324. Montagsgespräch am 2. März 2015 „Theorie und

324. Montagsgespräch am 2. März 2015
„Theorie und Spiel der Primzahlen“
Dr. Jutta Köhler
Hauptthema der Reihe: Musik der Mathematik
Musiklabor / Echtzeithalle / Hochschule für Musik und Theater, München.
Carl Orff Auditorium München, Luisenstr. 37a. Beginn jeweils 19 Uhr.
http://www.die23er.de/
Ist es nicht auffällig, dass 23 - die Zahl Dreiundzwanzig - The Number 23
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die erste Primzahl ist, die sich aus zwei anderen Primzahlen (2, 3) zusammensetzen lässt,
Euklid genau 23 Axiome für die Geometrie aufstellte,
die letzten zwei Stellen aus der Quadratwurzel von 23 (4,79583123) auch 23 sind,
die Quersumme der Zahl PI bis zur 5. Stelle nach dem Komma (3,14159 ... 3+1+4+1+9+5 = 23) 23 ist,
0-8-15 für den absoluten Durschnitt steht, 0+8+15 = 23,
jede in ASCII-Code kodierte Textzeile mit CrLf abgeschlossen wird und Cr und Lf die ASCII-Codes 10 und 13 sind
was zusammen 23 ergibt,
die Erdachse um 23,5 Grat geneigt ist, das Jahr 13 Monde hat und die Woche 7 Tage,
die Teilchenzahl pro Stoffmenge eines Mols 6 mal 10 hoch 23 beträgt,
Vanadium, das 23. Element im Periodensystem, gern alle 5 Oxidationsstufen nutzt
von den über 200 bekannten Aminosäuren genau 23 auch die Bausteine der Proteine bilden,
der Mensch 23 Chromosomen, 23 Bandscheiben hat, sowie 32 Zähne (umgekehrte 23)
Cäsars Ermordung das Resultat von 23 Messerstichen war,
das Lateinische Alphabet 23 Buchstaben hat,
die Offenbarung des Johannes aus 23 Kapiteln besteht,
der 23. Vers im 23. Kapitel des Lukas-Evangelium die Forderung nach der Kreuzigung von Jesus beinhaltet
die Titanic am 15.4.1912 untergegangen ist (1+5+4+1+9+1+2=23),
das bayerische Reinheitsgebot von 1516 am 23. April erlassen wurde,
Bayern genau 23 Oberzentren hat und Wien genau 23 Stadtbezirke
die russische Februarrevolution von 1917, welche das Zarentum beendete und dem Kommunismus den Weg
ebnete, am 23. des Monats begann,
der Erste Weltkrieg am 11.11.1918 endete (1+1+1+1+1+9+1+8 = 23),
bei jedem Fußballspiel zusammen mit dem Schiedsrichter 23 Personen auf dem Platz sind ?
Dornröschen, 12 Feen und 13. Fee
„Henry Meynell Rheam - Sleeping Beauty“ von Henry Meynell Rheam Lizenziert unter Gemeinfrei über Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Henry_Meynell_Rheam__Sleeping_Beauty.jpg#mediaviewer/File:Henry_Meynell_Rheam__Sleeping_Beauty.jpg
„Dornröschen“ von Alexander Zick, upload by Adrian Michael - Märchen, Grot'scher Verlag, Berlin 1975. Lizenziert unter
Gemeinfrei über Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dornr%C3%B6schen.jpg#mediaviewer/File:Dornr%C3%B6schen.jpg
Technik: die 23-flügelige Pelton Turbine
Schnelldrehende Maschinenteile mit
einer Anzahl von Flügeln werden nicht
nur durch die Fliehkraft, sondern auch
durch Querschwingungen der Flügel
stark belastet.
Ist die Anzahl der Flügel eine Primzahl,
können sich solche Querschwingungen
mangels Symmetrie kaum über den
ganzen Drehkörper ausdehnen.
Wasserkraftwerk Walchensee
„Kartell Kraftwerk, Pelton Turbine“ von Siegele Roland - Siegele Roland. Lizenziert unter
Gemeinfrei über Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kartell_
Kraftwerk,_Pelton_Turbine.jpg#mediaviewer/File:Kartell_Kraftwerk,_Pelton_Turbine.jpg
Primzahlmatrix
matrix([[primzahlen[i*10+k] $ k=1..10] $ i=0..((pz div 10)-1)])
http://haftendorn.uni-lueneburg.de/krypto/teiler-prim/teiler-prim4.html
Eigenschaften der Primzahlen
(lat. numerus primus)
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0 und 1 sind nicht prim
sind (außer 2) immer ungerade, natürliche Zahlen
enden auf 1, 3, 7 oder 9
haben genau 2 Teiler, 1 und sich selbst
haben keine 6 als Quersumme
treten unregelmäßig auf
häufig als Zwillinge mit Abstand 1 bzw. Differenz 2,
seltener als Drillinge, Vierlinge usw.
Gerade und ungerade Zahlen, Parität
Definition
Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie ohne Rest durch zwei teilbar ist;
andernfalls heißt sie ungerade. Die Menge der ganzen Zahlen wird dadurch in
zwei gleichmächtige disjunkte Teilmengen zerlegt.
Diese Parität (von lateinisch: paritas „Gleichheit, gleich stark“) ist bei vielen
Fragestellungen eine hilfreiche Invariante und zählt zu den wichtigen
Hilfsmitteln in der elementaren Zahlentheorie.
Eine natürliche oder ganze Zahl heißt gerade, wenn sie durch Zwei teilbar ist,
ansonsten ungerade. Gerade Zahlen werden durch +/-2k charakterisiert,
ungerade Zahlen durch +/-2k+1für beliebiges k e N0. Dementsprechend wird
die Null als gerade angesehen.
Das heißt, ungerade Zahlen hinterlassen bei Division durch 2 stets einen Rest
von 1, gerade Zahlen den Rest 0. Sie werden also durch ihre prime Restklasse
modulo Zwei charakterisiert.
http://de.wikipedia.org/wiki/Parit%C3%A4t_%28Mathematik%29
Sieb des Eratosthenes, 3. Jhd. v. Chr.
Einer der ältesten Algorithmen zur Bestimmung von Primzahlen ist das
Sieb des Eratosthenes. Es ist ein Algorithmus zur Bestimmung einer
Liste oder Tabelle aller Primzahlen kleiner oder gleich einer
vorgegebenen Zahl.
Er ist nach dem griechischen Mathematiker Eratosthenes von Kyrene
benannt. Allerdings hat Eratosthenes, der im 3. Jahrhundert v. Chr.
lebte, das Verfahren nicht entdeckt, sondern nur die Bezeichnung
„Sieb“ für das schon lange vor seiner Zeit bekannte Verfahren
eingeführt.
Bis heute ist kein effizienter Primzahlgenerator bekannt. Es gibt
allerdings Formeln, bei denen eine gewisse Wahrscheinlichkeit
besteht, dass die erzeugten Zahlen prim sind. Solche Zahlen müssen
nachträglich noch auf ihre Primalität getestet werden.
http://de.wikipedia.org/wiki/Sieb_des_Eratosthenes
Das Sieb des Eratosthenes
„Sieve of Eratosthenes animation“. Lizenziert unter CC BY-SA 3.0 über Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif#mediaviewer/File:Sieve_of_Erat
osthenes_animation.gif
More, lat. mora „Zeitraum“
Ist in der antiken Verslehre ein Maß für die
Silbenquantität und
in der Phonologie eine Maßeinheit für das
Silbengewicht.
Beide Begriffe entsprechen sich weitgehend. Der
wesentliche Unterschied ist, dass in der Phonologie
die Morigkeit eine Eigenschaft der Silbe an sich
bemisst,
im Unterschied zur antiken Silbenquantität, die eine
Eigenschaft der Silbe im Kontext des Verses ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Mora_%28Einheit%29
Antike quantitierende Metrik
In der antiken quantitierenden Metrik der Griechen entsprach der
lateinischen Mora die Zeiteinheit chronos protos (χρόνος πρῶτος „erste Zeit“,
„Grundzeit“) bzw. deren Vielfache.
Im Versmaß entsprach von der Dauer her dem chronos protos bzw. der Mora
das Verselement elementum breve, der doppelten Länge das elementum
longum bzw. das elementum anceps mit der Dauer 2 Moren bzw. chronos
disemos (δισεμος „zwei Zeichen“) usw.
Die Zeitwerte sind dabei nicht absolut, sondern relativ zum jeweiligen
Grundtempo. Sie gleichen damit der musikalischen Tondauer, wobei eine
Mora dem Notenwert einer Viertelnote gleichgesetzt wird.
Die folgende Tabelle zeigt die verschiedenen griechischen Bezeichnungen der
Quantitäten mit den jeweiligen Symbolen der metrischen Notation:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mora_%28Einheit%29
Metrische Notation
Moren
Notenwert
Zeichen
Name
Umschrift
1
¼
◡
χρόνος πρῶτος
chrónos prōtos
2
½
╶─╴
χρόνος δισεμος
chrónos
disemos
3
¾
└──╴
χρόνος
τρίσεμος
chrónos
trísemos
4
1
└───┘
χρόνος
τετράσεμος
chrónos
tetrásemos
5
1¼
└─┴─┘
χρόνος
πεντάσεμος
chrónos
pentásemos
http://de.wikipedia.org/wiki/Mora_%28Einheit%29
Gesetz der Verteilung von Wortlängen und
Linguistische Synergetik
x: Zahl der Silben pro Wort, n(x) Zahl der Wörter mit x Silben; NP(x) Zahl der Wörter mit
x Silben, berechnet. Im Japanischen bezieht sich das auf Moren anstatt Silben.
JAPANISCH
1-verschobene Binominal-Verteilung
DEUTSCH
Hyperpoisson-Verteilung
x
n(x)
NP(x)
x
n(x)
NP(x)
1
522
521,4
1
6
9,06
2
250
247,56
2
109
129,36
3
87
92,69
3
661
615,47
4
32
28,64
4
954
976,10
5
7
7,53
6
2
2,18
http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_Verteilung_von_Wortl%C3%A4ngen#Weitere_Befunde
Haiku mit
5 – 7 – 5 = 17 Moren
Nach sieb_zehn Jah_ren
er_wa_chen die Zi_ka_den
zu neu_em Le_ben…
Lebenszyklus von Zikaden: 17 Jahre
Zikaden entkommen damit den Lebenszyklen (2,4,6 Jahre) ihrer Fressfeinde
Lied mit
5 – 7 – 3 = 15 Silben
Wild_gän_se rau_schen
durch die Nacht, mit schrill_em Schrei
nach Nor_den…
Primzahlen in der Mathematik
Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede
positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen
schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge
der Faktoren eindeutig. Zum Beweis dient das
Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen
durch eine Primzahl teilbar, so ist mindestens einer der
Faktoren durch sie teilbar. Beispiel: 12=3x4
• Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher
Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen.
• Diese Eigenschaften werden in der Algebra für
Verallgemeinerungen des Primzahlbegriffs genutzt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl
Primfaktorzerlegung
Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive ganze Zahl
lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und diese Darstellung
ist bis auf die Reihenfolge der Primzahlen eindeutig. Diese Primzahlen
nennt man die Primfaktoren der Zahl.
Man kennt bisher keine Methode, um die Primfaktorzerlegung einer
beliebigen gegebenen Zahl effizient zu bestimmen, d. h. in einer Zeit,
die polynomiell mit der Länge der Zahl wächst. Die
Faktorisierungsannahme besagt, dass es eine solche Methode auch
nicht gibt. Man versucht, die benötigte Rechenzeit mit geeigneten
Faktorisierungsverfahren zu minimieren.
Aufgrund dieses Satzes, also dass sich jede natürliche Zahl größer 0
durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen lässt, nehmen
die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik
ein. Alexander K. Dewdney bezeichnete diese als den Elementen der
Chemie weitgehend ähnlich.
Divergenz der Summe der Kehrwerte
Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent.
Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Folge
keinen endlichen Grenzwert besitzt, was wiederum
bedeutet, dass sich für ein genügend groß gewähltes n
jede erdenkliche reelle Zahl übertreffen lässt.
Dies ist zunächst einmal verblüffend, da die
Primzahllücken im Schnitt immer weiter zunehmen. Der
Satz von Mertens trifft eine Aussage über das genaue
Wachstumsverhalten dieser divergenten Reihe.
Schranken
Die (bewiesene) Bonsesche Ungleichung
garantiert, dass das Quadrat einer Primzahl
kleiner ist als das Produkt aller kleineren
Primzahlen (ab der fünften Primzahl).
Nach der (unbewiesenen) Andricaschen
Vermutung ist die Differenz der Wurzeln der nten und der (n+1)-ten Primzahl kleiner als 1.
Primzahllücken (z.B. Zwilling 17/19)
Die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen heißt
Primzahllücke. Diese Differenz schwankt, und es gibt Primzahllücken
beliebiger Größe. Es gibt aber auch Beschränkungen für die
Lückengröße in Abhängigkeit von ihrer Lage:
Der Satz von Bertrand sichert die Existenz einer Primzahl zwischen
jeder natürlichen Zahl n und ihrem Doppelten 2n.
Nach der (unbewiesenen) Legendreschen Vermutung gibt es stets
mindestens eine Primzahl zwischen n2 und (n+1)2.
Der Satz ist bisher unbewiesen.
Die analoge Vermutung für Kubikzahlen bewies Albert Ingham: Für
jedes hinreichend große n liegt zwischen n3 und (n+1)3 mindestens
eine Primzahl.
Primzahllücken/Abstände
Nach der Brocardschen Vermutung (benannt
nach Henri Brocard, 1845-1922) gibt es für jedes
n>1 mindestens vier Primzahlen p zwischen (pn)2
und (pn+1)2
Beispielsweise liegen zwischen den Quadraten
von 3 und 5, also 9 und 25, die fünf Primzahlen
11, 13, 17, 19, 23.
Auch diese Vermutung ist unbewiesen.
Größte bekannte Primzahl
Der Grieche Euklid (400 v. Chr.) hat logisch geschlussfolgert, dass es unendlich viele
Primzahlen gibt; diese Aussage wird als Satz von Euklid bezeichnet. Euklid führte einen
Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses Satzes (Elemente, Buch IX, § 20): Ausgehend
von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, lässt sich eine weitere Zahl
konstruieren, die eine bisher nicht bekannte Primzahl als Teiler hat, oder selbst eine Primzahl
ist, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt. Somit kann eine endliche Menge niemals
alle Primzahlen enthalten, also gibt es unendlich viele. Heute kennt man eine ganze Reihe von
Beweisen für den Satz von Euklid.
Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Es ist jedoch kein Verfahren
bekannt, das effizient beliebig große Primzahlen generiert – deshalb gab es stets eine jeweils
größte bekannte Primzahl. Derzeit ist es eine Zahl mit 17.425.170 (dezimalen) Stellen, die
am 25. Januar 2013 mit einem CPU-Cluster der mathematischen Fakultät an der University
of Central Missouri berechnet wurde. Für den Entdecker Dr. Curtis Cooper gab es für den Fund
3.000 US-Dollar vom Projekt Great Internet Mersenne Prime Search, das MersennePrimzahlen mittels verteiltem Rechnen sucht.
Die größte bekannte Primzahl war fast immer eine
Mersenne-Primzahl, also von der Form 2n-1 da in diesem Spezialfall der Lucas-Lehmer-Test
angewendet werden kann, ein im Vergleich zur allgemeinen Situation sehr schneller
Primzahltest. Bei der Suche nach großen Primzahlen werden deshalb nur Zahlen dieses oder
eines ähnlich geeigneten Typs auf Primalität untersucht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl
Die fünf Platonischen Körper
Die fünf platonischen Körper als Kunstobjekte im Bagno Steinfurt.
Das Steinfurter Bagno ist eine Parkanlage bei Burgsteinfurt in Nordrhein-Westfalen. Vom Grafen Karl
Paul Ernst von Bentheim-Steinfurt 1765 gegründet, entstand der Park vor dem Schloss Burgsteinfurt
http://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper
Atomorbitale 1, 3, 5, 7……
http://www.google.de/imgres?imgurl=http%3A%2F%2Fwww.zum.de%2FFaecher%2F
Materialien%2Fbeck%2Fchemkurs%2Fbilder%2Fforb.gif&imgrefurl=http%3A%2F%2F
www.zum.de%2FFaecher%2FMaterialien%2Fbeck%2Fchemkurs%2Fcs11-8.htm&h=338&w
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Die Feinstrukturkonstante 1/137
Die dimensionslose Zahl 1/137
wurde 1916 von Arnold
Sommerfeld (1861-1951) als
Kopplungskonstante zwischen
den Kräften eines Photons und
eines Elektrons entdeckt.
Diese „Feinstrukturkonstante“
prägt daher die Geometrie des
Universums.
„Sommerfeld-Muenchen“ von Foto: Benutzer:Donaulustig. Büste: Theodor Georgii. –
Selbst fotografiert. Lizenziert unter Gemeinfrei über Wikimedia Commons –
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sommerfeld-Muenchen.jpg#mediaviewer/File:
Sommerfeld-Muenchen.jpg