Lösungen - Feuerbachers Matheseite

Lösungen I.1
Bewegung als Ortsveränderung in einem Koordinatensystem:
Übungsblatt:
1) Kreis; Bewegung (Translation) nach hinten; ruht (keine Translation - aber Rotation!)
2) a) 4 m; 12 m; –2 m b) –6 m; 22 m
(mittlere) Geschwindigkeit und Beschleunigung:
17/1
∆x = v·∆t = 1475 m/s · 1,3 s = 1900 m
(nur 1,3 s, weil sich der Schall ja nur in der Hälfte der Zeit jeweils abwärts bzw. aufwärts bewegt!)
47/2 2,44 m/s2
Übungsblatt:
3) 75 km/h; 0 km/h
4) da steht nicht ∆ mal x bzw. mal t, sondern das ∆ ist eine Abkürzung für „Differenz“
5) 36 km/h = 10 m/s = 10 mm/ms; 10m/s = 36 km/h; 10–5 mm/s = 10–8 m/s = 0,3 m/a
6) v = (mittlere) Geschwindigkeit, d. h. welche Strecke wird pro Zeitabschnitt zurück gelegt
weitere Beispiele:
• Federkonstante (bei Federn, für die das Hookesche Gesetz gilt) D = F/∆s
F = D·∆s
• Dichte (bei homogenen Körpern) ρ = m/V
m = ρ·V
• elektrischer Widerstand (bei Körpern, für die das Ohmsche Gesetz gilt) R = U/I
U = R·I
• Wärmekapazität C = Q/∆T
Q = C·∆T
7) z. B. könnte man schlicht die halbe Tacho-Anzeige, also v/2, von der Einheit km/h in die Einheit m
v/2
v/2
umrechnen, also:
⋅1m =
⋅ 1 m = v · 1,8 s; man sieht also sofort: es wird der Weg ∆x = v · 1,8 s
km
1 m
1
h
3,6 s
zurück gelegt, sprich: der „halbe Tacho“-Weg entspricht demjenigen, der in 1,8 s zurück gelegt wird. Der
„Zwei-Sekunden-Abstand“ ist also noch etwas sicherer als die „halbe Tacho“-Regel – und kann auch
leichter abgeschätzt werden!
8) Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeitabschnitt, erst wird durch ∆t geteilt
1 m/s2 = 100 cm/s2 = 12 960 km/h2
9) 0,5 m/s2
10) –2,1 m/s2
Lösungen I.2
a) Begriff und Zeit-Ort-Gesetz
Übungsblatt/1
a) x(t) = 4 m + 1,6 m/s · t
b) x(t) = 12 m – 2 m/s · (t – 5 s) = 22 m – 2 m/s · t
b) Diagramme
Übungsblatt:
2) a) etwa 600 km (jeder cm2 entspricht 50 km) b) knapp 50 km (40 min lang etwa 70 km/h)
3) knapp 4 m; man muss den Abstand parallel zur x-Achse benutzen
4) b) 0,67 m/s bzw. 0,65 m/s (Steigung der Ausgleichsgeraden bzw. Mittelwert der Quotienten x/t)
c) nimmt zu (erkennt man z. B., wenn man Sekanten einzeichnet: deren Steigung nimmt zu)
a)
x in m
0,7
0,6
0,5
(beachte: für Auto 2 wurde hier keine
Ausgleichskurve gezeichnet (ist mit dem
Computer nicht so einfach...), sondern nur
die Punkte verbunden!)
0,4
0,3
0,2
0,1
t in s
0
0
1
2
3
4
5
6
7
5) 320 km; die Rückfahrt ist langsamer als die Hinfahrt
c) Anwendungen
17/2
14:54 Uhr; 42 km
17/3
3.1 24 s
Übungsblatt/6
3.2 665 m; 532 m
a) 36 s; 600 m
b) 1680 m
Lösungen I.3
a) zwei entgegengesetzte/gleichgerichtete Bewegungen
25/1
25f/2
1.1 2000 s; 1400 s
2.1 21,6 km/h
Übungsblatt:
1) a) 20 s; 140 s
1.2 nein (ohne Gegenwind: gesamte Flugzeit nur 3300 s)
2.2 1,567 m/s
b) 70 s; nein
2) 4,4 h; 4,5 h
b) zwei Bewegungen in beliebige Richtungen
26/3
4,9 km/h; 46° zur Strömung
26/4
4.1 1,39 h
4.2 a) 1,69 h
26/5
5.1 16,0°
5.2 17,2° nach Osten
Übungsblatt/3
a) 37,5 s; 113 m
b) 1,41 h
c) 1,65 h
5.3 244 km/h
b) 57 s; 2,6 m/s
Lösungen I.4
a) Begriff und Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz
71/4
z. B. v(20 s) = 8 m/s; v(60 s) = –8 m/s; v(80 s) = 0 m/s
v in m/s
10
8
6
4
2
t in s
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-2
-4
-6
-8
-10
Übungsblatt:
1) v(5) = 20 m/s; v = 10 m/s
2) a) 1,5 m/s2; 1 m/s2; 0,5 m/s2; 0,35 m/s2
b)
v in m/s
16
14
12
10
8
6
4
2
t in s
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
Gesamtweg: 0,5 · 2 s · 3 m/s + 1 s · 3 m/s + 0,5 · (3 m/s + 5 m/s) · 2 s + 1 s · 5 m/s
+ 0,5 · (5 m/s + 7 m/s) · 4 s + 1 s · 7 m/s + 0,5 · (7 m/s + 14 m/s) · 20 s = 260 m
b) Zeit-Ort-Diagramm und –Gesetz
47/1
4,4 m/s2; 44 m/s = 160 km/h
47/2
2,44 m/s2; 158 m
63/1
3,1 s
63/2
2.1 22 m/s = 78 km/h; 32,4 m
2.2 22 m
70/1
1.1.1 z. B. Quotienten s/t2 bilden:
Messung Nr.
1
2
3
4
s/t2 in m/s2
0,10
0,10
0,10
0,10
im Rahmen der Messgenauigkeit konstant
konstante Beschleunigung von 0,2 m/s2
1.1.2, 1.2.4
v in m/s
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
t in s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Der Bremsweg entspricht dem Flächeninhalt des Dreiecks unter der Kurve von t = 3,6 s bis t = 4,7 s.
1.2.1 vmax = 0,2 m/s2 · 3,6 s
71/3
v(5,0 s) = 12,5 m/s; ∆tBrems =
1
2
· 2,5 m/s2 · (5,0 s)2
∆tgleichf = 3,71 s
1.2.2 s(3,6 s) = 1,30 m
25
7
∆s = 1,70 m – 1,30 m = 0,40 m
1.2.3 1,1 s
s
+ 12,5 m/s · ∆tgleichf
+ 12,5 m/s ·
insgesamt: 12,3 s
Übungsblatt:
3) 9,7 s; 142 m;
52,5 km/h; 35 m; nein
4) 29 km/h; 8 m; 14 km/h; 2 m; 58 km/h; 32 m
5) a) 9 m; 22 km/h b) 30 m c) nächste Seite
7) 1,8 m/s2; 80 km/h
6) 0,5 m/s2; 25 m
25
7
s–
1
2
· 3,5 m/s2 · ( 25
s)2 = 100 m
7
Diagramme zu 5c:
v in m/s
8
7
6
5
4
3
2
1
t in s
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x in m
40
35
30
25
20
15
10
5
t in s
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8) a) 1:3:5:7
b) 0,4 m/s2; 0,4 m/s; 0,8 m/s; 1,2 m/s; 1,6 m/s
9) x(2 s) – x(1 s) = 3 m – 0,75 m = 2,25 m; weil v in 2. Sekunde nicht konstant; ja
t +t 
10) 7,5 s; 131 m
11) a) v(t) = 2· v b) v = v  1 2 
12) 3 s
13) 530 000 m/s; 0,00075 s
 2 
c) Die Momentangeschwindigkeit im x(t)-Diagramm
Übungsblatt/14
5,8 s; 3,5 s
d) Anwendungen
71/2
Ursprung x-Achse: parkendes Auto, Achse zeigt in Fahrtrichtung; t = 0: Zeitpunkt des Überholens
xR(t) = 0,5 m/s · t
xA(t) = 12 · 0,70 m/s2 · (t – 15 s)2; vA(t) = 0,70 m/s2 · (t – 15 s) (beides für für t ≥ 15 s; vorher: beide 0!)
xR(t) = xA(t)
… 20 s; 14 km/h
Übungsblatt:
15)
a) Ursprung x-Achse: eines der beiden Autos, Achse in Richtung des zweiten; t = 0: Anfang Bremsen
x1(t) = 28 m/s · t − 12 · 8 m/s2 · t; x2(t) = 80 m – 28 m/s · t + 12 · 8 m/s2 · t
b)
x in m
80
70
Auto 2
60
50
40
30
20
Auto 1
10
t in s
0
0
0,25
c) x1(t) = x2(t)
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
stoßen bei t = 2 s zusammen, mit jeweils 43 km/h
16)
Ursprung x-Achse: Kopf vorderes Auto; t = 0: anfahren
x1(t) = 12 · 2 m/s2 · t; x2(t) = 12 · 2 m/s2 · (t – 2s)2 – 7,0 m (für t ≥ 2 s, davor: x1(t) = 0; x2(t) = –7,0 m)
a) x1(10 s) – x2(10 s) = 43 m
ja, sogar deutlich mehr als halber Tacho
b) v2(10 s) = 58 km/h; Abstand: 43 m – 4,5 m = 38,5 m
2
1
c) x2(t) = 2 · a · (t – 2s) – 7,0 m; x2(10 s) = x1(10 s)
a = 3,3 m/s2
d) Kopfabstand 16 m
e)
x in m
160
140
120
100
80
60
40
Auto 1
Auto 2
20
t in s
0
0
-20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
17)
a) je weiter ein Auto von der Ampel entfernt stand, desto später fuhr es an; Abstand: etwa 6 m
b) 0,55 m/s2; 8,75 m/s
c) Abstand nimmt zu (am Anfang: 6 m, nach 5 s: 10 m, nach 10 s: 23 m usw.); messen parallel zur xAchse (jeweils konstantes t)
d) 5 s; 2,5 s; 2,5 s; 1,5 s; 2,5 s; 4 s; 1,5 s
e) er beschleunigte (Steigung im Diagramm, also Geschwindigkeit, nimmt zu ab t = 17 s zu)
f) Auch Fahrer 8 beschleunigte, als er gelb sah, überquerte die Ampel aber erst bei rot, bremste aber nach
der Ampel wieder (relativ stark) und hielt 20 m hinter der Ampel an; da gab’s wohl eine Polizeikontrolle!
18)
man soll v0/10 quadrieren und das Ergebnis dann als Zahl in Metern interpretieren; da das Ergebnis die
Einheit km2/h2 hat, muss man also folgendermaßen umrechnen:
(v0 / 10) 2
v02 / 100
v02
⋅
1
m
=
⋅
1
m
=
K
=
1 km 2 / h 2
(1000 m) 2 /(3600 s ) 2
7,72m / s 2
Vergleich mit Formel (61.3) liefert also eine Bremsverzögerung von 3,9 m/s2
Lösungen I.5
95/1 1.1 2,0·10–7 1/s; 7,3·10–5 1/s
95f/2 2.1 8,64 s
1.2 30 km/s
2.2 121 m; 119 m
1.3 310 m/s
2.3 0,182 1/s
2.4 45,9 1/s; 46,7 1/s
Übungsblatt:
1) Kurvenfahrt eines Autos; Tonabnehmer bei Schallplatte/CD; Riesenrad; Looping in Achterbahn;
Planeten um Sonne / Monde um Planeten; ...
2) a) alle mit dem gleichen Abstand zum Mittelpunkt; alle b) 0,55 Hz; 0,52 m/s
3) a) 2,1 Hz b) 2,8 km/h = 0,78 m/s; 0,69 Hz; 41 pro min
Die Zentripetalbeschleunigung:
96/3
3.1 1,0 ms; 6,3·103 1/s
3.2 250 m/s; senkrecht zum Radius
3.3 1,6·106 m/s2; 160 000 · g
96/4 D sei Ursprung des Koordinatensystems
t = 0 s:
r
v3
r
v2
r
a2
r
a1
r
a3
D
r
v1
r
r
x1
r
x2
r
x3
t = 1,0 s:
t = 3,0 s:
Übungsblatt:
4) wenn man die Vektoren betrachtet (was üblich ist!): weder noch (beide ändern ständig ihre Richtung);
wenn man nur die Beträge betrachtet, dann beides ja
5) ISS: 8,91 m/s2; Mond: 0,0027 m/s2, beides kleiner als g an der Erdoberfläche
Die Schwerebeschleunigung nimmt also mit r ab; wie man leicht überprüft, ist aber nicht einfach g ~ 1/r
(aZ · r ist nicht konstant!). Die nächste mögliche Vermutung wäre g ~ 1/r2; bilde also die Produkte aZ · r2
ISS: 4,04·1014 m3/s2; Mond: 4,02·1014 m3/s2
Diese Produkte sind (im Rahmen der Mess- und Rechengenauigkeit) konstant, also gilt anscheinend
tatsächlich für die Schwerebeschleunigung: g ~ 1/r2 (siehe Newtons Gravitationsgesetz in Klasse 12!)
Lösungen II.1
Übungsblatt:
1) a) Die Kräfte sind gleich groß und entgegen gesetzt gerichtet.
b) Die Kräfte addieren sich zum Nullvektor, bilden also aneinander gelegt eine „geschlossene Vektorkette“, z. B.:
2) Dass beim Wegrücken eines Möbelstücks anfangs eine größere Kraft gebraucht wird, liegt an der
Haftreibung, hat also nichts mit der Trägheit zu tun. Das erkennt man z. B. daran, dass die Kraft, die man
am Anfang braucht, von der Art der Unterlage abhängt; auf eisigem Untergrund würde man weit weniger
Kraft brauchen, um das Möbelstück wegzurücken!
3) Körper zwischen den beiden Kraftmessern befestigen, sodass in Ruhe beide Federn um die Hälfte
gedehnt sind; diese Anordnung so im Auto lagern, dass die Kraftmesser nach vorne bzw. nach hinten
zeigen. Bei einer Beschleunigung des Autos wirkt dann eine (Schein-)Kraft nach hinten: die Feder des
vorderen Kraftmessers wird gedehnt, die des hinteren zusammen gestaucht; beim Abbremsen genau
umgedreht. Aus der angezeigten Kraft F (Differenz zur Mittelposition!) und bekannter Masse m des
Körpers kann dann mit a = F/m die Beschleunigung berechnet werden (bzw. falls diese Formel noch nicht
bekannt ist, muss man das „Messgerät“ eben erst einmal mit bekannten Beschleunigungen eichen).
Lösungen II.2
86/3
3.1 0,064 m/s2; 0,22 N
3.2 12,5 s
3.3.1 0,27 m
3.3.2 3,4 m/s; 76° zum Boden
Übungsblatt:
6) a) 2000 N b) 1000 N; 10 m/s
4) 105 000 N; 1,5%; 13,5 N
5) 0,625 m/s2; 5 m; 2,5 m/s
7) Bei Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit (egal wie hoch!) herrscht Kräftegleichgewicht; bei
hohen Beschleunigungen wirken dagegen hohe Kräfte – und die sind natürlich gefährlich!
F = 4·FG
8) a = 4,25·g, also F = 4,25·FG
9) a) 6250 N b) 75 000 N (12mal so viel); 750 000 N (120mal so viel)
10) 13 000 N; 400 000 N
11) In den Punkten 1, 3, 4, 5, 6 wirkt jeweils genau dieselbe Kraft (nämlich die Gewichtskraft des Balls –
Luftwiderstand wird vernachlässigt, erkennt man daran, dass es Parabelbahnen sind und immer wieder
dieselbe Höhe erreicht wird). In den Punkten 2 kann man keine genaue Aussage treffen: auf dem Bild
sieht es so aus, als ob der Ball plötzlich (∆t = 0) seine Richtung ändert; das wäre aber eine unendlich hohe
Beschleunigung, also wäre eine unendlich hohe Kraft nötig! In der Realität geschieht die Richtungsänderung natürlich allmählich; um das zu sehen, bräuchte man ein genaueres Bild.
Lösungen II.3
Übungsblatt:
12) Die Gegenkraft eines Körpers greift nicht am Körper selbst an, sondern an dem Körper, der eine Kraft
auf ihn ausübt. Kräfte, die an verschiedenen Körpern angreifen, können sich aber nicht das Gleichgewicht
halten. Außerdem müsste dann die Trägheit eines Körpers umso größer sein, je größer die Kraft ist, die
man auf ihn ausübt (weil Kraft und Gegenkraft ja immer gleich groß sind!), was offensichtlich falsch ist.
13) 200 N; 8000 N; Kraft des Hammers ist Gegenkraft zur Widerstandskraft des Nagels
gleich groß
14) a) 18 kN b) 11 kN c) 840 N bzw. 530 N
15) 650 N: Beschleunigung nach unten (also: Bewegung nach unten, die schneller wird, oder Bewegung
nach oben, die langsamer wird); 800 N: Beschleunigung nach oben (also: Bewegung nach oben, die
schneller wird, oder Bewegung nach unten, die langsamer wird); Betrag der Beschleunigung jeweils 2
m/s2; 750 N: nicht unbedingt, könnte sich auch gleichförmig nach oben oder unten bewegen; keine
Anzeige (auf die Wägestücke wirken ebenfalls höhere bzw. geringere Kräfte, die Waage bleibt also im
Gleichgewicht)
Lösungen II.4
a) Freier Fall
Übungsblatt:
1) Auf dem Mond gibt es praktisch keinen Luftwiderstand, also fällt der Staub frei herunter (selbst wenn
er 5 m hoch aufgewirbelt wird, braucht er deshalb nur etwa 2,5 s bis zum Boden)
2) a) 2,5 s
b) 1,4 s;
50 m/s; 40 m;
Mond: 16 s; 3,5 s; 50 m/s; 40 m
3) 5, 66 s; 7,75 s; 204 km/h; 279 km/h; 4 s; 5,48 s
4) 5780 m
5) 45 m
6) 0,22 s
7) a) 6 m
b) 5 m/s; 2 m/s
8) 0,0045 s; 0,0031 s
9) 70 m; 50 m; 30 m; 10 m
10) a) nein b) nein
c) Ursprung x-Achse: oberer Apfel, zeigt nach oben; t = 0: oberer Apfel beginnt zu fallen
fällt nach 0,5 s am unteren vorbei
xunten(t) = –1,25 m –5 m/s2 · (t – 0,5 s)2;
xoben(t) = –5 m/s2 · t2
xoben(1,5 s) – xunten(1,5 s) = 5 m
2 ⋅ 17,0 m 17,0 m
2⋅ x
x
11) a) t =
+
= 1,91 s
b)
+
=2s
...... x = 19 m
m
m
m
10 s 2
340 s
10 s 2 340 ms
b) Senkrechter Wurf
63/3
5,1 s; 127 m; –9,81 m/s2
64/4
4.1 69,4 km; 363 km
4.2 23,4%
Übungsblatt/12
11 m (= Fläche unter der Kurve im v-t-Diagramm von 0 s bis 1,5 s); 10 m; –4,6 m/s
Diagramm: nächste Seite
v in m/s
16
14
12
10
8
6
4
2
0
t in s
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
c) Waagrechter Wurf
69/1
1.1 4,0 m/s
1.2.1 2,0 m
1.2.2 51°
69/2
2.1 20 m/s
2.2 53 m/s
69/3 640 m
69/4 4.1 20 m/s 4.2 36 m/s; 56° zum Boden
4.3 Koordinatenursprung: Ort, wo der Stein abgeschleudert wird; x-Achse in Richtung der Anfangsgeschwindigkeit, y-Achse nach oben
y(x) = 45 – 0,0125x2
(für g = 10 m/s2)
y(0 m) = 45 m; y(10 m) = 43,75 m; y(20 m) = 40 m; y(30 m) = 33,75 m; y(40 m) = 25 m
y(50 m) = 13,75 m; y(60 m) = 0
y in m
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
x in m
r
v
Übungsblatt:
13) sehr ähnlich wie 69/4! hier aber: Abwurf im Ursprung
y = –0,0125 x2 (g = 10 m/s2)
x(2,0 s) = 40 m; y(2,0 s) = 20 m; v(2,0 s) = 28 m/s; x(4,0 s) = 80 m; y(4,0 s) = 80 m; v(4,0 s) = 45 m/s
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-10
-20
r
v
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
r
v
-100
-110
-120
-130
-140
14) 0,55 s; 7,3 m/s; 37°
15) 100 m/s; 140 m/s
16) a) 6mal so hoch b) 3,1 m; 7,7 m; 6 mal so hoch
Lösungen II.5
Übungsblatt:
1)
Fres
F1
Fres = 35 N
F2
2) a) 14°; 9,7 N b) 49°; 6,6 N c) 90°; 0 N
3) a) 3000 N bzw. 15 000 N b) h ≥ 1,51 m
4) 56 N
5) 131 N
6) a) 225 N; 375N b) 45° bzw. 63,4° c) 424 N bzw. 671 N
7) Stellung 1: F = FSeil = 14 N; Stellung 2: F = 20 N; FSeil = 28 N; in Richtung des Fadens
8) nach hinten; 27°
9) a) 0,467 m/s2; 0,934 m; 0,934 m/s b) nein; die 100 kg müssen ja mit beschleunigt werden! (vgl.
Aufgabe 12b) c) 0,090 m/s2; 0,180 m; 0,180 m/s
10) 1,063 kg (bzw. 0,941 kg; dann bewegt er sich nach oben!)
m − m1
k −1
⋅g
c) k = 11
11) a) a = 2
⋅g
b) a =
9
k +1
m2 + m1
m
12) a) 1 = 9, gilt auch auf dem Mond b) a → g
m2
13) a) setzt sich ebenfalls beschleunigt nach oben bzw. unten in Bewegung
b) ändert seinen Bewegungszustand nicht (bewegt sich ebenfalls mit konstanter Geschwindigkeit)
c) 0,097 m/s2
d) er muss sich beschleunigt nach oben bewegen
Lösungen II.6
106/1
19 N
Übungsblatt:
1) z. B. Flex, Schleifstein, ...?
2) 5,0 Hz
1
3) F ~ , wenn v konstant ist; F ~ r, wenn Τ konstant ist (bzw. f bzw. ω)
r
4) 2,5 N; wird von Schwerkraft aufgebracht; zu den Polen hin kleiner, weil T konstant, aber r kleiner
(siehe Aufgabe 3!); 1,7 N
5) kleinere Krümmung
größeres r
bei gleichem v kleinere Zentripetalkraft nötig (siehe Aufgabe 3);
sehr kleines r
bei gleichem v sehr große Zentripetalkraft nötig; diese wird
sehr starke Krümmung
aber durch die Reibung mit der Straße aufgebracht, und diese Reibungskraft ist nicht genügend groß!
Lösungen II.7
a) Antriebs- und Bremsvorgänge mit Reibung
86/1
1.1 78 000 N
1.2 130 000 N
87/5
(–) 2,5 m/s2; 10 m/s; 13 N
Übungsblatt:
1) 24 N; 7,8 N
2) 4900 N; 2900 N; 490 N; 6400 N; 3900 N; 980 N
3) a) 7700 N; 6,4 m/s2 b) 4600 N; 3,8 m/s2 (Aufgabenstellung unklar: immer noch Vierrad-Antrieb?
kann eigentlich nicht sein, da nur 60% der Gewichtskraft auf den Antriebsrädern!)
4) a) 62 km/h; 42 m b) 10 s; 51 m
5) a) 10 N; 1 m/s2; 50 m b) 6,0 N; 0,60 m/s2; 30 m c) 9,0 N
b) Geneigte Ebene
86/2
2.1 1,4 m/s2
2.2 4,6·103 N
87/4
4.1 2,1 m/s2
4.2 2,1 s
87/7
7.1 (–) 7,4 m/s2
87/8
8.1 21 m/s
Übungsblatt:
4.3 Die Masse der Last muss größer als 39 kg sein.
7.2 2,4 m
7.3 2,2 s; 3,4 m/s
8.2 54 s; 5,6·102 m
6) a) 100 N; 280 N; 30°; 90°; 0°
b) 3,4 m/s2; g/2; g; 0
7) a) 1,0 N; 2,9° b) 1,5 m/s2 (dass hier genau das dreifache rauskommt, liegt nur daran, dass der
Winkel sehr klein ist; bei größeren Winkeln stimmt das nicht mehr!)
8) 3500 N
9) 170 000 N; 350 000 N; 150 000 N; 260 000 N
10) > 31°; beschleunigt mit 1,3 m/s2; 24°; nein
12) a) 0,70; 0,45
b) 6,9 m/s2
11) a) 4,7 m/s2
b) 8,1 m/s2
15) 4 m/s2; 20 kg
14) 15 km/h
13) a) 3900 N; 4,9 m/s2; 2,0 s; 10 m bzw. 4,1 s; 41 m
b) aufwärts: 5200 N; 6,5 m/s2; 1,5 s; 7,7 m; 3,1 s; 31 m
abwärts: 2500 N; 3,1 m/s2; 3,2 s; 16 m; 6,4 s; 64 m
16) a) 1,3 m/s2
b) 3,0 m/s2
c) 0,42 m/s2
d) 7,4°
(anfahren
nur Haftreibung!)
c) Kreisbewegungen
106/2
0,2 N; 20 N
107/5
11°
107/6
6.1
106/3
3.1 0,66
3.2 31 km/h
107/4
4.1 14°
4.2 2,5 m/s2
6.2 0,93 1/s; 4,9 m/s; 6,8 s
3m
Kette (5,5 m)
25°
FK
FZ
FG
Rotationsachse
107/7 0,125 m
107f/8
8.1 h = r – 0,028 m
8.2 0,89 N
108/9
9.1 25 1/s
0
120
240
9.2 Die Wasserteilchen weiter unten wirken auf ein Oberflächenteilchen eine Kraft FW nach außen,
senkrecht zur Oberfläche, aus. Diese addiert sich mit der Gewichtskraft zur Zentripetalkraft:
FW
Wasseroberfläche
(lokal gesehen
kaum gekrümmt)
α
FZ
FG
9 .4 tan α =
9.3 63°
9.5
ω in 1/s 0
0
α in °
α in °
10
17
20
51
30
70
ω2r
g
40
78
50
83
60
85
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
ω in 1/s
108/10
10.1 Die Kraft, welche die Wand auf den Körper ausübt, wirkt hier als Zentripetalkraft; die Gewichtskraft
und die Kraft, die der Boden auf den Körper ausübt, stehen im Gleichgewicht.
FZ
FB
FG
10.2 Wird der Boden abgesenkt, so muss die Reibungskraft der Gewichtskraft das Gleichgewicht halten;
die Reibungskraft ist gleich der Reibungszahl mal die Normalkraft, mit welcher der Körper auf seiner
Unterlage drückt; wegen actio = reactio ist diese wiederum gleich der Kraft, welche die Wand auf den
Körper ausübt, also die Zentripetalkraft. Insgesamt hat man also:
FG = FR = µ FN = µ FZ
..... v =
gd
2µ
10.3 in A muss die Wand die Zentripetalkraft minus die Hangabtriebskraft aufbringen, in B die
Zentripetalkraft plus die Gegenkraft zur Hangabtriebskraft
2
2
 2ππ  d
 2ππ  d
FA = m ⋅ 
 ⋅ – m · g · sin α; FB = m ⋅ 
 ⋅ + m · g · sin α;
 a  2
 a  2
109/11
11.1 im Punkt P wirkt die Scheibe eine Kraft auf die Kugel (bzw. deren Schwerpunkt) aus, die senkrecht
zur Kugeloberfläche wirkt; mit der Gewichtskraft addiert sich diese zur Zentripetalkraft:
FScheibe
FZ
S
α
2, 5 cm
1,5 cm
P
FG
1,5 cm
α = 36,9°,
2,5 cm
und daraus wiederum (mit FG = 4,91 N): FZ = 3,68 N; FS = 6,13 N
2,71 sm
g ⋅ tanα
ωmax(r) =
=
r
r
11.2
r in cm
5,00 10,0 20,0 30,0 40,0
ωmax in 1/s
aus der Geometrie der Anordnung erhält man: sin α =
ωmax in 1/s
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
r in cm
0
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
Übungsblatt:
17) 0,71 Hz; nein; unabhängig von m
20) a) 14,0°
23) 0,50 Hz
b) 0,25
17,5
20
22,5
25
18) a) 72 km/h
21) 20 m; 27°
24) 3,2 m/s
27,5
30
32,5
37,5
40
b) 36 km/h
22) a) 12 m/s
25) 7,1 m/s
35
19) 0,533 m
b) 5,3 s; 0,19 Hz
26) a) 0,31 Hz
c) 1500 N
b) 1500 N
FZ
ω2r
=
(die Kraft, welche eine Stange
FG
g
auf eine Kugel ausübt, addiert sich mit der Gewichtskraft zur Zentripetalkraft)
sinϕ
außerdem gilt geometrisch: r = l · sin ϕ, und man braucht die trigonometrische Formel tan ϕ =
cosϕ
g
g
...... cos ϕ = 2 =
ω l
(2π f ) 2 l
27) a) wie beim Karussell usw. gilt auch hier zunächst: tan ϕ =
b) Kugeln werden angehoben, sobald ϕ > 0°, also cos ϕ < 1 ist
28) 4,6°
g
<1
(2π f ) 2 l
f>
1 g
2π l
Lösungen III.1
Übungsblatt:
1) a) Beschleunigungsarbeit (und sehr wenig Reibungsarbeit)
c) Hub- oder Beschleunigungsarbeit
d) Spannarbeit
f) Reibungsarbeit
b) Hubarbeit
e) Beschleunigungsarbeit
2)
a) 130 N
b) 59 J
c) 0,45 m; 59 J
d) beim Hebelgesetz kommt es auf die Kraft senkrecht zur Strecke (Abstand zum Drehpunkt) an, bei der
Arbeit auf die Kraft parallel zur zurückgelegten Strecke
3) lose Rolle: Kraft halb so groß, Weg doppelt so lang wie beim direkten Hochheben
selbe Arbeit
Flaschenzug: Kraft 1/4 so groß, Weg viermal so lang wie beim direkten Hochheben
selbe Arbeit
hydraulische Presse: wenn die Fläche A2 n-mal so groß ist wie die Fläche A1, dann bewegt sich der 2.
Kolben nur um 1/n der Strecke nach oben, die sich der 1. Kolben nach unten bewegt; die Kraft F2 ist dann
n-mal so groß wie die Kraft F1
selbe Arbeit wie ohne Presse
außerdem wäre noch zu berücksichtigen, dass bei allen drei Kraftwandlern in der Realität auch noch
Reibungskräfte auftreten; die tatsächlich nötige Arbeit ist also sogar größer als ohne Kraftwandler!
4) nein: zuerst braucht man 50 kJ, dann 150 kJ!
5) a) 50 kJ
b) 0 J
6) 8,6·104 J
c) 50 kJ (kleinere Kraft, aber längerer Weg
7)
a) 1,8·103 J
b) 2,5·103 J
selbe Arbeit! Vorschlag bringt nix!)
9) 56,3 J
8) die Zentripetalkraft steht immer senkrecht zur Geschwindigkeit, also zum zurück gelegten (infinitesicos α = 0
W = 0 (keine Kraft in Wegrichtung!)
malen) Wegstück
10) im Arbeitsdiagramm entspricht die nötige Arbeit dem Flächeninhalt eines Trapezes mit Grundseiten
F1 und F2 und Höhe ∆s
11) a) 95 GJ (1 Kästchen entspricht einer Arbeit von 1 kN · 1000 km = 1 GJ)
b) 12 GJ
Lösungen III.2
128/1
200 kJ; 20 m (800 kJ; 80 m)
132/1
15 N; 0,02
Übungsblatt:
1) 45 m
132/2
128/2
1,9 kN
6600 N; 6,6 MJ
2) 160 kJ; 40 m; nein
3) 100 kN; 0,5
Lösungen III.3
128/3
xW =
2lh 0
128/5
5.1 10 m
129/6
280 m/s
129/7
h1 =
3
4
h
128/4
5.2 Spannenergie
4.1 16 J; 4,0 m/s2
kinetische Energie
4.2 4,0 m/s2; 1,8 m
Lageenergie
4.3 4,4 m/s
5.3 14 m/s
129/8
8.1 Die Normalkraft (Komponente der Gewichtskraft senkrecht zur Kugeloberfläche) wirkt als
Zentripetalkraft; der Massenpunkt verlässt die Kugeloberfläche, sobald die Normalkraft nicht mehr groß
genug ist, also wenn FN = FG cos α > FZ, wobei α der Winkel zur Vertikalen ist; außerdem ergibt sich
geometrisch: h = r (1 – cos α); beide (Un-)Gleichungen kombiniert führen auf h > r/3 (und cos α = 23 )
8.2 Anfangshöhe: 2,50 m; v0 = 3,13 m/s; vx0 = v0 sin α = 2,33 m/s; vy0 = –v0 cos α = –2,09 m/s
(Ursprung Koordinatensystem: senkrecht unter dem Punkt, wo der Massenpunkt die Kugel verlässt; x..... xW = 1,1 m
Achse nach rechts, y-Achse nach oben)
129/9
129/10
4,9 cm
10.1 0,0317 N
10.2 1,52 cm nach Start
Übungsblatt:
1) 230 m weit (entlang der Straße)
3) a) 30 m/s
b,c,d) jeweils 31 m/s
5) a) 20 m; 41 m
7) CD = l · cos ϕ
9) 500 000 N/m
b) 12 m; 24 m
10.3 9,30 cm/s
10.4 9,28 cm/s
10.5 8,04 cm
2) 10 m
unabhängig von der Masse
c) 20 m/s bzw. 8,5 m/s
0,15 J bzw. 4,9 J; 0,55 m/s bzw. 3,1 m/s
10) a) 4,6 m/s
b) 1,1 m
4) a,b) jeweils 5,0 m/s
6) 0,60; 14 m/s
8) 1,9 m; nein
c) 6,7 m/s
11) a) Bewegungsenergie Spannenergie Lageenergie Bewegungsenergie ( Spannenergie der
Matte)
b) weil für den Stab das Hookesche Gesetz (F ~ ∆s) wohl nicht gilt; ESpann = ELage = 3,4 kJ
c) 9,8 m/s d) 9,8 m/s
12) 3,9 cm; 2,0 cm; 0,60 m/s
13) a) 1,4 m/s b) 0,41 m c) 0,11 m; 0,36 m; zwei Lösungen, weil es zunächst schneller wird, dann
wieder langsamer d) 0,21 m
14) 3,1 m/s (siehe II.6!); 7,0 m/s; 120 N; 0 N
(allgemein bei solchen Aufgaben: voben = gr ; vunten =
Sie diese Formeln her!)
15) a) 7,0 m/s b) 16 m/s c) 12,5 m
5 gr ; Foben = 0; Funten = 6mg; hA = 2,5 r; leiten
Lösungen III.4
Übungsblatt:
1) 27 kW
5) 580 m; 1,6 m/s
2) 300 kW
3) 40 kW
6) 7,5 kW; 15 kW; 30 kW; 15 kW
7) 910 N; 4,6 kW; 10 kW; 11 kJ
2300 W bzw. 56 kJ
4) 2,8·1011 W; 120
8) 4,5 kW; 36 kW; P ~ v3
5100 W (also: P(t) = 2· P )
Lösungen III.5
Übungsblatt/9
Übungsblatt/10
69%, d. h. 31% der Energie geht durch Reibung „verloren“
a) 95 s · m (in kg), also z. B. für m = 75 kg knapp 2 h
b) 100 kW
Übungsblatt/11
a) 20 kW; 19 kW; 18 kW
c) 120 kW; 9,2 l ; 10,2 l
b) für Rollwiderstand: 4,4%; 9,1%; 21%; Rest: Luftwiderstand