1. ¨Ubung 4. Normalverteilung

Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln — SS 2016
Prof. Dr. Joachim Krug
Dr. Stefan Nowak
Theoretische Physik in 2 Semestern II
1. Übung
http://www.thp.uni-koeln.de/~sn/ss16/
Abgabe:
Dienstag, 19. April 2016 bis 10:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
4. Normalverteilung
4+4+3+6+6+7=30 Punkte
In der Quantenmechanik, und später auch in der statistischen Physik, werden häufig Funktionen
vom Typ
2
f (x) = e−ax
verwendet und es ist oft notwendig, über diese Funktionen zu integrieren. Da f (x) keine Stammfunktion besitzt, die man durch elementare Funktionen ausdrücken kann, sind solche Integrale
nicht trivial. Trotzdem kann man das Integral
Z ∞
2
e−ax dx
−∞
analytisch lösen.
a) Zeigen Sie zunächst:
Z
∞
2
e−ax dx
2
Z
∞
= 2π
−∞
2
re−ar dr
(1)
0
Hinweis: Schreiben Sie die linke Seite von Gleichung (1) als zweidimensionales Integral und
transformieren Sie dann in Polarkoordinaten.
b) Berechnen Sie das Integral auf der rechten Seite von Gleichung (1) und zeigen Sie damit:
r
Z ∞
π
−ax2
e
dx =
a
−∞
c) Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung, häufig auch Gauß-Verteilung genannt
(nach Carl Friedrich Gauß), lautet
1
1 (x − µ)2
ρ(x) = √
exp −
.
2
σ2
2πσ 2
Zeigen Sie, dass ρ(x) normiert ist, d.h.
Z ∞
ρ(x) dx = 1 .
−∞
Hinweis: Verwenden Sie das Ergebnis aus Teil b).
d) Berechnen Sie den Erwartungswert hxi, d.h. zeigen Sie, dass
Z ∞
hxi =
x ρ(x) dx = µ .
−∞
e) Berechnen Sie die Varianz ∆x2 := h(x − µ)2 i, d.h. zeigen Sie, dass
Z ∞
2
(x − µ)2 ρ(x) dx = σ 2 .
∆x =
−∞
f ) Berechnen Sie die Fouriertransformierte F̃ (k) := hexp(ikx)i, d.h. zeigen Sie, dass
Z ∞
1 2 2
F̃ (k) =
ρ(x) exp(ikx) dx = exp iµk − k σ .
2
−∞
Hinweis: Benutzen Sie an geeigneter Stelle quadratische Ergänzung im Exponenten.
5. Comptoneffekt
5+5=10 Punkte
Ein Photon mit Energie Eγ trifft mit dem Streuwinkel φ auf ein ruhendes, freies Elektron.
a) Leiten Sie aus der Änderung der Wellenlänge
∆λ = λC [1 − cos(φ)] ,
mit λC =
h
me c
und dem Energieerhaltungssatz die Energien Eγ0 und Ee0 des Photons bzw. Elektrons nach
dem Stoß als Funktion von Eγ und φ her.
b) Bei welchem Winkel φmax wird die auf das Elektron übertragene Energie Ee0 maximal?
Wie groß ist diese Energie dann? Diskutieren Sie insbesondere die Fälle Eγ me c2 und
Eγ me c2 .
6. Einzelspaltexperiment
10 Punkte
106
Ein Elektron trifft mit v =
m/s auf einen Spalt der Breite d = 10 nm. In L = 1 cm
Entfernung zum Spalt treffen die Elektronen auf einen Leuchtschirm (siehe Abbildung).
L
b
v
d
Elektron
Spalt
Leuchtschirm
Schätzen Sie über die Unschärferelation die Breite 2b des Hauptmaximums ab.
Hinweis: Die vertikale Position des Teilchens ist beim Durchfliegen des Spaltes bekannt (das
Elektron muss irgendwo im Spalt sein), wodurch die vertikale Komponente des Impulses unscharf
ist.