∈ V (Ri ).
Sei nun x ∈ Ri und y ∈ Rj (mit j 6= i). Jeder Weg zwischen x und y muss über die Knoten
zi und zj verlaufen, zwischen denen es genau zwei kantendisjunkte Wege gibt. Nach zuvor
Gesagtem existieren ebenfalls genau zwei kantendisjunkte Wege zwischen x und z i , sowie
zwischen y und zj , so dass sich x und y kantendisjunkt auch nur über zwei Wege verbinden
lassen.
Nun zeigen wir ⇐“ ebenfalls mit Induktion über die Anzahl |V (G)|:
”
Für |V | = 3 ist der Kreis zu drei Knoten einziger Eulergraph. Dieser erfüllt alle Voraussetzungen und auch die Behauptung. Also gelte die Behauptung für alle Graphen mit |V | < ñ.
Sei T ein spannender Baum von G = (V, E) mit |V | = ñ und v ∈ V mit δT (v) = 1. Weiter
sei u ∈ V Nachbar von v in G mit (u, v) ∈
/ E(T ) und K = W ∪ {(u, v)} der einzige Kreis in
T ∪ {(u, v)}. Dabei ist W der Weg zwischen u und v in T .
G0 = G \ K besteht aus Zusammenhangskomponenten R1 , . . . , Rr und T 0 = T \ K aus
T1 , . . . , Tr0 . Offenbar gilt r 0 = r, denn wegen T ⊆ G gilt T 0 ⊆ G0 und daher r 0 ≥ r.
Angenommen r 0 > r; dann gäbe es (ũ, ṽ) ∈ E(Ri ) mit ũ ∈ V (Tj ) und ṽ ∈ V (Tl ). Da
G zusammenhängend ist, gäbe es zj ∈ V (Tj ) und zl ∈ V (Tl ) mit zj , zl ∈ V (K). K lässt
12
sich in zwei kantendisjunkte Wege W1 , W2 zwischen zj und zl zerlegen. Außerdem wäre mit
W (zj , zl ) = (zj , . . . , u, v, . . . , zl ) ein weiterer Weg zwischen zj und zl gefunden, der mit W1
| {z } | {z }
in Tl
in Tj
und W2 keine gemeinsamen Kanten hat. Dieser kann nach Voraussetzung nicht existieren.
O. B. d. A. sei nun Ti ⊆ Ri für alle i = 1, . . . , r, d. h. Ti der zu Ri gehörende spannende
Baum. Alle Ri sind Eulersche Graphen mit V (Ri ) < ñ. Wir zeigen nun, dass alle Ri auch die
Induktionsvoraussetzung erfüllen:
Die Anzahl der kantendisjunkten Wege zwischen zwei Knoten u, v ∈ V (Ri ) kann nicht größer
sein als deren Anzahl in G. Da aber Ri Eulersch ist, gibt es wenigstens zwei Wege dieser Art,
also gibt es exakt zwei.
Also gilt κ(Ri ) = γ(Ri ) = |E(Ri )| − |V (Ri )| + 1. Insgesamt ist
κ(G) ≥
=
r
X
κ(Ri ) + 1
i=1
Ã
r
X
i=1
|E(Ri )| −
r
X
|V (Ri )| +
i=1
= ((E(G) − r) − V (G) + r) + 1
r
X
i=1
1
!
+1
= m − n + 1 = γ(G)
Damit ist alles gezeigt.
¥
Korollar 3
Vor.: Sei G = (V, E) Eulerscher Graph mit |V | = n, |E| = m und κ(G) = γ(G).
Beh.:
(i) Zwei kantendisjunkte Kreise in G haben höchstens einen Knoten gemeinsam.
(ii) Es gibt keine Folge G1 , . . . , Gk (k ≥ 3) von kantendisjunkten Kreisen Gi ⊆ G mit
Gi ∩ Gi+1 6= ∅ und Gk ∩ G1 6= ∅.
Beweis: (i) Angenommen, für die Kreise G1 und G2 gilt {x, y} ⊆ G1 ∩ G2 . Dann gibt es
zwischen x und y offensichtlich 4 kantendisjunkte Wege, was aber nach Theorem 7 nicht
sein kann.
(ii) Gäbe es eine solche Folge von Kreisen mit x ∈ G1 ∩ G2 und y ∈ G1 ∩ Gk , so gäbe es
wiederum 4 kantendisjunkte Wege zwischen x und y.
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Mit dieser Erkenntnis haben wir sofort folgendes Korollar.
Korollar 4
Vor.: Sei G = (V, E) Eulerscher Graph mit |V | = n, |E| = m.
Beh.: Es gilt κ(G) = γ(G) dann und nur dann, wenn die folgenden beiden Bedingungen
erfüllt sind:
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(i) G ist planar.
(ii) κ(G) = f − 1, wobei f die Anzahl der Gebiete einer ebenen Darstellung von G
angibt.
Beweis: Angenommen, es gilt κ(G) = γ(G). Dann konstruieren wir eine ebene Darstellung Gint von G folgendermaßen:
Wähle einen Kreis Gj ∈ Z ∗ , der maximalen Zerlegung von G, und zeichne ihn in die Ebene.
Jeder Kreis in Z ∗ , der mit Gj einen gemeinsamen Knoten hat, lässt sich nach dem letzten
Korollar kreuzungsfrei in das Innere“ von Gj zeichnen. Nun werden nacheinander alle Kreise
”
im Inneren“ von Gj auf gleiche Weise bearbeitet, bis sämtliche Kreise Gi ∈ Z ∗ kreuzungsfrei
”
in der Ebene dargestellt sind.
Nach der Eulerformel gilt allgemein für eine ebene Darstellung von G die Gleichheit |V | −
|E| + f = 2. Zusammen mit κ(G) = γ(G) erhalten wir κ(G) = f − 1.
Die Umkehrung folgt sofort mit der Eulerformel.
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Im Beweis des Korollars wurde eine ebene Darstellung Gint eines Graphen G mit κ(G) = γ(G)
konstruiert. Zeichnet man sukzessive sämtliche Kreise mit einem gemeinsamen Knoten nicht
in das Innere“, sondern in das Äußere“ des zunächst betrachten Kreises, so entsteht eine
”
”
weitere ebene Darstellung Gout von G, deren Gebiete (abgesehen vom Außengebiet) exakt
den Kreisen einer optimalen Zerlegung entsprechen.
Da für planare Graphen G allgemein κ(G) ≤ f − 1 gilt, besitzen also die von uns betrachteten Graphen G mit κ(G) = γ(G) eine gewisse Maximalitätseigenschaft, die selbst wieder
charakterisierend für diese Graphenklasse ist.
Zum Schluss geben wir noch eine Beziehung zwischen κ(G) und einer weiteren Grapheninvarianten – der sogenannten Unabhängigkeitszahl α(G) – an. Diese Größe beschreibt für
einen Graphen G die maximale Anzahl paarweiser nichtadjazenter Knoten. Für eine ebene
Darstellung eines planaren Eulerschen Graphen G betrachten wir dazu den oben definierten
Dualgraphen G̃. (Man beachte: Bei verschiedenen ebenen Darstellungen von G sind die entsprechenden Dualgraphen nicht notwendigerweise isomorph, wie man sich leicht an den beiden
ebenen Darstellungen Gint und Gout eines Graphen G mit κ(G) = γ(G) klar machen kann).
Wir erhalten für die Kreiszerlegungszahl κ(G) von planaren Eulerschen Graphen folgende
Abschätzung.
Lemma 8
Vor.: Sei G = (V, E) Eulersch und planar.
Beh.: κ(G) ≥ max{α(G̃) | G̃ ist Dualgraph einer ebenen Darstellung von G}
¤
Beweis: Gegeben sei ein Dualgraph G̃0 einer ebenen Darstellung G0 von G und eine unabhängige Menge von Knoten in G̃0 . Auf Grund der Definition des Dualgraphen und der
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Unabhängigkeit der Knotenmenge werden die den einzelnen Knoten in G̃0 entsprechenden
Gebiete in G0 von kantendisjunkten Kreisen begrenzt, so dass κ(G) = κ(G0 ) ≥ α(G̃0 ).
¥
Betrachten wir den oben definierten Graphen Gout , so erkennt man an der Sternförmigkeit“
”
des zugehörigen Dualgraphen, dass die Ungleichung aus vorherigem Lemma mit Gleichheit
erfüllt sein kann.
Der Graph H1 aus Abbildung 4 ist Beispiel eines planaren Eulergraphen, für den κ(H1 ) >
maxH̃1 {α(H̃1 )}. Der Graph H2 in Abbildung 4 zeigt, dass sich solche Graphen auch mit
H1
H2
Abbildung 4: Planare Eulergraphen mit κ(G) > maxG̃ {α(G̃)}
Minimalgrad 4 angeben lassen.
Bekanntlich sind ebene Eulersche Graphen 2-färbbar. Weiter korrespondieren in diesem
Falle gleichgefärbte Gebiete von G mit einer unabhängigen Knotenmenge im Dualgraphen G̃.
Bezeichne k1 und k2 die jeweiligen Anzahlen der Gebiete gleicher Farbe, so gilt: κ(G) ≥
α(G̃) ≥ max{k1 , k2 }.
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