Zusatzkurs WirtschaftsMathematik Fernhochschule Riedlingen Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger Internet WirtschaftsMathematik Fernhochschule Riedlingen Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger Lösungen im Internet http://www.cs-geiger.de/zusatzkursriedlingen.htm Manuskript WirtschaftsMathematik Fernhochschule Riedlingen Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger Inhaltsverzeichnis Lösungen im Internet ...................................................................................................3 Grundlagen ................................................................................................................ 13 Symbole .................................................................................................................. 13 Griechische Buchstaben ...................................................................................... 14 Deutsche Schriftzeichen ...................................................................................... 15 Rechenzeichen .................................................................................................... 15 Unäre Operatoren ............................................................................................... 16 Gleichheitszeichen (Symmetrische Relationen) ................................................... 16 Intervalle ............................................................................................................ 18 Differentialrechnung ........................................................................................... 18 Integrale ............................................................................................................. 19 Geometrie ........................................................................................................... 19 Mengenlehre ...................................................................................................... 19 Mengenoperationen ........................................................................................... 19 Mengenrelationen .............................................................................................. 20 Zahlenmengen .................................................................................................... 20 Elementare arithmetische Funktionen ................................................................ 21 Grundbegriffe des Rechnens ...................................................................................... 22 Die Grundrechenarten ............................................................................................ 22 Die Addition ........................................................................................................ 22 Die Subtraktion ................................................................................................... 22 Die Multiplikation ............................................................................................... 22 Die Division ......................................................................................................... 22 Rangfolge der Grundrechenarten ........................................................................... 23 Variablen ................................................................................................................ 23 Termumformungen und Gleichungen ..................................................................... 24 Was ist eine Termumformung? ........................................................................... 24 Was ist eine Gleichung? ...................................................................................... 24 Beispiele für Termumformungen ........................................................................ 24 Beispiele für Gleichungen ................................................................................... 24 Das Lösen von Gleichungen durch Probieren .......................................................... 25 Vergleich von Zahlen; die Zahlengerade ................................................................. 25 Ungleichungen ........................................................................................................ 26 Teiler und Vielfache ................................................................................................ 27 Vielfache: ............................................................................................................ 27 5-271 Aussagen und Aussageformen ................................................................................ 27 Aussageform ....................................................................................................... 28 Zahlbereiche und elementare Verknüpfungen ........................................................ 29 Runden von Zahlen ................................................................................................. 29 Kaufmännisches Runden ..................................................................................... 30 Mathematische Rundung .................................................................................... 30 Indizierung von Variablen ....................................................................................... 31 Mengen ...................................................................................................................... 32 Grundbegriffe ......................................................................................................... 32 Menge, Element .................................................................................................. 32 Zahlenmengen .................................................................................................... 32 Zahlenbereiche ................................................................................................... 33 Die Zeichen , ................................................................................................. 34 Elementare Rechenoperationen ................................................................................. 35 Grundlagen ............................................................................................................. 35 Regeln und Gesetze: ........................................................................................... 36 Rechengesetze der Addition................................................................................ 36 Addition und Subtraktion von Termen ................................................................ 37 Die Terme sind gleichartig .................................................................................. 37 Verschiedene Arten von Termen ......................................................................... 38 Eine Klammer kommt hinzu ................................................................................ 38 Regeln für die Auflösung einer Klammer nach „+“ oder „-“: ............................... 38 Weitere Klammern kommen hinzu ...................................................................... 38 Multiplikation; Rechengesetze ............................................................................ 39 Multiplikation als Addition: ................................................................................. 39 Rechengesetze der Multiplikation ....................................................................... 39 Kurzschreibweisen .............................................................................................. 40 Ein Faktor ist 0 .................................................................................................... 40 Bruchrechnung ....................................................................................................... 41 Grundlagen des Bruchrechnens........................................................................... 41 Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen: ........................................................ 43 Potenzen ................................................................................................................ 45 Der Potenzbegriff ................................................................................................ 45 Die Basen 1 und –1 : ........................................................................................... 46 Potenzrechnung mit ganzzahligen Exponenten ....................................................... 46 Zehnerpotenzen ..................................................................................................... 48 6-271 Die Herleitung der "Potenzgesetze" ........................................................................ 49 Die "Potenzgesetze" auf einen Blick ....................................................................... 52 Wurzel ....................................................................................................................... 53 Sinn und Zweck der Wurzel .................................................................................... 53 Definition der Wurzel ............................................................................................. 53 Multiplikation von gleichartigen Wurzeln ........................................................... 55 Division von gleichartigen Wurzeln ......................................................................... 55 Verschachteln von Wurzeln .................................................................................... 55 Einige Rechenbeispiele ........................................................................................... 56 Das Rechnen mit Potenzen ..................................................................................... 57 Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: .................................................. 57 Potenzen von Produkten ..................................................................................... 57 Addition und Subtraktion von Potenzen .............................................................. 57 Multiplikation eines Faktors mit einer Summe .................................................... 58 Binomische Formeln ................................................................................................... 59 Grundlagen ............................................................................................................. 59 Formeln .................................................................................................................. 59 Bedeutung .............................................................................................................. 60 Logarithmen ........................................................................................................... 61 Einfühhrung ........................................................................................................ 61 Logarithmengesetze ............................................................................................ 63 Logarithmen zu einer beliebigen Basis ................................................................ 65 Summenzeichen ......................................................................................................... 66 Motivation und Definition ...................................................................................... 66 Rechengesetze ........................................................................................................ 67 Indexverschiebung .................................................................................................. 68 Produktzeichen ....................................................................................................... 69 Binomialkoeffizient und Fakultät................................................................................ 70 Gleichungen ............................................................................................................... 71 Äquivalenzumformungen bei Gleichungen ............................................................. 71 Lineare Gleichungen ............................................................................................... 72 Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen: .............................................................. 72 Die Variable „verschwindet“: .............................................................................. 72 Quadratische Gleichungen ...................................................................................... 73 Kleine Lösungsformel ............................................................................................. 74 Der Vietasche Satz .................................................................................................. 76 7-271 Große Lösungsformel ............................................................................................. 78 Bruchgleichungen ................................................................................................... 79 Betragsgleichungen ................................................................................................ 81 Merkmale einer Betragsfunktion ......................................................................... 81 Die verschiedenen Arten von Betragsfunktionsgraphen ...................................... 84 Gleichungen mit Parametern .................................................................................. 88 Textgleichungen ..................................................................................................... 89 Polynome und Polynomgleichungen ........................................................................... 91 Faktorisierung ........................................................................................................ 91 Bausteine zur Faktorisierung ............................................................................... 92 Kubische Polynome ................................................................................................ 93 Polynomdivision ..................................................................................................... 95 Rechenvorgang ................................................................................................... 95 Biquadratische Gleichungen ................................................................................... 98 Lineare Gleichungssysteme ........................................................................................ 99 Gleichsetzungsverfahren ...................................................................................... 100 Fallunterscheidungen ........................................................................................ 102 Das Einsetzungsverfahren ..................................................................................... 103 Additionsverfahren ............................................................................................... 105 Merkregeln zur Anwendung der einzelnen Verfahren ....................................... 116 Der Gauß‘sche Algorithmus .................................................................................. 118 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern ......................................................... 125 Ungleichungen ......................................................................................................... 126 Lineare Ungleichungen ......................................................................................... 126 Quadratische Ungleichungen ................................................................................ 128 Bruchungleichungen ............................................................................................. 135 Betragsungleichungen .......................................................................................... 138 Matrizen .................................................................................................................. 139 Typ einer Matrix ................................................................................................... 140 Zeilenmatrix ......................................................................................................... 140 Spaltenmatrix ....................................................................................................... 140 Nullmatrix ............................................................................................................ 140 Zeilen- und Spaltenvektoren ................................................................................. 141 Gleichheit von Matrizen ....................................................................................... 141 Transponieren ...................................................................................................... 142 Quadratische Matrix ............................................................................................. 143 8-271 Die Haupt- und Nebendiagonale: ...................................................................... 143 Diagonalmatrix ..................................................................................................... 143 Einheitsmatrix ...................................................................................................... 144 Untere Dreiecksmatrix .......................................................................................... 144 Obere Dreiecksmatrix ........................................................................................... 144 Symmetrische Matrix ............................................................................................ 145 Schiefsymmetrische Matrix .................................................................................. 145 Addition von Matrizen .......................................................................................... 146 Subtraktion von Matrizen ..................................................................................... 146 Skalar-Matrix-Multiplikation ................................................................................. 147 Matrizen-Multiplikation ........................................................................................ 147 Gesetze ............................................................................................................. 151 Determinanten ......................................................................................................... 152 Die Determinantenfunktion .................................................................................. 152 Determinanten .................................................................................................. 153 Zweireihige Determinanten .................................................................................. 153 3-reihige Determinanten ...................................................................................... 155 Sarrus-Regel ......................................................................................................... 156 Eigenschaften von Dreier-Determinanten ............................................................. 158 n-reihige Determinanten ...................................................................................... 162 Einreihige Determinanten ..................................................................................... 162 Schnittpunktelement ............................................................................................ 163 Unterdeterminante .............................................................................................. 164 Vorzeichen-Faktor ................................................................................................ 164 Entwicklungsformel........................................................................................... 165 Beispiel zur Entwicklungsformel ........................................................................ 167 Folgen und Reihen ................................................................................................... 168 Folgen .................................................................................................................. 168 Monotonie ........................................................................................................ 168 Schranke ........................................................................................................... 168 Grenzwert und Konvergenz: .............................................................................. 169 Arithmetische Folgen ............................................................................................ 171 Geometrische Folgen ............................................................................................ 171 Alternierende Folge .............................................................................................. 172 Rekursive Folge .................................................................................................... 173 Wachstum ............................................................................................................ 174 9-271 Exponentielle Abnahme ........................................................................................ 176 Reihen .................................................................................................................. 177 Arithmetische Reihe ............................................................................................. 178 Geometrische Reihe ............................................................................................. 181 Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation .................................................................... 182 Grenzwerte von Funktionen ................................................................................. 182 Stetige Funktionen ............................................................................................... 184 Differentialrechnung ................................................................................................ 186 Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen ...................... 186 Der Differenzenquotient und der Differentialquotient ......................................... 187 Lineare Funktionen ........................................................................................... 187 Nichtlinearen Funktionen .................................................................................. 187 Differentiationsregeln .......................................................................................... 191 Höhere Ableitungen ............................................................................................. 194 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung ........................ 196 Zahlenmengen ...................................................................................................... 196 Definitionsmenge: ................................................................................................ 196 Wertemenge: ....................................................................................................... 196 Symmetrieeigenschaften ...................................................................................... 196 Extrema ................................................................................................................ 197 Wendepunkte ....................................................................................................... 200 Kurvendiskussion .................................................................................................. 201 Schema der Kurvendiskussion ........................................................................... 201 Beispiel 161:......................................................................................................... 202 Differentiation parameterabhängiger Funktionen ................................................ 205 Funktionen ............................................................................................................... 206 Relationen und Funktionen................................................................................... 206 Grundlegende Funktionen und deren Eigenschaften ............................................ 206 Ganzrationale Funktionen n - ten Grades ............................................................. 206 Verlauf des Graphen ......................................................................................... 207 Symmetrie ........................................................................................................ 208 Nullstellensatz .................................................................................................. 209 Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen................................................... 210 Form gebrochen rationaler Funktionen ............................................................. 210 Eigenschaften von Wurzelfunktionen ................................................................... 211 Exponent kleiner als 1 ....................................................................................... 211 10-271 Exponent größer als 1 ....................................................................................... 211 Eigenschaften von Exponentialfunktionen ............................................................ 212 Grundeigenschaften der Funktion f(x) = e x ........................................................ 212 Spiegelung von K: y = e x ergibt K’: y = e -x . .......................................................... 213 Verschiebung der Kurve K: y = e x . ...................................................................... 214 Eigenschaften von Logarithmusfunktionen ........................................................... 219 Eigenschaften für die Kurvendiskussion ............................................................ 219 Logarithmusfunktionen ........................................................................................ 220 Trigonometrische Funktionen ............................................................................... 220 Integration ............................................................................................................... 221 Geometrische Definition des Integrals .................................................................. 221 Orientierter Flächeninhalt ................................................................................. 221 Stammfunktionen (unbestimmtes Integral) .......................................................... 221 Grundintegrale .................................................................................................. 222 Analytische Definition des Integrals ..................................................................... 223 Rechenregeln für Integrale ................................................................................... 223 Faktorregel ....................................................................................................... 223 Summenregel .................................................................................................... 223 Integration durch einfache Substitution ............................................................ 227 Integration durch erweiterte Substitution ........................................................ 228 Die erweiterte Substitution quadratischer Terme ............................................. 229 Das bestimmte Integral ........................................................................................ 230 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ................................................ 231 Intervalladditivität ............................................................................................ 232 Flächenberechnungen .......................................................................................... 233 Flächenberechnung zwischen zwei Graphen ......................................................... 234 Prozentrechnung ...................................................................................................... 243 Zinsen ...................................................................................................................... 246 Allgemeine Bezeichnungen ................................................................................... 246 Einfache Verzinsung ............................................................................................. 246 Einfache Verzinsung - kaufmännischer Diskont ......................................................... 248 Dekursiver Zinseszins ............................................................................................... 249 Abzinsen eines Anfangskapitals......................................................................... 249 Herleitung der Barwert-Formel aus der Zinseszins-Formel ................................ 249 Berechnung der Zinsen ..................................................................................... 250 Berechnung des Zinssatzes ................................................................................ 250 11-271 Berechnung der Laufzeit ................................................................................... 251 Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik .......................................................... 252 Unterjährige Verzinsung ........................................................................................... 253 Stetige Verzinsung ................................................................................................ 254 Gemischte Verzinsung - Sparbuch ............................................................................ 255 Rentenrechnung ....................................................................................................... 256 Berechnung des nachschüssigen Renten-Endwerts ............................................... 257 Allgemeine Formel für den nachschüssigen Renten-Endwert ............................ 257 Berechnung des vorschüssigen Renten-Endwerts ................................................. 258 Allgemeine Formel für den vorschüssigen Renten-Endwert .............................. 258 Berechnung des nachschüssigen Renten-Barwertes ............................................. 259 Allgemeine Formel für den nachschüssigen Renten-Barwert ............................. 259 Berechnung des vorschüssigen Renten-Barwertes ................................................ 260 Allgemeine Formel für den vorschüssigen Renten-Barwert ............................... 260 Unterjährige Renten ................................................................................................. 262 Ewige Renten ........................................................................................................... 263 Rentenumwandlung ................................................................................................. 264 Tilgungsrechnung oder Annuitätendarlehen ............................................................ 265 Annuitätentilgung ............................................................................................. 269 12-271 Grundlagen Symbole Es werden viele Symbole in der Mathematik verwendet. Man kenn t zwar das eine oder andere Symbol, aber bei dem einen oder anderen weiß man nicht mehr so genau was es bedeuten soll. Die folgende Liste soll Ihnen helfen mit solchen Symbolen zu Recht zu kommen. 13-271 Griechische Buchstaben Große Schrift Kleine Schrift Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega 14-271 Name Deutsche Schriftzeichen Kleinbuchstaben Großbuchstaben Rechenzeichen 15-271 Unäre Operatoren Gleichheitszeichen (Symmetrische Relationen) 16-271 Verhältniszeichen (nicht symmetrische Relationen) 17-271 Intervalle Differentialrechnung 18-271 Integrale Geometrie Mengenlehre Mengenoperationen 19-271 Mengenrelationen Zahlenmengen 20-271 Elementare arithmetische Funktionen 21-271 Grundbegriffe des Rechnens Die Grundrechenarten Die Addition Zusammenzählen heißt addieren, der Rechenvorgang heißt Addition, die einzelnen Zahlen heißen Summanden, das Ergebnis heißt Summe oder Summenwert. Beispiel: 2 Summand + 3 = 5 plus Summand gleich Summenwert unausgerechnete Summe Summe Die Subtraktion Abziehen heißt subtrahieren, der Rechenvorgang heißt Subtraktion, das Ergebnis heißt Differenz oder Differenzwert. Beispiel: 10 - 3 minus = 7 gleich Differenzwert unausgerechnete Differenz Differenz Die Multiplikation Malnehmen heißt multiplizieren, der Rechenvorgang heißt Multiplikation, die einzelnen Zahlen heißen Faktoren, das Ergebnis heißt Produkt oder Produktwert. 3 4 = 12 Faktor mal Faktor gleich Produktwert Beispiel: unausgerechnetes Produkt Produkt Die Division Teilen heißt dividieren, der Rechenvorgang heißt Division, das Ergebnis heißt Quot ient oder Quotientwert. Beispiel: 12 : 3 geteilt durch unausgerechneter Quotient 22-271 = 4 gleich Quotientwert Quotient Rangfolge der Grundrechenarten Beispiel 1: 2+34 1. (2+3)4 2. = 2 + 12 = 5 = = 20 4. 14 ( 10 – 6 ) : 2 = 4 = 2 :2 4 10 – 6 : 2 = 10 - 3 = 7 24 : 2 4 5. 3. 24 : ( 2 4 ) 6. = 12 4 = 24 : = 48 = 3 8 Definition 1: Vorrangregeln: Punktrechnung vor Strichrechnung ( , : vor + , - ) . Bei gleichem „Rang“ (nur Punktrechnung oder nur Strichrechnung) wird von links nach rechts gerechnet. Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Beispiel 2: Berechnen Sie ( Schreibweise wie in den obigen Beispielen ): 1 10 – 4 + 2 . 2. 20 – 3 4 3. 50 – 5 (2 + 4) 4 24 : 6 2 . 5. (12 + 8) : 4 – 2 6. 20 - (10 – 6 : 3) 2 Variablen Beispiel 3: Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet: u = 2 a + 2 b . Der Buchstabe a ist z.B. stellvertretend für irgendeine Länge. Man sagt: a ist die Variable für die Länge, b ist die Variable für die Breite, u ist die Variable für den Umfang. Sind für zwei dieser Variablen feste Zahlen bekannt, so lässt sich der Wert der dritten Variablen berechnen. Was sind Variablen? Variablen sind Stellvertreter, Platzhalter, Unbekannte. Sie werden durch Buchstaben dargestellt und können durch bekannte Zahlen oder Größen ersetzt werden. 23-271 Termumformungen und Gleichungen Was ist eine Termumformung? Wir haben bereits Terme kennen gelernt, z.B. 2 + 3 4 ; ( 10 – 6 ) : Definition 2: Eine Zahl, eine Variable oder eine Zusammenstellung von Zahlen, Klammern, Rechenzeichen, Variablen heißt Term. Wird ein Term in einen gleichwertigen Term umgewandelt, so spricht man von einer Termumformung. Termumformungen werden häufig mit Gleichungen verwechselt, weil in beiden Fällen das Gleichheitszeichen benutzt wird. Was ist eine Gleichung? Beispiele von Gleichungen: u = 2 a + 2 b ; 5 x = 30 ; 240 = 2 a + 100 ; 4+7=5+6 Definition 3: Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch das Gleichheitszeichen verbunden sind. Die Terme heißen Seiten der Gleichung. Bemerkung 1: Es ist empfehlenswert, bei Termumformungen die umgeformten Terme mit dem Gleichheitszeichen davor untereinander zu schreiben. Bei Gleichungen steht das Gleichheitszeichen immer zwischen den beiden Termen. Beispiel 4: Beispiele für Termumformungen (6+5)3–2 1. 4 € 5 + 12 € 2. = 11 3–2 = 20 € = 33 –2 = 32 € = 31 + 12 € Beispiele für Gleichungen 1. 5 x = 30 Lösung x = 6 weil 5 6 = 30 2. Lösung 10 + 2 x = 32 x = 11 weil 10 + 2 11 = 32 24-271 3. = 2 a + 100 240 = 70 Lösung a = 2 70 + 100 weil 240 Das Lösen von Gleichungen durch Probieren In diesem Kapital sollen Gleichungen durch reines Probieren gelöst werd en. Die Rechentechniken zum Lösen von Gleichungen werden in späteren Kapiteln ausführlich behandelt. Auch wenn Sie es anders können, lösen Sie durch Probieren. Beispiel 5: Gesucht ist die Lösung der Gleichung: 5 (x + 1) – 3 = 17. Vorgehensweise durch Probieren: Für x = 1 erhält man 5(1+1)–3= (un7 gleich) 17 . Für x = 2 erhält man 5(2+1)–3= 12 17 . Für x = 3 erhält man 5(3+1)–3= 17 = 17 !!! Die Lösung lautet x = 3. Vergleich von Zahlen; die Zahlengerade Für den Vergleich von Zahlen verwendet man folgende Zeichen: kleiner als größer als = gleich ungleich Beispiel 6: 2 3 ; 7 5 ; 4 = 4 ; 4 5. Die Anordnung von Zahlen kann man mit Hilfe der Zahlengeraden veranschaulichen: -3 -2 -1 0 1 2 3 Jeder Punkt auf der Zahlengeraden stellt eine Zahl dar. Von zwei Zahlen steht die gr ößere immer weiter rechts auf der Zahlengeraden. So gilt z.B. – 1 4 ; 2,4 - 3,5 ; 0 - 3 ; -10 -1! Rechts von der 0 liegen die positiven Zahlen, links von der 0 liegen die negativen Zahlen. Die Zahlen 0; 1; 2; 3; 4 usw. heißen natürliche Zahlen. Die Zahlen 1; 2; 3; 4 usw. heißen positive ganze Zahlen. Die Zahlen -1; - 2; -3; -4 usw. heißen negative ganze Zahlen. 25-271 Zur Verdeutlichung können positive Zahlen mit einem Pluszeichen gekennzeichnet werden, z.B. +1; +2; +3; +4 usw. Das zur Kennzeichnung von Zahlen verwendete Plusbzw. Minuszeichen nennt man Vorzeichen der Zahl. Ungleichungen Formulierungen wie 2 3; 7 + 8 4 + 9 oder 17 3 nennt man Ungleichungen. Sie können auch eine Variable (oder mehrere) enthalten, z.B. x + 3 18 – x. Diese Ungleichungen mit Variablen sollen zunächst ebenfall s durch Probieren gelöst werden. Später werden wir auch Lösungsverfahren kennenlernen. Beispiel 7: x+39 Hier tauchen Probleme auf! - Welche Zahlen stehen für x zur Verfügung? Beispielsweise gilt: 5,7 + 3 9. - Wie sollen die Lösungen aufgeschrieben werden? Derartige Probleme werden relativ elegant mit Hilfe der Mengenlehre gelöst In diesem Kapitel soll x eine Variable für natürliche Zahlen sein. Die Lösungen für die Ungleichung x + 3 9 lauten dann: x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5. Enthalten Ungleichungen eine Variable, dann ergeben zwei weitere Zeichen einen Sinn: ≦kleiner als oder gleich ( auch ) ≧ größer als oder gleich ( auch ) Für die obigen Beispiele bedeutet dies: zu 1. x + 3 ≦9 : neben den genannten Lösungen kommt die Lösung x = 6 hinzu, 6 + 3 = 9 . zu 2. 4 + x ≦18 –x : die Lösung x = 7 kommt hinzu, 4 + 11 = 18 – 7 . Definition 4: Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen , , , , steht, bilden eine Ungleichung. Streng genommen enthalten Ungleichungen mit den Zeichen oder je eine Gleichung und eine Ungleichung, x + 3 9 bedeutet z.B. x + 3 9 oder x + 3 = 9 . 26-271 Teiler und Vielfache Die folgenden Begriffe gelten für positive ganze Zahlen. Definition 5: Eine positive ganze Zahl n heißt teilbar durch eine positive ganze Zahl m, wenn der Quotientwert von n : m wieder eine positive ganze Zahl ist. Die Zahl m heißt Teiler der Zahl n. Beispiel 8: Ist 12 teilbar durch 1; 2; 3; 4; 6; 12. Die Teiler von 18 sind 1; 2; 3; 6; 9; 18. Definition 6: Den größten gemeinsamen Teiler mehrerer Zahlen bezeichnet man kurz mit ggT. Beispiel 9: Der ggT der Zahlen 12 und 18 ist die Zahl 6. Vielfache: Definition 7: Als Vielfache einer positiven ganzen Zahl bezeichnet man alle Zahlen, die durch diese Zahl teilbar sind. Beispiel 10: Vielfache von 12 sind 12; 24; 36; 48 usw. ; Vielfache von 18 sind 18; 36; 54; 72 usw.. Definition 8: Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen bezeichnet man kurz mit kgV. Beispiel 11: Das kgV der Zahlen 12 und 18 ist die Zahl 36. Aussagen und Aussageformen Mit Hilfe der Begriffe „Aussage“ und „Aussageform“ lassen sich Begriffe wie Gle ichungen, Ungleichungen, Lösungen sowie logische Schlussfolgerungen genau erk lären. Definition 9: Eine Behauptung, die wahr oder falsch ist, heißt Aussage. Beispiel 12: 1. 2 + 3 = 5 ist eine wahre Aussage. 2. 2 + 3 = 6 ist eine falsche Aussage. 3. 7 + 5 13 ist eine wahre Aussage. 4. „Ist eine Zahl durch 10 teilbar, dann ist sie auch durch 5 teilbar“ ist eine wahre Aussage. Diese Aussage lässt sich auch mit dem Folgepfeil „ 27-271 “ formulieren: 5 „Eine Zahl ist durch 2 und 3 teilbar falls eine wahre Aussage. die Zahl ist durch 6 teilbar“ ist eben- In diesem Fall gilt der Folgepfeil auch für die Umkehrung der Aussage in 5.a). Man kann in solchen Fällen das Zeichen „ “ benutzen (lies: ist äquivalent mit ). „Die Zahl ist durch 6 teilbar die Zahl ist durch 2 und durch 3 teilbar“. Aussageform Definition 10: Enthält eine Behauptung ( mindestens ) eine Variable, so spricht man von einer Aussageform. Bei sämtlichen Gleichungen oder Ungleichungen mit Variablen handelt es sich um Aussageformen. Der Begriff „Lösung“ einer Gleichung bzw. Ungleichung läs st sich so formulieren: Definition 11: Unter der Lösung einer Gleichung bzw. Ungleichung versteht man die Zahlen, die beim Einsetzen für die Variable eine wahre Aussage liefern. Beispiel 13: Welche der folgenden wahren Aussagen lassen sich umkehren? Die letzte Ziffer einer positiven ganzen Zahl ist die 0 die Zahl ist durch 5 teilbar. Die Quersumme einer positiven ganzen Zahl ( Summe aller Ziffern ) ist durch 3 teilbar die Zahl ist durch 3 teilbar. 28-271 Zahlbereiche und elementare Verknüpfungen Runden von Zahlen Definition 12: Rundung ist eine arithmetische Operation, bei der eine Zahl in Stellenschreibweise, meist eine Dezimalzahl, durch eine Zahl mit einer geringeren Anzahl signifikanter (b edeutungstragender) Stellen ersetzt wird. Dabei wird der Untersch ied zwischen ursprünglicher und gerundeter Zahl, der Rundungsfehler, so gering wie möglich geha lten. Zweck einer Rundung ist, Platz für die Darstellung zu sparen, insbesondere bei Dezimalbrüchen und Glei tkommazahlen, oder die Anzahl der Ziffern der Genauigkeit eines Rechenergebnisses anzupassen (siehe Fehlerrechnung) die Genauigkeit des Ergebnis der darstellbaren bzw. messbaren Einheit anzupa ssen (kleinste mögliche Währungseinheit z.B. Cent, ganze Gramm bei Küche nwaagen,...). Meist verringert man die Anzahl der Dezimalstellen und damit die Anzahl der dargestellten Ziffern. Doch werden auch große Ganzzahlen gerundet. Zum Beispiel rundet die Bundesagentur für Arbeit die errechnete Anzahl der Arbeit slosen auf volle 100. Hier bleibt die Anzahl der dargestellten Ziffern unverändert, aber die letzten zwei Stellen werden als nicht signifikant gekennzeichnet. Definition 13: Zahlen verändern Wird eine positive Zahl vergrößert, so spricht man von Aufrunden, wird sie verkle inert, von Abrunden. Bei negativen Zahlen sind diese Wörter doppeldeutig. Werden Nachkommastellen nur weggelassen, spricht man von Abschneiden. Das Runden verändert in den meisten Fällen den Wert der gerundeten Zahl. Gängige Rundungsverfahren lassen sich gemäß der Richtung einteilen: Definition 14: Rundungsverfahren aufwärts abwärts Richtung null zur nächstgelegenen Rundungszahl. 29-271 Kaufmännisches Runden Das Kaufmännische Runden geschieht wie folgt: Definition 15: Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0,1,2,3 oder 4, dann wird abgerundet. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5,6,7,8 oder 9, dann wird aufgerundet. Bemerkung 2: Diese Rundungsregel wird durch die Norm DIN 1333 beschrieben. Das Runden wird so auch häufig in der Schule gelehrt Mathematische Rundung Die Mathematische (auch geodätische oder unverzerrte) Rundung ist wie folgt definiert: Definition 16: Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet. Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer eine 5 (gefolgt von weiteren Ziffern, die nicht alle null sind), 6, 7, 8 oder eine 9, so wird aufgerundet. Folgt auf die letzte beizubehaltende Ziffer lediglich eine 5 (oder eine 5, auf die nur Nullen folgen), so wird derart gerundet, dass die letzte beizubehaltende Ziffer gerade wird. Bemerkung 3: Diese Art der Rundung wird in der Mathematik und Ingenieur wissenschaften verwendet. Sie ist im IEEE-754-Standard für das Rechnen mit binären Gleitkommazahlen in Computern vorgesehen. Weitere Namen für diese Art der Rundung sind Wissenschaftliches oder Symmetrisches Runden. Beispiel 14: Beispiele (Rundung auf eine Nachkommastelle): 2,2499 ≈ 2,2 (nach Regel 1) 2,2501 ≈ 2,3 (nach Regel 2) 2,2500 ≈ 2,2 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet) 2,3500 ≈ 2,4 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet) Bemerkung 4: Kaufmännisches und unverzerrtes mathematisches Runden unterscheiden sich nur darin, wohin eine Zahl genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen mit der gewählten Anzahl von Dezimalziffern gerundet wird. 30-271 Indizierung von Variablen Darstellung verschiedener Variablen mit dem gleichen Buchstaben mittels Durc hnummerierung (Index) Indizes sind z.T. selbst Variablen, deren Werte der Indexmenge entstammen Das Prinzip der Durchnummerierung lässt sich auf Doppel-/Mehrfachindizierungen ausweiten. Die Indexmengen haben oft eine einfache Struktur, die etwa eine Anordnung der Variablen in einem Rechteckschemaermöglichen (m, n seien natürliche Zahlen): 31-271 Mengen Grundbegriffe Für viele Teilbereiche der Mathematik liefert die Mengenlehre gün stige und logisch einwandfreie Schreibweisen. Menge, Element Definition 17: Eine Menge ist die Zusammenfassung von unterscheidbaren Dingen zu einem Ganzen. Die einzelnen Dinge der Menge heißen Elemente. Zahlenmengen Für bestimmte Zahlenmengen gibt es eine feste Schreibweise, nämlich ein Großbuc hstabe mit einem Doppelstrich, z. B.: ℕ= { 0;1;2;3;4;5;...} die Menge der natürlichen Zahlen, ℕ*= { 1;2;3;4;5;...} die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null, ℤ = { ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...} die Menge der ganzen Zahlen, ℤ* = { ...;-3;-2;-1;1;2;3;...} die Menge der ganzen Zahlen ohne Null, ℤ_ = { ...;-3;-2;-1} die Menge der negativen ganzen Zahlen, ℚ = {x|x lässt sich als Bruchzahl schreiben} die Menge der rationalen Zahlen (ℚ von Quotient; Begriff Bruchzahl: siehe unten), ℚ* + = {x|x ist eine positive rationale Zahl}, ℚ+= {x | x = 0 oder x ist ein positive rationale Zahl} ℝ = {x|x ist eine Zahl auf der Zahlengeraden} die Menge der reellen Zahlen. 32-271 Definition 18: Merken Sie sich folgende Systematik in der Schreibweise: ein * bedeutet: Die Null ist ausgeschlossen. (siehe ℤ*) ein * mit einem + bedeutet: Es sind nur positive Zahlen. (siehe ℚ* + ) ein _ bedeutet: Es handelt sich um negative Zahlen. (siehe ℤ_ ) ein + ohne * bedeutet: Es sind positive Zahlen mit der Null. (siehe ℚ + ) Es gibt Zahlen, die sich nicht als Bruchzahl schreiben lassen, z. B.: = 3,14 ...; ist eine irrationale Zahl. Die irrationalen Zahlen gehören zu den reellen Zahlen, aber nicht zu den rationalen Zahlen. Zahlenbereiche Mit Hilfe der beschreibenden Form und der Ungleichheitszeichen lassen sich Zahle nbereiche erfassen. Diese können auf der Zahlengeraden dargestellt werden. Beispiel 15: a) [ Klammer nach außen bedeutet: die Zahl 3 gehört nicht dazu M = {xx< 3} b) ] Klammer nach innen bedeutet: die Zahl 3 gehört dazu M = {xx 3} c) [ M = {xx 1} oder M = {x1 x} d) [ ] M = {x1 x 3} Menge aller Zahlen zwischen 1 und 3 einschließlich der Grenzen e) ] M = {x1 x 3} ] 33-271 Die Zeichen , Mit diesen Zeichen kann man ausdrücken, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht. bedeutet „ist Element von“ bedeutet „ist nicht Element von“ Beispiel 16: 4 1;2;3;4;5;6; 4 ℕ; ℝ; 71;2;3;4;5;6; ℚ; 2 xx<2 34-271 Elementare Rechenoperationen Grundlagen Zahlen als Pfeile ( Vektoren ) Jede Zahl hat als Punkt einen festen Platz auf der Zahlengeraden. Sie hat damit einen bestimmten Abstand von der Null. So ist z.B. die Zahl +3 auf der abgebildeten Zahlengeraden 3 cm ( 3 Längeneinheiten ) von der Null entfernt. -4 -3 -1 -2 0 1 2 3 4 5 6 3 Längeneinheiten Eine Zahl kann somit auch durch die Länge einer Strecke veranschaulicht werden. Nun ist aber die Zahl –3 ebenfalls 3 cm von Null entfernt. Beide Zahlen haben bezüglich der Null die gleiche Streckenlänge. Man sagt: Sie haben den gleichen Betrag. Definition 19: Unter dem Betrag einer Zahl a (a R ) versteht man die Länge der Strecke ( in Längen-Einheiten) von der Null bis zur Zahl a. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv ( Länge einer Strecke!), mit einer Ausnahme: Der Betrag von 0 ist 0. Um den Betrag einer Zahl a von der Zahl a unterscheiden zu können, wird eine eigene Schreibweise benötigt: Die Zahl wird zwischen die sogenannten Betragsstriche in folgender Form geschrieben: a lies: Betrag von a. So gilt z.B.: -3= 3, +3 = 3 . Um Zahlen wie –3 und +3 geometrisch unterscheiden zu können (gleicher Betrag!), gibt man zusätzlich eine Richtung an, man erhält einen Pfeil (Vektor). -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (+3) (-3) Die Richtung des Pfeils wird durch das Vorzeichen bestimmt. Ein „+“ bedeutet: Pfeil nach rechts, ein “-“ bedeutet: Pfeil nach links. Schreibweise für einen Pfeil: Die Zahl wird einschließlich des Vorzeichens in eine Klammer gesetzt (siehe Abbildung). Zwei Zahlen mit gleichem Betrag, aber entgegengesetzter Richtung, heißen auch Gegenzahlen. So ist die Zahl –3 Gegenzahl von +3 (und umgekehrt). 35-271 Regeln und Gesetze: Definition 20: Regeln für Addition und Subtraktion Die Verbindung von Rechen- und Vorzeichen: + (+) ergibt +, d.h. + (+a) = +a + (-) ergibt -, d.h. + (-a) = -a - (+) ergibt -, d.h. - (+a) = -a - (-) ergibt +, d.h. - (-a) = +a Das Vorzeichen + kann wegfallen, d.h. +a = a Zwei Rechen- bzw. Vorzeichen dürfen nie hintereinander stehen, sie werden durch eine Klammer getrennt. Nach den Rechenregeln folgen nun Rechengesetze, die vor allem beim Rechnen mit Variablen benötigt werden. Rechengesetze der Addition Die folgenden Variablen sind stellvertretend für beliebige reelle Zahlen. Definition 21: Das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz): a + b = b + a Beispiel 17: 2+3 = 3+2 Beachten Sie: 3 - 2 ≠ 2 - 3, aber 3 + (-2) = (-2) + 3, d. h. 3 - 2 = -2 + 3 Sie sehen: Fasst man die Subtraktion als Addition auf, kann man das Vertauschu ngsgesetz anwenden. Das Minuszeichen muss dabei mit vertauscht werden. Definition 22: Das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz): a + b + c = (a + b) + c ; a + b + c = a + (b + c) Beispiel 18: 136 + 447 + 553 = ? Sie können rechnen: (136 + 447) + 553 = 583 + 553 = 1136, einfacher geht es so: 136 + (447 + 553) = 136 + 1000 = 1136 Beachten Sie: Mit Minuszeichen können Sie nicht in beliebiger Reihenfolge rechnen, z. B. 344 - 186 - 44 = ? (344 - 186) – 44 = 158 - 44 = 114, im Vergleich dazu: 344 - (186 - 44) = 344 - 142 = 202 Hier gilt die Vorrangsregel 2, d.h. das Ergebnis 114 ist richtig. 36-271 Definition 23: Die Zahl 0 ist das neutrale Element der Addition: a + 0 = a bzw. 0 + a = a Die Addition von Gegenzahlen ergibt 0: a + (-a) = 0 bzw. -a + a = 0 Beispiel 19: (+30) - (-12) + (-15) 2. = 30 + 12 = 42 - 15 = 27 +15 + 98 + (-15) - 15 = 98 + 15 = 98 + 0 = 98 + (-15) Addition und Subtraktion von Termen Die Terme sind gleichartig Beispiel 20: 10 – 3 + 8 , = = 7 10x = = 15 15x 10 € - 3 € + 8 € + - 8 3x , 10x – 3x + 8x = + 7€ 8x = 15 € + , +10x + (-3x) + 8x 8€ = 7x = 15x + 8x Sie sehen: Es handelt sich hier um Addition bzw. Subtraktion „gleicher Dinge“ (nur reine Zahl en, nur €, nur x), die Terme sind jeweils gleichartig. Die Art spielt für die Zusammenfassung keine Rolle. Terme wie 10x, 3x, 8x bestehen aus einer Variablen und einer Beizahl (statt Beizahl sagt man auch Koeffizient). Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Beizahlen addiert bzw. subtrahiert und die Variable beibehält. Das Ergebnis kann auch negativ sein, so gilt z.B. auf dem Thermometer: 2°C – 5°C = -3°C . Ebenso gilt: 2x - 5x = -3x . 37-271 Verschiedene Arten von Termen Man kann nicht 4 Meter und 3 Gramm addieren (4m + 3g), auch nicht 4 Meter und 3 Quadratmeter (4m + 3m²). Es handelt sich um ungleichartige Terme. Ausdrücke wie 4x + 3y, 4x + 3x² oder 4x + 3xy lassen sich also nicht durch Addition weiter zusammenfassen. Dagegen gilt z.B.: 2 Äpfel + 7 Birnen + 3 Äpfel + 5 Birnen = 5 Äpfel + 12 Birnen, 2x + 7y + 3x + 5y = 2x + 3x + 7y + 5y = 5x + 12y Eine Klammer kommt hinzu Beispiel 21: 10a + (12b + 3a) = 10a + 12b + 3a = 13a + 12b Regeln für die Auflösung einer Klammer nach „+“ oder „-“: Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, werden die Rechen- bzw. Vorzeichen in der Klammer bei Auflösung der Klammer umgekehrt. Dagegen bringt ein Pluszeichen vor einer Klammer bei deren Auflösung keine Veränderung. Bemerkung 5: In der Vorrangsregel 3 heißt es zwar: „Was in der Klammer steht, muss zuerst berechnet werden“. Beim Rechnen mit Variablen ist dies meist nicht möglich. Daher werden Regeln für die Auflösung von Klammern benötigt. Beispiel 22: Aufgaben wie 10 – (4 + 3) können auf beide Arten gelöst werden: 10 – 4 – 3 = 3; 10 – 7=3 Weitere Klammern kommen hinzu Beispiel 23: 1. 10 – (3 + 2x) - (6 - 5x) = 10 – 3 - 2x – 6 + 5x = 1 + 3x Definition 24: Sind mehrere Klammern ineinander geschachtelt, dann werden die Klammern von innen nach außen aufgelöst (innere Klammer vor äußerer Klammer!). 38-271 Multiplikation; Rechengesetze Multiplikation als Addition: 2 + 2 + 2 = 3 2 = 6; (-3) + (-3) = 2 (-3) = -6; x + x = 2x = 2x ; 2x + 2x + 2x = 3 2x = 6x Die Multiplikation ist die Kurzform der Addition gleicher Summanden. Man könnte die Multiplikation ebenfalls an der Zahlengeraden erklären. Auf dieses relativ aufwendige Verfahren soll hier verzichtet werden. Das Vorzeichen eines Produkts: +4(+3) = +12 +4(-3) = -12 -4(+3) = -12 vergleichen Sie: 20 – 4 3 = 20 - 12 -4(-3) = +12 vergleichen Sie: 20 - (4 (-3)) = 20 - (-12) = 20 + 12 Definition 25: Regeln: Das Produkt zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist positiv, das Produkt zweier Zahlen mit verschiedenem Vorzeichen ist negativ. Besteht ein Produkt aus mehr als 2 Faktoren, dann entscheidet die Anzahl der Minu szeichen. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus (je 2 Minuszeichen ergeben ein Plus) eine ungerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Minus. Rechengesetze der Multiplikation Die gewählten Variablen sind stellvertretend für beliebige reelle Zahlen. Definition 26: Das Vertauschungsgesetz: a b = b a Beispiel: 3 4 = 4 3 . Beachten Sie: 3 : 4 4 : 3 . Das Verbindungsgesetz: a b c = (a b) c oder a b c = a (b c) Beispiel: 2 3 4 = ? Achtung: 24 : 6 : 2 =? (2 3) 4 = 6 4 = 24 oder 2 (3 4) = 2 12 = 24 (24 : 6) : 2 = 4 : 2 = 2. Falsche Rechnung: 24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8 Die Zahl 1 ist das neutrale Element der Multiplikation: a 1 = a bzw. 1 a = a 39-271 Kurzschreibweisen Statt 1x schreibt man 1x oder x. Statt -1x schreibt man –1x oder –x. Statt 2x (entspricht 21x) schreibt man 2x. Statt x2 schreibt man ebenfalls 2x (nicht x2!). Statt ab schreibt man ab. Steht die Beizahl(der Koeffizient) vor der Variablen, kann der Malpunkt weggelassen werden. Ebenso kann er zwischen Faktoren wegfallen, die Variablen sind. Ein Minus als Vorzeichen kann als Faktor –1 aufgefasst werden. Das kann über manche Hürde hinweghelfen! (z.B. 12x – x = 12x - 1x = 11x) Ein Faktor ist 0 Für jede Zahl reelle Zahl gilt: 0 a = 0 bzw. a 0 = 0.Auch wenn ein Produkt aus vielen Faktoren besteht: Wenn ein Faktor Null ist, dann ist das ganze Produkt gleich Null. Beispiel 24: 4x05=4x0=40=0 40-271 Bruchrechnung Grundlagen des Bruchrechnens Nachfolgend werden die wesentlichen Zusammenhänge der Bruchrechnung angeführt. Der Bruchstrich ist nichts anderes als ein Geteilt-Zeichen. Es gilt: Hat ein Bruch im Zähler und Nenner gleiche Faktoren, so können diese gekürzt werden: Da der Faktor 5 sowohl im Zähler als auch im Nenner auftaucht, können jeweils Zähler und Nenner durch diesen Faktor gekürzt werden. Beim Kürzen steht zwischen den Ausdrücken ein Gleichheitszeichen; somit gilt die Regel des Kürzens auch "rückwärts". Brüche können also im Zähler und Nenner gleichzeitig mit beliebigen Faktoren mult ipliziert werden. Dieses Verfahren nennt man Erweitern des Bruches. Zwei Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner miteina nder multipliziert werden: Dividiert (geteilt) werden Brüche, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird: Auch, wenn Brüche dividiert werden, kann natürlich das "Geteilt -Zeichen" durch einen Bruchstrich ersetzt werden: 41-271 Die Addition und Subtraktion von Brüchen ist etwas komplizierter. Sollen zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden, so müssen sie zunächst auf den Hauptnenner gebracht werden. Am besten lässt sich das Verfahren an einem Beispiel verdeutlichen: Bei dem ersten Ausdruck steht 9 und bei dem zweiten 5 im Nenner. Die Brüche kö nnen erst addiert werden, wenn bei beiden das Gleiche im Nenner steht. Hierzu müssen die Brüche erweitert werden. Der erste Bruch kann mit dem Nenner des zweiten und der zweite Bruch mit dem Nenner des ersten erweitert werden: Nun, da beide Brüche den gleichen Nenner haben, dürfen die Zähler addiert werden: Wenn mehr als zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen, so muß jeder Bruch mit den Nennern aller anderen Brüche erweitert werden. Z.B.: Wenn die Nenner gemeinsame Faktoren enthalten, kann man sich allerdings die A rbeit leichter machen. Dies wird anhand des nachfolgenden Beispiels gezeigt: Hier reicht es, den zweiten Bruch mit 3 zu erweitern, denn dann haben alle Brüche den gleichen Nenner. Die Nenner brauchen also zum Addieren oder Subtrahieren nur auf das kleinste g emeinsame Vielfache gebracht zu werden. Auch die Addition von Brüchen lässt sich "umdrehen". Ein Bruch kann z.B. folgende rmaßen in mehrere Brüche aufgespalten werden: 42-271 Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen: Definition 27: Wenn im Zähler und Nenner eines Bruches gemeinsame Faktoren enthalten sind, s o kann man den Bruch kürzen. Bei dem folgenden Beispiel steckt die 3 sowohl im Zähler, als auch im Nenner und kann entsprechend gekürzt werden. Bei dem folgenden Term kann man a kürzen. (Wichtig ist, dass das a aus a llen Termen die im Zähler mit + oder - verbunden sind gekürzt wird.) Definition 28: Das Gegenteil vom Kürzen ist das Erweitern. Hierbei werden Zähler und Nenner mit einem bestimmten Faktor multipliziert (mal genommen): Definition 29: Zwei Brüche werden miteinander multipliziert (mal genommen), indem man jeweils die Werte im Zähler und die Wert im Nenner miteinander multipliziert: Definition 30: Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert (geteilt), indem man ihn mit dem Kehrwert des anderen Bruches multipliziert (mal nimmt). Es wurde bei der Darstellung zusätzlich verdeutlicht, dass man das Teilen durch einen Bruch auch wieder mittels eines Bruchstriches darstellen kann. Definition 31: Zwei Brüche werden addiert (zusammen gezählt), indem man sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner (den Hauptnenner) bringt. Dieses erreicht man, indem man die Brüche jeweils mit geeigneten Faktoren erweitert. Man kann z.B. jeweils mit dem Nenner des anderen Bruches erweitern. Als Formel ergibt sich in diesem Fall: 43-271 Beim Subtrahieren (Abziehen) eines Bruches von einem anderen geht man prinzipiell genauso vor: Wenn die Nenner der Brüche (b und d) gemeinsame Faktoren enthalten, so braucht man nur mit den anderen Faktoren der Nenner zu erweitern. Man muss hierbei das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmen. Dieses ist der Hauptnenner. Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler Null und der Nenner ungleich Null ist: Nachfolgend werden einige typische Fehler angeführt: Hier wurde falsch gekürzt, beim Kürzen müssen alle Terme im Zähler die mit "+" oder "-" verbunden sind jeweils einzeln durch den Term im Nenner geteilt werden. Es müsste also auch die 5 noch durch b geteilt werden: Bei der Addition (bzw. auch der Subtraktion) dürfen nicht die Terme im Ne nner addiert (bzw. subtrahiert) werden. Stattdessen müssen die Brüche z unächst auf den Hauptnenner gebracht werden, Nachfolgend können die Terme im Zähler addiert (bzw. subtrahiert) werden: 44-271 Potenzen Der Potenzbegriff Die Multiplikation gleicher Faktoren lässt sich kürzer durch Potenzen ausdrücken, z.B. 2 2 2 2 2 = 2 5 (Berechnung mit dem Taschenrechner: 2 y x 5 = 32). Definition 32: a aaa ... a = a n für a ℝ , n ℕ* n Faktoren a n heißt Potenz (gelesen: a hoch n). a heißt Basis, n heißt Exponent (Hochzahl). Das ausgerechnete Ergebnis von a n heißt Potenzwert. (32 ist der Potenzwert von 2 5 ). Für das Rechnen mit Potenzen ist folgende Schreibweise nützlich: a = a 1 . Der Potenzbegriff deckt sich mit den bekannten Schreibweisen in der Geometrie, z.B: Flächeninhalt: 1m 1m = 1m², kürzer mm = m²; Rauminhalt: 1m 1m1m = 1m³, kürzer mmm = m³. Vorsicht bei einer negativen Basis:(-2)³ = (-2) (-2) (-2) = - 8 ; (-2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = + 16 . Definition 33: Wird eine negative Zahl potenziert, dann gilt: Das Ergebnis ist positiv, falls der Exp onent gerade ist, es ist negativ, falls der Exponent ungerade ist. Vorsicht beim Taschenrechner!! Bei der Tastenfolge 2 ± y x 3 erhalten sie unter Umständen die falsche Anzeige ERROR, d.h. manche Taschenrechner „können keine Potenzwerte von Potenzen mit negativer Basis berechnen“. Rechnen Sie in diesem Fall mit positiver Basis und beachten Sie anschließend die vorstehende Regel. Nochmals Vorsicht! -2 4 = -2 2 2 2 = -16 im Unterschied zu (-2) 4 = +16. Im 1. Fall hat die Potenz 2 4 das Vorzeichen Minus, im 2. Fall gehört das Minuszeichen zur Basis. 45-271 Die Basen 1 und –1 : Für alle natürlichen Zahlen gilt : Definition 34: 1 n = 1 ; (-1) n = 1, falls n gerade ; (-1) n = -1, falls n ungerade. Definition 35: Vorrangregeln: Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung. Sind Klammern vorhanden, haben diese Vorrang! Beispiel 25: 60 – 4 2³ = 60 – 4 8 = 28 ( 9 – 4 ) ( 2 3 )² = 5 6² = 5 36 = 180 Potenzrechnung mit ganzzahligen Exponenten Vom Addieren bekannt ist die Schreibweise "2a" für a + a. Ebenso schreibt man 5a für a + a + a + a + a. Eine ähnlich kurze Schreibweise gibt es für die Multiplikation: die Potenzen. Potenzen sehen so aus: an Die Zahl a heißt die Grundzahl oder Basis der Potenz. Die Zahl n heißt der Exponent. a 3 steht dabei für a · a · a , also a 3 = a · a · a. Potenzen sind aber nicht nur für positive ganzzahlige Exponenten, sondern auch für negative ganze Exponenten und den Exponenten 0 definiert. Später werden sie auch für rationale Zahlen (Brüche) und die reellen Zahlen definiert, aber das kommt an anderer Stelle. Auf einen Blick sieht die Definition der Potenzen so aus: Sei k eine ganze Zahl. Sei a eine beliebige Zahl ungleich 0. Dann wird definiert: 46-271 Definition 36: Man sollte sich hier von dem -k in der untersten Zeile der Definition nicht verwirren lassen. k ist kleiner als Null, also ist -k positiv. n Ist a = 0, so wird für alle n ungleich Null definiert: a = 0 Der Fall 0 0 ist nicht definiert. Aus der Definition wird klar: Es gilt die folgende Vereinbarung: Punkt vor Strich Potenz vor Punkt Also ist 4·2 3 = 4·8 = 32 und nicht etwa (4·2)3 = 8 3 = 512. Ebenso muss ich einen Exponenten, den ich auf ein Produkt anwende, auf alle Fa ktoren des Produkts anwenden. Wie im obigen Beispiel erhalte ich: (4·2)3 = 4 3 · 2 3 = 64 · 8 = 512. Noch ein weiteres Wort der Vorsicht: Öfters habe ich bei Schülern gesehen, dass sie bei Summen oder Differenzen dann genauso vorgehen. Das führt dann zu Rechnungen, in denen behauptet wird (a + b) 2 sei dasselbe wie a 2 + b 2 . Mit Hinweis auf die binomischen Formeln sei gesagt, dass ist falsch. 47-271 Zehnerpotenzen In der Schule begegnet man häufig den Zehnerpotenzen, d.h. Potenzen mit der Basis 10. Nach der obigen Definition gilt dann also: Hier gilt derselbe Hinweis wie oben: In der untersten Zeile ist k kleiner als Null, also -k positiv. Die 10er-Potenzen treten oft bei sehr großen oder sehr kleinen Zahlen auf. So ist 10 35 natürlich genau die gleiche Zahl wie 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000, nur eben sehr viel kürzer in der Notation. So erklärt sich dann auch die folgende Schreibweise: 2 · 10 9 , was nichts anderes als eine 2 mit 9 Nullen dahinter, also 2.000.000.000, sprich zwei Milliarden darstellt. Bei kleinen Zahlen ist das ähnlich: 2 · 10 -9 ist also gleich: Zwei Faustregeln zum Umgang mit der Schreibweise mit Zehnerpotenzen erklärt an Beispielen: 14 · 10 2 = 14 · 100 = 1.400 1,4 · 10 2 = 14 · 100 = 140 Also: Ist der Exponent k größer als Null, so "wandert das Komma um k Stellen nach rechts". Also: Ist der Exponent k kleiner als Null, so "wandert das Komma um k Stellen nach links". 48-271 Die Herleitung der "Potenzgesetze" Das Folgende wird oft als die "Potenzgesetze" bezeichnet. Diese Gesetze sind Ergebnisse der obigen Definition. Da sie in verschiedenen Mathe-Büchern verschieden durchnummeriert werden, erspare ich mir hier eine solche Nummerierung. Wichtiger als zu wissen ob es sich um das erste, zweite oder fünfte Potenzgesetz ha ndelt ist, dass man die Definition verstanden haben muss und sie anwenden kann. Das geschieht z.B. bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis. Als erstes betrachten wir also, wie wir die Potenzen an und a m mit einander multiplizieren. Sind m und n beide größer oder gleich 0, so ergibt sich aus der Definition folgende Rechnung: Das ist, wenn man sich die Definition ansieht kein großartig überraschendes Ergebnis. Wir nehmen a n-mal mit sich selbst mal und multiplizieren das mit a m-mal mit sich selbst malgenommen. Dann haben wir also n viele a und m viele a, die mit einander multipliziert werden. Das bedeutet also, dass a n+m mal mit sich selbst malgenommen wird, und dass ist nach der obigen Definition eben a n + m . An einem konkreten Beispiel sieht man es noch deutlicher: Es stellt sich die Frage, was passiert, wenn m oder n negativ ist, oder wenn gleich beide negativ sind. Auch dann gilt: a n· a m = a n + m . Auch das kann man aus der Definition herleiten, allerdings ist die Herleitung, oder der Beweis, ein wenig aufwendiger. Dieser Beweis ist sehr ausführlich, die folgenden Beweise kürzer. Damit kann man sich dann auch sehr schnell die Division von Potenten gleicher Basis klar machen. Dort gilt: Wir hatten oben der Definition entnommen, dass Damit gilt: 49-271 Weiter geht es mit der Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten, also dem Fall, dass a n· b n . Dann gilt folgendes: a n· b n=(ab) n Betrachtet man den Fall n > 0, so ist dieses Ergebnis klar per Definition: Noch einfacher ist es für n = 0, denn dann ist a 0 b 0 =1 · 1 = 1 = (ab) 0 Bleibt die Frage, was geschieht im Fall n < 0? Auch hier lässt sich das Ergebnis direkt überprüfen, in dem man sich vor Augen hält, dass potenzieren mit einer negativen Zahl zur Folge hat, dass man die Potenz im Ne nner wieder findet. Dann ergibt sich in diesem Fall der Beweis durch die Multiplikationsregel von zwei Brüchen. Ein Beispiel zum Zwecke der Klarheit: a 3 · b 3 = a·a·a·b·b·b = a·b·a·b·a·b = ab·ab·ab = (ab) 3 Ähnliches gilt für die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten folgendes: Nach der Definition ist das für den Fall n = 0 sehr einfach, denn man beweist wieder einmal, dass 1 = 1, und das ist klar. Der Fall n > 0 ist auch nicht viel schwerer: Damit bleibt der Fall n < 0 , der im Endeffekt der gleiche Beweis ist, nur dass man mit Kehrbrüchen arbeiten muss. 50-271 Damit kommen wir zum letzten Teil, dem Potenzieren von Potenzen, also dem Fall (a n )m . Dabei gilt: Zuerst betrachten wir den Fall, der am einfachsten zu sehen ist, nämlich n = 0 oder m = 0. Für diese Fälle zeigt man im Endeffekt wieder 1 = 1. Sind m und n beide positiv, so nimmt man a n mal m mal mit sich selbst mal: Ist m negativ und n positiv, so gilt: Ist m positiv und n negativ, so gilt: Sind m und n beide negativ, so gilt: 51-271 Die "Potenzgesetze" auf einen Blick Was bis hierhin hergeleitet wurde, nennt man die "Potenzgesetze". Auf einen Blick sind sie: Definition 37: 52-271 Wurzel Sinn und Zweck der Wurzel Mit Hilfe der Potenzschreibweise haben wir eine Möglichkeit, lange Terme wie a · a · a · a · a · a · a als a 7 zu schreiben. Wir können also Gleichungen lösen, die von der Form ab = x sind, wenn a und b ganze Zahlen sind, indem wir sie mit Hilfe der Definition der Potenz ausrechnen. b Was ist nun aber, ich die Gleichung x = a lösen will? Dann muss ich mich fragen "Welche Zahl hoch b gibt mir die Zahl a?" 2 Habe ich den Fall x = 25 so kann ich mir die Lösung "5" mit ein bisschen Denken einfallen lassen, wenn ich noch länger darüber nachdenke, komme ich eventuell noch auf "-5". Aber was ist mit den folgenden Gleichungen: x3 = 25 oder xn = 1 für eine beliebige ganze Zahl n. Dabei helfen einem die Wurzeln, denn die sind so definiert, dass man solche Gle ichungen lösen kann. Definition der Wurzel Die n-te Wurzel aus einer Zahl a ziehen bedeutet eine Zahl x zu suchen, die zur n -ten Potenz erhoben a ergibt. In Zeichen: Man sagt: "Die n-te Wurzel aus a ist x." Die Gleichung ist also richtig, wenn x n = a ist. a heißt dann Radikand, n heißt Wurzelexponent und das Ergebnis x heißt die n-te Wurzel aus a. Der Wurzelexponent 2 wird häufig weggelassen, also schreibt man dann Definiert wird die n-te Wurzel aus einer Zahl mit Hilfe der Potenzen. Man definiert für eine ganze Zahl a und ein Zahl n ungleich Null: Dabei ist auch dieser Fall per Definition abgedeckt: 53-271 Das mag auf den ersten Blick seltsam vorkommen. Wir hatten gesagt, a n soll für ein n > 0 bedeuten, dass a n-mal mit sich selbst malgenommen werden soll. Davon sind wir jetzt gar nicht weit entfernt. Die zweite Wurzel aus 25 soll eine Zahl sein, die 2 mal mit sich selbst malgenommen wieder 25 ergeben soll. Die n-te Wurzel aus einer Zahl a soll eine Zahl sein, die n mal mit sich selbst malg enommen wieder a ergibt, also wollen wir, dass: Das erreichen wir durch eine allgemeinere Definition. Wir definieren: Nach dieser Definition haben wir dann was wir wollten. Die n-te Wurzel einer Zahl a mit n potenziert ergibt wieder a selbst: Wie schon bei der Definition der Potenz ist noch eine Vereinbarung zu erwähnen: 1. Wurzel vor Punkt 2. Punkt vor Strich Also ist Ebenso wie bei den Potenzen von Summen und Differenzen sollte man auch bei den Wurzeln nicht auf die Idee kommen, die Wurzeln aus jedem Summand einzeln zu zi ehen. So ist z.B. und und da 7 nun mal nicht gleich 5 ist, ist auch !!! 54-271 Multiplikation von gleichartigen Wurzeln Es gilt: Dass diese Rechenregel gilt, sieht man an dem folgenden Beweis: Division von gleichartigen Wurzeln Es gilt: Der Beweis sieht dann so aus: Verschachteln von Wurzeln Es gilt: Der Beweis dafür ist dieser: Die Beweise geben schon einen guten Hinweis in die Richtung, wie man meiner Meinung nach am besten mit Wurzeln umgeht: man behandelt sie wie Potenzen. Im ersten Fall wird zum Beweis das Potenzgesetz über die Multiplikation von Pote nzen mit gleichem Exponenten verwendet. Im zweiten Fall ist es das Potenzgesetz über die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten. Im dritten Fall ist es das Potenzieren von Potenzen, was man auch als "Verschachteln" von Potenzen sehen kann. Diese Herangehensweise hat einen praktischen Grund: 55-271 Wenn man in der Schule zu den Wurzeln kommt, hat man die Potenzgesetze bereits hinter sich und (hoffentlich) begriffen, zumindest hat man sie bis zum Abwinken ei ngeübt. Wurzeln kann man jetzt genauso behandeln. Alles, was man dafür noch können muss, ist die Addition und Multiplikation von zwei Brüchen, also: Also anstatt Wurzeln als etwas exotisches und neuartiges zu behandeln, kann man sehr gut mit dem arbeiten was man kennt, nämlich Potenzgesetzen und Brüchen. Ich weiß, dass vielen die Bruchrechnung verhasst ist und sie bei den Aufgaben, wie sie unten vorkommen, gerne den Taschenrechner zücken. Dagegen ist eigentlich auch nichts zu sagen, wenn man mit dem Gerät umgehen kann. Dann schreibt man eben 0,1111111111111111111111111 statt 1 1 und 0,125 statt 9 8 und fragt sich wie genau das mit dem Runden noch mal ging. Man sieht den Rechenweg nicht, also auch nicht wo man sich eventuell vertan hat, und die Potenzgesetze kann man zwar auch anwenden, aber eventuell nur mit prima langen Dezimalzahlen im Exponenten. Einige Rechenbeispiele Hier also einige Rechenbeispiele mit Wurzeln. Dabei werde ich zum Teil die Potenzg esetze und Bruchrechnung anwenden. Bei den Zahlenbeispielen kann man das ganze auch mit dem Taschenrechner machen. Im Idealfall kommt dann das gleiche heraus. Beispiel 26: a 3 4 a a a 111 432 a a 1 1 24 a 23 24 24 a 23 56-271 Das Rechnen mit Potenzen Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Beispiel 27: 2³ 2 4 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 7 = 128 x³ x4 = x7 2x³ 5x4 = 2 5 x3 x4 = 10x 7 8 cm 2 2 cm = 16 cm 3 a 2 b3 a 3 b4 = a2 a3 b 3 b4 = a5 b7 = a 5 b7 Definition 38: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält, kurz: a m a n = a (m+n) (die Klammer kann auch wegfallen). Potenzen von Produkten Beispiel 28: (2 3)2 = 6 2 = 36 oder (2 3) 2 = 2 2 3 2 = 4 9 = 36 (2 x)3 = 2 3 x 3 = 8x 3 (3ab) 3 = 3 3 a 3 b 3 = 27a 3 b 3 Definition 39: Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert und die Potenzen miteinander multipliziert, kurz: (a b)n = a nb n . Addition und Subtraktion von Potenzen Addieren Sie: 3x² + 4x³ Hoffentlich haben sie nicht als Ergebnis 7x 5 errechnet! Das ist leider falsch! Warum? Beachten Sie: Eine Zerlegung ergibt 3x² + 4x³ = x² + x² + x² + x³ + x³ + x³ + x³ Man kann 3x² + 4x³ nicht zusammenfassen! Denken Sie an die Geometrie: 3 cm² und 4 cm³ lassen sich ebenfalls nicht zusammenfassen. Die Terme müssen gleichartig sein, z.B. 4x² + 5x² + y³ + 3y³ = 9x² + 4y³. Definition 40: Nur gleiche Potenzen und Vielfache von gleichen Potenzen lassen sich durch Addition bzw. Subtraktion zusammenfassen. 57-271 Beispiel 29: 1. 4a² 3a³ + 6a5 ; 4. 2a² + 3a³ - a² - 6a³ ; 5. 2. 3 (4x)² + (-2x)² ; 3. (4x²)³ 2x (-2x)³ x³ 2y² 3x4 5y ; 6. 18 34 - 2 34 5 Multiplikation eines Faktors mit einer Summe Beispiel 30: 3 (4 + 5) 3 (4 + 5) oder die Zahlen 4 und 5 werden mit 3 multipliziert = 3 9 = 27 = 3 4 + 3 5 = 27 2. 3 (a + b) = 3 a + 3 b = 3a + 3b . (Statt 3 (a + b) ist auch die Kurzschreibweise 3 (a + b) erlaubt.) Definition 41: Das Distributivgesetz: (Gesetz zum „Ausmultiplizieren“ einer Klammer) Für beliebige Zahlen a; b; c IR gilt : a (b + c) = a b + a c bzw. (b + c) a = b a + c a a (b – c) = a b – a c bzw. (b - c) a = b a – c a Das Gesetz gilt auch für mehr als zwei Summanden in der Klammer, z.B. a (b + c – d) = a b + a c – a d = ab + ac – ad Vorsicht! 20 – 3 (6 – 2x) = 20 – 18 + 6x = 2 + 6x 58-271 Binomische Formeln Grundlagen Ein Binom (lat. bis, zwei; nomen, Name) ist in der Mathematik ein geklammerter Au sdruck, der aus der Summe, Differenz oder sonstiger Aneinanderreihung zweier Platzhalter (Variablen) oder Zahlen besteht: (a+b) oder (a-b). Binome finden Verwendung in den Binomischen Formeln zur Erleichterung der Mult iplikation von zweistelligen Zahlen. Sie werden ebenfalls benötigt bei der Quadrat ischen Ergänzung, einem Lösungsverfahren für Quadratische Gleichungen. Der sichere Umgang mit Binomen gehört zum notwendigen Rüstzeug für Herleitungen von R echenregeln, etwa der Differentialrechnung. Die Binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zur Darstellung und zum Lösen von Quadrat-Binomen. Definition 42: Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern. Zum anderen erlauben sie die Term-Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte (die Faktorisierung), was bei der Vereinfachung von Bruchtermen, beim Radizieren von Wurzeltermen sowie Logarithmenausdrücken sehr oft die einzige Lösungsstrategie darstellt. Definition 43: Formeln 1. Binomische Formel (Plus-Formel) 2. Binomische Formel (Minus-Formel) 3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel) Die Begründung der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen: Diese Formeln, häufig in der Mathematik benutzt, bieten auch eine Hilfe beim Kopfrechnen. Das Quadrat einer Zahl zwischen 10 und 100 lässt sich oft einfach mit der binomischen Formel bestimmen. Beispielsweise ist oder ausführlich 59-271 Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben, diese Verallgemeinerung ist der binomische Lehrsatz. Man benutzt dazu die Binomialkoeffizienten, die mittels des Pascal'schen Dreiecks leicht zu bestimmen sind. Bedeutung Mit Hilfe der binomischen Formel lassen sich Multiplikation und Division auf die ei nfacheren Rechenarten Quadrieren, Addieren, Subtrahieren, Halbieren und Ver doppeln zurückführen: Die erste und zweite Binomische Formel liefern für das Produkt zweier Zahlen a und b: 60-271 Logarithmen Einfühhrung 61-271 Beispiel 31: 62-271 Logarithmengesetze 63-271 Beispiel 32: 64-271 Logarithmen zu einer beliebigen Basis 65-271 Summenzeichen Motivation und Definition Sehr oft haben wir es in der Mathematik mit Summen vieler einzelner Summanden zutun. Es hat sich herausgestellt, dass der Umgang mit diesen Summen sich erheblich verei nfacht, wenn man ein Zeichen für die Summation einführt. Definition 44: Gewählt wurde das große Sigma . Für die Summe a m + a m+1 + a m+2 + ::: + a n schreiben wir kürzer n a k m k Sprich: "Die Summe von k = m bis n über a k ." Dabei ist k die Laufvariable, die alle natürlichen Zahlen von m bis n durchläuft, die einzelnen Summanden lauten a k mit dem jeweiligen Index k. Von der Motivation zur Definition: Für alle m, n N mit n m wird rekursiv definiert: n 1 n k m k m a k : a n 1 a k Und als Anfangswert dieser Rekursion m 1 a k m k : 0 Wobei wir diesen Startwert auch als leere Summe bezeichnen. Denn es wurden alle a k mit m k m 1 aufsummiert. Das es keine solchen k gibt, wurde also gar nicht summiert. Außerdem definieren wir noch für alle n m 1 n a k m k : 0 66-271 Rechengesetze Es gelten entsprechend die Rechengesetze der Addition beim Umgang mit dem Su mmenzeichen, Kommutativität und Assoziativität sind redundant. Die Distributivität drückt sich wie folgt aus (für c R ): Definition 45: n n k m k m c a k c a k Auch die Addition ist selbsterklärend; falls in zwei solchen Summen die oberen und unteren Grenzen übereinstimmen, lassen sich die Summanden in der Notation z usammenlegen, also: Definition 46: n n n k m k m k m a k b k (a k b k ) Schwieriger wird es jedoch bei der Multiplikation: n n k m k m a k b k Um eine vereinfachte Schreibweise zu gewinnen, multiplizieren wir dieses Produkt in einzelne Summanden aus und notieren diese wie folgt: Man kann nun die Summanden jeder Zeile/Spalte addieren und anschließend die Ze ilen-/Spaltensummen aufsummieren. Das Addieren der Zeilensummen sieht dann wie folgt aus: n n a k m im k bi n Hier ist a k b i die Zeilensumme der k-ten Zeile und im n n a k m im k b i ist entsprechend die Addition dieser Zeilensummen. Analog kann man Spaltensummen berechnen: n n a im k m k bi Diese Doppelsummen bzw. die Summationsreihenfolgen sind folglich vertauschbar, d.h. es gilt: 67-271 Definition 47: n n a k m im n n k bi a k bi i m k m Häufig lassen sich durch diese Vertauschung Doppelsummen erheblich vereinfachen. Indexverschiebung Bei Rechnungen mit dem Summenzeichen erweist es sich als hilfreich die Grenzen der Laufvariablen k formal zu verschieben. Die Summanden jedoch dürfen sich dabei nicht verändern, d.h. diese Verschiebung der Grenzen muss in der Definition der Summa nden wieder aufgehoben werden. In Formeln (Indexverschiebung um t): n ak k m nt a k m t k t Wichtig ist hierbei darauf zu achten in der Definition der Summanden nur zu k die Verschiebung t zu addieren, nicht zu anderen Elementen der Definition (Konstanten). Die Rechengesetze des Summenzeichens lassen sich alle mühelos durch vollständige Induktion beweisen. Beispiel 33: n a) 1 2 3 n i i 1 b) 10 1 1 1 1 2 3 3 4 10 11 i 2 i i 1 68-271 Produktzeichen Definition 48: Das Produkt der reellen Zahlen a m , ..., a n kann man abkürzen in der Form Definition 49: n a m a m1 a n ai i m (sprich: Produkt der a i, für i = m bis n). Einen wichtigen Spezialfall stellt das Produkt a n n a (für n N und a 0 = 1) dar. i 1 Für eine beliebige reelle Zahl bezeichnen wir a n als die n- te Potenz von a. Dabei heißt a Basis und die Hochzahl n Exponent. 69-271 Binomialkoeffizient und Fakultät Definition 50: Seien n, k N {0} mit k n. Dann setzen wir n n! i 1 2 3 n und 0! = 1 i 1 (sprich: n- Fakultät); n n n 1 n k 1 n! n k ! k! 1 2 k k n (sprich: n über k). Man bezeichnet als Binomialkoeffizienten. k Beispiel 34: a) 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24. b) 2 2! 1, 0 2!0! c) 2 2 3 4 4 , 1 2 3 3 d) 1 2 5 1 3 3 3 10 . 3 1 2 3 162 1 e) 71!= am Taschenrechner nicht rechenbar (69! ist die letzte rechenbare Zahl). 6 6! 1 2 3 4 5 6 15 . 4 2!4! 1 2 1 2 3 4 Beispiel 35: 5 5 5! 5! 5! 3 (5 3)!*3! 5 3 (5 3)!*(5 (5 3))! 2!*3! Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten ist es außerdem möglich, einen Ausdruck der Form (a + b) n „auszumultiplizieren“, d.h. in eine Summe zu entwickeln wie folgt: 70-271 Gleichungen Äquivalenzumformungen bei Gleichungen Denken Sie bei dem Begriff „Gleichung“ an „Gleichgewicht auf beiden Seiten“. Mit diesem Ansatz lässt sich das Grundprinzip des Lösungsverfahrens für Gleichungen veranschaulichen. Definition 51: Es sind nur Umformungen erlaubt, wenn auf beiden Seiten das gleiche durchgeführt wird (Äquivalenzumformung). Dieser Vorgang lässt sich mathematisch mit Hilfe einer Rechenanweisung folgendermaßen darstellen: x+2= 5 -2 Definition 52: Der Begriff „äquivalente Gleichung“ : Zwei Gleichungen heißen äquivalent (oder: gleichwertig), wenn sie bezüglich der gleichen Definitionsmenge die gleiche Lösung smenge haben. Definition 53: Der Begriff „Äquivalenzumformung“: Formt man eine Gleichung in eine äquivalente Gleichung um, so spricht man von einer Äquivalenzumformung. Die Lösungsmenge ändert sich bei einer Äquivalenzumformung nicht. Definition 54: Regeln für Äquivalenzumformungen bei Gleichungen: Man kann die beiden Seiten einer Gleichung vertauschen. Man kann auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl bzw. den gleichen Term addieren; die gleiche Zahl bzw. den gleichen Term subtrahieren; mit der gleichen Zahl (0) bzw. dem gleichen Term (0) multiplizieren; mit der gleichen Zahl (0) bzw. dem gleichen Term (0) dividieren. Bemerkung 6: Beachten Sie: Eine Multiplikation mit 0 auf beiden Seiten ergibt immer 0=0, eine Division durch 0 ist nicht möglich. Es ist nicht vorgeschrieben, in welcher Reihenfolge einzelne Umformungen durchzuführen sind. 71-271 Lineare Gleichungen Vorgehensweise beim Lösen von Gleichungen mit der Variablen x: In sehr vielen Fällen ist folgende Reihenfolge bei den Umformungen empfehlenswert: Auflösen von Klammern (falls vorhanden). Auf beiden Seiten gleichartige Terme zusammenfassen. Umformungen durch Addition und Subtraktion so, dass auf einer Seite die A nzahl der x steht und auf der anderen Seite eine Zahl. Division durch den Faktor vor x (falls dieser 1). Prüfen, ob das Ergebnis ein Element der Definitionsmenge ist und Lösungsme nge bestimmen (eventuell mit Probe). Beispiel 36: 3 (2x – 4) + 6 = 16 + 4 (x + 2), D = ℤ. Die Lösungsmenge ist L = {15} ; Probe! Bemerkung: Enthält eine Gleichung viele Brüche, dann ist es oft günstiger, zunächst die Gleichung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner umzuformen. Dazu folgendes Beispiel: 1 3 x+ x 1 4 = 12 ( 31 x + 41 x) 1 2 12 (x + 4) = 12 1 2 6 x + 24 (x + 4) Klammern auflösen zusammenfassen 4x + 3x = 7x = 6 x + 24 - 6 x x = 24 L = {24} Versuchen Sie zur Übung, die Lösung nach obigem Schema zu finden. Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen: Die Variable „verschwindet“: Es gibt zwei Möglichkeiten: eine falsche Aussage entsteht: Beispiel 37: 4 (2x + 3) = 8 (x + 2) Klammern auflösen 8x + 12 = 8x + 16 - 12 8x = 8x + 4 - 8x 0 = 4 L = { }, da 0 = 4 eine falsche Aussage ist. eine wahre Aussage entsteht: 72-271 Beispiel 38: 4 (2x + 4) = 8 (x + 2) Klammern auflösen 8x + 16 = 8x + 16 - 16 8x 8x - 8x = 0 = 0 L = D ! Wieso? Setzen Sie für x eine beliebige Zahl ein (z.B. x=17,8), man erhält immer die wahre Aussage 0 = 0. Eine Lösung „verschwindet“: Beispiel 39: 5x = 2x 1. Weg 5x = 2x : x 5 = 2 L = { } , das ist falsch! 2. Weg 5x = 2x - 2x 3x = 0 : 3 x = 0 L = {0} Probe: 5 0 = 2 0 ist eine wahre Aussage. Der Fehler im 1. Weg entsteht bei der Division durch die Variable x. Es handelt sich hier um eine „heimliche“ Division durch 0, da tatsächlich (siehe 2. Weg) x = 0 gilt. Vermeiden Sie nach Möglichkeit eine Division durch einen Term, der die Variable en thält. Der Fall „Term = 0“ muss sonst beachtet werden. Quadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung (auch Gleichung zweiter Ordnung genannt) ist eine Gleichung von der Form Definition 55: ax 2 + bx + c = 0, bzw. eine, die auf diese Form gebracht werden kann. Dabei sind a, b und c fixe (bekannte) Zahlen (sie heißen Koeffizienten der Gleichung) und a 0. (Wäre a = 0, wäre die Gleichung ja in Wahrheit eine lineare). Da a 0 ist, kann man beide Seiten der Gleichung durch a dividieren. Mit den Bezeichnungen b/a = p und c/a = q ergibt sich, dass eine quadratische Gleichung auch immer in der Form x2 + px + q = 0 geschrieben werden kann. (Dies kann man auch als Normalform der quadratischen Gleichung bezeichnen). Manchmal wird sie auch p-q-Form genannt. Die Zahlen p, q heißen Koeffizienten der Gleichung in Normalform oder Parameter. Sie "nummerieren" gewissermaßen die Menge aller quadratischen Gleichungen durch: Für jede konkrete Wahl dieser Zahlen ist (x2 + px + q = 0) eine quadratische Gleichung). Als Grundmenge G wollen wir die Menge R der reellen Zahlen annehmen. 73-271 Die einfachsten quadratischen Gleichungen sind: x2 = 1 (sie besitzt zwei reelle Lösungen: 1) x2 = 0 (sie besitzt eine reelle Lösung: 0) x2 = -1 (sie besitzt keine reelle Lösung) Diese drei Beispiele charakterisieren, was auch in allgemeineren Fällen passieren kann. (Aufgabe: Bringen Sie sie in ihre jeweilige Normalform!) Antworten: x2 - 1 = 0, das entspricht p = 0 und q = -1, x2 = 0, das entspricht p = 0 und q = 0, x2 + 1 = 0, das entspricht p = 0 und q = 1.) Kleine Lösungsformel Für die Lösungen einer quadratischen Gleichung, die in der Normalform ( x2 + px + q = 0) vorliegt, gibt es eine handliche Formel, die sogenannte (kleine) Lösungsformel. Sie lautet Definition 56: x1/ 2 p 2 p2 q 4 Bemerkung 7: Sie hat folgende Bedeutung: Je nachdem, ob p2 /4 - q (also die Zahl unter dem Wurzelzeichen) negativ, 0 oder positiv ist, gibt es keine, eine oder zwei Lösungen. Ist p2 /4 - q0, so steht unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl. Da man (im Rahmen der reellen Zahlen) die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen kann, gibt es keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist leer, L = { }. Ist p 2 /4 - q = 0, so steht unter dem Wurzelzeichen 0, und da 0 = 0 ist, gibt es eine einzige Lösung, x = - p/2. Die Lösungsmenge ist L = {-p/2}. Die Lösungsformel gilt insofern, als sie zwei gleiche Zahlen beschreibt: x1 = x2 = - p/2. Ist p2 /4 - q0, so steht unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl. In diesem Fall gibt es zwei reelle Lösungenx1 und x2 , die gerade von der Lösungsformel angezeigt werden. Die Lösungsmenge ist L = {x1 , x2 }, wobei Die Kombination p2 /4 - q entscheidet also über die Zahl der Lösungen. Sie wird Diskriminante genannt. Halten wir fest: Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei, eine oder keine Lösung. Wir werden uns später von einem anderen Blickwinkel mit quadratischen Au sdrücken beschäftigen und einen geometrischen Grund dafür kennen lernen. 74-271 Beachten Sie beim Rechnen, dass die Wurzel aus einer reellen (nicht-negativen) Zahl per Definition immer 0 ist. (So hat etwa 4 nur einen Wert, nämlich 2, während 4 für 2 steht, d.h. für die zwei Werte - 2 und 2). Beispiel 40: Gegebene Gleichung: x2 - 5 x + 6 = 0 (das entspricht p = - 5 und q = 6) Die Lösungsformel ergibt: x1/ 2 5 52 5 1 5 1 6 2 4 2 4 2 2 Da unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl auftritt (nämlich 1/4), gibt es zwei reelle Lösungen, und es darf weitergerechnet werden. Die Wurzel aus 1/4 ist gleich 1/2, und daher ergibt sich x1,2 = 5/2 1/2, also x1 = 5/2 - 1/2 = 2 und x2 = 5/2 + 1/2 = 3. Die Lösungsmenge ist L = {2, 3}. Beispiel 41: Gegebene Gleichung: x2 - 2 = 0 (das entspricht p = 0 und q = - 2) Sie kann als x2 = 2 geschrieben werden, woraus sich die Lösungen 2 ergeben. Die Lösungsformel ist hier also gar nicht notwendig. Wird sie dennoch benützt, so ergibt sich 0 02 x1/ 2 2 2 2 4 Die Lösungsmenge ist L = {-2, 2}. Dieses Beispiel illustriert eine Tatsache, die auch aus der Lösungsformel ersichtlich ist: Für ganzzahlige Koeffizienten p, q enthalten die Lösungen Wurzeln aus rationalen Zahlen (d.h. aus Brüchen, die in Spezialfällen ganze Zahlen sein können). Sie sind daher im Allgemeinen irrational. Nur in Einzelfällen (die allerdings häufig als Beispiele ausgewählt werden) sind die auftretenden Wurzeln selbst wieder rational (oder sogar ganzzahlig). 75-271 Der Vietasche Satz Unkonventionelle Fragestellung: Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die die Lösungen 1 und 2 hat! Antwort: Versuchen Sie's mit der Gleichung ( x - 1) ( x - 2 ) = 0 . (Nennt man auch Faktorisierung) Ohne jede Rechnung ist ersichtlich, dass sie für x = 1 eine wahre Aussage ist (denn dann ist ja der erste der beiden Faktoren Null), und dass sie für x = 2 eine wahre Aussage ist (denn dann ist der zweite der beiden Faktoren Null). Um diesen einfachen Lösungsweg zu verschleiern, multiplizieren wir die Klammer aus und finden ( x - 1 ) ( x - 2 ) = x2 - 3 x + 2. Beachten Sie, dass das keine Gleichung ist, sondern eine Identität. Wir haben hier einfach zwei Möglichkeiten, ein und dieselbe Sache darzustellen. Dies können wir b enützen, um die Gleichung (( x - 1) ( x - 2 )) in der Form x2 - 3 x + 2 = 0 anzuschreiben. Die linke Seite ist nach wie vor das Produkt aus x - 1 und x - 2, nur sieht man das jetzt nicht mehr so schnell. Folglich sind die Lösungen die Zahlen 1 und 2. Mit dieser Methode zaubern Lehrer/Innen quadratische Gleichungen hervor, deren Lösungen sie im Voraus kennen! Hinter diesem Vorgang verbergen sich tiefere Zusammenhänge, die erst nach und nach beim Fortschreiten des Stoffs klarer werden. Um einen kleinen Vorgeschmack davon zu bekommen, wiederholen wir das Arg ument, legen uns aber jetzt auf die Werte der Lösungen nicht fest, sondern bezeichnen sie lediglich mit x 1 und x2 . Die quadratische Gleichung, die x1 und x2 als Lösungen hat, lautet ( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0 . Wieder multiplizieren wir den Term auf der linken Seite aus und erhalten ( x - x1 ) ( x - x2 ) = x2 - ( x1 + x 2 ) x + x1 x2 , und wieder ist das eine Identität: zwei Möglichkeiten, ein und dieselbe Sache darzustellen. Daher kann die Gleichung (( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0) auch in der Form x2 - ( x1 + x2 ) x + x1x 2 = 0 angeschrieben werden, und wieder wissen wir ohne weitere Rechnung, dass sie die Lösungen x1 und x2 besitzt. Diese Gleichung ist aber nichts anderes als die Norma lform, d.h. sie ist von der Form x2 + px + q = 0 . Man kann die Lösungen, die herauskommen sollen, also vorgeben und sich mit Hilfe dieser Formeln die Gleichung ausrechnen! Diese Aussage heißt Satz von Vieta (auch Vietascher Wurzelsatz genannt). Sie wird üblicherweise in der Form 76-271 Definition 57: x1 + x 2 = - p x1x 2 = q angeschrieben. In Worten ausgedrückt lautet sie: Falls die quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 zwei reelle Lösungen x1 und x2 hat, so ist die Summe der beiden Lösungen - p, und ihr Produkt ist q. Der Satz gilt auch, wenn die Gleichung nur eine Lösung (näm lich -p/2) hat und x1 = x 2 ( = -p/2) gesetzt wird. Man kann den Vietaschen Satz übrigens auch durch direkte Rechnung beweisen, i ndem die Lösungsformeln für x1 und x2 verwendet werden. Beispiel 42: Die Gleichung x2 - 5 x + 6 = 0 , die oben bereits betrachtet und gelöst wurde, hat die Lösungen 2 und 3. Deren Summe ist 5 (also gerade das Negative von p = -5) und ihr Produkt ist 6 (also gerade q). Eine der hinter dem Vietaschen Satz liegenden Einsichten ist die Tatsache, dass jeder Term der Form x2 + p x + q, sofern er für zumindest eine reelle Zahl x Null ist, als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden kann. (Ein linearer - genauer: linearinhomogener - Term ist ein Ausdruck der Form a x + b. Er heißt auch Polynom erster Ordnung. Ein Term der Form x2 + p x + q oder, ein bisschen allgemeiner, a x2 + b x + c, heißt quadratischer Term oder Polynom zweiter Ordnung). Beispiel 43: Schreiben Sie den Term x2 - 5 x + 6 als ein Produkt von Linearfaktoren! Lösung: Die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung sind, wie schon oben berechnet, 2 und 3. Daher gilt die Identität x2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ), was durch Ausmultiplizieren der Klammern überprüft werden kann. Die Beschäftigung mit Gleichungen hat uns also zu einer Methode geführt, wie ma nche quadratische Ausdrücke in elementarere Bestandteile ''zerlegt'' werden können. Die beiden Linearfaktoren sind so etwas Ähnliches wie die Primfaktoren einer natürlichen Zahl: Die Zahl 35 lässt sich als 5×7 schreiben, wobei 5 und 7 auch als ''Bestan dteile'' gedeutet werden können. 77-271 Große Lösungsformel Eine quadratische Gleichung kann auch in der Form ax 2 + bx + c = 0, gegeben sein. Dabei muss, wie bereits festgestellt, a 0 sein, und der Zusammenhang zur Normalform ist durch p = b/a und q = c/a gegeben (was sich nach Division beider Seiten durch a ergibt). Dann lautet die entsprechende (große) Lösungsformel Definition 58: x1/ 2 b b 2 4ac 2a Je nachdem, ob die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl b2 - 4 ac negativ, 0 oder positiv ist, hat die Gleichung keine, eine oder zwei reelle Lösungen . Die große ergibt sich aus der kleinen Lösungsformel, indem einfach p = b/a und q = c/a eingesetzt wird. Die Kombination b2 - 4 ac entscheidet also über die Zahl der Lösungen. Sie übernimmt die Rolle, die bei der kleinen Lösungsformel die Kombination p2 /4 - q gespielt hat und wird, wie diese, Diskriminante genannt. 78-271 Bruchgleichungen Definition 59: Ein Quotient, dessen Nenner (mindestens) eine Variable enthält, heißt Bruchterm. Eine Gleichung mit mindestens einem Bruchterm heißt Bruchgleichung. Eine Gle ichung nur mit x heißt dagegen lineare Gleichung. Bemerkung 8: Das bedeutet: Es folgen nun Gleichungen, bei denen die Variable im Nenner steht (und im Zähler stehen kann). „Variablen im Nenner“ bedeutet „Vorsicht!!“, dieser Nenner darf nicht 0 werden. Meist muss die Grundmenge eingeschränkt werden. In allen Beispielen soll G = ℤ sein. Gesucht sind jeweils die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. Beispiel 44: 10 x =2; Bestimmung von D: Der Nenner x darf nicht 0 sein, d.h. D = ℤ \ { 0 }. Bestimmung von L: Probe: 10 5 10 x = 2 x 10 = 2x 5 = x , L = { 5 } = 2 ist eine wahre Aussage. Der Rechenschritt „x“ ausführlich: 10 x =2x 10 x x = 2 x kürzen 10 = 2x Beispiel 45: 8 x+2 = 4 x -1 ; Bestimmung von D: Der Nenner x + 2 darf nicht 0 sein; er wird 0 für x = -2; der Nenner x – 1 darf nicht 0 sein; er wird 0 für x = 1 D = ℤ \ { -2; 1 } . Bestimmung von L: 8 x+2 = Probe: 4 x -1 | (x + 2) (x – 1) 8 (x – 1) = 4 (x + 2) 8x – 8 = 4x + 8 L = { 4 }. 8 4+2 = 4 4 -1 ist eine wahre Aussage ( 86 = 4 3 ). Der Rechenschritt „ (x + 2) (x – 1) “ ausführlich: Man erhält 8 x+2 (x + 2) (x – 1) = 4 x 1 ∙ (x + 2) (x – 1) 8 (x – 1) = 4 (x + 2) . 79-271 8 (x + 2) (x - 1) (x + 2) = 4 (x + 2) (x - 1) (x - 1) | kürzen Definition 60: Vorgehensweise beim Lösen von Bruchgleichungen: Bei gegebener Grundmenge muss zunächst die Definitionsmenge bestimmt werden; für jeden Nenner, der die Variable enthält, muss der Fall „Nenner = 0“ ausgeschlossen werden. Für die Bestimmung der Lösungsmenge ist es vorteilhaft, wenn möglichst bald die Nenner „verschwinden“. Dies kann man immer erreichen, wenn die Gleichung mit dem Hauptnenner multipl iziert wird. Nach der Multiplikation mit dem Hauptnenner kann man alle Nenner „wegkürzen“. Die Variable x eliminieren. 80-271 Betragsgleichungen Merkmale einer Betragsfunktion Definition 61: Das Hauptmerkmal einer Betragsfunktion ist, dass der Betrag immer positiv ist. Beispiel 46: 17 17 Definition 62: Die Schreibweise von einer Betragsfunktion Betragsfunktionen werden innerhalb von Betragsstrichen geschrieben. Wie zum Beispiel x (gelesen: Betrag von x). Die Funktionsterme der Betragsfunktionen werden hinter einer geschwungenen Klammer geschrieben. Beispiel 47: x x x x0 x0 Beispiel 48: wenn x 2 0 d .h. x 2 x 2 x2 x2 ( x 2) wenn x 2 0 d .h. Die Zeichnung eines Graphen einer Betragsfunktion 81-271 Beispiel 49: So sieht zum Beispiel der Graph von x aus. Dieser Graph ist symmetrisch zur y-Achse. Die Gerade des Graphs gehen, wie auf der Zeichnung zu sehen, durch den Pun kt P 1 (1 | 1) und P 2 (-1 | 1) 82-271 Beispiel 50: So sieht beispielsweise der Graph der Funktion 2 x 3 aus. Dieser Graph ist symmetrisch zu dem Punkt P (1,5 | 0). Die Geraden dieses Graphs gehen durch den Punkt P 1 (0 | 3) und P 2 (3 | 3) Die Besonderheit: Die Besonderheit dieses Graphen ist, dass er auf der x-Achse nach rechts verschoben ist. Das weist darauf hin, dass es einen negativen x-Wert geben muss. Bemerkung 9: Die Verschiebung berechnet man, indem man die im Betrag nicht mit x multiplizierte Zahl (in diesem Falle (-3)) durch die mit x multiplizierte Zahl (in diesem Falle 2) teilt. So erhält man die Verschiebung, die in diesem Falle (-1,5) entspricht, auf der x-Achse. Bemerkung 10: Bei einer negativen Zahl wird der Graph auf der x-Achse nach rechts, und bei einer positiven Zahl nach links verschoben. 83-271 Die verschiedenen Arten von Betragsfunktionsgraphen Es gibt verschiedene Arten von Betragsfunktionsgraphen sowie Betragsfunktionen: Beispiel 51: x 3 Beispiel 52: x 3 84-271 Beispiel 53: x3 85-271 Beispiel 54: x3 Beispiel 55: x 3 86-271 Beispiel 56: x 3 Beispiel 57: x 3 87-271 Gleichungen mit Parametern Beispiel 58: 4x + 14a = 7b –3x Lösungsvariable x 4x + 14a = 7b –3x + 3x 7x + 14a = 7b 7x = 7b – 14a x = b – 2a -14a :7 L = { b – 2a} Auch hierbei ist eine Probe möglich: 4 (b – 2 a) + 14 a = 7b – 3 (b – 2a) ist eine wahre Aussage (Rechnung!) Beispiel 59: 12a – 2x = 4a + 2x Rechnen Sie: a) falls x Lösungsvariable ist; b) falls a Lösungsvariable ist. Im Fall a) erhalten Sie x = 2a ; im Fall b) erhalten Sie a = 0,5x . Umstellen von Formeln Beispiel 60: Aus der Physik: v = s t ( Geschwindigkeit = Weg Zeit ). Diese Formel soll nach t aufgelöst werden. v= s t t t v = s : v ( v 0 ! v = 0 ergibt keinen Sinn) t = 88-271 s v Textgleichungen Bei Textaufgaben muss die Gleichung noch aufgestellt werden. Beispiel 61: Eine Erbschaft von 18.600 € soll an 4 Personen A, B, C, D folgendermaßen verteilt werden: B erhält doppelt so viel wie A, C erhält 1000 € mehr als A, D erhält die Hälfte von C. a) Wie viel € erhält A? b) Wie viel € erhalten B, C und D? Man kann versuchen, die Lösungen durch reines Probieren zu finden. Vielleicht g elingt es. Meist weniger zeitaufwendig ist es, eine derartige Aufgabens tellung in eine Gleichung zu „übersetzen“ (x – Ansatz), deren Lösungsmenge bestimmt wird. Lösung zu a): 1. Schritt: Anhand der Fragestellung wird eine Variable x festgelegt. Da der Anteil von A gesucht wird, wird dieser mit x bezeichnet. 2. Schritt: Weitere Unbekannte, die von x abhängen, werden durch x ausgedrückt: Anteil von A in € : x Anteil von B in € : 2x Anteil von C in € : x + 1000 Anteil von D in € : 1 2 ∙(x + 1000) . 3. Schritt: Mit Hilfe des Textes wird eine Gleichung gebildet. In diesem Fall muss die Summe a ller Anteile gleich der Gesamtsumme sein, d.h.: x + 2x + x + 1000 + 1 2 ∙(x + 1000) = 18600 . 4. Schritt: Die Gleichung wird gelöst, die Frage wird beantwortet. Lösung: x = 3800 (rechnen Sie), A erhält 3800 € . Lösung zu b): Die Anteile lassen sich direkt mit Hilfe von a) (2. Schritt) bestimmen. B erhält 7.600 €, C erhält 4.800 €, D erhält 2.400 € . Probe: 3.800 + 7.600 + 4.800 + 2.400 = 18.600€ . 89-271 Definition 63: Lösungsschema für Textgleichungen mit einer Variablen: 1. Festlegung von x . 2. Weitere Unbekannte (falls vorhanden), die von x abhängig sind, werden durch x ausgedrückt. 3. Bildung einer Gleichung. 4. Lösung der Gleichung und Beantwortung der Frage (Schlusssatz). 90-271 Polynome und Polynomgleichungen Faktorisierung Definition 64: Dazu müssen Sie folgendes anwenden können: lineare und quadratische Gleichungen lösen können; das Ausklammern beherrschen; wissen und anwenden können, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn ein Faktor Null ist; die Vielfachheit von Nullstellen erkennen und interpretieren können. Funktionen mit Termen wie z. B. f(x) = x 3 – 4x2 + 4x oder g(x) = -0,5x 5 + 2x4 –1,5x 2 + 2x - 3 heißen ganzrationale Funktionen, die Terme werden auch als Polynome bezeichnet. Die höchste auftretende Potenz von x gibt den Grad an, z. B. ist der Grad von f gleich 3 und der Grad von g gleich 5. Definition 65: Eine ganzrationale Funktion hat höchstens so viele Nullstelen, wie der Grad angibt. Also hat f z. B. höchstens drei Nullstellen; das folgende Beispiel zeigt aber, dass es genau zwei sind. Beispiel 62: f(x) = x 3 – 4x2 + 4x = x(x-2)2 faktorisierte Form hat die Nullstellen x1 = 0 (einfach) x2 = 2 (doppelt) VZW (Schnittpunkt) kein VZW (Berührpunkt) 91-271 Bemerkung 11: Aus der faktorisierten Form lassen sich die Nullstellen mit ihren Vielfachheiten abl esen. Eine Nullstelle mit einer ungeraden Vielfachheit (1, 3, 5, ...) be deutet am Graphen einen Vorzeichenwechsel (VZW – Schnittpunkt)), aus einer geraden Vielfachheit (2, 4, ... - Berührunkt) folgt dagegen, dass an einer solchen Nullstelle kein VZW auftritt. Mit Hilfe der Nullstellen lässt sich ein Term in seine faktorisierte Form überführen. Es gilt: Definition 66: Hat f(x) genau die Nullstellen x 1 , x2 und x 3 mit den Vielfachheiten n(1), n(2) und n(3), so lässt sich f(x) schreiben als f(x) = c(x – x 1 )n(1) (x – x2 )n(2)(x – x3 ) n(3) p(x) mit einer geeigneten Konstante c und einem nullstellenfreien Restpolynom p(x). Beispiel 63: f(x) = x 4 –4x3 + 2x 2 x4 –4x3 + 2x2 = 0 x2 (x 2 –4x + 2) = 0 erste Nullstelle: x 1 = 0 (doppelte Nst.) x2 –4x + 2 = 0 x2 / 3 4 16 4 2 2 2 (jew. einfache N.) 2 Gleichung lösen Nullstellen: x1 0 x2 2 2 x3 2 2 Die Lösungen sind die Nullstellen f(x) = x 2 (x – x2 )(x – x3 ) = x2 (x 2 2 )(x 2 2 ) f(x) in vollständig faktorisierter Form Bausteine zur Faktorisierung Ausklammern Definition 67: Jeder Summand muss durch den ausgeklammerten Term dividiert werden! Beispiel 64: 3x + 9y – 12 = 3(x + 3y – 4) 2x3 – 4x 2 + 6x = 2x(x2 – 2x + 3) 3 (x + 5) – 6x (x + 5) = (x + 5)(3 – 6x) 92-271 Binomische Formeln Beispiel 65: x2 + 6x + 9 = x 2 + 23x + 32 9x2 - 30xy + 25y 2 = 81a 2 – 64b 2 = (9a + 8b)(9a – 8b) = (x + 3) 2 (3x – 5y)2 Linearfaktorenzerlegung Wie oben kennengelernt. Kubische Polynome Schon seit Jahrtausenden werden kubische Gleichungen untersucht. Bevor im 16. Jahrhundert ein allgemeines Verfahren zur Lösung gefunden wurde, hat man sich mit speziellen Gleichungen befasst, an denen man Erfahrungen sammeln konnte. Die Gleichungen x3 = 0 (x-1)*(x 2 +1) = 0 (x-1)2 *(x-2) = 0 (x-1)*(x-2)*(x-3) = 0 zeigen uns, dass es Gleichungen 3. Grades gibt, die 1, 2, oder 3 Lösungen haben. Bemerkung 12: Mindestens eine reelle Lösung gibt es immer. Das kann man einsehen, wenn man den Graph der Funktion y = a x 3 + b x 2 +c x +d untersucht. Wenn man eine Gleichung vorliegen hat, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind, so hilft der folgende Satz weiter: Definition 68: Sind die Koeffizienten der Gleichung x3 +b x2 + c x + d = 0 alle ganzzahlig, so sind alle Lösungen ganzzahlig und Teiler des Absolutglieds d. 93-271 Beispiel 66: Gegeben ist die Gleichung x3 + x 2 + 4 = 0 Die Teiler des Absolutglieds sind 1, -1, 2, -2, 4, -4 Positive Lösungen kann es sicher nicht geben, so wird also der Suchbereich eingeengt auf -1, -2, -4. (-1)3 + (-1)2 + 4 = 4 (-2)3 + (-2)2 + 4 = 0 (-4)3 + (-4)2 + 4 = -44 Wir haben also tatsächlich eine Lösung gefunden: x = -2 Nun können wir von der linken Seite der Gleichung den linearen Faktor (x + 2) a bspalten. Dazu verwenden wir die Polynomdivision. 94-271 Polynomdivision Die Polynomdivision, auch Partialdivision genannt, ist ein algorithmisches, mathematisches Rechenverfahren. Das Verfahren verläuft analog zur üblichen und aus der Schule bekannten Division von Zahlen mit Rest, nur dass hier statt zweier Zahlen zwei Polynome durcheinander dividiert werden und als Ergebnis wieder zwei Polynome – der „Ganzteil“ und der Rest der Division – stehen. Definition 69: Eine Anwendung ist das Lösen von Gleichungen höheren Grades. Wenn eine Lösung x n zum Beispiel durch Intervallschachtelung gefunden wurde, findet die Polynomdivision Anwendung, um den Grad der Gleichung um Eins zu senken. Eine weitere Anwendung findet die Polynomdivision bei der Kurvendiskussion mit der Bestimmung der Näherungskurven einer rationalen Funktion. Rechenvorgang Das Polynom x³ + 6x² + 3x - 10 soll durch das Polynom x + 5 geteilt werden. Man überlegt zuerst, wie oft (x+5) in das erste Polynom hineinpasst. Das ist hier n atürlich etwas unklarer als bei Zahlen. Man betrachtet dabei stets die höchste Potenz aus beiden Polynomen (also x³ aus dem ersten und x aus dem zweiten Polynom) und fragt, wie oft x in x³ hineinpasst. Anders gefragt: Mit was muss man x malnehmen, damit x³ herauskommt? Natürlich mit x². Das ist das erste Glied unseres Ergebnisses: (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² Hinweis: x³ = x·x² Wie bei der Division von Zahlen nimmt man nun den neuen Bestandteil des Ergebni sses mal den Divisor und schreibt ihn passend unter den Dividenden ("passend" b edeutet hier, gleiche Potenzen von x untereinander zu schreiben): (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² (x³ + 5x²) Hinweis: (x³ + 5x²) = (x + 5)·x² Dabei wird (wie bereits erwähnt) darauf geachtet, dass gleiche Potenzen von x unte reinander stehen. Nun wird subtrahiert und (im Unterschied zur Division von Zahlen) alles gleich "heruntergeholt": (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² -(x³ + 5x²) x² + 3x - 10 95-271 Hinweis: x² = 6x² - 5x² Aha: Der Rest hat nur noch den Polynomgrad 2! Durch den nächsten Schritt reduzi eren wir den Grad des Restes weiter, indem wir das x² aus dem Rest herauswerfen. Wieder die Frage: Wie oft paßt das x aus dem Divisor in das x² (die höchste Potenz des Restes)? Antwort: x-mal, denn x mal x ergibt x². Der nächste Summand des Quotienten (des Ergebnisses) ist + x. (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² + x -(x³ + 5x²) x² + 3x - 10 Das x wird mit dem Divisor (x+5) multipliziert und vom Rest abgezogen: (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² + x -(x³ + 5x²) x² + 3x - 10 -(x² + 5x) = (x+5)·x -2x - 10 Frage: Wie oft passt x in -2x? Antwort: -2 mal. Also sind die nächsten Schritte, -2 an das Ergebnis anzuhängen, mit (x+5) zu multiplizieren und das Produkt vom Rest abz uziehen: (x³ + 6x² + 3x - 10) : (x + 5) = x² + x - 2 -(x³ + 5x²) x² + 3x - 10 -(x² + 5x) -2x - 10 -(-2x - 10) 0 Es geht ohne Rest auf. Beispiel 67: (alle Aufgaben gehen ohne Rest auf) 1.)Teilen Sie (x3 + 3x 2 - x - 3) durch (x+3), durch (x+1) und durch (x-1) 2.)Teilen Sie (x 3 - 13x - 12) durch (x+3) , durch (x+1) und durch (x-4) 3.)Teilen Sie (x 4 + 6x 3 – 4x2 - 54x - 45) durch (x+5), (x+3), (x-3) und (x+1) 4.)Teilen Sie (x 7 - 1) durch (x - 1) 5.)Teilen Sie (9x 2 - 121) durch (3x + 11) und (3x - 11) 96-271 Beispiel 68: Berechnen Sie 1.) (6x 3 + 8x 2 – 7x – 3) : (3x + 1) 2.) (–2x 4 – 9x 3 – 7x2 + 9x + 6) : (–2x3 – 5x2 + 3x + 3) 3.) (6x 2 + 14x + 8) : (3x + 4) 4.) (16/3x 5 + 64/5x 3 + 36/5x) : (8/3x 3 + 4x) 5.) (3x 4 – 9x 3 + 7x 2 – 3x + 2) : (3x 2 + 1) 6.) (2x 3 + 9/2x 2 + x) : (4x 2 + x) 7.) (2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 10x 2 + 8x + 8) : (2x + 4) 8.) (2x 4 – x 3 – 4x 2 – 3x – 9) : (2x + 3) Lösung: 1.) 2x2 + 2x – 3 2.) x+2 3.) 2x + 2 4.) 2x2 + 9/5 5.) x2 – 3x + 2 6.) 1/2x + 1 7.) x4 + 2x 2 + x + 2 8.) x3 – 2x2 + x – 3 Beispiel 69: Wir führen eine Polynomdivision durch (x3 + x2 + 4) : (x+2) = x 2 - x + 2 x3 + 2 x2 - x2 - x2 -2x 2x+4 2x + 4 0 Auch hier ergibt sich also x3 + x 2 + 4 = (x 2 - x + 2)*(x+2) Unsere Gleichung ist also umgeformt zu (x2 - x + 2)*(x+2) = 0 Jetzt kann man weitere Lösungen suchen, allerdings hat das Polynom x 2 - x + 2 keine reellen Nullstellen. Letztlich funktioniert diese Methode nur, wenn die Gleichung sehr „gutartig“ ist. 97-271 Biquadratische Gleichungen Eine biquadratische Gleichung ⇔ ax4 + bx² + c = 0 a(x²)² + bx² + c = 0 wird wie folgt gelöst: Definition 70: Das Quadrat der Variablen wird durch eine neue Variable ersetzt (substituiere/ersetze x² = y) die entstehende quadratische Gleichung ay² + by + c= 0 gelöst und die Substitution wieder rückgängig gemacht. Beispiel 70: 2x4 – 3x² - 20 = 0 Substitution: x² = y 2y² - 3y – 20 = 0 also x² = Lösen dieser Gleichung ergibt: y 1 = 5 oder x² = 4 2 L = 2,2 98-271 5 ; y2 = 4 2 Lineare Gleichungssysteme Eine Gleichung, die nur eine Unbekannte hat, kann man (in allen euch bekannten Fällen) nach dieser Unbekannten auflösen und somit die Lösungsmenge bestimmen. U nter der Lösungsmenge sind alle Zahlen zu verstehen, die man für die Unbekannte ei nsetzen kann, so dass die Gleichung wahr ist, also "stimmt". Manche Fragestellungen beinhalten jedoch zwei oder mehr Unbekannte, wobei man aber auch zwei oder mehr voneinander unabhängige Gleichungen aufstellen kann. Beispiel 71: 10a + 12b = 38 15a + 2b = 19,4 Leider kann man hier keine der einzelnen Gleichungen für sich genommen so nach einer Variablen auflösen, dass man den Einzelpreis ablesen kann, denn man bekommt die andere Variable nicht weg. Man weiß aber, dass die zu findenden Lösungen für a und b für beide Gleichungen gleichzeitig gelten müssen. Man hat hier dadurch ein System zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten. Alle Verfahren, das Problem zu knacken, beruhen darauf, aus den n Gleichungen mit n Unbekannten (wobei mit n die Anzahl der Gleichungen und Variablen gemeint ist) nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten zu machen. Es gibt dabei im Wesentlichen neben dem Erraten und dem graphischen Lösungsverfahren vier algebraische Verfahren: Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Eliminationsverfahren Hat man mehr als zwei Gleichungen, dann führt in jedem Verfahren immer jeder ei nzelne Schritt zu einer Gleichung, die jeweils eine Variable weniger enthält. 99-271 Gleichsetzungsverfahren Löst man die Gleichung (2) aus dem obigen Beispiel nach b auf, so erhält man: b = -7,5a + 9,7. Diese umgeformte Gleichung nennen wir sinnvollerweise (2'). Da auf der rechten Seite noch das a vorkommt, hängt b also von a ab. Immerhin kann man hier für jeden Wert von a sofort ein zugehöriges b berechnen. b = -7,5a + 9,7 beschreibt eine lineare Funktion beschreibt mit der Steigung -7,5 und dem y-Achsenabschitt 9,7. Zu dieser Funktion kann man einen Graph zeichnen, der eine Gerade ist. Dasselbe kann man auch mit der ersten Gleichung durchführen: Auflösen nach b und Zeichnen des zugehörigen Graphen b = -5/6a + 19/6 (1'). Der Schnittpunkt beider Graphen ist der Punkt des gesuchten Lösungspaares (a|b), denn er liegt auf beiden Graphen, und seine Koordinaten (a|b) "passen" somit in be ide Gleichungen. Wenn man einigermaßen genau zeichnet, kann man d ie Koordinaten und damit die Preise ablesen. Den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen berechnet man indem man die Funkt ionsterme gleich setzt. In unserem Beispiel sind die Funktionsterme -7,5a + 9,7 und -5/6a + 19/6. Man setzt sie also gleich und erhält dadurch eine Gleichung, die nur noch eine Unbekannte enthält. Man kann mit ihr also die Lösung für a bestimmen. Das ist das Gleic hsetzungsverfahren: II' = I' -7,5a + 9,7 = -5/6·a + 19/6 -45a + 58,2 = -5a + 19 58,2 = 40a + 19 39,2 = 40a | ·6 | + 45a | - 19 | : 40 0,98 = a Mit diesem Wert kann man b leicht ausrechnen: Man muss nur in eine der beiden nach b umgeformten Gleichungen für a den Wert 0,98 einsetzen: Einsetzen in (1'): b = -5/6·a + 19/6 = -5/6·0,98 + 19/6 = 2,35 Einsetzen in (2'): b = -7,5·a + 9,7 = -7,5·0,98 + 9,7 = 2,35 100-271 Man wählt sinnvollerweise die angenehmere Gleichung, was hier sicherlich (2') ist. Definition 71: Das Gleichsetzungsverfahren erfordert folgende Schritte: Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf. Setze die anderen Seiten der Gleichungen einander gleich. Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf. Setze die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 ein und berechne so die andere Variable. Beispiel 72: Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen. 45x+75y=58,5 und 20x+40y=29 Lösung: Beide Gleichungen werden nach y aufgelöst. 45x+75y=58,5 |-45x 75y=-45x+58,5 |:75 y=-45/75+58,5/75 y=-0,6x+0,78 und 20x+40y=29 |-20x 40y=-20x+29 |:40 y=- ½ x+29/40 y=-0,5x+0,725 Deshalb wenden wir das Gleichsetzungsverfahren an und setzen beide Gleichungen gleich und lösen sie nach x auf. -0,6x+0,78=-0,5x+0,725 0,78=0,1+0,725 0,055=0,1x |+0,6x |-0,725 | 10 x=0,55 Nun brauchen wir diesen x-Wert nur noch in eine der beiden aufgelösten Gleichungen einzusetzen und y berechnen. x=0,55 y=0,45 101-271 Fallunterscheidungen Beim Gleichsetzungsverfahren gibt es 3 Fallunterscheidungen: 1. Möglichkeit /1. Fall: Es gibt ein Schnittpunkt und die Aufgabe hat nur eine Lösung, bzw. die Geraden h aben einen Schnittpunkt. g1 g2 2. Möglichkeit / 2. Fall: Es gibt keine Lösung, die Graphen laufen parallel. g1 g2 3. Möglichkeit / 3. Fall: Es gibt viele Lösungen, wenn überall ein Schnittpunkt ist, d.h. die Graphen und ihre Funktionsgleichungen sind identisch. 102-271 Das Einsetzungsverfahren Gegeben sei das Gleichungssystem 5 - 4x = y (1) 7x - 3y = 51,5 (2) Wenn man eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst hat, so weiß man ihren Wert in Abhängigkeit von der anderen Variablen. In unserem Beispiel ist Gleichung (1) bereits nach y aufgelöst. Alle y, die Lösung des Gleichungssystems sein wollen, müssen gleich 5 - 4x sein. Wenn man nun in der anderen Gleichung alle y durch diesen Term ersetzt, der nach der ersten Gleichung gleich y ist, so erhält man eine Gleichung, die nur noch x enthält: (2): 7x - 3y = 51,5 Für das y wird (5 - 4x) eingesetzt: (1) in (2): 7x - 3(5 - 4x) = 51,5 Achtung: Man muss den Term in Klammern setzen, denn sonst würde man nicht das "ko mplette" y (also 5 - 4x) mal -3 nehmen, sondern nur die 5. Nun kann man wie oben die Gleichung nach x auflösen und das Resultat in (1) einse tzen, um y zu berechnen: 7x - 3(5 - 4x) = 51,5 | Klammer auflösen 7x - 15 + 12x = 51,5 | Zusammenfassen 19x - 15 = 51,5 | + 15 19x = 66,5 | : 19 x = 3,5 In (1): y = 5 - 4x = 5 - 4·3,5 = -9 Definition 72: Das Einsetzungsverfahren erfordert folgende Schritte: Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf. (Eventuell liegt eine geg ebene Gleichung schon passend vor. Verfahren Sie sonst so, dass Sie möglichst keine oder zumindest "einfache" Brüche erhalten.) Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein. Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf. Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die andere Variable. 103-271 Beispiel 73: Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen. (1) x=3y-2 und (2) 4x-9y=1 Lösung: 1. Schritt: Einsetzen von x in I 4(3y-2)-9y=1 12y-8-9y=1 |+8 3y=9 |:3 y=3 2. Einsetzen von y in I x=3 3-2=9-2=7 3. Angabe der Lösungsmenge L={7; 3} 104-271 Additionsverfahren Das Additionsverfahren dient dazu, ein "System" von zwei Gleichungen zu lösen, d.h. herauszubekommen, welche Zahlen man für die beiden vorkommenden Variablen einsetzen muss, damit die beiden Gleichungen aufgehen. Zum Beispiel könnte man bei der Gleichung 4x + 3y = 10 für x=1 einsetzen und für y=2, und dann würde die Gleichung aufgehen. Man könnte aber auch für x=4 einsetzen und für y=-2, und es würde auch gehen. Es gibt bei einer Gleichung zumeist unendlich viele solcher Lösungen, wenn sie zwei Unbekannte hat. Wenn die Lösung, also die Werte für x und y, allerdings noch eine zweite Gleichung erfüllen sollen, dann gibt es in den meisten Fällen nur eine einzige Möglichkeit. So lche zwei zusammengehörenden Gleichungen nennt man dann "Gleichungssystem". Beispiel 74: 4x + 3y = 10 -5y = 2x - 19 Jetzt formt man erst mal beide Gleichungen so um, dass alle Variablen auf der linken Seite stehen, d.h. bei der zweiten Gleichung müssen die 2x auf die linke Seite g ebracht werden: 4x + 3y = 10 -5y = 2x - 19 | -2x 4x + 3y = 10 -2x - 5y = -19 Durch irgendein Verfahren muss nun aus diesen ZWEI Gleichungen, die jeweils BEIDE Variablen enthalten, eine einzige gemacht werden, die nur noch eine enthält. Beim Additionsverfahren werden beide Gleichungen entweder addiert oder voneinander subtrahiert, das kommt auf die Faktoren an. Dazu später mehr. Beim Addieren zweier Gleichungen müssen die Faktoren vor den Variablen und die Zahlen getrennt behandelt werden: Wenn man die beiden Gleichungen 4x + 3y = 10 und -2x - 5y = -19 addiert, dann addiert man also die beiden Faktoren vor dem x getrennt: 4 + (-2) = 4 - 2 = 2 Für y sieht es so aus: 3 + (-5) = 3 - 5 = -2; und für die einzelnen Zahlen so: 10 + (-19) = 10 - 19 = -9. 105-271 Die Addition der beiden Gleichungen ergibt damit: 4x + 3y = 10 + -2x - 5y = -19 = 2x - 2y = -9 Damit ist aber, wie man sieht, keine Variable verschwunden, d.h. wir haben immer noch eine Gleichung mit zwei Unbekannten! Das ganze sähe aber schon viel besser aus, wenn z.B. bei der zweiten Gleichung vor dem x eine -4 stehen würde, dann fiele nämlich das x heraus, denn 4 + (-4) = 4 - 4 = 0! Und so multipliziert man einfach die komplette zweite Gleichung mit 2: 4x + 3y = 10 -2x - 5y = -19 | ·2 4x + 3y = 10 -4x - 10y = -38 Addieren ergibt jetzt: 0x - 7y = -28 also: -7y = -28 Damit kann y bestimmt werden: -7y = -28 | : (-7) y=4 Jetzt wird dieser Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen für y eingesetzt, und diese Gleichung wird nach x aufgelöst: 4x + 3y = 10 4x + 3·4 = 10 4x + 12 = 10 | - 12 4x = -2 |:4 x = -0,5 Zur Probe die herausgefundenen Werte in beide Gleichungen einsetzen und überpr üfen, ob es stimmt: 1. Gleichung: 4x + 3y = 10 4·(-0,5) + 3·4 = 10 -2 + 12 = 10 stimmt. 106-271 2. Gleichung: -2x - 5y = -19 -2·(-0,5) - 5·4 = -19 1 - 20 = -19 stimmt auch. Beispiel 75: 3x + 4y = -12 4x - 7y = 21 Ein immer funktionierender Trick ist bei solchen Situationen, jede Gleichung mal den entsprechenden Faktor in der anderen Gleichung zu nehmen. Die erste Gleichung wird also mal 4 genommen, weil in der zweiten Gleichung 4x auftreten. Die zweite Gleichung wird mal 3 genommen, da in der ersten 3x auftreten: 3x + 4y = -12 ·4 4x - 7y = 21 ·3 12x + 16y = -48 12x - 21y = 63 Nun bringt Addieren in diesem Falle nichts, denn dadurch bekäme man 24x. Hier muss nun subtrahiert werden! Wir ziehen die zweite von der ersten Gleichung ab und e rhalten: Bei x: 12x - 12x = 0x, x fällt also weg! Bei y: 16y - (-21y) = 16y + 21y = 37y Bei den Zahlen: -48 - 63 = —111 also: 12x + 16y = -48 — 12x - 21y = 63 = 37y = -111 | :37 y = -3 Einsetzen in zweite Gleichung: 4x - 7y = 21 4x - 7·(-3) = 21 4x + 21 = 21 4x = 0 | -21 | :4 x=0 Probe: 1. Gleichung: 107-271 3x + 4y = -12 3·0 + 4·(-3) = -12 0 - 12 = -12 stimmt. 2. Gleichung: 4x - 7y = 21 4·0 - 7·(-3) = 21 Definition 73: Das Additionsverfahren erfordert folgende Schritte: Beide Gleichungen so umformen, dass die Variablen (mit ihren Faktoren) auf einer Seite (links) vom Gleichheitszeichen stehen und auf der anderen Seite (rechts) eine einzelne Zahl. Suche jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache der Faktoren vor x und vor y. Wähle die Variable aus, bei der das kleinere kgV auftritt, und multipliziere beide Gleichungen so, dass vor dieser Variablen jeweils gleiche Faktoren stehen (das ist dann nämlich das kleinste gemeinsame Vielfache). Man kann auch ohne Umschweife die erste Gleichung mit dem Faktor vor dem x der zweiten Gleichung multiplizieren und umgekehrt. Falls die (betragsmäßig gleichen) Faktoren das selbe Vorzeichen haben, dann subtrahiere die Gleichungen voneinander. Wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben, dann addiere sie. Dies geschieht komponentenweise, d.h. die Faktoren vor x werden untereina nder addiert, die Faktoren vor dem y (oder entsprechenden anderen Variablen), und die einzelnen Zahlen werden für sich behandelt. Dadurch entsteht eine Gleichung mit nur einer Variablen. Diese wird nun durch normale Äquivalenzumformungen nach der Variablen aufgelöst. Der erhaltene Wert wird in eine der ursprünglichen Gleichungen für die jeweil ige Variable eingesetzt, wodurch wieder eine Gleichung entsteht, die nur noch eine Variable, nämlich die andere, enthält. Nach dieser auflösen! Probe machen, indem die Lösungen in beide Gleichungen eingesetzt werden. Die Lösungen stimmen nur dann, wenn beide Gleichungen "aufgehen". Definition 74: Der Grad gibt an, wie viele Gleichungen und wie viele Unbekannte das Gleichungssy stem hat; im Falle 3 also drei Gleichungen mit drei Unbekannten. 108-271 Beispiel 76: 3a - b = c a + 2c = 4 - 4b 2b + c = 1 Es kommt relativ häufig vor, dass nicht in allen Gleichungen alle Variablen vorko mmen. Hier fehlt z.B. in III das a. Man kann nun diese 3. Gleichung ausnutzen, um in I und II c zu eliminieren (eliminieren = auslöschen). Dazu lösen wir sie zunächst nach c auf, um sie dann in I und II einzusetzen: III: 2b + c = 1 | - 2b III': c = 1 - 2b in I: 3a - b = c 3a - b = 1 - 2b | +2b 3a + b = 1 in II: a + 2c = 4 - 4b a + 2(1 - 2b) = 4 - 4b a + 2 - 4b = 4 - 4b | +4b -2 a=2 Damit sind zwei Gleichungen mit insgesamt zwei Unbekannten (a und b) entstanden, also dieses Gleichungssystem: 3a - b = 1 - 2b a=2 Freundlicherweise kommt in der zweiten Gleichung gar kein b mehr vor, womit die Lösung für a schon bekannt ist und in die erste eingesetzt werden kann, um b zu b erechnen: 3a + b = 1 3·2 + b = 1 | -6 b = -5 Mit den nunmehr bekannten Werten für a und b kann c berechnet werden. b allein reicht dafür auch schon aus, da in III' kein a vorkommt: in III': c = 1 - 2b c = 1 - 2·(-5) = 1 + 10 = 11 Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen oder ohne Lösung Das folgende Gleichungssystem hat keine Lösung: 109-271 x - z = 2y - 5 y - 4x + z = 6 2x + 3y = 3 - z I: x - z = 2y - 5 I': x = 2y + z - 5 | +z in II: y - 4(2y + z - 5) + z = 6 -7y - 3z + 20 = 6 II': | -20 -7y - 3z = -14 in III: 2(2y + z - 5) + 3y = 3 - z III' 7y + 2z - 10 = 3 - z | +z 7z + 3z - 10 = -3 | ·(-1) -7z - 3z + 10 = -3 | -10 -7y - 3z = -13 Vergleiche II' mit III'. Die linken Seiten sind identisch, die rechten jedoch nicht. Weit eres Gleichsetzen führt auf die falsche Aussage -14 = -13. In solchen Fällen existiert keine Lösung. Wäre dagegen das Gleichungssystem so gegeben: x - z = 2y - 5 y - 4x + z = 7 2x + 3y = 3 - z dann bekommt man mit analogen Schritten ... II': -7y - 3z = -14 ... III' -7y - 3z = -14 Also zwei identische Gleichungen. Man sagt in einem solchen Fall, die Gleichungen sind linear abhängig. Tatsächlich erhält man III, wenn man I+2·II bildet. Man hat demnach eigentlich nur zwei unabhängige Gleichungen mit drei Unbekannten und kann keine eindeutige Lösung ermitteln. Man geht in diesen Fällen von einer freien Variablen aus, z.B. z, und beschreibt die übrigen in Abhängigkeit von ihr: y = 2 - 3/7·z, x = 1/7·z - 1. 110-271 Beispiel 77: Gleichungssystem mit vier Unbekannten lösen I: 6p - q + m = 12n - 5 II: -2q - 8 = -6p + 8n - 2m III: 2m = 4n - 3p + 5 IV: 3p = 9 + 4n + q Gleichung IV nach q auflösen: 3p = 9 + 4n + q IV': q = 3p - 4n - 9 IV' in I: 6p - q + m = 12n - 5 6p - (3p - 4n - 9) + m = 12n - 5 6p - 3p + 4n + 9 + m = 12n - 5 | +5 -4n I': 3p + 14 + m = 8n IV' in II: -2q - 8 = -6p + 8n - 2m -2(3p - 4n - 9) - 8 = -6p + 8n - 2m -6p + 8n + 18 - 8 = -6p + 8n - 2m 10 = -2m -5 = m | -8n +6p | :(-2) sehr schön! in I': 3p + 14 + (-5) = 8n 3p + 9 = 8n p = 8/3n - 3 III: 2m = 4n - 3p + 5 2(-5) = 4n - 3(8/3n - 3) + 5 -10 = 4n - 8n + 9 + 5 -10 = -4n + 14 -24 = -4n | -14 | :(-4) 111-271 6=n p = 8/3n - 3 (siehe oben) p = 8/3·6 - 3 p = 13 IV': q = 3p - 4n - 9 = 3·13 - 4·6 - 9 = 6 Derartige Gleichungssysteme löst man systematischer mit dem ®Gaußschen Verfahren Beispiel 78: Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen. 6y=9x-81 und 6x-4y=12 Lösung: L={} Lösung: 1. Schritt: Rechnung: 6y=9x-81 |:6 y=1 ½ x-13 ½ 6x-4y=12 |-6x -4y=-6x+12 |:(-4) y=-1 ½ x-3 2. Gleichsetzen von I und II 1 ½ x-13 ½ =1 ½ x-3 |+13 ½ 1 ½ x=1 ½ x+10 ½ |-1 ½ x 10 ½=0 3. Angabe der Lösungsmenge L={} 112-271 Beispiel 79: Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen 4x-7y=41 und 5x+3y=63 { } Lösung: 1. Schritt: 4x-7y=41 |-4x -7y=-4x+41 |:(-7) 4 6 y= x+5 7 7 5x+3y=63 |-5x 3y=-5x+63 | :3 2 y=-1 x+21 3 2. Gleichsetzen von I und II 4 6 2 6 x-5 =-1 x+21 |+5 7 7 3 7 4 2 6 2 x=-1 x+26 |+1 x 7 3 7 3 47 168 47 x= |: 21 7 21 3 x= 4 3. Einsetzen von x in I 4 3 6 3 6 3 -5 = -5 =-5 7 4 7 7 7 7 4. Angabe der Lösungsmenge { } Beispiel 80: 113-271 Fallunterscheidung mit Beispielen Die 3 Fallunterscheidungen gibt es auch bei dem Gleichsetzungsverfahren. Hier möc hte ich Ihnen die ganzen Fälle mit Beispielen zeigen 1. Möglichkeit: Es gibt einen Schnittpunkt und die Gleichung hat nur eine Lösung. g1 g2 Beispiel 81: 6x+14y+8=0 und 8y=x-9 1. Schritt: Rechnung: 6x+14y+8=0 |-8 6x+14y=-8 |-6x 14y=-6x-8 | :14 3 4 y=- x7 7 8y=x-9 | :8 1 1 y= x-1 8 8 2. Gleichsetzen von I und II 3 4 1 1 - x- = x-1 | 56 7 7 8 8 -24x-32=7x-63 |+32 -24x=7x-31 |-7x -31x=-31 |:(-31) x=1 3. Einsetzen von x in I 3 4 3 4 - 1- =- - =-1 7 7 7 7 4. Angabe der Lösungsmenge L={1; -1} 114-271 2. Möglichkeit: Es gibt keine Lösung, die Graphen laufen parallel. g1 g2 Die Lösungsmenge ist dann L={}. Beispiel 82: 6y=9x-81 und 6x-4y=12 1. Schritt: Rechnung: 6y=9x-81 |:6 y=1 ½ x-13 ½ 6x-4y=12 |-6x -4y=-6x+12 | :(-4) y=1 ½ x-3 2. Gleichsetzen von I und II 1 ½ x-13 ½ =1 ½ x-3 |+13 ½ 1 ½ x=1 ½ x+10 ½ |-1 ½ x x=0 3. Angabe der Lösungsmenge L={} Wenn die Funktionsgleichungen das gleiche m, aber ein unterschiedliches b haben, verlaufen die Graphen parallel. 3. Möglichkeit: Es gibt viele Lösungen, wenn überall ein Schnittpunkt ist. D.h. die Graphen und ihre Funktionsgleichungen sind identisch. Und die Graphen „liegen aufeinander“. Die Lösungsmenge ist dann L={(x; y)|y=8x+3; x R } Beispiel 83: 2x+ y=4 und 10x+7,5y=20 1. Schritt: 115-271 Rechnung: 2x+ y=4 |-2x y=-2x+4 |: y=- x+ 10x+7,5y=20 |-10x 7,5y=-10x+20 | :7,5 y=- x+ 2. Gleichsetzen von I und II - x+ =- x+ |+ x = L={(x; y)|y=- x+ } Merkregeln zur Anwendung der einzelnen Verfahren I 4x-7y=28 II 2x-12=2y Am besten geeignet ist das Einsetzungsverfahren, weil man die II Gleichung nur noch durch 2 dividieren muss. I 6x+11y=31 II -2x-7y=12 Am besten geeignet ist das Additionsverfahren, weil man die II Gleichung nur noch mit 3 multiplizieren muss. I 3x+40=y II y=12-5x Am besten geeignet ist das Gleichsetzungsverfahren, weil man die beiden Gleichu ngen gleichsetzen kann, sie sind schon nach y umgeformt. I y=4x-7 II 2x-12y=9 Am besten geeignet ist das Einsetzungsverfahren, weil man y gleich in die I I Gleichung einsetzen kann. I 4x-9y=3 II -8x-4y=12 Am besten geeignet ist das Additionsverfahren, weil man die I Gleichung nur noch mit –2 multiplizieren muss. I x=-4y+9 II -7y-8=x 116-271 Am besten geeignet ist das Gleichsetzungsverfahren, weil man die Glei chung gleichsetzen kann. I -7x-9y=4 II 7x-8y=12 Am besten geeignet ist das Additionsverfahren, weil man y gleich auflösen kann. I 9x-4y=8 II -18y-4x=7 Am besten geeignet ist das Gleichsetzungsverfahren, weil man die Gleichungen gleichsetzen kann. 117-271 Der Gauß‘sche Algorithmus Dieses Verfahren dient zur Lösung von linearen Gleichungssystemen Es eignet sich zur Bestimmung einer speziellen Lösung als auch zur Angabe der g esamten Lösungsmannigfaltigkeit. Durch moderne Rechneranlagen lässt sich das Gauß‘sche Eliminationsverfahren sehr gut durchführen und hat deshalb an Bedeutung gewonnen. Seine Idee besteht darin, aus einem System von m linearen Gleichungen mit n Variablen m-1 Gleichungen so umzuformen, dass eine der Variablen, etwa x1 , in diesen m-1 Gleichungen nicht mehr vorkommt, also eliminiert wird. Aus m-2 von diesen m-1 neuen Gleichungen lässt sich nun z.B. x2 entfernen. Indem man so fortfährt, erhält man schließlich eine einfach zu lösende Gleichung, die nur noch eine Variable xn aufweist. Das Gleichungssystem lässt sich dann einfach nach allen anderen Variablen auflösen, da immer nur eine unbekannte Variable vorhanden ist. Rechenschema: a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 a 24 x 4 b2 a31 x1 a32 x 2 a33 x3 a34 x 4 b3 a 41 x1 a 42 x 2 a 43 x3 a 44 x 4 b4 x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1 a x2 a x a x4 b ' 22 ' 23 3 ' 24 ' 2 ' ' ' a32 x 2 a33 x3 a34 x 4 b3' ' ' ' a 42 x 2 a 43 x3 a 44 x 4 b4' x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1 x2 a x a x4 b ' 23 3 ' 24 ' 2 '' '' a33 x3 a34 x 4 b3'' '' '' a 43 x3 a 44 x 4 b4'' x1 a12 x 2 a13 x3 a14 x 4 b1 x2 a x a x4 b ' 23 3 ' 24 ' 2 '' x3 a34 x 4 b3'' x 4 b4''' 1 2 3 4 1' 2' 3' 4' 1' ' 2' ' 3' ' 4' ' 1' ' ' 2' ' ' 3' ' ' 4' ' ' 118-271 Im allgemeinen Teil wird ein Gleichungssystem mit 4 Variablen veranschaulicht: (1‘) erhalten wir durch Division von (1) durch a 11 (Vor. a 11 ≠0) Dann multiplizieren wir (1‘) mit a 21 und subtrahieren von (2) und erhalten (2‘). Dann multiplizieren wir (1‘) mit a 23 und subtrahieren von (3) und erhalten (3‘). Entsprechend erhält man (4‘) Anschließend wird (2‘) zu (2‘‘) vereinfacht und zur Umformung von (3‘) in (3‘‘) und von (4‘) in (4‘‘) verwendet. Dies wird analog bis ( 4‘‘‘) fortgesetzt, so dass man nach der Variablen auflösen kann. 119-271 Beispiel 84: x1 2 x3 x 4 11 (1) 4 x1 x 2 3x3 2 x 4 23 ( 2) 3x1 2 x 2 x3 (3) x4 6 x1 x 2 x3 2 x 4 14 x1 1 x2 0 x3 2 x4 1 4 3 1 2 3 1 2 23 1 6 1 1 1 2 x1 x2 x3 x4 1 0 0 1 2 1 11 5 2 21 0 0 2 1 5 4 27 1 1 3 x1 1 x2 0 x3 2 0 0 0 1 0 0 5 2 21 5 0 15 4 3 24 x1 x2 x3 1 0 0 0 1 0 2 1 11 5 2 21 1 0 3 0 0 04 3 12 x1 1 x2 0 x3 2 x4 1 b 11 0 0 0 1 0 0 5 2 21 1 0 3 0 1 4 ( 4) b 11 x4 1 x4 14 b b 11 b 1 * x4 4 x4 4 1 * x3 0 * x 4 3 x3 3 1 * x 2 5 * x3 2 * x 4 21 x 2 2 1 * x1 0 * x 2 2 * x3 1 * x 4 11 x 2 1 120-271 Sonderfälle: Unlösbare Gleichungssysteme 4 x3 2 x 4 14 2 x1 4 x1 x 2 3 x3 2 x 4 15 3 x1 2 x 2 x3 x 4 10 x1 x 2 x3 x 4 10 x1 2 x2 0 x3 4 x4 2 4 3 1 1 2 1 3 1 1 2 15 1 10 1 10 x1 x2 x3 1 0 0 1 2 1 7 5 2 13 0 0 2 1 5 4 11 1 2 3 x1 1 x2 0 x3 2 0 0 1 0 5 2 13 5 0 15 0 0 4 0 16 x1 x2 x3 x4 b 1 0 0 1 2 1 7 5 2 13 0 0 0 0 1 0 x4 x4 1 0 0 b 14 b b 7 3 4 0 4 Widerspruch Gleichungssystem unlösbar Entsteht bei einer Umformung ein Widerspruch, so ist das Gleichungssystem unlösbar. Handelt es sich bei dem Gleichungssystem um ein homogenes System (rechte Seite = 0), so kann dieser Fall nicht auftreten. 121-271 Das Gleichungssystem hat mehrere Lösungen x1 x2 x3 x4 b 2 0 4 2 14 4 3 1 2 3 1 2 15 1 10 1 1 1 1 x1 x2 x3 x4 1 0 0 1 2 1 7 5 2 13 0 2 5 4 11 0 1 1 2 1 x1 1 x2 0 x3 2 b 7 0 1 5 2 13 0 0 5 0 15 0 0 4 0 12 x1 x2 x3 x4 b 1 0 2 1 7 0 1 0 0 x4 1 6 b 5 2 13 1 0 3 0 0 0 0 0 0´ 0 x 4 ist frei wählbar x4 p x3 3 x 2 5 3 2 p 13 x2 2 2 p x1 2 3 1 p 7 x1 1 p Gleichungen, die auf beiden Seiten 0 sind, können gestrichen werden. Reichen die verbleibenden Gleichungen nicht aus zur Auflösung, so sind eine oder mehrere Var iablen frei wählbar. 122-271 Beispiel 85: Bestimmen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems. I 3x-y+4z=12 II x-2y+z=5 III 6x-4y+3z=16 Lösung: L={1; -1; 2} Lösung: I 3x-y+4z=12 II x-2y+z=5 III 6x-4y+3z=16 | (-3) I 3x-y+4z=12 II 5y+z=-3 III | (-2) |2 |5 -2y-5z=-8 I 3x-y+4z=12 II 5y+z=-3 III + -23z=-46 -23z=-46 | :(-23) z=2 III in II : 5y+2=-3 |-2 5y=-5 | :5 y=-1 y=-1 und z=2 in I 3x-(-1)+4 2=12 |-9 3x=3 |:3 x=1 Angabe der Lösungsmenge L={1; -1; 2} 123-271 Beispiel 86: Beispiel 87: 124-271 Beispiel 88: Lineare Gleichungssysteme mit Parametern Werden genauso gelöst. 125-271 Ungleichungen Formulierungen wie 2 3 ; 7 + 8 4 + 9 oder 17 3 nennt man Ungleichungen. Sie können auch eine Variable (oder mehrere ) enthalten, z.B. x + 3 18 – x. Beispiel 89: x+39 Hier tauchen Probleme auf! - Welche Zahlen stehen für x zur Verfügung? Beispielsweise gilt: 5,7 + 3 9. - Wie sollen die Lösungen aufgeschrieben werden? Derartige Probleme werden relativ elegant mit Hilfe der Mengenlehre gelöst Die Lösungen für die Ungleichung x + 3 9 lauten dann: x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5. Enthalten Ungleichungen eine Variable, dann ergeben zwei weitere Zeichen einen Sinn: ≦kleiner als oder gleich ( auch ) ≧ größer als oder gleich ( auch ) Für die obigen Beispiele bedeutet dies: zu 1. x + 3 ≦9 : neben den genannten Lösungen kommt die Lösung x = 6 hinzu, 6 + 3 =9. zu 2. 4 + x ≦18 –x : die Lösung x = 7 kommt hinzu, 4 + 11 = 18 – 7 . Definition 75: Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen , , , , steht, bilden eine Ungleichung. Lineare Ungleichungen Definition 76: Grundgedanke: Man formt mit Äquivalenzumformungen komplizierte Ungleichungen so um, dass man einfachere Ungleichungen erhält, aus denen man die Lösungsmenge ablesen kann. Durch Äquivalenzumformungen wird die Lösungsmenge der Ungleichung nicht verändert. Definition 77: 1. Äquivalenzumformung Addiert man zum Linksterm und zum Rechtsterm die gleiche Zahl a (a Q), so verändert man die Lösungsmenge der Ungleichung nicht. Die gleiche Regel gilt auch für die Subtraktion. 126-271 Beispiel 90: x + 6 14 / -6 (Auf beiden Seiten 6 subtrahieren.) G = Q x + 6 – 6 14 – 6 (Zusammenfassen.) x8 (Lösungsmenge angeben.) L = {x| x 8} (Die Lösungsmenge kann nicht in aufzählender Form angegeben werden. Man wählt die beschreibende Form: L = { x | x8} Beispiel 91: x – 4 29 / +4 G=Q x – 4 + 4 29 + 4 x 33 = { x | x 33} Definition 78: 2. Äquivalenzumformung Liest man eine Aussageform von rechts nach links, so erhält man eine dazu äquivale nte Aussageform. Beispiel 92: 17 x – 9 / +9 7+9x–9+9 26 x x 26 L = { x | x 26 } Definition 79: 3. Äquivalenzumformung Multipliziert man den Linksterm und den Rechtsterm einer Ungleichung mit der gle ichen positiven Zahl, so erhält man eine Ungleichung, die zur ursprünglichen Ungle ichung äquivalent ist. Die Regel gilt ebenfalls für die Division mit einer positiven Zahl. !!! Achtung: Die Multiplikation mit der Zahl 0 ist keine Äquivalenzumformung. 127-271 Beispiel 93: 4x 34 /:4 (Beide Seiten durch 4 teilen.) G=Q 4x : 4 34 : 4 x 8,5 L = { x | x 8,5 } Definition 80: 3. Äquivalenzumformung Multipliziert (bzw. dividiert) man den Linksterm und den Rechtsterm einer Ungleichung mit der gleichen negativen Zahl, so erhält man eine Ungleichung, die zur u rsprünglichen äquivalent ist, wenn man durch bzw. durch ersetzt und umgekehrt. (Inversionsgesetz) Beispiel 94: 2,5 x 6,25 / : (2,5) [Beide Seiten durch ( 2,5) dividieren] G = Q x 2,5 ! Achtung: Das Zeichen kehrt sich um! L = { x| x 2,5} Quadratische Ungleichungen Für das Lösen quadratischer Ungleichungen gelten die gleichen Regeln, die bereits vom Lösen von Ungleichungen bekannt sind. Zuerst betrachten wir an einigen Beispielen die Äquivalenzumformungen für Ungle ichungen: Addition / Subtraktion der gleichen Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung: Beispiel 95: x2 4 12 | 4 x2 16 | x 4, bzw. also 4 x4 x 4;4 Beispiel 96: x2 7 16 | 7 x2 9 | x 3, bzw. also x 3 oder x 3 x ;3 3; 128-271 Beispiel 97: x 32 9 16 | 9 x 32 25 | x3 5 Positiven und negativen Fall betrachten: x 3 5 oder x 3 5 also x 8 und x 2 bzw. x 8;2 Addition / Subtraktion des gleichen Vielfachen einer Variablen auf beide n Seiten: Beispiel 98: x2 7x 4 3x | 3x x2 4x 4 0 | x 22 0 Die linke Seite der Ungleichung ist ein Quadrat und somit stets nicht -negativ. Die Ungleichung ist also für alle x R erfüllt. Beispiel 99: 3x2 2x2 1 | 2 x 2 x2 1 | x 1, bzw. also 1 x 1 x 1;1 Multiplikation mit der / Division durch die gleiche(n) positive(n) Konstante auf beiden Seiten: Beispiel 100: 0,5x2 18 | 2 x 2 36 | x 6, bzw. also 6 x6 x 6;6 129-271 Beispiel 101: 3x2 12 12x |: 3 x2 4 4 x | 4 x x2 4x 4 0 x 22 0 Die linke Seite der Ungleichung ist ein Quadrat und somit stets nicht -negativ. Die Ungleichung ist also unlösbar. Multiplikation mit der / Division durch die gleiche(n) negative(n) Konstante auf beiden Seiten, wobei jedoch das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden muss! Beispiel 102: 15 x 2 20 | 5 x2 100 | x 10 , bzw. also 10 x 10 x 10;10 Beispiel 103: 4x2 12x 9 25 |: 4 x 2 3x 94 x 32 2 254 x 32 25 4 | 5 2 x 32 52 oder x 32 52 also x 1 oder x 4 bzw. x ;1 4; Bei Multiplikation mit dem / Division durch das Vielfache(n) einer Variablen könnte diese Variable prinzipiell einen positiven oder einen negativen Wert besitzen; da man i.a. aber nicht weiß, welcher Fall vorliegt, ist eine Fallunterscheidung notwendig: 130-271 Beispiel 104: x 4 x | x I. Fall: x 0 oder II. Fall: x 0 x2 4 oder x2 4 x 2 oder x 2 x2 oder x2 x 2 (!) oder x2 bzw. x ;2 0;2 Beispiel 105: 20 x 9 5x | 5x I. Fall: x 0 oder II. Fall: x 0 100x2 9 oder 100x2 9 10 x 3 oder 10 x 3 oder 10 x 3 x 0,3 (!) oder bzw. 10 x 3 x 0,3 x 0,3;0 0,3; 131-271 Beispiel 106: 1 4 x3 8x x 2 x x2 32 4x2 | 4 und Ausklammern von x |: x I. Fall: x 0 oder II. Fall: x 0 x2 32 4x oder x2 32 4x x2 4x 32 0 oder x2 4x 32 0 x 4 x 8 0 oder x 4 x 8 0 Im letzten Schritt wurde jeweils die linke Seite der Ungleichung faktorisiert. Dazu ist natürlich die Kenntnis der Nullstellen. nötig; man erhält sie entweder mit Hilfe des Satzes von Vieta oder über die Lösungsformel für quadratische Gleichungen . Nun ist aber der Wert eines Produktes genau dann negativ, wenn beide Faktoren ve rschiedene Vorzeichen haben, und genau dann positiv, wenn beide Faktore n das gleiche Vorzeichen haben. Wir betrachten die obigen Fälle nochmals gesondert und e rhalten ... im I. Fall ( x 0 ): ( x 4 0 und x 8 0 ) oder ( x 4 0 und x 8 0 ) ( x 4 und x 8 ) oder ( x 4 und x 8 ) Insgesamt im I. Fall also: 4 x 0 oder x 8 im II. Fall ( x 0 ): ( x 4 0 und x 8 0 ) oder ( x 4 0 und x 8 0 ) ( x 4 und x 8 ) oder ( x 4 und x 8 ) x 4 oder Insgesamt im II. Fall also: x8 x8 Die Ungleichung wird also gelöst, wenn 4 x 0 oder x 8 . Um die Betonung vor allem auf die genannten Äquivalenzumformungen zu legen, w aren alle vorangegangenen Beispiele so gewählt, dass sie si ch ohne große Mühe lösen ließen. Erst im letzten Beispiel ist die wesentliche Strategie zur Lösung von quadratischen Ungleichungen zu erkennen: 132-271 Definition 81: Zuerst bringt man alle Summanden auf die linke Seite der Ungleichung. Der dabei entstandene Term ax2 bx c (im obigen Beispiel x2 4x 32 ) wird faktorisiert. Dazu muss man zuerst seine Nullstellen bestimmen. Das Produkt x x1 x x2 (im obigen Beispiel x 4 x 8 ) ist genau dann negativ, wenn beide Faktoren verschiedene Vorzeichen haben, und genau dann positiv, wenn beide Faktoren das gleiche Vorzeichen haben. Dieser Ansatz führt schließlich auf die Lösung der Ungleichung. Beispiel 107: x2 12 8x | 8x x2 8x 12 0 NR: x1/ 2 8 x2 8x 12 0 6448 2 824 4 2 x1 2 , x2 6 ; x 2 x 6 0 Die Faktoren müssen also verschiedene Vorzeichen besitzen: ( x 2 0 und x 6 0 ) oder ( x 2 0 und x 6 0 ) ( x 2 und x 6 ) oder ( x 2 und x 6 ) also x 2;6 Dies kann man auch schön am Graphen interpretieren, denn die Ungleichung x2 8x 12 0 beschreibt diejenigen x-Werte, für welche f x x2 8x 12 negative Werte annimmt, also die zugehörige Parabel unterhalb der x-Achse verläuft. Alternativ könnten als Lösungsweg also auch die Nullstellen. der entsprechenden Funktion bestimmt werden und anschließend die Bereiche des Graphen, die durch die Ungleichung beschrieben werden. Im folgenden Beispiel werden beide Lösungswege dargestellt! 133-271 Beispiel 108: 2x2 3x 14 | 3x 14 2x2 3x 14 0 NR: 2x2 3x 14 0 x1/ 2 3 9112 4 3411 x1 2 , x2 3,5 ; 1. Weg: x 2 x 3,5 0 Die Faktoren müssen also das gleiche Vorzeichen besitzen: ( x 2 0 und x 3,5 0 ) oder ( x 2 0 und x 3,5 0 ) ( x 2 und x 3,5 ) oder ( x 2 und x 3,5 ) x 2 oder also x 3,5 x ;2 3,5; 2. Weg: Die zugehörige Funktion f x 2x2 3x 14 haben wir schon in einem vorherigen Beispiel. betrachtet, rechts ist nochmals ihr Graph abgebildet. Die Ungleichung 2x2 3x 14 0 beschreibt diejenigen x-Werte, an denen die Funktion nicht-negative Werte annimmt. Dem Graphen entnimmt man, dass dies „außerhalb“ der Nullstellen. der Fall ist. Liegt der Graph nicht vor, so überlegt man sich entweder, dass die Parabel nach oben geöffnet sein muss (weil der Koeffizient von x 2 , nämlich 2, positiv ist), oder behilft sich mit einfachem Ausprobieren, indem man einen Wert zwischen den beiden Nullstelle einsetzt, am einfachsten hier z.B. x 0 ; man erhält f 0 14 , und da dieser Wert negativ ist, weiß man, dass die Parabel zwischen den Nullstelle unterhalb der x-Achse verlaufen muss, außerhalb der Nullstelle also oberhalb der x-Achse. Diese Bereiche „außerhalb“ (und inklusive) der Nullstelle. sind nun aber – genau wie auch im obigen Lösungsweg bestimmt – die Bereiche mit x 2 oder x 3,5 . Also erhalten wir auch hier: x ;2 3,5; 134-271 Bruchungleichungen Definition 82: Es gelten die Äquivalenzumformungen für Ungleichungen. Da die Variable im Nenner vorkommen kann, muss eine Definitionsmenge auf jeden Fall angegeben werden. Es muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden. Bemerkung 13: Bevor wir mit Rechnungen beginnen, sollten zwei wichtige Dinge geklärt werden. 1. Was ist ein Bruchterm und 2. Was ist eine Bruchungleichung? Unter einem Bruchterm versteht man einen Bruch, dessen Nenner - das ist die Zahl unter dem Bruchstrich - eine Variable enthält. Und eine Bruchungleichung ist eine Ungleichung, die mindestens einen Bruchterm enthält. Bruchungleichungen lassen sich wie auch Ungleichungen durch Äquivalenzumformu ngen lösen. Zuvor muss jedoch ein Blick auf die Nenner der Bruchungleichungen geworfen werden, um die Definitionsmenge zu bestimmen. Es gilt: Es darf kein Wert für eine Variable eingesetzt werden, welcher zu einer Division durch Null führt. Zu bestimmen sind also die Nennernullstellen, denn genau diese Werte gehören nicht zur Definitionsmenge. Ebenfalls zu beachten ist, dass bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl oder bei der Division durch eine negative Zahl das Relationszeichen umgekehrt werden muss. Wird eine Bruchungleichung mit einer Variablen multipliziert oder durch sie dividiert, muss eine Fallunterscheidung gemacht werden. 135-271 Beispiel 109: Zunächst bestimmen wir die Definitionsmenge. So darf x = 5 nicht in die Ungleichu ngen eingesetzt werden, da sonst eine Division durch Null erfolge n würde. Im Anschluss überlegen wir uns die Bedingungen, für die ein Bruch größer als Null wird. Dies ist der Fall Nr. 1, wenn Zähler und Nenner größer Null werden oder Fall Nr. 2, wenn Zähler und Nenner kleiner Null werden. Fall 1 und Fall 2 werden berech net und die jeweils schärfere Bedingung wird angesetzt ( Es wird die Bedingung genommen, welche die andere mit einschließt ). 136-271 Beispiel 110: 1.Schritt: Definitionsbereich bestimmen 2.Schritt: Mit Nenner (3x–2) multiplizieren (Fallunterscheidung nötig) 3.Schritt: Brüche kürzen: Brüche fällen weg 4.Schritt: Ungleichungssysteme lösen 5.Schritt: Lösungsmenge bestimmen (Vereinigungsmenge der Lösungen) 137-271 Betragsungleichungen Definition 83: Kommen in einer Gleichung oder Ungleichung Betragsterme vor, so müssen diese mit Hilfe einer Fallunterscheidung erst aufgelöst werden, bevor die endgültige Gleichung oder Ungleichung gelöst werden kann. Beispiel 111: | | Auflösen des Betrags. Lösen der linearen Ungleichung. 1. Fall: { } 2. Fall: { } { } 138-271 Matrizen Definition 84: Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Die Matrix (Mehrzahl: Matrizen) besteht aus waagerecht verlaufenden Zeilen und senkrecht verlaufenden Spalten. Verdeutlichung am Beispiel: Bemerkung 14: Eine Matrix besteht aus reellen Zahlen, die man Elemente nennt. Z.B. sind die Elemente a 21 und a 22 Elemente der Matrix oben, genauer gesagt die Elemente der zweiten Zeile der Matrix. Eine Matrix wird in runde Klammern geschrieben. Eine Matrix wird mit einem großen Buchstaben bezeichnet, deren Elemente mit kleinen Buchstaben. Beispiel: Die Matrix A besteht aus den Elementen a 11 , a 12 , a 21 , ... Anhand der Bezeichnung des Elementes kann man erkennen, zu welcher Matrix es gehört, am Index eines Elementes kann man erkennen, in welch er Zeile und Spalte das Element steht: z.B. ist das Element a 32 in der 3.Zeile und 2.Spalte der Matrix A zu finden. Weites Beispiel: Das Element c 97 steht in der 9.Zeile und 7.Spalte der Matrix C. Weitere Bezeichnungen: Definition 85: Für die Matrix A (siehe Bild) gibt es eine kürzere Schreibweise: A=(a ik) mit 1<i<3 und 1<k<2. Oder noch kürzer: A=(a ik) (3,2). Allgemein schreibt man: A=(a ik)(m,n) für eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten, die aus den Elementen a ik besteht. 139-271 Typ einer Matrix Definition 86: Hat eine Matrix m Zeilen und n Spalten, so sagt man, dass die Matrix vom Typ (m,n) ist, z.B. ist die Matrix A (siehe Bild) vom Typ (3,2). Zeilenmatrix Definition 87: Besteht eine Matrix nur aus einer Zeile, so nennt man sie Zeilenmatrix. Das Beispiel zeigt eine Zeilenmatrix: Eine Zeilenmatrix ist somit vom Typ (1,n) Spaltenmatrix Definition 88: Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte, so heißt sie Spaltenmatrix. Das Beispiel zeigt eine Spaltenmatrix: Eine Spaltenmatrix ist somit vom Typ (m,1) Nullmatrix Definition 89: Besteht eine beliebige Matrix nur aus Nullen, so nennt man sie eine Nullmatrix. Das Beispiel zeigt eine Nullmatrix von Typ (3,4): 140-271 Zeilen- und Spaltenvektoren Definition 90: Die Zeilen einer Matrix bezeichnet man auch als Zeilenvektoren, analog bezeichnet man die Spalten als Spaltenvektoren. Beispiel: Die folgende Matrix besteht aus drei Zeilen und zwei Spalten, also aus drei Zeilenve ktoren (oder aus zwei Spaltenvektoren): Es gilt also: 1.Zeilenvektor von A = (a 11 ,a 12 ) 2.Zeilenvektor von A = (a 21 ,a 22 ) 3.Zeilenvektor von A = (a 31 ,a 32 ) 1.Spaltenvektor von A = (a 11 ,a 21 ,a 31 ) 2.Spaltenvektor von A = (a 12 ,a 22 ,a 32 ) Gleichheit von Matrizen Definition 91: Zwei Matrizen A=(a ik ) und B=(b ik ) sind gleich, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind: Die beiden Matrizen sind vom gleichen Typ Die Matrizen stimmen in jedem Element überein: a ik = b ik (für alle i,k) Beispiel 112: Folgende zwei Matrizen sind gleich: 141-271 Transponieren Definition 92: Vertauscht man die Zeilen und die Spalten einer Matrix A, so heißt die entstandene Matrix die "Transponierte der Matrix A". Die Transponierte der Matrix A nennt man A T . Beispiel 113: Als Beispiel sei folgende Matrix vom Typ (3,2) gegeben: Vertauschen wir nun die Zeilen und Spalten der Matrix, so erhalten wir A T , d.h. die Transponierte der Matrix A: Bemerkung 15: Ist die Matrix A vom Typ (m,n), so ist die A T vom Typ (n,m) Transponiert man eine Matrix zweimal, so erhält man wieder die ursprüngliche Matrix. Als Formel: (A T )T = A Die Elemente der Matrix A und der Matrix A T stehen in folgenden Zusammenhang: 142-271 Quadratische Matrix Definition 93: Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen mit der Anzahl der Spalten übereinstimmt. Quadratische Matrizen sind also Matrizen vom Typ (m,m). Die Haupt- und Nebendiagonale: Definition 94: Quadratische Matrizen (und nur diese) haben eine so genannte Hauptdiagonale sowie eine Nebendiagonale. Die Hauptdiagonale beginnt immer links oben (beim Element a 11 ) und endet rechts unten (im Beispiel beim Element a 33 ). Die Nebendiagonale beginnt rechts oben und endet links unten. Transponiert man eine Matrix A, so entspricht dies einer Spiegelung an der Hauptdi agonalen. Diagonalmatrix Definition 95: Ein Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte Diagonalmatrix, bei der alle außerhalb der Hautdiagonalen liegenden Elemente gleich Null sind. Eine Diagonalmatrix hat also immer die folgende Gestalt: Beispiel 114: 143-271 Einheitsmatrix Definition 96: Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall der Diagonalmatrix, die wiederum ein Spezialfall der quadratischen Matrix ist: Eine Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente gleich 1 sind, nennt man Ei nheitsmatrix. Beispiel 115: Untere Dreiecksmatrix Definition 97: Ein weiterer Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte "untere Dreiecksmatrix". Bei ihr sind alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen gleich Null. Eine "untere Dreiecksmatrix" hat also immer die folgende Gestalt: Beispiel 116: Obere Dreiecksmatrix Beispiel 117: Neben der unteren gibt es auch eine obere Dreiecksmatrix. Bei der oberen Dreiecksmatrix sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich Null. Eine "obere Dreiecksmatrix" hat also immer die folgende Gestalt: 144-271 Beispiel 118: Symmetrische Matrix Definition 98: Ein weiterer Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte "symmetrische Matrix": Bei der "symmetrischen Matrix" sind alle Elemente spiegelbildlich zur Hauptdiagon alen angeordnet: a ik = a ki Beispiel 119: Folgende zwei Matrizen sind symmetrische Matrizen: Schiefsymmetrische Matrix Definition 99: Ein weiterer Spezialfall der quadratischen Matrix ist die so genannte "schiefsymmetr ische Matrix": Eine "schiefsymmetrischen Matrix" liegt vor, wenn gilt: Die Elemente, die spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen liegen, sind vom Betrag gleich, haben aber entgegengesetzte Vorzeichen. Die Hauptdiagonalenelemente sind gleich Null. Beide Teile der Definition kann man durch folgende Formel zusammenfassen: a ik= -a ki Beispiel 120: Folgende zwei Matrizen sind schiefsymmetrische Matrizen: 145-271 Addition von Matrizen Definition 100: Zwei Matrizen werden addiert, indem Elemente mit gleichem Index addiert werden. Wichtige Anmerkung Die beiden Matrizen die addiert werden sollen, müssen vom gleichem Typ sein, d.h. die Anzahl der Zeilen muss bei beiden Matrizen gleich sein, und die Anzahl der Spa lten muss bei beiden Matrizen gleich sein. Gesetze Für die Matrizenaddition gelten folgende Gesetze: Kommutativgesetz: A+B = B+A Assoziativgesetz: A+(B+C) = (A+B)+C Beispiel: Subtraktion von Matrizen Definition 101: Zwei Matrizen werden subtrahiert, indem Elemente mit gleichem Index subtr ahiert werden. Wichtige Anmerkung Die beiden Matrizen die subtrahiert werden sollen, müssen vom gleichem Typ sein, d.h. die Anzahl der Zeilen muss bei beiden Matrizen gleich sein, und die Anzahl der Spalten muss bei beiden Matrizen gleich sein. Gesetze Für die Matrizensubtraktion gilt weder das Assoziativgesetz noch das Kommutativg esetz. Beispiel 121: 146-271 Skalar-Matrix-Multiplikation Definition 102: Ein Skalar (eine Zahl) wird mit einer Matrix A multipliziert, indem man jedes Matr ixelement mit dem Skalar multipliziert. Gesetze: Für die Skalar-Matrix-Multiplikation gelten folgende Gesetze: Assoziativgesetz: 1 (2 A) = (1 2 )A Distributivgesetze: (1 +2 )A = 1 A+2 A 1 (A+B) = 1 A + 1 B Beispiel 122: Bemerkung 16: Das Beispiel bzw. die Definition kann man auch anders herum lesen: Ein Faktor der in allen Elementen einer Matrix enthalten ist, darf vor die Matrix geschrieben werden. Den "Multiplikationspunkt" haben wir, so wie es üblich ist, fortgelassen, z.B. müsste man für 1 (2 A) genau genommen 1 ·(2 ·A) schreiben. Matrizen-Multiplikation Definition 103: Das Produkt einer Matrix A=(a ik ) mit einer Matrix B=(b ik ) ist ebenfalls eine Matrix, die wir Matrix C=(c ik) nennen. Die Elemente c ikder Matrix C werden auf folgende Weise gebildet: Das Element c ik ist das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem kten Spaltenvektor der Matrix B. Beispiel 123: Gegeben sei eine Matrix A=(a ik ) und eine Matrix B=(b ik). Das Produkt der beiden Matrizen ist laut Definition wieder eine Matrix, die wir in der Definition C=(c ik) genannt hatten: 147-271 Warum die Matrix C vom Typ (3,2) ist wird erst auf der nächsten Seite erklärt. Jetzt wollen wir die Matrix erst einmal berechnen: Um die Matrix C zu bestimmen muss man nun (mit Hilfe der Definition) deren El emente c ik bestimmen. Exemplarisch bestimmen wir c 32 : Laut Definition ist c 32 gleich dem Skalarprodukt aus dem 3.Zeilenvektor der Matrix A und dem 2.Spaltenvektor der Matrix B: Nun können wir das Element c 32 in die Matrix C eintragen: Die Berechnung der restlichen Elemente (c 11 , c 12 , c21 , c22 und c 31 ) erfolgt analog. Das Ergebnis lautet: Bemerkung 17: Das Matrizenprodukt A·B ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl der Matrix A mit der Zeilenzahl der Matrix B übereinstimmt. Man sagt auch: Ist eine Matrix A vom Typ (m,n) so kann sie nur dann mit einer Matrix B multipliziert werden, wenn die Matrix B vom Typ (n,r) ist. Erklärung: Nehmen wir an, die Spaltenzahl der Matrix A würde nicht mit der Zeilenzahl der Ma trix B übereinstimmen, sondern wäre z.B. kleiner: Nun berechnen wir z.B. c 11 . Laut Definition ist c 11 gleich dem Skalarprodukt aus dem 1.Zeilenvektor von A und dem 1.Spaltenvektor von B. (a 11 , a 12 )·(b 11 , b 21 , b 31 ) 148-271 Dieses Skalarprodukt ist aber gar nicht definiert. Das Skalarprodukt ist nämlich nur zwischen Vektoren definiert, die gleich viele Komponenten haben. Ist das Skalarprodukt nicht definiert, so gilt dies auch für das Matrizenprodukt. Bemerkung 18: Die Matrix C=A·B hat so viele Zeilen wie die Matrix A und so viele Spalten wie die Matrix B. Man sagt auch: Ist die Matrix A vom Typ (m,n) und B vom Typ (n,r), so ist die Matrix C vom Typ (m,r). Warum ist das so? Wir erklären dies am Beispiel der Vorseite. Laut obigen Satz hat die Matrix C genau 3 Zeilen. Nun beweisen wir, dass die Matrix C keine 4 Zeilen haben kann: Nehmen wir an, die Matrix C hätte 4 Zeilen, dann gäbe es z.B. ein Element c 41 . Dieses wäre definiert als das Skalarprodukt aus dem 4.Zeilenvektor von A und dem 1.Spaltenvektor von B. Da die Matrix A aber keinen 4.Zeilenvektor hat, kann man kein Element c 41 bilden, und somit hat die Matrix C keine 4 Zeilen. Beispiel 124: Gegeben seien die Matrizen A und B, gesucht das Matrizenprodukt C=A·B Als erstes werden wir das Element c 11 berechnen. Laut Definition gilt: c11 ist gleich dem Skalarprodukt aus dem 1.Zeilenvektor der Matrix A und dem 1.Spaltenvektor der Matrix B: Jetzt tragen wir c 11 in die Ergebnismatrix ein: 149-271 Analog berechnen wir das Element c 12 der Ergebnismatrix: Laut Definition ist c 12 gleich dem Skalarprodukt aus dem 1.Zeilenvektor der Matrix A und dem 2.Spaltenvektor der Matrix B: Auch c 12 tragen wir in die Ergebnismatrix ein: Schließlich müssen wir nur noch die Elemente c 21 und c 22 berechnen: c21 ist das Skalarprodukt aus dem 2.Zeilenvektor der Matrix A und dem 1.Spaltenvektor der Matrix B. c22 ist das Skalarprodukt aus dem 2.Zeilenvektor der Matrix A und dem 2.Spaltenvektor der Matrix B. Will man eine Matrix berechnen, so kann man das am einfachsten mit dem folgenden Schema machen: Das Falk-Schema Gegeben seien zwei Matrizen A und B. Gesucht ist deren Produkt C=A·B: Die Matrix A schreibt man nach links, die Matrix B nach oben: 150-271 Will man nun ein Element berechnen, so stehen die Vektoren die man dazu braucht links bzw. oberhalb des gesuchten Elementes. Exemplarisch haben wir die Elemente c 11 und c 32 berechnet: Gesetze Für die Multiplikation von Matrizen gelten folgende Gesetze: Kommutativgesetz: nein, gilt im Allgemeinen nicht Assoziativgesetz: (AB)C = A(BC) Distributivgesetze: A(B+C) = AB + AC (A+B)C = AC + BC 151-271 Determinanten Wiederholung: Was ist eine Funktion? Um das folgende zu verstehen, muss der Begriff der "Funktion" kurz wiederholt we rden: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnungsvorschrift die jedem Element einer Me nge genau ein Element einer zweiten Menge zuordnet. Bei einer "ganz normalen" Funktion wird also einer Zahl wieder eine Zahl zugeordnet. Das Bild zeigt eine solche Funktion: Diese Funktion ordnet den Zahlen 1 bis 6 der linken Menge eindeutig eine Zahl zu, d.h. jeder Zahl der linken Menge wird genau eine Zahl der rechten Menge zugeordnet. Die Determinantenfunktion Man kann aber auch Funktionen definieren, die einer quadratischen Matrix eine Zahl zuordnen. Zu dieser Art von Funktionen gehört die Determinantenfunktion: 152-271 Determinanten Die Determinantenfunktion ordnet Matrizen einen Funktionswert (Zahl) zu. Diesen Funktionswert nennt man "Determinanten". Im vorigen Bild gilt z.B.: Die Determinante der Matrix E ist die Zahl 2, die Determinante der Matrix F ist die Zahl 8 und die Determinante der Matrix G ist die Zahl 4. Zweireihige Determinanten Vorbemerkung zur Definition: Auf der vorigen Seite hatten wir gesagt, das die Determinantenfunktion einer quadratischen Matrix eine Zahl zuordnet. Diese Zahl hatten wir den Namen Determinante gegeben. Nun müssen wir natürlich noch definieren, welchen Wert diese Zahl hat. Zuerst def inieren wir 2-reihige Determinanten: Definition 104: Die Determinantenfunktion ordnet nur quadratischen Matrizen eine Zahl zu. Für nichtquadratische Matrizen ist die Determinantenfunktion nicht definiert. Natürlich ist die Determinantenfunktion wie jede andere Funktion eindeutig, d.h. j eder quadratischen Matrix wird genau eine Determinante (Zahl) zugeordnet. Beispiel 125: 2-reihige Matrix berechnen. Gegeben sei folgende Matrix: Nun berechnen wir die Determinante nach oben genannter Formel: Lösung: Die Determinante ist die Zahl 4. 153-271 Beispiel 126: Schreibweisen: Auf der vorigen Seite hatten wir die Determinantenfunktion definiert, und zwar für den Fall einer 2-reihigen Matrix: Der Zahl "rechts vom Pfeil" hatten wir Determinante D genannt, die der Matrix A z ugeordnet wurde. Wir nennen die Zahl deshalb auch det A: Oft schreibt man stattdessen auch |A|: Eine Variante dieser Bezeichnungsart ist folgende, bei der nochmals alle Elemente aufgezählt werden: 154-271 Sprechweisen Ich berechne die Determinante |A| heißt, ich berechne welcher Wert der Matrix A durch die Determinantenfunktion zugewiesen wird. 3-reihige Determinanten Definition 105: Auf der vorigen Seite hatten wir die Determinantenfunktion für 2-reihige Matrizen definiert. Jetzt wollen wir das gleiche für 3-reihige Matrizen machen. Die Definition lautet: mit |A| = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 31 a 22 a 13 - a 32 a 23 a 11 - a 33 a 21 a 12 Beispiel 127: Als Beispiel sei folgende Matrix gegeben: Die Determinantenfunktion ordnet der Matrix A die Determinante |A| zu: Will man nun die Determinante berechnen, so muss man die obige Definition benu tzen: |A| = 0·5·1 + 2·4·3 + 5·6·2 - 3·5·5 - 2·4·0 - 1·6·2 = 0+24+60-75-0-12 = -3 Die Determinante |A| hat also den Wert -3. 155-271 Sarrus-Regel Was ist die Sarrus-Regel? Die auf der vorigen Seite gelernte Definition für 3-reihige Determinanten kann man sich mit der Regel von Sarrus merken. Sie ist also keine neue Definition, sondern eine simple Merkhilfe. Erklärung der Regel: Zuerst schreiben wir die zwei ersten Spalten der Determinante |A| nochmals rechts neben dieselbe: Die drei im folgenden Bild eingezeichneten Diagonalen nennt man die Ha uptdiagonalen. Das Produkt je einer Hauptdiagonalen nennt man Hauptdiagonalenprodukt. Wir haben also drei Hauptdiagonalenprodukte (kurz HP's): Die anderen drei Diagonalen nennt man Nebendiagonalen bzw. ihre Produkte die N ebendiagonalen-Produkte. Addiert man die drei Hauptdiagonalen-Produkte und subtrahiert davon die drei Nebendiagonalen-Produkte, so erhält man die von der Vorseite bekannte Formel für |A|: 156-271 |A|=a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 31 a 22 a 13 -a 32 a 23 a 11 -a 33 a 21 a 12 Beispiel 128: Gegeben sei die folgende Determinante, deren Wert noch nicht bestimmt ist. Wir benutzen das Lösungsschema der vorigen Seite. Zuerst schreiben wir die zwei ersten Spalten der Determinante |A| nochmals rechts neben dieselbe: Jetzt bestimmen wir die drei Hauptdiagonalenprodukte (HP's): Danach bestimmen wir die drei Nebendiagonalenprodukte (NP's): Schließlich addieren wir die drei Hauptdiagonalen-Produkte, subtrahieren davon die drei Nebendiagonalen-Produkte und erhalten die Determinante |A|: |A| = 0+24+60-75-0-12 = -3 157-271 Beispiel 129: Eigenschaften von Dreier-Determinanten 158-271 159-271 Beispiel 130: =60(40+10)=3000 Hier wurde am Ende die erste Zeile von der 2. subtrahiert, was die beiden Nullen e rgeben hat. 160-271 Beispiel 131: Hier wurde am Ende die 2. Spalte von der dritten subtrahiert. Beispiel 132: 161-271 n-reihige Determinanten Anmerkung Genauso wie für 2- und 3-reihige Determinanten müssten wir auch für 4-, 5-, 6-, ... , n-reihige Determinanten eine Formel angeben, mit der man sie berechnen kann. Dabei stößt man aber schnell an Grenzen, denn schon eine Determinante mit 5 Re ihen hat eine Lösungsformel mit 120 Summanden! Das ist zu viel Arbeit! Wir werden aber bald eine Definition (=Lösungsformel) der Determinantenfunktion kennen lernen, die wesentlich kürzer und eleganter ist. Da die Berechnung von Determinanten mit mehr als 3 Reihen sehr aufwendig aber doch Routinearbeit ist, werden sie oft mit Computerprogrammen oder Taschenrec hnern berechnet! Einreihige Determinanten Bis jetzt haben wir noch keine einreihigen Determinanten definiert. Die Definition der "Einreihigen Determinante" ist kurz und simpel. Definition 106: Eine einreihige Determinante hat den gleichen Wert wie ihr (einziges) Element. Die Formel dazu: |a 11 | = a 11 Beispiel Welchen Wert hat die Determinante |4711|? Antwort: Die Determinante hat den Wert 4711. 162-271 Schnittpunktelement Definition 107: Streicht man in einer Determinante eine beliebige Zeile i und außerdem eine belieb ige Spalte k, so nennt man das Element a ik das Schnittpunktelement. Das Schnittpunkt-Element a ik ist also genau das Element, dass sowohl in der gestrichenen Zeile als auch in der gestrichenen Spalte steht. Beispiel 133: Als Beispiel sei eine 3-reihige Determinante gegeben: Als Beispiel streichen wir die dritte Zeile und die zweite Spalte: Das Schnittpunkt-Element ist dann das Element a 32 : 163-271 Unterdeterminante Definition 108: Streicht man in einer Determinante eine beliebige Zeile i und eine beliebige Spalte k, so nennt man die übrig bleibenden Elemente die Unterdeterminante D ik . Beispiel 134: Gegeben sei eine dreireihige Determinante |A|: Nun streichen wir eine Zeile i und eine Spalte k. Als Beispiel streichen wir die 3.Zeile und die 2.Spalte: Es bleiben vier Elemente übrig die nicht gestrichen wurden. Diese vier Elemente bilden die so genannte Unterdeterminante D 32 : Beachte: Hat die Determinante n Reihen, so haben alle Unterdeterminanten n -1 Reihen. Vorzeichen-Faktor Vorbemerkung zur Definition Man kann eine Funktion definieren, die jeder Unterdeterminante D ik einen Vorzeichenfaktor zuordnet. Der Vorzeichenfaktor kann den Wert (+1) oder (-1) haben. Die Funktion nennen wir die "Vorzeichenfunktion". Definition 109: Der Unterdeterminante D ik wird durch die Vorzeichenfunktion der Vorzeichenfaktor V ik zugeordnet. Dieser berechnet sich so: D ik -> V ik = (-1)i+k 164-271 Beispiel 135: Nehmen wir an, wir streichen in einer Determinante z.B. die 3.Zeile und die 2.Spalte, so dass die Unterdeterminante D 32 entsteht: Der Unterdeterminante D 32 wird dann der Vorzeichenfaktor V 32 zugeordnet, der sich nach obiger Definition berechnen lässt: V ik = (-1)i+k = (-1)3+2 =(-1)5 =(-1) Anmerkung Das Produkt aus Vorzeichenfaktor V ik und Unterdeterminante D ik nennt man auch "algebraisches Komplement" A ik: A ik = V ik · D ik Entwicklungsformel Jetzt definieren wir eine n-reihige Determinante durch ihre Unterdeterminanten. Die Formel nennen wir Entwicklungsformel. Auf den nächsten Seiten werden wir dann sehen, wozu diese Formel zu gebrauchen ist. 165-271 Definition 110: Gegeben sei eine n-reihige-Determinante, im Beispiel eine 3-reihige: Hat die Determinante n-Reihen, so schreiben wir sie n-mal nebeneinander, d.h. in unserem Beispiel 3-mal: Nun streichen wir in allen Determinanten die erste Reihe, sowie in de r n-ten Determinante die n-te Spalte: Es entstehen n Unterdeterminanten (im Beispiel entstehen drei): Diese Unterdeterminanten addieren wir: D 11 +D 12 +D 13 +...+D 1n Jetzt multiplizieren wir noch jede Unterdeterminante mit dem gleichnamigen Vorze ichenfaktor und Schnittpunkt-Element: V 11 a 11D 11 + V 12 a 12 D 12 + ... + V 1n a 1nD 1n Schließlich definieren wir, dass diese Formel gleich der gegebenen Determinante D sein soll: D = V 11a 11 D 11 + V 12 a 12 D 12 + ... + V 1na 1nD 1n Meist schreibt man die Entwicklungsformel mit dem -Zeichen: 166-271 Beispiel zur Entwicklungsformel Beispiel 136: Als Beispiel sei eine 3-reihige-Determinante gegeben: Laut Definition müssen wir die Determinante 3x aufschreiben: Dann müssen wir die erste Zeile streichen und je eine der Spalten: Es entstehen drei Unterdeterminanten: Jetzt addieren wir diese drei Unterdeterminanten: Jede Unterdeterminante multiplizieren wir mit ihrem gleichnamigen Vorzeichenfaktor und Schnittpunktelement: Die drei Vorzeichenfaktoren müssen wir noch berechnen: V 11 = (-1)1+1 =1 V 12 = (-1)1+2 = -1 V 13 = (-1)1+3 =1 Die 3-reihige Determinante D, ausgedrückt durch 2-reihige Unterdeterminanten, lautet somit: =-123 167-271 Folgen und Reihen Folgen Definition 111: Als (reelle) Zahlenfolge bezeichnet man eine geordnete Folge von Zahlen. Zum Unterschied von Mengen schreibt man Folgen in spitzen Klammern: a 1 , a 2 , a 3 , ... Das n-te Folgenglied schreibt man a n oder a(n). n heißt Index von a n. (Manchmal beginnt man die Zählung auch mit a 0 .) Eine Folge kann auf verschiedene Arten dargestellt werden: Definition 112: Man gibt an, wie man aus einem Folgenglied das nächste bere chnet (rekursive Darstellung) oder wie man aus n das n-te Folgenglied berechnet (explizite Darstellung). Beispiel 137: (1) <2, 4, 6, 8, 10, ... > a 1 = 2, a n+1 = a n + 2 a n = 2n Bemerkung 19: Monotonie Definition 113: Eine Folge a n ist monoton wachsend, wenn die Folgenglieder immer größer werden a n a n+1 für alle n N Eine Folge a nist monoton fallend, wenn die Folgenglieder immer kleiner werden: a n a n+1 für alle n N Wenn < oder > gilt, spricht man von strenger Monotonie. Schranke Definition 114: Eine Zahl s o heißt obere Schranke der Folge a n, wenn alle Folgenglieder kleiner oder gleich s o sind: a n s o für alle n N Eine Zahl s u heißt untere Schranke der Folge a n , wenn alle Folgenglieder größer oder gleich s u sind: a n s u für alle n N Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie eine obere und eine untere Schranke besitzt. 168-271 Grenzwert und Konvergenz: Bei manchen Folgen stellen wir fest, dass sich die Folgenglieder einer bestimmten Zahl annähern. Diese Zahl heißt Grenzwert oder Limes der Folge: Definition 115: Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge a n, wenn die Differenz |a n - a| für genügend große n beliebig klein wird. Man schreibt: (a = Limes von a n für n gegen unendlich). Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent (sie konvergiert bzw. strebt gegen a). Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, ist sie konvergent. Beispiel 138: Die Folge konvergiert gegen 0. Die Folgenglieder nehmen zwar nie den Wert 0 an, aber die Differenz |a n - 0| wird kleiner als jede beliebige Zahl . Setzen wir z.B. = 0,01: Ab dem 101. Folgenglied ist also die Differenz kleiner als 0,01. Ebenso können wir zu jedem anderen einen Index n finden, ab dem gilt: Definition 116: |a n - 0| < . 169-271 Beispiel 139: Wir untersuchen die Folge auf Monotonie, Schranken und Grenzwerte. Monotonie: Vermutung: Die Folge ist monoton wachsend. Wir müssen also zeigen: a n a n+1 für alle n N Um a n+1 zu erhalten, ersetzen wir im Bildungsgesetz n durch n+1: Diese Aussage ist immer wahr, die Vermutung ist daher bewiesen. (Wir durften die Ungleichung mit n(n+1) multiplizieren, weil dieser Ausdruck für alle natürlichen Zahlen n positiv ist.) Schranken: Vermutung: 3 ist obere Schranke. Diese Aussage stimmt für alle natürliche Zahlen n. Vermutung: 0 ist untere Schranke. Auch diese Aussage stimmt für alle natürliche Zahlen n. Grenzwert: Um den Grenzwert der Folge zu berechnen, dividieren wir Zähler und Nenner durch n und wenden die Grenzwertsätze an: 170-271 Definition 117: Wenn in der Termdarstellung auch höhere Potenzen von n vorkommen, dividiert man Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz. Ab wann ist |a n - 2| < 0,01? Ab dem 101. Folgenglied ist die Differenz |a n - 2| < 0,01. Arithmetische Folgen Bei der Beispielfolge 2, 4, 6, 8, 10, ... erhält man das jeweils nächste Glied, indem man zum vorigen eine positive Konstante k addiert. Eine solche Folge heißt arithmetische Folge. Ihr Bildungsgesetz lautet: Eine arithmetische Folge wird durch eine lineare Funktion dargestellt. Sie ist für k > 0 monoton wachsend, für k < 0 monoton fallend, in jedem Fall unbeschränkt. Jedes Folgenglied ist das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarn. Geometrische Folgen Bei der Beispielfolge <10, 20, 40, 80, 160, ... > erhält man das jeweils nächste Glied, indem man das vorige mit einer Konstante q multipliziert. Eine solche Folge heißt geometrische Folge. Ihr Bildungsgesetz lautet: Eine geometrische Folge wird durch eine Exponentialfunktion dargestellt. Sie ist für q > 1 monoton wachsend, für 0 < q < 1 monoton fallend. Ist q < 0, so sind die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ. Für |q| < 1 ist die Folge beschränkt und konvergiert gegen 0. Jedes Folgenglied ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarn. 171-271 Alternierende Folge Definition 118: Eine Folge deren Glieder abwechselnd unterschiedliche Vorzeichen tragen, heißt eine alternierende Folge. Beispiel 140: Diese sogenannten „Vorzeichenfolgen“ sollte man sich gut merken: 172-271 Rekursive Folge Definition 119: Eine Folgendefinition heißt rekursiv, wenn man jedes Glied aus seinem Vorgänger berechnen muss. Natürlich muss ein „Anfangsglied“ gegeben sein, damit man weiß, wo man mit der Berechnung beginnen kann. Dies muss aber nicht unbedingt a 1 sein. Man kann beispielsweise auch a 5 vorgeben und von dort aus nicht nur die nachfolgenden Glieder, sondern auch die Vorgänger berechnen. Beispiel 141: 173-271 Wachstum Beispiel 142: Lösung: 174-271 Beispiel 143: Lösung: 175-271 Exponentielle Abnahme Beispiel 144: Lösung: 176-271 Reihen Addiert man die Glieder einer Folge, so erhält man eine Reihe. Die Summe a 1 + a 2 + ... + a n bezeichnet man als n-te Teilsumme s n . Mit dem Summenzeichen kann man das kürzer schreiben: Definition 120: ∑ Eine unendliche Reihe ist konvergent, wenn die Folge der Teilsummen konvergiert. Den Grenzwert s bezeichnet man dann als "Summe der unendliche Reihe": Definition 121: Unter einer Reihe versteht man die Folge der Teilsummen einer Folge. Diese Teilsummen beginnen stets beim Anfangslied a 1 oder a 0 : Statt Teilsummen sagt man auch Partialsummen. 177-271 Arithmetische Reihe Definition 122: Die zu einer arithmetischen Folge gehörende Folge der Teilsummen heißt eine arithmetische Reihe. Die Formel lautet: Beispiel 145: Beispiel 146: 178-271 Beispiel 147: Beispiel 148: 179-271 Beispiel 149: Beispiel 150: 180-271 Geometrische Reihe Definition 123: Die Formel lautet: Die erste Formel verwendet man für |q| > 1, die zweite für |q| < 1. In diesem F all konvergiert die Reihe, und wir erhalten die Formel für die Summe der unendlichen geometrischen Reihe: | | Beispiel 151: Beispiel 152: 181-271 Grenzwerte, Stetigkeit, Differentiation Grenzwerte von Funktionen Definition 124: Eine Zahl g heißt Grenzwert der Funktion für x bzw. x , wenn für jede Urbildfolge (x n ) mit x bzw. x und x n D f die Bildfolge f(x n)) denselben Grenzwert g hat. Man schreibt dann lim f ( x ) g x bzw. lim f ( x ) g x Beispiel 153: Schreibt man den Funktionsterm anders auf, so lassen sich die Grenzwerte leichter bestimmen. f ( x) x x 1 1 (Beachte aber den anderen Definitionsbereich.) 1 1 2x 1 x 2 2 x x Somit erhält man lim f ( x) lim x x x 1 1 lim x 1 2x 1 2 2 x 1 0 . x x wegen lim Die Gerade a(x) = 0,5 ist somit eine Asymptote des Graphen von f(x). Eine Untersuchung auch an der Stelle x 0 = 0,5 ist von beiden Seiten her (also von links und von rechts) nötig. Definition 125: Eine Zahl heißt Grenzwert der Funktion f(x) für x wenn bei jeder Folge (xn ) mit x n D f , x x0 und x n Grenzwert g hat. x0 , xo die Bildfolge (f(x 0 )) denselben Man schreibt dann lim f ( x ) g xx0 Bemerkung 20: Verwendet man statt einer beliebigen Folge (x n ) die Nullfolge (h n ), so schreibt man für den Grenzwert lim f ( x ) g : lim f ( x 0 h) g mit h > 0. xx0 h0 182-271 Beispiel 154: Für die Funktion f ( x) x betrachtet man somit das Verhalten 2x 1 von links x 0 - h und von rechts x 0 + h, also -0,5 - h bzw. -0,5 +h . Verhalten für eine Annäherung von links an der Stelle x 0 = -0,5: 0,5 h 0,5 h 0,5 h lim f ( x0 h) lim lim lim lim h 0 h0 2( 0,5 h) 1 h0 1 2h 1 h 0 h 0 2h 0,5 1 h 2 Verhalten für eine Annäherung von rechts an der Stelle x 0 = -0,5: 0,5 h 0,5 h 0,5 h lim f ( x0 h) lim lim lim lim h 0 h 0 2(0,5 h) 1 h 0 1 2h 1 h 0 h 0 2h 0,5 1 h 2 Es existieren also keine Grenzwerte; die Funktion hat an der Stelle x = - 0,5 (man nennt dies eine Polstelle) eine senkrechte Asymptote. 183-271 Stetige Funktionen Der Graph einer stetigen Funktion lässt sich – umgangssprachlich formuliert – in einem Zuge zeichnen und kann daher keine „Sprünge“ aufweisen. Betrachten wir zunächst einmal eine Funktion, die sich eben nicht in einem Zuge zeichnen lässt, um so vielleicht zum Kern der Stetigkeit vorstoßen zu können. Wir wählen dazu die Funktion f: x für x 1 mit x x 1 für x 1 Offenbar macht die Funktion an der Stelle x = 1 einen Sprung – lässt sich also nicht in einem Zuge zeichnen; denn es ist lim f ( x) 1 x 1 lim f ( x) 2 x 1 An der Sprungstelle sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert voneinander verschieden, was somit die Unstetigkeit der Funktion an der Stelle x = 1 begründet. Die Unstetigkeitsstelle x = 1 lässt sich auch mit dem --Kriterium charakterisieren. Wir können nämlich wegen des Sprunges sagen, dass wir nicht zu jedem > 0 ein ()> 0 finden, so dass gilt: x 1 f (x) 2 , Stetigkeit würde also nur dann vorliegen, wenn zu jedem beliebig vorgegebenen „Toleranzbereich“ U f (1) U 2 2 ,2 sich stets eine Umgebung U 1 angeben ließe, so dass die Funktionswerte aller x U 1 sich im Toleranzbereich befinden. Mit den vorangehenden Betrachtungen können wir nun präzise formulieren, was unter Stetigkeit zu verstehen ist. Definition 126: Gegeben sei eine Funktion f : ID IW. Die Funktion f heißt im Punkte a ID stetig, wenn lim f (x) f (a ) lim f (x ) x a x a ist. Gleichbedeutend mit dieser Aussage ist, daß lim f ( x ) f (a ) x a gilt. 184-271 Mit Hilfe des --Kriteriums definiert man: Die Funktion f ist stetig im Punkte a ID, wenn es zu jedem > 0 ein (,a) > 0 gibt mit x a , a f (x) f (a ) . Die Funktion f heißt stetig auf ID, wenn sie in jedem Punkt von ID stetig ist. 185-271 Differentialrechnung Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Bei den eindeutigen Zuordnungen zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen, den Funktionen, ist es meistens nicht nur interessant zu wissen, welcher Wert die abhängige Variable (Funktionswert y) zu einem bestimmten Wert der unabhängigen Variablen (Argument x) gehört y = f(x), sondern auch, wie sich y mit x ändert. Diese Änderung beschreibt, wie rasch diese Funktionswerte bei Argumentänderungen aboder zunehmen, das heiß, wie stark die Funktion steigt oder fällt oder wie groß die Steigung ist, wenn sich die unabhängige Variable x ändert. In vielen Fällen ist diese unabhängige Variable die Zeit t. Dann spricht man von einer Änderu ngsgeschwindigkeit oder kurz Geschwindigkeit. Den Aktieninhaber interessiert nicht nur der aktuelle Wert seines Papiers, sondern auch die Änderung, also dessen Wertzuwachs oder Wertverlust. Zur Realisierung von Gewinne hoffen alle Aktieninhaber auf eine große positive Änderungsgeschwindigkeit bzw. Steigung. Starke Verluste treten auf, wenn die Änderungsgeschwindigkeit einen großen Betrag und ein negatives Vorzeichen hat. Dann ist der Wert des Papiers eve ntuell gesunken, bevor der Inhaber Gegenmaßnahmen ergreifen kann. Die Funktion der Aktienentwickung (= Aktienwertverlauf) ist sowohl eine Reaktion auf den Verlauf gesamtwirtschaftlicher Kenndaten, als auch auf den Verlauf unte rnehmensspezifischer Kenndaten. Dabei sind die Angaben über den vergangenen und den zukünftigen Verlauf interessant. Diese Daten werden zusätzlich zu den absoluten Werten meist in relativen Werten, d.h. in Prozent bezogen auf den Wert zu einem bestimmten Ausgangszeitpunkt angegeben, um die Änderungsgeschwindigkeit deu tlich zu machen. (Der zukünftige Verlauf der Funktionen ist zwar noch nicht bekannt, aber aufgrund des vergangenen Verlaufs werden Extrapolationen oder Prognosen gewagt.) Ein weiteres Beispiel ist die Kostenfunktion. Ein Unternehmer interessiert sich nicht nur für die Höhe der Kosten bei einer bestimmten Produktionsmenge, sondern auch dafür, wie stark sich die Kosten ändern, wenn die Produktionsmenge variiert. Diese Beispiele zeigen, dass es oft darauf ankommt, Aussagen über die Änderungsg eschwindigkeit oder die Steigung von Funktionen zu machen. Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Steigung von Funktionen. Sie stellt einfache Methoden zur Berechnung der Steigung zur Verfügung, das Differenzieren. Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Differentialrechnung ist die Kurvendiskussion. Da Minima, Maxima und Wendepunkt einer Funktion sich durch ein spezifisches Ste igungsverhalten auszeichnen, kann ihre Lage mit Hilfe der Differentialrechnung b estimmt werden. Eine weitere Anwendung ist die näherungsweise Beschreibung von komplizierten Funktionen durch einfachere. Mit Hilfe einer Taylorreihe wird eine Funktion durch ein Polynom angenähert (approximiert). Weiterhin ermöglicht es die Differentialrechnung näherungsweise die Nullstellen von Funktionen zu finden, nämlich nach de m Verfahren von Newton. 186-271 Der Differenzenquotient und der Differentialquotient Lineare Funktionen Eine lineare Funktionen wird in der graphischen Darstellung durch eine Gerade b eschrieben: y 10 9 P2 8 7 f(x2)-f(x1) P1 6 x2-x1 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x Definition 127: Die Steigung m einer Geraden ist durch den Differenzenquotienten bestimmt. Dabei werden zwei Punkte P 1 und P 2 auf der Geraden markiert und der Quotient der Differenzen ihrer Koordinaten y 2 -y1 = f(x 2 )-f(x 1 ) durch x 2 -x1 berechnet: m tan f ( x2 ) f ( x1 ) . x2 x1 Die Steigung m hängt zusammen mit dem Steigungswinkel a. Wird die Steigerung prozentual ausgedrückt, dann ist der Quotient zu erweitern auf f ( x 2 ) f ( x1 ) m f ( x1 ) ( x 2 x1 ) f ( x1 ) . Diese Steigung ist für jede Stelle der Geraden die gleiche, es ist also unerheblich, wie die beiden Punkte P 1 und P 2 gewählt wurden. Dies liegt daran, dass die Verbindungslinie zwischen P 1 und P2 immer deckungsgleich mit der Geraden selbst ist. Das ist anders bei den Nichtlinearen Funktionen Dort macht es durchaus einen Unterschied, wie die Punkte gewählt werden: 9 y 8 P2 7 P 2 6 P 2 5 4 P1 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 x 187-271 Betrachtet man die verschiedenen Geraden durch P 1 und P 2 , P 2 ’ oder P 2 “, so erhält man jeweils einen anderen Differenzenquotienten, der als durchschnittliche Steigung der Kurve innerhalb des Intervalls P 1 bis P 2 , P 2 ’ oder P 2 “ aufgefasst werden kann. Die Verbindungslinien, die Sekanten heißen, liegen hier nicht mehr auf der Kurve der Funktion f(x). Wenn man P 2 über P 2 ’ und P 2 “ immer näher an P 1 rücken lässt, passt sich die durchschnittliche Steigerung zwischen P 1 und P 2 immer mehr der Steigung der Kurve im Punkt P 1 an. Die Steigungen der Sekanten nähern sich der Steigung der Tangente im Punkt P 1 . Diese Tangentensteigung im Punkt P1 der Kurve entspricht der Steigung der Kurve in diesem Punkt, beide haben die gleiche Richtung. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das für die Sekantensteigung, dass sie gleich dem Differenzenquotienten ist: Definition 128: mSekante f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1 Lässt man nun x 2 x1 gehen (P 2 geht gegen P 1 ), so werden beide Differenzen gegen 0 gehen. Aus der graphischen Bedeutung ist allerdings klar, dass es auch für x2 x1 eine Steigung gibt. Man erhält die Steigung der Tangente im Punkt P 1 als Grenzwert für diesen Übergang: mTangente lim x 2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 Diesen bezeichnet man als Differentialquotienten und schreibt f ( x1 ) lim x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) , x2 x1 wobei f(x1 ) die Steigung der Funktion f an der Stelle x 1 ist. Definition 129: Sei I IR ein Intervall und f : I IR eine Funktion. Dann heißt f an der Stelle x 0 I differenzierbar, wenn der Grenzwert f ( x0 ) lim x x0 f ( x ) f ( x0 ) df ( x0 ) dx x x0 existiert. (Man spricht: f Strich von x 0 gleich df nach dx an der Stelle x0 ) f (x0 ) nennt man die Ableitung von f an der Stelle x 0 und f heißt differenzierbar in I, falls f für alle x I differenzierbar ist. 188-271 Definition 130: Ist die Funktion f im Punkt x 0 differenzierbar, so ist sie in x 0 auch stetig. Da ein existierender Grenzwert eindeutig sein muss, müssen auch hier die beiden für x > x 0 und x < x 0 unterschiedlich gebildeten Grenzwerte übereinstimmen. Man def iniert dazu die rechts- und linksseitige Ableitung: Sei I IR ein Intervall und f : I IR eine Funktion sowie x 0 I. Dann heißt der Grenzwert (a) f r( x0 ) lim f ( x) f ( x0 ) x x0 rechtsseitige Ableitung von f in x 0 ; (b) f l( x0 ) lim f ( x) f ( x 0 ) x x0 linksseitige Ableitung von f in x 0 . x x0 x x0 x x0 x x0 Die Bestimmung der ersten Ableitung einer Funktion nennt man auch Differenzieren. Wann ist eine Funktion differenzierbar bzw. wann stimmen links- und rechtsseitige Ableitung überein? Aus der graphischen Darstellung ergibt sich die Bemerkung 21: Eine stetige Funktion ohne Ecken und Spitzen o.ä. ist differenzierbar. Wie werden solche Differentialquotienten berechnet? Man kann für einige einfache Funktionen die Differentialquotienten direkt berechnen. Für umfangreichere Funkti onen gibt es dann eine Reihe von Differentiationsregeln. 189-271 Beispiel 155: Zuerst ein Beispiel für die Berechnung des Differentialquotienten für die Funktion f : f (x) = x2 . Die Untersuchung der Funktion soll in 2 Schritten erfolgen: a) Ist f differenzierbar an der Stelle x 1 = 1 ? f ( x2 ) f (1) x 1 ( x 1)( x2 1) lim 2 lim 2 lim( x2 1) 2 lim x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 2 Der Differentialquotient existiert, das bedeutet f ist im Punkt (1;1) differenzierbar mit der Steigung f (1) = 2. b) Ist f im gesamten Definitionsbereich differenzierbar? f ( x) f ( x0 ) x 2 x0 ( x x0 )( x x0 ) lim lim lim( x x0 ) 2 x0 lim x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 x x x x0 2 gilt für jede Stelle x 0 . Damit ist f differenzierbar im gesamten Definitionsbereich und f ( x0 ) 2x0 . Weiter Funktionen, deren Differentialquotienten auf diese Weise bestimmt werden, sind f : f ( x) x n f : f ( x) e x selbst!). f ( x0 ) n x0n1 f ( x0 ) e x0 für alle n IN 0 , (die Ableitung der Exponentialfunktion ist sie Die Differentialquotienten sind wiederum Funktionen von x 0 . Diese Funktion heißt Ableitungsfunktion oder Ableitung. Zur Darstellung als Funktion wird x 0 durch x ersetzt: Funktion Ableitung Allgemein f : f ( x) x n f : f ( x) n x n1 Beispiele f : f ( x) x 2 f : f ( x) 2 x1 2 x f : f ( x) x155 f : f ( x) 155 x154 (lineare Funktion) f : f ( x) x1 x f : f ( x) 1 x 0 1 (konstante Funktion) f : f ( x) x 0 1 f : f ( x) 0 x 1 0 Allgemein f : f ( x) e x f : f ( x) e x 190-271 Differentiationsregeln Die Differentiationsregeln erlauben es, die Ableitungen weiterer Funktionen zu b erechnen. Definition 131: Die Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion f : f ( x) x a mit a IR lautet: f : f ( x) a x a1 Funktion allgemein f : f ( x) x a Beispiele f : f ( x) x 1 1 Ableitung f : f ( x) a x a1 f : f ( x) 1 x 2 1 x x2 f : f ( x) x1 / 2 x 1 f : f ( x) 1 x 1 / 2 2 2 x f : f ( x) x 6 / 5 5 x 6 f : f ( x) 6 x1 / 5 6 5 x 5 5 Funktionen h(x), die aus elementaren Funktionen beispielsweise durch Multiplikation mit Konstanten, Addition, Multiplikation oder Division von mehreren Funktionen z usammengesetzt sind, lassen sich nach den folgende Regeln differenzieren. Dabei wird vorausgesetzt, dass beide Funktionen f(x) und g(x) auf der rechten Seite von Gleichungen differenzierbar sind. Definition 132: Konstantenregel: Die Ableitung der Funktion h : h( x) f ( x) mit IR lautet: h : h( x) f ( x) Funktion Ableitung allgemein h : h( x) f ( x) h : h( x) f ( x) Beispiele h : h( x) 3 x 2 h : h( x) 3 2 x1 6 x 1 1 h : h( x) x 6 3 3 x6 1 h : h( x) (6) x 7 2 x 7 3 h : h( x) 8 x h : h( x) 8 (Konstante) h : h( x) 127 127 x 0 Die Ableitung einer Konstanten ergibt stets 0. 191-271 1 2 x h : h( x) 127 0 0 4 x Definition 133: Summenregel: Die Ableitung einer Summe h : h( x) f ( x) g( x) lautet: h : h( x) f ( x) g ( x) Wegen der Gültigkeit der Konstantenregel und der Summenregel wird die Differenti ation auch als linear bezeichnet: Die Ableitung einer Linearkombination h( x) f ( x) g( x) kann über die gleiche Linearkombination der Ableitungen h( x) f ( x) g ( x) berechnet werden. Definition 134: Produktregel: Die Ableitung des Produkts h : h( x) f ( x) g( x) lautet: h : h( x) f ( x) g( x) f ( x) g ( x) . Die beiden Funktionen f(x) und g(x) sind vertauschbar. Funktion Ableitung allgemein h : h( x) f ( x) g( x) h : h( x) f ( x) g ( x) Beispiele h( x) x 6 e x h( x) 6 x 5 e x (Linearkombination) h( x) 15 x 2 7 x h( x) 15 2 x 7 1 30x 7 allgemein h : h( x) f ( x) g( x) h : h( x) f ( x) g( x) f ( x) g ( x) Beispiele h( x) x 6 e x h( x) 6x 5 e x x 6 e x e x (6x 5 x 6 ) h( x) (4 2x 2 ) ( x 1) h( x) 4x ( x 1) (4 2x 2 ) 6x 2 4x 4 Definition 135: Quotientenregel: Die Ableitung des Quotienten h( x ) für alle x mit g(x) 0: h( x) f ( x) lautet g( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g 2 ( x) Im Gegensatz zur Produktregel dürfen hier f(x) und g(x) nicht vertauscht werden. Die bisher genannten Differenzierungsregeln erlauben bereits die Ableitung sehr vi eler Funktionen. Allerdings gibt es noch verhältnismäßig einfache Funktionen, die sich mit den bisherigen Kenntnissen nicht ableiten lassen, wie folgende Beispiele zeigen: 192-271 Beispiel 156: h( x) x 1 h( x) ln 3x h( x) ( x 2 3x)100 Diesen drei Funktionen ist gemeinsam, dass man sie sich nämlich als Einsetzen, einer Funktion f(x) (inneren Funktion) in eine anderen g(x) (äußere Funktion) vorstellen kann. Die Funktionen werden nacheinander ausgeführt und zwar in der Reihenfolge der Klammerung zuerst innen, dann außen. h g f : h( x) g( f ( x)) heißt dann die Verkettung oder die verkettete Funktion. verkettete Funktion h(x) innere Funktion f(x) äußere Funktion g(x) h( x) x 1 z f ( x) x 1 g ( z) z h( x) ( x 2 3x)100 z f ( x) x 2 3x g(z) z100 z f ( x) x 2 4 g ( z) e z h( x ) e x 2 4 Zur Ableitung solcher verketteter Funktionen gibt es die Kettenregel. Definition 136: Kettenregel: Es seien die Funktionen f : I IR in x 0 I und g : IR IR in y 0 = f(x 0 ) differenzierbar. Dann ist die verkettete Funktion h( x) g( f ( x)) in x0 differenzierbar und es gilt für die Ableitung von h g f : h( x0 ) ( g f )( x0 ) ( g ( f ( x0 ))) g ( f ( x0 )) f ( x0 ) Funktion Ableitung f ( x) g( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g 2 ( x) allgemein h( x ) Beispiele ex h( x ) 2 x e x x 2 e x 2 x e x ( x 2) h( x) x4 x3 x4 5 h( x ) x3 h( x) h( x) 4 x 3 ( x 3) ( x 4 5) 1 ( x 3) 2 4 x 4 12 x 3 x 4 5 3x 4 12 x 3 5 ( x 3) 2 ( x 3) 2 allgemein h g f : h( x) g( f ( x)) h( x) ( g f )( x) ( g( f ( x))) g ( f ( x)) f ( x) Beispiele h( x) x 1 h( x) ( x 2 3x)100 h( x ) e x 2 4 h( x) 1 2 z 1 1 2 x 1 h( x) 100 ( x 2 3x) 99 (2x 3) h( x) e z 2 x e x 193-271 2 4 2x Höhere Ableitungen Durch Differentiation einer Funktion f in ihrem gesamten Definitionsintervall I erhält man Ableitung von f. Diese Ableitung ist wiederum eine Funktion von x, die auf ihre Differenzierbarkeit hin untersucht werden kann. Existiert der Differentialquotient f ( x) f ( x0 ) , lim x x0 x x0 so heißt dieser die Ableitung der Funktion f (x) oder die zweite Ableitung f (x0 ) der Funktion f (x). Damit gibt es eine ganze Reihe von Ableitungen beginnend bei der Funktion selbst über die erste f (x), zweite f (x), dritte f (x) bis zur n-ten f (n)(x). Beispiel 157: f ( x) 1 7 1 4 x x 2 x 13 7 4 Funktion f (x) = x6 x3 + 2 1. Ableitung f (x) = 6x5 3x2 2. Ableitung f (x) = 30x4 6x 3. Ableitung f (4) (x) = 120x3 6 4. Ableitung f (5) (x) = 360x2 5. Ableitung f (6) (x) = 720x 6. Ableitung f (7) (x) = 720 7. Ableitung f (8) (x) = 0 8. Ableitung Alle weiteren höheren Ableitungen sind Null, weil 0 als Konstante abgeleitet je weils wieder 0 ergibt. Die erste Ableitung hat wegen der Erklärung über das Steigungsdreieck die Bedeutung der Steigung der Funktion f. Damit kann die erste Ableitung zur Bestimmung des M onotonieverhaltens herangezogen werden: Definition 137: Sei I IR ein Intervall und die Funktion f : I IR differenzierbar in I. Dann gilt: (a) f ist genau dann monoton bzw. streng monoton wachsend, falls gilt: f (x) 0 (b) bzw. f (x) > 0; f ist genau dann monoton bzw. streng monoton fallend, falls gilt: f (x) 0 bzw. f (x) < 0. Gilt f (x) = 0 für ein Intervall der Funktion, verläuft sie in diesem Intervall parallel zur x-Achse. Gilt f (x) = 0 für einzelne Punkte der Funktion, liegen kritische Punkte an diesen Stellen vor, welche im folgenden Abschnitt eingeführt werden. 194-271 Für die Untersuchung der Monotonie bzw. der Steigung einer Funktion wird zuerst die 1. Ableitung dieser Funktion gebildet und dann geprüft, für welche Definitionsinte rvalle f (x) > 0, f (x) < 0 bzw. f (x) = 0 ist. Beispiel 158: f(x) = 2x 7 + 3x 5 +2 f (x) = 14x 6 + 15x4 für x = 0 ist f (x) = 0 Für x 0 gilt aufgrund der geraden Potenzen stets f (x) > 0, d.h. die Funktion ist streng monoton steigend. Wenn die Steigung einer Kurve f(x) zunimmt, dann hat diese eine monoton steigende Ableitungsfunktion f’(x). Eine steigende Ableitung bedeutet aber, dass die zweite Ableitung positiv f“(x) > 0 sein muss. Gleichzeitig verläuft diese Kurve nach links g ekrümmt, solch eine Kurve heißt konvex. Umgekehrt verhält es sich, wenn die Steigung einer Kurve f(x) abnimmt, dann hat diese eine monoton fallende Ableitungsfunktion f’(x). Eine fallende Ableitung bede utet wiederum, dass die zweite Ableitung negativ f“(x) < 0 sein muss. Gleichzeitig ve rläuft diese Kurve nach rechts gekrümmt, solch eine Kurve heißt konkav. Daher gibt die zweite Ableitung die Krümmung der Funktion an. Definition 138: Sei I IR ein Intervall und die Funktion f : I IR zweimal differenzierbar in I. Damit ist (a) f konvex, falls für alle x I gilt: f(x) 0; (b) f konkav, falls für alle x I gilt: f(x) 0. Beispiel 159: f(x) = x 4 f (x) = 4 x 3 f (x) = 12 x 2 für x 0 gilt f (x) > 0 konvex für x = 0 gilt f (x) = 0 Die Kurve ist überall linksgekrümmt. 195-271 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung Bei der Untersuchung von Funktionen, die ökonomische Zusammenhänge beschreiben, ist die Frage nach den kritischen Punkten, an denen die Funktion f(x) selbst, die erste Ableitung f’(x) oder die zweite Ableitung f“(x) zu 0 werden interessant. Beso nders die Extremwerte (Minima und Maxima) sind von großer Bedeutung. Mit Hilfe der Differentialrechnung lassen sich alle Minima, Maxima und Wendepunkte einer Fun ktion innerhalb des Definitionsintervalles leicht berechnen. Zahlenmengen Definitionsmenge: Unter der Definitionsmenge D versteht man allgemein alle Zahlen, die für x eingesetzt werden dürfen. Wertemenge: Unter der Wertemenge oder unter dem Wertebereich W versteht man allgemein alle Zahlen, die bei der Einsetzung von Zahlen in x heraus kommen. Symmetrieeigenschaften Es gibt verschiedene Arten von Symmetrien. Achsensymmetrie zur Ordinate f x f x Achsensymmetrie zu einer Vertikalen f x a f x a Punktsymmetrie zum Ursprung f x f x Punktsymmetrie zum Punkt a, b 2 b f x a f a x b 196-271 Extrema Ein Extremum einer Funktion liegt dann vor, wenn in einer Umgebung um diesen Punkt alle anderen Funktionswerte kleiner oder größer sind. Im ersten Fall P1 liegt ein lokales Maximum, im zweiten Fall P2 ein lokales Minimum vor. Aus der Grafik geht hervor, dass ein lokales Maximum in einer Rechtskrümmung (konkav) liegt und ein lokales Minimum P2 in einer Linkskrümmung (konvex) und dass an beiden Stellen die Tangenten waagrecht verlaufen: 9 y 8 7 6 P1 5 P2 4 3 2 1 0 0 x1 1 x2 2 3 4 x Man definiert daher: Definition 139: Sei I IR ein Intervall und f : I IR eine Funktion. f besitzt in x 1 I ein lokales Maximum bzw. in x 2 I ein lokales Minimum, falls es eine hinreichend kleine Umgebung U (x1 ) I gibt, so dass für alle x U (x1 ) gilt: f(x) f(x1 ) , bzw. falls es eine hinreichend kleine Umgebung U (x2 ) I gibt, so dass für alle x U (x2 ) gilt: f(x) f(x2 ) . Mit Hilfe der Ableitungen kann man eine notwendige Bedingung für das Vorhande nsein eines Extremums formulieren: Definition 140: notwendige Bedingung Die Funktion f : I IR sei differenzierbar in einer Umgebung von x 0 I. Besitzt dann f in x0 ein lokales Extremum, so gilt: f (x) = 0 . Am Extremum wechselt die Steigung das Vorzeichen. Durch Berechnung der Nullste llen der Ableitung f (x) ermittelt man also die Punkte, bei denen die Funktion f(x) lokale Extrema besitzen kann. Man bezeichnet diese Stellen auch als stationäre Punkte. Es handelt sich hier deshalb nur um eine notwendige Bedingung, weil eine Funktion nicht an jeder Nullstelle ihrer Ableitung ein Extremum besitzen muss (wenn ein Ext197-271 remum bei x 0 vorhanden ist, dann ist die Ableitung dort 0, nicht umgekehrt!). So ist z.B. bei der Funktion f(x) = (x 1)3 die Ableitung f (x) = 3(x 1)2 = 0 für x = 1, es existiert dort aber kein Extremum. Die Bedingung ist deshalb nicht hinreichend. Es gibt die Möglichkeit, dass eine Tangente waagrecht f’(x) = 0 verläuft, ohne dass ein Extremum vorliegt: 10 y 9 8 7 6 P0 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 -1 x0 -2 7 8 9 x -3 -4 -5 Solche Punkte werden Sattelpunkte genannt. Ein Sattelpunkt liegt nicht in einer konkaven oder konvexen Krümmung, sondern dort wechselt gerade die Krümmung. Das bedeutet, dass an dieser Stelle nicht nur f’(x)=0, sondern auch f“(x)=0 ist. Andere rseits wechselt die Steigung am Sattelpunkt nicht ihr Vorzeichen. Durch Betrachtung der höheren Ableitungen ergibt sich die hinreichende Bedingung: Definition 141: Sei f : I IR zweimal differenzierbar in einer Umgebung von x 0 I. Dann besitzt f in x0 ein lokales Maximum, falls gilt: f (x0 ) = 0 und f (x0 ) < 0 , lokales Minimum, falls gilt: f (x0 ) = 0 und f (x0 ) > 0 . Für den Fall, dass alle bis zur (n-1)-ten Ableitung gleich Null sind, gilt die Erweiterung: Sei f : I IR n mal differenzierbar in einer Umgebung von x 0 I. Dann gilt, für n gerade: Die Funktion hat an der Stelle einen Extremwert und f (n) (x0 ) < 0 (n) f (x0 ) > 0 bei x 0 ist ein Maximum, bei x 0 ist ein Minimum, n ungerade: Die Funktion hat einen Sattelpunkt. 198-271 Beispiel 160: Bei den Funktionen f(x) = x2 , g(x) = x 3 und g(x) = x 4 sind erstmals die 2. Ableitung, die 3. Ableitung und die 4. Ableitung an der Stelle x0 = 0 ungleich 0. f hat an der Stelle 0 einen Extremwert, g hat dort einen Sattelpunkt und h hat an der Stelle 0 einen Ex tremwert. f(0) = x 2 = 0 f(0) = x 3 = 0 g(0) = x 4 = 0 Funktionswert f(0) = 2x 1 = 0 f(0) = 3x 2 = 0 g(0) = 4x 3 = 0 1. Ableitung f(0) = 2 0 f(0) = 6x 1 = 0 g(0)=12x 2 = 0 2. Ableitung f(0) = 6 0 g(0)=24x 1 = 0 3. Ableitung g(4)(0) = 24 0 4. Ableitung Zur Bestimmung der lokalen Extrema befolge man folgendes Schema: 1 Bildung von f 2 Bestimmung der Nullstellen von f: f (x) = 0 3 Bestimmung der 2. Ableitung f 4 Überprüfung aller Nullstellen von f durch Einsetzen in f 5 f (x0 ) > 0 an der Stelle x 0 liegt ein Minimum vor f (x0 ) < 0 an der Stelle x 0 liegt ein Maximum vor f (x0 ) = 0 weiter bei 5. Untersuchung der höheren Ableitungen bis erstmals eine Ableitung ungleich Null wird f (n) (x0 ) > 0 und n gerade: an der Stelle x 0 liegt ein Minimum vor f (n) (x0 ) < 0 und n gerade: an der Stelle x 0 liegt ein Maximum vor f (n) (x0 ) 0 und n ungerade: an der Stelle x 0 liegt ein Sattelpunkt vor Viele ökonomische Funktionen haben einen eingeschränkten Definitionsbereich. In diesen Fällen müssen zur Bestimmung der absoluten Extremwerte sowohl diese lok alen Extremwerte innerhalb des Intervalls als auch die Randextrema berücksichtigt werden. 199-271 Wendepunkte Bei einem Sattelpunkt änderte sich die Krümmung und damit das Vorzeichen der zweiten Ableitung. Wenn nicht gleichzeitig die Tangente waagrecht erläuft, heißen diese Stellen Wendepunkte. Dort geht also entweder eine Linkskrümmung in einer Rechtskrümmung oder eine Rechtskrümmung in einer Linkskrümmung über. Das bedeutet, dass eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepun ktes an der Stelle x 0 f (x0 ) = 0 ist. Definition 142: Die Funktion f : I IR sei in einer Umgebung von x 0 I dreimal differenzierbar. Ist dann f(x0 ) = 0 und f(x0 ) 0, so besitzt die Funktion in x 0 einen Wendepunkt. Hinreichend ist die Bedingung, dass f (x0 ) = 0 ist und dass in x0 ein Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung stattfindet und damit f (x0 ) 0 ist. Gilt f (x 0 ) = 0, ist eine Aussage über die Existenz eines Wendepunktes nicht ohne die Untersuchung höherer Ableitung möglich. Tritt bei der Untersuchung der n-ten Ableitungen zum ersten Mal f (n) (x0 ) 0 mit ungeradem n auf, so liegt an der Stelle x 0 ein Wendepunkt vor. Das Schema zur Bestimmung von Wendepunkten verläuft analog zu dem für Extre mwerte: 1 Bildung von f 2 Bestimmung der Nullstellen von f : f (x) = 0 3 Bestimmung der 3. Ableitung f 4 Überprüfung aller Nullstellen von f durch Einsetzen in f 5 f (x0 ) 0 an der Stelle x 0 liegt ein Wendepunkt vor f (x0 ) = 0 weiter bei 5. Untersuchung der höheren Ableitungen bis erstmals eine Ableitung ungleich Null wird f (n) (x0 ) 0 und n ungerade: vor an der Stelle x 0 liegt ein Wendepunkt 200-271 Kurvendiskussion Die Kurvendiskussion dient zum Verständnis der Eigenschaften einer Funktion, welche in analytischer Darstellung gegeben ist. In einer Kurvendiskussion sollen die markante Punkte und Verhaltensweisen einer Funktion analysiert werden. Die Ergebnisse der Analyse werden dann in einer Skizze veranschaulicht. Schema der Kurvendiskussion 1) Bestimmung des Definitionsbereichs: Besonders bei wirtschaftswissenschaftlichen Funktionen ist es wichtig zu berücksichtigen, für welche x-Werte die Funktion definiert ist; zum Beispiel nur für ganzzahlige Stückzahlen oder nur für den positiven B ereich. 2) Untersuchung der Definitionslücken: Untersuchung auf behebbare Lücken, Polste llen, Sprungstellen. 3) Untersuchung der Funktion für unendlich große bzw. kleine x-Werte: Diese Untersuchung ist nur sinnvoll bei solchen Funktionen, die nicht ausschließlich in einem I ntervall definiert sind. 4) Bestimmung der Nullstellen 5) Bestimmung der Extremwerte und Sattelpunkte: In diesem Untersuchungsschritt sollen sowohl die relativen als auch die absoluten Extremwerte bestimmt werden. 6) Bestimmung der Wendepunkte 7) Untersuchung der Steigung und Krümmung: Anhand der Ergebnisse aus den Pun kten 3., 5. und 6. können die Steigung und Krümmung einer Funktion im Allgemeinen ohne rechnerische Untersuchung gefolgert werden. Ansonsten sollten sie analytisch ermittelt werden. 8) Skizze: In der Skizze sollen die für die untersuchte Funktion in der Analyse festg estellten markanten Verhaltensweisen und Punkte dargestellt werden. In den Einzelfällen ist es sinnvoll, zusätzlich für einige Punkte eine Wertetabelle aufzustellen, um exakter zeichnen zu können. 201-271 Beispiel 161: Funktion: f ( x) 3x 4 8x3 6x 2 Definitionsbereich: unbegrenzt Definitionslücken: keine x f(x) sitzt da höchste Potenz positive Vorzahl be- x f(x) Vorzahl da höchste Potenz gerade und positive Nullstellen: f ( x) 3x 4 8x 3 6x 2 0 x 2 (3x 2 8x 6) 0 doppelte Nullstelle bei x 1 = 0 8 4 16 3x 2 8x 6 0 x 2 x 2 0 x 2 ,3 2 3 9 3 nicht lösbar, also keine weiteren Nullstellen Extremwerte: 12 x 3 24 x 2 12 x 0 12x( x 2 2x 1) 0 x1 = 0 lokale Extrema: f ( x ) 0 oder x 2 2x 1 0 x3a ,b 1 1 1 1 x3 3 2 f ( x) 12 x 24 x 12 x 0 f ( x) 36 x 2 48 x 12 bei Minimum f ( x1 ) f (0) 12 x1 0 f ( x3 ) f (1) 36 48 12 0 weitere Untersuchung f ( x ) 72 x 48 f ( x3 ) f (1) 72 48 0 bei x3 1 Sattelpunkt Maximum existiert nicht, weil f(x) (Punkt 3.) Miabsolute Extrema: nimum bei x 1 : (0;0) 4 1 f ( x ) 0 Wendepunkte: 36 x 2 48 x 12 0 x2 x 0 2 3 3 f ( x) 36 x 48 x 12 0 2 4 1 2 1 x2 a ,b 3 9 3 3 3 Sattelpunkt (= x3 1 aus Punkt x2b 1: 1 x2a 3 x2 : f ( x ) 72 x 48 5.) f ( x2 ) f ( 13 ) 24 48 0 x2 13 Wendepunkt Krümmung und Steigung: x [ ; x1 = 0[ : f(x) streng monoton fallend, konvex x ]x1 ; x2 13 ] : f(x) streng monoton steigend, konvex x [x2 ; x3 = 1[ : f(x) streng monoton steigend, konkav x ]x3 ; [ : f(x) streng monoton steigend, konvex 202-271 Skizze: f(x) = x² (3x² - 8x + 6) 10 8 6 y 4 2 0 -1 -0,5 x1 x3 0 x2 0,5 1 1,5 2 -2 x Die Differentialrechnung hilft also, das Verhalten von Funktionen zu beschreiben und zu verstehen. Voraussetzung dafür ist, dass die Funktion in analytischer Form vorliegt, also, dass der Verlauf durch eine Formel gegeben ist. Bei nicht vorausberechenbaren Funktionen wie den Aktienkursen trifft das allenfalls für die Vergangenheit zu. Beispiel 162: Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 1. Definitionsbereich von y=ƒ(x) D ƒ=R 2. Symmetrie oder x R Achssymmetrie zur y-Achse - ƒ( x ) = ƒ(- x ) im Funktionsterm tritt x nur mit geraden Exponenten auf Punktsymmetrie zum Ursprung (0;0) - ƒ( x ) = -ƒ(- x ) im Funktionsterm tritt x nur mit ungeraden Exponenten auf 3. Schnittpunkte mit x-Achse ƒ( x ) = 0 liefert die Nullstelle(n) der y-Achse ƒ(0) liefert die Ordinate des Schnittpunktes mit y-Achse x- und x=0 y-Achse 4. Verhalten im Unendlichen Die höchste Potenz von x und x → + ƒ( x ) → Vorzeichen des Koeffizienten entscheiden über das Verhalten x → - ƒ( x ) → im Unendlichen. Die vier Möglichkeiten: ƒ( x )= a x gerade ƒ( x )= a x ungerade ƒ( x )= - a x gerade ƒ( x )=- a x ungerade 203-271 a positiv a positiv a negativ a negativ 5. Bilden der Ableitungen 6. Extrempunkte ƒ( x )= a x n +… → ƒ′( x )= a n x n-1 +… ( ) notwendige Bedingung ƒ′( x ) = 0 ( ) hinreichende Bedingung ƒ′( x ) = 0 und ƒ′′( x e) 0 Ablauf: - Berechnen der Nullstellen von ƒ′(x) - Einsetzen der Nullstellen von ƒ′( x ) in ƒ′′( x ) ist ƒ′′( x e) > 0 = TP ist ƒ′′( x e) < 0 = HP ist ƒ′′( x e) = 0 = weitere Untersuchung unter Punkt 7. und 8. - Berechnen der y-Werte durch Einsetzten der x-Werte in ƒ( x ) 7. Wendepunkte ( ) notwendige Bedingung ƒ′′( x ) = 0 ( ) hinreichende Bedingung ƒ′′( x ) = 0 und ƒ′′′( x w ) 0 Ablauf: -Berechnen der Nullstellen von ƒ′′( x ) - Einsetzen der Nullstellen von ƒ′′( x ) in ƒ′′′( x ) - wenn ƒ′′′( x w ) 0, so liegt ein Wendepunkt vor - Berechnen der y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in ƒ( x ) 8. Sonderfall zu 7. Sattelpunkt Bedingung für einen Sattelpunkt (S): ƒ′( x ) = 0 ƒ′′( x s) = 0 ƒ′′′( x s) 0 - es liegt ein Sattelpunkt (Terassenpunkt) vor, wenn der x-Wert des Wendepunktes eine Nullstelle von ƒ′( x ) ist. 9. Graph zeichnen - die ermittelten Kurvenpunkte eintragen - evtl. eine ergänzende Wertetabelle anlegen 204-271 Differentiation parameterabhängiger Funktionen Es gelten die gleichen Bedingungen wie im vorherigen Kapitel. Die Funktion ist in di esem Fall noch zusätzlich von einem Parameter abhängig. Dieser Parameter ist wie e ine Konstante oder ein konstanter Faktor zu sehen. Die Funktion ist in diesem Fall nicht mehr eindeutig, je nach eingesetztem Wert für den Parameter erhält man eine neue Funktion. Man spricht auch von einer Funktion sschar. 205-271 Funktionen Relationen und Funktionen Definition 143: Eine Relation liegt vor, wenn es zu jedem Element x der Menge M 1 genau einen Partner y in der Menge M 2 gibt. Definition 144: Hat jedes ein zugeordnetes . Handelt es sich um Zahlen die in einem Koordinatensystem aufgetragen werden können Eine überall auf M 1 definierte eindeutige Relation heißt Funktion oder auch Abbildung von M 1 in M 2 . Grundlegende Funktionen und deren Eigenschaften Ganzrationale Funktionen n - ten Grades Definition 145: Eine Funktion der Form y = f(x) = a n xn + a n-1 x n-1 + ....a 1 x 1 + a 0 x0 mit nN und a 0 , a 1 , ....a n R heißt ganzrationale Funktion. n heißt Grad der Funktion a i heißt Koeffizient der Funktion f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 ist eine ganzrationale Funktion 3.Grades g(x) = -3x5 + 2x 4 – x² +8 ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades f(x) = x³ - x ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit den Koeffizienten a 3 = 1; a 2 = 0; a 1 = -1; a 0 = 0 Ganzrationale Funktionen entstehen durch zusammensetzen von Potenzfunktionen. 206-271 Verlauf des Graphen Definition 146: Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. n gerade n ungerade Verlauf von II nach I Verlauf von III nach I Verlauf von III nach IV Verlauf von II nach IV 207-271 Symmetrie Die Vermutung liegt nahe, dass Funktionen, die nur aus Potenzfunktionen mit ger aden Exponenten zusammengesetzt sind, achsensymmetrisch sind und Funktionen, die nur aus Potenzen mit ungeraden Exponenten zusammengesetzt sind, punktsymme trisch sind. Definition 147: Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur gerade Exponenten enthält. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten enthält. Definition 148: Zerlegungssatz: f (x) hat genau dann eine Nullstelle x o , wenn f(x) durch (x-x o) teilbar ist: f(x0 ) = 0 für alle x gilt: f(x) = (x-x0 ) g(x) g(x) ist eine ganzrationale Funktion, deren Grad um 1 niedriger ist als der Grad von f. 208-271 Beispiel 163: a) Bestimmen Sie eine Zerlegung von f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 wenn die Nullstelle x 0 = 3 gegeben ist. Dazu wird die Polynomdivision verwendet (x³ - 3x² - 5x + 15) : (x-3) = x 2 –5 - (x³ - 3x²) - 5x + 15 - (-5x + 15) 0 Ergebnis: f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 = (x – 3) ( x² - 5 ). b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f und zerlegen Sie f vollständig in Faktoren. Ergebnis: f(x) = x³ - 3x² - 5x + 15 = (x – 3) (x -√ ) ( x +√ ) Nullstellensatz Definition 149: Nullstellensatz für ganzrationale Funktionen: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mehrfach gezählt werden. Machen Sie eine Aussage über die Symmetrieeigenschaften, den Verlauf und die A nzahl der Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. Lösung: 209-271 Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen Definition 150: Eine gebrochen rationale Funktion hat folgende Form f ( x) an x n an 1 x n 1 ......... a1 x a0 bm x m bm 1 x m 1 ......... b1 x b0 Es befindet jeweils im Zähler und Nenner eine ganzrationale Funktion. y 3( x 1)²( x 4)( x 1)( x 2) ( x 1)( x 4)²( x 1)( x 2) Definition 151: Man nennt den größten Exponenten m im Zähler den Grad des Zählers und den höchsten vorkommenden Exponenten n im Nenner den Grad des Nenners. Das Zählerpolynom u(x) hat also den Grad m, das Nennerpolynom den Grad n. Die Differenz m - n ist der sogenannte Asymptotengrad. Form gebrochen rationaler Funktionen Von den oben angeschriebenen Funktionen hat f 1 den Zählergrad 2, den Nennergrad 2 und den Asymptotengrad 0. f 2 den Zählergrad 3, den Nennergrad 1 und den Asymptotengrad 2 f 3 den Zählergrad 1, den Nennergrad 2 und den Asymptotengrad -1 210-271 Eigenschaften von Wurzelfunktionen Definition 152: n √ ist die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion y = x . Die Wurzelfunktion Ist n gerade so ist die Potenzfunktion nicht injektiv (umkehrbar eindeutig) und daher nicht eindeutig umkehrbar. Es gibt es zwei Möglichkeiten die Wurzelfunktion zu definieren: √ √ . Dabei wird im Allgemeinen die positive Variante als die Umkehrfunktion angesehen. Falls n ungerade ist, so ist die Wurzelfunktion auf ganz R umkehrbar. Exponent kleiner als 1 Alle haben den Definitionsbereich R + Der Graph ist monoton steigend Gemeinsame Punkte (0|0) und (1|1) Für x<1: Die Graphen liegen über der Geraden y=x. Für x>1: Die Graphen liegen unter der Geraden y=x. Je mehr sich der Exponent Geraden y=x. der Zahl 1 nähert, umso enger liegt der Graph an der Exponent größer als 1 Alle haben den Definitionsbereich R +. Der Graph ist streng monoton steigend Gemeinsame Punkte (0|0) und (1|1) Für x<1: Die Graphen liegen unter der Geraden y=x. Für x>1: Die Graphen liegen über der Geraden y=x. Je mehr sich der Exponent Geraden y=x. der Zahl 1 nähert, umso enger liegt der Graph an der 211-271 Eigenschaften von Exponentialfunktionen Grundeigenschaften der Funktion f(x) = e x Es gibt weitere Exponentialfunktionen, deren Schaubilder aus der Kurve y = e x durch Spiegelung, Verschiebung oder Streckung entstehen. Das Erkennen dieser Eigenscha ften hilft bei Aufgaben oft weiter. Daher werden auf den nächsten Seiten diese Abbi ldungen besprochen. 212-271 Spiegelung von K: y = e x ergibt K’: y = e -x . 213-271 Verschiebung der Kurve K: y = e x . Definition 153: Die Kurve y=e x+2 entsteht aus y=e x durch Verschiebung um 2 nach links. Die Kurve y=e x−3 entsteht aus y=e x durch Verschiebung um 3 nach rechts. 214-271 215-271 216-271 217-271 218-271 Eigenschaften von Logarithmusfunktionen Bei der Logarithmusfunktion handelt es sich um die Umkehrfunktion zur e -Funktion. Eigenschaften für die Kurvendiskussion 219-271 Logarithmusfunktionen Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Im Falle von e x heißt die Umkehrung natürlicher Logarithmus und wird mit ln(x) bezeichnet. Die Logarithmusfunktionen sind streng monoton wachsend und haben eine Nullstelle bei x0= 1. Trigonometrische Funktionen Die trigonometrischen Funktionen (oder auch Winkelfunktionen) werden am Einheitskreis definiert. Betrachtet man nebenstehende Skizze, dann definieren wir: Diese beiden Funktionen heißen Sinus und Kosinus (Cosinus). Die Bezeichnung Winkelfunktion rührt von der Tatsache her, dass das Argument ein Winkel ist. Der Winkel wir im Allgemeinen im Bogenmaß gemessen. Dabei entspricht . 220-271 Integration Geometrische Definition des Integrals Orientierter Flächeninhalt - Flächeninhalte oberhalb der x-Achse haben ein positives Vorzeichen. - Flächeninhalte unterhalb der x-Achse haben ein negatives Vorzeichen. Definition 154: Gegeben sei eine Funktion f, die über einem Intervall [a; b] definiert ist, dann ve rsteht man unter dem Integral der Funktion von a bis b die Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und der Geraden x=a und x=b. Schreibweise: b f (x)dx a a: untere Grenze b: obere Grenze Stammfunktionen (unbestimmtes Integral) Definition 155: Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F'(x) = f(x). Beispiel 164: Welche Funktion hat die Ableitung f(x) = x? Eine mögliche Antwort ist F( x ) x2 . 2 Eine beliebige Stammfunktion ist von der Form F( x ) x2 C 2 (C ist eine beliebige Konstante), weil konstante Summanden beim Differenzieren we gfallen. Wenn von der Funktion sonst nichts bekannt ist, müssen wir also immer die Integrat ionskonstante C dazuschreiben. Die Stammfunktion bezeichnet man auch als unbestimmtes Integral: F( x ) f ( x )dx 221-271 Stammfunktionen der wichtigsten Funktionen lauten: f(x) = k F(x) = kx + C f(x) = x n (n 1) F(x) = ln |x| + C f(x) = sin x F(x) = -cos x + C f(x) = cos x F(x) = sinx + C f(x) = e x F(x) = e x Grundintegrale n x dx x n 1 c n 1 1 xdx ln x c x a dx ax c ln a sin xdx cos x c cos xdx sin x c 1 cos 2 x 2 x 1 sin dx tan x c dx cot x c 1 1 x2 1 1 x 2 dx arcsin x c dx arctan x c sinh xdx cosh x c cosh xdx sinh x c 222-271 Analytische Definition des Integrals Definition 156: Die Funktion f sei über dem Intervall [a; b] definiert und dort beschränkt. Dann versteht man unter dem Integral von a bis b der Funktion f eine Zahl, die man folge ndermaßen erhält: (1) Man bildet die Zerlegung Z n des Intervalls [a; b] in n gleich lange Teilintervalle. (2) Man bildet die zu Z n gehörende Obersumme S n und die Untersumme S n. Insgesamt erhält man eine Folge von Obersumme Sn und Untersumme Sn , (3) Wir bilden lim S n und lim Sn . n n Stimmen beide Grenzwerte überein, das heißt ist: lim Sn lim Sn , so heißt dieser gen n meinsame Grenzwert das Integral von a bis b der Funktion f. b Man schreibt: f ( x )dx a Rechenregeln für Integrale Faktorregel Nun wird folgendes Integral berechnet ∫ . Das neue besteht jetzt darin, dass die Funktion nicht mehr heißt f(x)=x³, sondern jetzt f(x)=2x³. Definition 157: Besitzt eine Funktion f : a, b IR eine Stammfunktion auf a, b , so besitzt für jede reelle Zahl c 0 auch die Funktion cf eine Stammfunktion und es gilt: c f x dx c f x dx Beispiel 165: ∫ ∫ ( ) Summenregel Definition 158: Besitzen zwei Funktionen f , g : a, b IR eine Stammfunktion auf a, b , so besitzt auch ihre Summe f g eine Stammfunktion und es gilt: f x gx dx f x dx gx dx Man spricht dann auch davon, dass eine Summe gliedweise integriert wird. 223-271 Beispiel 166: Ermitteln Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen! a) f(x) = 3x b) f(x) = 8x³ c) f(x) = x² + x d) f(x) = 3x² + 4x + 1 e) f(x) = x 6 - 3x5 + 7x³ f) f(x) = g) f(x) = h) f(x) = i) f(x) = j) f(x) = √ Lösung: a) F(x) = 3x²/2 + C b) F(x) = 2x 4 + C c) F(x) = x³/3 + x²/2 + C d) F(x) = x³ + 2x² + x + C e) F(x) = x 7 /7 - x6 /2 + 7x 4 /4 + C f) F(x) = x³/9 + x²/8 + C g) F(x) = x 5 /50 - x³ + 2x/3 + C h) F(x) = -1/x + C i) F(x) = -1/(2x²) + C j) F(x) = 2/3·x³ + C 224-271 Beispiel 167: Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion, wenn die Ableitung und ein Punkt des Fun ktionsgraphen gegeben ist. a) f'(x) = 4x; P(2/5) b) f'(x) = 2x - 3; P(1/0) c) f'(x) = -6x + 5; P(2/3) d) f'(x) = -x + 1; P(-1/1) e) f'(x) = 3x² - 4x; P(0/-4) f) f'(x) = 6x² - 5; P(-2/-5) g) f'(x) = -x² + x + 4; P(3/4) h) f'(x) = 2x³ - 6x; P(-2/1) Lösung: a) f(x) = 2x² - 3 b) f(x) = x² - 3x + 2 c) f(x) = -3x² + 5x + 5 d) f(x) = -x²/2 + x + 5/2 e) f(x) = x³ - 2x² - 4 f) f(x) = 2x³ - 5x + 1 g) f(x) = -x³/3 + x²/2 + 4x - 7/2 h) f(x) = x 4 /2 - 3x² + 5 225-271 Beispiel 168: 226-271 Integration durch einfache Substitution Beispiel 169: 227-271 Integration durch erweiterte Substitution Beispiel 170: 228-271 Die erweiterte Substitution quadratischer Terme Beispiel 171: 229-271 Das bestimmte Integral Die Funktion f(x) sei gegeben; wir wollen die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall [a, b] berechnen. Einen Näherungswert erhält man, wenn man [a, b] in Teilintervalle der Länge x teilt, in jedem Intervall eine Stelle x i wählt und die Flächeninhalte der Rechtecke x·f(x i) addiert: A (f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x n))·x, in Summenschreibweise: Die Fläche - das bestimmte Integral - definieren wir als Grenzwert dieser Summe, wenn x gegen 0 geht; man schreibt: sprich "Integral von a bis b von f(x)dx" (das Integralzeichen soll an S für "Summe" e rinnern). 230-271 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Definition 159: b f ( x)dx F (b) F (a) a das heißt, die Fläche unter dem Graphen von f(x) ist eine Stammfunktion von f. Wir suchen die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² zwischen den Gre nzen a = 1 und b = 2. Folgende Vorgehensweise sollte immer angewandt werden: Zuerst eine Zeichnung oder zumindest eine Skizze erstellen, um den Sachverhalt zu verdeutlichen. Um eventuelle Besonderheiten zu erkennen, sollten die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) berechnet werden Stammfunktion finden Grenzen einsetzen, untere Grenze von oberer abziehen 231-271 Intervalladditivität Wollen wir uns folgendes Integral anschauen: 3 1 3³ 1³ 1 2 1³ 3³ 1 2 x ² dx 9 8 und 9 8 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 b b b³ a ³ b³ a ³ a ³ b³ b³ a ³ x ² dx [ ] und a 3 3 3 3 3 3 3 3 a a x²dx a a³ a³ 0 3 3 Aus den obigen Beispielen ergibt sich die nachfolgende Definition: Definition 160: (1) Ist a<b, so sei a b f ( x)dx f ( x)dx b a 1 3 3 1 Bsp.: x ² dx x ² dx ( 3³ 1³ 26 2 ) 8 3 3 3 3 (2) a x²dx 0 a 3 Bsp.: x ³dx 0 3 Außerdem gilt. b c c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a b a 9 3 4 9 Bsp.: x ² dx x ² dx 3 x²dx 4 (a, b, c können beliebig sein.) 232-271 Beispiel 172: 1 4 2 1 (3x² 5 x 4)dx (3x² 5 x 4)dx Lösung: 1 4 4 4 4 4 2 1 2 2 2 2 (3x² 5x 4)dx (3x² 5 x 4)dx (3x² 5 x 4)dx 3 x² dx 5 xdx 4 1dx (Grund int egrale) 78 Flächenberechnungen Achtung: Für f(x) < 0 ist auch das Integral negativ. Der Inhalt der Fläche zwischen Kurve und x-Achse ist dann der Betrag des Integrals. Definition 161: Wenn die Funktion im angegebenen Intervall ein oder mehrere Nullstellen hat, müssen wir daher die einzelnen Flächenstücke getrennt berechnen und ihre Beträge a ddieren. (Werden wir später noch näher behandeln) Wenn die Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse berechnet werden soll (ohne dass ein Intervall angegeben ist), müssen wir zuerst die Nullstellen bestimmen - das sind dann die Integrationsgrenzen. Definition 162: Die Fläche, die von zwei Kurven - den Graphen der Funktionen f(x) und g(x) - eingeschlossenen wird, berechnen wir nach der Formel Die Integrationsgrenzen sind dabei die x-Koordinaten der Schnittpunkte. Wenn es mehr als zwei Schnittpunkte gibt, muss man wieder die einzelnen Flächenstücke g etrennt verrechnen. Beispiel 173: Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = x² - 1 und der x-Achse zwischen den Grenzen a = 0 und b = 2 eingeschlossen wird? Lösung: Die Funktion hat bei x 1 = 1 eine Nullstelle, wir müssen daher von 0 bis 1 und von 1 bis 2 getrennt integrieren: 233-271 Beispiel 174: Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = -x³ + 3x² und der x-Achse begrenzt wird? Lösung: Nullstellen bestimmen: -x³ + 3x² = 0 x1 = 0, x 2 = 3 Beispiel 175: Wie groß ist die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) = x² und g(x) = x³? Lösung: Schnittpunkte bestimmen: x² = x³ x1 = 0, x 2 = 1 1 x4 x3 1 1 3 4 1 A ( x x ) dx 3 0 4 3 12 12 12 4 0 1 2 3 Flächenberechnung zwischen zwei Graphen Beispiel 176: Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche. f(x)=x²; g(x)=-x+2 Folgende Vorgehensweise hat sich bewährt (1) Auch hier zeichnen wir wieder eine Skizze, um uns den Sachverhalt besser zu ve rdeutlichen. (2) Um die Integralgrenzen zu erhalten, bestimmen wir die Schnittpunkte der Gr aphen. 234-271 x² x 2 x² x 2 0 p, q Formel 1 9 1 3 x1, 2 2 4 2 2 x1 1 x 2 2 (3) Man sieht hieraus: x2 x2 x1 x1 g ( x)dx f ( x)dx Also gilt: 2 2 1 1 A | ( x 2)dx x ² dx || 1 ( 2² 1 (2)³ 1 )6( )| 2 2 3 3 | 1,5 6 3 || 4,5 | 4,5 Definition 163: Ist f(x)>g(x) für alle x mit a<x<b, das heißt verläuft der Graph von f zwischen a und b oberhalb von g, so gilt für den Flächeninhalt A der von beiden Graphen über dem I ntervall [a; b] eingeschlossenen Fläche b A ( f ( x) g ( x))dx a Wird f(x)>g(x) nicht beachtet, so erscheint das Ergebnis mit negativen Vorzeichen. 235-271 Beispiel 177: Lösung: 236-271 Beispiel 178: 237-271 Beispiel 179: 238-271 Beispiel 180: 239-271 Beispiel 181: 240-271 Beispiel 182: 241-271 242-271 Prozentrechnung Beispiel 1: Einer Zeitungsmeldung ist zu entnehmen, dass Unternehmen A seinen Umsatz im Jahr 2004 um 4% gegenüber dem Umsatz von 2003, der 4,3 Mio. Euro betrug, steigern konnte. Unternehmen B hat 2004 ein Ergebnis von 3,1 Mio. Euro Umsatz zu verzeichnen, was einem Minus von 5,1% gegenüber 2003 entspricht. Wie groß war der Umsatz (in Euro) von A im Jahr 2004 bzw. der von B im Jahr 2003? Der Ausdruck „p Prozent von G” bedeutet mathematisch gesehen p 100 („Prozent” heißt wörtlich „pro Hundert”). G Die Größe G nennt man Grundwert, p Prozentsatz und P Prozentwert, so dass sich die Beziehung Definition 164: Pr ozentwert Prozentsatz Grundwert 100 P p G 100 ergibt, auf der die gesamte Prozentrechnung beruht. Man bezeichnet sie daher auch als Grundformel der Prozentrechnung. Daraus lassen sich durch einfache Äquivalenzumformungen die Formeln für Grundwert und Prozentsatz herleiten: G P 100 p und p 100 P . G Aus der letzten Gleichung ersehen Sie, dass der Prozentsatz p gerade das Verhältnis von Prozentwert zu Grundwert ist (multipliziert mit dem Faktor 100), also den Prozentwert relativ zum Grundwert betrachtet wiedergibt. Noch deutlicher wird dies in der Form P p , G 100 d.h. der Prozentwert P verhält sich zum Grundwert G wie der Prozentsatz p zu 100. Man spricht daher bei Prozentsätzen auch von relativen Zahlen (im Vergleich zu den absoluten Zahlen P und G). 243-271 Beispiel 2: Bei einer Kommunalwahl entfallen 42.543 von 99.223 abgegebenen Stimmen auf die SPD. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Wählerstimmen, den die SPD erhält. Lösung: Mit G 99.223 p 100 und P 42 .543 berechnet man 42 543 42,88 . 99 223 Die SPD erhält einen Stimmenanteil von 42,88%. Beispiel 3: : Auf ein Produkt wird ein Preisnachlass von 8%, das sind 15,20 Euro, gegeben. Wie teuer war das Produkt ursprünglich? Lösung: Mit p 8 % und P 15,20Euro berechnet sich G 15,20 Euro 100 190 Euro . 8 Der ursprüngliche Preis betrug somit 190 Euro. Beispiel 4: In einem Entwicklungsland leben 37% aller 19,7 Mio. Einwohner unterhalb der Armutsgrenze. Wie viele Personen sind das? Lösung: Mit G 19,7 Mio. und p 37 % erhält man P 19,7 37 Mio. 7,289 Mio. 100 Etwa 7,3 Mio. Einwohner leben unterhalb der Armutsgrenze. Kehren wir zurück zur Aufgabe vom Beginn des Abschnitts: Das Unternehmen A kon nte seinen Umsatz um 4% von 4,3 Mio. Euro steigern, das sind P 4.300 .000 Euro 4 172 .000 Euro . 100 Der Umsatz U im Jahr 1997 beträgt daher 4.300.000 Euro 172.000 Euro 4.472.000 Euro . Einfacher ist es, den Jahresumsatz U direkt in einer Gleichung auszurechnen: 4 4.300 .000 Euro 100 4 4.300 .000 1 100 4.300 .000 Euro 1,04 4.472 .000 Euro U 4.300 .000 Euro Gelegentlich findet man für diesen Aufgabentyp, bei dem nach der Summe aus Grundwert zuzüglich eines prozentualen Aufschlags gefragt ist, auch die Formel 244-271 Definition 165: G p G wobei G der vermehrte Grundwert ist, der sich aus dem ursprünglichen Grundwert G zuzüglich des Prozentwertes P ergibt; p ist gegeben durch: p 1 p . 100 Definition 166: Entsprechend kann man den verminderten Grundwert G definieren: G p G mit p 1 p 100 Der verminderte Grundwert gibt den Grundwert an, vermindert um einen prozentualen Abzug von p % von G. Ein Beispiel hierfür ist die Entwicklung des Unternehmen B in der Beispielaufgabe: Hier entspricht der Umsatz in 2004 (3,1 Mio. Euro) dem Umsatz in 2003, vermindert um 5,1%. Mit G 3,1Mo. und p 1 0,051 0,949 erhält man G G 3,1 Mio. Euro 3.27 Mio. Euro . 0,949 p 245-271 Zinsen Allgemeine Bezeichnungen Definition 167: K 0 : Barwert (Anfangskapital) K n: Endwert (Kapital nach n Jahren) i: Zinssatz d: Diskontsatz n: Laufzeit Wir geben Zinssatz in Prozent oder als Dezimalzahl an, z.B. i = 5% = 0,05. Wenn jemand Geld auf ein Sparbuch legt, verleiht oder einem Unternehmen zuführt, so möchte er im Allgemeinen nicht nur das angelegte Geld zurückbekommen, sondern darüber hinaus noch einen zusätzlichen Betrag (als „Gewinn" aus dieser Geldanlage) erhalten - die so genannten Zinsen. In den meisten Fällen ist man sich darüber einig, dass die Zinsen umso höher sein so llen, je höher das eingesetzte Kapital ist und je länger das Kapital entlehnt wird. Hi nsichtlich der Zinsperioden (in welchen Zeitabständen die Verzinsung erfolgen soll), hinsichtlich der Fälligkeit der Zinsen (zu Beginn oder am Ende einer Zinsperiode) und hinsichtlich der Berechnungsbasis (entlehntes Kapital mit oder ohne Berücksichtigung von Zinsen aus früheren Zinsperioden) gibt es jedoch sehr unterschiedliche Auffa ssungen. Je nach Situation, gesetzlichen Bestimmungen oder wirtschaftlichen Gepflogenheiten werden hier sehr unterschiedliche Vereinbarungen getroffen. Darüber hinaus orie ntieren sich die Prozentsätze, mit denen verzinst wird, am Geld- und Kapitalmarkt und unterliegen zum Teil beträchtlichen Schwankungen. Einfache Verzinsung Im einfachsten Fall erfolgt die Berechnung der Zinsen jeweils vom ursprünglich en tlehnten Kapital ohne Berücksichtigung von Zinsen aus früheren Zinsperioden. Man spricht von einfacher Verzinsung. Beispiel 5: Ein Kapital von € 10 000,- wird für drei Jahre verliehen. Nehmen wir an, es werde ve reinbart, dass pro Jahr 12% des entlehnten Kapitals an Zinsen anfallen. Diese Zinsen sollen nach Ablauf der drei Jahre zusammen mit dem entlehnten Kapital (zurück)bezahlt werden. Wie hoch ist der gesamte Rückzahlungsbetrag? Lösung: Zum entlehnten „Anfangskapital" von € 10000,- kommen jährlich Zinsen in der Höhe von 12% von € 10 000,- hinzu, in drei Jahren also: 246-271 3 · 0,12 · 10.000 = 3.600 Der Rückzahlungsbetrag nach 3 Jahren (Endkapital K3) beträgt somit: K 3 = 10 000 + 3 . 0,12 . 10 000 = 13 600 € In voriger Aufgabe wurden die Zinsen jeweils vom entlehnten Kapital berechnet und erst am Ende der drei Jahre (nachschüssig oder dekursiv) dem Kapital zugeschlagen (d.h. der Rückzahlungsbetrag erhöht sich um die Zinsen). Definition 168: Einfacher Zins: Kn = K0 + n · i · K0 = K0 · (1 + n · i) K 0 ... Anfangskapital (entlehnter Betrag); K n... Endkapital (Rückzahlungsbetrag) n ... Verzinsungsdauer (in Zinsperioden); i ... Zinssatz für jede Zinsperiode Bei einfacher Verzinsung bezieht sich der angegebene Zinssatz meist auf ein Jahr, d. h. Definition 169: Eine Zinsperiode dauert ein (Kalender-)Jahr. Dabei gilt i.a.: 1 Jahr = 12 Monate = 360 Tage Definition 170: Die Berechnung des Endkapitals bezeichnet man als Aufzinsung, jene des Anfangskapitals als Abzinsung. 247-271 Einfache Verzinsung - kaufmännischer Diskont Beispiel 6: Ein Kapital von € 10000,- soll in 3 Jahren zurückbezahlt werden, wobei vereinbart wurde, dass die Zinsen von jährlich 12% des entlehnten Kapitals bereits zu Beginn der drei Jahre fällig sind, d. h. gleich vom entlehnten Kapital abgezogen werden. Welcher Betrag wird ausbezahlt? Lösung: Nach drei Jahren werden K 3 = 10 000,- („Endkapital") zurückbezahlt. An Zinsen fallen jährlich 12% von € 10 000,- an, in 3 Jahren also: 3 . 0,12 . 10 000 = 3 600 Somit ergibt sich ein Auszahlungsbetrag („Anfangskapital") K 0 von: K 0 = 10 000 - 3 • 0,12 • 10 000 = 6 400 € Die Zinsen werden zwar ebenfalls stets vom entlehnten Kapital berechnet (einfache Verzinsung), sie werden jedoch gleich zu Beginn fällig (vorschüssig oder antizipativ), sodass sich der Auszahlungsbetrag um diese Zinsen verminderte. Man nennt diese Form der einfachen Verzinsung „kaufmännischer Diskont". Definition 171: Kaufmännischer Diskont: K0 = Kn - n · d · Kn = Kn · (1 - n · d) K0 ... Anfangskapital (Auszahlungsbetrag); Kn ... Endkapital (entlehnter Betrag) n ...Verzinsungsdauer (in Zinsperioden); d ... Diskontsatz für jede Zinsperiode Beim einfachen Zins gibt das Anfangskapital K0 den entlehnten Betrag an, das Endkapital Kn den um die Zinsen erhöhten Rückzahlungsbetrag. Beim kaufmännischen Diskont ist das Endkapital Kn der nach n Jahren zurückzuzahlende entlehnte Betrag, während das Anfangskapital K0 den um die Zinsen (hier: Diskont) verringerten Auszahlungsbetrag angibt. Bemerkung 22: Diese Art der Verzinsung wird vor allem bei der Wechseldiskontierung angewendet. Mit einem Wechsel verpflichtet man sich, zu einem späteren Zeitpunkt einen b estimmten Betrag K n zu zahlen. Wenn der Empfänger des Wechsels ihn schon früher einlösen will, erhält er von der Bank den um die Diskontzinsen verminderten Betrag. 248-271 Dekursiver Zinseszins Dabei wird der Zins am Ende einer Zinsperiode (dekursiv) berechnet und mit dem Kapital verbunden. Dieses so erhöhte Kapital bildet dann wieder die Grundlage für die Berechnung der Zinsen für die nächste Zinsperiode. Definition 172: p K n K 0 1 100 Dekursiver Zinseszins: n K0 ... Anfangskapital; Kn ... Endkapital n ...Verzinsungsdauer (in Zinsperioden); i ... Zinssatz pro Zinsperiode Den Klammerausdruck (mit Exponent) nennt man Aufzinsungs-Faktor q n q n p 1 100 n Das Endkapital hängt also exponentiell von der Zeit ab. Abzinsen eines Anfangskapitals Definition 173: Man kann auch feststellen, welches Anfangskapital nötig ist, um nach n Jahren bei einem bestimmten Zinssatz ein bestimmtes Endkapital zu erreichen. Dabei wird das Endkapital sozusagen abgezinst (diskontiert) und man ermittelt den Barwert des Endkapitals. Beispiel 7: Wie hoch ist der Barwert eines Kapitals, das in 3 Jahren bei 5% Zinseszinsen auf 3000 Euro angewachsen ist? K0 = Kapital zu Beginn der Laufzeit (Anfangskapital) Kn = Kapital am Ende des n-ten Jahres n = Laufzeit in Jahren qn = Aufzinsungs-Faktor Herleitung der Barwert-Formel aus der Zinseszins-Formel Für das Endkapital gilt K n K0 q n Stellt man die Formel um, erhält man für K 0 Definition 174: K0 Kn 1 Kn n n q q 249-271 K 0 3000 1 5 1 100 3 3000 1 1,05 3 K 0 2591 ,512794 Das Anfangskapital (= der Barwert des Endkapitals) beträgt 2591,51 Euro. Für die Barwert-Ermittlung gilt die Allgemeine Barwert-Formel K0 Kn 1 qn 1 heißt Abzinsungs-Faktor. qn Berechnung der Zinsen Die Zinsen ergeben sich aus der Differenz von Anfangs- und Endkapital. Berechnung des Zinssatzes Der Zinssatz kann auch mathematisch genau berechnet werden. Auch das erfolgt über den Aufzinsungsfaktor, denn es gilt die Formel p q 1 100 n n worin p der Zinssatz ist. Ebenfalls gilt Definition 175: 1 K n K0 q n K qn n K0 K n K q=n n n K0 K0 Man kann den Zinssatz also berechnen, wenn folgende Werte gegeben sind Anfangskapital Endkapital Laufzeit Definition 176: Wenn der Aufzinsungsfaktor bekannt ist, kann man den Zinssatz berechnen über die Beziehung p = q 1 100 250-271 Beispiel 8: Zu welchem Zinssatz wurden 12.000,00 Euro angelegt, wenn nach 3 Jahren ein En dkapital von 14.091,00 Euro entstanden ist? q=3 14091,00 3 117425 , 1,055 12000,00 p = 1,055 1 100 5,5 Das Kapital wurde zu 5,5% verzinst. Berechnung der Laufzeit Definition 177: Man kann die Laufzeit auch mathematisch genau berechnen. Das erfolgt mit Hilfe von Logarithmen. Es gilt die Formel n= lg K n lg K0 lgq lg = Logarithmus zur Basis 10 Den Aufzinsungsfaktor berechnet man am einfachsten mit der Formel q = 1 p 100 Man kann die Laufzeit also berechnen, wenn folgende Werte gegeben sind Anfangskapital Endkapital Zinssatz Beispiel 9: In welcher Zeit wächst ein Kapital von 7.450,00 Euro bei 7% Zinseszins auf 10.449,00 Euro? q = 1 n= 7 1,07 100 4,019 3,872 4,999 5 0,029 Die Laufzeit beträgt 5 Jahre. 251-271 Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik Definition 178: Zahlungen dürfen nur dann verglichen / addiert / subtrahiert werden, wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden! Beispiel 10: Für eine Immobilie liegen zwei Angebote vor: A bietet 20.000 € sofort und 10.000 € in 3 Jahren; B bietet je 15.000 € in einem Jahr und in 2 Jahren. Welches Angebot ist - bei einer Verzinsung von 5% - für den Verkäufer günstiger? Solche Aufgaben veranschaulicht man am besten durch einen Zeitstrahl: Wir können beispielsweise alle Zahlungen auf das Ende des 3. Jahres aufzinsen: A: 20.000·1,05 3 + 10.000 = 33.152,50 B: 15.000·1,05 2 + 15.000·1,05 = 32.287,50 Angebot A ist also für den Verkäufer etwas günstiger. (Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn wir einen anderen Bezugszeitpunkt, z.B. den Anfang des 1. Jahres, gewählt hätten.) A: 20.000+10.000·0,97=29.700 B: 15.000·0,97+15.000·0,97=28.663,5 252-271 Unterjährige Verzinsung Oft werden die Zinsen mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen (halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich). Für die Berechnung des unterjährigen Zinssatzes i m (m ist die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr) gibt es zwei Möglichkeiten: Definition 179: Relativer unterjähriger Zinssatz: i m i m Der nominelle Jahreszinssatz wird durch die Anzahl der Zinsperioden geteilt. Dabei ergibt sich allerdings ein höherer Effektivzinsatz. Beispiel 11: K 0 = 100, i = 12%, n = 1 i2 = 6% K 1 = 100·1,06 2 = 112,36 i eff = 12,36% vierteljährlich: i4 = 3% K 1 = 100·1,03 4 = 112,55 i eff = 12,55% monatlich: K 1 = 100·1,01 12 = 112,68 i eff = 12,68% halbjährlich: i12 = 1% Definition 180: Konformer (äquivalenter) unterjähriger Zinssatz: (1 + i m )m = 1 + i Bemerkung 23: im wird so bestimmt, dass sich derselbe Effektivzinssatz ergibt wie bei jährlicher Verzinsung. Betrachten wir wieder das Beispiel i = 12%: (1 + i 2 )2 = 1,12 i2 = 5,83% vierteljährlich: (1 + i 4 )4 = 1,12 i4 = 2,87% halbjährlich: monatlich: (1 + i 12 )12 = 1,12 i12 = 0,95% Man kommt also nur zu widerspruchsfreien Ergebnissen, wenn man den konformen unterjährigen Zinssatz verwendet! Das bedeutet für unser Beispiel: Wenn der gleiche Betrag als Ergebnis herauskommen soll, dann muss folgendermaßen gerechnet werden n p 12 K1 K 0 1 100 1 112 € 100 100 Halbjährig: 253-271 ( ) Stetige Verzinsung Wenn man (bei gleichbleibendem nominellem Zinssatz) die Anzahl der Zinsperioden vergrößert, wird das Endkapital immer größer. Es gibt aber eine obere Grenze. Setzen wir der Einfachheit halber K 0 = 1, i = 1%: m K1 1 1+1=2 2 (1 + ½) 2 = 2,25 4 (1 + ¼) 4 = 2,441 12 (1 + 1 / 12 )12 = 2,613 100 (1 + 1 / 100 )100 = 2,705 1000 (1 + 1 / 1000 )1000 = 2,717 Der Grenzwert dieser Folge für m ist die Euler'sche Zahl e = 2,71828... Endwert eines Kapitals bei stetiger Verzinsung zum nominellen Zinssatz i: Definition 181: K n = K 0 ·e i·n Die stetige Verzinsung eines Kapitals ist in der Praxis nicht durchführbar; sie stellt aber ein gutes Modell für natürliche Vorgänge (Wachstumsvorgänge, radioaktiver Ze rfall u.a.) dar. 254-271 Gemischte Verzinsung - Sparbuch Die Formel für den dekursiven Zinseszins kann auch für nichtganzzahlige Werte von n verwendet werden. In der Praxis passiert dies jedoch kaum (deshalb auch die B ezeichnung theoretische Verzinsung). Bei Sparformen wird üblicherweise der Zinseszins nur für den ganzzahligen Teil von n angewendet. Für den nichtganzzahligen Teil von n wird mit einfachem Zins gerechnet. Man bezeichnet diese Art von Verzinsung als praktische oder gemischte Verzinsung. Gemischte Verzinsung: Kn = K0 • (1+i)g • (1+h•i) K0 ... Anfangskapital; pro Zinsperiode Kn ... Endkapital; n ...Verzinsungsdauer; i ... Zinssatz g ... ganzzahliger Teil von n; h ... nichtganzzahliger Teil von n Zinsperioden können an dem auf die Einzahlung folgenden Tag beginnen oder zu fixen, einheitlich festgelegten Terminen (z.B. am Ende eines Kalenderjahres) vorgeg eben sein. Die Verzinsung beginnt immer am ersten Werktag nach der Einzahlung und endet am letzten Werktag vor der Behebung (Samstage zählen nicht als Werk tag). Beträge, die innerhalb von 14 Tagen wieder behoben werden, werden i.a. nicht ve rzinst. 255-271 Rentenrechnung Eine Reihe von gleichhohen Zahlungen (Raten) in regelmäßigen Zeitabständen b ezeichnet man als Rente. Die Rentenrechnung ist eine Form der Zinseszinsrechnung. Renten sind Geldleistungen, die zu regelmäßig wiederkehrenden Zeitpunkten in gleicher Höhe gezahlt we rden. Eine einzelne Zahlung heißt Rentenrate. Wenn die Zahlungen am Ende eines Jahres geleistet werden, spricht man von nachschüssigen Renten. Erfolgen die Zahlungen am Anfang des Jahres, heißen sie vorschüssige Renten. Die Summe aller Rentenraten einschließlich Zinseszinsen nach n Jahren nennt man Renten-Endwert R n . Bezeichnungen: Definition 182: R: Rate E: Endwert (Wert am Ende des Rentenzeitraums) B: Barwert (Wert am Beginn des Rentenzeitraums) Rentenperiode: Zeitraum zwischen zwei Raten Nachschüssige Rente: Zahlungen am Ende jeder Rentenperiode Vorschüssige Rente: Zahlungen am Ende jeder Rentenperiode 256-271 Berechnung des nachschüssigen Renten-Endwerts Man kann sich den Renten-Endwert vorstellen als Summe der Zinseszinsrechnungen über eine bestimmte Laufzeit. Beispiel 12: Am Ende eines jeden Jahres werden 500,00 Euro eingezahlt. Auf welchen Betrag sind die Einzahlungen angewachsen, wenn die letzte Rate am Ende des 5. Jahres gele istet wird und der Zinssatz 3% beträgt? Zunächst können mit der Zinseszinsformel die Beträge für jedes Jahr berechnet we rden. p K n K 0 1 100 n Rentenrate Jahr Aufzinsungsfaktor Endwert 500 1. Jahr / n = 4 1,03 4 562,75 500 2. Jahr / n = 3 1,03 3 546,36 500 3. Jahr / n = 2 1,03 2 530,45 500 4. Jahr / n = 1 1,03 515,00 500 5. Jahr / n = 0 1,00 500,00 Summe 2654,56 Die Summe der Einzahlungen zuzüglich der Zinseszinsen beträgt 2.654,56 Euro. Mathematisch stellt die Summe der nachschüssigen Rentenraten eine geometrische Reihe dar, die mit einer Summenformel berechnet werden kann. Allgemeine Formel für den nachschüssigen Renten-Endwert Definition 183: En = R q q 1 q 1 n 1 q 1 n R ist die einzelne Rentenrate heißt nachschüssiger Renten-Endwert-Faktor Den Aufzinsungsfaktor berechnet man mit der bekannten Formel p q n 1 100 n Das Beispiel von oben mit der neuen Formel berechnet. En q = R 1 1,03 5 1 500 2.654 ,57 € q 1 1,03 1 n Bei diesen Rechnungen mit Formel oder Tabelle kann es zu abweichenden Lösungen durch Rundungsfehler kommen. 257-271 Berechnung des vorschüssigen Renten-Endwerts Ebenso wie bei der Zinseszinsrechnung kann man auch bei der Rentenre chnung den vorschüssigen Renten-Endwert berechnen. Beispiel 13: Am Anfang eines jeden Jahres werden 500,00 Euro eingezahlt. Auf welchen Betrag sind die Einzahlungen angewachsen, wenn die letzte Rate am Ende des 5. Jahres g eleistet wird und der Zinssatz 3% beträgt? Zunächst können mit der Zinseszinsformel die Beträge für jedes Jahr berechnet we rden. p K n K 0 1 100 Rentenrate n Jahr Aufzinsungsfaktor Endwert 5 579,64 500 1. Jahr / n = 5 1,03 500 2. Jahr / n = 4 1,03 4 562,75 500 3. Jahr / n = 3 1,03 3 546,36 500 4. Jahr / n = 2 1,03 2 530,45 500 5. Jahr / n = 1 1,03 515,00 Summe 2734,20 Die Summe der Einzahlungen zuzüglich der Zinseszinsen beträgt 2.734,20 Euro. Allgemeine Formel für den vorschüssigen Renten-Endwert Definition 184: EV = R q q q 1 q 1 n q 1 q 1 n R ist die einzelne Rentenrate heißt vorschüssiger Renten-Endwert-Faktor Den Aufzinsungsfaktor berechnet man mit der bekannten Formel p q n 1 100 n Wieder nach der neuen Formel berechnet: 258-271 Berechnung des nachschüssigen Renten-Barwertes Auch bei der Rentenrechnung kann der Barwert eines Kapitals berechnet werden. D abei wird in die Rechnung der Abzinsungsfaktor einbezogen. Allgemeine Formel für den nachschüssigen Renten-Barwert Definition 185: B n =R 1 q n 1 q n q 1 1 qn 1 qn q 1 R ist die einzelne Rentenrate heißt nachschüssiger Renten-Barwert-Faktor Beispiel 14: Welcher Betrag muss bei einer Verzinsung von 3% eingezahlt werden, dam it für 12 Jahre an jedem Jahresende eine Rente von 1500 Euro ausgezahlt werden kann? n 1 q 1 Bn = r n q q 1 p q n 1 100 B12 1.500 n 1 1,0312 1 14 .931,01 1,0312 1,03 1 Es muss ein Betrag von 14.931,01 Euro eingezahlt werden. 259-271 Berechnung des vorschüssigen Renten-Barwertes Bei der vorschüssigen Rentenzahlung wird die letzte Rente bereits zu Beginn des n ten Jahres ausgezahlt. Daher fallen Zinsen nur für n minus 1 Jahre an. Allgemeine Formel für den vorschüssigen Renten-Barwert Definition 186: Bv = R 1 q n 1 q q q n 1 1 q 1 n 1 q 1 1 n R ist die einzelne Rentenrate heißt vorschüssiger Renten-Barwert-Faktor Beispiel 15: Welcher Betrag muss bei 3% Verzinsung eingezahlt werden, damit für 12 Jahre an j edem Jahresanfang eine Rente von 1500 Euro ausgezahlt werden kann? Bv = R 1 q n 1 q 1 q 1 p q 1 100 n n n B12 = 1.500 1,03 12 1 1 1,03 11 1,03 1 15 .378 ,94 Es muss ein Betrag von 15.378,94 Euro eingezahlt werden. Zusammenfassung: nachschüssig vorschüssig Endwert: Barwert: Definition 187: Wenn Rentenperiode und Zinsperiode nicht gleich lang sind, muss man mit dem äqu ivalenten Zinssatz rechnen, z.B.: monatliche Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5%: q = 12 1,05 = 1,0041 zweijährige Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5%: q = 1,05 2 = 1,1025 260-271 Beispiel 16: Herr A. zahlt 15 Jahre lang am Ende jedes Jahres 1.000 € ein (i = 4%). Von dem ersparten Geld will er 20 vorschüssige Jahresraten abheben, beginnend 5 Jahre nach der letzten Einzahlung. Wie hoch ist eine Rate? Wert 5 Jahre nach der letzten Einzahlung: Endwert (nachschüssig), aufgezinst durch 5 Jahre Lösung: En R qn 1 1,0415 1 1.000 20 .023 ,60 q 1 1,04 1 Bv 20.023,6 1,04 5 24.361,76 Das ist der Barwert der neuen Rente (vorschüssig): B v (q 1) q n 1 1 qn 1 B v R n 1 R 1.723 ,64 q q 1 qn 1 Beispiel 17: Frau B. nimmt einen Kredit von 15000 € mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 8%). Wie hoch ist eine Rate? Lösung: Den Aufzinsungsfaktor erhalten wir aus dem konformen Monatszinssatz: q = 1 + i 12 = 12 1,08 = 1,0064. Die Kreditsumme ist der Barwert, es sind 120 nachschüssige Raten zu zahlen: 15000 = R·(1 - 1,0064 -120 )/0,0064 R = 179,79 € 261-271 Unterjährige Renten In der Praxis erfolgen Ratenzahlungen nicht nur einmal jährlich, sondern in den mei sten Fällen mehrmals pro Jahr (halbjährlich, vierteljährlich, monatlich). Fallen die Zinstermine mit den Rententerminen zusammen, d.h. stimmen die Zinsperioden mit den Rentenperioden überein, so bleiben die hergeleiteten Formeln ohne Änderung gültig (n steht ja für die Anzahl der Rentenperioden und nicht zwingend für die Zahl der Jahre). Ist die Zinsperiode kleiner als die Rentenperiode (d.h. eine Ratenzahlung wird m mal mit einem Zinssatz im verzinst, bevor die Zahlung der nächsten Rate e rfolgt), so wird dies in den Formeln durch einen Aufzinsungsfaktor r = (1+i m )m berücksichtigt. Ist die Rentenperiode kleiner als die Zinsperiode (z.B. vierteljährliche Rentenzahlungen bei i = 8% p.a. ), so ist die Verzinsung an die kleinere Periodenlänge anzupassen. Dies geschieht durch Berechnung des äquivalenten Zinssatzes im (z.B.: (1+i 4 )4 = (1+i) ) 262-271 Ewige Renten Werden die Zinsen eines Kapitals B als Rate ausbezahlt, so bleibt der Barwert B immer gleich groß; man erhält eine "ewige Rente". Es gilt dann: R = B.i 263-271 Rentenumwandlung Von Rentenumwandlungen spricht man, wenn Renten durch äquivalente einmalige Zahlungen ersetzt werden, vorschüssige in nachschüssige Renten umgewandelt werden (oder umgekehrt) oder z.B. ein durch Rentenzahlungen angespartes Kapital wi eder durch eine neuerliche Rente (i.a. mit veränderter Laufzeit) wieder ausbezahlt wird (z.B. bei privater Pensionsvorsorge, ...). 264-271 Tilgungsrechnung oder Annuitätendarlehen Darunter versteht man ein Darlehen, das durch eine konstante Monatsrate zurückg ezahlt wird. Dieser Betrag setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: Tilgung und Zins. Dadurch nimmt der Schuldenbetrag ab, was gleichzeitig zur Folge ha t, dass der Zinsanteil zurückgeht, also nimmt mit jedem Monat die Tilgung zu. D sei das aufgenommene Darlehen und K n der Kontostand des Schuldenkontos n Monate nach der Schuldenaufnahme. R sei die monatliche Rückzahlungsrate und p der Jahreszins für die monatliche Verzinsung. Berechnung der Kontostände: (jetzt wird nachschüssig zurückgezahlt!) wobei in der Klammer die Reihenfolge der Summanden umgekehrt worden ist. Diese Klammer stellt wieder eine geometrische Reihe dar, durch deren Summenfo rmel man die folgende Berechnungsformel erhält: Definition 188: K n D q n R q n 1 q 1 Berechnung der Monatsrate, damit das Darlehen D nach einer bestimmten Zeit (n Monate) zurückgezahlt sein soll: Am Ende der Rückzahlungsphase ist der Kontostand auf 0 zurückgegangen. Die Bedingung dafür ist K n = 0 daraus folgt: Berechnung der Anteile von Zins und Tilgung innerhalb einer Monatsrate in Abhä ngigkeit von n: Der im Monat n enthaltene Zinsanteil Z n berechnet sich aus dem Kontostand im Monat zuvor; der Rest der Rate dient alleine der Schuldentilgung. Beispiel 18: 265-271 Herr Baumann nimmt für einen Umbau ein Darlehen von 250 000 € von der Bank auf. Man vereinbart 100% Auszahlung, 7,5% Zins p. a. bei monatlicher Verzinsung und eine Laufzeit von 10 Jahren. Mit der Rückzahlung wird nach 1 Monat begonnen a) Berechnen Sie die Monatsrate. b) Erstellen Sie bei 2500 € Monatsraten eine geeignete Formel zur Berechnung aller Kontostände. Berechne damit die Kontostände K 0 , K 1 , K 2 , K 3 , K 120 , K 157 und K 158 . c) Berechnen Sie die Laufzeit bei einer Monatsrate von 2500 € ! Wie hoch ist die letzte Rate? d) Wie groß sind dabei Zins und Tilgung in den ersten drei Monaten und nach 10 Ja hren? Wann sind Zins und Tilgung etwa gleich groß? e) Wie viel verdient die Bank daran? Lösung: a) R D qn q 1 250 .000 1,00625 120 0,00625 2.967 ,54 € qn 1 1,00625 120 1 b) 266-271 c) d) Zinsen und Tilgung in den ersten drei Monaten und nach 10 Jahren. 267-271 Man erkennt sehr schön. Um wie viel der Zins ab- und die Tilgung in gleichem Maße zunimmt. Ganz stark ist dies nach 10 Jahren (120 Monaten) zu beobachten! e) Beispiel 19: Zur Tilgung einer Schuld von € 80.000,- bei i = 6% p.a. sollen durch 4 Jahre hindurch nachschüssig Zahlungen geleistet werden, die jeweils einen Tilgungsanteil gleicher Höhe beinhalten. Erstellen Sie einen Tilgungsplan. Lösung: 268-271 B = K 0 = 80 000, i = 6% für die jährliche Tilgung t k muss gelten: tk B n Tilgungsplan (Ratentilgung) Jahr (k) Annuität (A k ) Zinsanteil (Z k ) Tilgungsanteil (T k ) Restschuld (K k ) 0 0 0 0 80.000,00 1 24.800,00 4.800,00 20.000,00 60.000,00 2 23.600,00 3.600,00 20.000,00 40.000,00 3 22.400,00 2.400,00 20.000,00 20.000,00 4 21.200,00 1.200,00 20.000,00 0,00 12.000,00 80.000,00 Summe 92.000,00 allgemein gilt für nachschüssige Jahresraten: Ak Z k Tk Z k K k 1.i K k K k 1 Tk Bei vorschüssigen Rentenraten werden die Zinsen jeweils von der Restschuld am Ende des gleichen Jahres berechnet (und nicht wie im vorigen Fall von der Restschuld des Vorjahres); d.h. in diesem Fall gilt: Zk Kk .d Tilgungsplan (Ratentilgung vorschüssig) Jahr (k) Annuität (A k ) Zinsanteil (Z k ) Tilgungsanteil (T k ) Restschuld (K k ) 0 0 0 0 80.000,00 1 23.600,00 3.600,00 20.000,00 60.000,00 2 22.400,00 2.400,00 20.000,00 40.000,00 3 21.200,00 1.200,00 20.000,00 20.000,00 4 20.000,00 0,00 20.000,00 0,00 7.200,00 80.000,00 Summe 87.200,00 Annuitätentilgung Die Annuitätentilgung entspricht einer Rentenrechnung mit gegebenem Barwert. Die Rückzahlung erfolgt nach- oder vorschüssig durch Annuitäten konstanter Höhe. Beispiel 20: 269-271 Eine Schuld von € 50.000,- soll bei i = 10% p.a. in 5 Jahren durch gleichbleibende nachschüssige Jahresraten getilgt werden. Erstellen Sie einen Tilgungsplan. R Ak 50000 1,15 0,1 13189,87 1,15 1 Tilgungsplan (Annuitätentilgung nachschüssig) Jahr (k) Annuität (A k ) Zinsanteil (Z k ) Tilgungsanteil (T k ) Restschuld (K k ) 0 0 0 0 50.000,00 1 13.189,87 5.000,00 8.189,87 41.810,13 2 13.189,87 4.181,01 9.008,86 32.801,27 3 13.189,87 3.280,13 9.909,74 22.891,53 4 13.189,87 2.289,15 10.900,72 11.990,81 5 13.189,87 1.199,08 11.990,79 0,02 15.949,37 49.999,98 Summe 65.949,35 *) *) *) Abweichungen ergeben sich durch Rundungen Nicht ganz so einfach gestaltet sich die Erstellung des Tilgungsplans bei vorschüssiger Zahlung. Es wird die Restschuld mit d verzinst. Die Restschuld ist jedoch erst bekannt, wenn man die Tilgung berechnet hat (und für diese benötigt man die Höhe der Res tschuld...). Definition 189: Ak Tk Z k Ak Tk ( K k 1 Tk ) d Ak Tk K k 1 d Tk d Tk Ak K k 1 d 1 d Rechnet man mit B = 50000, d = 10%, n = 5 und vorschüssigen Zahlungen, so erhält d 50000 (1 i )4 i 12209,71 man mit i : R Ak (1 i )5 1 1 d 270-271 Tilgungsplan (Annuitätentilgung vorschüssig) Jahr (k) Annuität (A k ) Zinsanteil (Z k ) Tilgungsanteil (T k ) Restschuld (K k ) 0 0 0 0 50.000,00 1 12.209,71 4.198,92 8.010,79 41.989,21 2 12.209,71 3.308,83 8.900,88 33.088,33 3 12.209,71 2.319,85 9.889,86 23.198,47 4 12.209,71 1.220,97 10.988,74 12.209,74 5 12.209,71 0,00 12.209,71 0,03 11.048,58 49.999,97 Summe 61.048,55 271-271