Ausgabe 22 - Zentrum zur Therapie der Rechenschwäche

22
JOURNAL
des Vereins für Lerntherapie und Dyskalkulie e.V.
in Zusammenarbeit mit den Mathematischen Instituten
zur Behandlung der Rechenschwäche
21. AUSGABE, Frühjahr 2014
www.dyskalkulie.de
• Er verliert leicht den Überblick und weiß nicht, an
welcher Stelle im Ablauf des formalisierten Verfahrens er sich gerade befindet.
Die schriftliche Division
(Division Teil 4)
„Wo muss ich das hinschreiben?“
Christiane Graefen,
Institut z. Behandlung der Rechenschwäche München
Fortsetzung von K&Z 19
Überblick
(In Heft 19):
1. Welche Schwierigkeiten beinhaltet die Division?
2. Die beiden Fragestellungen der Division (Grundvorstellungen des Verteilens und des Aufteilens)
3. Welche Operationsvorstellung sollten Schüler entwickeln?
4. Bewegungsgesetze der Division
(In Heft 20):
5. Kopfrechnen: Schließendes Rechnen auch in der
Division
6. Teilen von Zehner- und anderen Stufenzahlen
Im letzten Heft (21):
7. Teilen mit Rest
In diesem Heft (22):
8. Schriftliche Division
1. Probleme
„Wo muss ich das hinschreiben?“ ist die häufig von
Schülern gestellte Frage, welche die Hilflosigkeit gegenüber einem komplexen formalisierten Verfahren
verrät.
• Der Schüler ist irritiert, weil er hier nicht nur horizontal (von links nach rechts), sondern auch
vertikal (von oben nach unten) rechnen muss.
• Er versteht nicht, dass er nicht nur teilen soll, sondern auch minus und mal rechnen muss, und vor
allem versteht er nicht, warum?
©Kopf und Zahl, 22. Ausgabe
• Vor lauter Rechenvorschriften kommt das schriftliche Teilen ihm vor wie eine ganz neue Rechenart. Der Zusammenhang mit dem „normalen“
Teilen (wenn er denn dieses überhaupt beherrscht) ist für ihn nicht erkennbar.
• Im Kampf Ziffer für Ziffer geht die Größenvorstellung verloren. Vor allem, wenn Nullen im Dividenden vorkommen, produzieren die Schüler oft
viel zu kleine Ergebniszahlen (denn „Null ist
nichts, also schreibe ich nichts hin“).
Aus all dem resultiert die große Unbeliebtheit der
schriftlichen Division.
Hier soll versucht werden, durch eine alternative
Herangehensweise dem Verfahren etwas von seiner
Sperrigkeit zu nehmen.
2. Grundsätzliches
Prinzipiell sollte vermieden werden, das Ordnungsschema der schriftlichen Division als nicht weiter
begründbare „Vorschrift“ nahe bringen zu wollen.
„Dann musst du das machen und dann das ...“ führt
zu nachahmender statt verstehender Rechentechnik.
Wichtig hingegen ist der Sinn des schriftlichen
Rechnens: Es geht um Aufgaben mit großen Zahlen,
die man schlecht im Kopf rechnen kann. Die zerlegen wir in kleinere Aufgaben, die wir schon seit der
3 Klasse rechnen können.
Inhalt
Die schriftliche Division – Teil 4 . . . . . . . . . . . 1
„Lass (alle) fünfe gerade sein“
Einer Lebensweisheit mathematisch auf den
Zahn gefühlt����������������������������������������������������� 4
Impressum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Seite 1
Denn schriftlich teilen ist nichts anderes als eine Abfolge von mehrfachem, nach einander erfolgendem
Teilen mit Rest. Geteilt wird der Dividend, indem man
Stelle für Stelle von ihm dividiert. Für die erforderliche Technik kommt nur noch der Stellen-Tausch dazu.
3. Zunächst einstellig
Den Ausgangspunkt bildet die Erklärung zur Schreibweise, wie sie im Artikel „Division“ in Kopf und
Zahl 21, Seite 2 vorgeschlagen wurde.
Bsp.: 9 : 2 = 4
– 8 (schon erledigt: 2 • 4)
=1
Rest *
* (Das Gleichheitszeichen kann später durch den Strich mit gleicher Bedeutung ersetzt werden)
Gerade in einer Aufgabe mit einstelligem Dividenden
kann gut gezeigt werden, wie die Schreibweise organisiert ist: das Ergebnis des Teilens (hier 4) steht wie
immer rechts vom Gleichheitszeichen. Das Weiterrechnen findet nach unten hin statt.
4. Der Akt des Tauschens
Sehen wir an einem Beispiel, wie und wo genau der
Stellentausch passiert, indem wir den bekannten Akt
„die nächste Ziffer herunterschreiben“ in zwei Schritte zerlegen: Bsp.:
450 : 3
Wir beginnen beim größten Stellenwert, der Hunderterstelle:
4 H : 3 = 1 H. Wenn 4-Hundert-€-Scheine auf 3 Personen verteilt werden, bekommt zunächst jeder einen
Hunderter*. Es bleibt 1 H übrig, der noch nicht geteilt
wurde. Als Hunderter können wir ihn nicht teilen. Was
tun? Wir machen den Hunderter klein, indem wir ihn
in 10 Zehner tauschen. Das ist doch unsere zweite
Chance: Als Hunderter können wir den 1 H nicht
mehr teilen, aber die Zehnerstelle ist ja noch dran.
450 : 3 = 1 (für jede Person 1 H)
– 3 H (erledigt)
10
Wir schreiben hinter die 1 (Rest 1 H) eine 0, womit
1 H in 10 Z getauscht ist (das ergibt sich rein durch die
Stellenschreibweise). Bevor wir es mit dem Teilen der
nunmehr 10 Z noch einmal versuchen, nehmen wir die
5 Z - aus dem ganz praktischen Grund, dass die Zehnerstelle jetzt zum Teilen ansteht - in der Ausgangszahl
noch dazu. Jetzt haben wir 15 Z, die wir durch 3 teilen.
450 : 3 = 1 (für jede Person 1 H)
– 3 H (erledigt)
15 (10Z + 5Z)
und jetzt geht es. Ergibt noch 5 Z für jeden. 450 : 3 = 15...
Dieses Beispiel sollte verdeutlichen, wie elegant das
Tauschen des nicht geteilten Rests in den nächst kleiSeite 2 neren Stellenwert funktioniert. Wir alle haben es so
gelernt, dass sogleich die nächste Ziffer neben die
Rest-Ziffer geschrieben wird. Aber rein logisch setzt
dies ja schon voraus, dass dort eine zweistellige Zahl
- eigentlich - steht. Denn sonst hieße es ja in unserem
Beispiel 1 + 5 = 6... Anders gesagt: Die jeweils neu zu
teilende Zahl ist eine Kombination (Addition) des in
eine kleinere Stelle getauschten Rests der vorherigen Teilung
und der neuen, noch nicht geteilten Stelle der zu teilenden Zahl. Darauf sollte man Wert legen.
Alle anderen Rechenarten leisten nur Hilfsdienste für
diesen einen Hauptgesichtspunkt. Damit sollen die
Fragen erledigt werden „Wann muss ich minus ...,
wann mal ...“.
Deshalb sollten zugleich die anderen beteiligten Rechenarten, nämlich Minus (die bereits geteilte Zahl
wird abgezogen) und Mal (damit wird die tatsächlich
geteilte Zahl ermittelt) möglichst wenig betont werden. Beim Schüler soll im Rahmen des Möglichen
nicht der Eindruck vorherrschen, dass er hier immer
3 Rechenarten anwenden muss. Minus und Mal sind
lediglich Hilfsmittel, die sich aus der Verfolgung der
Logik des Teilens mit Rest ergeben.
In der Beispielrechnung müssen wir noch 0 : 3 rechnen. Auch das kann diskutiert werden: Angenommen,
0 geteilt durch „geht nicht“, was viele Schüler glauben, dann könnten wir nichts rechnen und keine Ergebnisziffer notieren. Bei 450 : 3 käme heraus: 15.
Das kann natürlich nicht sein, da die zehnmal so große
Zahl zu dividieren ist wie bei 45 : 3 = 15. Logischer
Weise muss der Quotient auch zehnmal so groß sein.
Also gilt: 0 geteilt durch eine Zahl ist immer 0. Das ist
ein Rechenergebnis und muss wie immer notiert werden. 450 : 3 = 150.
5. Die Anzahl der Stellen beim Quotienten
Das Augenmerk kann bereits bei einstelligem Dividenden auf den Stellenwert gelenkt werden:
Einer : Einer = Einer (das Ergebnis ist einstellig).
Hier kann es aber auch sein, dass das Teilen nicht einmal 1 Mal durchgeführt werden kann, wenn nämlich
der Dividend < Divisor. Dann ist das Ergebnis 0 R Dividend.
Bsp.: 6 : 7 = 0
– 0 (0 · 7)
= 6 Rest
Die Schüler sollen hier erstens verstehen, dass die 0
ein Ergebnis ist, und nicht etwa „nix“. Das Phänomen,
dass das Teilungsergebnis 0 ist, sollte ihnen nicht erst
mitten in einer Aufgabe begegnen, sondern dies sollte
gleich am Anfang anhand von einstelligen Rechnungen thematisiert werden.
Das ist das Prinzip: Jede Stelle wird einzeln geteilt,
und für jedes Teilergebnis muss eine Ergebnisziffer
aufgeschrieben werden.
©Kopf und Zahl, 22. Ausgabe
Zweitens halten wir bezüglich der Anzahl von Stellen
im Ergebnis fest:
Bei einstelligem Dividenden kann das Ergebnis keine
oder eine Stelle haben.
Danach werden 2-stellige Dividenden geteilt, und
hierbei ergibt sich, dass der Quotient entweder eine
oder zwei Stellen hat.
Allgemein gilt: Bei einstelligem Teiler ** hat der Quotient entweder ebenso viele Stellen wie der Dividend oder eine Stelle weniger. Das hängt davon ab, ob sich die erste Stelle teilen lässt
oder nicht.
Dies ist eine Orientierungshilfe für die Schüler und
erlaubt ihnen die eigene Fehlerkorrektur. Die Reflexion: „Wie viele Stellen wird das Ergebnis haben?“ hilft
auch, einen anderen „beliebten“ Fehler zu entdecken:
„Es wäre noch einmal gegangen“ - der Schüler nimmt
in einem Divisionsschritt nicht den größtmöglichen
Quotienten:
Bsp.: 375 : 5 = 615
– 30
75
– 75
0
37 : 5 soll natürlich nicht 6 R 7 ergeben (wenngleich
dieser Fehler, mathematisch betrachtet, keiner ist,
sondern ein Regelverstoß). Beim schriftlichen Rechnen führt das nämlich dazu, dass das Ergebnis eine
Stelle zu viel hat.
Einen solchen Fehler einmal vorzuführen, stellt die
Schüler vor die herausfordernde Frage: Was ist hier
schief gegangen?
6. Spezialfälle
Spezialfall 1: Tauschakt schon an der ersten Stelle
„Ich hole am Anfang gleich zwei Stellen runter“
Bsp.:
616 : 7 =
Weil 6H : 7 sich nicht einmal 1 Mal teilen lässt, sparen
wir Zeit und Umwege, indem wir die 6H gleich tauschen in 60Z und nehmen den 1 Zehner des Dividenden dazu. Dadurch entsteht die Zahl 61 (Zehner), die
durch 7 geteilt werden kann. Der Tauschakt 6H = 60Z
wird durch den Bogen ausdrückt, der über die beiden
ersten Ziffern geschrieben wird.
Spezialfall 2: Nullen im Dividenden
„Von wegen, Null ist nichts!“
Bsp.:
90030 : 3
Vor dem Rechnen wird diskutiert, wie groß in etwa
der Quotient sein muss. Eine Zehntausender-Zahl geteilt durch Einer ergibt wieder eine ZT-Zahl, wenn
sich die erste Stelle teilen lässt.
Das vorstellbare falsche Ergebnis 31 kann besprochen
werden als Beispiel dafür, was passiert, wenn man die
„0“ nicht im Ergebnis notiert.
Weitere Übungen
08 08 131
08 08 134
Division
Division
Schriftliches Teilen
Schriftliches Teilen
Rechne aus:
7 8 1 5 :
5
Rechne aus:
=
5 5 2 0 :
8
=


1 3 9 5
: 9
4 4 8 0
: 7
=
=

3 4 8 0 :
6 =
Wann hat das Ergebnis genau so viele Stellen wie die Ausgangszahl, und
wann hat es eine Stelle weniger?
_____________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Kreuze die richtige Antwort an:
o 0 : 6 = 0.
o 0 : 6 = nix.
©Kopf und Zahl, 22. Ausgabe

0 : 6 geht nicht

0:6=6
Seite 3
Wie bei allen schriftlichen Rechenverfahren ist eine
gewohnheitsmäßige Größenabschätzung vor dem
Ausrechnen anzustreben. Dann sind die Schüler selbst
besser in der Lage, Fehler zu finden, die z. B. durch
schlechtes Untereinander-Schreiben entstanden sind.
* H
ier wird der Verteilgedanke angewandt: Der Teiler gibt die
Anzahl der Teilgruppen an. Bei größerem Divisor wird man
eher den Gedanken des Enthalten-Seins anwenden: 30 : 18 wie
oft ist die 18 in der 30 enthalten.
** Dem neuen Lehrplan sei Dank müssen wir uns in der Grundschule nicht mit mehrstelligen Teilern herumschlagen.
Weitere Übungen
Zum Verständnis kann vor der Einführung der
schriftlichen Division folgende Spielsituation dargestellt werden:
Einer kommt auf die Idee: Er geht zum Wechseln.
Soll er alles wechseln? Nein, es ist ja gar nichts
mehr da, außer der Rest: 1 H
Material: Dezimalsystem-Material, Spielgeldscheine
und -münzen (es gibt nur – wenn als Spielgeld
vorhanden – Zehntausender, Tausender, Hunderter,
Einer. Es ist die „Stellenwert-Bank“)
Er kommt wieder mit 10 Zehnern. Sie werden geteilt, jeder bekommt 2 Zehner, 2 bleiben übrig. Er
geht wieder und kommt mit Einern zurück.
800 € verteilt auf 4 Personen
Acht 100-€-Scheine sollen 4 Personen verteilt
werden. Jeder bekommt 2 Scheine. Kein Problem.
Wir schreiben auf: 800 : 4 = 200 oder: 8 H : 4 = 2 H (Bemerkung: 2 H ist das gleiche wie 20 Z)
Nächste Situation: 4 Personen teilen sich 900 €. Es
gibt neun 100-€-Scheine.
Zunächst bekommt jeder 2 Scheine, ein Schein
bleibt übrig. Was nun? Durchspielen.
Erkenntnis: Nichts anderes ist die schriftliche Division:
• Es wird so oft geteilt, wie Stellen vorhanden sind.
• Es wird so oft getauscht, wie Rest vorhanden ist
Gebraucht wird die schriftliche Division vor allem,
wenn es um große und unübersichtliche Zahlen
geht, bei denen Kopfrechnen schlecht funktioniert.
Diese Aufgaben können wir mit der schriftlichen
Division schrittweise rechnen. (Sie erleichtert also
den Umgang mit Zahlen und erschwert ihn nicht)
„Lass (alle) fünfe gerade sein“
Einer Lebensweisheit mathematisch
auf den Zahn gefühlt
Katja Rochmann, Osnabrücker Zentrum für mathematisches Lernen
Auf diesen gutgemeinten Ratschlag kann
mathematisch betrachtet nur erwidert
werden: „Das wird nie möglich sein!“
Ein Blick in „Meyers Lexikon online 2.0“ verschafft
einen ersten Anhaltspunkt, wieso diese Aufforderung
ins Reich der unerfüllbaren Wünsche gehört. Da
heißt es: „gerade Zahl, eine ohne Rest durch 2 teilbare ganze Zahl.“
Diese Definition enthält zwei wichtige Hinweise. Sie
macht zunächst einmal darauf aufmerksam, dass der
Begriff der „geraden Zahl“ (ebenso wie die „ungerade Zahl“) in den Bereich der kardinalen Zahlen geh���������������������������������������������������
ö��������������������������������������������������
rt. Er bezieht sich auf diejenigen Zahlen, die Anzahlen beschreiben und die die Inklusion aller einzelnen Elemente einer Menge repräsentieren.
Seite 4 Etwas anders ausgedrückt: Eine kardinale Zahl gibt
beim Auszählen der Elemente einer Menge die Gr��
öße der Gesamtanzahl an, die wiederum alle kleineren
Anzahlen enthält. (5=1+1+1+1+1).
Prüfen und anwenden
Eine gerade Zahl muss noch eine weitere Anforderung
erfüllen: Sie lässt sich ohne Rest durch zwei teilen.
Ob eine Zahl dieses Kriterium erfüllt, kann man im
Unterricht anschaulich mit Material überprüfen:
Werden die einzelnen Elemente der Menge (bspw.
mittels Plättchen oder Steckwürfeln) in einer Einszu-Eins-Anordnung ausgerichtet, müssen sich auf
©Kopf und Zahl, 22. Ausgabe
beiden Seiten gleich viele Elemente befinden. Keine
Seite darf ein Element mehr bzw. weniger aufweisen.
negative Resultat. Aber nicht nur dieser Schluss lässt
sich daraus ziehen. Man erhält auch Auskunft, wie es
um die Zahl fünf bestellt ist. Für Zahlen, die das oben
genannte Kriterium nicht erfüllen, gibt es ein eigenes
Adjektiv: ungerade Zahl. Fünf ist eine ungerade Zahl!
• Als mathematische Definition lässt sich ableiten:
Unter der Festlegung von „n“ als Variable gilt für
ungerade Zahlen 2n+1 bzw. für gerade Zahlen 2n.
Diese Materialhandlung korrespondiert mit dem Halbieren, einer Variante des Teilens durch zwei. Hierfür
wird die Gesamtanzahl der Elemente gleichmäßig auf
zwei Häufchen verteilt, indem auf jeden Haufen abwechselnd ein Element gelegt wird, solange der Vorrat
reicht. Bleibt bei dem Verteilungsprozess kein Element
übrig und sind beide Häufchen gleich groß, hat man
Gewissheit, dass die Anzahl eine gerade Zahl war.
Das Überprüfen von Anzahlen kann jeder einzelne
Sch�����������������������������������������������
ü����������������������������������������������
ler im Klassenverband mit Pl������������������
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ttchen, Steckwürfeln etc. durchf��������������������������������������
ü�������������������������������������
hren. Es k���������������������������
ö��������������������������
nnen auch alle Sch��������
ü�������
ler gemeinsam ���������������������������������������
��������������������������������������
bungen vornehmen. So kann bspw. untersucht werden, ob die Anzahl der Schüler in der Klasse
einer geraden oder ungeraden Zahl entspricht: „Findet jeder Schüler einen Partner? Können wir zwei
gleichgroße Mannschaften bilden? Wenn ein neuer
Sch�������������������������������������������������
ü������������������������������������������������
ler in unsere Klasse kommt, ������������������
��������������������
ndert sich dann unsere Schülerzahl von gerade auf ungerade (ungerade
auf gerade)? Weshalb?“ Die Fragestellungen lassen
sich auch geschlechtsspezifisch erforschen, nur für
die Mädchen bzw. nur für die Jungen.
Um das Verst�����������������������������������������
���������������������������������������
ndnis an dieser Stelle in der Lerntherapie abzusichern, stellen wir den Kindern gerne Fragen, die auf ein logisches Schlussfolgern contra stures
Auswendiglernen zielen. Alle nachfolgenden Fragen
erfordern ein sicheres Erkennen von Zahlbeziehungen und deren benutzen, um sie auf der abstrakten
Ebene lösen zu können. Gegebenenfalls kann an den
Praxistest im Klassenverband erinnert werden (M���
�
dchen, Jungen, alle Schüler zusammen).
Die Prüfung kann auch mittels Aufteilen durchgeführt
werden. Von der Gesamtmenge werden immer zwei
Elemente weggenommen. Ergibt sich am Ende kein
Rest von eins, war die Anzahl der Menge eine gerade
Zahl.
Ist das Ergebnis der Addition zweier gerader Zahlen
eine gerade oder eine ungerade Zahl?
Ist das Ergebnis der Addition zweier ungerader Zahlen eine gerade oder eine ungerade Zahl?
Ist das Ergebnis der Addition einer ungeraden
und einer geraden Zahl eine gerade oder eine
ungerade Zahl?
Ist das Ergebnis der Addition fünf ungerader Zahlen
eine gerade oder eine ungerade Zahl?
Diese Fragen sollten auch in einem subtraktiven Zusammenhang beantwortet werden können, bspw.:
Subtrahiert man von einer geraden Zahl eine ungerade Zahl, ist das Ergebnis eine gerade oder eine
ungerade Zahl?
Gleichg������������������������������������������
ü�����������������������������������������
ltig f�����������������������������������
ür���������������������������������
welchen Praxistest man sich entscheidet, die Zahl f����������������������������������
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nf als Repr����������������������
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sentant f������������
ür f��������
���������
ü�������
nf Elemente, besteht keine dieser Pr�����������������������
ü����������������������
fungen. Alle drei Verfahren führen zum gleichen Resultat: Immer bleibt
ein Rest von eins. Die Testergebnisse sind der eindeutige Beleg, dass fünf keine gerade Zahl ist. Soweit das
©Kopf und Zahl, 22. Ausgabe
Wer über diese Kenntnisse verfügt, hat übrigens auch
ein schnelles, grobes Kontrollinstrument hinsichtlich
der Einerstelle beim Addieren und Subtrahieren zur
Hand.
Der nächsten Frage wird gelegentlich der Vorwurf zuteil,
ein „Reinleger“ zu sein. Aber ist sie das wirklich?
Der Postbote verteilt Briefe an die Häuser mit den
Hausnummern „1“, „3“, „5“, „7“, „9“ und „11“.
Seite 5
Hatte er in seiner Tasche Briefe für eine gerade oder
ungerade Anzahl von Häusern?
Wahrscheinlich lauten einige Antworten: „Ungerade!“ Manche davon m�����������������������������
ö����������������������������
gen dem spo ntanen, fl������
ü�����
chtigen Blick auf die Hausnummern geschuldet sein und
mit der Nachfrage „Weißt du, wie viele Häuser es
sind?“ ins rechte Licht ger�������������������������
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ckt werden. Andere beruhen jedoch auf Missverst�����������������������������
���������������������������
ndnissen in der Differenzierung zwischen den unterschiedlichen Zahlaspekten,
den Nominal- und Ordnungszahlen auf der einen
Seite und den kardinalen Zahlen auf der anderen Seite. Interessant ist die Frage, wie sie zustande kommen.
Einen Aspekt wollen wir hier aufgreifen: Sie können
eine Folge von zweideutigem Lernmaterial sein.
Anschauungsmaterial – was ist dabei zu
beachten
So sinnvoll es ist, beim Erlernen mathematischer
Grundlagen Alltagssituationen einzubeziehen, so problematisch ist es, wenn sich der vorgestellte Praxisbezug im Widerspruch zu den zu vermittelnden Kenntnissen befindet und den zu erlernenden Inhalt konterkariert. Hierzu ein Beispiel, dass immer wieder in
Materialsammlungen anzutreffen ist. Stellvertretend
eine Abbildung aus einem Schulbuch:
(Denken und Rechnen 1 S. 85, Ausgabe 2005, Bildungshaus Schulbuchverlage Braunschweig)
Dieses abenteuerliche Konstrukt ist eine irreführende
Darstellung von geraden und ungeraden Zahlen. Es
lädt zu Verwechselungen ein und bedient sich einer
Illustration, die Widerspr�������������������������
ü������������������������
che durch die Gleichsetzung von Zahlaspekten zustande bringt, wo es doch
um genau deren sorgsame Unterscheidung geht.
Die abgebildeten Nummern sind das Ergebnis einer
vorab festgelegten Nummerierung der Häuser, um
ein Haus qua Benennung von einem anderen unterscheidbar zu machen. Die Begrifflichkeiten „gerade/
ungerade Zahl“ werden den Zahlen der Menge entlehnt, das Kriterium der Anzahl ist in obigen Bebilderung jedoch vollkommen ohne Bedeutung. Zahlen
werden hier als Kategorien zur eindeutigen Bezeichnung von Objekten benutzt. Alternativ könnte man
auch Buchstaben verwenden. Wird ein Haus abgerisSeite 6 sen, verändert dies nicht die Nummerierung. Hier
spielt ein wichtiger Unterschied zwischen Ordinalund Kardinalzahlen hinein: Ordinalzahlen bezeichnen immer ein Element in einer Reihenfolge, Kardinalzahlen bedeuten ungeordnet eine bestimmte, von einander unterscheidbare Anzahl. Wohlgemerkt:
Zum Haus Nummer „2“ könnte man allenfalls sagen,
es ist ein Haus, ebenso wie Nummer „7“ oder Nummer „10“.
Bei jeder Anschauung, ob bildhaft oder handelnd,
ist zu bedenken, dass die Darstellung gerader und
ungerader Zahlen auf Kardinalzahlen basieren muss.
Nur so können tragfähige Assoziationen zu geraden
und ungeraden Zahlen geschaffen werden.
Problembereich Dezimalsystem
Noch einen weiteren Gesichtspunkt möchten wir als
Diskussionsanstoß zum Thema machen: Gerade und
ungerade Zahlen sind, wenn auch nur kurz, Stoff der
ersten Klasse. In den Unterrichtswerken der zweiten
Klassenstufe findet sich dazu in der Regel kein Kapitel. Auch der Stoffplan Klasse 2 enthält dieses Thema
nicht. Dabei wirft das Stellenwertsystem hierzu
durchaus neue Überlegungen auf.
Sarah aus der zweiten Klasse wird in der F���������
ö��������
rderdiagnostik die Frage gestellt: „Ist 47 eine gerade oder
eine ungerade Zahl?“ Sie ist zunächst ratlos, guckt
eine Weile in die Luft und murmelt schließlich leise
Zahlenreihen vor sich hin. „Vorne ist es gerade und
hinten ungerade. 47 ist beides!“ Der Zahlraum über
zehn enth���������������������������������������������
�������������������������������������������
lt f����������������������������������������
ür Sarah
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Zahlen, die weder eindeutig gerade noch ungerade sind. Sie betrachtet eine zweistellige Zahl als zwei Zahlen. 47 ist eine 4 „vorne“ und
eine 7 „hinten“. Bei 46 und 37 ist die Entscheidung
einfach, da sich sowohl an der Zehner- als auch an der
Einerstelle Ziffern befinden, die für Sarah ein sicheres
Signal für die Zuordnung dieser zweistelligen Zahlen
bedeuten: „46 ist gerade und 37 ist ungerade.“
Auch Jannis aus der gleichen Klassenstufe bekommt
diese Frage vorgelegt. Sein Gesichtsausdruck verrät
sofort, dass ihm die Antwort gleichfalls nicht leicht
fällt. „Das hatten wir noch nicht in der Schule!“ ist
seine erste Reaktion. Da Jannis sein Schulbuch aus der
ersten Klasse dabei hat, werfen wir dort einen Blick
hinein und werden fündig. „Ach, du meinst das mit
den Steckwürfeln. Man muss immer zwei W���������
ü��������
rfel zusammenstecken. Bleibt keiner alleine, ist es gerade.“
sagt Jannis und deutet auf nachfolgendes Beispiel, das
im Basiszahlraum der Klasse 1 eine Handreichung für
Erprobung und Erkl���������������������������
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rung zum Thema „Gerade/Ungerade“ Zahlen bietet. Inhaltlich entspricht es der eingangs ausgeführten ersten Prüfung.
©Kopf und Zahl, 22. Ausgabe
Musst du bei 15, 27, 17, 88 und 99 noch neu
überlegen. Wenn nein, warum nicht? Begründe
dein e Antwort.
Klaus sagt, um zu wissen, ob eine Zahl gerade
oder ungerade ist, muss man nur auf die Einer
achten. Hat er recht? Überlege: 18, 33, 38?
(Denken und Rechnen 1 S. 87, Ausgabe 2007, Bildungshaus Schulbuchverlage Braunschweig)
Diese �����������������������������������������
������������������������������������������
bungseinheit m���������������������������
ü��������������������������
ndet vielleicht in die Abschlussfrage:
Dieser Rückblick macht Jannis die Entscheidung über
die Zahl „47“ nicht wirklich einfacher. Er zählt 47 einzelne Steckwürfel ab und bildet Zweierpärchen wie in
der Abbildung im Schulbuch. Die M����������������
ü���������������
he hat sich gelohnt. Am Ende steht die Antwort auf meine Frage fest.
Es ist ein Würfel übrig geblieben: „47 ist ungerade!“
Angesichts des Aufwandes, den Jannis betreiben musste, wird auf die Klärung von „46“ und „37“ verzichtet.
Klaus sagt außerdem: „Egal wie groß eine Zahl ist,
um zu wissen, ob sie gerade oder ungerade ist,
muss man nur auf die Anzahl an der Einerstelle achten!“ Was hat er sich überlegt? Hat er recht?
Prüfen und anwenden im Dezimalsystem
Sarahs ��������������������������������������������
���������������������������������������������
berlegungen lassen vermuten, dass sie grundlegende Elemente des Dezimalsystems noch nicht verstanden hat, wie die Bedeutung der Ziffern in einer
zweistelligen Zahl. Jannis Vorgehen macht darauf aufmerksam, wie unpraktisch sich ein Verfahren aus dem
Zahlbereich bis zehn für den erweiterten Zahlenraum
erweist. Mit Sch���������������������������������
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lern wie Jannis w���������������
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re daran anzukn�������������������������������������������������
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pfen, dass zehn eine gerade Zahl ist. Die Steckwürfel aus der Übersicht im Schulbuch sind stellvertretend f��������������������������������������������
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die Einer der jeweiligen Zahl. Zu besprechen wäre, dass ein Zehner ein anzahlmäßiges
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quivalent zu zehn Einern darstellt. Zehn Einer k���
ö��
nnen so geordnet werden, dass jedes Element einen
Partner findet. Wenn zehn Einer eine gerade Zahl
repräsentieren, dann ist auch ein Zehner eine gerade
Zahl, denn er ist nichts anderes als die Bündelung von
zehn Einern zu einer neuen Einheit. Wie verhält es
sich dann mit zwei Zehnern, drei Zehnern etc.? Wenn
ein Zehner eine gerade Zahl darstellt, dann ist jede
beliebige Anzahl von Zehnern eine gerade Zahl!
Im Unterricht k���������������������������������
ö��������������������������������
nnen dazu folgende �������������
������������
bungen er���
ö��
rtert werden:
Ist ein Zehner eine gerade oder ungerade Zahl?
Überprüfe!
Sind drei Zehner eine gerade oder eine ungerade
Zahl. Achtung, du musst die Zehner erst in Einer
verwandeln.
Verein für Lerntherapie und Dyskalkulie e.V.
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www.dyskalkulie.de
E-Mail:
[email protected]
©Kopf und Zahl, 22. Ausgabe
In der Konsequenz fordert die Beurteilung dieser
Behauptung dazu auf, den erarbeiteten Inhalt noch
einmal aus einer anderen Perspektive zu betrachten.
Allerdings, ohne Sicherheit im ersten Lernschritt –
jede beliebige Anzahl von Zehnern ist eine gerade
Zahl, weil jeder Zehner zehn Einern entspricht –,
können Schüler den zweiten Schritt nicht vollziehen
– egal wie groß eine Zahl ist, man muss nur auf die
Anzahl an der Einerstelle achten.
Der hier verlangte logische Schluss erfordert die
Übertragung des Grundgedankens von den Zehnern
auf alle anderen höherwertigen Stellen. Wenn jeder
Zehner eine gerade Zahl ist, dann ist auch jeder Hunderter eine gerade Zahl, weil zehn Zehner einem
Hunderter entsprechen, da unserer Stellenwertsystem
auf dem dezimalen B����������������������������
ü���������������������������
ndelungsprinzip beruht: Jeweils zehn der niederwertigeren Einheit kann ich zu einem der
nächsten höherwertigeren Einheit bündeln (10 · 1 = 10,
10 · 10 = 100).
Diese Schlussfolgerung führt in der sechsten Klasse
zur Ableitung einer „Rechenregel“, deren Fundament
im Stoff der ersten/zweiten Klasse liegt: Die Endstellenregel zur Teilbarkeit durch 2.
• Eine Zahl ist immer dann ohne Rest durch zwei
teilbar, wenn sie eine gerade Zahl ist, d. h. auf 0,
2, 4, 6 oder 8 endet.
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Herausgeber: Verein für Lern- und Dyskalkulietherapie,
München, Brienner Straße 48
Redaktion: Alexander v. Schwerin (verantwortlich),
Beate Lampke, München
Christian Bussebaum, Elke Focke, Düsseldorf;
Wolfgang Hoffmann, Dortmund; Rudolf Wieneke, Berlin
Layout und Satz: Schmidt Media Design, München
Seite 7
Zentrum zur Therapie der Rechenschwäche
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Telefon: 030/82 70 97 86
Berlin-Nord/West - Reinickendorf
(ZTR Oberhavel)
Hauptstr. 36, 16547 Birkenwerder
Tel.: 0 33 03/40 74 85
Berlin-Nord/Ost - Buch/Karow
(ZTR Barnim)
Niederbarnimallee 75
16321 Bernau/Waldsiedlung
Tel.: 0 33 03/40 74 85
Berlin-Süd/Ost - Schönefeld/Köpenick
(ZTR Königs Wusterhausen)
Bahnhofstr. 7c, 15711 Königs Wusterhausen
Tel.: 030/62 20 72 68
Berlin-Süd/West - Wannsee
(ZTR Potsdam)
Hebbelstr. 12, 14469 Potsdam
Alt Nowawes 36, 14482 Potsdam
(ZTR Kleinmachnow)
Ernst-Thälmann-Str. 99, 14532 Kleinmachnow
über Tel.: 03 31/550 77 67
Niederlassungen des ZTR finden Sie in allen neuen Bundesländern:
ZTR Potsdam
Hebbelstr. 12, 14469 Potsdam
Tel.: 03 31/550 77 67
ZTR Chemnitz/Zwickau
Zöllnerplatz 10, 09111 Chemnitz
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ZTR Halle
Reichardtstr. 14, 06114 Halle
Tel.: 03 45/522 05 72
ZTR Dessau/Wittenberg
Alexandrastr. 25, 06844 Dessau
Tel.: 03 40/661 58 15
ZTR Leipzig
Kreuzstr. 3b, 04103 Leipzig
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ZTR Magdeburg
Arndtstr. 53, 39110 Magdeburg
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ZTR Jena
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