Netzwerke und Schaltungen I

Netzwerke und Schaltungen I
Formelsammlung
von
Gábor Zogg
Formelsammlung Netzwerke und Schaltungen I
Gábor Zogg
2. Elektrische Ladungen und Felder
Ladungseinheit: 1C (Coulomb)
Elementarladung: e = 1.6 ⋅ 10 −19 C
r
Coulombsche Kraftwirkung: F =
1
4πε 0
⋅
Q1Q2 r
⋅e
r2
ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12
As
: Dielektrizitätskonstante
Vm
r
r r
e = r Einheitsvektor in Abstandsrichtung
r
r
r F
Elektrische Feldstärke: E =
Q
Q : Probeladung
Die Probeladung spielt dabei für die Feldstärke keine Rolle, obwohl Felder von Ladungen hervorgerufen
werden.
2
∫
r
r
Arbeit im elektrischen Feld: W12 = E ⋅ ds
1
r
s : Integrationsweg s
Potential: Jedem Punkt im Elektrischen Feld kann ein elektrisches Potential ϕ zugewiesen werden.
Willkürlich wird dabei ein fiktives
ϕ0
gewählt werden, welchem das Potential 0 zugewiesen wird. Die
elektrische Spannung U beschreibt dabei die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten.
2 r
r
W12
U12 =
= ∫ E ⋅ ds = ϕ1 − ϕ 2
Q 1
Spannungseinheit: [U ] = 1
Nm
= 1V
Q
1. Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel):
Die Summe der Spannungen in einer geschlossenen Masche verschwindet.
2
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3. Der elektrische Strom
Definition: Anzahl Ladungsträger, die sich pro Zeiteinheit bewegen
Strom: I =
dQ
dt
Einheit: [I ] = 1
C
= 1A (Ampere)
s
r
Stromdichte: S =
I
A
A : Querschnittsfläche
r
I =S⋅A
2. Kirchhoffsches Gesetz (Knotenregel):
Die Summe aller ein- und austretenden Ströme in einem Punkt muss verschwinden.
3
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4. Der elektrische Widerstand
r
r E
Stromdichte: S =
ρ
ρ : spezifischer elektrischer Widerstand
Der spezifische elektrische Widerstand ist Material- und Temperaturabhängig. Folgende Tabelle ist zu
verwenden:
Material
Ag (Silber)
Cu (Kupfer)
Al (Aluminium)
Au (Gold)
Fe (Eisen)
W (Wolfram)
ρ 20 [Ωm]
Temperaturkoeffizient
1.6 ⋅ 10 −8
1.7 ⋅ 10 −8
2.7 ⋅ 10 −8
2.3 ⋅ 10 −8
1.5 ⋅ 10 −7
5.5 ⋅ 10 −8
3.80 ⋅ 10 −3
3.93 ⋅ 10 −3
4.03 ⋅ 10 −3
3.70 ⋅ 10 −3
6.50 ⋅ 10 −3
4.40 ⋅ 10 −3
α [K −1 ]
Temperaturabhängiger spezifischer Widerstand: ρ ϑ = ρ 20 [1 + α (ϑ − 20 )]
Elektrischer Widerstand: R = ρ ⋅
l
A
Symbol:
Spannung: U = R ⋅ I
Widerstandseinheit: [R ] =
1V
= 1Ω (Ohm)
1A
spezifische Leitfähigkeit: κ =
Leitwert: G =
1
ρ
1
R
Leitwerteinheit: [G ] =
1
= 1S (Siemens)
1Ω
4.3 Spannungs- und Stromquellen
Symbole:
Spannungsquelle
Stromquelle
4
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Jede Quelle hat einen Innenwiderstand Ri , bei idealen Quellen kann dieser Widerstand weggedacht
werden.
- Bei Spannungsquellen ist der Innenwiderstand seriell geschaltet und sollte möglichst klein sein.
- Bei Stromquellen ist der Innenwiderstand parallel und sollte möglichst gross sein.
Spannungsquelle:
Klemmenspannung: U = U q − U i = U q − Ri ⋅ I
Belastet: I =
U
R + Ri
Innenwiderstand: Ri =
Uq
Ik
I k : Kurzschlussstrom
Stromquelle:
Klemmenspannung: U = I q ⋅ R
4.4 Quellenumwandlung
Stromquelle Æ Spannungsquelle: U q = − I q ⋅ Ri
Spannungsquelle Æ Stromquelle: I q = −
Uq
Ri
Der Innenwiderstand hat den selben Wert.
5
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5. Arbeit und Leistung
Arbeit: W = U ⋅ Q = U ⋅ I ⋅ t
Leistung: P =
W
Q
=U ⋅ =U ⋅I
t
t
Arbeitseinheit: [W ] = 1VA = 1
Nm C
Nm
⋅ =1
= 1J (Joule)
C s
s
5.2 Leistung eines Widerstandes
Leistung: P =
U2
= I2 ⋅R
R
5.3 Leistung einer realen Quelle
Leistung: Pq = −(Pi + Pv )
Die Leistung einer Quelle ist negativ, da die Kennzeichnung Verbraucherorientiert ist.
Satz der Leistungsbilanz:
Die Summe der Leistungen muss verschwinden.
5.4 Anpassung eines Widersatandes an eine Quelle
Leisung in Abhängigkeit vom Widerstand: Pv (Rv ) =
U q2
(Ri + Rv )
⋅ Rv
Aus der Ableitung ergibt isch für das Leistungsmaximum: Rv = Ri
6
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6. Gleichstromnetzwerke
6.1 Einfache, lineare Gleichstromnetzwerke
Serienschaltung von Widerständen: Rtot =
n
∑R
k
k =1
⎛ n 1
Parallelschaltung von Widerständen: Gtot = ∑ Gk ; Rtot = ⎜⎜ ∑
k =1
⎝ k =1 Rk
n
Spannungsteiler: U 1 =
⎞
⎟⎟
⎠
−1
U ⋅ R1
für die Spannung über R1
R1 + R2
Potentiometer: R1 = R0 ⋅
X
= R0 ⋅ x
H
x=
Belasteter Spannungsteiler: R '1 =
X
: Teilungsverhältnis
H
Ro : Gesamtwiderstand
R1 ⋅ Rv
R1 ⋅ Rv / (R1 + Rv )
; U1 = U ⋅
R1 + Rv
R2 + R1 ⋅ Rv / (R1 + Rv )
6.2 Netzwerke mit begrenzt gültigem linearen Spannungs-Strom-Beziehungen
Erstes Verfahren: Abschnittsweise linearisieren gemäss U = Ri ⋅ I B + U i
Ri : Widerstand im Abschnitt i
I B = I − I i ; I i : Strom am Anfang von Abschnitt i
U i : Spannung am Anfang von Abschnitt i
Zweites Verfahren: Arbeitspunkt einzeichnen und durch Tangente die Steigung bestimmen.
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6.3 Beispiele linearer Netzwerke mit abschnittweise linearen Kennlinien
Diode
Die Diode lässt nur in Durchlassrichtung Strom durch, während sie in Sperrrichtung bis zu einigen kV sperrt.
Ab einem gewissen Punkt beginnt sie Strom zu leiten, welcher stark exponentiell mit der Spannung zunimmt.
Dieser Bereich kann linearisiert werden. Die ideale Diode leitet sobald eine Spannung in Flussrictung anliegt.
⎛
⎜
⎝
⎛UD ⎞ ⎞
⎟⎟ − 1⎟
⎟
U
⎝ T⎠ ⎠
Strom der Diode: I D = I S ⎜ exp⎜⎜
I S : Sperrstrom
kT
: Temperaturspannung
e
k = 1.3807 ⋅ 10 −23VAs / K : Boltzmann-Konstante
e = 1.6022 ⋅ 10 −19 As : Elementarladung
T : Absolute Temperatur
UT =
Bipolar-Transistor
Beim Transistor kann der Stom von Kollector zu Emitter sehr gut linearisiert
werden. Die Steigung hängt vom Basisstrom ab. Jede Kennlinienverlängerung bei
verschiedenen Basisströmen führen in den Selben Nullpunkt. Die Spannung bei
diesem Stromnullpunkt wird Early-Spannung genannt.
⎛
U
⎞
Kollektorstrom: I C = ⎜⎜1 + CE ⎟⎟ ⋅ B ⋅ I B
UA ⎠
⎝
U CE : Spannung Kollektor-Emitter
− U A : Early-Spannung
I B : Basisstrom
B : Stromverstärkung des Transistors
Kollektorstromquelle: I C 0 (I B ) = B ⋅ I B
Kollektrowiderstand: GCE = B ⋅
IB
UA
; RCE =
UA
B ⋅ IB
Ersatzschaltbild des Transistors:
RB : Basis-Bahnwiderstand
U T : Schleusenspannung (wie bei Diode)
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Beispiel: Emitterschaltung
U a = I C ⋅ Ra : Ausgangsspannung
I C = B ⋅ I B : Kollektorstrom
(U + ΔU S ) − U BE : Basisstrom
IB = S
RS + RB
U BE : Basis-Emitter-Spannung
RB : Basiswiderstand
U a = Ra ⋅ B ⋅
(U S + ΔU S ) − U BE
RS + RB
Falls U CE << U a , RS >> RB und U T << U S , dann kann man das ganze einiges vereinfachen:
B ⋅ Ra ⋅ U S B ⋅ Ra ⋅ ΔU S
U a + ΔU a =
+
RS
RS
6.5 Der Kondensator
Kapazität: C =
Q
U ab
Kapazitätseinheit: [C ] = 1
C
= 1F (Farad)
V
Die Kapazität eines Kondensators hängt von seiner Geometrie ab. Ist meist nur auf numerischem Weg
berechenbar.
Spannung: U C (t ) =
1
i (t )dt
C∫
du (t )
Ladestrom: I C (t ) = C ⋅ C
dt
Energieinhalt: W =
1
CU 2
2
⎛ n 1
Serieschaltung: CS = ⎜⎜ ∑
⎝ k =1 Ck
Parallelschaltung: C P =
⎞
⎟⎟
⎠
−1
n
∑C
k =1
k
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6.7 RC-Aufladung eines Kondensators
Zeitkonstante: T = R ⋅ C
⎛
Spannung: U C (t ) = U q ⎜⎜1 − e
−
t
T
⎝
Ladestrom: I C (t ) = C ⋅ U ' =
Uq
R
⎞
⎟
⎟
⎠
⋅e
−
t
T
Bei der Entladung gilt: U q ist die Spannungsdifferenz zu beginn, dann: U C = U 0 − U C (t )
6.8 Die Spule
Induktivität: L =
U
Q
Induktivitätseinheit: [L] = 1
Vs
= 1H (Henry)
A
Die Induktivität einer Spule hängt von ihrer Geometrie ab. Ist meis nur auf numerischem Weg berechenbar.
diL (t )
dt
Spannung: U L (t ) = L ⋅
Strom: I L (t ) =
1
u L (t )dt
L∫
Energieinhalt: W =
1 2
LI
2
Serieschaltung: LS =
n
∑L
k =1
k
⎛ n 1
Parallelschaltung: LP = ⎜⎜ ∑
⎝ k =1 Lk
⎞
⎟⎟
⎠
−1
6.10 RL-Kreis
Zeitkonstante: T =
Strom: I L =
L
R
t
−
Uq ⎛
⎜1 − e T
R ⎜⎝
Spannung: U L = U q ⋅ e
−
⎞
⎟
⎟
⎠
t
T
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6.11 Aktive Netzwerke, Operationsverstärker
Schaltschema:
Spannungsverstärkung: v =
Ersatzschaltschema:
Ua
, beim idelaen Operationsverstärker ∞
Ue
Es gilt: U e = 0 und I e = 0
Invertierende Operationsverstärkerschaltung:
UE
U
, IK = A
RE
RK
I E + I K = Ie = 0
IE =
Ausgangsspannung: U A = −
Spannungsverstärkung: v = −
RK
UE
RE
RK
RE
Summierverstärker:
⎛ U Ek
⎜⎜ ∑
⎝ REk
⎞ UA
⎟⎟ +
=0
⎠ RK
⎛
Ausgangsspannung: U A = −⎜⎜
⎝
Beispiel: Digital-Analog-Wandler:
11
⎞
U Ek ⎟⎟
Ek
⎠
RK
∑R
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Spannungsfolger (Impedanzwandler):
Ideal als Verstärker, der eine Quelle nicht belsten soll, z.B. in der Messtechnik oder bei Spannungsteiler.
RE1
RE2
UE1
RK
IA
Verstärkung: v =
en
ep
UA
Ia
Spannung: U A = v ⋅ (U E 2 − U E1 )
R0
UE2
R0
R
= K
RE 2 RE1
Man wählt hierzwei Mal das selbe Verhältnis bei
den Widerständen.
M
einfacher:
hochohmig
Ui
Ua
Integrierer:
IE
RE1
CK
IK
IA
I K = CK
en
dU A
dt
Ia
UA
UE
ep
M
UE
+CK
dU A
= 0
RE
dt
dU A
1
=−
⋅U E
dt
RE C K
t
Spannung: U A = −
1
U E dt + U A (0 )
RE C K ∫0
Ersatzschaltbild eines realen Operationsverstärkers:
U e 0 : Offsetspannung
Ue0
Re
Ua
Ue
Uen
UA
Iep
Uep
Ien
Rep
Ren
M
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7. Netzwerkanalyse
7.6 Maschenstromverfahren
Vorgehensweise:
1. Umwandlung bestehender Stromquellen in Spannungsquellen und Leitwete in Widerstände
2. Baum mit Ästen und Sehnen erstellen ( m = z − k + 1 )
m : Maschen
z : Äste
k : Knoten
3. Nummerieren der Knoten und Zweige, Eintragen der Stromrichtungen im Graphen
4. Aufstellen der Diagonalmatrix Z Z , welche alle Zweigimpedanzen (Zweigwiderstände)
enthält, in der Reihenfolge der Nummerierung in Schritt 3
5. Maschen eintragen
6. Erstellen der Zwieg-Sehnen-Inszidenzmatrix A
7. Bildung der Maschenimpedanzmatrix: Z m = AT Z Z A
8. Bildung der eingeprägten Maschenspannungen unter Verwendung der vorzeichenrichtig
eingesetzten Zweigspannungsquellen U qm = − AT U qz
9. Lösen der linearen Gleichungssystems Z m I m = U qm : I m = Z m−1U qm
10. Rückrechnen auf die Zweigströme I z und totalen Zweigspannungen U ztotal
I z = AI m
U ztotal = Z z I z + U qz
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Beispiel:
4.
⎡10Ω
⎤
⎢
⎥
20Ω
⎢
⎥
⎥
Zz = ⎢
50Ω
⎢
⎥
30Ω
⎢
⎥
⎢⎣
20Ω ⎥⎦
7.
⎡10Ω
⎤ ⎡1
⎢
⎥ ⎢1
20Ω
⎢
⎥ ⎢
⎡1 1 0 0 1⎤
⎢
⎥ ⋅ ⎢0
⋅
Z m = AT Z z A = ⎢
Ω
50
⎥
⎥ ⎢
⎣0 0 1 1 1⎦ ⎢
30Ω
⎢
⎥ ⎢0
⎢⎣
20Ω⎥⎦ ⎢⎣1
8.
9.
U qz
⎡− 10V ⎤
⎢ 0 ⎥
⎢
⎥
= ⎢ − 5V ⎥
⎢
⎥
⎢− 10V ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
I m = Z m−1U qm
U qm = − AT U qz
1
⎡
⎢ 0.021739 Ω
=⎢
1
⎢− 0.0043478
Ω
⎣
⎡ I 1 ⎤ ⎡1
⎢ I ⎥ ⎢1
⎢ 2⎥ ⎢
6. I z = ⎢ I 3 ⎥ = ⎢0
⎢ ⎥ ⎢
⎢ I 4 ⎥ ⎢0
⎢⎣ I 5 ⎥⎦ ⎢⎣1
0⎤
⎡1
⎢1
⎥
0⎥
⎢
⎡ I1 ⎤
1 ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ Æ A = ⎢0
⎢
⎥ ⎣I 4 ⎦
1⎥
⎢0
⎢⎣1
1⎥⎦
0⎤
0⎥⎥
1⎥
⎥
1⎥
1⎥⎦
0⎤
0⎥⎥
⎡50Ω 20Ω ⎤
1⎥ = ⎢
⎥
⎥ ⎣20Ω 100Ω⎦
1⎥
1⎥⎦
⎡− 10V ⎤
⎢ 0 ⎥
⎥ ⎡10V ⎤
⎡1 1 0 0 1⎤ ⎢
⎢
⎥=⎢
= −⎢
⋅
−
V
5
⎥
⎥
⎥ ⎣15V ⎦
⎣0 0 1 1 1⎦ ⎢
−
V
10
⎢
⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
1⎤
Ω ⎥ ⋅ ⎡10V ⎤ = ⎡0.15217 A⎤
1 ⎥ ⎢⎣15V ⎥⎦ ⎢⎣0.11957 A⎥⎦
⎥
0.01087
Ω ⎦
− 0.0043478
⎡ I1 ⎤
⎡0.15217 A⎤
⎡1 0⎤
⎢I ⎥
⎥
⎢
⎢1 0⎥
⎢ 2⎥
⎥ ⎡0.15217 A⎤ ⎢0.15217 A⎥
⎢
10. I z = ⎢ I 3 ⎥ = AI m = ⎢0 1⎥ ⋅ ⎢
⎥ = ⎢0.11957 A⎥
⎢ ⎥
⎥
⎥ ⎣0.11957 A⎦ ⎢
⎢
⎢I 4 ⎥
⎢0.11957 A⎥
⎢0 1 ⎥
⎢⎣ I 5 ⎥⎦
⎢⎣0.27174 A⎥⎦
⎢⎣1 1⎥⎦
U ztotal = Z z I z + U qz
⎡10Ω
⎤ ⎡0.15217 A⎤ ⎡− 10V ⎤ ⎡− 8.4783V ⎤
⎢
⎥ ⎢0.15217 A⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 3.0435V ⎥
20Ω
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⋅ ⎢0.11957 A⎥ + ⎢ − 5V ⎥ = ⎢ 0.9783V ⎥
=⎢
50Ω
⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢
30Ω
⎢
⎥ ⎢0.11957 A⎥ ⎢− 10V ⎥ ⎢ − 6.413V ⎥
⎢⎣
20Ω⎥⎦ ⎢⎣0.27174 A⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 5.4348V ⎥⎦
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7.7 Knotenpotentialverfahren
Vorgenehensweise:
1. Umwandeln bestehender Spannungsquellen in Stromquellen und Widerstände in Leitwerte
2. Baum mit Ästen und Sehnen erstellen
3. Nummeriren der Knoten und Zweige, ein Knoten wird auf 0 gestetzt (Bezugspunkt), eintragen
der Stromrichtungen im Graphen, in die selbe Richtung auch die Spannungen über den
Widerständen eintragen
4. Aufstellen der Diagonalmatrix Yz , welche alle Zweigadmittanzen enthält in der reihenfolge
der Nummerierung in Schritt 3 ( G10
G20
G30
G12
G23 )
5. (Knoten betrachten)
6. Erstellen der Zweig-Knoten-Inzidenzmatrix C (Spalte für U 0 weglassen, bei ausgehender
Spannungsrichtung 1 eintragen, bei eingehender –1)
7. Bildung der Knotenpunktsdmittanzmatrix Y = C T YZ C
8. Bildung der eingeprägten Knotenströme I = −C T I zq
9. Lösen des linearen Gleichungssystems YU = I : U = Y −1 I
10. Rückrechnen auf die Zweigspannungen U z und die totalen Zweigströme I zweig _ total
U z = CU
I zweig _ total = I qz + YzU z
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8. Schwingkreise
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