Abitur 2007 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1

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Abitur 2007 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1
Eine Werbeagentur ermittelte durch eine Umfrage im Auftrag eines Kosmetikunternehmens
vor Beginn einer Werbekampagne den Bekanntheitsgrad eines Kosmetikprodukts bei Personen über 18 Jahre.
Das Ergebnis der Umfrage ist in folgender Tabelle dargestellt:
Teilaufgabe a. (14 BE)
Veranschaulichen Sie die Ergebnisse aus der Tabelle an einem Baumdiagramm.
Berechnen Sie den Bekanntheitsgrad des Produktes bei Personen über 18 Jahren.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person, die das Produkt kennt, aus der Gruppe III kommt.
Teilaufgabe b. (5 BE)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig ausgewählten Personen
– der Gruppe I weniger als 25 das Produkt nicht kennen,
– der Gruppe III mehr als 45 , aber höchstens 55 das Produkt kennen,
– der Gruppe IV mindestens 36 das Produkt kennen.
Teilaufgabe c. (4 BE)
Bei einer Berechnung zur Gruppe III aus obiger Tabelle verwendete man den Ansatz
P (X ≥ 1) > 0, 99 .
Im Laufe des Rechengangs erhielt man
1 − 0, 5n > 0, 99
und als Lösung
n > 6.
Erläutern Sie, was hier berechnet wurde.
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Teilaufgabe d. (7 BE)
Das Kosmetikunternehmen verspricht der Werbeagentur eine Sonderprämie, wenn der
Bekanntheitsgrad des Produktes bei älteren Personen ansteigt.
Nach der Werbekampagne hat die Werbeagentur den Eindruck, dass der Bekanntheitsgrad
des Produktes bei den älteren Männern (Gruppe IV) gestiegen ist. Sie befragt daher 100
zufällig ausgewählte Männer dieser Altersgruppe.
Entwickeln und formulieren Sie für die Vergabe der Sonderprämie ein Entscheidungsverfahren mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5 %. Beschreiben Sie Ihre Vorgehensweise.
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Abitur 2007 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C2
Im Lande Magrebinien gilt laut Statistik für die Verteilung der Haushalte und Haushaltsgrößen:
Teilaufgabe a. (6 BE)
Berechnen Sie die durchschnittliche Haushaltsgröße und bestimmen Sie die Einwohneranzahl von Magrebinien unter der Voraussetzung, dass die Gesamtzahl der Haushalte 2
Millionen beträgt.
Fünf Haushalte werden zufällig ausgewählt.
Teilaufgabe b.1 (6 BE)
Erklären Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang die folgende Rechnung hat:
5
· 0, 252 · 0, 753 = 0, 2637
2
Teilaufgabe b.2
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer davon ein 2-Personen-Haushalt
ist.
Für eine Befragung durch ein Marktforschungsinstitut werden 100 Haushalte zufällig ausgewählt.
Teilaufgabe c.1 (10 BE)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
- mehr als 40 ,
- mehr als 34 , aber höchstens 55 2-Personen-Haushalte ausgewählt werden.
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Teilaufgabe c.2
Aus Erfahrung weiß das Institut, dass nur in 75 % der ausgewählten Haushalte jemand
zur Befragung angetroffen wird. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in mehr als
80 Haushalten eine Person zur Befragung angetroffen wird.
Laut Statistischem Bundesamt verteilen sich die Haushaltstypen in Deutschland für das Jahr
2004 gemäß nachstehender Tabelle.
Teilaufgabe d.1 (8 BE)
Berechnen Sie eine mögliche durchschnittliche Haushaltsgröße unter der Annahme, dass
alle in der letzten Zeile der Tabelle genannten Haushalte aus 5 Personen bestehen.
Begründen Sie, warum eine exakte Berechnung der mittleren Haushaltsgröße nicht möglich
ist.
Teilaufgabe d.2
In Deutschland gab es laut Statistischem Bundesamt 2004 insgesamt 82, 501 Millionen
Einwohner. Es sei angenommen, dass alle Haushalte mit mehr als 5 Personen 6-PersonenHaushalte waren.
Bestimmen Sie die Anzahl der 6-Personen-Haushalte.
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Aufgabe C1
Landesabitur Hessen 2007
GK
a.
• P(bekannt) = 0,15 ⋅ 0,7 + 0,4 ⋅ 0,6 + 0,15 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0,3 =51%
• P ( III | bekannt ) =
P( III ∩ bekannt ) P(bekannt ∩ III )
=
P(bekannt )
P(bekannt )
0,5 ⋅ 0,15
≈ 14,7%
0,51
b. Es handelt sich binomialverteilte Bernoulli-Experimente mit n=100. X=k bedeutet, dass k
Personen das Produkt kennen.
•
•
•
p=0,7: P( X > 75) = 1 − P( X ≤ 75) = 1 − 0,8864 =11,36% aus einer Binomialtabelle
oder p=0,3: P (X ≤ 24) = 11,36% aus einer Binomialtabelle oder Näherung mit
⎛ 24 − 30 ⎞
μ=30;σ=4,583: Φ⎜
⎟ = Φ (− 1,309) = 8,23 %
⎝ 4,58 ⎠
p=0,5: P (46 ≤ X ≤ 55) = P( X ≤ 55) − P( X ≤ 45) = 68,03% aus einer Binomialtabelle
oder Näherrung mit
⎛ 55 − 50 ⎞
⎛ 45 − 50 ⎞
μ=50;σ=5: Φ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟ = Φ (1) − Φ (− 1) = 0,8413 − 0,1587 = 68,26%
⎝ 5 ⎠
⎝ 5 ⎠
p=0,3: P ( X > 35) = 1 − P( X ≤ 35) =1−0,8839=11,61% aus einer Binomialtabelle oder
⎛ 35 − 30 ⎞
Näherrung mit μ=30;σ=4,583:1− Φ⎜
⎟ = 1 − Φ (1,09) = 1 − 8621 = 13,79%
⎝ 4,58 ⎠
⎛n⎞
c. p=0,5; n gesucht : P ( X ≥ 1) = 1 − P( X = 0) = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,5 0 ⋅ 0,5 n = 1 − 0,5 n > 0,99 Î
⎝0⎠
ln 0,01
− 0,5 n > −0,01 Ù 0,5 n < 0,01 Ù n ⋅ ln 0,5 < ln 0,01 Ù n >
≈ 6,6
ln 0,5
Berechnet wird hier: Wie viele Personen müssen befragt werden, damit die
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Person der Gruppe III das Produkt kennt, mehr als
99% beträgt.
d. Wir entwickeln einen rechtsseitigen Hypothesentest:
Prüfhypothese H 0 : p = 0,3 ; Gegenhypothese H 0 : p > 0,3 mit α=0,05 und n=100.
Die Entscheidungsregel entwickeln wir aus der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ k ) > 0,95 :
Aus einer Binomialtabelle entnehmen wir P ( X ≤ 37) = 0,94 und P( X ≤ 38) = 0,96 .
Die Entscheidungsregel lautet damit:
Die Prüfhypothese wird abgelehnt bzw. die Gegenhypothese akzeptiert, wenn mehr als 38
von 100 Maännern >35 das Produkt als bekannt angeben.
© Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de
Aufgabe C2
Landesabitur Hessen 2007
GK
a.
z = 1 ⋅ 0,1 + 2 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 0,25 + 4 ⋅ 0,15 + 5 ⋅ 0,1 = 2,75 ist die durchschnittliche
Haushaltsgröße
Einwohner = Haushalte*durchschnittliche Haushaltsgröße:5,5Millionen
•
•
b.
c.
Es handelt sich um ein binomialverteilte Bermnoulli-Experiment mit n=5
⎛5⎞
1. p=0,25; P ( X = 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,25 2 ⋅ 0,75 3 beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass
⎝ 2⎠
von den 5 genau 2 Haushalte aus 3 Personen bestehen.
⎛ 5⎞
2. p=0,4; P ( X > 0) = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,4 0 ⋅ 0,6 5 = 1 − 0,07776 = 92,224%
⎝ 0⎠
Es handelt sich auch hier um ein binomialverteilte Bermnoulli-Experiment mit n=100
1. p=0,4; X=k bedeutet, dass k Haushalte 2 Pesonen haben
• P( X > 40) = 1 − P( X ≤ 40) = 1 − 0,4620 = 53,80%
aus der F(n;p;k)-Binomialtabelle oder Näherung mit μ=40 und
σ=4,89: 1 − Φ (0 ) = 1 − 0,5 = 50%
• P (35 ≤ X ≤ 55) = P( X ≤ 55) − P( X ≤ 34) = 0,9991 − 0,1303 = 86,88% oder
⎛ 55 − 40 ⎞
⎛ 34 − 40 ⎞
Näherung Φ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟ = Φ (3,06 ) − Φ(− 1,225) = 1 − 0,11 = 89%
⎝ 4,89 ⎠
⎝ 4,89 ⎠
2.
p=0,75; X=k bedeutet, dass k Haushalte angetroffen werden:
P( X > 80) = 1 − P( X ≤ 80) = 1 − 0,90 = 10% oder Näherung mit μ=75 und
⎛ 80 − 75 ⎞
σ=4,33: 1 − Φ⎜
⎟ = 1 − Φ (1,154) = 1 − 0,8758 = 12,42%
⎝ 4,33 ⎠
d.
1.
1 ⋅ 14566 + 2 ⋅ 13335 + 3 ⋅ 5413 + 4 ⋅ 4218 + 5 ⋅ 1590
= 2,1 ist eine mögliche
39122
durchschnittliche Haushaltsgröße, eine genaue Angabe ist nicht möglich, weil man
nicht weiß, wie viel Haushalte 5,6,... Personen haben.
2. Es ist aus der Tabelle der Anteil der Haushalte mit 5 und mehr Personen mit 1590
von 39122 bekannt. Dieser kann aber ohne weitere Information nicht
aufgeschlüsselt werden.
© Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de