Der Vier-Farben-Satz - Institut für Mathematik - Goethe

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Landkartenfärbung
Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan, Samuel Hetterich, Felicia Raßmann
Goethe-Universität Frankfurt, Institut für Mathematik
21.Juni 2013
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung
Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Wieviele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte?
Spielregeln
Länder mit einer gemeinsamen Grenze bekommen unterschiedliche Farben.
Die Länder müssen zusammenhängend sein.
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung
Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Wieviele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte?
Spielregeln
Länder mit einer gemeinsamen Grenze bekommen unterschiedliche Farben.
Die Länder müssen zusammenhängend sein.
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung
Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Bei all diesen Karten genügen vier Farben:
Funktioniert das immer?
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung
Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Die Vier-Farben-Vermutung
Vermutung
[Guthrie 1852]
Vier Farben genügen!
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung
Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Die Vier-Farben-Vermutung
Vermutung
[Guthrie 1852]
Vier Farben genügen!
Das können wir glauben.
Aber können wir es auch beweisen?
Vielleicht haben wir eine Landkarte, die mehr Farben braucht, nur noch nicht
gefunden?
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung
Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Warum Beweise?
Vermutung
[Euler 1769]
4
4
4
4
Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c, d > 0, so dass a + b + c = d .
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Warum Beweise?
Vermutung
[Euler 1769]
4
4
4
4
Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c, d > 0, so dass a + b + c = d .
Gegenbeispiel
4
[Elkies 1986]
4
4
4
2682440 + 15365639 + 18796760 = 20615673
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung
Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Formalisierung des Problems
Die Landkarte wird in einen planaren Graphen verwandelt.
−→
−→
−→
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Sechs-Farben-Satz
Sechs Farben genügen.
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Sechs-Farben-Satz
Sechs Farben genügen.
Die Eulersche Polyederformel
Für einen (zusammenhängenden) planaren Graphen mit
v = Anzahl der Knoten
e = Anzahl der Kanten
f = Anzahl der Flächen
Kante
Fläche
Knoten
gilt immer:
v −e +f =2
Der Vier-Farben-Satz
Amin Coja-Oghlan
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Die Eulersche Polyederformel
Die Eulersche Polyederformel
v −e +f =2
Beispiele:
f2
f2
f1
v =3
e=3
f =2
3−3+2=2
Der Vier-Farben-Satz
f3
f1
v =4
e=5
f =3
4−5+3=2
Amin Coja-Oghlan
Landkartenfärbung
Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Beweis der Eulerschen Polyederformel
Beweisidee: Induktion.
Der Vier-Farben-Satz
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Landkartenfärbung
Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Beweis der Eulerschen Polyederformel
Beweisidee: Induktion.
Operation 1 Lösche eine Kante und ihren Endknoten, der keine weitere Kante
berührt.
Operation 1
−→
v =4
e=4
4−4+2=2
f =2
v =3
e=3
f =2
3−3+2=2
Ein Knoten und eine Kante verschwinden; v − e + f bleibt gleich.
Der Vier-Farben-Satz
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Operation 2 Lösche eine Kante, die auf einem Kreis liegt.
Operation 2
−→
v =3
e=3
3−3+2=2
f =2
v =3
e=2
f =1
3−2+1=2
Eine Kante und eine Fläche verschwinden; v − e + f bleibt gleich.
Der Vier-Farben-Satz
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Warum Beweise?
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Geschichte
Korollar
Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
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Warum Beweise?
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Geschichte
Korollar
Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Beweis durch Widerspruch.
Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre
6v ≤ 2e
Der Vier-Farben-Satz
⇒
v≤
1
e
3
Amin Coja-Oghlan
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Korollar
Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Beweis durch Widerspruch.
Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre
6v ≤ 2e
⇒
v≤
1
e
3
⇒
f ≤
2
e
3
Außerdem wissen wir
3f ≤ 2e
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Korollar
Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Beweis durch Widerspruch.
Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre
6v ≤ 2e
⇒
v≤
1
e
3
⇒
f ≤
2
e
3
Außerdem wissen wir
3f ≤ 2e
Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann
1
2
2=v −e +f ≤ e −e + e =0
3
3
Der Vier-Farben-Satz
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Korollar
Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Beweis durch Widerspruch.
Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre
6v ≤ 2e
⇒
v≤
1
e
3
⇒
f ≤
2
e
3
Außerdem wissen wir
3f ≤ 2e
Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann
1
2
2=v −e +f ≤ e −e + e =0
3
3
Widerspruch!
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Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Der Vier-Farben-Satz
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Wie färbt man jetzt?
Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Entferne ihn. . .
. . . bis nur noch 6 Knoten übrig sind.
Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
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Warum Beweise?
Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Genügen vier Farben wirklich?
1852 - Guthrie: die Grafschaften von England
Vermutung.
1878 - Cayley: Problem wird der London Math Society vorgestellt.
1879/80 - Kempe/Tait legen vermeintliche Beweise vor.
1890/91 - die zwei fehlerhaften “Beweise” widerlegt.
1890 - Heawood: Beweis des Fünf-Farben-Satzes.
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Sechs-Farben-Satz
Geschichte
Genügen vier Farben wirklich?
1960/70er - Heesch: Idee eines Computerbeweises.
1976 - Appel, Haken: Erster Computerbeweis.
1996 - Robertson, Sanders, Seymour, Thomas:
Stark vereinfachter Computerbeweis. Weitgehend anerkannt.
2005 - Gonthier, Werner:
Formaler Beweis des Satzes mit einem “Beweisassistenten”.
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Genügen vier Farben wirklich?
Bis heute kein analytischer Beweis.
Lektüre: R. Wilson: Four colors suffice (2002).
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