Das goldene Zeitalter – Der Goldene Schnitt und - Maphy
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Universität Potsdam Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Institut für Mathematik Seminar Unterrichtsanlässe aus der Geschichte der Mathematik Wintersemester 2011/2012 Ausarbeitung zum Vortrag vom 27. Januar 2012 DAS GOLDENE ZEITALTER DER GOLDENE SCHNITT UND SEINE ANWENDUNG 9. Juni 2012 Marcel Pietschmann Studiengang: Master LG Mathematik/Physik 1. Fachsemester Martin Bünnig Studiengang: Master LG Mathematik/Physik 1. Fachsemester Inhaltsverzeichnis 1 Geschichtliches 1 2 Mathematik des Goldenden Schnitts 2.1 Der Goldene Schnitt als Verhältnis in der Geometrie . . . . . . . 2.1.1 Algebraische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Mathematische Charakterisierung des Goldenen Schnittes 2.1.3 Goldene (geometrische) Gebilde . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Innere Teilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Äußere Teilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Goldener Zirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Der Goldene Schnitt in Fibonaccis Folge . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Formel von Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Diskussion der Formel von Binet . . . . . . . . . . . . . 3 Linearisierung der Potenzen von Φ 3.1 Linearisierung in der Mathematik . . . . . . 3.2 Besonderheit an der Linearisierung von Φ . . 3.3 Linearisierung von Potenzen anderer Zahlen 3.4 Nutzen für die Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 5 5 7 8 10 11 12 . . . . 13 14 14 15 16 4 Didaktischer Kommentar 17 5 Fazit 18 Literaturverzeichnis 20 Anhang 20 A AB Gruppe 1 - Konstruktion 21 B AB Gruppe 2 - goldener Zirkel 23 C AB Gruppe 3 - Eigenschaften von Phi 24 1 Geschichtliches 1 Geschichtliches Der Goldener Schnitt findet sich in vielen Bereichen der Natur, Architektur, Kunst und sogar in der Literatur. Die Geschichte dieses besonderen Teilungsverhältnisses reicht bis in die Antike zurück. Der Pythagoreer Hippasos endeckte den Goldener Schnitt erstmalig bei seinen Untersuchungen am Fünfeck. Er entdecke damit die Inkommensurabilität der Diagonalabschnitte zur ganzen Diagonale1 . Mathematikhistorisch ist dabei bemerkenswert, dass die Irrationalität damit nicht bei der Diagonalen im Einheitsquadrat entdeckt worden ist, sondern am Fünfeck. Die erste noch erhaltene Beschreibung des Goldener Schnitt stammt von Euklid (ca. 360 v. Chr. – ca. 280 v. Chr.). Er entdeckte den Goldener Schnitt2 bei seinen Untersuchungen der platonischen Körper und ebenfalls am Fünfeck. Für den späteren Hype um den Goldener Schnitt ist wichtig zu wissen, dass die fünf platonischen Körper auch als „Sinnbilder für die Schöpfung“ gesehen worden. Daraus lässt sich der Name für den Goldener Schnitt im 14. Jahrhundert erklären. Aufgrund des reichhaltigen Vorkommens des Goldenen Schnittes in und an den platonischen Körpern, wurde der Goldener Schnitt damals als „Göttliche Teilung“ bezeichnet. Die heutige Bezeichnung „Goldener Schnitt“ wurde erst durch den dt. Mathematiker Martin Ohm im Jahre 1835 angeregt. Ab diesem Zeitpunkt enstand durch den Philosophen Adolf Zeising ein Hype um den Goldener Schnitt, da Adolf Zeising die Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik postulierte, das als Basis den Goldener Schnitt hat. Der rumänischer Diplomat Matila Ghyka interpretierte den Goldener Schnitt sogar als fundamentales Geheimnis des Universums. Verstärkt wurde diese Entwicklung durch die Untersuchung von Gustav Theodor Fechner, der eine Präferenz bei Menschen für den Goldenen Schnitt bei Rechtecken herausfand. Heutzutage ist der Hype nicht mehr so drastisch. Immer wieder haben wissenschaftliche Untersuchungen, die sich direkt oder indirekt mit Goldener Schnitt beschäftigten, interessante Fakten zusammengetragen. Dabei tauchte der Goldener Schnitt in immer neuen und teils überraschenden Situationen auf. Es soll dabei auch kritisch angemerkt werden, dass meist nicht gesichert ist, ob der Goldener Schnitt bei den Untersuchungen eine wissenschaftlich gesicherte Tatsache ist oder einfach dass die Ergebnisse einfach durch Zufall nahe dem Goldener Schnitt sind. Zu dieser Schwierigkeit seien die Ergebnisse über die Gebrüder Grimm von J. Benjafield und C. Davis in Beutelspacher et al. (1989, S.165) als Denkanregung empfohlen. 1 Er erkannte, dass die Teilung der Diagonalen kleine und grosse Abschnitte ergab, dabei steht der grosse Abschnitt zur ganzen Diagonalen im gleichen Verhältnis wie der kleinere Abschnitt zum grösseren. 2 Euklid bezeichnete den Goldener Schnitt als „Teilung im äusseren und mittleren Verhältnis“. 1 2 Mathematik des Goldenden Schnitts 2 Mathematik des Goldenden Schnitts 2.1 Der Goldene Schnitt als Verhältnis in der Geometrie Bei dem Goldenen Schnitt handelt es sich aus rein mathematischer Sicht um ein genau definiertes Verhältnis. Dieses lässt sich über den geometrischen Zugang gut verstehen. Dazu seien zwei zeitlich sehr distanzierte Definitionen angebracht. Definition 2.1 (Euklid, 2. Buch der Elemente, 11. Satz): Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. Definition 2.2 (Beutelspacher et al. (1989)): Sei AB eine Strecke. Ein Punkt S von AB teilt AB im goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke (M Major) zur kleineren (m Minor) so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil. Die Definition von Beutelspacher et al., 1989 kann man sich wie folgt vorstellen: S A m M B Abbildung 1: Der Punkt S teilt die Strecke AB im Verhätlnis des Goldenen Schnittes. Dabei ist M der Major und m der Minor. 2.1.1 Algebraische Betrachtung Wir betrachten nun die hier graphisch verdeutlichten Verhältnisse als Brüche: Sei a = AB = M + m: a M = M m am = M 2 (2.1) In dieser Form wird auch die Formuliertung von Eklid deutlich, da hier die Fläche des Quadrats über den Major gleich dem Rechteck aus der Gesamtstrecke und Minor ist. Ersetzen wir nun a, um die charakteristische Gleichung (2.2) für den Goldenen Schnitt zu erhalten. (M + m)m = M 2 ⇒ ⇒ M M2 +1− =0 m m Φ2 − Φ − 1 = 0 2 (2.2) 2 Mathematik des Goldenden Schnitts Wie zu sehen, stellt Φ, also das Verhältnis M/m, die Lösung der quadratischen Gleichung x2 − x − 1 = 0 dar. Es ergeben sich die beiden Lösungen √ 1+ 5 ≈ 1, 618 (2.3) Φ= 2√ 1− 5 Ψ= ≈ −0, 618 (2.4) 2 Es lassen sich nun erste einfache Schlussfolgerungen festhalten: Korollar 2.3: Seien Φ und Ψ aus (2.3) und (2.4). Dann gilt: Φ =Φ+1 2 √ 1 = 5 Φ √ Φ−Ψ= 5 Φ+ 1 = −Ψ Φ (2.5.a) √ 1 ( 5 − 1) =Φ−1= Φ 2 (2.5.b) (2.6.a) Φ+Ψ=1 (2.6.b) (2.7.a) Φ · Ψ = −1 (2.7.b) (2.8.a) Beweis: Die Eigenschaft (2.5.a) folgt sofort nach Umstellung der charakteristischen Gleichung (2.2). Mithilfe dieser Eigenschaft lassen sich die Potenzen von Φ linearisieren, worauf wir im Abschnitt 3 näher eingehen. (2.5.b) folgt ebenfalls aus (2.2) durch eine Multiplikation mit 1/Φ. Folgerung (2.6.a) lässt sich durch √ √ 1 1+ 5 5−1 √ Φ+ = + = 5 Φ 2 2 zeigen, wobei wir (2.5.b) verwendet haben. (2.6.b) bis (2.7.b) ergeben sich durch einfaches Nachrechnen. Schließlich ist (2.8.a) eine Folgerung aus (2.6.a) und (2.7.a). 2.1.2 Mathematische Charakterisierung des Goldenen Schnittes Für eine mathematische Betrachtung hat der folgende Satz eine große Bedeutung, da er eine Verbindung zwischen geometrischen Eigenschaften und Äquivalenzen zwischen mathematischen Aussagen schafft. Satz 2.4: Sei AB eine Strecke der Länge a und sei S eine Punkt dieser Strecke. Mit M bezeichnen wir die Länge von AS und mit m die von SB. Siehe dazu Abbildung 1. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig: (i) S teilt AB im Goldenen Schnitt 3 (2.10) 2 Mathematik des Goldenden Schnitts M m (ii) (iii) M m 2 (v) a m = M m (2.11) +1 (2.12) =Φ (2.13) =Φ+1 (2.14) a M (iv) =Φ Der Beweis kann in Beutelspacher et al. (1989, S.19) nachgelesen werden. 2.1.3 Goldene (geometrische) Gebilde Der Goldene Schnitt kommt in der Geometrie – und nicht nur da – sehr häufig vor. So taucht der Goldener Schnitt beim regulären Fünfeck auf. Satz 2.5: Sei F = P1 P2 P3 P4 P5 ein reguläres Fünfeck, dann gilt: 1. Je zwei Diagonalen, die sich nicht in einer Ecke von F schneiden, teilen einander im Goldenen Schnitt. 2. Das Verhältnis der Länge einer Diagonalen zur Länge einer Seite ist Φ. Auf den Beweis, der den Strahlensatz, Eigenschaften von regulären Fünfecken und elementare geometrische Grundkenntnisse benötigt, verzichten wir aus Platzgründen. Beutelspacher et al. (1989, S.33) führen den Beweis verständlich. Es lassen sich weitere geometrische Beispiele finden, wo der Goldene Schnitt ein Ergebnis von Untersuchungen ist. Für eine interessante und historische Überlegung empfehlen wir die Untersuchung an Platonischen Körpern, die in Beutelspacher et al. (1989, S.50) dargestellt wird. Es lassen sich jedoch auch spezielle geometrische Gebilde konstruieren, die den Goldenen Schnitt als Konstruktionsidee beinhalten. So können die Seiten von einem Rechteck so gewählt werden, dass sie im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen. Bei so einem Goldenen Rechteck lässt sich ein Quadrat mit der Seitenlänge der kleinen Rechteckseite abtrennen. Das Restrechteck ist wiederrum ein Goldenen Rechteck. Dieses Verfahren lässt sich mit Dreiecken3 und Parallelogrammen ebenfalls durchführen, was zu sehr interessanten Ergebnissen führt. Goldenes Dreieck: gleichschenkliges Dreieck, Grundseite und Schenkel stehen im Goldenen Schnitt Goldenes Rechteck: Seitenverhältnis der Rechteckseiten entspricht dem Goldenen Schnitt ◦ Goldener Winkel: ϕ = 360◦ − 360 ≈ 137, 5◦ Φ 3 Solche Goldenen Dreiecke sind notwendigerweise gleichschenklig. 4 2 Mathematik des Goldenden Schnitts So lässt sich eine Goldene Spirale in ein Goldenes Rechteck, welches wie oben beschrieben 2ϕ geteilt wird, einschreiben. In Polarkoordinaten erfüllt sie die Gleichung: r(ϕ) = Φ π . Für Goldene Dreiecke lässt sich aussagen, dass sie immer einen Basiswinkel von 36◦ oder 72◦ haben. Diese Goldenen Dreiecke haben ebenfalls beim regulären Fünfeck eine Bedeutung. Ein interessanten Gebilde ist der Goldene Winkel. Er ist dadurch definiert, dass der Goldene Winkel zum Vollwinkel im Goldenen Schnitt steht. Durch die Eigenschaft, dass Drehungen modulo des Vollwinkels äquivalent sind, können zwei Goldene Winkel definiert werden: ϕ1 = 360◦ (2 − Φ) ≈ 137, 5◦ und ϕ2 = 360◦ (Φ − 1) ≈ 222, 5◦ . Durch die Tatsache, dass bei jeder irrationanlen Zahl nie eine exakte Überdeckung erreicht wird, hat der Goldene Winkel eine wirkliche Bedeutung in der Biologie. Betrachtet man die Anordnung der Blätter längs eines Astes, so ist der Winkel zwischen zwei Blättern ungefähr der Goldene Winkel. Damit wird erreicht, dass die Überdeckung der Blätter, welche die Photosynthese behindert, in der Summe minimiert wird. Quelle:Wikipedia (2012, Goldener Schnitt, im Abschnitt Goldener Winkel) Abbildung 2: Die Beispiele ließen sich fast endlos fortführen. Für eine weitreichende Übersicht seien Walser (1996, Kapitel 3 und 6) und Beutelspacher et al. (1989, Kapitel 2 bis 5) empfohlen. Doch nicht nur in der Geometrie kommt der Goldene Schnitt vor. So ist er aufgrund seiner ästetischen Wirkung ein beliebtes Stilmittel in Kunst, Architektur, Musik und sogar in der Literatur. Darüberhinaus hat er eine Bedeutung in der Informatik, Physik und Biologie. Für eine nähere Erläuterung sind Walser (1996, Kapitel 8); Beutelspacher et al. (1989, Kapitel 9 und 10) genannt. 2.2 Konstruktion 2.2.1 Innere Teilung Abschließend zu diesem Abschnitten sollen noch Varianten zur Konstruktion des Goldenen Schnittes betrachtet werden. EZunächst werden die Konstruktion für den „inneren 5 2 Mathematik des Goldenden Schnitts Goldenen Schnitt“ erläutern. Dabei ist der Grundgedanke die Konstruktion eines Punktes S auf einer gegeben Strecke, der diese in Major und Minor teilt und somit im Goldenen Schnitt. Wir werden die innere Teilung nach Euklid und das klassisches Verfahren vorstellen. Die Konstruktion nach Euklid hat 3 Konstruktionsschritte: 1. Errichte über dem Punkt A eine Senkrechte der Länge a2 mit Endpunkt C. 2. Der Kreis vom Radius |CB| mit Mittelpunkt C schneidet die Verlängerung der Strecke AC in einem Punkt D. 3. Der Kreis um den Punkt A mit dem Radius |AD| teilt nun die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Es ergibt sich damit das folgende Konstruktionsbild: C A S B D Abbildung 3: Innere Teilung nach Euklid Der Beweis ist leicht geführt. Beweis: Es ergibt sich nach Pythagoras: √ a 5 |CD| = |CB| = 2 Also ergibt sich: √ √ a 5 a a( 5 − 1) a − = = |AS| = |DA| = |DC| − |CA| = 2 2 2 Φ Es folgt somit: |AB| a = =Φ |AS| (a/Φ) 6 2 Mathematik des Goldenden Schnitts Die klassischen Konstruktion hat folgende Schritte: 1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C. 2. Der Kreis um C mit dem Radius |CB| schneidet die Verbindung AC im Punkt D. 3. Der Kreis um A mit dem Radius |AD| teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Es ergibt sich damit das folgende Konstruktionsbild: C D A S B Abbildung 4: klassische innere Teilung Der Beweis ist analog zum obigen Beweis und kann in Beutelspacher et al. (1989, S.21) nachgelesen werden. 2.2.2 Äußere Teilung Die äußere Teilung konstruiert zu einer gegebene Strecke einen Punkt auf der Verlängerung der Ausgangsstrecke. Der neue Punkt teilt die verlängerte Strecke zu der Ausgangsstrecke im Goldenen Schnitt. Es existieren eine Vielzahl von Konstruktionen, von denen wir die vom amerikanischen Künstler Georg Odom vorstellen wollen, die erst im Jahr 1982 gefunden worden ist. 1. 2. 3. 4. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck. Konstruiere den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft. Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S. Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes. 7 2 Mathematik des Goldenden Schnitts Z C X A a S 2a b B Y Abbildung 5: Äußere Teilung nach dem amerikanischen Künstler Georg Odom Der Beweis kann ebenfalls bei Beutelspacher et al. (1989, S.23) nachgelesen werden und beruht auf dem Strahlen- und Sehnensatz. Darüberhinaus existieren ein Vielzahl weiterer Konstruktion nach Innerer und Äußerer Teilung. Eine Auswahl bieten Beutelspacher et al. (1989, S.21ff); Walser (1996, S.33ff); Wikipedia (2012, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal). 2.2.3 Goldener Zirkel Ein einfaches und komfortables Hilfsmittel zur Konstruktion von Goldenen Schnitten ist der Goldene Zirkel. Das Grundprinzip eines solchen Zirkels ist das einfache Abtragen von Minor und Major. Dabei kann der Zirkel für eine innere und eine äußere Teilung verwendet werden. Die Funktionsweise beruht auf dem Prinzip, dass der Verbindungspunkt der Zirkelschenkel die Schenkel im Goldenen Schnitt teilen. Wir wollen dieses Prinzip an einem Beispiel erläutern. In der Abbildung 7 auf der nächsten Seite ist die schematische Skizze eines Goldenen Zirkels dargestellt. Die Punkte P und Q teilen jeweils die gleichlangen Schenkel AS und BS im Goldenen Schnitt. Weiterhin ist der Zirkel so konstruiert, dass |P T | = |P A| und |QT | = |QB| gilt. Bei Beutelspacher et al. (1989, S.28) kann nachgelesen werden, dass die Punkte A, T, B auf einer Geraden liegen. Dieser Nachweis ist notwendig, da die Konstruktion des Zirkels dies nicht notwendigerweise voraussetzt. Wir beweisen nun, dass der Punkt S die Strecke AB im Goldenen Schnitt teilt. Zunächst sei festgehalten, dass |SP | = |QB| = |T Q| und |SQ| = |P A| = |P T | gilt. Sei nun a die Länge der Schenkel, dann folgt aus: |AP | = |AS| (2.14) a = (Φ + 1) Φ+1 8 (2.5.a) = a Φ2 2 Mathematik des Goldenden Schnitts Quelle: Beutelspacher et al. (1989, S.26) Abbildung 6: verschiedene Modelle eines Goldenen Zirkels S Q P A T B Abbildung 7: schematische Skizze zum Goldenen Zirkel 9 2 Mathematik des Goldenden Schnitts und (2.13) |QB| = a |SB| = Φ Φ die Behauptung |T B| |QB| = = Φ. |AT | |AP | 2.3 Der Goldene Schnitt in Fibonaccis Folge Im Jahr 1202 erschien das Buch Liber abaci von Fibinacci, in dem sich eine Aufgaben findet, die unter dem Namen „Kaninchenproblem“ bekannt ist. Hierbei wurde die Nachkommenschaft eines Kaninchenpaares betrachtet. Dazu ging Fibonacci von drei Annahmen aus: 1. Jedes Kaninchenpaar wird im Alter von 1 Monaten gebärfähig. 2. Jedes paar bringt (von da an) jeden Monat ein neues Paar auf die Welt. 3. Alle Kaninchen leben ewig. Verbildlicht sieht diese Problemstellung wie folgt aus: Abbildung 8: Hasennachkommen nach der Fibonacci-Folge Die Gesamtzahl der vorhandenen Kaninchen lässt sich nun als Folge darstellen. Dabei schreiten die Folgenglieder entsprechend den Monaten voran. Die Bildungsvorschrift lässt sich so formulieren, dass jedes Folgenglied die Summe der beiden vorangehenden 10 2 Mathematik des Goldenden Schnitts Folgeglieder ist. Entscheidend ist hierbei noch, dass die ersten beiden Folgenglieder die 1 sind. Es ergibt sich somit die Folge fn mit den Folgegliedern f1 = 1, f2 = 1, f3 = 2, f4 = 3, f5 = 5, f6 = 8 . . . (2.15) fn+2 = fn+1 + fn (2.16) Allgemein gilt also Solche Folgen mit dieser Bildungsvorschrift werden allgemein als Lucas-Folgen bezeichnet. Dadurch ist die Fibonacci-Folge eine Lucas-Folge mit den beiden Anfangsfolgegliedern f1 = 1 und f2 = 1. Der Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt besteht nun darin, dass sich aus den Folgegliedern der Fibonacci-Folge eine Quotientenfolge bilden lässt. Also die Folge xn der Form xn = fn+1 . fn (2.17) Es lässt sich nun zeigen, dass diese Folge gegen den Grenzwert Φ, also den Goldenen Schnitt, konvergiert. Es gilt daher: lim xn = n→∞ fn+1 = Φ. fn (2.18) Der Beweis kann bei Beutelspacher et al. (1989, S. 94) nachgeschlagen werden. Die ersten 40 Folgenglieder sind im Anhang in der Tabelle 3 auf Seite 26 zu finden. 2.3.1 Formel von Binet Ein weiterer bemerkenswerter Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt ist die Formel von Binet. Mithilfe dieser können die Fibonacci-Zahlen aus dem Goldenen Schnitt berechnet werden. Satz 2.6 (Formel von Binet): Für die n-te Fibonacci-Zahl gilt mit f0 = 0: √ !n # √ !n " 1+ 5 1− 5 fn = − 2 2 n n = [Φ − Ψ ] (2.19) Beweis: Wir folgen dem Beweis aus Lausch (2009, S.16, Satz 1.17). Wir führen eine Induktion nach n durch. Mit √ √ 1−1 (1 + 5) − (1 − 5) √ f0 = √ = 0, f1 = =1 5 2 5 11 2 Mathematik des Goldenden Schnitts folgt, dass die Formel für n = 0 und n = 1 gültig ist. Wir nehmen nun an, dass die Binet-Formel für n − 2 und n − 1 richtig ist. Nach der Rekursionsformel (2.16) ist Φn − Ψn Φn−1 − Ψn−1 Φn−2 − Ψn−2 √ √ √ + = 5 5 5 zu zeigen. Dabei reicht es zu zeigen, dass Φn−1 + Φn−2 = Φn und Ψn−1 + Ψn−2 = Ψn gilt. Dies zeigen wir durch Nachrechnen: √ !n−1 √ !n−2 1+ 5 1+ 5 n−1 n−2 Φ +Φ = + 2 2 √ √ !n−2 " # 1+ 5 1+ 5 +1 = = 2 2 √ !n−2 √ !2 1+ 5 1 + 5 = = 2 2 (2.20) √ !n−2 " √ # 1+ 5 3+ 5 2 2 √ !n 1+ 5 2 = Φn Analog für Ψn−1 + Ψn−2 = Ψn . 2.3.2 Diskussion der Formel von Binet Es existieren weitere, teils sehr überraschende, Beweise von der Binet-Formel (siehe dazu Lausch, 2009, S.18ff,S.31ff). Wir haben den Beweis für eine eventuelle schulische Verwendung gezeigt. Das Bemerkenswerte ist, dass nach (2.19) eine natürliche Zahl als Ergebnis herauskommt. Das Überraschende kommt von der Tatsache, dass Φ manchmal auch als die „irrationalste Zahl“ bezeichnet wird. Dies liegt darin begründet, dass die Kettenbruchdarstellung von Φ durch mehrmahliges Anwenden von (2.5.b) (2.5.b) Φ = 1+ 1 1+ 1 (2.5.b) 1 Φ = 1+ 1 1+ 1+ 1 =1+ 1 Φ (2.21) 1 1+ 1+ 1 1+ 1 .. . die „trivialste“ Darstellung ist. Dadurch überrascht es, dass eine so „komplizierte“ Formel nur natürliche Zahlen produziert. Die Formel von Binet kann noch weiter vereinfacht werden. Mit den Gaußklammern bxc folgt: Φn 1 fn = √ + . 5 2 $ % 12 (2.22) 3 Linearisierung der Potenzen von Φ Die Gaußklammern können für große n ebenfalls noch weiter vereinfacht werden. Als gute Abschätzung folgt für die n-te Fibonacci-Zahl: Φn fn ≈ √ 5 (2.23) Die Fibonacci-Zahl fn ist die nächstgelegende ganze Zahl. 3 Linearisierung der Potenzen von Φ Die Intension dieses Abschnitts ist die Untersuchung der Linearisierung von Φ mit dem Ziel, dieses Prinzip zu verallgemeinern. Im Abschnitt 2 haben wir bereits gezeigt, dass sich das Quadrat von Φ durch (2.5.a) und der Kehrwert durch (2.5.b) linearisieren lassen. Mithilfe dieser Vorschrift können beliebige Potenzen von Φ umgeschrieben werden. Beispiel 3.1: Berechne Φ4 − Φ−2 ! Es gilt: Φ4 − Φ−2 = (3.1) 1 1 · Φ Φ = (Φ + 1)(Φ + 1) − (Φ − 1)(Φ − 1) = [(Φ + 1) − (Φ − 1)][(Φ + 1) + (Φ − 1)] = 2 · 2Φ = 4Φ = Φ2 · Φ2 − (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) Durch mehrmaliges Anwenden von (2.5.a) und (2.5.b) und unter Benutzung von der 3. Binomischen Formel, kann die Aufgabe gelöst werden. Bei nähere Betrachtung lässt sich eine Gesetzmäßigkeit für die Linearisierung feststellen. Dazu untersuchen wir die ersten Potenzen von Φ: Φ1 Φ2 Φ3 Φ4 Φ5 Φ6 = 1 · Φ + 0 = f1 · Φ + f0 = 1 · Φ + 1 = f2 · Φ + f1 = 2 · Φ + 1 = f3 · Φ + f2 = 3 · Φ + 2 = f4 · Φ + f3 = 5 · Φ + 3 = f5 · Φ + f4 = 8 · Φ + 5 = f6 · Φ + f5 .. .. . . Es liegt die Vermutung nahe, dass die Potenzen von Φ sich durch die Fibonacci-Zahlen linearisieren lassen. 13 3 Linearisierung der Potenzen von Φ Satz 3.1: Für den Goldenen Schnitt (2.3) gilt mit den Fibonacci-Zahlen aus (2.15) und f0 = 0: Φn = fn · Φ + fn−1 , n∈N (3.7) Beweis: Wir folgen dem Beweis aus Lausch (2009, S.17, Satz 1.18). Oben haben wir die Formel (3.7) für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 gezeigt und damit ist Satz 3.1 dafür gültig. Für den Beweis ist noch der Induktionsschritt zu zeigen. Nach Induktionsvoraussetzung gilt Φk = fk ·Φ+fk−1 und Φk+1 = fk+1 · Φ + fk . Eine Addition beider Gleichungen liefert: Φk + Φk+1 = (fk + fk+1 )Φ + (fk−1 + fk ) Wenden wir nun Definition (2.16) der Fibonacci-Folge und die Erkenntis (2.20) aus dem Beweis der Binet-Formel an, dann folgt: Φk (Φ + 1) = Φk+2 = fk+2 Φ + fk+1 . Die Formel für Ψ ergibt sich ebenfalls durch eine Induktion nach n. 3.1 Linearisierung in der Mathematik Die Linearisierung ist ein effektives Hilfsmittel, um komplexe Sachverhalte zu beschreiben. Funktionen, die analytisch schwer zu beschreiben sind, können in einer kleinen Umgebungen linearisierst werden, damit ein Zugang für eine nähere Untersuchung möglich ist. In der Differentialgeometrie werden Flächen in kleinen Umgebungen als Ebenen approximiert. In der Nummerik werden Verfahren entwickelt, die ohne Linearisierung nicht möglich sind. Wesentlich für die Physik ist der Satz von Taylor, der Funktion um einen Punkt linearisiert. Dies sind nur einige wenige Beispiele, die auf dem Prinzip der linearen Abschätzung beruhen. 3.2 Besonderheit an der Linearisierung von Φ Das Besondere an Φ und seinen Eigenschaften aus dem Korollar 2.3 ist das Gleichheitszeichen. Bei einer Linearisierung wird die Einfachheit der mathematischen Beschreibung durch einen Fehler erkauft. Doch bei Φ können die Potenzen exakt und ohne Fehler linearisiert werden. Schüler neigen beim Potenzieren dazu den Exponenten als Faktor zu verstehen und produzieren damit falsche Ergebnisse. Diese falsche Vorgehensweise wird zurecht als Falsch geahndet und bestraft. Es wird von Lehrkräften meist mit den Kommentar abgetant, dass solches Vorgehen mathematisch falsch ist. Doch ist die Linearisierung von Φ ein schönes Gegenbeispiel dafür. 14 3 Linearisierung der Potenzen von Φ 3.3 Linearisierung von Potenzen anderer Zahlen In einem forschenden Unterricht stellt sich bei der Untersung der Linearisierung von Φ auf natürlicherweise die Fragen, ob Φ die einzige Zahl, die diese Eigenschaft hat. Dazu wird die Gleichung: x2 = x + n (3.8) mit den Parameter n ∈ N untersucht. Diese Gleichung hat die positive Lösung: √ 1 + 1 + 4n xl (n) = . 2 (3.9) Die ersten sechs Zahlen sind in der Tabelle 1 aufgelistet. Im Anhang sind die ersten 200 Zahlen zu finden. Der Goldene Schnitt die erste nicht-triviale Zahl mit dieser Eigenschaft. Tabelle 1: Die ersten 6 Zahlen nach (3.9), siehe auch Tabelle 4 auf Seite 27 n xl 0 1 2 3 4 5 6 1 1,61803399 2 2,30277564 2,56155281 2,79128785 3 m 1 2 Weitehin fällt auf, dass es auch ganze Zahlen gibt, die diese Gleichung (3.8) erfüllen. Dabei durchläuft der Index-Abstand zwischen zwei ganzen Zahlen aufsteigend die geraden Zahlen. Mathematisch ausgedrückt, gilt für den Abstand der m-ten und (m−1)-ten ganze Zahl: ∆n(gm , g(m−1) ) = 2m. Um diese Tatsache zu beweisen, betrachten wir zunächst die ganzen Zahlen. Dabei stellt sich heraus, dass es eine einfache Formel zur Berechnung der m-te ganze Zahl existiert. Dazu nummerieren wir alle ganzen Zahl mit der Eigenschaft (3.8) mit g1 , g2 , . . . , gi , . . . durch, dann folgt der Satz 3.2: Für die m-te ganze Zahl gm gilt: gm = xl (m(m + 1)) = (m + 1) Der Beweis folgt durch einfaches Einsetzen. 15 (3.10) 3 Linearisierung der Potenzen von Φ Beweis: Aus (3.10) folgt, dass n = m(m + 1) ist. Setzen wir dies in (3.9) ein: xl (n) = 1+ = 1 + 4(m(m + 1)) 1 1+ 2 = q 2 s 4 1 1+2 2 s 1 + m2 + m 4 m+ 1 2 2 1 (2m + 2) 2 =m+1 = Mit diesem Satz können wir nun auch den Index-Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen berechnen. Der Index-Abstand ∆n zwischen der m-ten und (m − 1)-ten ganze Zahl ist: ∆n(gm , g(m−1) ) = m(m + 1) − ((m − 1)m) = m2 + m − m2 + m = 2m Weiterhin sind andere Gleichungen interessant zu untersuchen. Die Frage nach der Lineariserung des Kehrwertes kommt zu ähnlichen Ergebnissen. Durch diese zahlentheoretische Fragen wird ein breites innermathematisches Feld der Forschung bereitgestellt, dass für Schule spannende Impulse bietet. 3.4 Nutzen für die Schule Für die Schule ist die Frage nach der Linearisierung ein interessantes Gebiet der mathematischen Forschung, das nur wenig mathematische Voraussetzung verlangt. Die Fragestellung hat eine elementare mathematische Formulierung und einfach zu begreifende Problematik. Dies ist ein Beispiel für das Feld der Zahlentheorie. Das Besondere ist, dass die Schülerinnen und Schüler mithilfe der quadratischen Lösungsformel selbst die Lösung erkunden können. Die meisten zahlentheoretischen Forschungsfelder haben eine komplexe mathematische Lösung, die nicht für die Schule geeignet ist. Durch den Goldener Schnitt können die Schülerinnen und Schüler selbst mathematisch forschend tätig werden. 16 4 Didaktischer Kommentar 4 Didaktischer Kommentar Der Rahmenlehrplan4 der Sekundarstufe5 I und II stellt klar heraus, dass neben den verschiedenen mathematischen Kompetenzen auch ein Bild der Wissenschaft „Mathematik“ vermittelt werden soll. Im RLP der SEK I6 ist dazu ein Fachprofil der Mathematik gezeichnet. Der RLP der SEK I (2008, S.11) nennt dabei drei wichtige Aspekte der Mathematik: • Mathematik ist eine in vielen Bereichen anwendbare Wissenschaft. Mit mathematischen Strukturen lassen sich Probleme sowohl aus der Wissenschaft und Technik als auch aus dem Alltag erfassen und lösen. • Mathematik ist eine abstrakte, deduktiv argumentierende Strukturwissenschaft. Die Mathematik erschafft und behandelt Objekte sowie Ideen eigener Art und entwickelt Methoden, mit diesen umzugehen. • Mathematik fördert einen Bereich menschlichen Denkens, in dem sich – ob im Alltag oder in der Wissenschaft – die Kreativität und die Problemlösefähigkeit des Einzelnen entfalten. Beide Bereiche der Mathematik, das Abstrakte und das Anwenden, werden betont. Dies soll dabei helfen, die Problemlösefähigkeit der Schülerinnen und Schüler zu entwickeln. Es bleibt also festzuhalten, dass auch die abstrakte Mathematik vermittelt werden soll. Als Ergebnis sollen die Schülerinnen und Schüler verschiedene Fertigkeiten und Fähigkeiten entwickeln, die helfen sollen Erscheinungen aus Gesellschaft, Natur und Kultur mithilfe der Mathematik zu interpretieren. Die Mathematik soll in ihre Anwendung verstanden werden, damit Phänomene verstanden und bewertet werden. Weiterhin soll die abstrakte Mathematik (Mathematik als Struktur) mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Formeln und bildlichen Darstellungen als geistige Schöpfungen verstanden werden und diese zugleich weiterentwickelt werden. Schließlich sollen diese Fähigkeiten gebündelt werden und im Modellieren ihren Abschluss finden. Der RLP nennt diese die „Kreativität im Umgang mit Mathematik“ (vgl. dazu RLP der SEK I, 2008, S.11). Für den Unterricht bedeutet dies, Zugänge und Methoden zu entwickeln, die diese Anforderungen umsetzen. Wir denken, dass mit Mithilfe des Goldenen Schnitts verschiedene geforderten Fertig- und Fähigkeiten gefördert werden. Zugleich werden verschiedene fachbezogene Kompetenzen und prozessbezogene Standards erfüllt. Dabei bietet der Goldener Schnitt eine Vielzahl an Möglichkeiten an Themen des Unterrichts anzuknüpfen. Eine direkte Behandlung wird im RLP nicht gefordert, jedoch ein Lebensweltbezug des Mathematikunterrichts. Der Goldener Schnitt stellte einen solchen Bezug her. In der Tabelle 2 werden wir kurz darlegen, welche Themen und Inhalte mit dem Goldener Schnitt bereichert werden können. 4 Im Folgenden nur noch kurz mit „RLP“ bezeichnet. Im Folgenden nur noch kurz mit „SEK“ bezeichnet. 6 Landesinstitut für Schule und Medien Berlin-Brandenburg, 2008. 5 17 5 Fazit Tabelle 2: Themen und Inhalte für den Goldenen Schnitt Jahrgang Thema/Inhalt Leitidee Verwendung 7/8 Mit Variablen, Termen und Gleichungen Probleme lösen Zahl Lösung inner- und außermathematische Probleme mithilfe Variablen und Gleichungen Reale Situationen mit linearen Modellen beschreiben Funktionaler Zusammenhang, Zahl Mathematisierung der Fibonnaci-Folge & Goldener Schnitt Ebene Figuren konstruieren und berechnen Messen, Raum und Form Entdecken & Erkunden von Eigenschaften ebener Figuren Neue Zahlen entdecken Zahl Erkundung & Begründung irrationalen Zahlen, Verständnis durch Näherungsverfahren 9/10 Im Seminar haben wir mithilfe der Arbeitsblätter probiert diese Aspekte zu berücksichtigen. Die Intension der Arbeitsblätter ist ein Durchdringen der Materie um ein Gefühl für den Goldener Schnitt zu erlangen. Die Arbeitsblätter sind im Anhang auf den Seiten 21 bis 24 zu finden. 5 Fazit Es bleibt festzuhalten, dass das Thema „Goldener Schnitt “ ein Vielzahl von Mölichkeiten für eine unterrichtliche Verwendung bietet. Von geometrischen Überlegungen, über zahlentheoretische Untersuchungen bis zur Erkundung der Natur und Umwelt ist ein breites Spektrum an Anknüpfungspunkten vorhanden. Der RLP fordert keine explizite Verwendung des Goldenen Schnittes, jedoch eignet er sich7 aufgrund der einfachen mathematisch und geometrisch ersichtlichen Eigenschaften für eine Verwendung im Unterricht. Die gesellschaftliche Bedeutung des Goldenen Schnittes legitimiert ebenfalls eine Behandlung. Der Goldener Schnitt war und ist Gegenstand medialer Dokumentation und erreicht dadurch die Schülerinnen und Schüler auch außerhalb der Schule. Ein weltnaher Mathematikunterricht knüpft an den Lebenserfahrungen der Schülerinnen und 7 Zumindestens für geometrische Betrachtungen 18 5 Fazit Schüler an und behandelt diese fundiert mathematisch. Der Goldener Schnitt ist aufgrund der genannten Gründe eine vielschichtige Möglichkeit diese Forderung zu erfüllen. 19 Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis Barzel, B., Büchter, A. und Leuders, T. (Aug. 2007): Fachmethodik: Mathematik-Methodik: Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Verlag Scriptor. Beutelspacher, A. und Petri, B. (1989): Der Goldene Schnitt. Mannheim, Wien, Zürich: Bibliographisches Institut, Büchter, A. und Leuders, T. (Feb. 2005): Praxisbuch - Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Cornelsen Verlag Scriptor. Landesinstitut für Schule und Medien Berlin-Brandenburg (2006): Rahmenlehrplan für den Unterricht in der gymnasialen Oberstufe im Land Brandenburg. Mathematik. Hrsg. von Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg. Rahmenlehrplannummer 403002.06. Landesinstitut für Schule und Medien Berlin-Brandenburg (2008): Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe I Jahrgangsstufen 7 – 10. Mathematik. Hrsg. von Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg. Rahmenlehrplannummer 303001.08. Lausch, H. (Nov. 2009): Fibonacci und die Folge(n). Oldenbourg Wissenschaftsverlag. Lengnink, K., Prediger, S. und Weber, C. (Aug. 2011): „Lernende abholen, wo sie stehen – Individuelle Vorstellungen aktivieren und nutzen“. In: Praxis der Mathematik in der Schule (PM), Jg. 53 (2011), Nr. 40, S. 2–7. Leuders, T. (Aug. 2003): Fachdidaktik: Mathematik Didaktik: Praxishandbuch für die Sekundarstufe 1 und 2. Cornelsen Verlag Scriptor. Leuders, T., Hußmann, S., Barzel, B. und Prediger, S. (Feb. 2011): „Das macht Sinn! – Sinnstiftung mit Kontexten und Kernidenn“. In: Praxis der Mathematik in der Schule (PM), Jg. 53 (2011), Nr. 37, S. 2–9. Walser, H. (Sep. 1996): Der Goldene Schnitt. Teubner Verlag. Wikipedia (2012): Goldener Schnitt — Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. [Online; Stand 2. Mai 2012]. url: http : / / de . wikipedia . org / w / index . php ? title = Goldener _ Schnitt&oldid=102748120 (besucht am 02. 05. 2012). Worobjow, N. (1954): Die Fibonaccischen Zahlen. Verlag der Wissenschaften. Gesetzt mit LATEX Anhang 20 A AB Gruppe 1 - Konstruktion Geometrische Konstruktion zum goldenen Schnitt Fertige in den folgenden Aufgaben entsprechend der angegebenen Schritte ein Konstruktion mit Zirkel und Lineal an und beweise jeweils im zweiten Teil, dass es sich wirklich Goldenen Schnitt um eine Teilung gemäÿ dem handelt. 1 Innere Teilung nach Euklid (ca. 525 v. Chr.): Die Strecke AB der Länge a soll gemäÿ dem 1. Errichte über dem Punkt 2. Der Kreis vom Radius cke AC A Goldenen Schnitt eine Senkrechte der Länge CB mit Mittelpunkt C D. a 2 geteilt werden. mit Endpunkt C. schneidet die Verlängerung der Stre- in einem Punkt 3. Der Kreis um den Punkt hältnis des A mit dem Radius Goldenen Schnittes . Konstruktion: Beweis: 21 AD teilt nun die Streke AB im Ver- A AB Gruppe 1 - Konstruktion 2 Äuÿere Teilung nach George Odom (1982): 1. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck 2. Die Punkte A und 3. Die Mittelparallele die Strecke AB im S ∆XY Z und den dazugehörigen Umkreis. seinen die Mittelpunkte der Seiten AS XZ und schneidet den Umkreis in einem Punkt Goldenen Schnitt C Y Z. und B, so dass teilt. Konstruktion: Beweis: Die Seitenlänge des Dreiecks Hinweis: Der Sehnensatz besagt: ∆XY Z sei hierzu 2a. AS · CS = BS · DS 3 Worin besteht der Unterschied zwischen der inneren und der äuÿeren Teilung? 22 S B AB Gruppe 2 - goldener Zirkel Der goldene Zirkel 1 Architektur, Kunst, . . . Da dem Goldenen Schnitt eine überaus groÿe Harmonie innewohnt, ndet sich dieses Verhältnis häug in der Architektur oder der Kunst wieder. Aufgabe 1: Suche die Zeichnungen mit Hilfe des goldenen Zirkels nach dem Goldenen Schnitt ab und halte das, was dir auällt, in von dir angefertigten Skizzen der Bilder fest. Aufgabe 2: Nicht nur in Kunst und Architektur ndet sich der Goldene Schnitt wieder, sondern auch in der belebten Natur, bei Panzen, Tieren und sogar dem Menschen. Nutze auch hierzu wieder den goldenen Zirkel mit deiner Gruppe um Proportionen des menschlichen Körpers auf den Goldenen Schnitt hin zu untersuchen. 23 C AB Gruppe 3 - Eigenschaften von Phi Eigenschaften von Φ Auf diesem Blatt wird es etwas theoretisch werden. Ihr sollt beweisen, dass die bereits angesprochenen Eigenschaften von Φ wirklich gültig sind. Dies ist von groÿer Bedeutung. Die anderen Gruppen müssen eventuell bei ihren Aufgaben auf diese Eigenschaften zurückgreifen, dabei wissen sie jedoch nicht, ob sie dies so einfach dürfen. Sie haben die Aussagen schlieÿlich nicht auf ihre Gültigkeit überprüft. Diesen wichtigen Job übernehmt ihr. Zur Erinnerung: Wir haben bereits gemeinsam einen Wert für √ (1 + 5) Φ= ≈ 1, 61803... 2 Aufgabe 1): Beweise die folgenden Aussagen über die Zahl Eigenschaft 1): Φ2 = Φ + 1 1 Eigenschaft 2): Φ Eigenschaft 3): =Φ−1= Φ+ 1 Φ = √ √ ( 5−1) 2 5 24 Φ ermittelt: (1) Φ. C AB Gruppe 3 - Eigenschaften von Phi Nachdem ihr erfolgreich die Gültigkeit der Eigenschaften von Gruppen gezeigt habt, soll euer Umgang mit Φ Φ für eure und die anderen und seinen Eigenschaften noch etwas gefestigt werden. Aufgabe 2): Wie haben eine Strecke AB der Länge a, die in einem Punkt S gemäÿ dem Goldenen Schnitt geteilt wird. Den so entstandenen gröÿeren Abschnitt bezeichnen wir mit kleineren entsprechend mit Stelle die Zahl Φ+1 M , den m. als ein Verhältnis von Streckenabschnitten dar. Zu den Streckenab- schnitten kann auch die Strecke selbst gehören. Aufgabe 3): Berechne Φ4 − Φ−2 . Nutze hierzu insbesondere die wichtige Erkenntnis aus der ersten Aufgabe, dass du alle rationalen Ausdrücke in kannst. 25 Φ als lineare Ausdrücke in Φ schreiben C AB Gruppe 3 - Eigenschaften von Phi Tabelle 3: Die ersten 40 Fibonacci-Zahlen und Glieder Fibonacci-Quotientenfolge (2.17) n fn fn+1 fn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 1 2 2 1,667 2 1,625 1,615384615384620 1,619047619047620 1,617647058823530 1,618181818181820 1,617977528089890 1,618055555555560 1,618025751072960 1,618037135278510 1,618032786885250 1,618034447821680 1,618033813400130 1,618034055727550 1,618033963166710 1,618033998521800 1,618033985017360 1,618033990175600 1,618033988205320 1,618033988957900 1,618033988670440 1,618033988780240 1,618033988738300 1,618033988754320 1,618033988748200 1,618033988750540 1,618033988749650 1,618033988749990 1,618033988749860 1,618033988749910 1,618033988749890 1,618033988749900 1,618033988749890 1,618033988749900 1,618033988749890 26 C AB Gruppe 3 - Eigenschaften von Phi Tabelle 4: Die ersten 200 Zahlen nach (3.9) n xl n xl n xl n xl n xl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1,61803399 2 = g1 2,30277564 2,56155281 2,79128785 3 = g2 3,1925824 3,37228132 3,54138127 3,70156212 3,85410197 4 = g3 4,14005494 4,27491722 4,40512484 4,53112887 4,65331193 4,77200187 4,88748219 5 = g4 5,10977223 5,21699057 5,32182538 5,4244289 5,52493781 5,62347538 5,72015325 5,81507291 5,90832691 6 = g5 6,09016994 6,17890835 6,2662813 6,35234996 6,43717104 6,52079729 6,60327781 6,68465844 6,76498204 6,84428877 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 6,92261629 7 = g6 7,07647322 7,15206735 7,22681202 7,30073525 7,37386354 7,44622199 7,51783442 7,58872344 7,65891053 7,72841615 7,79725976 7,86545993 7,93303437 8 = g7 8,06637298 8,13216876 8,19740216 8,26208735 8,32623792 8,38986692 8,45298686 8,51560977 8,57774721 8,6394103 8,70060973 8,76135582 8,82165849 8,88152731 8,94097151 9 = g8 9,05862138 9,11684397 9,17467579 9,2321246 9,28919792 9,34590301 9,40224691 9,45823643 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 9,51387819 9,56917857 9,6241438 9,67877988 9,73309266 9,78708781 9,84077085 9,89414711 9,94722181 10 = g9 10,0524866 10,1046864 10,156604 10,2082439 10,2596106 10,3107084 10,3615415 10,4121138 10,4624294 10,5124922 10,5623059 10,6118742 10,6612007 10,7102889 10,7591423 10,8077641 10,8561576 10,904326 10,9522725 11 = g10 11,0475116 11,0948101 11,1418983 11,1887792 11,2354553 11,2819293 11,3282039 11,3742816 11,4201648 11,4658561 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 11,5113578 11,5566722 11,6018017 11,6467484 11,6915146 11,7361025 11,7805142 11,8247517 11,868817 11,9127122 11,9564392 12 = g11 12,0433964 12,0866302 12,1297033 12,1726175 12,2153745 12,257976 12,3004237 12,3427193 12,3848643 12,4268604 12,4687092 12,5104121 12,5519708 12,5933866 12,6346611 12,6757957 12,7167917 12,7576507 12,7983739 12,8389627 12,8794184 12,9197423 12,9599358 13 = g12 13,0399362 13,0797456 13,1194295 13,1589889 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 13,1984251 13,2377392 13,2769323 13,3160056 13,3549601 13,393797 13,4325172 13,4711218 13,5096118 13,5479884 13,5862523 13,6244047 13,6624466 13,7003788 13,7382023 13,775918 13,813527 13,8510299 13,8884278 13,9257216 13,962912 14 = g13 14,0369864 14,073872 14,1106576 14,1473441 14,1839322 14,2204227 14,2568165 14,2931142 14,3293167 14,3654246 14,4014388 14,4373599 14,4731886 14,5089257 14,5445719 14,5801278 14,6155942 14,6509717 27
