Blatt 1 - ICMM-CSIC

SS 2008
Blatt 1
Übungen zur Vorlesung „Theoretische Physik II für das Lehramt (Elektrodynamik)“
Aufgabe 1: ²-Tensor
Für den ²-Tensor gilt ²123 = 1 = −²321 und zyklisch, sowie ²i j k = 0 falls zwei Indizes gleich
sind. Beweisen Sie folgende Relationen:
X
X
X
a)
²i j k ²i l m = δ j l δkm − δ j m δkl
b) ²i j k ²i j l = 2δkl
c)
²i j k ²i j k = 6
i
ij
i jk
Aufgabe 2: Vektoridentitäten
Es sei ψ(~
r ) ein skalares Feld und ~
a (~
r ) ein Vektorfeld. Zeigen Sie folgende Identitäten:
a) div(ψ~
a) = ~
a · grad ψ + ψ div~
a,
b) rot(ψ~
a ) = (grad ψ) × ~
a + ψ rot~
a,
c) rot rot~
a = grad div~
a − ∆~
a , wobei der Laplace-Operator auf ein Vektorfeld komponentenP
weise wirkt, also ∆~
a = i~
e i ∆a i .
Verwenden Sie die Komponentenschreibweise und, soweit möglich, den ²-Tensor.
Aufgabe 3: Linien- und Oberflächenintegrale
Wir betrachten die Vektorfelder
~
g 1 = a~
ey,
~
g2 = b
~
r
,
r3
c
~
g3 = ~
eϕ,
r
mit den Konstanten a, b und c sowie dem Einheitsvektor ~
e ϕ in Zylinderkoordinaten.
a) Berechnen Sie die geschlossenen Linienintegrale
I
~
g i (~
r ) · d~
s,
C
wobei die Kurve C ein Kreis in der x-y-Ebene mit Radius R um den Ursprung ist.
b) Berechnen Sie die Oberflächenintegrale
Z
∂V
~
g i (~
r ) · d2 ~
f,
wobei ∂V die Oberfläche einer Kugel mit Radius R um den Ursprung ist.
c) Erklären Sie durch anschauliche Betrachtung der Quellen, Senken und Wirbel der Vektorfelder, warum einige Integrale verschwinden.
SS 2008
Blatt 2
Übungen zur Vorlesung „Theoretische Physik II für das Lehramt (Elektrodynamik)“
Aufgabe 4: Mittleres Potential (schriftlich)
Eine lokalisierte, statische Ladungsverteilung erzeuge das Potential φ(~
r ).
a) Wie lässt sich das Potential φ(~
r ) in Integralform durch die Ladungsdichte ρ(~
r ) darstellen?
5 Punkte
b) Wir beschränken uns nun auf ein Teilgebiet des Raumes, das ladungsfrei ist. Zeigen Sie,
dass dann gilt: Der Mittelwert von φ(~
r ) über eine Kugeloberfläche ist gleich dem Wert von
φ(~
r ) im Kugelmittelpunkt.
15 Punkte
Hinweis: Die Winkelintegration kann mit Hilfe des Integrals
Z
1
2p
dx p
a + bx + const.
=
a + bx b
ausgeführt werden.
c) Ist es möglich, ein geladenes Teilchen in elektrostatischen Feldern im Vakuum in eine stabile Gleichgewichtslage zu bringen? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe von Teilaufgabe b.
Anmerkung: Diese Aufgabe war im Herbst 2004 Teil der Staatsexamensprüfung. Die Punkte
dienen hier nur zur Orientierung.
Aufgabe 5: Physikalischer Gauß’scher Satz
Beweisen Sie den physikalischen Gauß’schen Satz: Für den elektrischen Fluss ϕ durch eine
geschlossene Fläche ∂V gilt
Z
QV
~ (~
d2 ~
f ·E
r)=
ϕ :=
,
²0
∂V
wobei QV die im Volumen V eingeschlossene Ladung ist.
Aufgabe 6: Potential des Wasserstoffatoms
Für das Wasserstoffatom im Grundzustand gilt in guter Näherung: Der einfach positiv geladene Kern ist eine Punktladung, so dass ρ kern (~
r ) = eδ(~
r ). Die Elektronenladungsdichte ist
durch
e
ρ el (~
r ) = − 3 e−2r /a
πa
gegeben, wobei a den Bohr’schen Atomradius bezeichnet.
~ (~
a) Begründen Sie, warum das elektrische Feld von der Form E
r ) = E (r )~
e r ist. Berechnen
Sie E (r ) mit Hilfe des Gauß’schen Satzes, wobei als Volumen eine Kugel mit Radius r und
Mittelpunkt im Ursprung betrachtet werden soll.
~ (~
b) Zeigen Sie, dass für E
r ) = E (r )~
e r das Potential nur von r abhängt, d.h. φ(~
r ) = φ(r ). Betrachten Sie dazu grad φ(~
r ) in Kugelkoordinaten. Bestimmen Sie φ(r ).
c) Diskutieren Sie die Grenzfälle r ¿ a und r À a.
5 Punkte
SS 2008
Blatt 3
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Aufgabe 7: Elektrisches Feld und Potential geladener Kugeln (schriftlich)
Betrachtet werde eine homogen geladene Kugel mit dem Radius R, der Ladungsdichte ρ und
der Gesamtladung q.
a) Wie hängen Ladungsdichte und Gesamtladung zusammen?
4 Punkte
~ (~
b) Geben Sie den Zusammenhang des elektrischen Feldes E
r ) mit dem Skalarpotential φ(~
r)
an. Was kann man allein auf Grund der Symmetrie über die Form und Abhängigkeiten von
~ (~
φ(~
r ) und E
r ) sagen?
6 Punkte
~ (~
c) Berechnen Sie das elektrische Feld E
r ) im Innen- und Außenraum der Kugel mit Hilfe des
Gesetzes von Gauß (in der integralen Form).
8 Punkte
d) Berechnen Sie das zugehörige Potential φ(~
r ) durch Wegintegration über das elektrische
Feld.
7 Punkte
Ergebnis zur Kontrolle:
q
φ(~
r)=
×
4π²0
(
3
2R
1
r
2
r
− 2R
3
für r ≤ R
für r > R
Anmerkung: Diese Aufgabe war im Frühjahr 2005 Teil der Staatsexamensprüfung. Die Teile
a)–c) wurden bereits in der Vorlesung gelöst. Wir konzentrieren uns daher auf Teil d).
Aufgabe 8: Kugelkondensator
σ1
R1
R2
σ2
Ein Kugelkondensator besteht aus zwei konzentrischen Metallkugelschalen mit den Radien R 1 und R 2 , auf denen sich die Ladungen
Q 1 = Q und Q 2 = −Q befinden. Die Ladungsdichten lauten in Kugelkoordinaten somit
ρ i (r ) = σi δ(r − R i ),
wobei σi die jeweilige Flächenladungsdichte
bezeichnet.
a) Drücken Sie σi durch den zugehörigen Kugelradius R i und die Ladung Q aus.
~ (~
b) Bestimmen Sie das Potential φ(~
r ) und die elektrische Feldstärke E
r ). Nützen Sie dabei
zur Vereinfachung die Symmetrie der Anordnung aus.
c) Wie lautet die Energiedichte des elektrischen Feldes? Wie groß ist die gesamte elektrische
Feldenergie?
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Blatt 4
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Aufgabe 9: Linienförmige Ladungsverteilung und Metalloberfläche (schriftlich)
Es soll das elektrische Potential untersucht werden, das von einer in z-Richtung linearen Ladungsverteilung ρ(x, y, z) = ρ 1 δ(x −a)δ(y) erzeugt wird. Hierbei ist ρ 1 eine konstante Ladung
pro Länge. Es soll ferner die Möglichkeit vorgesehen sein, eine ideal leitende, geerdete Metallplatte in der (y, z)-Ebene anzubringen.
a) Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß, dass sich das Potential in Abwesenheit der Metallplatte in der Form
ρ1
Φ(R) = −
ln(R) + Φ0
2π²0
10 Punkte
schreiben lässt, wobei R der senkrechte Abstand von der linearen Ladungsverteilung ist.
Hinweis: in Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) gilt
~
∇Φ =
1 ∂Φ
∂Φ
∂Φ
~
~
~
er +
eϕ +
ez .
∂r
r ∂ϕ
∂z
b) Es werde nun eine unendlich ausgedehnte, geerdete Metallplatte in der (y, z)-Ebene angebracht. Welche Randbedingung muss das Potential bei x = 0 erfüllen? Bestimmen Sie
nun mit Hilfe der Bildladungsmethode das elektrische Potential im Halbraum x > 0.
8 Punkte
c) Skizzieren Sie qualitativ die elektrischen Feldlinien in der (x, y)-Ebene für x > 0. In welche
Richtung zeigt das elektrische Feld an der Metallplatte?
7 Punkte
Anmerkung: Diese Aufgabe war im Herbst 2005 Teil der Staatsexamensprüfung.
Aufgabe 10: Ladung vor metallischer Innenkante
y
11111111
00000000
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
q
00000000
11111111
~
r 0 = (a, b, 0)
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000 x
11111111
Wir betrachten eine Punktladung q, die sich
am Ort ~
r 0 = (a, b, 0) befindet. Das elektrische
Feld der Punktladung wird durch zwei rechtwinklig angeordnete, geerdete Metallplatten
modifiziert. Die Skizze zeigt einen Schnitt
durch die x-y-Ebene der Anordnung.
a) Wie lautet die Randbedingung für das elektrische Potential an der Metalloberfläche? Diese
Randbedingung lässt sich mit Hilfe von 3 Bildladungen q i erfüllen. Wie groß sind diese
Bildladungen, und an welchen Orten ~
r i müssen sie sich befinden? Wie lautet somit das
elektrische Potential?
~ . Welche Oberflächenladungsdichte σ(x, z) wird auf
b) Bestimmen Sie das elektrische Feld E
der sich in der x-z-Ebene befindenden Metallplatte induziert?
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Blatt 5
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Aufgabe 11: Metallkugel in externem Feld (schriftlich)
~ ext = E 0~
Eine Metallkugel mit Radius R wird in ein konstantes externes elektrisches Feld E
ez
ext
gesetzt, das zu einem Potential φ führt. Auf der Kugel seien Oberflächenladungen mit der
Flächenladungsdichte σ(ϑ, ϕ) vorhanden, die einen zusätzlichen Beitrag zum Gesamtpotential induziert. Das Gesamtpotential φ der Kugel soll als null angenommen werden, d.h. φ(~
r)=
0 für |~
r | < R.
~ ext ·~
a) Verifizieren Sie, dass das Potential des externen Feldes als φext = −E
r geschrieben werden kann.
3 Punkte
b) Welches sind die Randbedingungen an das Potential (externes Feld plus Kugel) bei |~
r|=R
und |~
r | → ∞?
6 Punkte
c) Der allgemeine Ansatz für Lösungen der Laplace-Gleichung für axialsymmetrische Probleme lautet
∞ ³
X
b` ´
a ` r ` + `+1 P ` (cos(ϑ),
φ(~
r ) = φ(r, ϑ, ϕ) =
r
`=0
6 Punkte
wobei P ` die Legendre-Polynome sind (d.h. P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, etc.). Verwenden Sie diesen Ansatz und die in Teilaufgabe b) aufgestellten Randbedingungen, um das Gesamtpotential φ(~
r ) im Bereich r ≥ R zu bestimmen.
d) Zeigen sie, dass die influenzierte Oberflächenladungsdichte auf der Kugel, σ = ²0 E n , folgende Form hat (E n ist die Feldkomponente senkrecht zur Kugeloberfläche):
6 Punkte
σ(ϑ, ϕ) = 3²0 E 0 cos ϑ.
e) Berechnen Sie die gesamte influenzierte Ladung.
Anmerkung: Diese Aufgabe war im Herbst 2005 Teil der Staatsexamensprüfung.
Aufgabe 12: Oberflächenladung
Auf einer Kugelschale mit Radius R befinde sich die Flächenladungsdichte
σ(ϑ) = σ0 (3 cos2 ϑ − 1).
Bestimmen Sie das resultierende elektrische Potential φ(r, ϑ). Gehen Sie dabei wie folgt vor:
a) Wählen Sie für den ladungsfreien Raum, also für r < R und für r > R geeignete Ansätze
(siehe Aufgabe 11c), so dass das Potential bei r = 0 nicht divergiert und im Limes r → ∞
verschwindet. Die verbleibenden Koeffizienten a ` und b ` werden aus den Anschlussbedingungen bei r = R bestimmt.
b) Welche Bedingung an die Koeffizienten folgt aus der Stetigkeit des elektrischen Potentials?
c) Eine Flächenladungsdichte führt zu einem Sprung ∆E normal = σ/²0 der Normalkomponente des elektrischen Felds, also hier der Radialkomponente E r = −∂φ/∂r . Was folgt daraus für die Koeffizienten?
d) Wie lautet somit das elektrische Potential innerhalb und außerhalb der Kugel?
Hinweis: Die ersten drei Legendre-Polynome lauten P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 23 x 2 − 12 .
4 Punkte
SS 2008
Blatt 6
Übungen zur Vorlesung „Theoretische Physik II für das Lehramt (Elektrodynamik)“
Aufgabe 13: Quadrupol
Wir betrachten die skizzierte Anordnung der
Punktladungen q und −2q an den Orten (0, 0, ±a)
und im Ursprung.
z
q
Berechenen Sie den zugehörigen Quadrupoltensor Q = (Q i j ). Überlegen Sie sich zunächst, welche
Quadrupolmomente aus Symmetriegründen verschwinden müssen. Berechnen Sie eines der drei
verbleibenden Quadrupolmomente und bestimmen Sie die restlichen mit Hilfe der Symmetrieeigenschaften und der Spurfreiheit der Quadrupoltensors.
−2q
q
~
r = (0, 0, a)
y
x
~
r = (0, 0, −a)
Aufgabe 14: Dipole
An den Orten ~
r 1 = (0, 0, 0) und ~
r 2 = (b, 0, 0) befin~ in der x-zden sich zwei Dipole mit Dipoloment p
Ebene. Sie schließen mit der z-Achse die Winkel α
und β ein.
Bestimmen Sie die Wechselwirkungsenergie als
Funktion der Winkel α und β. Für welche Winkel
nimmt die Energie ein lokales Minimum an?
z
α
~
p
β
~
p
~
r = (b, 0, 0)
x
Aufgabe 15: Dipol und Punktladung
~ befinde sich im Ursprung und wechselwirke mit einer Punktladung q am Ort ~
Ein Dipol p
r0.
a) Bestimmen Sie das elektrische Potential und das elektrische Feld der Anordnung?
b) Welche Kraft erfährt die Punktladung?
c) Welche Kraft erfährt der Dipol? Ist das 3. Newton’sche Axiom erfüllt?
~ = − grad E (~
Hinweis: Für die auf den Dipol wirkende Kraft gilt F
r ), wobei E die (potentielle) Energie des Dipols am Ort ~
r ist.
SS 2008
Blatt 7
Übungen zur Vorlesung „Theoretische Physik II für das Lehramt (Elektrodynamik)“
Aufgabe 16: Plattenkondensator
In einen Plattenkondensator (Fläche ab, Plattenabstand d ) sei eine bis zu einer Strecke x ein
Dielektrikum mit relativer Dielektrizitätskonstante ε eingeschoben (siehe Skizze). Der Plattenabstand d soll so klein sein, dass Randeffekte vernachlässigt werden können. Die Felder
sind dann senkrecht zu den Platten und nur zwischen den Platten von null verschieden.
1111111111
0000000000
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
a
d
ε
I
+Q
II
x
−Q
~ und E
~ an der Grenzfläche zwischen den
a) Wie lauten die Randbedingungen für die Felder D
Bereichen I und II?
b) Wie groß sind die Flächenladungsdichten, wenn die Gesamtladungen ±Q sind?
c) Wie groß ist die angelegte Spannungi, also die Potentialdifferenz zwischen den Platten?
Berechnen Sie die Kapazität C = Q/U .
d) Bestimmen Sie Energiedichte und die gesamte Feldenergie. Welche Kraft wirkt auf das
Dielektrikum?
Aufgabe 17: Ladung vor Dielektrikum (schriftlich)
Eine Ladung e befinde sich im Punkt (0, 0, −a) in einer Entfernung a von der Grenzfläche
zweier verschiedener (dreidimensionaler) dielektrischer, homogener Medien mit relativen
dielektrischen Permeabilitäten ε1 bzw. ε2 (s. Figur). Die Grenzfläche ist durch die Gleichung
z = 0 beschrieben. Die elektrischen Potentiale in beiden Medien, φ1 bzw. φ2 , erfüllen wegen
der Stetigkeit der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes die Bedingung φ1 (x, y, 0) =
φ2 (x, y, 0) für alle Punkte (x, y, 0) an der Grenzfläche.
z
ε2
1111111111
0000000000
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
ε1
a
P
a) Geben Sie die aus der Stetigkeit der Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung
folgende Grenzbedingung für die elektrischen Potentiale φ2 und φ2 an.
3 Punkte
b) Benutzen Sie die Methode der Spiegelladung und die zwei Grenzbedingungen für die Potentiale, um die elektrischen Potentiale φ1 und φ2 zu bestimmen.
12 Punkte
b. w.
Hinweis: Suchen Sie das Potential im Medium 1 das von zwei Punktladungen e und e 0 , die
an den Punkten P = (0, 0, −a) bzw. P 0 = (0, 0, a) lokalisiert sind, erzeugt wird. Suchen Sie
dagegen das Potential in Medium 2 als eines, das von einer einzigen Punktladung e 00 im
Punkt P erzeugt wird. Bestimmen Sie e, e 0 , e 00 .
Zur Kontrolle: Für ε2 = 1 ist e 0 = e(ε1 − 1)/(ε1 + 1), e 00 = 2e/(ε1 + 1).
c) Berechnen Sie die Kraft, die auf die Ladung e im Punkt P wirkt, und diskutieren Sie, welchen physikalischen Effekt sie hervorruft, wenn das Medium 1 Luft ist (ε1 = 1) und ε2 > 1.
6 Punkte
d) Diskutieren Sie den Fall ²2 → ∞. Welcher physikalischen Situation entspricht dies?
4 Punkte
Anmerkung: Diese Aufgabe war im Herbst 2004 Teil der Staatsexamensprüfung.
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Blatt 8
Übungen zur Vorlesung „Theoretische Physik II für das Lehramt (Elektrodynamik)“
Aufgabe 18: Unendlich langer gerader Leiter
Ein unendlich langer gerader Leiter liege auf der z-Achse und werde von einem Strom I in
positiver z-Richtung durchflossen. Bestimmen Sie das Vektorpotential ~
A(~
r ) und die magne~
~
tische Induktion B (~
r ) = rot A(~
r ).
Aufgabe 19: Magnetischer Dipol (schriftlich)
~
a) Das Vektorpotential ~
A eines statischen magnetischen Punktdipols mit dem Moment m,
der sich bei ~
r = (x, y, z) = 0 befindet, ist gegeben durch
~
A=
~ ×~
r
µ0 m
.
3
4π r
~ -Feld des Dipols für ~
(1) Berechnen Sie daraus das B
r 6= 0!
Hilfsformel: ∇ × (~
a ×~
b) = (~
b · ∇)~
a − (~
a · ∇)~
b +~
a (∇ · ~
b) − ~
b(∇ · ~
a );
~ ·~
~
µ0 3(m
r )~
r − r 2m
.
5
4π
r
~ -Feld graphisch für m
~ = m 0~
(2) Skizzieren Sie das B
e z , wobei ~
e z der Einheitsvektor in zRichtung ist.
10 Punkte
~=
Ergebnis: B
b) Eine kreisförmige Leiterschleife mit Radius a sei fest so angebracht, dass ihr Mittelpunkt
bei x = y = 0, z = z 0 > 0 liegt und ihre Normale in Richtung von ~
e z zeigt.
Berechnen Sie den Fluss Φ des Dipolfeldes von Teilaufgabe (2) durch die Leiterschleife aus
RR
~ · d~
dem Flächenintegral Φ =
B
f über die Leiterschleife!
Anmerkung: Diese Aufgabe war im Herbst 2003 Teil der Staatsexamensprüfung.
Aufgabe 20: Rotierende Kugel
Eine Kugel mit Radius R und einer homogenen Oberflächenladungsdichte σ rotiert mit der
Winkelgeschwindigkeit ~
ω = ω~
ez .
a) Skizzieren Sie die Stromverteilung. Zeigen Sie, dass die Stromdichte durch den Ausdruck
~
j (~
r ) = σδ(r − R)~
ω ×~
r
gegeben ist, wobei r = |~
r |.
~.
b) Berechnen Sie das Vektorpotential ~
A und die magnetische Induktion B
c) Vergleichen Sie Ihr Ergebnis für r > R mit der Multipolentwicklung des Magnetfeldes. Wie
groß ist somit das magnetische Dipolmoment der rotierenden Kugel?
5 Punkte
10 Punkte
SS 2008
Blatt 9
Übungen zur Vorlesung „Theoretische Physik II für das Lehramt (Elektrodynamik)“
Aufgabe 21: Hohlleiter (schriftlich)
y
a
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000σ → ∞
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
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0000000
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0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
a
x
Gegeben sei ein von ideal leitenden (σ → ∞),
metallischen Wänden begrenzter, unendlich
langer Hohlleiter quadratischen Querschnitts
(innere Querschnittsfläche a 2 ). Im Inneren
des Hohlleiters herrsche Vakuum. Die Achse
des Hohlleiters zeige in z-Richtung. Nebenstehende Skizze zeigt einen Querschnitt durch
den Hohlleiter und definiert das Koordinatensystem. Im Folgenden soll die Ausbreitung
elektromagnetischer Wellen im Inneren des
Hohlleiters untersucht werden.
a) Wie lauten die Maxwell-Gleichungen im ladungs- und stromfreien Vakuum?
2 Punkte
b) An ideal leitenden, metallischen Oberflächen gilt die Randbedingung verschwindender
Parallelkomponente des elektrischen Feldes. Begründen Sie diese Randbedingung.
3 Punkte
~ = (E x , E y , E z ), habe im Inneren des Hohlleiters die Form
c) Das elektrische Feld, E
³ πy ´
E x (x, y, z, t ) = E 0 sin
cos(kz − ωt ), E y = E z = 0.
a
3 Punkte
Wie groß ist die Ladungsdichte im Inneren des Hohlleiters?
d) Berechnen Sie unter Benutzung der Maxwell-Gleichungen die Zeitableitung der orts- und
zeitabhängigen magnetischen Induktion,
5 Punkte
∂
~ (x, y, z, t ),
B
∂t
im Inneren des Hohlleiters.
e) Welche Ladungsdichten werden an den Metalloberflächen induziert? Skizzieren Sie diese
Oberflächenladungsdichten am Ort z = 0 zur Zeit t = 0.
Anmerkung: Diese Aufgabe (ohne Teilaufgabe e) war im Frühjahr 2005 Teil der Staatsexamensprüfung.
Aufgabe 22: Coulomb- und Lorentz-Eichung
Wir betrachten das Vektorpotential ~
A(~
r , t ) und das skalare Potential φ(~
r , t ). Nach der Eichung
mit dem skalaren Feld Λ(~
r , t ) erhalten wir die Potentiale
~
A 0 (~
r ,t) = ~
A(~
r , t ) + grad Λ(~
r , t ),
φ0 (~
r , t ) = φ(~
r , t ) − Λ̇(~
r , t ).
a) Welcher Differentialgleichung muss das Eichfeld Λ(~
r , t ) genügen, damit die Bedingung
0
~
div A = 0 (Coulomb-Eichung) erfüllt ist. Geben Sie die (formale) Lösung dieser Differentialgleichung als Integral an.
b) Wie lautet die Differentialgleichung für Λ, wenn ~
A 0 die Lorentz-Eichung erfüllen soll?
3 Punkte
SS 2008
Blatt 10
Übungen zur Vorlesung „Theoretische Physik II für das Lehramt (Elektrodynamik)“
Aufgabe 23: Reflexion
Die ebenen Wellen
~ (~
~0 ei(~k·~r −ωt ) ,
E
r ,t) = E
~ (~
~0 ei(~k·~r −ωt ) ,
B
r ,t) = B
sind Lösungen der Maxwell-Gleichungen im Vakuum.
Eine in x-Richtung polarisierte ebene Welle breite sich im Vakuum in positiver z-Richtung
aus. Sie treffe bei z = 0 auf eine Gebiet unendlicher Leitfähigkeit (ideales Metall), das den
Halbraum z ≥ 0 ausfüllt.
a) Berechnen Sie das Wellenfeld im Halbraum z ≤ 0.
~ (~
b) Skizzieren Sie den räumlichen Verlauf der elektrischen Feldstärke E
r , t ) und der magne~
tischen Induktion B (~
r , t ) für t = 0 und t = π/2ω.
~ tangential .
c) Berechnen Sie die auf der Grenzfläche induzierte Flächenstromdichte ~
j ind = ∆ H
Aufgabe 24: Wo fließt die elektromagnetische Energie? (schriftlich)
Gegeben sei ein unendlich langer, gerader, zylindrischer Draht mit Radius R, Leitfähigkeit σ,
relativer Dielektrizitätskonstante ² = 1 und relativer Permeabilität µ = 1. Zur mathematischen
Behandlung führen wir Zylinderkoordinaten x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z (z-Achse ist Drahtachse) mit den Einheitsvektoren ~
eρ , ~
eφ, ~
e z ein. Der Draht befinde sich in einem homogenen
~
elektrischen Feld E (~
r ) = E~
e z . Wir betrachten ein Stück der Länge L À R dieses Drahts.
~=
a) Im Draht fließt nach dem Ohmschen Gesetz ein konstanter Strom der Dichte ~
j = σE
σE~
e z = j~
e z . Wie groß ist der Gesamtstrom I im Draht?
6 Punkte
Wegen der endlichen Leitfähigkeit σ wird im Draht Joulesche Wärme mit der Dichte w J
erzeugt. Berechnen Sie diese und die gesamte im betrachteten Volumen der Länge L erzeugte Wärmeleistung W J = σE 2 πR 2 L = σE 2 AL = σE 2V .
b) Der Strom I im Draht erzeugt im Außenraum das Magnetfeld
~a =
B
3 Punkte
µ0 I
~
eφ.
2πρ
~a den Strom I durch E aus.
Drücken Sie in B
~×H
~ a als Funktion von E . Was ist die physikalic) Berechnen Sie den Poynting-Vektor ~
Sa = E
sche Bedeutung des Poynting-Vektors?
9 Punkte
~, B
~a , ~
Skizzieren Sie E
Sa .
d) Berechnen Sie den Energiefluss durch die Oberfläche ins Innere des Drahts für das Volumen der Länge L. Vergleichen Sie mit der im Inneren erzeugten Wärmeleistung W J . Was
fließt wirklich im Draht?
Anmerkung: Diese Aufgabe war im Frühjahr 2004 Teil der Staatsexamensprüfung.
b. w.
7 Punkte
Aufgabe 25: Strahlung eines Flächenstroms
In der unendlich ausgedehnten y-z-Ebene fließe in z-Richtung ein Flächenstrom
~
j (~
r , t ) = I exp(iωt )δ(x)~
ez .
a) Begründen Sie warum für das elektrische Potential gilt: φ(~
r , t ) = 0.
b) Welcher Differentialgleichung muss das Vektorpotential ~
A(~
r , t ) in Lorentz-Eichung genügen? Begründen Sie warum die Lösung für die gegebene Stromdichte von folgender Form
ist:
~
A(~
r , t ) = A z (x, t )~
ez .
c) Bestimmen Sie das Vektorpotential mit Hilfe des Ansatzes
(
A z (~
r ,t) =
A 0 eiω(t −x/c)
für x ≥ 0,
iω(t +x/c)
für x < 0,
A0e
d.h. bestimmen Sie die Konstante A 0 .
~ (~
~ (~
d) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke E
r , t ) und die magnetische Induktion B
r , t ).