Präsentation aus dem Workshop von Renate Rasch - SINUS

5./6. 12. 08 SINUS Transfer Grundschule 5
/6 12 08 SINUS Transfer Grundschule
5. Jahrestagung Berlin
Formen und Veränderungen –
Geometrische Aktivitäten als h k
l
Grundlage für fachliches Verständnis
Workshop: Faltwinkel, rechte Winkel, Flächeninhalt – Zusammenhänge im Geometrieunterricht verdeutlichen
Renate Rasch, Universität Koblenz‐Landau, Campus Landau, Institut für Mathematik r‐rasch@uni‐landau.de www.uni‐landau.de/rasch
• Workshop am 5. 12., 14.30‐18.00 Uhr
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,
• Faltwinkel, rechte Winkel, Flächeninhalt –
Zusammenhänge im Geometrieunterricht verdeutlichen
• Material: DIN‐A‐4‐Heft ohne Linien, Zirkel, M
i l DIN A 4 H f h Li i Zi k l
Geometriedreieck, Faltpapier, Schere, Klebstoff,
• Ein Ziel des Geometrieunterrichts in den Klassenstufen 1
Ein Ziel des Geometrieunterrichts in den Klassenstufen 1‐6
6 sollte es sein, ein Fundament für geometrisches Wissen und Können aufzubauen, an das in den nachfolgenden Klassenstufen der Sekundarstufe I von den Lernenden
Klassenstufen der Sekundarstufe I von den Lernenden immer wieder Wissen „angelagert“ werden kann. Kinder im Grundschulalter sollten auf geometrische Zusammenhänge aufmerksam werden Beziehungen zwischen Linien und
aufmerksam werden. Beziehungen zwischen Linien und Figuren, zwischen Figuren und ihren Teilen können handelnd erfahrbar gemacht werden. Dabei sollte nicht nur d F l
das Falten und Schneiden beachtet werden –
d S h id b h
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wichtig für i h i fü
das Lernen von Geometrie ist ebenso ein handelnder Umgang mit Zeichengeräten.
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Didaktischer Ansatz
Didaktischer Ansatz
• ein möglichst dichtes beziehungshaltiges Wissen vermitteln, das auf Handlungen mit itt l d
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verschiedenen Medien beruht • Dabei werden die Darstellungsmedien (Material, b
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Zeichengeräte) gemeinsam genutzt. Eine V
Voraussetzung dafür ist eine frühe Verwendung t
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des Zirkels.
Programm
• 1 Kreise und Vielecke
• 2 Rechtwinkligkeit und Flächeninhalt
• 3 „Schnelle
3 Schnelle“ Körper und Netze
Körper und Netze
1 Kreise und Vielecke
Kreise
Linien im Kreis
Symmetrien
Regelmäßige Vielecke
Kreise und Linien
– Zeichne zwei Geraden, die sich schneiden.
,
– Nutze den Schnittpunkt als Mittelpunkt eines Kreises.
• Aus den Geraden werden Strecken, die durch d Mitt l
den Mittelpunkt des Kreises gehen, mit kt d K i
h
it
Anfangs‐ und Endpunkt auf der Kreislinie.
• Solche Strecken heißen Durchmesser und die halbe Strecke (vom Mittelpunkt zur Kreislinie)
halbe Strecke (vom Mittelpunkt zur Kreislinie) Halbmesser (Radius).
• Der
Der Halbmesser (Radius, Radspeiche) bestimmt die Halbmesser (Radius, Radspeiche) bestimmt die
Größe des Kreises. Er entspricht der „Zirkelspanne“ beim Zeichnen eines Kreises.
• Alle Strecken durch den Mittelpunkt sind Durchmesser ll S
k d hd
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k i d
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und alle Halbmesser Radien.
– Zeichne
Zeichne mehrere Durchmesser in deinen Kreis. Vergleiche mehrere Durchmesser in deinen Kreis Vergleiche
die Längen.
• Ein Durchmesser halbiert den Kreis. Es entstehen zwei Halbkreise.
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• (Dreiecke über dem Halbkreis sind rechtwinklig.)
• Zwei Durchmesser eines Kreises, die sich senkrecht Z iD h
i
K i
di i h
k ht
zueinander verhalten, zerlegen den Kreis in vier gleiche Teile (Viertelkreise, Viertel).
(Die Schnittpunkte der beiden Durchmesser mit der Kreislinie sind auch Eckpunkte eines Quadrates.)
Kreise und Symmetrie
Kreise und Symmetrie
• Der Kreis besitzt eine maximale Symmetrie.
– Jeder Durchmesser kann auch Symmetrieachse y
sein.
• Schneide
Schneide einen Kreis aus und überprüfe diese einen Kreis aus und überprüfe diese
Behauptung durch Falten.
– Jeder Drehwinkel ist möglich.
Jeder Drehwinkel ist möglich.
• Überprüfe: Lege zwei gleichgroße Kreise übereinander , fixiere beide in der Mitte mit der Zirkelspitze und drehe p
den oberen Kreis nach links.
Linien und ihre Beziehungen
Linien und ihre Beziehungen
• Die Kreislinie ist ungefähr dreimal so groß wie der Durchmesser und sechsmal so groß wie der Halbmesser.
– Lege die Kreislinie mit einem Faden nach. Lege die Kreislinie mit einem Faden nach
Vergleiche die Länge der Kreislinie mit Durchmesser und Radius
Durchmesser und Radius.
– Zeichne Kreise mit verschiedenem Radius. h
h d
d
Überprüfe die Aussage.
• Zeichne einen Kreis. „Setze“ den Radius sechsmal auf die Kreislinie. • Zeichne ausgehend von diesen Punkten wieder Kreise mit dem gleichen Radius Kannst
wieder Kreise mit dem gleichen Radius. Kannst du erklären, warum die Kreise durch den Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises l
k
l h
führen?
• Zeichne einen Kreis. „Setze“ den Radius sechsmal auf die Kreislinie. • V
Verbinde die Punkte miteinander. Du erhältst bi d di P k
i i
d D
häl
ein regelmäßiges Sechseck.
Kreise und Vielecke (Polygone)
Kreise und Vielecke (Polygone)
• Wenn
Wenn wir die Kreislinie in gleichgroße
wir die Kreislinie in gleichgroße Abschnitte Abschnitte
einteilen (mit dem Zirkel oder durch Falten), führen uns die entstehenden Punkte zu regelmäßigen Vielecken.
• Die Vielecke „liegen“ im Kreis (Umkreis) und man kann i i l k li
“i
i ( k i) d
k
in diese Vielecke auch wieder einen Kreis zeichnen (Inkreis) .
(Inkreis) .
– Schneide einen Kreis aus.
– Falte zwei Durchmesser so, dass im Kreis vier gleichgroße
Teile entstehen.
– Verbinde die vier Punkte auf der Kreislinie miteinander, du Verbinde die vier Punkte auf der Kreislinie miteinander du
erhältst ein spezielles Viereck.
• Das Quadrat steht im Kreis auf dem Kopf.
– Falte die vier Ecken des Quadrates zur Mitte.
• Du
Du erhältst 12 Punkte auf der Kreislinie. Würdest du erhältst 12 Punkte auf der Kreislinie. Würdest du
die Punkte miteinander verbinden, entstände ein regelmäßiges Zwölfeck (Ziffernblatt der Uhr). Verbindest du jeden zweiten Punkt miteinander, entsteht ein Sechseck. Verbindest du jeden dritten Punkt miteinander entsteht ein gleichseitiges Dreieck
Punkt miteinander, entsteht ein gleichseitiges Dreieck.
– Nutze eine weitere Kreisvorlage und lasse das Sechseck und auf der anderen Seite des Faltkreises das gleichseitige
und auf der anderen Seite des Faltkreises das gleichseitige Dreieck entstehen.
– Zeichne die Inkreise in die Figuren.
– Zerlege das Sechseck (zeichnerisch) in Dreiecke.
–…
2 Faltwinkel, rechte Winkel, ,
,
Flächeninhalt
• A
Am einfachsten ist die Flächenberechnung bei i f h
i di Flä h b
h
b i
rechtwinkligen Flächen. (Herleitung der Formel über das Auslegen mit Einheitsquadraten Beispiele )
das Auslegen mit Einheitsquadraten, Beispiele …)
• Diesen Vorteil versuchte man auch bei der Berechnung anderer Flächen zu nutzen Man suchte nach
anderer Flächen zu nutzen. Man suchte nach Beziehungen zum Rechteck (nach rechtwinkligen Seitenbeziehungen).
g )
• In manchen Figuren kann man die Höhe als Anhaltspunkt nutzen – eine Strecke, die im rechten Winkel auf der zu ihr gehörenden Seite steht.
Frühe Erfahrungen ermöglichen
Frühe Erfahrungen ermöglichen
• Arithmetik: multiplikative Strukturen an (
)
Rechteckfeldern veranschaulichen (Kl. 2)
• rechtwinklige Beziehungen in der Geometrie spätestens ab Klasse 2 bewusst machen
spätestens ab Klasse 2 bewusst machen
– Faltwinkel
– Achsenkreuz
– Figuren, die sich über das Achsenkreuz entwickeln g
,
lassen (Quadrat, Raute, Drachenviereck)
Rechteckfläche und Dreieck
Rechteckfläche und Dreieck
• Rechtwinklige Flächen kann man in zwei Dreiecke zerlegen. Das Dreieck belegt die Hälfte der Fläche. Man rechnet also die ganze Fläche aus und teilt dann durch 2. • Mit „Papier“ oder (und) Skizze arbeiten und Zusammenhänge verdeutlichen
Zusammenhänge verdeutlichen.
• Erläutern und Ableiten der Formel (aus a∙b wird g∙h).
h)
g
g
g
• Zusammenhang an beliebigen Dreiecken zeigen
Rechteckfläche und Parallelogramm
Rechteckfläche und Parallelogramm
• Für Rechteck und Parallelogramm gilt die h k d
ll l
il di
gleiche Flächenberechnung, da man jedes Rechteck in ein Parallelogramm „verwandeln“ kann.
• Eine Seite des Rechtecks wird zur Höhe. Die g
finden wir beim Rechtwinkligkeit
Parallelogramm also über die Höhe. • Veränderung bezüglich der Formel Veränderung bezüglich der Formel
bewusstmachen: Aus a∙b wird a∙h.
Rechteckfläche und Trapez
Rechteckfläche und Trapez
• A
Auch beim Trapez nutzen wir die Höhe, um eine hb i T
t
i di Höh
i
rechtwinklige Flächenbeziehung aufzubauen.
• Verwandlung des Rechteckes in ein Trapez –
Verwandlung des Rechteckes in ein Trapez
Markieren der Höhe (beschriften der Seiten)
• Die Höhe verhält sich senkrecht zu beiden Die Höhe verhält sich senkrecht zu beiden
Parallelen (a und c). Da diese aber unterschiedlich lang sind, reicht a∙h
lang sind, reicht a
h zur Flächenberechnung nicht. zur Flächenberechnung nicht.
Man muss beide Längen berücksichtigen. Man bildet den Durchschnitt der beiden Seitenlängen: also a und c addieren und dann durch 2 teilen.
l
d dd
dd
d h
l
• Formel ableiten und veranschaulichen
Rechtwinkligkeit bei Raute und Drachenviereck
• B
Bei Raute und Drachenviereck finden wir die iR t
dD h i
k fi d
i di
Rechtwinkligkeit, die wir zur Flächenberechnung brauchen, über die Diagonalen, die sich senkrecht ,
g
,
schneiden (s. Faltwinkel, Achsenkreuz, Figuren im Achsenkreuz).
• Bauen wir aus den Diagonalen e und f ein rechteckiges B
i
d Di
l
df i
ht ki
Feld, erhalten wir die doppelte Flächengröße des p g
(
g
ursprünglichen Vierecks (Dies gilt ebenso für das Quadrat, das wir ja auch im Achsenkreuz entdeckt hatten.)
• Für die Flächenberechnung der Vierecke Raute, Fü di Flä h b
h
d Vi
k R
Drachenviereck , (Quadrat) gilt also : e∙f geteilt durch 2.
Rechteckfläche und Kreis
Rechteckfläche und Kreis
Wo finden wir Rechtwinkligkeit
W
fi d
i R ht i kli k it im Kreis?
i K i?
Durchmesser, die sich senkrecht schneiden
Die beiden Durchmesser vierteln den Kreis
Die beiden Durchmesser vierteln den Kreis.
Wir betrachten ein Viertel, stellen uns eine vollständige rechteckige (quadratische) Fläche vor (r∙r oder r²) und üb l
überlegen, wie oft diese Fläche in die ganze Kreisfläche i f di
Flä h i di
K i flä h
passen würde.
• Viermal kann es nicht mehr sein, da wir ja schon „Fläche Viermal kann es nicht mehr sein, da wir ja schon „Fläche
dazu genommen haben“.
• Ungefähr dreimal passt ein solches „Kreisviertelquadrat“ in di K i flä h hi i
die Kreisfläche hinein, genau π
mal.l
• Formel: r²∙π
•
•
•
•
3 Schnelle“ Körper und Netze
3 „Schnelle
Körper und Netze
• Würfel (Ecken, Kanten, Flächen, gg
)
deckungsgleich)
• Würfelnetze
• Pyramiden (Tetraeder)
P
id (T
d )
• Säulen (Prismen, Quader, Zylinder)
(
,Q
, y
)
• Kegel (Kegelstumpf)
4 Das Tangram
g
altes chinesisches Legespiel
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hi i h L
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im Jahr 1805 veröffentlicht in „Neues chinesisches Rätselspiel für Kinder“
„Siebenschlaubrett“: 7 Teile
(fünf gleichschenklig rechtwinklige Dreiecke in drei verschiedenen g
Größen, ein Quadrat, ein Parallelogramm)
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Legen geometrischer
Figuren
Lerne zuerst, wie man ein kleines Quadrat legen kann g
(s. unten). Dann kannst du auch Rechteck, Dreieck, Trapez und Parallelogramm mit allen 7 Figuren legen.
Finde auch ein Parallelogramm. 23