1. Klausur 12/I

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10.10.11
1. Klausur 12/I
Thema: lGS, Vektorrechnung, Geraden und Ebenen
a =
1. Untersuchen Sie, ob die Vektormenge { a , b , c } mit 

b
=
   
1
1 , c
−2
=
 
A
−1
0
3
,
−3
2
22
linear abhängig oder linear unabhängig ist.
Bilden die Vektoren eine Basis des ℝ³?
Geben Sie einen Vektor an, der im von Vektor a und b erzeugten
4 BE
Unterraum des ℝ³ liegt und beschreiben Sie den von a und b erzeugten
Vektorraum.
3 BE
2. Gegeben ist folgendes Erzeugendensystem:
    
2
1
1
3
1 , 0 , −2 , 2
.
3
−1
−11
6
5
0
−10
8
Welche Dimension hat das Erzeugendensystem? Weisen Sie die Richtigkeit
Ihrer Aussage nach1.
7 BE
Geben Sie eine Basis dieses Raumes an.
1 BE
3. Im ℝ³ ist die Gerade g: x =
  
−1
1
3
1
  4
2
mit λ ∈ ℝ gegeben.
a) Berechnen Sie die Durchstoßpunkte von g mit den Ebenen2, die durch
die Koordinatenachsen gebildet werden.
4 BE
b) Stellen Sie die Gerade g in einem Koordinatensystem anhand der
Durchstoßpunkte dar.
3 BE
1 Beschreiben und erklären Sie Ihr Vorgehen und Ihre Überlegungen.
2 (Koordinatenebenen)
©F. Müller
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  
12
156
30  s⋅ 390 eine
48
624
Parametergleichung, in welcher die Koordinaten des Richtungsvektors
teilerfremde ganze Zahlen sind und die Koordinaten des Stützvektors
kleinere Beträge haben.
2 BE
a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Punkt P(-27 | -67,5 | -108) auf der
Geraden liegt.
2 BE
b) Geben Sie alle diejenigen Punkte an, die auch auf der Geraden liegen und
die zu P den Abstand 100 LE haben.
3 BE
5. Durch die Punkte A(1 | 2 | -1), B(5 | -2 | 5) und C(3 | 0 | 4) ist das
Dreieck ABC gegeben.
a) Bestimmen Sie die Mittelpunkte M BC , M AC , M AB der Seiten a, b und
c.
3 BE
b) Zeichnen Sie das Dreieck in ein kartesisches Koordinatensystem ein.
3 BE
c) Geben Sie jeweils eine vektorielle Gleichung der Seitenhalbierenden des
Dreiecks an3.
3 BE
d) Weisen Sie vektoriell nach, dass die Seitenhalbierenden des Dreiecks sich
in genau einem Punkt S schneiden und das für S gilt:



 = OA  OB  OC .
4 BE
OS
3
4. Bestimmen Sie für die Gerade g: x =
Pkt 15 14 13 12 11 10
ab …
9
8
7
6
5
4
3
2
1
BE 41 39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 16 13 10
Tabelle 1: Bewertungsmaßstab
3 Seitenhalbierenden sind die Geraden durch einen der Mittelpunkte und dem
gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreicks.
©F. Müller
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1. Klausur 12/I
Thema: lGS, Vektorrechnung, Geraden und Ebenen
a =
1. Untersuchen Sie, ob die Vektormenge { a , b , c } mit 

b
=
   
1
1 , c
−2
=
 
B
−1
0
3
,
−3
2
12
linear abhängig oder linear unabhängig ist.
a) Bilden die Vektoren eine Basis des ℝ³?
4 BE
b) Geben Sie einen Vektor an, der im von Vektor a und b erzeugten
Unterraum des ℝ³ liegt und beschreiben Sie den von a und b erzeugten
Vektorraum.
3 BE
2. Gegeben ist folgendes Erzeugendensystem:
    
1
2
1
3
1 , 0 , −2 , 1
.
4 −2
−11
3
5
0
−10
4
a) Welche Dimension hat das Erzeugendensystem? Weisen Sie die
Richtigkeit Ihrer Aussage nach4.
b) Geben Sie eine Basis dieses Raumes an.
3. Im ℝ³ ist die Gerade g: x =
  
−1
1
3
1
  4
2
7 BE
1 BE
mit λ ∈ ℝ gegeben.
a) Berechnen Sie die Durchstoßpunkte von g mit den Ebenen5, die durch
die Koordinatenachsen gebildet werden.
4 BE
b) Stellen Sie die Gerade g in einem Koordinatensystem anhand der
Durchstoßpunkte dar.
3 BE
4 Beschreiben und erklären Sie Ihr Vorgehen und Ihre Überlegungen.
5 (Koordinatenebenen)
©F. Müller
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  
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30  s⋅ 390 eine
48
624
Parametergleichung, in welcher die Koordinaten des Richtungsvektors
teilerfremde ganze Zahlen sind und die Koordinaten des Stützvektors
kleinere Beträge haben.
2 BE
5. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Punkt P(-27 | -67,5 | -108) auf der
Geraden liegt.
2 BE
6. Geben Sie alle diejenigen Punkte an, die auch auf der Geraden liegen und
die zu P den Abstand 400 LE haben.
3 BE
7. Durch die Punkte A(1 | 2 | 0), B(5 | -2 | 6) und C(3 | 0 | 5) ist das
Dreieck ABC gegeben.
a) Bestimmen Sie die Mittelpunkte M BC , M AC , M AB der Seiten a, b und
c.
3 BE
b) Zeichnen Sie das Dreieck in ein kartesisches Koordinatensystem ein.
3 BE
c) Geben Sie jeweils eine vektorielle Gleichung der Seitenhalbierenden des
Dreiecks an6.
3 BE
d) Weisen Sie vektoriell nach, dass die Seitenhalbierenden des Dreiecks sich
in genau einem Punkt S schneiden und das für S gilt:



 = OA  OB  OC .
4 BE
OS
3
4. Bestimmen Sie für die Gerade g: x =
Pkt 15 14 13 12 11 10
ab …
9
8
7
6
5
4
3
2
1
BE 41 39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 16 13 10
Tabelle 2: Bewertungsmaßstab
6 Seitenhalbierenden sind die Geraden durch einen der Mittelpunkte und dem
gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreicks.
©F. Müller
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