Zahlen von besonderem Interesse

PRO–SEMINAR ZUR ANALYSIS
29.05.2006
Zahlen von besonderem Interesse
Seit vielen Jahren hat man versucht geschickte Bildungsgesetze für Primzahlen anzugeben.
EULER zeigte, dass das Polynom f ( X ) = X 2 − X + 41 ∈ Z [ X ]
Primzahlen erzeugt für alle n ∈ Z mit − 39 ≤ n ≤ 40 .
Gibt es also ein Polynom, das nur Primzahlen erzeugt
oder alle Primzahlen erzeugt?
Bsp.:
Frage:
1) Satz:
Lemma:
Sei f ( Χ) ∈ Z [Χ ] nicht konstant.
Dann gibt es a, b ∈ Z mit a ≠ 0 ,
so dass f (ak + b) ∉ P für alle k ∈ Z .
Für 0 ≠ n ∈ Z und d ∈ Z gilt:
a) Ist d ein Teiler von n , so gilt 1 ≤ d ≤ n .
b) Ist d ein echter Teiler von n , so gilt 1 < d < n .
Beweis
Sei f ( X ) = a n X n + ... + a0
mit a n ≠ 0 , n ≥ 1 , deg( f ) = n
Dann nimmt f jeden Wert höchstens n -mal an.
Daher existiert ein x0 ∈ Z mit y0 = f ( x0 ) ∉{0,1,−1}
f ( x0 + y 0 k )
= an ( x0 + y0 k ) n + ... + a1 ( x0 + y0 k ) + a0
n
n
= a n ⋅ ∑  x0n − k y 0k + ... + a1 x0 + a1 y 0 k + a0
k =0  k 
= a n x n + ... + a1 x
+ y 0 ⋅ (...)
144244
3
f ( x0 )
= f ( x0 )
= y0
= y0 (1 + g (k ))
mit
+ y 0 ⋅ g (k )
+ y 0 ⋅ g (k )
g ( X ) = an ⋅ y0n−1 ⋅ X n + ... ∈ Z [ X ] und deg( g ) = n
Es ex. ein m ∈ N mit g (k ) ≥ 3
∀k ≥ m
Also ist y0 echter Teiler von f ( x0 + y0 k ) ∀ k ≥ m
y0 y 0 (1 + g (k ))
Jochen Nehrings
Wähle dann a = 2my0 , b = x0 + my0 und es folgt
f ( a ⋅ l + b)
= f ( x0 + y0 ⋅ (2⋅l +1)⋅m) mit
(2 ⋅ l + 1) ⋅ m ≥ m
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
∈N
= y0 + y0 ⋅ g ((2 ⋅ l + 1) ⋅ m) ,
also y0 f (a ⋅ l + b) und daraus folgt f (a ⋅ l + b) ∉ P .
Ein andere Weise, Primzahlen zu konstruieren geht auf FERMAT zurück.
Wenn 2 m + 1, m ∈ N eine Primzahl ist,
2) Lemma:
dann ist m eine Potenz von 2 , d.h. m = 2 n , n ∈ N 0 .
Beweis
Sei m = k ⋅ l , k = 2 n , n ∈ N 0 , l ∈ N ungerade
und mit der geom. Summenformel gilt dann
2 m + 1 = 2 k ⋅l + 1
= 1 + (2 k ) l = 1 − (−2 k ) l
l −1
= (1 − (−2 k )) ⋅ ∑ (−2 k ) j
j =0
l −1
= (2 k + 1) ⋅ ∑ (−2 k ) j
j =0
Daraus folgt (2 k + 1) (2 m + 1) und da 2 k + 1 > 1 , 2 m + 1 ∈ P gilt
2 k + 1 = 2 m + 1 und man erhält m = k = 2 n und l = 1 .
n
Für n ∈ N 0 heißt Fn := 2 2 + 1 die n-te FERMATsche Zahl.
3) Definition:
Ist Fn eine Primzahl, so spricht man von einer FERMATschen Primzahl.
F0 = 3
Bsp.:
Aber:
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537
∈P
F5 = 232 + 1 ∉ P
Anwendung findet dies in der Algebra ...
4) Satz v Gauß:
Das regelmäßige n-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal
konstruierbar, wenn n von der Form n = 2 s ⋅ t ist, wobei s ∈ N 0 und
t =1
oder
ein Produkt verschiedener FERMATscher Primzahlen ist.
Das größte bekannte derartige t ist damit
t = F0 ⋅ F1 ⋅ F2 ⋅ F3 ⋅ F4 = 232 − 1
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Damit kommen wir zu einer anderen Bildung von Primzahlen.
Seien a, m ∈ N , m > 1 ,
5) Lemma:
so dass a m − 1 eine Primzahl ist.
Dann ist a = 2 und m eine Primzahl.
Beweis
Es gilt 1m − 1 = 0 ∉ P
Also muss gelten: a > 1 .
mit der geom. Summenformel (wie im 2. Beweis) folgt
m −1
a m − 1 = (a − 1) ⋅ ∑ a j
j =0
⇒
a −1 a −1
m
Da 0 < a − 1 < a m − 1 und (a m − 1) ∈ P ,
kann nur 1 a m − 1
Daraus folgt a − 1 = 1 äquivalent zu a = 2 .
Angenommen m ∉ P ,
daraus folgt m = r ⋅ s mit 1 < r , s < m und es gilt
s −1
a m − 1 = (a r ) s − 1 = (a r − 1) ⋅ ∑ (a r ) j
j =0
Daraus würde folgen, dass (a r − 1) (a m − 1) .
da aber a r − 1 > 1 mit a = 2 , r > 1 ,
ist das ein Wiederspruch zur Voraussetzung (a m − 1) ∈ P
Damit kann a r − 1 nicht a m − 1 teilen und es muss m ∈ P gelten.
Die Zahlen M q = 2 q − 1, q ∈ P heißen MERSENNEsche Zahlen
6) Definition:
bzw. MERSENNEsche Primzahlen, falls sie zu P gehören.
M2 = 3
Bsp.:
Aber:
M3 = 7
M 5 = 31
M 7 = 127
∈P
M 11 = 211 − 1 = 2047 = 23 ⋅ 89 ∉ P
Der Primzahl-Weltrekord wird regelmäßig mit MERSENNEschen Primzahlen aufgestellt.
Seit Dezember 2005 ist die größte Primzahl M 30.402.457 = 230.402.457 − 1 mit 9.152.052 Stellen.
www.mersenne.org
Jochen Nehrings
Nun zu einer anderen Charakterisierung von Zahlen.
Man nennt n ∈ N
7) Definition:
bzw.
bzw.
vollkommen , wenn σ (n) = 2n ,
defizient
, wenn σ (n) < 2n ,
abundant
, wenn σ (n) > 2n .
Mit σ (n) :=
∑d
(Teilersumme von n )
d ∈N , d n
Bsp.: 6 ist vollkommen, denn σ (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 ⋅ 6 .
12 ist abundant, denn σ (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 > 2 ⋅ 12 = 24 .
Jede Primzahl ist defizient, da σ ( p ) = 1 + p < 2 p für p ∈ P .
Man kann gerade vollkommene Zahlen beschreiben.
8) Satz:
Beweis
(ii) 
→ (i)
Für eine gerade natürliche Zahl n sind äquivalent:
n ist vollkommen
(i)
n = 2 q −1 ⋅ M q , mit einer MERSENNEschen Primzahl M q .
(ii)
Für n = 2 q −1 ⋅ M q mit M q = 2 q − 1 ∈ P , MERSENNEschen Primzahl
gilt mit der Identität von σ (n) =
∏
p
υ p ( n ) +1
p∈P
pn
−1
p −1
2 ( q −1)+1 − 1
⋅ ( M q + 1)
2 −1
2q −1 q
=
⋅ (2 − 1 + 1)
1
= (2 q − 1) ⋅ 2 q
= 2 ⋅ 2 q −1 ⋅ (2 q − 1)
= 2⋅n
σ (n) =
Daraus folgt, dass n vollkommen ist.
→ (ii)
(i) 
Sei n vollkommen , n = 2 q −1 ⋅ m , q ≥ 2 , m ∈ N ungerade
und mit der Identität bzw. der Definition von σ (n) gilt:
σ (n) = 2 ⋅ n = 2 ⋅ 2 q −1 ⋅ m = 2 q ⋅ m
= σ (2 q −1 ) ⋅ σ (m)
= (2 q − 1) ⋅ σ (m)
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Damit folgt
2q
σ ( m) = q ⋅ m = m + k
2 −1
mit 0 < k =
m
<m
2 −1
q
Wegen σ (m) ∈ N , folgt k ∈ N und damit m ≥ 3 .
m = k ⋅ (2 q − 1) ,
daraus folgt k m , d.h. k ist positiver Teiler von m .
Also gilt
Da σ (m) = m + k , sind k und m die einzigen Teiler von m .
Das bedeutet k = 1 .
Dann gilt m = k ⋅ (2 q − 1) bzw. m = 2 q − 1 = M q
Somit muss m Mersenne’sche Primzahl sein .
Mit Hilfe dieses Satzes erhält man die vollkommenen Zahlen
21 M 2 = 6 2 2 M 3 = 28 2 4 M 5 = 496 2 6 M 7 = 8128
Offene Probleme:
a) Gibt es Fermatsche Primzahlen Fn , n > 5 ?
b) Gibt es unendlich viele MERSENNEsche Primzahlen?
c) Gibt es ungerade, vollkommene Zahlen?
Jochen Nehrings