Johann-Wolfgang-Goethe Universität Frankfurt am Main

Johann-Wolfgang-Goethe Universität
Frankfurt am Main
Musterlösung zur 3. Übung
(Thévenin- und Norton Theorem)
Dr. Christian Teske
1.
Anwendung des Überlagerungssatzes
(5 Punkte)
Gegeben sei das folgende aktive Netzwerk, bestehend aus einer Spannungsquelle Ua und einer Stromquelle
Ib und einer Reihe von Widerständen.
Die einzelnen Werte seien wie folgt gegeben:
R1 = 27Ω
R2 = 47Ω
R3 = 4Ω
R4 = 23Ω
U a = 200V
I b = 20 A
Es soll mit Hilfe des Überlagerungssatzes der Strom I durch den Widerstand R4 ermittelt werden. Zunächst
wird die Stromquelle bei der Analyse nicht weiter berücksichtigt und durch zwei offene Klemmen ersetzt.
Es gilt dann:
Die Widerstände R1 und R3+R4 liegen parallel zueinander. Es ergibt sich somit:
b
g
R1 R3 + R4
R1 + R3 + R4
= 13,5Ω
R134 =
Der Widerstand R134 liegt wiederum in Reihe mit R2, so dass sich folgender Gesamtwiderstand ergibt:
1
Rg = R134 + R2
= 60,5Ω
Mit der gegebenen Spannung Ua ergibt sich der Gesamtstrom zu:
Ig =
Ua
Rg
= 3,3 A
Durch den Widerstand R4 fließt demnach:
I 4′ =
U a − I g R2
R3 + R4
= 1,7 A
Als nächstes wird das Netzwerk lediglich mit der aktiven Stromquelle analysiert. Die Spannungsquelle wird
dabei durch eine Kurzschlussklemme ersetzt.
Der gesamte Widerstand des Netzwerks ist gegeben durch:
R1 R2
R1 + R2
= 21,2Ω
R123 = R3 +
R123 R4
R123 + R4
= 11Ω
Rg =
Demnach fällt an der Stromquelle die folgende Spannung ab:
U b = Ib Rg
= 220,4V
Der Strom durch R4 ist demnach:
Ub
R4
= 9,6 A
I 4′′ =
Aus dem Überlagerungssatz folgt nun der Gesamtstrom durch R4 als Summe der Beiträge der einzelnen
Quellen, mit:
I 4 = I 4′ + I 4′′
= 11,3 A
Der Beitrag der Spannungsquelle Ua am Gesamtstrom durch R4 ist offensichtlich kleiner als der der
Stromquelle.
2.
Thévenin-Äquivalenzspannung und Norton-Äquivalenzstrom
2
Dem elektrischen Netzwerk in Aufgabe 1 werde ein Widerstand R5=10Ω hinzugefügt. Es ergibt sich nun das
folgende Schaltbild:
a)
Es soll die Thévenin-Äquivalenzspannung des Netzwerks zwischen den Punkten A und B ermittelt
werden. Aus Aufgabe 1 lässt sich der Spannungsabfall über dem Widerstand R4 sofort berechnen. Es
gilt:
U 4 = I 4 R4
= 11,3 A ⋅ 23Ω
= 260V
Dies ist auch die Thévenin-Äquivalenzspannung, weil in diesem Fall durch R5 kein Strom fließt.
U ′ = 260V
b) Zur Analyse des Norton-Äquivalenzstroms liegt folgendes Netzwerk vor:
Der Norton Äquivalenzstrom fließt durch R5. Es ist demnach in der ursprünglichen Netzwerkstruktur
noch der zu R4 parallel geschaltete Widerstand R5 zu berücksichtigen. Es lässt sich wieder der
Überlagerungssatz anwenden. Wird lediglich die Spannungsquelle berücksichtigt, dann gilt:
Die Widerstände R1 und R3+R45 liegen parallel zueinander. Es ergibt sich somit:
R45 =
R4 R5
R4 + R5
= 7Ω
R134 =
b
g
R1 R3 + R45
R1 + R3 + R45
= 7,8Ω
Der Widerstand R134 liegt wiederum in Reihe mit R2, so dass sich folgender Gesamtwiderstand ergibt:
Rg = R134 + R2
= 54,8Ω
Mit der gegebenen Spannung Ua ergibt sich der Gesamtstrom zu:
3
Ig =
Ua
Rg
= 3,7 A
Durch den Zweig mit den Widerständen R3, R4 und R5 fließt demnach:
I 345 = I g −
U a − I g R2
R2
= 2,6 A
Durch R5 fließt demnach:
R4
R4 + R5
= 1,8 A
I 5′ = I 345
Wird nur das Wirken der Stromquelle berücksichtigt, dann gilt:
R1 R2
R1 + R2
= 21,2Ω
R5
R123 R4
R4 + R5
Rg =
R5
R123 + R4
R4 + R5
= 5,3Ω
R123 = R3 +
Demnach fällt an der Stromquelle die folgende Spannung ab:
U b = Ib Rg
= 106V
Der Strom durch R5 ist demnach:
I 5′′=
Ub
R5
= 10,6 A
Aus dem Überlagerungssatz ergibt sich schließlich der Norton-Äquivalenzstrom:
I ′ = I 5′ + I 5′′
= 12,4 A
Der Innenwiderstand ist nun trivial:
U′
I′
= 21Ω
R′ =
4