1. Welche der folgenden Polynome sind separabel? D f(x) = x 3 − x2

1. Welche der folgenden Polynome sind separabel?
f (x) = x3 − x2 − x + 1 in C[x].
f (x) = x7 − 7x2 + 14 in Q[x].
f (x) = xp − 1 in (Z/pZ)[x], wobei p eine Primzahl ist.
√
2. Sei K = Q( 2, ζ3 ), wobei ζ3 eine 3-te primitive Einheitswurzel ist. Welche der folgenden Elemente
sind primitiv für die Körpererweiterung K/Q?
√
2ζ3 .
ζ5 .
ζ3 .
3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig für eine endliche Körpererweiterung L/K?
Wenn L/K eine Galoiserweiterung ist, dann ist L ein Zerfällungskörper eines Polynoms
f (x) ∈ K[x].
Wenn L/K eine normale Körpererweiterung ist, dann ist die Erweiterung L/K separabel.
Wenn L/K eine separable Körpererweiterung ist, dann ist die Erweiterung L/K normal.
4. Sei L/K eine Galoiserweiterung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig für jeden Zwischenkörper K ⊆ F ⊆ L?
L/F ist eine Galoiserweiterung.
F/K ist eine Galoiserweiterung.
F/K ist separabel.
5. Sei L/K eine Galoiserweiterung vom Grad 15 und sei F Fixkörper einer Untergruppe H ≤
Gal(L/K) der Ordnung ord(H) = 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
[F : K] = 3.
[F : K] = 5.
[L : F ] = 5.
6. Gegeben sei ein irreduzibles Polynom f (x) ∈ Q[x] mit einer Nullstelle α in C. Welche der folgenden
Aussagen sind richtig?
Für alle Nullstellen β von f (x) existiert ein Körperhomomorphismus σ : Q(α) −→ C mit
σ(α) = β.
Für jeden Körperhomomorphismus σ : Q(α) −→ C ist σ(α) eine Nullstelle von f (x).
Für alle Nullstellen β von f (x) existiert ein σ ∈ Aut(Q(α)/Q) mit σ(α) = β.
7. Für welche der folgenden Gruppen G gibt es einen zyklotomischen Körper Q(ζ) mit
G∼
= Gal(Q(ζ)/Q)?
G = Z/2Z.
G = Z/3Z.
G = Z/4Z.
8. Welche der folgenden Gruppen sind auflösbar?
(R∗ , · ).
Die Untergruppe erzeugt von i und j von (H∗ , · ) (Quaternionen).
A5 .
9. Welche der folgenden Zahlen lassen sich mit Zirkel und Lineal aus 0 und 1 konstruieren?
e2πi/9 .
e2πi/12 .
√
√
2 + 3.
10. Es sei der Winkel α =
konstruierbar?
β=
β=
β=
π
7
gegeben. Welche der folgenden Winkel β sind aus α mit Zirkel und Lineal
π
.
14
2π
.
7
π
.
18
Bewertungschema:
Punkte:
Note:
1 Punkt wenn alle Antworten einer Frage richtig sind, sonst 0 Punkte
10, 9
8, 7
6, 5
4, 3
2, 1
0
1
2
3
4
5
6