1. Halbleiterphysik - "Die Schottky
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1. Halbleiterphysik - "Die Schottky-Barriere" Gegeben ist Arsen(As)-dotiertes Germanium(Ge). Dabei beträgt die As-Konzentration im GeKristall ND,As = 5 ⋅ 1018 cm-3. An der Oberfläche des Halbleiters befindet sich eine 5 µm dicke Aluminium(Al)-Schicht. Betrachtet wird dieses Halbleiter-Leiter-System im thermodynamischen Gleichgewicht bei T = 300 K. Aufgaben a) Bestimmen Sie graphisch die Lage des Fermi-Niveaus im Ge-Kristall; benutzen Sie dazu halblogarithmisches Arbeitspapier! b) Berechnen Sie nun den Verlauf des elektrischen Feldes E(x) und des elektrostatischen Potentials φ(x) im Halbleiter; beginnen Sie Ihre Rechnung mit der Maxwellschen . Gleichung c) Berechnen Sie damit nun die Weite xd der Raumladungszone im Halbleiter und skizzieren Sie quantitativ den φ(x)-Verlauf am Übergang Halbleiter-Metall. (Hinweis: Für die Barrierenhöhe ΦMS gilt im n-Typ Halbleiter ΦMS = ΦM - (χ + - ΨB). Dabei ist ΦM die Austrittsarbeit im Metall, χ ist die Elektronenaffinität des Halbleiters, WG ist die Größe der verbotenen Zone des Halbleiters, e ist die Elementarladung und ΨB ist der Betrag der Potentialdifferenz zwischen dem Fermi-Niveau im dotierten Halbleiter und dem Fermi-Niveau im undotierten (intrinsischen) Halbleiter.) Ausgewählte Eigenschaften von Germanium (Ge), Silizium (Si) und Gallium-Arsenid (GaAs) bei Raumtemperatur Eigenschaft Ge Si GaAs Atomdichte ρu / cm-3 4,42⋅ 1022 5,0⋅ 1022 4,42⋅ 1022 Atomgewicht u 72,60 28,09 144,63 Durchbruchfeldstärke EDurch / V⋅ cm-1 ~ 1⋅ 105 ~ 3⋅ 105 ~ 4⋅ 105 Kristallgitter Diamant Diamant Zinkblende Dichte ρ / g⋅ cm-3 5,3267 2,328 5,32 Relative Dielektrizitätszahl εrel 16,0 11,9 13,1 Zustanddichte im Leitungsband NL / cm-3 1,04⋅ 1019 2,8⋅ 1019 4,7⋅ 1017 Zustanddichte im Valenzband NV / cm-3 6,0⋅ 1018 1,04⋅ 1019 7,0⋅ 1018 Elektronenaffinität χ / V 4,0 4,05 4,07 Energielücke bei Raumtemperatur WG / e⋅ V 0,66 1,12 1,424 Intrinsische Ladungsträgerkonzentration ci / cm-3 2,4⋅ 1013 1,45⋅ 1010 1,79⋅ 106 Gitterkonstante k / nm 0,564613 0,543095 0,56533 Austrittsarbeiten von ausgewählten Metallen Stoff ΦM / V Stoff ΦM / V Aluminium 4,20 Barium 2,52 Blei 4,04 Thorium 3,30 Eisen 4,63 Zäsium 1,94 Kupfer 4,48 Wolfram 4,54 Zink 4,27 Platin 5,36 2. Halbleiterphysik - "Die Silizium-pin-Diode" Gegeben ist eine vertikale pin-Diode aus Silizium (vergleichen Sie mit der unteren Skizze). Das "intrinsische" also undotierte Gebiet zwischen dem p- und dem n-Gebiet habe die Dicke di-Zone. Das p-Gebiet sei homogen mit Bor, das n-Gebiet homogen mit Antimon dotiert. Die Dotierkonzentrationen seien NB = 1⋅ 1016 cm-3 und NSb = 5⋅ 1017 cm-3. Die Lage des FermiNiveaus relativ zu den Bandkanten bei diesen Dotierungen zeigt die folgende Skizze. Betrachtet wird die Diode bei Raumtemperatur im thermodynamischen Gleichgewicht ohne angelegte äußere Spannung. Aufgaben a) Berechnen Sie den Potentialverlauf ϕ(x) und den Verlauf des elektrischen Feldes E(x) in der Diode für die Fälle: 1) di-Zone = 0 nm, 2) di-Zone = 50 nm und 3) di-Zone = 100 nm. Beginnen Sie Ihre Rechnungen mit dem Maxwellschen Gesetz ; arbeiten Sie in Ihren Rechnungen mit der "Depletion-Näherung"! b) Berechnen Sie die Raumladungszonenweiten für alle drei Fälle! c) Stellen Sie nun ϕ(x) und E(x) für alle drei Fälle qualitativ wie quantitativ richtig dar! (Hinweis: In einem intrinsischen Silizium-Gebiet gibt es keine ortsfesten Ladungen bzw. Ladungsverteilungen. Was ergibt sich daher aus dem Maxwellschen Gesetz das i-Gebiet?) für 3. Halbleiterphysik - "Elektronenbewegung durch Metalle im elektrischen Feld" Betrachten Sie ein Modell für ein Metall, in dem das Gitter aus positiven Ionen als Behälter für ein klassisches Elektronengas mit n Elektronen pro Volumeneinheit betrachtet wird. Im Gleichgewicht ist dabei die mittlere Elektronengeschwindigkeit null, und bei Anlegen eines elektrischen Feldes E werden die Elektronen auf die Driftgeschwindigkeit vD beschleunigt. Zur Berechnung von vD werden in der Halbleiterphysik zwei Lösungsansätze vorgeschlagen. Im Ansatz 1 bewegen sich die Elektronen zunächst, konstant durch das elektrische Feld E beschleunigt, ungestört durch das Metall. Nach der sogenannten Relaxationszeit τ findet eine Wechselwirkung zwischen den Elektronen und dem Gitter statt, welche die Elektronen sofort auf die Geschwindigkeit v(t = τ) = 0 abbremst. Dann beginnt der Vorgang erneut (vergleichen Sie mit der Abbildung). In diesem Modell ist vD als der Mittelwert von v(t) definiert. Im Ansatz 2 ergibt sich vD aus der Lösung der Differentialgleichung durch vD = v(t → ∞ ). Aufgaben a) Berechnen Sie vD als Funktion von E und τ in beiden Modellen! Worin liegt der Unterschied zwischen beiden Modellen? b) Leiten Sie nun eine Beziehung für die durch das elektrische Feld hervorgerufene Stromdichte j her, und zeigen Sie die Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes U = R ⋅ I! 4. Halbleiterphysik - "Die npn-Struktur" Gegeben ist eine vertikale npn-Struktur aus Silizium (vergleichen Sie mit der linken Skizze). Das p-Gebiet zwischen den beiden n-Gebieten habe die Dicke dp. Die beiden n-Gebiete selbst seien homogen mit Antimon dotiert. Die Dotierkonzentrationen sei NSb = 1⋅ 1019 cm-3. Das p-Gebiet sei mit Bor im Bereich 0 cm-3 ≤ NB ≤ 5⋅ 1019 cm-3 dotiert. Betrachtet wird die npn-Struktur bei Raumtemperatur im thermodynamischen Gleichgewicht ohne angelegte äußere Spannung. Aufgaben a) Bestimmen Sie zunächst graphisch die Lage des Fermi-Niveaus in den beiden n-Gebieten! b) Berechnen Sie den Potentialverlauf ϕ(x) und den Verlauf des elektrischen Feldes E(x) in der Struktur für den undotierten, d.h. intrinsischen Fall (NB = 0 cm-3). Beginnen Sie Ihre Rechnungen mit dem Maxwellschen Gesetz ! c) Stellen Sie nun zeichnerisch ϕ(x) und E(x) qualitativ wie quantitativ richtig für den undotierten Fall dar! d) Die Bor-Dotierung wird nun so stark erhöht, daß die Summe der Raumladungszonenweiten im p-Gebiet kleiner als dp = 20 nm wird. Für welchen Wert NB wird die Summe genau 20 nm (führen Sie Ihre Rechnungen in der Depletion-Näherung aus)?
