Der Vier-Farben-Satz - Institut für Mathematik - Goethe
Werbung
Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan, Samuel Hetterich, Felicia Raßmann Goethe-Universität Frankfurt, Institut für Mathematik 21.Juni 2013 Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wieviele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte? Spielregeln Länder mit einer gemeinsamen Grenze bekommen unterschiedliche Farben. Die Länder müssen zusammenhängend sein. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wieviele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte? Spielregeln Länder mit einer gemeinsamen Grenze bekommen unterschiedliche Farben. Die Länder müssen zusammenhängend sein. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Bei all diesen Karten genügen vier Farben: Funktioniert das immer? Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Die Vier-Farben-Vermutung Vermutung [Guthrie 1852] Vier Farben genügen! Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Die Vier-Farben-Vermutung Vermutung [Guthrie 1852] Vier Farben genügen! Das können wir glauben. Aber können wir es auch beweisen? Vielleicht haben wir eine Landkarte, die mehr Farben braucht, nur noch nicht gefunden? Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Warum Beweise? Vermutung [Euler 1769] 4 4 4 4 Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c, d > 0, so dass a + b + c = d . Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Warum Beweise? Vermutung [Euler 1769] 4 4 4 4 Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c, d > 0, so dass a + b + c = d . Gegenbeispiel 4 [Elkies 1986] 4 4 4 2682440 + 15365639 + 18796760 = 20615673 Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Formalisierung des Problems Die Landkarte wird in einen planaren Graphen verwandelt. −→ −→ −→ Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Sechs-Farben-Satz Sechs Farben genügen. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Sechs-Farben-Satz Sechs Farben genügen. Die Eulersche Polyederformel Für einen (zusammenhängenden) planaren Graphen mit v = Anzahl der Knoten e = Anzahl der Kanten f = Anzahl der Flächen Kante Fläche Knoten gilt immer: v −e +f =2 Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Die Eulersche Polyederformel Die Eulersche Polyederformel v −e +f =2 Beispiele: f2 f2 f1 v =3 e=3 f =2 3−3+2=2 Der Vier-Farben-Satz f3 f1 v =4 e=5 f =3 4−5+3=2 Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Beweis der Eulerschen Polyederformel Beweisidee: Induktion. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Beweis der Eulerschen Polyederformel Beweisidee: Induktion. Operation 1 Lösche eine Kante und ihren Endknoten, der keine weitere Kante berührt. Operation 1 −→ v =4 e=4 4−4+2=2 f =2 v =3 e=3 f =2 3−3+2=2 Ein Knoten und eine Kante verschwinden; v − e + f bleibt gleich. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Operation 2 Lösche eine Kante, die auf einem Kreis liegt. Operation 2 −→ v =3 e=3 3−3+2=2 f =2 v =3 e=2 f =1 3−2+1=2 Eine Kante und eine Fläche verschwinden; v − e + f bleibt gleich. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v ≤ 2e Der Vier-Farben-Satz ⇒ v≤ 1 e 3 Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v ≤ 2e ⇒ v≤ 1 e 3 ⇒ f ≤ 2 e 3 Außerdem wissen wir 3f ≤ 2e Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v ≤ 2e ⇒ v≤ 1 e 3 ⇒ f ≤ 2 e 3 Außerdem wissen wir 3f ≤ 2e Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann 1 2 2=v −e +f ≤ e −e + e =0 3 3 Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v ≤ 2e ⇒ v≤ 1 e 3 ⇒ f ≤ 2 e 3 Außerdem wissen wir 3f ≤ 2e Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann 1 2 2=v −e +f ≤ e −e + e =0 3 3 Widerspruch! Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn. . . . . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn. . . . . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn. . . . . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn. . . . . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn. . . . . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn. . . . . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn. . . . . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn. . . . . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn. . . . . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn. . . . . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Genügen vier Farben wirklich? 1852 - Guthrie: die Grafschaften von England Vermutung. 1878 - Cayley: Problem wird der London Math Society vorgestellt. 1879/80 - Kempe/Tait legen vermeintliche Beweise vor. 1890/91 - die zwei fehlerhaften “Beweise” widerlegt. 1890 - Heawood: Beweis des Fünf-Farben-Satzes. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Genügen vier Farben wirklich? 1960/70er - Heesch: Idee eines Computerbeweises. 1976 - Appel, Haken: Erster Computerbeweis. 1996 - Robertson, Sanders, Seymour, Thomas: Stark vereinfachter Computerbeweis. Weitgehend anerkannt. 2005 - Gonthier, Werner: Formaler Beweis des Satzes mit einem “Beweisassistenten”. Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan Landkartenfärbung Warum Beweise? Sechs-Farben-Satz Geschichte Genügen vier Farben wirklich? Bis heute kein analytischer Beweis. Lektüre: R. Wilson: Four colors suffice (2002). Der Vier-Farben-Satz Amin Coja-Oghlan
