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Abitur 2008 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1
Teilaufgabe 1. (8 BE)
Ein Laplace-Würfel ist mit den Augenzahlen 3 , 3 , 3 , 3 , 5 , 5 beschriftet.
Der Würfel wird achtmal geworfen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden
Ereignisse an.
A: Es fällt beim ersten Wurf eine 5 .
B: Es fällt genau dreimal eine 5 .
C: Es fällt mindestens dreimal eine 3 .
Teilaufgabe 2. (4 BE)
Beschreiben Sie eine Fragestellung im Zusammenhang mit dem gegebenen Würfel, die
2
1
11
durch die Rechnung 3 · + 5 · =
beantwortet wird.
3
3
3
Ein zweiter Laplace-Würfel trägt die Augenzahlen 2 , 2 , 2 , 4 , 6 , 6 .
In einem Spiel werfen zwei Spieler jeweils einen der beiden Würfel. Es gewinnt die größere
Augenzahl.
Teilaufgabe 3.1 (10 BE)
Marvin erklärt: Da der Erwartungswert für die geworfene Augenzahl bei beiden Würfeln
”
gleich ist, ist das Spiel fair.“ Zeigen Sie, dass die Erwartungswerte zwar übereinstimmen,
das Spiel aber dennoch nicht fair ist.
Teilaufgabe 3.2
Geben Sie eine Beschriftung so an, dass das Spiel fair wird. Ändern Sie dabei nur eine
einzige Augenzahl auf einem der beiden Würfel.
Teilaufgabe 4. (8 BE)
Marvin hat den Verdacht, dass beim Würfeln mit einem gewöhnlichen Würfel die Augenzahl 4 zu selten fällt. Er würfelt 10 -mal, ohne dass eine 4 fällt. Sein Freund Paul dagegen
würfelt 100 -mal und erhält 12 -mal die Augenzahl 4 .
Entscheiden Sie aufgrund dieser Versuche, ob der Verdacht begründet ist, und erläutern
Sie Ihr Vorgehen.
Abitur Hessen 2008 GK Stochastik Aufgabe C1
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Abitur 2008 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C2
Todesursache Rauchen bei Frauen auf dem Vormarsch
Wiesbaden - Zum Weltnichtrauchertag am 31. Mai 2007 gab das Statistische Bundesamtfolgende Daten bekannt:
Im Jahr 2005 starben in Deutschland 42.217 Personen an Lungen-, Kehlkopf- oder Luftröhrenkrebs,
die alle in Zusammenhang mit dem Konsum von Tabakprodukten gebracht werden können
(raucherspezifische Erkrankungen).
Insbesondere Lungenkrebs mit einem Anteil von ca. 5 % unter allen Todesfällen war damit
die vierthäufigste Todesursache.
Während bei den weiblichen Todesfällen 2, 7 % auf raucherspezifische Todesursachen zurückzuführen sind, sind es bei den männlichen Todesfällen sogar 7, 8 % - der Anteil der Männer
unter allen Verstorbenen 2005 betrug 46, 8 %.
Im Vergleich zum Jahr 1985 ist jedoch gerade bei Frauen ein Anstieg dieser Todesursachen
festzustellen. Damals starben an den oben genannten Krebsarten 33.967 Personen, davon
waren 28.274 Männer und 5.693 Frauen.
(Quelle: Statistisches Bundesamt Deutschland)
Teilaufgabe 1. (10 BE)
In einer für Deutschland repräsentativen Kleinstadt sind im Jahr 2005 bis Ende April 37
Personen verstorben, bis Ende Dezember waren es genau 100 .
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit,
- dass unter den 37 Verstorbenen bis Ende April genau 2 Personen dabei waren, deren
Todesursache Lungenkrebs war,
- dass unter den 37 Verstorbenen bis Ende April mindestens 2 Personen dabei waren,
deren Todesursache Lungenkrebs war und
- dass unter den 100 Verstorbenen bis Ende Dezember mehr als 5 , aber weniger als
8 Personen dabei waren, deren Todesursache Lungenkrebs war.
Geben Sie Ihren mathematischen Ansatz zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten an
und begründen Sie diesen.
Abitur Hessen 2008 GK Stochastik Aufgabe C2
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Teilaufgabe 2. (15 BE)
Entwickeln Sie aus den gegebenen Daten des Statistischen Bundesamts ein geeignetes
Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel,
- um den Anteil der Todesfälle mit raucherspezifischer Ursache (Lungen- , Kehlkopf- und
Luftröhrenkrebs) unter allen Todesfällen im Jahre 2005 in Deutschland zu ermitteln und
- um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit ca. 28 % beträgt, dass es sich bei einem Sterbefall aus 2005 mit bekannter raucherspezifischer Todesursache um eine Frau handelt.
Bestimmen Sie außerdem die Anzahl aller Todesfälle in Deutschland im Jahr 2005.
Teilaufgabe 3. (5 BE)
Beurteilen Sie nach Überprüfung der Zahlenangaben folgende Zeitungsnotiz, die kurze
Zeit nach dem Weltnichtrauchertag im Jahr 2007 erschien. Beziehen Sie auch die absoluten Zahlen in Ihre Überlegungen ein.
Männer beim Rauchen vernünftiger!
Während der Anteil der Männer unter den verstorbenen Personen mit raucherspezifischen
Todesursachen (Lungen- , Kehlkopf- und Luftröhrenkrebs) erfreulicherweise von 83 % im
Jahre 1985 auf 72 % im Jahr 2005 zurückging, hat sich gleichzeitig der Anteil der Frauen
um ca. 50 % erhöht.
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Aufgabe C1
Landesabitur Hessen 2008
GK
1. Es handelt sich um ein binomialverteiltes Bernoulli-Experiment
2 1
=
6 3
•
P ( A) =
•
1
p = ; n = 8;
3
•
p=
•
0
8
1
7
2
6
⎛ 8 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛8⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
= 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ≈ 0,01966
⎝ 0⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎛8⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
Î P ( B ) = P ( X = 3) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ≈ 0,2731
⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
3
5
2
; n = 8; Î P (C ) = P( X > 2) = 1 − P( X ≤ 2) =
3
2. X sei die Zufallsvariable mit den Ausfällen X=3 und X=5 und den Wahrscheinlich2
1
keiten P ( X = 3) = und P ( X = 5) = . Dann ist
3
3
2
1 11
E ( X ) = 3 ⋅ P( X = 3) + 5 ⋅ P ( X = 5) = 3 ⋅ + 5 ⋅ = = 3, 6 der Erwartungswert von X
3
3 3
3.1.Sei Y die Zufallsvariable mit den Ausfällen Y=2, Y=4 und Y=6 und den
1
1
1
Wahrscheinlichkeiten P(Y = 2) = ; P(Y = 4) = und P (Y = 6) = .
2
6
3
1
1
1 11
Dann ist der Erwartungswert E (Y ) = 2 ⋅ + 4 ⋅ + 6 ⋅ = = 3, 6
2
6
3 3
Der zweite Würfel gewinnt
•
•
•
1
, wenn eine ‚6’ kommt
3
1 2 1
Mit der Wahrscheinlichkeit ⋅ = , wenn eine ‚4’ kommt
6 3 9
Mit der Wahrscheinlichkeit 0 , wenn eine ‚2’ kommt
Mit der Wahrscheinlichkeit
Also mit einer Wahrscheinlichkeit
1 1 4 1
+ = < , d.h. das Spiel ist nicht fair.
3 9 9 2
© Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de
3.2. Wenn man z.B. beim 2. Würfel die Augenzahlen 2,2,2,6,6,6 wählt, dann ist das Spiel
1
fair, weil die Wahrscheinlichkeiten für Gewinn bzw. Verlust ist.
2
1
1
Gegenhypothese H 1 : p <
6
6
Jeder Test mit n=10 und dem Ergebnis 0 muss verworfen werden
4. Prüfhypothese H 0 : p =
•
•
Ob der Test mit n=100 und dem Ergebnis 12 zum Akzeptieren oder Verwerfen
der Prüfhypothese führt, hängt von der Entscheidungsregel ab:
o Nimmt man α=5%, dann ergibt sich aus P( x <= k ) = 0,05 mit
P ( x <= 10) = 0,043 und P( x <= 11) = 0,077 ein k=11. Mit k=12 muss die
Prüfhypothese akzeptiert werden, der Würfel ist mit 95%
Wahrscheinlichkeit fair.
o Nimmt man α=20%, dann ergibt sich aus P ( x <= k ) = 0,2 mit
P ( x <= 13) = 0,20 ein k=13. Mit k=12 muss die Prüfhypothese abgelehnt
werden, der Würfel ist mit 80% Wahrscheinlichkeit nicht fair.
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Aufgabe C2
Landesabitur Hessen 2008
GK
1. Es handelt sich um binomialverteilte Bernoulli-Experimente mit p=0,05:
X=k bedeutet, dass k von n Verstorbenen als Todesursache Lungenkrebs war:
•
n=37:
⎛ 37 ⎞
37 ⋅ 36
a. P ( X = 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,05 2 ⋅ 0,95 35 ≈
⋅ 0,0025 ⋅ 0,166 = 27,65%
2
⎝2⎠
⎛ 37 ⎞
⎛ 37 ⎞
b. P ( X > 1) = 1 − P( X = 0) − P( X = 1) = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,05 0 ⋅ 0,95 37 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,051 ⋅ 0,95 36
⎝0⎠
⎝1⎠
=1-0,1499-0,2919=55,82%
•
n=100:
⎛ 37 ⎞
⎛ 37 ⎞
P(5 < X < 8) = P( X = 6) + P( X = 7) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,05 6 ⋅ 0,05 31 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,05 7 ⋅ 0,05 30 = 25,60%
⎝6⎠
⎝7⎠
2.
•
•
P( F ∩ r )
0,027 ⋅ 0,532
=
≈ 28,24%
P(r )
0,0509
mit P(r ) = 0,027 ⋅ 0,532 + 0,078 ⋅ 0,468 ≈ 5,09%
P( F | r ) =
Die Gesamtzahl der Todesfälle in 2005 errechnet
42217 ⋅ 100
sich aus
≈ 829410
5,09
3. Zwar stimmen die Informationen in der Zeitungsnotiz.
Es ist aber festzuhalten, dass die Anzahl der r-Toten
gestiegen ist, die Anzahl der männlichen r-Toten nur
geringfügig, aber die Anzahl der weiblichen r-Toten
bedenklich!!
1986
2005 (siehe 2.)
P( F | r )
5693
=
≈ 16,7%
33967
= 28,24%
P(M | r )
≈ 83,3%
z( F | r )
5967
z(M | r )
28274
= 71,76%
11922
30295
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