Übungen zu Physik für Bauingenieure SS 2002

Übungen zu Physik für Bauingenieure SS 2002
Prof. P. Böni
Lösungen zu Blatt 15
Florian Grünauer, Institut E21
Besprechung am 2.5.02 (N1090 15:00 Uhr)
http://www.ph.tum.de/antares/uebungen/uebungen.html
1. Aufgabe: Spontane Kühlung
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich ein Stein der Masse m=1kg und
der Temperatur T=300K spontan abkühlt und dafür um h=10cm in die Höhe springt?
(spez. Wärmekapazität c=0,8 kJ/(kg·K)
Lösung
Abkühlung:
E pot  U
mgh  mcT  mcT2  T1 
T  
gh
 1.2  10 3 K
c
Entropie S:
Boltzmann-Beziehung:
S  k ln W
W (I)
S  S 2  S1  k ln 2
W1
mit W=thermodynamische Wahrscheinlichkeit
isochore Zustandsänderung:
T
(II)
S  cm ln 2
T1
(I)=(II)
W
T
k ln 2  cm ln 2
W1
T1
 cm T2 
 cm T1  T 
W2

 exp 
ln   exp 
ln
W1
T1 
T1 
 k
 k
T1 ist 300K!
J


 1kg
 800

W2
299,9988 K 
kg  K

 exp
 ln
 exp 5,8  10 25  ln( 0,999996)   exp( 10 20 )


W1
300 K
 23 J
 1,38  10

K


Die Wahrscheinlichkeit für die spontane Abkühlung ist beliebig gering!
2. Aufgabe:
Ein Elektron (me=9,109·10-31kg) befindet sich im Abstand r=0,5·10-10m von einem
Proton (mp=1.673·10-27kg).
a) Berechnen Sie die elektrostatische und die Gravitationskraft zwischen beiden.
Lösung
Coulombsches Gesetz:
1 q1  q 2
FC 
4r  0 r 2
hier:
FC 
1,6 10

0,5 10
19
1
10
C
V m
Newtonsches Gravitationsgesetz
4  8,854  10 12

m
C
2
2
 8,99  10 9
FG  f
V m
C2
 1,02  10 17 2  9,21  10 8 N
C
m
m1  m2
r2
hier:
FG  6,67  10 11
Nm 2 9,109  10 31 kg  1,673  10 27 kg

 4,07  10 47 N
2
2

10
kg
0,5  10 m


b) Welches Verhältnis aus beiden Kräften ergibt sich?
Lösung
FC
 2,27  10 39
FG
c) Wieviel Energie gewinnt das Elektron, wenn es sich aus dem Unendlichen auf
den Abstand r nähert? Welche Geschwindigkeit besitzt es dann?
Lösung
Energie:
q1  q2
e 2   1
 e2 1
dr



2
r 
4


4

4

r



r 0
0
0 r

r
r
E pot   FC dr   


r
1

2
 1,602  10 19 C
E pot 
  4,61  10 18 J
C
4  8,854  10 12
 0,5  10 10 m
V m
Geschwindigkeit:
Ekin
4,61  10 18 J
m
E pot  Ekin  0,5mv 2  v 

 3,18  10 6
31
0,5m
s
0,5  9,109  10 kg
3. Aufgabe:
Ein Elektron wird in einem Plattenkondensator auf die positiv geladene Seite hin
beschleunigt. Der Abstand der Platten beträgt 20cm (Plattenfläche jeweils 10cm2).
Die Spannungsdifferenz beträgt 500V.
a) Wie groß ist die elektrische Feldstärke?
Lösung
U 500V
V
E 
 2500
d 0,2m
m
b) Wieviel Energie steckt im elektrischen Feld?
Lösung
In jedem elektrischen Feld ist Energie gespeichert. Sie entspricht der Arbeit, die zum
Aufbau des Feldes (Trennung der Ladungen) aufzuwenden ist, und wird beim
Zusammenbrechen des Feldes wieder in Arbeit umgewandelt.
Die Stromarbeit ist W=U*I*t. Da die Spannung während der Ladung von null
gleichmäßig steigt gilt für die Energie des Feldes:
UIt UQ
CU 2 Q 2
EF 

 EF 

2
2
2
2C
mit C=Q/U: Kapazität des Kondensators
Q: Ladung
I:Stromstärke
t:Zeit
Diese Gleichung gilt für jedes elektrische Feld. Für den Plattenkondensator gilt
wegen
 A
C pl  r 0 und U  E  s ,
s
daß die Energie des Feldes gegeben ist durch:
  E2  A s
EF  r 0
2
C
8,854  10 12
(2500V / m) 2  10 3 m 2  0,2
V m
EF 
 5,53  10 9 J
2
c) Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Elektron die positiv geladene Platte?
Lösung
E pot  E kin
eU  0,5mv 2
2eU
 1,33  10 7 m / s
m
d) Wie groß ist die Beschleunigung?
Lösung
eE
ma  eE  a 
m
C
V
a  1,7588  1011
 2500  4,4  1014 m / s 2
kg
m
e) Woher kommt die kinetische Energie?
Die kinetische Energie wird dem Feld entnommen.
Um das Feld aufrecht zu erhalten, muß die Spannungsquelle Energie aufwenden.
v
4. Aufgabe
Gegeben ist folgende Dipolanordnung (siehe Skizze unten).
a) Skizzieren Sie das elektrische Feld.
Lösung
b) Berechnen Sie das elektrische Feld und das Potential in großer Entfernung
(x>>a) auf der x-Achse.
Lösung
Elektrisches Feld:
E x  E x (  q )  E x ( q ) 
q  1
1 
q ( x  a) 2  ( x  a) 2
q
4ax






 2

2
2 
2
2 2
40  ( x  a)
40 ( x  a 2 ) 2
( x  a)  40
(x  a )
q 4ax


(wegen x>>a)
4 0 x 4
q 4a
1 2p
mit p=(2a)q (Dipolmoment)
 Ex 
 3 

40 x
40 x 3

Potential:
 x   x ( q)   x (q) 
q  1
1 
q
2a
1 p




2
2
40  x  a x  a  40 x  a
40 x 2