np p pY YTG /) 1( )( − − =

1
REPETITORIUM DER ANGEWANDTE STATISTIK II
4 EINFÜHRUNG IN DAS TESTEN VON UNTERSCHIEDSHYPOTHESEN I:
1-STICHPROBENVERGLEICHE
4.1 Binomialtest (Binomial Test)
Problemstellung:
Von der Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses E liegt eine Vermutung
H1 (Alternativhypothese, alternative hypothesis) vor, z.B. in der Form H1: p ≠ p0 (p0 ist
ein fester, vorgegebener Wert); die Menge der p, für die H1 nicht zutrifft, bildet die
Nullhypothese (null hypothesis) H0: p = p0; mit dem Test wird eine Entscheidung
zwischen H0 und H1 angestrebt.
Schema der Problemlösung:
• Beobachten
Testentscheidung baut auf Beobachtungsdaten auf. Das Zufallsexperiment, bei dem
entweder E oder Ec eintritt, wird n-mal durchgeführt; y sei der Anteil der Wiederholungen
mit dem Ereignis E.
•
Modellieren:
Beobachtungsdaten werden durch ein Bernoulli-Experiment mit n Wiederholungen
simuliert; jede Wiederholung liefert mit der Wahrscheinlichkeit p das Ereignis E. Es sei Y
die relative Häufigkeit von E bei n Wiederholungen. Die Anzahl nY der Wiederholungen
mit dem Ausgang E ist Bn,p –verteilt. Für n > 20 und 10 ≤ np ≤ n -10 gilt die
Approximation: Bn,p ≈ N(np, np(1-p)).
•
Präzisieren:
Entscheidungsalternativen: H0 : p = p0 versus H1: p ≠ p0 (Test auf Abweichung mit 2seitigen Hypothesen, two-sided alternative)
Signifikanzniveau (significance level): α-Fehler (meist α=5% angenommen)
Wahrer
Sachverhalt
H0 ist richtig
(p = p0=1/2)
Entscheidung für H0 (gegen
H1)
richtige Entscheidung!
Entscheidung für H1 (gegen H0)
H1 ist richtig
(p ≠ p0=1/2)
Fehler! (2. Art, β-Fehler)
Forderung:
P(Entscheid. gegen H1| |pp0|>∆) ≤ β !
richtige Entscheidung!
Fehler! (1. Art, α-Fehler)
Forderung:
P(Entscheid. für H1|p=p0) ≤ α !
Anmerkung:
Kontrolle des b-Fehlers erfolgt meist im Nachhinein, in dem die relevante Abweichung
∆=|y-p0| gesetzt wird und die Testschärfe (Power)= P(Entscheidung für H1| |p-p0|>∆)
berechnet wird. Besser ist eine Planung des Stichprobenumfangs n im Vorhinein zu
vorgegebener Power=1-β und ∆.
•
Entscheiden:
Hilfsgröße (Testgröße, test statistic) TG(Y) =
Y − p0
p0 (1 − p0 ) / n
bilden (ist unter H0
angenähert standardnormalverteilt); Einsetzen von y (aus der Zufallsstichprobe)
Realisation TGs=TG(y) der Testgröße.
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2
Entscheidungsregel:
a) mit Quantilen: H0 ablehnen, wenn |TGs| > z1-α/2.
b) mit P-Wert= P(TG < - |TGs| oder TG > |TGs|): H0 ablehnen, wenn P < α.
Ergänzungen:
•
•
Einseitige Hypothesen (one-sided alternatives):
Test auf Überschreitung mit den Hypothesen: H0 : p ≤ p0 versus H1 : p > p0
Entscheidungsregel: H0 ablehnen, wenn TGs > z1-α (mit Quantilen) bzw. H0
ablehnen, wenn P= P(TG > TGs) = < α. (mit P-Wert)
Test auf Unterschreitung mit den Hypothesen: H0 : p ≥ p0 versus H1 : p < p0
Entscheidungsregel: H0 ablehnen, wenn TGs < zα (mit Quantilen) bzw. H0
ablehnen, wenn P= P(TG < TGs) = < α. (mit P-Wert)
Gütefunktion (power function):
Die Fehlerrisken (α-Fehler, β-Fehler) werden in der sog. Gütefunktion (Power) G
zusammengefasst:
G(p) = P(Ablehnung von H0 | p) = Wahrscheinlichkeit, auf Grund einer Zufallsstichprobe
gegen H0 zu entscheiden
Es gilt: G(p) ≤ α, wenn H0 zutrifft; wenn H1 zutrifft ist die Güte umso besser, je näher G(p)
bei 1 liegt (d.h. je kleiner das β-Risiko β(p) = 1-G(p) ist).
1.0
Gütefunktionen des Binomialtests mit H1: p>0.5
Testniveau=5%, Stichprobenumfang n= 50, 100 bzw. 1000
n=100
n=50
0.6
0.4
0.2
G(p)=P(Ablehnung von H0|p)
0.8
n=1000
0.0
(0.5, 0.05)
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
p
•
Mindeststichprobenumfang:
Die Fehlerrisken α und β, die relevante Abweichung ∆ =|p - p0| und der
Stichprobenumfang n sind voneinander abhängig. Dies ermöglicht es, bei vorgegebenen
Werten von α, ß und ∆ den Stichprobenumfang zu bestimmen, d.h. eine Planung des
Stichprobenumfangsvorzunehmen.
Näherungsformeln für den notwendigen Stichprobenumfang n, um auf Niveau α mit der
Sicherheit 1-ß eine Entscheidung für H1 herbeizuführen, wenn p von p0 um ∆ ≠ 0 im
Sinne der Alternativhypothese abweicht:
 1 
2
n ≈  2 (z1−α / 2 + z1−β ) (für 2 - seitige Hypothesen),
 4∆ 
 1 
2
n ≈  2 (z1−α + z1−β )
 4∆ 
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(für 1 - seitige Hypothesen)
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3
•
Nicht-signifikante Testergebnisse:
Wenn eine Entscheidung für H1 auf dem vorgegebenen Signifikanzniveau a nicht
möglich ist, spricht man von einem nicht-signifikantem Ergebnis. Ein nicht-signifikantes
Ergebnis erlaubt nur dann eine Entscheidung für H0, wenn die Power ausreichend groß
ist (zumindest 80%).
R-Funktionen: binom.test(), prop.test()
4.2 Einstichproben t-Test (One-Sample t Test)
Problemstellung:
Es soll entschieden werden, ob der Mittelwert µ einer normalverteilten Zufallsvariablen
von einem vorgegebenen Sollwert µ0 abweicht (oder µ0 überschreitet bzw.
unterschreitet).
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
Beobachtungswerte x1, x2, ... , xn
Mittelwert, Varianz s2.
•
Modell:
xi ist Realisation von Xi ∝ N(µ, σ2), (i =1,2, ... ,n).
•
Hypothesen:
2-seitige Hypothesen:
1-seitige Hypothesen:
Signifikanzniveau: α
•
H0 : µ = µ0 vs. H1 : µ ≠ µ0 (Fall I)
H0 : µ ≤ µ0 vs. H1 : µ > µ0 (Fall IIa)
H0 : µ ≥ µ0 vs. H1 : µ < µ0 (Fall IIb)
Testgröße:
X − µ0
≅ tn −1 unter µ = µ0
S
/
n
• Entscheidung mit Quantilen:
TG =
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn |TGs| > tn-1,1-α/2 (Fall I),
TGs > tn-1,1-α (Fall IIa) bzw. TGs < tn-1,α (Fall IIb)
•
Entscheidung mit P-Wert:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P < α, wobei
P=P(TG ≤ -|TGs| oder TG ≥ |TGs|) (Fall I) bzw.
P=P(TG ≥ |TGs|) (Fall IIa) bzw. P=P(TG ≤ -|TGs|) (Fall IIb).
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4
•
Planung des Stichprobenumfanges:
Um auf dem Niveau α mit der Sicherheit 1-β eine Entscheidung für H1 herbeizuführen,
wenn µ von µ0 um ∆ ≠ 0 im Sinne der Alternativhypothese abweicht, ist das dafür
notwendige n näherungsweise (etwa ab n=20)
n≈
n≈
•
σ2
∆
2
σ2
∆
2
(z
1−α / 2
(z
1−α
+ z1− β )
2
+ z1− β )
2
(für 2 - seitige Hypothesen )
(für 1 - seitige Hypothesen )
Gütefunktion:
Gütefunktion des t-Tests H0 : µ = µ0 versus H1: µ ≠ µ0 für n =6 und
n = 20 (horizontal ist die Effektgröße δ =(µ - µ0)/σ aufgetragen)
1,0
n=20
0,9
0,8
n=6
Power
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
Effektgröße
R-Funktion: t.test()
4.3 χ2 – Anpassungstest und Shapiro-Wilk Test
(χ2 goodness-of-fit test, Shapiro-Wilk test)
Problemstellung 1:
Es soll entschieden werden, ob die beobachteten Häufigkeiten einer mehrstufig
skalierten Zufallsvariablen von einem vorgegebenen Verhältnis abweichen.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
Es liegen n Beobachtungen einer k-stufig skalierten Variablen vor, zur Stufe (Klasse) ai
gehören oi Beobachtungen.
•
Modell:
pi = Wahrscheinlichkeit, dass ein Beobachtungsergebnis zur Klasse ai gehört;
Ei = npi = zu erwartende Häufigkeit von Beobachtungswerten in der Klasse ai,
Oi = beobachtete Häufigkeit von Variablenwerten in der Klasse ai.
•
Hypothesen und Testgröße:
H0: pi = p0i (i=1,2, ..., k) vs. H1: pi ≠ p0i für wenigstens ein i
Testgröße (Chiquadratsumme, Goodness-of-fit-Statistik):
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5
k
TG= GF =
∑
i =1
(Oi − E i )2
Ei
≅ χ k2−1 bei Gültigkeit von H 0
Hinweis:
2
Die Testgröße ist unter H0 asymptotisch χ − verteilt mit k-1 Freiheitsgraden; die
Approximation ist ausreichend genau, wenn nicht mehr als 20% der erwarteten
Häufigkeiten kleiner als 5 sind und keine kleiner als 1 ist.
•
Entscheidung mit Quantilen:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn TGs > χ2k-1,1-α
•
Entscheidung mit P-Wert:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P < α wobei P=P(TG ≥ |TGs|).
Problemstellung 2:
Es soll entschieden werden, ob eine mehrstufig skalierte Zufallsvariable von einer
vorgegebenen Verteilung mit unbekannten Parametern abweicht.
Ablaufschema:
• Wie bei Problemstellung 1 mit der Ergänzung, dass zu Bestimmung der erwarteten
Häufigkeiten die/der Verteilungsparameter zu schätzen sind und für jeden geschätzten
2
Parameter sich die Anzahl der Freiheitsgrade der χ − Verteilung um 1 vermindert. Die
Nullhypothese lautet: Die Zufallsvariable folgt der vorgegebenen Verteilung.
Problemstellung 3:
Es soll entschieden werden, ob die Verteilung einer metrischen Zufallsvariablen von
einer Normalverteilung abweicht?
Ablaufschema:
• Chiquadrat-Anpassungstest:
Grundsätzlich kann die Prüfung, ob die Variation einer Messgröße von der
Normalverteilung abweicht, wie die Prüfung auf ein vorgegebenes Verhältnis mit der
Ergänzung durchgeführt werden, dass zuerst der Mittelwert und die Standardabweichung
der Normalverteilung – aus den Messdaten - zu schätzen sind, eine Klasseneinteilung
der Merkmalsachse vorzunehmen ist und die erwarteten Häufigkeiten als
Klassenhäufigkeiten zu bestimmen sind. Die Anzahl der Freiheitsgrade der
χ 2 − Verteilung ist k–3, wobei k wieder die Anzahl der Klassen bezeichnet. Die
Nullhypothese lautet: Die Zufallsvariable ist normalverteilt. Die Nullhypothese wird auf
dem Testniveau α abgelehnt, wenn die mit den beobachteten und erwarteten
Klassenhäufigkeiten gebildete Chiquadratsumme GF größer als das (1-α)-Quantil der
χ 2 -Verteilung mit k-3 Freiheitsgraden ist. Die Anwendung des ChiquadratAnpassungstests zur Überprüfung der Normalverteilungsannahme setzt entsprechend
große Stichproben (n≥60, k≥7) voraus.
•
Shapiro-Wilk Test:
Hat man eine entsprechende Statistik-Software zur Verfügung, wird an Stelle des
Chiquadrat-Anpassungstests ein auch bei kleinen Stichproben anwendbarer exakter Test
empfohlen, z.B. der im Basis-Package von R vorgesehene Shapiro-Wilk Test. Die
Nullhypothese (die Stichprobenwerte stammen aus einer normalverteilten
Grundgesamtheit) wird beibehalten, wenn der P-Wert gleich oder größer als das
angenommene Testniveau α bleibt.
R-Funktionen: chisq.test(), shapiro.test()
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4.4 Grundlagen der Qualitätssicherung
Statistische Prozesslenkung
Qualitätsregelkarten (control chart)
Wir betrachten den Einsatz von Qualitätsregelkarten zur Klärung der Frage, ob ein
Prozess „beherrscht“ ist. Für einen beherrschten Prozess bleibt die Verteilung des
Qualitätsmerkmals X im Laufe des Prozesses unverändert. Wenn X – wie wir annehmen
wollen - normalverteilt ist, bedeutet dies, dass die Werte von X mit einer festen
Fehlervarianz σ2 zufällig um einen festen Mittelwert (dem Fertigungsmittelwert) µ
streuen. Große oder systematische in eine Richtung gehende Abweichungen vom
Mittelwert deuten eine (unerwünschte) Änderung des Mittelwertes und/oder der
Standardabweichung an, die z.B. durch Störungen in der Fertigungsanlage bedingt sein
können.
Mittelwertkarte (control chart for the mean)
Die Eingriffsgrenzen (action limits) der Mittelwertkarte ( x -Karte) werden aus der
Forderung P( X < UEG) = P( X > OEG) = 0,5% bestimmt; daraus ergibt sich:
UEG = µˆ − z0 ,995σˆ / n , OEG = µˆ + z 0, 995σˆ / n ;
analog werden die Warngrenzen (warning limits) aus der Forderung P( X < UWG) =
P( X > OWG) = 2,5%, d.h.
UWG = µˆ − z 0,975σˆ / n , OWG = µˆ + z 0,975σˆ / n .
In diesen Formeln sind
µ̂
und
σˆ
Schätzwerte für den Fertigungsmittelwert µ und die
Fertigungsstreuung σ. Den Schätzwert µ̂ gewinnt man durch Mittelung der
Stichprobenmittelwerte über die Erhebungszeitpunkte; analog wird σ2 durch den
Mittelwert der Stichprobenvarianzen geschätzt, die Quadratwurzel dieses Mittelwerts ist
schließlich der gesuchte Schätzwert σˆ für σ. Neben den Eingriffs- und Warngrenzen ist
in der x -Karte auch der Schätzwert µ̂ für den Fertigungsmittelwert (als Mittellinie MLµ =
µ̂
parallel zur Zeitachse) eingezeichnet.
s-Karte (contrtol chart for the standard deviation)
Die Eingriffsgrenzen der s-Karte werden aus der Forderung P(S2 < UEG2) = P(S2 >
OEG2) = 0,5% bestimmt; daraus ergibt sich:
UEG = σˆ
χ n2−1, 0.005
n −1
, OEG = σˆ
χ n2−1, 0.995
n −1
.
analog werden die Warngrenzen aus der Forderung P(S2 < UWG2) = P(S2 > OWG2) =
2,5% bestimmt, d.h.
UWG = σˆ
χ n2−1, 0.025
n −1
, OWG = σˆ
χ n2−1, 0.975
n −1
.
Für die Mittellinie der s-Karte ergibt sich die Lage:
MLs = E[ S ] = k nσˆ mit k n =
n
Γ 
2
2 .
n − 1  n − 1
Γ

 2 
R-package: qcc
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7
Annahmestichprobenprüfung
Problemstellung:
Die Annahmestichprobenprüfung (acceptance sampling) wird zur Eingangsprüfung oder
Endkontrolle von Prüflosen (=Zusammenfassung von unter vergleichbaren Bedingungen
hergestellten Einheiten) verwendet. Die Überprüfung erfolgt mit einer so genannten
Stichprobenanweisung, die über den Umfang der Prüfstichprobe sowie über die
Entscheidung für die Annahme oder die Zurückweisung des Prüfloses Auskunft gibt.
Prüfung auf fehlerhafte Einheiten (Attributprüfung, acceptance sampling for attributes):
•
Verteilungsmodell:
Es sei N der Umfang des Prüfloses, a die Anzahl der schlechten Einheiten im Prüflos
(Ausschusszahl), p = a/N der Fehleranteil (bzw. Ausschussanteil) und n der Umfang der
Prüfstichprobe. Die Stichprobennahme aus dem Prüflos möge dem Modell der
„Zufallsziehung ohne Zurücklegen“ folgen; dann ist die Anzahl X der schlechten Einheiten
in der Prüfstichprobe hypergeometrisch verteilt.
•
Annahmewahrscheinlichkeit:
Es sei vereinbart, dass das Prüflos mit dem Umfang n im Falle X ≤ c angenommen und
im Falle X > c abgelehnt wird (c ist die maximal zulässige Anzahl von
Ausschusseinheiten, acceptance number). Die Wahrscheinlichkeit Pa, dass nach dieser
kurz als (n,c)-Plan bezeichneten Stichprobenanweisung (sampling plan) das Prüflos
angenommen wird, ist in Abhängigkeit vom Ausschussanteil p=a/N (a=0, 1, 2, …, N)
gegeben durch:
c
Pa ( p | n, c) =
∑H
c
N ,n , p
( x) =
x =0
∑
x =0
 a  N − a 
 

 x  n − x  mit a = Np
N
 
n
Unter der Voraussetzung n/N < 0,1 und N > 60 können die Verteilungsfunktionswerte
HN,n,p(x) mit ausreichender Genauigkeit durch die entsprechenden Werte der
Binomialverteilung Bn,p approximiert werden; die Formel für die
Annahmewahrscheinlichkeit vereinfacht sich damit auf:
c
Pa ( p | n, c) =
∑
x=0
c
 n x
  p (1 − p)n−x
 x
∑
Bn, p ( x) =
x=0
Auf der Grundlage dieser Approximation kann zu einem vorgegebenen Wert γ der
Annahmewahrscheinlichkeit Pa(p|n,c) der entsprechende Ausschussanteil pγ berechnet
werden:
pγ =
•
(c + 1) F2( c +1), 2( n −c ),1−γ
n − c + (c + 1) F2( c +1), 2 ( n −c ),1−γ
=
c +1
c + 1 + ( n − c ) F2 ( n −c ), 2( c +1),γ
OC- Kurven (operating characteristic curves):
Bezeichnet D={p|p=a/N und a=0, 1, …, N} die Menge der möglichen Ausschussanteile,
so heißt die auf D definierte Funktion f: D [0,1] mit der Gleichung f(p)=Pa(p|n, c) die
Operationscharakteristik der Stichprobenanweisung (n, c). Der Graph der Operationscharakteristik heißt Annahmekennlinie oder OC-Kurve.
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8
1
OC-Kurven zu (n,c)-Prüf plänen mit
n=20 bzw. n=30 und c=1
PRP
10,8
ti
e
k
h 0,6
icl
in
e
h
c
sr 0,4
h
a
w
e
m0,2
h
a
n
n
A
n=20, c=1
n=30, c=1
CRP
0
0,0
p1-
0,1
p
0,2
0,3
Fehleranteil p
Man erkennt:
Die OC-Kurven verlaufen monoton fallend vom Wert 1 bei p=0 auf den Wert 0 bei
p=1; mit wachsendem n wird der Kurvenverlauf steiler.
Sehr gute Lose (p ≤ p1-α) sollen mit einer (hohen) Wahrscheinlichkeit Pa(p|n,c) ≥ 1α angenommen und mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit 1- Pa(p|n,c) < α
(irrtümlich) zurückgewiesen werden; α ist z.B. 10% oder 5% und heißt das
Lieferantenrisiko; p1-α wird Annahmegrenze (kurz AQL, acceptable quality level)
genannt. Der Punkt (p1-α, 1-α) auf der OC-Kurve heißt auch Producer Risk Point
(PRP).
Sehr schlechte Lose (p ≥ pβ) sollen mit einer (kleinen) Wahrscheinlichkeit
Pa(p|n,c) ≤ β (irrtümlich) angenommen und mit einer großen Wahrscheinlichkeit 1Pa(p|n,c) > 1-β zurückgewiesen werden; β ist wie α z.B. 10% oder 5% und heißt
das Abnehmerrisiko; pβ wird Ablehngrenze (kurz LQL, limiting quality level)
genannt. Der Punkt (pβ, β) auf der OC-Kurve wird auch Consumer Risk Point
(CRP) genannt.
-
•
Auswahl einer geeigneten Stichprobenanweisung:
Zur Bestimmung der Parameter n und c werden die Gleichungen
Pa(p1-α|n,c) = 1-α und Pa(pβ|n,c) = β herangezogen, die in geometrischer Deutung
verlangen, dass die Punkte (p1-α,1-α) und (pβ,β) auf der OC liegen. Diese Vorgaben
entsprechen den Forderungen, dass das Prüflos bis zum (kleinen) Fehleranteil p1-α,
zumindest mit der (hohen) Wahrscheinlichkeit 1-α und ab dem (hohen) Fehleranteil pβ
höchstens mit der (kleinen) Wahrscheinlichkeit β angenommen wird. Eine Auflösung des
Gleichungssystems Pa(p1-α|n,c) = 1-α, Pa(pβ|n,c) = β ist nur auf numerischem Wege
möglich. Um ganzzahlige Lösungswerte für n und c zu finden, müssen die Gleichungen i.
Allg. als Ungleichungen Pa(p1-α|n,c) ≥ 1-α, Pa(pβ|n,c) ≤ β betrachtet werden.
Annahmeprüfung bei einem quantitativen Merkmal (acceptance sampling by variables):
•
Annahmewahrscheinlichkeit und OC-Kurve:
Wir setzen das Merkmal X als normalverteilt mit den Parametern µ und σ2 voraus und
nehmen an, dass der Fertigungsmittelwert µ unbekannt, die Fertigungsstreuung σ2 der
Einfachheit halber aber bekannt ist. Ferner beschränken wir uns auf den Fall, dass X
nur mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit p eine vorgegebene obere Toleranzgrenze To
überschreiten soll (einseitiges Kriterium „nach oben“).
Wegen P(X ≤ To) = 1 – P(X > To) = 1- p, ist To das (1-p)-Quantil der Verteilung von X. Es
folgt, dass die standardisierte Größe (To -µ)/σ gleich dem (1-p)-Quantil z1-p der
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Standardnormalverteilung ist, d.h. der Fertigungsmittel-wert kann in der Form µ = To -σz1p dargestellt werden. Die Wahrscheinlichkeit p ist der zu erwartende Anteil von
schlechten Einheiten (mit X> To).
Zur Schätzung des Fertigungsmittelwerts µ wird dem Prüflos (vom Umfang N) eine
Zufallsstichprobe vom Umfang n<N entnommen und daraus der Stichprobenmittelwert
X bestimmt. Damit wird nun die folgende Prüfvorschrift formuliert: Das Los wird
angenommen, wenn X ≤ To - kσ gilt. Die Konstante k ist der sogenannte Annahmefaktor
und neben der Größe n der Prüfstichprobe die zweite Kennzahl des Prüfplans für ein
metrisches Merkmal.
Für die Annahmewahrscheinlichkeit ergibt sich in Abhängigkeit vom Fertigungsmittelwert
µ die Formel
 T − µ
 X − µ To − kσ − µ 
 
 = = Φ  o
Paµ (µ | n, k ) = P (X ≤ To − kσ ) = P
≤
− k  n 
σ/ n 
 
σ / n
 σ
bzw. in Abhängigkeit vom Fehleranteil p, wenn µ = To -σz1-p substituiert wird, die
Formel:
(
Pa ( p | n, k ) = Φ [z1− p − k ] n
)
Den Graphen der Funktion Paµ: µ
Paµ (µ |n,k) bzw. Pa: p
Pa(p |n,k) bezeichnet man
wieder als Annahmekennlinie oder Operationscharakteristik (OC-Kurve) des
verwendeten Prüfplans. Aus der Monotonie von Φ folgt, dass die
Annahmewahrscheinlichkeit mit wachsendem µ bzw. p streng monoton abnimmt.
•
Bestimmung der Kennzahlen k und n:
Die Kennzahlen n und k können durch Vorgabe von 2 Punkten der
Operationscharakteristik bestimmt werden. Wir verlangen, dass
sehr gute Lose (p≤ p1−α) mindestens mit der an der Annahmegrenze AQL=p1−α
vorgegebenen hohen Wahrscheinlichkeit 1-α und
sehr schlechte Lose (p≥ pβ) höchstens mit der an der Ablehngrenze LQL=pβ
vorgegebenen kleinen Wahrscheinlichkeit β angenommen werden.
Für die Annahmewahrscheinlichkeit folgen daraus die Bedingungen
(
P ( LQL | n, k ) = Φ ([z
)
− k ] n ) = β ⇔ [z
Pa ( AQL | n, k ) = Φ [z1− AQL − k ] n = 1 − α ⇔ [z1− AQL − k ] n = z 1−α ,
a
1− LQL
1− LQL
− k ] n = z β = − z 1− β ,
aus denen die Kennzahlenwerte
2
 z + z1−β 
z z
+ z1−β z1− AQL
 , k = 1−α 1−LQL
n =  1−α

z1−α + z1−β
 z1− AQL − z1− LQL 
bestimmt werden können. Dabei ist n i. Allg. nicht ganzzahlig und durch die nächst
größere ganze Zahl zu ersetzen; wir bezeichnen diese Zahl mit nσ.
-
Annmerkungen:
In der Regel ist die Fertigungsstreuung σ nicht bekannt und ebenso wie der
Fertigungsmittelwert aus der Prüfstichprobe zu schätzen. Es sei s der Schätzwert für
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10
σ. Der Umfang ns der Prüfstichprobe ergibt sich nun näherungsweise aus ns = (1+
-
k2/2)nσ; diese Formel liefert für ns ≥ 10 brauchbare Näherungswerte.
Entsprechende Überlegungen gelten für den Fall der einseitigen Abgrenzung des
Toleranzbereichs durch einen unteren Grenzwert Tu.
1.0
OC-Kurve für Messmerkmal X mit STD=2
(obere Toleranzgrenze=100, n=73, k=1.452)
0.8
0.6
0.4
0.2
Annahmewahrscheinlichkeit Pa(p_X)
PRP
0.0
CRP
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Ausschussanteil p_X
R-Funktionen: library(AcceptanceSampling), OC2c(), find.plan(), OCvar()
4.5 Musterbeispiele
1. In einer Studie wurde ein Blutparameter am Beginn und am Ende einer Therapie
bestimmt. Es ergab sich, dass bei 35 Probanden eine Veränderung des Parameters
eintrat, und zwar lag der Wert bei 15 Probanden vorher im Normbereich und nachher
außerhalb und bei 20 Probanden vorher außerhalb und nachher im Normbereich.
a. Weicht der Anteil der Veränderungen von „vorher außerhalb“ in „nachher innerhalb“
signifikant von 0.5 ab (alpha = 5%)?
b. Welcher Anzahl von Probanden mit einer Veränderung müsste man haben, um mit
dem Test die beobachtete Abweichung des Anteils von 0.5 mit einer Sicherheit von
90% als signifikant zu erkennen?
Präzisierung der Aufgabe:
Wir bezeichnen die Zufallsvariable „Veränderung des Blutparameters auf Grund der Therapie“
mit X. X ist eine zweistufige Zufallsvariable mit den Werten „vorher außerhalb nachher
innerhalb“ bzw. „vorher innerhalb nachher außerhalb“. Die Anzahl der Veränderungen von
„vorher außerhalb nachher innerhalb“ ist binomialverteilt mit den Parametern p =
P(Veränderung von „vorher außerhalb nachher innerhalb“) und n = 35.
Teilaufgabe 1a (zweiseitiger Binomialtest):
Lösungsansatz und numerische Lösung:
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11
In der Teilaufgabe a) ist gefragt, ob p von 0,5 abweicht, d.h. es geht um einen Vergleich einer
Wahrscheinlichkeit mit einem Sollwert. Die Alternativhypothese lautet H1: p <> 0,5, die
Nullhypothese ist H0: p=0,5. Die Testentscheidung wird mit dem Binomialtest auf dem
Testniveau alpha=5% durchgeführt. Aus der Stichprobe entnimmt man den Stichprobenumfang
n=35 sowie die Anzahl m = 20 der Probanden mit einer Veränderung von „vorher außerhalb
nachher innerhalb“.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
# 1a
n <- 35
m <- 20
alpha <- 0.05
soll=0.5
# H0: p=0.5 versus H1: p<>0.5
binom.test(m, n, p=soll, alternative="two.sided", conf.level=0.95)
Exact binomial test
data: m and n
number of successes = 20, number of trials = 35, p-value = 0.4996
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.3935309 0.7367728
sample estimates:
probability of success
0.5714286
Ergebnis:
Wegen p-value = 0.4996 >= 0.05 kann H0: p=0.5 nicht abgelehnt werden!
Teilaufgabe 1b (Mindeststichprobenumfang):
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In der Teilaufgabe b) wird nach dem erforderlichen Mindeststichprobenumfang n_mindest
(Anzahl der Probanden mit einer Veränderung) gefragt, um mit dem in 1a) durchgeführten
Binomialtest die beobachtete Abweichung delta=|20/35-0,5| mit der Sicherheit 1-ß= 0,9 als
signifikant zu erkennen.
Approximative Bestimmung des Mindeststichprobenumfangs mit der Formel ((Die Formel liefert
vertretbare Näherungswerte, wenn n >20 und 10<= np0 < n-10 ist.):
nmin dest ≈
1
(z1−α / 2 + z1−β )2
2
4∆
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
# 1b (Approximation)
delta <- abs(m/n-0.5)
power <- 0.9
alpha <- 0.05
n_mindest <- 1/4/delta^2*(qnorm(1-alpha/2)+qnorm(power))^2
options(digits=4)
print(cbind(delta, alpha, power, n_mindest))
delta alpha power n_mindest
[1,] 0.07143 0.05
0.9
514.9
Ergebnis:
Es ist ein Mindeststichprobenumfang von n_mindest=515 erforderlich, um mit dem auf 5%igen
Signifikanzniveau geführten Test die Abweichung delta=0.07143 vom Sollwert 0.5 mit einer
Sicherheit von 90% als signifikant zu erkennen.
2. Im Rahmen einer Untersuchung des Ernährungsstatus von Schulkindern aus den
Regionen A und B wurde u.a. das Gesamtcholesterin (in mg/dl) stichprobenartig erfasst.
a. Man prüfe für die Region A auf 5%igem Niveau, ob der Anteil von Schulkindern in der
optimalen Kategorie signifikant über p0 = 0,5 liegt.
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
12
b. Welcher Stichprobenumfang müsste geplant werden, um mit dem Binomialtest auf
dem Niveau alpha = 5% eine Überschreitung des Referenzwertes p0 = 0.5 um 0.1 mit
90%iger Sicherheit erkennen zu können?
Gesamtcholesterin
<170 (optimal)
>=170 (Risiko)
Region A
95
60
Region B
80
50
Präzisierung der Aufgabe:
Wir bezeichnen die Zufallsvariable „Gesamtcholesterin“ mit X. X ist auf einer zweistufigen Skala
mit den Werten „<170 (optimal)“ bzw. „>=170 (Risiko)“ dargestellt. Die Anzahl der Schulkinder
mit einem optimalen X-Wert ist binomialverteilt mit den Parametern p = P(ein Schulkind in
Region A hat einen optimalen X-Wert) und n = 95+60 = 155 (Region A).
Teilaufgabe 2a (einseitiger Binomialtest):
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In der Teilaufgabe a) ist gefragt, ob p größer als 0,5 ist; die Alternativhypothese lautet also H1:
p>0,5; die Nullhypothese ist H0: p<=0,5. Die Testentscheidung wird mit dem Binomialtest auf
dem Testniveau alpha=5% durchgeführt. Aus der Stichprobe entnimmt man den
Stichprobenumfang n=155 (Region A) sowie die Anzahl m = 95 der Schulkinder mit einem
optimalen Cholesterinwert.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
# Aufgabe 2a
m <- 95
n <- 95+60
alpha <- 0.05
soll=0.5
# H0: p<=0.5 versus H1: p>0.5
binom.test(m, n, p=soll, alternative="greater", conf.level=0.95)
Exact binomial test
data: m and n
number of successes = 95, number of trials = 155, p-value = 0.003066
alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
95 percent confidence interval:
0.5440993 1.0000000
sample estimates:
probability of success
0.6129032
Ergebnis:
Wegen p-value = 0.003066 <0.05 wird H0: p<=0.5 abgelehnt, d.h. der Anteil der Schulkinder mit
einem optimalen Cholesterinwert liegt auf 5%igem Testniveau signifikant über 0,5.
Teilaufgabe 2b (Mindeststichprobenumfang):
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In der Teilaufgabe b) wird nach dem erforderlichen Mindeststichprobenumfang n_mindest
(Anzahl der Schulkinder) gefragt, um mit dem in 2a) durchgeführten Binomialtest die
Überschreitung delta=0,1 des Sollwertes p0=0,5 mit der Sicherheit 1-ß= 0.9 als signifikant zu
erkennen. Die Bestimmung des Mindeststichprobenumfangs erfolgt näherungsweise mit der
Formel (Die Formel liefert vertretbare Näherungswerte, wenn n >20 und 10<= np0 < n-10 ist.):
nmin dest ≈
1
(z1−α + z1−β )2
2
4∆
Lösung mit R:
>
>
>
>
# Aufgabe 2b (Approximation)
delta <- 0.1
power <- 0.9
alpha <- 0.05
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> n_mindest <- 1/4/delta^2*(qnorm(1-alpha)+qnorm(power))^2
> options(digits=4)
> print(cbind(delta, alpha, power, n_mindest))
delta alpha power n_mindest
[1,]
0.1 0.05
0.9
214.1
Ergebnis:
Es ist ein Mindeststichprobenumfang von n_mindest=215 erforderlich, um mit dem auf 5%igen
Signifikanzniveau geführten Binomialtest die Überschreitung delta=0.1 des Sollwertes p0=0.5
mit einer Sicherheit von 90% als signifikant zu erkennen.
3. Von einer Messstelle wurden die folgenden Werte der Variablen X (SO2-Konzentration
der Luft in mg/m3) gemeldet: 32, 41, 33, 35, 34.
a. Weicht die mittlere SO2-Konzentration signifikant vom Wert µo=30 ab? (alpha=5%)
b. Welcher Mindeststichprobenumfang müsste geplant werden, um mit dem Test eine
Abweichung vom Referenzwert µo um 5% (des Referenzwertes) mit einer Sicherheit
von 95% erkennen zu können?
Präzisierung der Aufgabe:
Wir nehmen an, dass X normalverteilt ist mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ2.
Teilaufgabe 3a (1-Stichproben t-Test):
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In der Teilaufgabe a) ist gefragt, ob µ von µ0=30 abweicht, d.h. es geht um den Vergleich eines
Mittelwerts mit einem Sollwert. Die Alternativhypothese lautet H1: µ <> 30, die Nullhypothese
ist H0: µ =30. Die Testentscheidung wird mit dem 1-Stichproben-t -Test auf dem Testniveau
alpha=5% durchgeführt. Aus der Stichprobe entnimmt man den Stichprobenumfang n sowie die
Schätzwerte für µ und σ.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
# Aufgabe 3a
so2 <- c(32, 41, 33, 35, 34)
n <- length(so2)
xquer <- mean(so2)
s <- sd(so2)
options(digits=4)
print(cbind(n, xquer, s))
n xquer
s
[1,] 5
35 3.536
> t.test(so2, alternative="two.sided", mu=30, conf.level=0.95)
One Sample t-test
data: so2
t = 3.162, df = 4, p-value = 0.03411
alternative hypothesis: true mean is not equal to 30
95 percent confidence interval:
30.61 39.39
sample estimates:
mean of x
35
Ergebnis:
Wegen p-value = 0.03411 <0.05 wird H0: µ<>30 abgelehnt, d.h. die mittlere SO2-Konzentration
weicht auf 5%igem Testniveau signifikant vom Sollwert 30 ab.
Teilaufgabe 3b (Mindeststichprobenumfang):
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In der Teilaufgabe b) wird nach dem erforderlichen Mindeststichprobenumfang n_mindest
(Anzahl der Messwiederholungen) gefragt, um mit dem in 3a) durchgeführten t-Test die
Abweichung delta=1,5 (5% von µ0) vom Sollwert µ0 mit der Sicherheit 1-ß= 0,95 als signifikant
zu erkennen. Die Bestimmung des Mindeststichprobenumfangs erfolgt (näherungsweise) mit der
Formel
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14
nmin dest ≈
σ2
∆
2
(z
1−α / 2
+ z1−β )
2
oder einfacher mit der R-Prozedur power.t.test().
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
# Aufgabe 3b
so2=c(32, 41, 33, 35, 34)
s <- sd(so2)
soll <- 30
delta <- 0.05*soll
print(cbind(soll, delta, s))
soll delta
s
[1,]
30
1.5 3.536
> power.t.test(delta=delta, sd=s, sig.level=0.05, power=0.95,
+ type ="one.sample", alternative="two.sided")
One-sample t test power calculation
n
delta
sd
sig.level
power
alternative
=
=
=
=
=
=
74.14
1.5
3.536
0.05
0.95
two.sided
Ergebnis:
Es ist ein Mindeststichprobenumfang von n_mindest=75 erforderlich, um mit dem auf 5%igen
Signifikanzniveau geführten t-Test die Abweichung delta=1,5 vom Sollwert 30 mit einer
Sicherheit von 95% als signifikant zu erkennen.
4. In einer Studie mit 5 Probanden wurde eine bestimmte Zielgröße X am Studienbeginn
(Xb) und – nach erfolgter Behandlung - am Studienende (Xe) gemessen.
a. Man erfasse die Wirkung der Behandlung durch die Differenz Y= Xe - Xb und prüfe,
ob der Mittelwert von Y signifikant von Null abweicht (alpha=5%).
b. Welcher Stichprobenumfang müsste geplant werden, um die halbe beobachte
Differenz der mittleren Wirkungen mit einer Sicherheit von 90% als signifikant zu
erkennen?
Proband
1
2
3
4
5
Xb
67
63
44
27
32
Xe
69
71
46
26
35
Präzisierung der Aufgabe:
Wir nehmen an, dass die Wirkung Y=Xe – Xb normalverteilt ist mit dem Mittelwert µ und der
Varianz σ2.
Teilaufgabe 4a (1-Stichproben t-Test):
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In der Teilaufgabe a) ist gefragt, ob µ von µ0=0 abweicht, d.h. es geht um den Vergleich eines
Mittelwerts mit einem Sollwert. Die Alternativhypothese lautet H1: µ<>0, die Nullhypothese ist
H0: µ=0. Die Testentscheidung wird mit dem 1-Stichproben-t -Test auf dem Testniveau
alpha=5% durchgeführt. Aus der Stichprobe entnimmt man den Stichprobenumfang n sowie die
Schätzwerte yquer und s für µ bzw σ.
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
15
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
# Aufgabe 4a
xb <- c(67, 63, 44, 27, 32)
xe <- c(69, 71, 46, 26, 35)
y <- xe - xb
print(cbind(xb, xe, y))
xb xe y
[1,] 67 69 2
[2,] 63 71 8
[3,] 44 46 2
[4,] 27 26 -1
[5,] 32 35 3
> n <- length(y)
> yquer <- mean(y)
> s <- sd(y)
> options(digits=4)
> print(cbind(n, yquer, s))
n yquer
s
[1,] 5
2.8 3.271
> t.test(y, alternative="two.sided", mu=0, conf.level=0.95)
One Sample t-test
data: y
t = 1.914, df = 4, p-value = 0.1281
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-1.262 6.862
sample estimates:
mean of x
2.8
Ergebnis:
Wegen p-value = 0.1281>=0.05 kann H0: µ<>0 nicht abgelehnt werden, d.h. die mittlere
Wirkung weicht auf 5%igem Testniveau nicht signifikant vom Sollwert 0 ab.
Teilaufgabe 4b (Mindeststichprobenumfang):
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In der Teilaufgabe b) wird nach dem erforderlichen Mindeststichprobenumfang n_mindest
(Anzahl der Messwiederholungen) gefragt, um mit dem in 3a) durchgeführten t-Test die halbe
beobachtete Abweichung des Stichprobenmittelwerts yqer vom Sollwert 0 mit der Sicherheit 1ß= 0,90 als signifikant zu erkennen. Die Bestimmung des Mindeststichprobenumfangs erfolgt mit
der R-Prozedur power.t.test().
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
>
# Aufgabe 4b
xb <- c(67, 63, 44, 27, 32)
xe <- c(69, 71, 46, 26, 35)
y <- xe - xb
soll <- 0
s <- sd(y)
delta <- abs(mean(y)/2- soll)
print(cbind(soll, delta))
soll delta
[1,]
0
1.4
> options(digits=4)
> power.t.test(delta=delta, sd=s, sig.level=0.05, power=0.90,
+ type ="one.sample", alternative="two.sided")
One-sample t test power calculation
n
delta
sd
sig.level
power
alternative
=
=
=
=
=
=
59.32
1.4
3.271
0.05
0.9
two.sided
Ergebnis:
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
16
Es ist ein Mindeststichprobenumfang von n_mindest=60 erforderlich, um mit dem auf 5%igen
Signifikanzniveau geführten t-Test die halbe beobachtete Abweichung delta=1,4 der mittleren
Wirkung vom Sollwert 0 mit einer Sicherheit von 90% als signifikant zu erkennen.
5. Bei einen Fertigungsprozess werden Lose vom Umfang N=10000 Stück auf fehlerhafte
Einheiten geprüft (Gut/Schlecht-Prüfung). Der Prüfplan sieht Stichproben vom Umfang
n=89 und die Annahmezahl c=2 vor. Kann damit ein Lieferantenrisiko von höchstens 5%
an der Gutgrenze AQL=1% sowie ein Konsumentenrisiko von höchstens 10% an der
Schlechtgrenze LQL=6% sicher gestellt werden?
Präzisierung der Aufgabe:
Wegen n/N<0.1 und N>60 kann die Annahmewahrscheinlichkeit in Abhängigkeit vom
Ausschussanteil p mit guter Näherung durch die Binomialverteilung dargestellt werden.
Lösungsansatz und numerische Lösung:
Zur Lösung der Aufgabe sind die Annahmewahrscheinlichkeiten Pa(AQL| 89, 2) und Pa(LQL| 89,
2) an der Gut- bzw. Schlechtgrenze zu bestimmen. Es ist:
2
Pa ( 0 .01 | 89 , 2 ) =
 89 
x
 89 
x
∑  x 0.01 (1 − 0.01)
89 − x
= 93 .97 %,
x=0
2
Pa ( 0 .06 | 89 , 2 ) =
∑  x 0.06
(1 − 0 .06 ) 89 − x = 9 .19 %.
x=0
Wegen Pa(AQL|89,2)=93,97% ≥ 90% ist die erforderliche Mindestannahmewahrscheinlichkeit im
Punkt PRP erfüllt. Auch im Punkt CRP wird wegen Pa(LQL|89,2)=9.19% ≤ 10% die
vorgegebene Maximalwahrscheinlichkeit nicht überschritten.
Lösung mit R:
> library(AcceptanceSampling)
> PPbinom <- OC2c(89, 2, type="binom")
> assess(PPbinom, PRP=c(0.01, 0.9), CRP=c(0.06, 0.1))
Acceptance Sampling Plan (binomial)
Sample size(s)
Acc. Number(s)
Rej. Number(s)
Sample 1
89
2
3
Plan CAN meet desired risk point(s):
PRP
CRP
Quality
0.01
0.06
RP P(accept) Plan P(accept)
0.9
0.93968992
0.1
0.09186935
Ergebnis:
Für den Prüfplan n=89 und c=2 sind die Forderungen an die Operationscharakteristik
(Mindestannahmewahercheinlichkeiten von 90% für p ≤ 0.01 sowie eine maximale
Annahmewahrscheinlichkeit von 10% für p ≥ 0.06) erfüllt.
6. Es gelte die Annahme, dass das in einem Produktionsprozess an Werkstücken zu
überprüfende Merkmal X angenähert normalverteilt sei. Ein Werkstück gelte als
fehlerhaft, wenn ein bestimmter Grenzwert To überschritten wird. Zur Festlegung der
Operationscharakteristik wird ein Lieferantenrisiko von 5% an der Gutgrenze AQL=1.5%
und ein Abnehmerrisiko von 5% an der Schlechtgrenze LQL = 10% vereinbart. Man
bestimme die Kennwerte n und k eines geeigneten Prüfplans. Dabei nehme man die
Varianz von X als bekannt an.
Präzisierung der Aufgabe:
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
17
Man beachte, dass ein Los angenommen wird, wenn der Mittelwert der Prüfstichprobe um die kfache Standardabweichung unter dem Grenzwert To liegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist in
Abhängigkeit vom Ausschussanteil p durch Pa ( p | n, k ) = Φ z1− p − k n gegeben. Der
([
] )
Ausschussanteil p ist gleich der Überschreitungswahrscheinlichkeit des Grenzwert To.
Lösungsansatz und numerische Lösung:
Aus den an der Gut- und Schlechtgrenze vorgegebenen Annahmewahrscheinlichkeiten sind die
Kenngrößen n (Umfang der Prüfstichprobe) und k (Annahmezahl) zu bestimmen.
An der Gutgrenze p=0.015 soll Pa (0.01 | n, k ) = 0.95, d.h., ( z 0.985 − k ) n = z 0.95 gelten, für
und für die Schlechtgrenze p=0.1 wird Pa (0.1 | n, k ) = 0.05, d.h., ( z 0.9 − k ) n = − z 0.95
verlangt. Drückt man z.B. k aus der ersten Gleichung durch n aus und setzt in die zweite
Gleichung ein, folgt schließlich n=13.7 ≈ 14. Einsetzen des gerundeten Wertes von n in die erste
Gleichung führt auf k = 1.73.
Lösung mit R:
> library(AcceptanceSampling)
> xx <- find.plan(PRP=c(0.015, 0.95), CRP=c(0.1, 0.05), type="normal",
s.type="known")
> xx
$n
[1] 14
$k
[1] 1.730485
$s.type
[1] "known"
Ergebnis:
Die vorgegebenen Forderungen werden mit Prüfplankenngrößen n=14 und k=1.73 erfüllt. Nach
diesem Prüfplan wird das Los angenommen, wenn der Mittelwert der Prüfstichprobe vom
Umfang n=14 den vorgegebenen Grenzwert um mindestens k=1,73 Standardabweichungen
unterschreitet.
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
18
5 EINFÜHRUNG IN DAS TESTEN VON UNTERSCHIEDSHYPOTHESEN II:
2-STICHPROBENVERGLEICHE UND 1-FAKTORIELLE VARIANZANALYSE
5.1. Zwei grundlegende Versuchsanlagen
•
Parallelversuch (parallel groups, unabhängige Stichproben):
Der Parallelversuch ist eine einfache Versuchsanlage, um unter kontrollierten
Bedingungen zwei Gruppen hinsichtlich eines interessierenden Untersuchungsmerkmals
X (z.B. Präparatwirkung) zu vergleichen. Bei einem metrischen Untersuchungsmerkmal
geht es dabei meist um einen Vergleich der Mittelwerte von X unter zwei
Versuchsbedingungen, bei einem alternativ skalierten Untersuchungsmerkmal erfolgt der
Vergleich der Gruppen in der Regel an Hand der relativen Häufigkeiten einer
Merkmalsausprägung. Aus einer "Zielpopulation" wird eine bestimmte Anzahl von
Untersuchungseinheiten (z.B. Probanden) ausgewählt und in zwei (möglichst gleich
große) sogenannte "Parallelgruppen" geteilt. Die eine Gruppe ist die Testgruppe (z.B. zur
Erprobung eines neuen Präparates), die andere Gruppe in der Regel eine Kontrollgruppe
(z.B. eine Placebogruppe oder eine mit einem herkömmlichen Präparat behandelte
Gruppe). Von jeder Untersuchungseinheit wird ein Wert des Untersuchungsmerkmals X
(auch abhängige Variable genannt) gewonnen. Die Werte von X können in zwei
Stichproben angeordnet werden:
Testgruppe T (Gruppe 1)
Untersuchungseinheiten
T1
T2
...
Tn1
Untersuchungsmerkmal X
Wert von T1
Wert von T2
...
Wert von Tn1
Kontrollgruppe K (Gruppe 2)
Untersuchungseinheiten
K1
K2
...
Kn2
Untersuchungsmerkmal X
Wert von K1
Wert von K2
...
Wert von Kn2
Man beachte, dass zwischen den Untersuchungseinheiten der Parallelgruppen keinerlei
Beziehung besteht, die eine Anordnung in Paaren rechtfertigen würde. Vielmehr können
die Untersuchungseinheiten (und entsprechend die Stichprobenwerte) der Testgruppe
unabhängig von jenen der Kontrollgruppe angeordnet werden. Es ist daher üblich, den
Parallelversuch auch als einen Versuch mit unabhängigen Stichproben zu bezeichnen.
Die Unabhängigkeit der Stichproben kommt auch darin zum Ausdruck, dass die
Stichprobenumfänge n1 und n2 der Parallelgruppen grundsätzlich verschieden sein
können (wenngleich der symmetrische Fall n1 = n2 aus verschiedenen Gründen
angestrebt werden sollte).
•
Paarvergleich (matched-pair design, abhängige Stichproben):
Man spricht von einem 2-Stichprobenproblem mit abhängigen (oder verbundenen)
Stichproben, wenn es einen sachlogischen Zusammenhang gibt, nach dem jeder Wert
der einen Stichprobe mit einem Wert der anderen Stichprobe zu einem Wertepaar
zusammengefasst werden kann. Ein solcher Zusammenhang ist z.B. gegeben, wenn die
Stichprobenwerte durch zweimaliges Beobachten an ein und derselben
Untersuchungseinheit gewonnen wurden; in dieser Weise geplante Versuche werden
auch Paarvergleiche genannt. Ein häufiger Anwendungsfall sind die sogenannten
selbstkontrollierten Versuche zur Prüfung eines allfälligen Behandlungseffektes: Um die
Auswirkung einer Behandlung auf eine Zielvariable zu prüfen, werden aus einer
Zielpopulation n Probanden ausgewählt und an jedem Probanden die Zielvariable vor der
Behandlung (Variable X1) sowie nach erfolgter Behandlung (Variable X2) beobachtet. Von
jedem Probanden liegt also ein Paar von Beobachtungswerten vor. Die aus einem
Paarvergleich resultierenden Stichproben sind daher als Spalten einer Datenmatrix zu
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
19
sehen, in der jede Zeile einem „Block“ (z.B. einem Probanden) entspricht, über den die
Stichprobenwerte zu Wertepaaren verbunden werden:
Untersuchungseinheiten
U1
U2
...
Un
X1
Stichprobe 1
1. Wert von U1
1. Wert von U2
...
1. Wert von Un
X2
Stichprobe 2
2. Wert von U1
2. Wert von U2
...
2. Wert von Un
5.2 Zweistichprobenvergleiche bei metrischen Variablen im Rahmen von Parallelversuchen
2-Stichproben t-Test (two-sample t-test):
Problemstellung:
Es soll im Rahmen eines Parallelversuchs festgestellt werden, ob sich die Mittelwerte µ1
und µ2 einer Variablen X unter zwei Versuchsbedingungen unterscheiden. Dabei wird X
unter jeder Versuchsbedingung als normalverteilt und mit gleichen Varianzen
vorausgesetzt.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
zwei (voneinander unabhängige) Stichproben x11, x21, ..., xn1,1 bzw.
x12, x22, ..., xn2,2
Mittelwerte x1 und x 2 , Varianzen s21 und s22
•
Modell:
xi1 ist eine Realisation von Xi1 ~ N(µ1, σ21) (i=1,2,...,n1)
Stichprobenfunktionen X 1 , S21
xi2 ist eine Realisation von Xi2 ~ N(µ2, σ22) (i=1,2,...,n1)
Stichprobenfunktionen X 2 , S22
Es gelte: σ21 = σ22 (Varianzhomogenität)
•
Hypothesen:
2-seitige Hypothesen:
1-seitige Hypothesen:
Signifikanzniveau: α
•
H0: µ1 = µ2 vs. H1: µ1 ≠ µ2 (Fall I)
H0: µ1 ≤ µ2 vs. H1: µ1 > µ2 (Fall IIa)
H0: µ1 ≥ µ2 vs. H1: µ1 < µ2 (Fall IIb)
Testgröße:
TG =
X1 − X 2
Sp
1 1
+
n1 n 2
≅ t n1 + n2 − 2
(n1 − 1) S12 + (n 2 − 1) S 22
(für µ 1 = µ 2 ) mit S p =
n1 + n 2 − 2
•
Entscheidung mit Quantilen:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn |TGs| > tn1+ n2 - 2,1-α/2 (Fall I) bzw. TGs > tn1 + n2 2,1- α (Fall IIa) bzw. TGs < tn1 + n2 - 2, α (Fall IIb)
•
Entscheidung mit P-Wert:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P < α wobei
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
20
P=P(TG ≤ -|TGs| oder TG ≥ |TGs|) (Fall I) bzw. P=P(TG ≥ |TGs|) (Fall IIa) bzw. P=P(TG
≤ -|TGs|) (Fall IIb).
•
Planung des Stichprobenumfanges:
Um auf Niveau α mit Sicherheit 1-β eine Entscheidung für H1 herbeizuführen, wenn µ1
von µ2 um ∆ ≠ 0 im Sinne der Alternativhypothese abweicht, ist der dafür notwendige
Stichprobenumfang (Voraussetzung für Abschätzung: symmetrische Versuchsanlage mit
n=n1=n2 und n ≥ 20):
2σ 2
(z1−α / 2 + z1− β )2 (2 - seitige Hypothesen) bzw.
2
∆
2σ 2
2
n ≈ 2 (z1−α + z1− β ) (1 - seitige Hypothesen)
∆
n≈
F-Test:
Problemstellung:
Es soll im Rahmen eines Parallelversuchs festgestellt werden, ob sich die Varianzen σ12
und σ22 einer Variablen X unter zwei Versuchsbedingungen unterscheiden. X wird unter
jeder Versuchsbedingung als normalverteilt vorausgesetzt.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
zwei (voneinander unabhängige) Stichproben
x11, x21, ..., xn1,1 und x12, x22, ..., xn2,2
Varianzen s21 bzw. s22
•
Modell:
xi1 ist eine Realisation von Xi1 ~ N(µ1, σ21) (i=1,2,...,n1)
xi2 ist eine Realisation von Xi2 ~ N(µ2, σ22) (i=1,2,...,n1)
Stichprobenvarianzen S21,S22
•
Hypothesen:
2-seitige Hypothesen:
1-seitige Hypothesen:
Signifikanzniveau: α
•
H0: σ12 = σ22 vs. H1: σ12 ≠ σ22 (Fall I)
H0: σ12 ≤ σ22 vs. H1: σ12 > σ22 (Fall IIa)
H0: σ12 ≥ σ22 vs. H1: σ12 < σ22 (Fall IIb)
Testgröße:
TG =
S12
≅ Fn1 −1, n2 −1 für σ 12 = σ 22
S22
•
Entscheidung mit Quantilen:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn TGs < Fn1-1, n2-1, α/2 oder
TGs >Fn1-1, n2-1,1-α/2 (Fall I) bzw. TGs > Fn1-1, n2-1,1-α (Fall IIa) bzw.
TGs < Fn1-1, n2-1, α (Fall IIb).
Hinweis:
Bildet man die Testgröße so, dass die größere Varianz im Zähler steht, reduziert sich im
Fall I die Bedingung auf TGs > Fn1-1, n2-1,1-α/2.
•
Entscheidung mit P-Wert:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P < α, wobei P=P(1/TG≤1/TGs oder
TG≥TGs) (Fall I) bzw. P=P(TG≥TGs) (Fall IIa) bzw. P=P(1/TG≤ 1/TGs) (Fall IIb).
Hinweis:
TGs so ansetzen, dass die größere Varianz im Zähler steht; die Variablen TG und 1/TG
haben unterschiedliche Zähler- bzw. Nennerfreiheitsgrade!
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
21
Anmerkung:
Wird der F-Test in Verbindung mit dem 2-Stichproben t-Test als „Vortest“ zum Nachweis der
Varianzhomogenität eingesetzt, kann das Gesamtirrtumsrisiko αg für beide
Testentscheidungen bis knapp 2α ansteigen. Diesen nicht erwünschten Nebeneffekt
vermeidet man, wenn als Alternative zum Mittelwertvergleich mit dem 2-Stichproben t-Test
und dem F-Test als Vortest der nicht ganz so „scharfe“ Welch-Test eingesetzt wird (siehe
weiter unten).
U – Test (Wilcoxon-Rangsummentest, Mann-Whitney rank-sum test):
Problemstellung:
Es soll im Rahmen eines Parallelversuchs festgestellt werden, ob sich die Mittelwerte µ1
und µ2 einer Variablen X unter zwei Versuchsbedingungen unterscheiden, wobei von X
unter jeder Versuchsbedingung die gleiche Verteilung (nicht notwendigerweise eine
Normalverteilung) vorausgesetzt wird.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
Stichproben x11, x21, ..., xn1,1 und x12, x22, ..., xn2,2
rangskalierte Stichroben:
beide Stichproben kombinieren und nach aufsteigender Größe anordnen;
Stichprobenwerte von 1 bis n1+n2 durchnummerieren und Ordnungsnummern den
Stichprobenwerten xi1 und xi2 als Rangzahlen ri1 bzw. ri2 zuordnen; bei gleichen
Stichprobenwerten erfolgt Bindungskorrektur. Aufsummieren der Rangzahlen ergibt die
Rangsummen r1 und r2.
•
Modell:
Jedes xi1 (xi2) ist Realisation einer Zufallsvariablen Xi1 (Xi2) mit Verteilungsfunktion F1 (F2).
F1 und F2 unterscheiden sich nur in der Lage, d.h., Graph von F2 geht durch
Verschiebung um ein bestimmtes θ in Richtung der positiven horizontalen Achse in
Graphen von F1 über. Die Rangsummenwerte r1 und r2 sind Realisationen der
Zufallsvariablen R1 bzw. R2.
•
Hypothesen:
2-seitige Hypothesen:
1-seitige Hypothesen:
Signifikanzniveau: α
•
H0: θ = 0 vs. H1: θ ≠ 0 (Fall I)
H0: θ ≤ 0 vs. H1: θ > 0 (Fall IIa)
H0: θ ≥ 0 vs. H1: θ < 0 (Fall IIb)
Testgröße:
TG = U = n1n2 + n1(n1+1)/2 - R1;
für θ = 0 gilt: E[U]=n1n2/2, Var[U]= n1n2(n1+n2+1)/12;
Approximation bei großen Stichproben (n1>20 oder n2>20):
TG ' =
U − E[U ]
≅ N (0,1)
Var[U ]
•
Entscheidung mit Quantilen (große Stichproben):
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn |TGs| > z1-α/2 (Fall I) bzw. TGs > z1-α (Fall IIa) bzw.
TGs < zα (Fall IIb).
•
Entscheidung mit P-Wert (große Stichproben):
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P < α wobei
P=P(TG ≤ -|TGs| oder TG ≥ |TGs|) (Fall I) bzw. P=P(TG ≥ |TGs|) (Fall IIa) bzw. P=P(TG
≤ -|TGs|) (Fall IIb).
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21.05.12
22
Welch – Test (two sample t-test with unequal variances):
Problemstellung:
Es soll im Rahmen eines Parallelversuchs festgestellt werden, ob sich die Mittelwerte µ1
und µ2 einer Variablen X unter zwei Versuchsbedingungen unterscheiden, wobei X unter
jeder Versuchsbedingung als normalverteilt vorausgesetzt wird.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten, Modell, Hypothesen:
wie beim 2-Stichproben t-Test bis auf die Voraussetzung der Varianzhomogenität.
•
Testgröße:
TG =
•
X1 − X 2
S12
/ n1 + S 22 / n2
Entscheidung:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn |TGs| > tf,1-α/2 (Fall I),
TGs > tf,1-α (Fall IIa), TGs > tf, α (Fall IIb) mit:
(s
/ n1 + s22 / n2 )
f ≈ 2
(gerundet auf ganze Zahl)
(s1 / n1 )2 /( n1 − 1) + (s22 / n2 )2 /(n2 − 1)
2
1
2
5.3 Unterschiedshypothesen bei metrischen Variablen im Rahmen von Paarvergleichen
Differenzen- t-Test (paired t-test, t-Test für abhängige Stichproben):
Problemstellung:
Es soll im Rahmen eines Paarvergleichs (mit abhängigen Stichproben) festgestellt
werden, ob sich die Mittelwerte µ1 und µ2 der Variablen X1 bzw. X2 (zB zu zwei
aufeinanderfolgenden Zeitpunkten beobachtete Merkmale) unterscheiden. Dabei werden
X1 und X2 als normalverteilt vorausgesetzt.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
n Wertepaare (x11, x12), (x21, x22), ..., (xn,1, xn,2) durch Messung der Variablen X1
(Mittelwert µ1) und X2 (Mittelwert µ2) an n Untersuchungseinheiten
Differenzenstichprobe d1=x12 - x11, d2=x22 - x21, ..., dn=xn2 - xn1
mit Mittelwert md und die Varianz sd2
•
Modell:
Jedes di ist Realisation von Di ∝ N(µd, σd2) mit µd=µ2-µ1
Stichprobenmittel MD ∝ N(µd, σd2/n), Stichprobenvarianz SD2
•
Hypothesen:
2-seitige Hypothesen:
1-seitige Hypothesen:
Signifikanzniveau: α
•
H0: µd = 0 vs. H1: µd ≠ 0 (Fall I)
H0: µd ≤ 0 vs. H1: µd > 0 (Fall IIa)
H0: µd ≥ 0 vs. H1: µd < 0 (Fall IIb)
Testgröße:
TG =
MD
≅ tn−1 für µd = 0
SD / n
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21.05.12
23
•
Entscheidung mit Quantilen:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn |TGs| > tn-1,1-α/2 (Fall I) bzw. TGs > tn-1,1-α (Fall IIa)
bzw. TGs < tn-1,α (Fall IIb).
•
Entscheidung mit P-Wert:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P < α wobei
P=P(TG ≤ -|TGs| oder TG ≥ |TGs|) (Fall I) bzw. P=P(TG ≥ |TGs|) (Fall IIa) bzw. P=P(TG
≤ -|TGs|) (Fall IIb).
•
Planung des Stichprobenumfangs:
Um auf Niveau α mit der Sicherheit 1-β eine Entscheidung für H1 herbeizuführen,
wenn µd von 0 um ∆ ≠ 0 im Sinne der Alternativhypothese abweicht, ist das dafür
notwendige n näherungsweise (etwa ab n = 20)
im Fall I:
2
n≈
σd
∆
2
(z1−α / 2 + z1−β )2
in den Fällen IIa und IIb ist z1-α/2 durch z1-α zu ersetzen.
Wilcoxon-Test (Wilcoxon signed-rank test):
Problemstellung:
Es soll im Rahmen eines Paarvergleichs (mit abhängigen Stichproben) festgestellt
werden, ob sich die Mittelwerte µ1 und µ2 der Variablen X1 bzw. X2 (zB zu zwei
aufeinanderfolgenden Zeitpunkten beobachtete Merkmale) unterscheiden. Dabei wird
D= X2 - X1 als nicht normalverteilt vorausgesetzt.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
Differenzenstichprobe d1=x12 - x11,
n Wertepaare (x11, x12), (x21, x22), ..., (xn,1, xn,2)
d2=x22 - x21, ..., dn=xn2 - xn1 (Paare mit übereinstimmenden Werten bleiben
unberücksichtigt); Paardifferenzen hinsichtlich Absolutbeträgen nach aufsteigender
Größe anordnen und durchnummerieren, Ordnungsnummern den Paardifferenzen als
Rangzahlen zuordnen (Bindungskorrektur bei gleichen Absolutbeträgen). t+ = Summe der
zu den positiven Paardifferenzen gehörenden Rangzahlen.
•
Modell:
Jedes di ist die Realisation einer Zufallsvariablen Di mit einer stetigen und symmetrisch
um den Median ζ liegenden Verteilungsfunktion;
t+ =Realisation von T+.
•
Hypothesen und Testgröße:
2-seitige Hypothesen:
1-seitige Hypothesen:
H0: ζ = 0 vs. H1: ζ ≠ 0 (Fall I)
H0: ζ ≤ 0 vs. H1: ζ > 0 (Fall IIa)
H0: ζ ≥ 0 vs. H1: ζ < 0 (Fall IIb)
Signifikanzniveau: α
Testgröße: TG = T+
Für ζ = 0 (H0) gilt: E[T+]=n(n+1)/4, Var[T+]= n(n+1)(2n+1)/24)
Approximation bei großen Stichproben (n >20):
TG' =
•
T + − E[T + ]
Var[T + ]
≅ N (0,1)
Entscheidung mit Quantilen (große Stichproben):
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn |TGs| > z1-α/2 (Fall I) bzw. TGs > z1-α (Fall IIa) bzw.
TGs < zα (Fall IIb).
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•
Entscheidung mit P-Wert (große Stichproben):
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P < α wobei
P=P(TG ≤ -|TGs| oder TG ≥ |TGs|) (Fall I) bzw. P=P(TG ≥ |TGs|) (Fall IIa) bzw. P=P(TG
≤ -|TGs|) (Fall IIb).
5.4 Zweistichprobenvergleiche bei dichotomen Variablen
Häufigkeitsvergleich (comparison of two observed frequencies):
Problemstellung:
Es soll im Rahmen eines Parallelversuchs festgestellt werden, ob sich die
Wahrscheinlichkeiten eines unter zwei Versuchsbedingungen betrachteten Ereignisses
unterscheiden. Dabei wird ein Parallelversuch mit großen Stichproben vorausgesetzt.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
X = zweistufiges Merkmal mit den Werten a1, a2; Beobachtung von X unter zwei
Bedingungen
2 unabhängige Stichproben (Gruppen)
Zusammenfassung in
Vierfeldertafel:
Untersuchungsmerkmal X
Wert a1
Wert a2
(Spalten-)
Summen
Gruppe 1
Gruppe 2
n11
n21
n.1=n1
vorgegeben
n12
n22
n.2=n2
vorgegeben
(Zeilen-)
Summen
n1.
n2.
n.. =n1+n2
• Modell:
X ist in jeder Gruppe zweipunktverteilt mit den Parametern p1=P(X=a1|Gruppe 1) bzw.
p2=P(X=a1|Gruppe 2)
•
Hypothesen:
2-seitige Hypothesen:
1-seitige Hypothesen:
Signifikanzniveau: α
•
H0: p1 = p2 vs. H1: p1 ≠ p2 (Fall I)
H0: p1 ≤ p2 vs. H1: p1 > p2 (Fall IIa)
H0: p1 ≥ p2 vs. H1: p1 < p2 (Fall IIb)
Testgröße:
TG =
n.. (n11n22 − n12n21 )
n.1n.2 n1.n2.
≅ N (0,1) für p1 = p2 (approx.)
Faustformel: n..>60, n1.n.1/n..>5, n1.n.2/n..>5, n2.n.1/n..>5, n2.n.2/n..>5
• Entscheidung mit Quantilen:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn |TGs| > z1-α/2 (Fall I) bzw.
TGs > z1-α (Fall IIa) bzw. TGs < zα (Fall IIb).
• Entscheidung mit P-Wert:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P<α, wobei
P=P(TG ≤ -|TGs| oder TG ≥ |TGs|) (Fall I) bzw. P=P(TG ≥ |TGs|) (Fall IIa) bzw. P=P(TG ≤
-|TGs|) (Fall IIb).
•
Planung des Stichprobenumfanges:
Notwendiger Mindeststichprobenumfang n (=n1=n2), um auf dem Niveau α mit der
Sicherheit 1-β eine Entscheidung für H1 herbeizuführen, wenn p1 von p2 um ∆ ≠ 0 im
Sinne der Alternativhypothese abweicht:
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25
n≈
n≈
2∆
1
2
(z1−α / 2 + z1− β )2
2∆
2
(z1−α + z1− β )2
1
(Fall I) bzw.
(Fall IIa, IIb)
McNemar – Test (McNemar test):
Problemstellung:
Es soll für ein zweistufiges Merkmal (Werte + bzw. - ) im Rahmen eines Paarvergleichs
festgestellt werden, ob sich von einer Versuchsbedingung zu einer anderen (zB
zwischen zwei Zeitpunkten) die Wahrscheinlichkeiten für Änderungen von + nach – bzw.
umgekehrt unterscheiden.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
X = zweistufiges Merkmal mit Werten + und − , Beobachtung von X zu zwei Zeitpunkten
2 abhängige Stichproben
Zusammenfassung in Vierfeldertafel (die absoluten
Häufigkeitswerte b und c drücken die Veränderungen von der ersten zur zweiten
Beobachtung aus):
Zeitpunkt 1
+
−
Zeitpunkt 2
+
−
a
c
b
d
•
Modell:
Die Veränderungen von + nach − oder umgekehrt werden durch ein Bernoulli-Experiment
mit n = b + c Wiederholungen simuliert. Jede Wiederholung führt mit der
Wahrscheinlichkeit p+− zu einer Veränderung von + nach −.
•
Hypothesen und Testgröße:
H0: p+− =1/2 vs. H1: p+− ≠ 1/2
Signifikanzniveau: α
2
(
| b − c | −1)
TG =
≅ χ12
b+c
unter H0 (approx. für b + c ≥ 20)
Anmerkung: Mit dem Binomialtest ist eine exakte Entscheidung zwischen den
Alternativen möglich
•
Entscheidung mit Quantilen:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn TGs > χ21,1-α.
•
Entscheidung mit P-Wert:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P<α, wobei P=P(TG≥|TGs|).
•
Planung des Stichprobenumfangs:
Notwendiger Mindeststichprobenumfang n =b+c, um auf dem Niveau α mit der Sicherheit
1-β eine Entscheidung für H1 herbeizuführen, wenn p+− von 1/2 um ∆ ≠ 0 abweicht:
n≈
1
4∆
2
(z1−α / 2 + z1− β )2
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26
5.5 Zweistichprobenvergleiche bei mehrstufig skalierten Variablen
Homogenitätsprüfung mit dem Chiquadrat-Tes t
(comparison of two frequency distributions):
Problemstellung:
Es soll für ein mehrstufiges Merkmal mit m>2 Werten im Rahmen eines Parallelversuchs
festgestellt werden, ob sich die unter zwei Bedingungen beobachteten
Häufigkeitsverteilungen unterscheiden. Vorausgesetzt werden „große“ Stichproben“.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
X = m -stufiges Merkmal mit Werten a1, a2, ..., am , Beobachtung von X unter zwei
Bedingungen
2 unabhängige Stichproben (Gruppen)
Zusammenfassung in m×2Tafel:
Untersuchungs-merkmal Gruppe 1
X
Gruppe 2
(Zeilen-)
Summen
Wert a1
Wert a2
...
Wert am
n12
n22
...
nm2
n.2=n2
n1.
n2.
...
nm.
n =n1+n2
n11
n21
...
nm1
(Spalten-) n.1=n1
•
Modell:
X ist in jeder Gruppe m-punktverteilt mit den Parametern pi1=P(X=ai|Gruppe 1) bzw.
pi2=P(X=a1|Gruppe 2) (i=1,2,...,m)
•
Hypothesen:
H0: pi1 = pi2 vs. H1: nicht alle pi1 = pi2 (i=1,2,...,m)
Signifikanzniveau: α
•
Testgröße (Faustformel: alle eij ≥ 1 und max. 20% der eij < 5):
m
2
TG = GF = ∑ ∑
i =1 j =1
mit eij =
(n
ij
− eij )
2
eij
≅ χ m2 −1 unter H 0 (approx.)
ni.n. j
n
•
Entscheidung mit Quantilen:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn TGs > χ2m-1,1-α.
•
Entscheidung mit P-Wert:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P= P(TG ≥ |TGs|)<α.
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27
5.6 Einfaktorielle Varianzanalyse
Problemstellung - Globaltest:
Die 1-faktorielle Varianzanalyse ermöglicht es unter gewissen Voraussetzungen, die
Mittelwerte aus k >2 unabhängigen Stichproben im Rahmen der Globalhypothesen
H0: „Alle k Mittelwerte sind gleich“ vs. H1: „Wenigstens 2 Mittelwerte sind verschieden“
vergleichen zu können.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
Variable Y unter k Versuchsbedingungen (= Faktorstufen) wiederholt (an nj
Untersuchungseinheiten auf der Faktorstufe j) gemessen
k unabhängige Stichproben
Anordnung in Datentabelle (yij = Messwert von der i-ten Untersuchungseinheit unter
der j -Versuchsbedingung):
Versuchsbedingung (Faktorstufe)
j
k
1
2
...
...
y12 ... y1j ... y1k
Wiederholungen y11
y21
y22 ... y2j ... y2k
...
...
... ... ...
...
yi1
yi2
... yij ...
yik
...
...
... ... ...
...
yn1,1 yn2,2 ... ynj,j ... ynk,k
n1
n2
... nj ...
nk
Anzahl
m1
m2 ... mj ... mk
Mittelwert
2
2
2
2
s1
s2
... sj
... sk
Varianz
•
Modell:
Jedes yij ist eine Realisation einer N(µj,σ2)-verteilten Zufallsvariablen Yij mit der
Darstellung:
Yij = µ j + E ij = µ + τ j + E ij
Es bedeuten:
− µj das Mittelwert auf der j-ten Faktorstufe
(geschätzt durch mj);
− µ eine Konstante (geschätzt durch das aus allen Stichprobenwerten berechnete
Gesamtmittel m);
− τj eine den Behandlungseffekt auf der j-ten Stufe zum Ausdruck bringende Konstante
(geschätzt durch mj -m und mit der Normierung τ1+ τ2+ ... + τk=0);
− Eij den Versuchsfehler (für alle Wiederholungen und Faktorstufen unabhängig N(0,
σ2)-verteilt); Schätzung der Fehlervarianz σ2 durch:
MQE =
SQE
mit
N −k
k
k
j =1
j =1
N = ∑ n j und SQE = ∑ (n j − 1) s 2j
•
Hypothesen und Testgröße:
Globaltest:
H0: µ1 = µ2 = ... = µk vs.
H1: wenigstens zwei der µj unterscheiden sich
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28
TG =
MQF
≅ Fk −1, N − k mit
MQE
SQF
MQF =
, SQF =
k −1
k
∑ n (m − m)
2
j
j
j =1
Zusammenfassung der relevanten Rechengrößen in der ANOVA-Tafel:
Variationsursache
Quadrat- Freiheits- Mittlere
summe grad
Quadratsumme
Faktor F
SQF
k -1
MQF=
(Bedingung)
SQF/(k-1)
VersuchsSQE
N-k
MQE=
fehler
SQE/(N-k)
Summe
SQT
n-1
Testgröße
TG=
MQF/MQE
SQT = (n1-1)s12+(n2-1)s22+...+(n2-1)s22
•
Entscheidung:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn TGs > Fk-1,N-k,1-α.
Überprüfung der Varianzhomogenität (Levene-Test):
Ablaufschema:
• Daten:
Variable Y unter k Versuchsbedingungen (= Faktorstufen) wiederholt (an nj
Untersuchungseinheiten auf der Faktorstufe j) gemessen
k unabhängige Stichproben
Anordnung in Datentabelle (yij = Messwert von der i-ten Untersuchungseinheit unter
der j -Versuchsbedingung:
Versuchsbedingung (Faktorstufe)
j
k
1
2
...
...
y12 ... y1j ... y1k
Wiederholungen y11
y21
y22 ... y2j ... y2k
...
...
... ... ...
...
yn1,1 yn2,2 ... ynj,j ... ynk,k
n1
n2
... nj ...
nk
Anzahl
m1
m2 ... mj ... mk
Mittelwert
N = n1 + n2 +... + nk
•
Modell:
Jedes yij ist eine Realisation Zufallsvariablen Yij, die auf der
j-ten Faktorstufe N(µj,σj2)-verteilt ist.
•
Hypothesen:
H0: σ12 = σ22 = ... = σk2 vs.
H1: wenigstens zwei der σj2 unterscheiden sich
•
Testgröße:
Beobachtungen Yij auf der j-ten Faktorstufe werden durch Abstände Zij=|Yij - mj| vom
jeweiligen Stichprobenmittel mj ersetzt
modifizierte Datentabelle
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
29
Versuchsbedingung (Faktorstufe)
1
2
...
j
...
k
Wiederholungen z11
z12 ... z1j ... z1k
z21
z22 ... z2j ... z2k
...
... ... ... ... ...
zn1,1 zn2,2 ... znj,j ... znk,k
Anzahl
n1
n2 ... nj ... nk
z-Mittelwerte
m1(z) m2(z) ... mj(z) ... mk(z)
z-Varianzen
s12(z) s22(z) ... sj2(z) ... sk2(z)
Idee:
Wenn Varianzhomogenität vorliegt, stimmen die Mittelwerte mj(z) bis auf zufallsbedingte
Abweichungen überein.
Prüfung der Abweichungen im Rahmen einer einfaktoriellen ANOVA mit der Testgröße:
MQF ( z )
mit
MQE ( z )
1 k
(n j − 1)s 2j ( z) und
MQE ( z ) =
∑
N − k j =1
1 k
2
MQF =
n j [m j ( z ) − m( z )]
∑
k − 1 j =1
TG ( z ) =
(m(z) ist das aus allen z-Werten berechnete Gesamtmittel).
•
Entscheidung:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn TG(z)s > Fk-1,N-k,1-α.
5.7 Musterbeispiele
1. Die Wirkungen eines Testpräparates A und eines Kontrollpräparate B seien durch die
prozentuelle Abnahme Y des systolischen Blutdrucks vom Beginn bis zum Ende der
Therapie ausgedrückt. Im Rahmen eines Parallelversuchs wurden die Präparatwirkungen
jeweils an 5 Testpersonen gemessen, wobei die Personen der „Testgruppe A“ von den
Personen der „Kontrollgruppe B“ verschieden sind. Als Messwerte ergaben sich: 23, 18,
13, 19, 27 (Gruppe A) bzw. 20, 15, 10, 25, 21 (Gruppe B).
a. Man untersuche an Hand der folgenden Daten, ob sich die mittleren
Präparatwirkungen signifikant (α = 5%) unterscheiden.
b. Beurteilen Sie die Versuchsplanung (Stichprobenumfang)!
Präzisierung der Aufgabe:
Wir bezeichnen mit YA die Wirkung des Testpräparates A und mit YB die Wirkung des
Kontrollpräparates B. Beide Variablen werden als normalverteilt vorausgesetzt mit den
Mittelwerten µA bzw. µB.
Teilaufgabe 1a (t-Test)
Lösungsansatz und rechnerische Lösung:
In der Teilaufgabe a) ist gefragt, ob der Mittelwert µA von µB verschieden ist. Es geht also um
einen Vergleich zweier Mittelwerte von als normalverteilt angenommenen Merkmalen. Die
Alternativhypothese lautet H1: µA ≠ µB, die Nullhypothese ist H0: µA = µB. Die Testentscheidung
wird mit dem t-Test für unabhängige Stichproben (Parallelversuch) auf dem Testniveau
alpha=5% durchgeführt. Wir wenden die Variante des Welch-Tests an, der keine
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
30
Varianzhomogenität voraussetzt. Dem Test geht eine kurze Datenbeschreibung voran, die die
Stichprobenumfänge nA und nB, die Mittelwerte mA und mB sowie die Standardabweichungen sA
und sB der beiden Stichproben enthält.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
ya <- c(23, 18, 13, 19, 27)
yb <- c(20, 15, 10, 25, 21)
# Deskriptive Statistiken
n_A <- length(ya)
n_B <- length(yb)
m_A <- mean(ya)
m_B <- mean(yb)
s_A <- sd(ya)
s_B <- sd(yb)
options(digits=4)
print(cbind(n_A, m_A, s_A))
n_A m_A
s_A
[1,]
5 20 5.292
> print(cbind(n_B, m_B, s_B))
n_B m_B s_B
[1,] 5 18.2 5.805
> # Parallelversuch: t-Test für unabhängige Stichproben (Variante WELCH-Test)
> # H0: kein Unterschied, H1: Unterschied in der mittleren Wirkung
> t.test(ya, yb, alternative="two.sided", paired=FALSE, mu=0)
Welch Two Sample t-test
data: ya and yb
t = 0.5124, df = 7.932, p-value = 0.6223
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-6.313 9.913
sample estimates:
mean of x mean of y
20.0
18.2
Ergebnis:
Wegen p-value = 0.623 >= 0.05 kann H0: µA = µB nicht abgelehnt werden (nichtsignifikantes
Ergebnis)!
Teilaufgabe 1b (Mindeststichprobenumfang)
Lösungsansatz und rechnerische Lösung:
In der Teilaufgabe b) ist die Versuchsplanung zu beurteilen. Der Versuch ist ausreichend gut
geplant, wenn der erforderliche Mindeststichprobenumfang n_mindest (d.h. jener
Stichprobenumfang, der geplant werden muss, um mit einer hohen Sicherheit (Power) – wir
wählen diese 90% - einen signifikanten Testausgang zu erhalten) kleiner oder gleich den
(übereinstimmenden) Stichprobenumfängen in 1a) ist. Die Formel
σ 2 
2
n ≈ 2 2 (z1−α / 2 + z1− β )
∆ 
liefert einen brauchbaren Näherungswert für n_mindest, soferne dieser größer oder gleich 20 ist.
In der Formel bedeutet s die „gepoolte“ Standardabweichung sp der beiden Stichproben, d.h.
sp =
( n A − 1) s A2 + (n B − 1) s B2
n A + nB − 2
Ferner ist ∆ der Betrag |mA – mB| der Differenz der Stichprobenmittelwerte sowie z1-α/2 und z1-ß die
Quantile der Standardnormalverteilung zu den Unterschreitungswahrscheinlichkeiten 1-α/2 bzw.
1-ß (hier ist α=5% das Testniveau und 1-ß=0.9 die Power).
Lösung mit R:
> ya <- c(23, 18, 13, 19, 27)
> yb <- c(20, 15, 10, 25, 21)
> # Deskriptive Statistiken
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
31
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
n_A <- length(ya)
n_B <- length(yb)
m_A <- mean(ya)
m_B <- mean(yb)
s_A <- sd(ya)
s_B <- sd(yb)
options(digits=4)
s_p <- sqrt(((n_A-1)*s_A^2+(n_B-1)*s_B^2)/(n_A+n_B-2))
delta <- abs(m_A - m_B)
print(cbind(delta, s_p))
delta
s_p
[1,]
1.8 5.554
> # Bestimmung des erforderlichen Mindeststichprobenumfangs, um mit dem WelchTest
> # den beobachteten Mittelwertunterschied mit einer Sicherheit von 90% als
> # signifikant ungleich null zu erkennen.
> power.t.test(delta=abs(m_A-m_B), sd=s_p, sig.level=0.05, power=0.9,
+
alternative="two.sided", type="two.sample")
Two-sample t test power calculation
n
delta
sd
sig.level
power
alternative
=
=
=
=
=
=
201.1
1.8
5.554
0.05
0.9
two.sided
NOTE: n is number in *each* group
Ergebnis:
Es ist ein Mindeststichprobenumfang von n_mindest=202 erforderlich, um im Rahmen eines
Parallelversuchsmit dem auf 5%igen Signifikanzniveau geführten Test die Differenz delta = 1.8
der Stichprobenmittelwerte mit einer Sicherheit von 90% als signifikant zu erkennen.
2. Man nehme nun an, dass die Studie von Aufgabe 1 als Paarvergleich geplant wurde. Das
heißt, der jeweils erste Wert der A- und B-Stichprobe stammen von derselben
Versuchsperson, ebenfalls die zweiten Werte usw.
a. Ist ein signifikanter Unterschied in den mittleren Wirkungen feststellbar? Als
Testniveau nehme man wieder 5%.
b. Wie ist die Versuchsplanung zu beurteilen (Stichprobenumfang)?
Präzisierung der Aufgabe:
Wie in Aufgabe 1 bezeichnen wir mit YA die Präparatwirkung in der Diagnosegruppe A und mit
YB die entsprechende Wirkung in der Gruppe B. Beide Variablen werden als normalverteilt
vorausgesetzt mit den Mittelwerten µA bzw. µB. Im Gegensatz zu Aufgabe 1 werden nun die
Merkmalswerte an ein und denselben Personen gemessen, d.h. jede Person bekommt zuerst das
Präparat A und dann – nachdem die Wirkung abgeklungen ist – das Präparat B.
Teilaufgabe 2a (Differenzen t-Test )
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In der Teilaufgabe a) ist gefragt, ob die mittlere Wirkungen µA und µB voneinander verschieden
sind. Bildet man die Differenz µ= µA - µB kann man die Frage auch so formulieren, ob die
Mittelwertdifferenz µ von Null verschieden ist. Es geht also um einen Vergleich des Mittelwerts
von YA-YB mit dem Sollwert 0. Die Alternativhypothese lautet H1:µ≠0, die Nullhypothese ist
H0:µ=0. Die Testentscheidung wird mit dem t-Test für abhängige Stichproben (Paarvergleich)
auf dem Testniveau alpha=5% durchgeführt.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
ya <- c(23, 18, 13, 19, 27)
yb <- c(20, 15, 10, 25, 21)
# Paarvergleich: t-Test für abhängige Stichproben
# H0: Mittelwertdifferenz=0, H1: Mittelwertdifferenz <> 0
yab <- ya-yb # Differenzstichprobe
print(yab)
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21.05.12
32
[1] 3 3 3 -6 6
> # Deskriptive Statistiken (Differenzstichprobe)
> n_AB <- length(yab)
> m_AB <- mean(yab)
> s_AB <- sd(yab)
> options(digits=4)
> print(cbind(n_AB, m_AB, s_AB))
n_AB m_AB s_AB
[1,]
5 1.8 4.55
> t.test(ya, yb, alternative="two.sided", paired=T, mu=0)
Paired t-test
data: ya and yb
t = 0.8847, df = 4, p-value = 0.4263
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-3.849 7.449
sample estimates:
mean of the differences
1.8
Ergebnis:
Wegen p-value = 0.4263 >= 0.05 kann H0: µ = µA - µB=0 nicht abgelehnt werden
(nichtsignifikantes Ergebnis)!
Teilaufgabe 2b (Mindeststichprobenumfang)
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In der Teilaufgabe b) ist die Versuchsplanung zu beurteilen. Der Versuch ist ausreichend gut
geplant, wenn der erforderliche Mindeststichprobenumfang n_mindest (d.h. jener
Stichprobenumfang, der geplant werden muss, um mit einer hohen Sicherheit (Power) – wir
wählen diese 90% - einen signifikanten Testausgang zu erhalten) kleiner oder gleich dem
Stichprobenumfang in 1a) ist. Die Formel
nmin dest
σ 2 
2
≈  2 (z1−α / 2 + z1− β )
∆ 
liefert einen brauchbaren Näherungswert für n_mindest, soferne diese größer oder gleich 20 sind.
In der Formel bedeutet s die Standardabweichung der Stichprobenwerte von YA-YB
(Differenzstichprobe), D ist der Stichprobenmittelwert der Differenzstichprobe, z1-α/2 und z1-ß sind
die Quantile der Standardnormalverteilung zu den Unterschreitungswahrscheinlichkeiten 1-α/2
bzw. 1-ß (hier ist α=5% das Testniveau und 1-ß=0.9 die Power).
Lösung mit R:
> ya <- c(23, 18, 13, 19, 27)
> yb <- c(20, 15, 10, 25, 21)
> options(digits=4)
> m_AB <- mean(ya-yb)
> s_AB <- sd(ya-yb)
> delta <- abs(m_AB)
> print(cbind(delta, s_AB))
delta s_AB
[1,] 1.8 4.55
> # Bestimmung des erforderlichen Mindeststichprobenumfangs, um mit t-Test für abhängige Stichproben
> # den beobachteten Mittelwertunterschied mit einer Sicherheit von 90% als
signifikant ungleich null zu
> # erkennen.
> power.t.test(delta=abs(m_AB), sd=s_AB, sig.level=0.05, power=0.9,
+
alternative="two.sided", type="paired")
Paired t test power calculation
n = 69.08
delta = 1.8
sd = 4.55
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33
sig.level = 0.05
power = 0.9
alternative = two.sided
NOTE: n is number of *pairs*, sd is std.dev. of *differences* within pairs
Ergebnis:
Es ist ein Mindeststichprobenumfang von n_mindest=70 erforderlich, um im Rahmen eines
Paarvergleichs mit dem auf 5%igen Signifikanzniveau geführten Test die Differenz delta = 1,8 der
Stichprobenmittelwerte mit einer Sicherheit von 90% als signifikant zu erkennen.
3. Das Wachstum X einer Kultur (Gewicht in mg) wird in Abhängigkeit von 2 Nährlösungen
A und B gemessen. Es ergaben sich die folgenden Messwerte:
A
B
7,4
9,0
8,1
9,6
7,8
9,2
7,2
9,5
7,9
8,5
a. Man überprüfe, ob die Nährlösung einen signifikanten Einfluss auf das mittlere
Wachstum hat? (α = 5%)
b. Ist die Annahme gleicher Varianzen gerechtfertigt?
Präzisierung der Aufgabe:
Von einer Kultur liegen unter 2 Bedingungen (Nährlösung A, B) beobachtete Stichproben einer
Wachstumsgröße X (Gewicht) vor. Wir bezeichnen die Wachstumsgröße unter der Bedingung A
als XA und jene unter der Bedingung B als XB. Beide Variablen werden als normalverteilt
vorausgesetzt mit den Mittelwerten µA bzw. µB.
Teilaufgabe 3a (Welch-Test )
Lösungsansatz und numerische Lösung:
Die in der Teilaufgabe a) gestellte Frage nach dem Einfluss der Nährlösungen auf das Wachstum,
kann sich in einer Verschiedenartigkeit der Mittelwerte oder der Standardabweichungen der
Variablen XA bzw. XB manifestieren. Bevor die Aufgabe gelöst werden kann, ist eine
Präzisierung vorzunehmen. In der Mehrzahl der Anwendungsfälle geht es um eine allfällige,
durch die Nährlösungen bedingte Ungleichheit der Mittelwerte. Die Alternativhypothese lautet in
diesem Fall H1: µA ≠ µB, die Nullhypothese ist H0: µA = µB. Die Testentscheidung wird mit dem
t-Test für unabhängige Stichproben (Parallelversuch) auf dem Testniveau α=5% durchgeführt.
Wir wenden die Variante des Welch-Tests an, der keine Varianzhomogenität voraussetzt. Dem
Test geht wieder eine kurze Datenbeschreibung voran, die die Stichprobenumfänge nA und nB, die
Stichprobenmittelwerte mA und mB sowie die Standardabweichungen sA und sB der beiden
Stichproben enthält.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
xa <- c(7.4, 8.1, 7.8, 7.2, 7.9)
xb <- c(9, 9.6, 9.2, 9.5, 8.5)
# Deskriptive Statistiken
n_A <- length(xa)
n_B <- length(xb)
m_A <- mean(xa)
m_B <- mean(xb)
s_A <- sd(xa)
s_B <- sd(xb)
print(cbind(n_A, m_A, s_A))
n_A m_A
s_A
[1,]
5 7.68 0.3701
> print(cbind(n_B, m_B, s_B))
n_B m_B
s_B
[1,]
5 9.16 0.4393
> # Parallelversuch: t-Test für unabhängige Stichproben (Variante WELCH-Test)
> # H0: Mittelwert von XA = Mittelwert von XB
> # H1: ... <> ...
> t.test(xa, xb, alternative="two.sided", paired=FALSE, mu=0)
Welch Two Sample t-test
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21.05.12
34
data: xa and xb
t = -5.761, df = 7.776, p-value = 0.0004706
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-2.0754 -0.8846
sample estimates:
mean of x mean of y
7.68
9.16
Ergebnis:
Wegen p-value = 0.0004706 < 0.05 ist H0: µA = µB abzulehnen, die Nährlösungen A und B haben
einen verschiedenartigen Einfluss auf den Mittelwert der Wachstumsgröße (signifikantes
Ergebnis)!
Teilaufgabe 3b (F-Test)
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In der Teilaufgabe b) wird gefragt, ob die Annahme gleicher Varianzen der Variablen XA und
XB gerechtfertigt ist. Zur Entscheidung über diese Frage wird mit einem F-Test ein Vergleich der
Varianzen durchgeführt. Die Alternativhypothese lautet H1:σ2A≠σ2B, die Nullhypothese ist
H0:σ2A=σ2B. Die Testentscheidung wird mit dem F-Test auf dem Testniveau α=5% durchgeführt.
Lösung mit R:
> xa <- c(7.4, 8.1, 7.8, 7.2, 7.9)
> xb <- c(9, 9.6, 9.2, 9.5, 8.5)
> options(digits=4)
> # Überprüfung der Varianzhomogenität mit dem F-Test
> # H0: Varianz von XA = Varianz von XB versus H1: Varianz von XA<>Varianz von
XB
> var.test(xa, xb, alternative="two.sided")
F test to compare two variances
data: xa and xb
F = 0.7098, num df = 4, denom df = 4, p-value = 0.7479
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.0739 6.8177
sample estimates:
ratio of variances
0.7098
Ergebnis:
Wegen p-value = 0.4779 >= 0.05 kann H0: σ2A = σ2B nicht abgelehnt werden. Bei der
Überprüfung der Varianzhomogenität wird der Test als „Falsifizierungsversuch“ der Gleichheit
der Varianzen angesehen; geht der Versuch – wie in diesem Beispiel nichtsignifikant aus, bleibt
am bei der Nullhypothese (ohne diese allerdings statistisch „bewiesen“ zu haben)
4. In einer Studie wurde untersucht, ob zwischen der Mortalität X in der Perinatalperiode
und der Rauchergewohnheit (Raucher/Nichtraucher) Y während der Schwangerschaft ein
Zusammenhang besteht. Folgende Daten stehen zur Verfügung: In der Kategorie
"Raucher" gab es 50 Todesfälle (von insgesamt 1000), in der Kategorie "Nichtraucher"
50 von insgesamt 1600. Man zeige auf dem 5%-Niveau, dass sich die Mortalität in der
Raucher- und Nichtrauchergruppe signifikant unterscheidet.
Präzisierung der Aufgabe:
In dieser Aufgabe geht es um das Untersuchungsmerkmal X (Mortalität), das an Säuglingen
beobachtet wird und auf einer 2-stufigen Skala mit den Skalenwerten „Säugling überlebt“ bzw.
„Säugling stirbt“ dargestellt ist. X wird in Abhängigkeit vom Raucherverhalten Y während der
Schwangerschaft betrachtet; auch Y ist 2-stufig mit den Werten „Raucherin“ und
„Nichtraucherin“. Für jede Untersuchungseinheit (Säugling) besitzt X eine Zweipunktverteilung;
es sei pR = P(Säugling stirbt| Raucherin) die Wahrscheinlichkeit, dass der Säugling einer
rauchenden Mutter stirbt und pN = P(Säugling stirbt| Nichtraucherin) die Wahrscheinlichkeit, dass
der Säugling einer nichtrauchenden Mutter stirbt. Das Raucherverhalten hat einen Einfluss auf die
Mortalität, wenn pR ≠ pN .
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
35
Lösungsansatz und numerische Lösung:
Die Alternativhypothese lautet H1: pR <> pN, die Nullhypothese H0: pR = pN ; in der Gruppe der
Säuglinge von Raucherinnen sind 50 von 1000 gestorben, in der Gruppe der Säuglinge von
Nichtraucherinnen insgesamt 50 von 1600; die Sterbewahrscheinlichkeiten pR und pN werden
durch die Anteile 50/1000=0,05 bzw. 50/1600= 0,03145 geschätzt. Mit dem Chiquadrat-Test zum
Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten ist zu prüfen, ob sich die beiden Anteile auf dem
Testniveau 5%signifikant unterscheiden.
Lösung mit R:
> dead <- c(50, 50)
> total <- c(1000, 1600)
> # Test: Vergleich von 2 Wahrscheinlichkeiten mit unabhängigen Strichproben
> # H0: Sterbewahrscheinlichkeit/Raucherin =
Sterbewahrscheinlichkeit/Nichtraucherin
> # H1: ... <> ...
> prop.test(dead, total, alternative="two.sided")
2-sample test for equality of proportions with continuity correction
data: dead out of total
X-squared = 5.354, df = 1, p-value = 0.02067
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
0.001964 0.035536
sample estimates:
prop 1 prop 2
0.05000 0.03125
Ergebnis:
Wegen p-value = 0.02067 < 0.05 ist H0: pA = pB abzulehnen, das Raucherverhalten hat einen
verschiedenartigen Einfluss auf die Mortalität (signifikantes Ergebnis)!
5. In einer Studie wurde ein Blutparameter am Beginn und am Ende einer Therapie
bestimmt. Es ergab sich, dass bei 50 Probanden der Parameter vor und nach Ende der
Studie im Normbereich lag, bei 15 Probanden lag der Wert vorher im Normbereich und
nachher außerhalb, bei 20 Probanden vorher außerhalb und nachher im Normbereich
und bei 10 vorher und nachher außerhalb des Normbereichs. Hat sich während der
Studie eine signifikante Änderung hinsichtlich des Normbereichs ergeben (α = 5%)?
Präzisierung der Aufgabe:
Das Untersuchungsmerkmal ist in dieser Aufgabe ein Blutparameter, der an 95 Probanden vor
einer Behandlung (Variable Xvor) und nach der Behandlung (Variable Xnach) beobachtet wird.
Dabei wird der Blutparameter auf einer 2-stufigen Skala dargestellt mit den Werten „liegt im
Normbereich“ und „liegt außerhalb des Normbereichs“. Ein Einfluss der Behandlung auf den
Blutparameter ist gegeben, wenn die Wahrscheinlichkeit p_ einer Veränderung vom Zustand
„Xvor=im Normbereich“ in den Zustand „Xnach=außerhalb des Normbereichs“ ungleich der
Wahrscheinlichkeit p+ einer Veränderung vom Zustand „Xvor=außerhalb des Normbereichs“ in
den Zustand „Xnach=im Normbereich“ ist. Beschränkt man sich nur auf Probanden, die eine
Veränderung in die eine oder andere Richtung aufweisen, ist wegen p_ + p+ =1 gleichwertig mit
p_ ≠ p+ die Aussage p_ ≠ ½.
Lösungsansatz und numerische Lösung:
Die Alternativhypothese lautet H1: p_ <> ½, die Nullhypothese H0: p_ =1/2. Für die
Testentscheidung relevant sind die absoluten Häufigkeiten b=15 und c=20, mit denen
Veränderungen vom Zustand „Xvor=im Normbereich“ in den Zustand „Xnach=außerhalb des
Normbereichs“ bzw. in umgekehrter Richtung stattgefunden haben. Die Testentscheidung wird
mit dem McNemar-Test herbeigeführt, der ein besonderer Fall des Binomialtests (Vergleich einer
Wahrscheinlichkeit mit 1/2) ist. Als Testniveau ist 5% vorgegeben.
Lösung mit R:
> freq <- c(50, 15, 20, 10)
> daten <- matrix(freq, ncol=2, byrow=TRUE,
+
dimnames=list("Beginn"=c("im", "außerhalb"),
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
36
+
> daten
"Ende"=c("im", "außerhalb")))
Ende
Beginn
im außerhalb
im
50
15
außerhalb
20
10
> # McNemar-Test für die Messung einer Veränderung mit 2 abhängigen Stichproben
> # H0: Wahrscheinlichkeit für Änderung von „im“ nach „außerhalb“ = 0,5
> # H1: ... <> ...
> mcnemar.test(daten)
McNemar's Chi-squared test with continuity correction
data: daten
McNemar's chi-squared = 0.4571, df = 1, p-value = 0.499
Ergebnis:
Wegen p-value = 0.499 ≥ 0.05 kann H0: p_ = 1/2 nicht abgelehnt werden (nichtsignifikantes
Ergebnis)!
6. An vier verschiedenen Stellen eines Gewässers wurden die in der folgenden Tabelle
angeschriebenen Werte der Phosphatkonzentration Y (in mg/l) gemessen. Man prüfe auf
5%igem Testniveau, ob die mittlere Phosphatkonzentration von der Messstelle abhängt.
Messstelle (Faktorstufe)
1
2
3
4
Wiederholungen
1.20
1.00
1.45
1.30
0.75
0.85
1.60
1.20
1.15
1.45
1.35
1.35
0.80
1.25
1.50
1.50
0.90
1.10
1.70
1.00
Anzahl
5
5
5
5
Mittelwert
0.96
1.13
1.52
1.27
Varianz
0.04175 0.05325 0.01825 0.03450
Präzisierung der Aufgabe:
Die Zielvariable Y hängt von einer Faktorvariablen (Messstelle) mit 4 Stufen ab. Es ist zu
untersuchen, ob der Faktor sich auf die Stufenmittelwerte auswirkt. Dabei wird angenommen, dass
die Zielvariable auf jeder Faktorstufe normalverteilt ist mit einem (möglicherweise) vom Faktor
abhängigem Mittelwert. Die Varianzen von Y müssen auf den Faktorstufen übereinstimmen (die
Varianzhomogenität ist separat zu prüfen). Als Testniveau wird 5% angenommen.
Lösungsansatz und numerische Lösung:
Die Alternativhypothese lautet H1: wenigstens 2 Faktorstufenmittelwerte sind verschieden, die
Nullhypothese H0: alle Faktorstufenmittelwerte stimmen überein. Die Entscheidung erfolgt mit
dem Globaltest der Varianzanalyse. Im Anschluss daran wird die Voraussetzung (Homogenität
der Stufenvarianzen) geprüft: H1: wenigstens 2 Stufenvarianzen sind verschieden, die
Nullhypothese H0: alle Stufenvarianzen stimmen überein.
Lösung mit R:
>
>
>
+
+
+
>
>
1
2
3
4
5
6
7
# 1-faktorielle ANOVA
options(digits=6)
y <- c(1.20, 0.75, 1.15, 0.80, 0.90,
1.00, 0.85, 1.45, 1.25, 1.10,
1.45, 1.60, 1.35, 1.50, 1.70,
1.30, 1.20, 1.35, 1.50, 1.00) # Messmerkmal
stelle <- factor(rep(1:4, each=5)) # stelle=Messstelle
daten <- data.frame(y, stelle); daten
y stelle
1.20
1
0.75
1
1.15
1
0.80
1
0.90
1
1.00
2
0.85
2
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
37
8 1.45
2
9 1.25
2
10 1.10
2
11 1.45
3
12 1.60
3
13 1.35
3
14 1.50
3
15 1.70
3
16 1.30
4
17 1.20
4
18 1.35
4
19 1.50
4
20 1.00
4
> # Globaltest H0: "alle Mittelwerte gleich" vs. H1: "... ungleich"
> model1 <- aov(formula=y~stelle, data=daten)
> summary(model1) # erzeugt ANOVA-Tafel
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
stelle
3 0.841 0.28033
7.589 0.00223 **
Residuals
16 0.591 0.03694
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
> # Darstellung der Stufenmittelwerte durch Boxplot
> boxplot(y ~ stelle, data=daten)
1
2
3
4
>
>
>
>
>
# Prüfung der Varianzhomogenität
z <- abs(model1$residuals)
daten2 <- data.frame(z, stelle)
model2 <- aov(formula=z~stelle, data=daten2)
summary(model2)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
stelle
3 0.01718 0.005727
0.647 0.596
Residuals
16 0.14164 0.008852
Ergebnis:
a) Globaltest: Wegen p-value = 0.00223 < 0.05 ist H0: (Übereinstimmung der Stufenmittelwerte)
abzulehnen, d.h., wenigstens zwei Stufenmittelwerte sind verschieden.
b) Homogenitätsprüfung: Wegen p-value = 0.596 >= 0.05 kann H0: (Übereinstimmung der
Stufenvarianzen) nicht abgelehnt werden, d.h. die Daten sprechen nicht gegen die Annahme der
Varianzhomogenität.
W. Timischl: Angewandte_Statistik_II_Repetitorium
21.05.12
38
6 KORRELATION UND REGRESSION: ERFASSUNG DER GEMEINSAMEN
VARIATION VON ZUFALLSVARIABLEN
6.1 Produktmomentkorrelation
2-dimensionalen Normalverteilung (bivariate normal distribution):
Definition:
X und Y heißen 2-dimensional normalverteilt mit den Mittelwerten µX, µY, den
Standardabweichungen σX >0, σY >0 und dem Korrelationskoeffizienten ρXY (|ρXY| < 1),
wenn sie mit Hilfe von 2 unabhängigen, N(0,1)-verteilten Zufallsvariablen Z1, Z2 wie folgt
erzeugt werden können:
X = σ X Z1 + µ X
2
Y = σ Y ρ XY Z1 + σ Y 1 − ρ XY
Z 2 + µY
Veranschaulichung des Korrelationskoeffizenten (correlation coefficient):
Generierung einer Zufallsstichprobe vom Umfang n =100 (µ1=µY=0,σX=σY=1)
Darstellung im Streudiagramm (scatter plot):
a) ρXY = 0.0
b) ρXY = + 0.8
c) ρXY = - 0.8
Produktmomentkorrelation (Pearson product-moment correlation coefficient):
Definition:
Es sei (Xi,Yi) (i=1,2,...,n) eine bivariate Zufallsstichprobe der Zufallsvariablen X und Y mit
zweidimensionaler Normalverteilung. Die Stichprobenfunktion
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39
1 n
SXY =
∑(Xi − X )(Yi −Y )
n −1 i=1
ist ein Maß für die gemeinsame Variation der Stichproben und heißt Kovarianz. Dividiert
man durch die Standardabweichungen Sx und Sy, erhält man die
Produktmomentkorrelation (Pearson-Korrelation):
rXY =
SXY
(−1 ≤ rXY ≤ +1)
SX SY
Man beachte:
• rXY = -1 bzw. rXY =+1: Datenpunkte liegen im Streudiagramm auf einer Geraden.
• rXY nahe bei 0: deutet an, dass zwischen X und Y keine lineare Abhängigkeit besteht.
• rXY = r = klassische Schätzfunktion für ρXY = ρ
• Verteilung von r kompliziert
• Anwendung der Fisher'schen Z-Transformation auf r
näherungsweise (ab etwa n =
15) normalverteilte Zufallsvariable Z:
Z : r → Z (r ) =
1
2
µ Z ≈ ln
⇒
Z − µZ
σZ
1+ ρ
1− ρ
1 1+ r
ln
2 1− r
+
ρ
2(n − 1)
mit
, σ Z2 ≈
1
n−3
≈ N (0,1)
• (1-α)-Konfidenzintervall [zu, zo] für Z(ρ)=µZ-ρ /[2(n-1)] mit
zu = Z (r ) −
zo = Z (r ) −
r
2(n − 1)
r
2(n − 1)
− z1−α / 2σ Z ,
+ z1−α / 2σ Z
• Rücktransformation von der Z- auf die r-Skala
(1-α)-Konfidenzintervall für ρ
 exp(2zu ) − 1 exp(2zo ) − 1
,


exp(
2
z
)
+
1
exp(2zo ) + 1

u
Abhängigkeitsprüfung (test of independence):
Problemstellung:
Es soll festgestellt werden, ob die Variablen X und Y abhängig sind, d.h. der
Korrelationskoeffizient ρXY von Null abweicht. Dabei werden X und Y als
zweidimensional normalverteilt vorausgesetzt.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten und Modell:
X und Y sind zweidimensional normalverteilt mit dem Korrelationsparameter ρXY
zweidimensionale Zufallsstichprobe (Xi, Yi) (i=1,2, ..., n)
Produktmomentkorrelation rXY
•
Hypothesen und Testgröße:
1-seitige Hypothesen:
H0: ρXY = 0 vs. H1: ρXY ≠ 0 (Fall I)
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40
H0: ρXY ≤ 0 vs. H1: ρXY > 0 (Fall IIa)
H0: ρXY ≥ 0 vs. H1: ρXY < 0 (Fall IIb)
2-seitige Hypothesen:
rXY n − 2
TG =
2
1 − rXY
≅ t n − 2 für ρ XY = 0
•
Entscheidung mit Quantilen:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn |TGs| > tn-2,1-α/2 (Fall I), TGs > tn-2,1-α (Fall IIa) bzw.
TGs < tn-2, α (Fall IIb).
•
Entscheidung mit P-Wert:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P < α wobei P=P(TG ≤ -|TGs| oder TG ≥
|TGs|) (Fall I) bzw. P=P(TG ≥ |TGs|) (Fall IIa) bzw. P=P(TG ≤ -|TGs|) (Fall IIb).
6.2 Rangkorrelationskoeffizient von Spearman
(Spearman rank correlation coefficient)
Zweck:
Beschreibung des Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y durch eine
Maßzahl, wenn X und Y nichtlinear-monoton variieren.
Berechnung:
X- und Y-Reihe rangskalieren (di = Differenz einander entsprechender Rangwerte)
Rangkorrelationskoeffizient (Spearman):
rS = 1 −
n
6
∑di2
n(n −1)(n + 1) i=1
Prüfung auf monotone Abhängigkeit :
rS ist auf dem Niveau α signifikant von null verschieden, wenn (gilt näherungsweise ab
n=15):
| rS | n − 2 > tn−2,1−α / 2 1 − rS2
6.3 Korrelation bei zwei- und mehrstufigen Merkmalen
Abhängigkeitsprüfung ( χ 2 test of independence):
Problemstellung:
Es soll festgestellt werden, ob die k≥2 stufige Variable X und die m≥2 stufige Variable Y
voneinander abhängig variieren.
Ablaufschema:
• Beobachtungsdaten:
X, Y diskrete Merkmale mit den Ausprägungen a1, a2, ..., ak bzw. b1, b2, ..., bm.
Darstellung der an n Untersuchungseinheiten beobachteten Häufigkeiten nij der
Merkmalskombinationen X=ai und Y=bj in einer Kontingenztafel mit k Zeilen und m
Spalten:
X
a1
...
ai
...
ak
Σ
b1
n11
...
ni1
...
nk1
n.1
...
...
...
...
...
...
...
Y
bj
n1j
...
nij
...
nkj
n.j
...
...
...
...
...
...
...
bm
n1m
...
nim
...
nkm
n.m
Σ
n1.
...
ni.
...
nk.
n
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41
•
Modell:
Es seien pi. und p.j die Wahrscheinlicheiten, dass X den Wert ai bzw. Y den Wert bj
annimmt. Bei Unabhängigkeit von X und Y ist die Wahrscheinlichkeit der
Wertekombination (ai,bj) durch pij=pi.p.j und die erwartete Häufigkeit von
Untersuchungseinheiten mit dieser Wertekombination durch npi.p.j gegeben. Die
erwartete Häufigkeit wird durch eij = ni.n.j/n geschätzt.
•
Hypothesen und Testgröße:
H0: X und Y sind unabhängig vs. H1 : X und Y sind abhängig
k
T =GF=
m
(n −e )
∑∑
i=1 j=1
2
ij
ij
eij
≅ λ2(k−1)(m−1) mit eij =
ni.n. j
n
Hinweis:
Approximation durch die Chiquadratverteilung umso besser, je größer n ist; jedenfalls
sollten alle eij ≥1 sein und höchstens 20% der eij kleiner als 5 sein.
•
Entscheidung mit Quantilen:
H0 auf Testniveau α ablehnen, wenn TGs > χ2(k-1)(m-1),1-α.
•
Entscheidung mit P-Wert:
H0 auf Signifikanzniveau α ablehnen, wenn P= P(TG ≥ |TGs|) < α.
Korrelationsmaße (=Kontingenzmaße) für mehrstufige Merkmale:
•
k × m –Tafel - Kontingenzindex von Cramer (Cramer’s V):
V=
•
GF
, 0 ≤ V ≤1
n[min(k , m) − 1)]
Sonderfall k=m=2 (Vierfeldertafel):
a1
a2
o
Φ-Koeffizient (phi coefficient):
o
Odds Ratio:
ω=
Φ=
b1
n11
n21
Σ n.1
b2
n12
n22
n.2
Σ
n1.
n2.
n
GF
, 0 ≤ Φ ≤1
n
n11 / n12
n21 / n22
6.4 Einfache lineare Regression
(Simple linear regression)
Regression von Y auf X bei 2-dimensional normalverteilten Variablen:
Das Modell (Modell A):
Für jeden festen Wert x der Einflussgröße X ist die ZielvariableY normalverteilt mit
dem von der Stelle x abhängigen Mittelwert µY(x) = E[Y(x)|X=x] = β0+β1x und der von der
Stelle x unabhängigen Varianz σ2E.
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N(β0+β1x, σ2F)
Y
µY(x) = β0 + β1x
(x2,y2)
(x3,y3)
(0,β0)
(x1,y1)
X
x1
x3
x2
Modellgleichungen:
Y = β 0 + β1 X + E
β1 = ρ XY
σY
, β 0 = µY − β1 µ X , E ≅ N (0, σ E2 )
σX
Parameterschätzung:
• Schätzwerte für die Modellparameter β 1 und β 1 , das (von X abhängige) Zielgrößenmittel
yˆ ( x ) und die Varianz σ E2 :
b1 = βˆ1 = rXY
sY
, b0 = βˆ0 = y − b1 x,
sX
yˆ ( x) = b0 + b1 x = y + b1 ( x − x),
1
MQE = σˆ =
n−2
2
E
•
n
∑
i =1
1
e =
n−2
2
i
n
∑( y − yˆ(x ))
2
i
i
i =1
(1-α)-Konfidenzintervall für den Geradenanstieg (gradient, slope) β1:
b1 ± tn−2,1−α / 2 SE(b1 ) = b1 ± tn−2,1−α / 2
MQE
(n −1)sX2
Offensichtlich hängt die Zielgröße Y im Rahmen des einfach linearen
Regressionsmodells von der Einflussgröße X ab, wenn der Geradenanstieg β1 ≠ 0 ist.
Bei einem vorgegebenen Irrtumsrisiko α lautet die Entscheidung auf β1 ≠ 0, wenn das (1α)-Konfidenzintervall für β1 die null nicht enthält. Gleichwertig mit der Prüfung H0: β1 = 0
vs. H1: β1 ≠ 0 ist die Prüfung auf Abhängigkeit mit dem Korrelationskoeffizienten, d.h.
H0: ρXY = 0 vs. H1: ρXY ≠ 0.
•
(1-α)-Konfidenzintervall für das Zielgrößenmittel µY(x) an der Stelle x:
 1 (x − x)2 

yˆ(x) ± tn−2,1−α / 2SE( yˆ) = yˆ(x) ± tn−2,1−α / 2 MQE  +
2 
 n (n −1)sX 
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43
Regressionsmodell für zufallsgestörte lineare Abhängigkeiten:
Das Modell (Modell B):
Y ( x) = µY ( x) + E mit
µY ( x) = f ( x; β 0 , β1 ) = β 0 + β1 x, E ≅ N (0,σ E2 )
Schätzung der Modellparameter:
• Prinzip (Kleinste Quadrat – Schätzung, method of least squares):
Y
y^ = b 0+ b 1 x
Pi
yi
ei2
^y
i
^P
i
(0, b 0)
X
•
xi
Formeln:
n
(
Q( βˆ 0 , βˆ1 ) = ∑ yi − βˆ 0 − βˆ1 xi
i =1
)
2
= min!
s
sY
→ βˆ1 = b1 = XY
=
r
, βˆ 0 = b0 = y − b1 x ,
XY
2
sX
sX
2
SQE = Q(b0, b1 ) = (n − 1)sY2 (1 − rXY
), MQE =
•
SQE
n−2
Konfidenzintervalle und Abhängigkeitsprüfung: wie bei Modell A
Bestimmtheitsmaß (coefficient of determination):
Maßzahl zur Beschreibung der Anpassungsgüte
•
Definition:
Anteil der Varianz s ŷ2 der erwarteten Y-Werte yˆ ( xi ) an der Varianz s y2 der beobachteten
Y-Werte; es gilt:
B=
•
s y2ˆ
s y2
=r
2
XY
 s
=  XY
 s X sY



2
Interpretation:
o Es gilt: 0 ≤ B ≤ 1
o B = Anteil der durch X erklärten Variation von Y
Linearisierende Transformationen:
Nichtlineare Regressionsfunktion µY'(X') (Zielvariable Y', Einflussvariable X')
Linearisierende Transformation
lineare Regressionsfunktion µY(X):
Aus der Geradengleichung y = β0+β1 x durch logarithmische bzw. reziproke
Skalentransformationen ableitbare nichtlineare Funktionstypen:
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Transformationsgleichungen
x = ln x'
y = ln y'
Nichtlineare
Funktionsgleichung
y' = β'0 x'β1
mit β'0=exp(β0)
Funktionstyp
x = x'
y = ln y'
x = x'
y = 1/y'
x = 1/x'
y = 1/y'
y' = β'0 exp(β1x')
mit β'0=exp(β 0)
y' = 1/(β0 + β1 x')
Exponentialfunktion
Allometrische Funktion
Gebrochene lineare
Funktion
Gebrochene lineare
Funktion
y' = x'/(β0x' + β1 )
Lineare Regression durch den Nullpunkt:
Das Modell (Modell C):
Y (x) = µY (x) + E mit
µY (x) = f (x; β1) = β1x, E ≅ N(0, σ E2 )
Parameterschätzung:
•
2
Schätzwerte für die Modellparameter β 1 und σ E :
n
β̂1 = b1 =
n
∑x y ∑x ,
i
i=1
2
i
i
i =1
SQE
MQE=
mit SQE =
n −1
•
n
∑
i =1

y −


2
i
n

xi yi 


∑
i =1
2
n
∑x
2
i
i =1
(1-α)-Konfidenzintervall für den Anstieg:
b1 ± t n −1,1−α / 2 SE (b1 ) = b1 ± t n −1,1−α / 2
MQE
n
∑x
2
i
i =1
6.5 LINEARE KALIBRATIONSFUNKTIONEN
(linear calibration)
Problemstellung:
In der instrumentellen Analytik wird die Bestimmung einer Größe X (z.B. einer
Substanzmenge) oft indirekt über eine messbare Hilfsgröße Y (z.B. Leitfähigkeit)
vorgenommen, aus denen dann mit Hilfe einer so genannten Kalibrationsfunktion der
gesuchte Wert von X berechnet werden kann. Die Kalibrationsfunktion bestimmt man in
der Regel so, dass man zu vorgegebenen Kalibrierproben (d.h. standardisierten Werten
xi von X) die entsprechenden Werte yi der Hilfsgröße Y misst und eine Regression von Y
auf X mit einer geeigneten Regressionsfunktion durchführt.
Bestimmung der Kalibrationsfunktion:
Wir beschränken uns auf den Fall, dass die Abhängigkeit für den betrachteten
Wertebereich der Kalibrierproben durch ein lineares Regressionsmodell dargestellt
werden kann, d.h., dass die Messwerte von Y durch die Gleichung
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21.05.12
45
Y ( x) = f ( x; β0 , β1 ) + E = β 0 + β1 x + E
generiert werden können (Modell B der
einfachen linearen Regression); hier ist die mit E bezeichnete Fehlergröße normalverteilt
mit dem Mittelwert Null und der Varianz
β1 , β 0
und
σ E2 . Schätzwerte für die Modellparameter
σ E2 sind nach Abschnitt 8.2:
βˆ1 = b1 =
s XY
s
= rXY Y , βˆ0 = b0 = y − b1 x ,
2
sX
sX
σˆ E2 = MQE =
SQE
2
mit SQE = (n − 1)sY2 (1 − rXY
)
n−2
Die mit den Schätzwerten b1 und b0 für den Anstieg bzw. y-Achsenabschnitt gebildete
Regressionsfunktion f ermöglicht es, zu einem vorgegebenen Wert x von X den
Erwartungswert
yˆ = f ( x, b0 , b1 ) = b0 + b1 x
von Y zu berechnen. Dabei muss
vorausgesetzt werden, dass der Anstieg b1 auf einem vorgegebenen Testniveau α
signifikant von Null abweicht, d.h., dass gilt:
TG =
rXY n − 2
2
1 − rXY
=
b12 ( n − 1) s X2
> t1−α / 2
MQE
Rückschluss von Y auf X:
Wir wenden uns nun der „Umkehraufgabe“ zu: Ausgehend von der die beschriebene
Weise bestimmten Regressionsfunktion f (f heißt in diesem Zusammenhang auch
Kalibrationsfunktion) soll von Y auf X rückgeschlossen werden. Bei bekannten
Regressionsparametern β1 und
β0
sowie bekanntem Erwartungswert η von Y ergibt
ξ = (η − β 0 ) / β1 .
Im Allgemeinen kennt man weder die Regressionsparameter β1 und β 0 noch den
sich der gesuchte X-Wert ξ einfach aus der Regressionsgleichung:
Erwartungswert η. Naheliegend ist nun folgende Vorgangsweise: Wir bilden den
Mittelwert y ′ aus m zum selben ξ gemessenen Y-Werten (im Extremfall kann m=1
sein), setzen y ′ an Stelle von
ŷ
in die Regressionsgleichung
yˆ = y + b1 ( x − x ) ein
und lösen nach x auf. Die so erhaltene Größe – wir bezeichnen sie mit
x̂ - nehmen wir
als Schätzfunktion für x. Es ist also xˆ = x + ( yˆ * − y ) / b1 . Für den Standardfehler
s xˆ von x̂ ergibt sich unter der Voraussetzung, dass g = t12−α / 2 / TG 2 < 0.1
gilt, die
Näherung:
s xˆ =
MQE
| b1 |
2
1 1
(
y′ − y)
 + + 2
 m n b (n − 1) s 2
1
X





Damit berechnet man schließlich die Grenzen
UG = xˆ − t1−α / 2 s xˆ und OG = xˆ + t1−α / 2 s xˆ
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21.05.12
46
eines approximativen (1-α)-Konfidenzintervalls für den gesuchten Wert ξ von X. Man
beachte, dass die Genauigkeit der Schätzung von der Anzahl n der Kalibrierproben und
vom Umfang m der Y-Stichprobe abhängt. Für ein optimales Design der
Kalibrationsfunktion wird man ferner darauf achten, dass ( y ′ − y ) möglichst klein und
s X2
möglichst groß ist.
6.6 Musterbeispiele
1. An bestimmten von sechs verschiedenen Grasarten stammenden Chromosomen wurden
die Teillängen E und H des C-Band Euchromatins bzw. Heterochromatins gemessen
(Angaben in µm; aus H.M. Thomas, Heredity, 46: 263-267, 1981). Man berechne die
Produktmomentkorrelation rEH. Ist die Produktmomentkorrelation signifikant von null
verschieden? (α = 5%)
E 71,00 74,00 67,50 62,5 52,75 53,00
H
6,00
5,00
5,00 3,00
2,75
4,25
Präzisierung der Aufgabe:
Die Beschreibung des Zusammenhangs zwischen den Variablen E und H mit Hilfe der
Produktmomentkorrelation setzt voraus, dass die Variablen zweidimensional normalverteilt sind.
Lösungsansatz und numerische Lösung:
Die Lösung umfasst zunächst eine univariate Datenbeschreibung und die Überprüfung der
Normalverteilungsannahme für E und H; hierbei lautet die Alternativhypothese H1 jeweils: Die
Grundgesamtheit ist nicht normalverteilt. Für den Abhängigkeitstest lautet die
Alternativhypothese H1: Korrelationskoeffizient ρEH ≠ 0, die Nullhypothese H0:
Korrelationskoeffizient ρEH = 0. Die Nullhypothese ist zu verwerfen, wenn der P-Wert kleiner als
das vorgegebene Testniveau ist.
Lösung mit R:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
E <- c(71, 74, 67.5, 62.5, 52.75, 53)
H <- c(6, 5, 5, 3, 2.75, 4.25)
options(digits=4)
# univariate Statistiken
n_E <- length(E)
n_H <- length(H)
m_E <- mean(E)
m_H <- mean(H)
s_E <- sd(E)
s_H <- sd(H)
print(cbind(n_E, m_E, s_E))
n_E
m_E
s_E
[1,]
6 63.46 9.048
> print(cbind(n_H, m_H, s_H))
n_H
m_H
s_H
[1,]
6 4.333 1.262
> # Überprüfung der Normalverteilung
> shapiro.test(E)
Shapiro-Wilk normality test
data: E
W = 0.8966, p-value = 0.3545
> shapiro.test(H)
Shapiro-Wilk normality test
data: H
W = 0.9278, p-value = 0.563
> # Schätzwert für die Pearson-Korrelation
> # Test auf Abweichung von Nullkorrelation
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> cor.test(E, H, alternative="two.sided")
Pearson's product-moment correlation
data: E and H
t = 2.107, df = 4, p-value = 0.1028
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.2097 0.9674
sample estimates:
cor
0.7253
Ergebnis:
Die (univariate) Überprüfung der Normalverteilung ergibt auf Grund der P-Werte (0.3545 >=5%
bzw. 0.563 ≥ 5%), dass die Daten nicht in Widerspruch zur jeweiligen
Normalverteilungsannahme stehen. Da der P-Wert im Abhängigkeitstest ≥ 5% ist, kann die
Nullhypothese (Korrelation zwischen E und H ist null) nicht abgelehnt werden; obwohl der
Schätzwert der Pearsonkorrelation rEH=0.7253 deutlich von null abweicht, ergibt die
Abhängigkeitsprüfung ein nichtsignifikantes Resultat!
2. In einer Studie wurde untersucht, ob zwischen der Mortalität in der Perinatalperiode
(Merkmal Y, Werte ja/nein) und dem Rauchen während der Schwangerschaft (Merkmal
X, Werte ja/nein) ein Zusammenhang besteht. Zu diesem Zweck wurden Daten in einer
Geburtenstation erhoben. Man berechne den Phi-Koeffizienten und das Odds-Ratio. Ist
der Phi-Koeffizient auf 5%igem Testniveau von null verschieden?
Mortalität Y
ja
nein
Σ (Spalten)
Raucher X
ja
246
8160
8406
nein
264
10710
10974
Σ (Zeilen)
510
18870
19380
Präzisierung der Aufgabe:
Die Untersuchungseinheiten sind die Neugeborenen (an ihnen wird das Merkmal Y beobachtet)
und deren Mütter (Merkmal X). Beide Merkmale sind zweistufig skaliert. Keine Zusammenhang
zwischen den Merkmalen besteht genau dann, wenn der Anteil der Todesfälle nicht davon
abhängt, ob die Mütter Raucher bzw. Nichtraucher sind.
Lösungsansatz und numerische Lösung:
Die Prüfung, ob der Phi-Koeffizient signifikant von null abweicht, erfolgt mit dem ChiquadratTest; ist der ausgewiesene P-Wert kleiner als 5%, wird die Nullhypothese (keine Abhängigkeit,
d.h. Phi-Koeffizient=0) abgelehnt (signifikanter Testausgang). Im Rahmen des Tests wird u.a.
auch die Chiquadratsumme (Goodness of Fit - Statistik) GF bestimmt, mit der der PHIKoeffizient (= Quadratwurzel aus GF/n) bestimmt wird; hier ist n der Umfang der bivariaten
Stichprobe. Das Odds-Ratio ist gleich dem Verhältnis der Chancen „Sterben:Überleben mit und
ohne Risikofaktor (Rauchen)“, d.h. gleich dem Verhältnis (246:8160)/(264:10710).
Lösung mit R:
>
>
+
>
>
options(digits=4)
freq <- matrix(c(246, 8160, 264, 10710), nrow=2, ncol=2, byrow=F,
dimnames=list(Mortalität=c("ja", "nein"), Raucher=c("ja", "nein")))
# Wiedergabe der Matrix der beobachteten Häufigkeiten
freq
Raucher
Mortalität
ja nein
ja
246
264
nein 8160 10710
> # Prüfung auf Abhängigkeit
> # H1: Abhängigkeit vs. H0: keine Abhängigkeit
> testergebnis <- chisq.test(freq, correct=TRUE)
> testergebnis
Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data: freq
X-squared = 4.837, df = 1, p-value = 0.02785
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> # Bestimmung des PHI-Koeffizienten
> summary(testergebnis)
Length Class Mode
statistic 1
-none- numeric
parameter 1
-none- numeric
p.value
1
-none- numeric
method
1
-none- character
data.name 1
-none- character
observed 4
-none- numeric
expected 4
-none- numeric
residuals 4
-none- numeric
> testergebnis[1]
$statistic
X-squared
4.837
> chi2sum <- testergebnis[[1]] # Auswahl des numerischen Elementes der Liste
> chi2sum
X-squared
4.837
> phi <- sqrt(chi2sum/sum(freq))
> phi
X-squared
0.0158
> # Bestimmung des Odds-Ratio (Chancenverhältnis)
> OR <- (freq[1,1]/freq[2,1])/(freq[1,2]/freq[2,2])
> OR
[1] 1.223
Ergebnis:
Die Prüfung auf Abhängigkeit (bzw. Abweichung des PHI-Koeffizienten von null) ist wegen pvalue = 0.02785 < 0.05 signifikant, d.h. es gilt H1 (Die Mortalität ist vom Raucherverhalten
abhängig). Der Phi-Koeffizient ist in der Ergebnisdarstellung des Chiquadrat-Tests (testergebnis)
das erste Element, auf dessen numerischen Inhalt mit testergebnis[[1]] zugegriffen werden kann;
es folgt für den Phi-Koeffizienten der Wert 0,0158; für das Odds-Ratio ergibt sich 1.223 > 1, d.h.
die Sterbechancen des Kindes einer rauchenden Mutter sind größer als jene einer
nichtrauchenden.
3. Von einem Gebiet der Schweiz liegen aus 10 Wintern (Dezember bis März) die in der
folgenden Tabelle angeführten Werte der Schneehöhe X (in cm) und der
Lawinenabgänge Y vor.
a) Man prüfe, ob Y von X (linear) abhängt? (α=5%)
b) Wenn ja, stelle man die Abhängigkeit der Anzahl der Lawinenabgänge von der
Schneehöhe durch ein lineares Regressionsmodell dar. Was besagt das
Bestimmtheitsmaß?
c) Welcher Werft von Y ist bei einer Schneehöhe von 400cm zu erwarten?
X
Y
80
31
300
44
590
78
170
65
302
75
515
38
609
51
843
104
221
37
616
91
Präzisierung der Aufgabe:
Es ist die Anzahl Y der Lawinenabgänge in Abhängigkeit von der Schneehöhe X durch ein
lineares Regressionsmodell darzustellen. Die Angabe der Regressionsgleichung ist nur dann
sinnvoll, wenn nachgewiesen wurde, dass Y tatsächlich (linear) von X abhängt. Dies erfolgt so,
indem gezeigt wird, dass die Pearson-Korrelation zwischen X und Y auf dem Testniveau 5%
(angenommen) von null abweicht.
Lösungsansatz und numerische Lösung:
In einem ersten Schritt wird die Adäquatheit des linearen Modells zur Beschreibung der
Abhängigkeit untersucht. Zu diesem Zwecke erstellt man ein Streudiagramm (X horizontal, Y
vertikal). Folgen die Datenpunkte einem „linearen Trend“ ist das lineare Modell anwendbar. Es
ist dabei zweckmäßig, die Regressionsgerade in das Streudiagramm einzuzeichnen. Bei der
folgenden Abhängigkeitsprüfung lautet die Alternativhypothese H1: Y hängt von X (linear) ab,
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die Nullhypothese ist H0: Y hängt von X nicht ab (zumindest nicht linear). Bei signifikantem
Testausgang (Abhängigkeit) wird die Gleichung der Regressionsgeraden angegeben.
Lösung mit R:
options(digits=4)
x <- c(80, 300, 590, 170, 302, 515, 609, 843, 221, 616)
y <- c(31, 44, 78, 65, 75, 38, 51, 104, 37, 91)
daten <- data.frame(x, y); daten
x
y
1
80 31
2 300 44
3 590 78
4 170 65
5 302 75
6 515 38
7 609 51
8 843 104
9 221 37
10 616 91
> apply(daten, 2, FUN=length)
x y
10 10
> apply(daten, 2, FUN=mean)
x
y
424.6 61.4
> apply(daten, 2, FUN=sd)
x
y
244.22 25.04
> # Streudiagramm mit Regressionsgeraden
> plot(x, y)
> abline(lm(y~x))
40
60
y
80
100
>
>
>
>
200
400
600
x
> # Schätzung der Regressionsparameter einschl. Abhängigkeitsprüfung)
> modell <- lm(y~x, daten)
> summary(modell)
Call:
lm(formula = y ~ x, data = daten)
Residuals:
Min
1Q
-29.670 -9.899
Median
-0.686
3Q
15.640
Max
22.103
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 31.9522
12.9125
2.47
0.038 *
x
0.0694
0.0267
2.60
0.032 *
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 19.6 on 8 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.458,
Adjusted R-squared: 0.39
F-statistic: 6.75 on 1 and 8 DF, p-value: 0.0317
> predict(modell, data.frame(x=c(400)))
1
59.69
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800
50
Ergebnis:
a) Aus dem Streudiagramm entnimmt man, dass die Datenpunkte durch eine Gerade ausgeglichen
werden können. Die Abhängigkeitsprüfung ergibt den p-value = 0.0317 < 0.05; es folgt, dass H0
(keine lineare Abhängigkeit) abgelehnt werden kann, d.h. Y kann tatsächlich durch eine lineare
Regressionsgleichung in Abhängigkeit von X dargestellt werden.
b) Der Anstieg k der Regressionsgeraden ist 0.0694 (siehe unter Coefficients, bei x) und der yAchsenabschnitt (Intercept) d = 31.9522; somit lautet die Regressionsgerade: y = kx + d =
0.0694x + 31.9522. Das Bestimmtheitsmaß beträgt B=0.458 (Multiple R-squared), d.h. 45.8%
der Variation von Y können durch die Variation von X erklärt werden.
c) Für x=400 ergibt sich für Y der Erwartungswert 60 (59.7). Man beachte, dass eine allfällige
Hochschätzung von der Schneehöhe X auf die erwartete Zahl von Lawinenabgängen mit der
Regressionsgleichung nur innerhalb des Variationsbereichs von X – also von etwa X = 80 bis X=
850 - möglich ist; die Abhängigkeit der Variablen Y von X ist offensichtlich nichtlinear (für X=0
müsste sich Y=0 ergeben), kann aber in einem begrenzten Bereich durch ein lineares Modell
approximiert werden.
4. Der Energieumsatz E (in kJ pro kg Körpergewicht und Stunde) wurde in Abhängigkeit
von der Laufgeschwindigkeit v (in m/s) gemessen. Man stelle die Abhängigkeit des
Energieumsatzes von der Laufgeschwindigkeit durch ein geeignetes Regressionsmodell
dar und prüfe, ob im Rahmen des Modells überhaupt ein signifikanter Einfluss der
Geschwindigkeit auf den Energieumsatz besteht (α=5%).
Hinweis: Logarithmiert man den Energieumsatz und die Laufgeschwindigkeit ergibt sich
im Streudiagramm eine Punkteverteilung mit einem linearen Trend.
v
E
5,4
6,6
3,1 4,2 5,0
27,6 50,6 62,7 147,1 356,3
Präzisierung der Aufgabe:
Es ist der Energieumsatz E in Abhängigkeit von der Laufgeschwindigkeit v durch ein geeignetes
Regressionsmodell darzustellen. Man überzeugt sich durch ein Streudiagramm, dass sich mit den
beobachteten Daten keine Punkteverteilung mit linearem Trend ergibt. Zum Zwecke der
Linearisierung werden entsprechend dem Hinweis sowohl die E- als auch die v-Werte
logarithmiert (man nehme z.B. natürliche Logarithmen). Wir bezeichnen die logarithmierten
Variablen mit E’=ln(E) und v’=ln(v). Man überzeuge sich, dass das mit v’ und E’ gebildete
Streudiagramm ein lineares Regressionsmodell zur Beschreibung der Abhängigkeit der
Variablen E’ von v’ rechtfertigt. Die Angabe der Regressionsgleichung E’ = k v’ + d ist nur dann
sinnvoll, wenn nachgewiesen wurde, dass E’ tatsächlich (linear) von v’ abhängt. Dies erfolgt, in
dem gezeigt wird, dass die Pearson-Korrelation zwischen v’ und E’ auf dem Testniveau 5%
(angenommen) von null abweicht.
Lösungsansatz und numerische Lösung:
Die Lösungsschritte sind:
o Erstellung eines Streudiagramms mit den beobachteten Daten und der Erkenntnis daraus,
dass die Punkteverteilung keinen linearen Trend besitzt.
o Logarithmische Transformation der Variablen E und v in E’=ln(E) bzw. v’=ln(v) und
Erstellen eines Streudiagramms mit den logarithmierten Messwerten (die Punkteverteilung
sollte nun durch ein lineares Regressionsmodell darstellbar sein).
o Prüfung der (linearen) Abhängigkeit der Variablen E’ von v’. Die Alternativhypothese
lautet H1: E’ hängt von v’ (linear) ab, die Nullhypothese ist H0: E’ hängt nicht von v’ ab
(zumindest nicht linear). Bei signifikantem Testausgang (Abhängigkeit) wird die
Gleichung der Regressionsgeraden angegeben.
Lösung mit R:
> options(digits=4)
> v <- c(3.1, 4.2, 5, 5.4, 6.6)
> E <- c(27.6, 50.6, 62.7, 147.1, 356.3)
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51
200
50
100
150
E
250
300
350
> print(cbind(v, E))
v
E
[1,] 3.1 27.6
[2,] 4.2 50.6
[3,] 5.0 62.7
[4,] 5.4 147.1
[5,] 6.6 356.3
> # Überprüfung der Adäquatheit
> # des linearen Modells
> plot(v, E)
> abline(lm(E ~ v))
> # Linearisierung (log/log-Transf.)
> v_strich <- log(v)
> E_strich <- log(E)
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
v
>
>
>
>
>
>
4.5
3.5
4.0
E_strich
5.0
5.5
1
2
3
4
5
# Überprüfung der Wirkung der log/log-Transformation
plot(v_strich, E_strich)
abline(lm(E_strich ~ v_strich))
# Abhängigkeitsprüfung & Parameterschätzung
daten <- data.frame(v_strich, E_strich)
daten
v_strich E_strich
1.131
3.318
1.435
3.924
1.609
4.138
1.686
4.991
1.887
5.876
1.2
1.4
1.6
1.8
v_strich
> lm.energie <- lm(formula= E_strich ~ v_strich, data=daten)
> summary(lm.energie)
Call:
lm(formula = E_strich ~ v_strich, data = daten)
Residuals:
1
2
3
0.250 -0.146 -0.508
4
0.091
5
0.313
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)
-0.667
1.066
-0.63
0.576
v_strich
3.301
0.679
4.86
0.017 *
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.386 on 3 degrees of freedom
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Multiple R-squared: 0.887,
Adjusted R-squared: 0.85
F-statistic: 23.7 on 1 and 3 DF, p-value: 0.0166
0.0166
Ergebnis:
Aus dem mit den E- und v-Werten gezeichneten Streudiagramm entnimmt man, dass die
Datenpunkte nicht durch eine Gerade ausgeglichen werden können, es liegt eine eindeutig
gekrümmte Anordnung der Datenpunkte vor. Nach Übergang zu den Variablen E’=ln(E) und
v’=ln(v) erkennt man im (v’,E’)-Diagramm, dass nunmehr den Datenpunkten eine Gerade
angepasst werden kann. Die Abhängigkeitsprüfung ergibt den p-value = 0.0166 < 0.05; es folgt,
dass H0 (keine lineare Abhängigkeit) abgelehnt werden kann, d.h. E’ kann tatsächlich durch eine
lineare Regressionsgleichung in Abhängigkeit von v’ dargestellt werden. Der Anstieg k der
Regressionsgeraden ist 3,301 (siehe unter Coefficients, bei v_strich) und der y-Achsenabschnitt
(Intercept) d = -0,667; somit lautet die Regressionsgerade: E’ = kv’ + d = 3,301v’ – 0,667; setzt
man hier die Originalvariablen ein, folgt lnE = 3,301lnv – 0,667, Potenzieren mit der Basis e
ergibt schließlich E = e-0,667v3,301 = 0,513 v3,301.
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