gert smolka einige ergebnisse vollständigkeit der beweisprozedur

~
SMOLKA
GERT
EINIGE
VOLLSTÄNDIGKEIT
VON
ZUR
ERGEBNISSE
DER
BEWEISPROZEDUR
KOWALSKI
DIPLOMARBEIT
FAKULTÄT
BETREUT
VON
FÜR INFORMATIK,
P. DEUSSEN
UNIVERSITÄT
UND J. H. SIEKMANN
KARLSRUHE,
JULI
1982
~
I N
H
AL
T
............................................
EINLEITUNG
1 VORBEREITUNGEN
1.1
2
4
........................................
.....
Sprache
des
5
...............
Resolutionskalküls
8
11
1.4
.......................
Klauselmengen
Der
Der Resolutionskalkül............................
Resolutionsk
............................
1.5
Konfluente
Konfluente
15
Unifikation
1.3
;:,eman{:'~K
Semantik
...
..............................
6
........
1.2
VUIl
von
1\.~clU::>~~1U~IlY~Il
Kla
Relationen
Relat
2.1
Klauselgraphen
Klauselgraphen
2.2
Die
Die
2.3
Die
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..................
. .........
........
,...................
...................................
OWALSKI-KALKÜL
DER KOWALSKI-KALKÜL
...................................
.......................
'Ir-Reduktion
w-Reduktion
13
17
............
19
..................................
..................................
25
27
2.5
..........
.............................
Die Faktorisierungsregel
.........................
.........................
Ableitungen
......................................
......................................
2.6
Filter
43
2.7
Tautologien
2.8
Subsumtion
2.9
Anmerkungen
2.4
3
Die
1
KONFLUENZ
Resolutionsregel
37
39
...........................................
......................................
.......................................
.......................................
und
.........................
und Verweise
Verweise
.........................
......................................
BEI AUSSAGENLOGISCHEN KLAUSELMENGEN
48
52
56
.........
59
...........
61
Die AE-Entscheidungsprozedur
67
Der Konfluenzsatz
.....................
..........
................................
72
3.1
Die Invarianz
3.2
3.3
VOLLSTÄNDIGKEIT
der
BEI
Eigenschaft
spannend
UNÄREN KLAUSELMENGEN
.
81
4.1
4.2
4.3
4.4
..........................
Unäre Klauselmengen
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Projektionen
..........
....................................
Ein Kriterium
volls'
für vollständige
Filter
............
Reduzierte
Klauselbäume
LITERATURVERWEISE
SACHVERZEICHNIS
SYMBOLVERZEICHNIS
.....................................
84
93
101
110
115
.......................................
119
.
125
Binet
geln
lächelte
und
zustände,
schien
die
vermitteln
mit
versunken
können,
die
nur
keine
und geweiteten
einen
jener
durch
und ihn
weiteren
Nasenflü-
vollkommenen
anspruchslose
den Geist
anregen
das
Kopf
in
zweifellos
de Schwierigkeiten
nern Resultat,
gesenktem
Glücks-
Beschäftigungen
leicht
völlig
zu überwinden-
befriedigen
Wünsche
mehr
ei-
schafft.
Aus Gustave
"Madame
mit
FLAUBERTs
Bovary"
~
L E I T U N G
EIN
Das automatische
etwa
zwanzig
dem Gebiet
rithmen
Jahren
der
Theoreme
intensiv
die
fahrungen
nicht
mit
den von
J.A.
Kalkül
ist
einem
Rechner
dieser
wartungen
durch,
für
Versuche
der
frühen
daß ein
den Logikkalkül
die
inhaltliches
Gebiet
nente
viele
trixkalküle
Die
ruher
Connection
des
/BEH55W8l/
Diese
können.
Trotz
der
die
zugrunde
der
liegt,
Versuche
von 5IEKMANN und 5TEPHAN /5576,5580/
Dutzende
implementiert.
Da
euphorischen
die
Er-
Erkenntnis
verfügen
über
für
das
die
muß,
mathematische
Deduktionskompo-
Paramodulation,
eines
Ma-
Automatischen
vorher
von
Deduktionskomponente
wurde
unterscheidet
besonders
der
Dieser
Absichtserklärunaen.
Beweisprozedur
viele
Er-
Deduktionskomponente,
(Resolution,
Wissenskomponente
Procedure,
Resolutionskalküls
Während
vorliegen
allem
wurden
die
der
Re-
Implementierung
Wissenskomponente
stammt.
die
die
und
Beweismethoden
Theorem
vor
Proof
des Ableitungsprozesses
werden
spezifische
man für
heute
eine
interessante
dominiert.
sich
neben
ei-
ab 1965 durch
Dekade
das
Algo-
enttäuschenden
für
setzte
Beweisprogramm
über
ersten
speziell
erfüllte,
und Ergebnisse
Graph
/Ko75/.
feinerungen
Jahre
dem das
Beweissystems
publiziert
sechziger
auf
zukünftigen
/R065/
folgenden
Beweissystem
Diziplin
für
auf
seit
Theorie
Entwicklung
führte,
aus
bis
die
zu einem
findet
;pdoch
der
wird
HERBRAND /He29/
auch
entwickelt
und
Konzepte
wurde
In
eigene
benötigen
Nach den
die
Computer
formalisierbaren
den Resolutionskalkül
Wissen
usw.),
Bpwpi~pr~
wurden.
implementiert,
einbringt,
seit
Resolutionskalkül
leistungsfähiges
die
eine
daß sie
Logikkalküle,
entworfen
heute
einer
werden.
ROBINSON entwickelten
von Verfeinerungen
keiner
sein
ersten
einen
Beweisprozeduren
HERBRAND-Prozeduren
der
durch
sind
Satz
Rechenschritte,
realisierbar
einer
ist
Zwar
gültigen
diese
viele
diesen
und
Intelligenz.
aber
so ungeheuer
Sätze
erforscht
zu jedem
berechnen,
chenanlagen
mathematischer
Künstlichen
bekannt,
nen Beweis
auf
Beweisen
dadurch,
erzeugten
BROWN /Br76/,
ist
das
1975
sich
von
Klauseln
BIBEL
Robert
von
daß mit
des KarlsKOWAL5KI
den anderen
Ver-
dem Fortschreiten
wieder
/Bi8la,
Vollständigkeitsproblem
gelöscht
Bi8lb/
und
der
Con-
2
nection
Graph
zugrunde
Proof
Procedure
liegenden
nicht
"KOWALSKI-Kalkül"
de unerfüllbare
Klauselmenge
Die
Arbeit
vorliegende
bisher
mit
gelöst:
eine
der
untersucht
Es ist
Suchstrategie
Erzeugung
dieses
der
Problem
offen,
ob für
existiert,
leeren
und
die
Klausel
liefert
den
für
je-
terminiert.
die
folgenden
Lö-
sungsbeiträge:
(1)
Für
Beweisen
die
Klasse
von
großer
konnten
wir
für
Vollständigkeit
die
Dieses
Link,
alle
ten
wieder
ist.
Dies
/Bi81c/
auch
löst
und die
auch
werden
kann.
Für
daß die
Fall
die
mehr
werden.
das
für
in
die
aussagenlogische
die
!Bi8lc!,
einer
wieder
abgeleitet
trachten
Konzept
präzise
unsere
wir
Klauselmengen
(d.h.,
endlich
obigen
der
jeder
vielen
Schrit-
vollständig
wir
mit
aus
einer
neuen,
so verallgemeinern
allgemeine
läßt,
Klauselmengen
Gegenbeispiele
erwarteten
bei
unein-
Einschränkung
Ergebnisse
an.
an,
und von
uns
aussagenlogischen
die
für
ge-
zeigen,
den unären
Klauselmengen
stärkere
Subsumtionselimination
ist,
werden
kann,
d.h.,
ist.
Wir
daß
einer
mit
zeigen
der
jeder
Graph,
für
der
Klauselmenge
in
dieser
Konfluenz,
unerfüllbaren
der
Re-
vorsieht,
aussagenlogischen
Eigenschaft
Graphen
wenn man bestimmte
Arbeit
d.h.,
aus
abge-
die
daß jeder
aussagenlogischen
Resolutionsregel
für
Klauselgra-
ist.
und das
Rahmen für
mit
unerfüllbaren
unerfüllbar
Nach den Vorbereitungen
Konzepte
Kriterium
Tautologie-Eliminationsregel
für
schon
ein
Klauselmengen
daß der KOWALSKI-Kalkül,
dem initialen
ehen widerleqbar
alle
nach
widerlegbare
Fall
wir
erschöpfende
wird
geben
allgemeinen
interessante,
Klauselmenge
unär
voraussichtlich
konsistent
kann,
Kalkül
sich
Klauselmengen
leitet
aus
jede
die
und die
Graphen
der
zeigen
Tautologie-
dem initialen
eigentlich
daß
einschließt,
sind.
für
werden
widerlegbaren
wenn die
Eigenschaften
erfüllt
striktionen
Graph,
Wir
geben
unär
Vollständigkeitsproblem
den
BIBEL zeigt
(3)
Fall,
im Automatischen
mit
bei
unär
Tautologieelimination
bisher
anderem
Subsumtions-Eliminationsregel
nachgewiesenen
nicht
für
die
HORN-Mengen
repräsentiert,
Beweistechnik,
ihr
(2)
Strategien
der
die
Unter
insbesondere,
dann
Klauselmengen,
und die
klären.
Strategie
angewendet
daß mit
Fragen
Resolution
gelöscht)
transparenten
ist
von
unäre
ist
widerlegbaren
Bedeutung
liefert
eine
geschränkt
unär
offenen
Kriterium
der
der
eine
in
des
und
Filters
formal
und weitere
neue
Kapitel
Variante
1 führen
ein.
Dabei
zu definieren
Untersuchungen
der
wir
in
haben
Kapitel
wir
und einen
2 den KOWALSKI-
Wert
darauf
breiten
zu schaffen.
Klauselgraph-Resolutionsregel,
In
gelegt,
begrifflichen
dieser
Arbeit
die
i.a.
be-
3
weniger
Links
/Ko75/,
BRUGNOOHE /Br75/,
ten
unsere
Neben der
2.7)
erzeugt
Ergebnisse
wir
wir
die
Konfluenzsatz
bisher
/Ko79/
auch
für
(3).
Klauselmengen
blems.
Die
gebnis
interessierte
Kapitel
kann.
auch
die
ausführlich
für
Schließlich
Leser
BIBEL
bisherigen
nach
von KOWALSKI
/Bi8la,
Bi8lc/.
Natürlich
Versionen
der
Resolutionsregel.
Gegenbeispiele
(2)
finden
sich
die Subsumtionselimination.
betrachten
4 sind
Versionen
aussagenlogische
und entwickeln
3 und
vorgeschlagen
und von
{die
Ergebnisse
unären
übergehen
die
Tautologieelimination
betrachten
sammeln
als
die
Klauselmengen
wir
in
Lösung
voneinander
In
Kapitel
des
unären
unabhängig,
dem Studium von Kapitel
in
gel-
Abschnitt
Kapitel
und zeigen
4 den
3
den
Sonderfall
der
Vollständigkeitsproso daß der
2 sofort
am Haupter-
zu Kapitel
4
KAP
I TEL
VOR
B E R E I TUN
In
diesem
1
Kapitel
tionskalküls
stellungen
definieren
und zitieren
des
als
logischer
auf
den frühen
ten
Abschnitt
wir
die
die
für
wurde
Rahmen für
Arbeiten
stellen
die
Elemente
findet
/Ni7l/,
von
man in
J.A.
einige
gedacht.
über
Resolu-
Methodisch
konfluente
Dar-
und /Lo78/.
formuliert
und HERBRAND /He29/
Ergebnisse
des
Ausführliche
/CL73/
ROBINSON /Ro65/
Beweiser
SKOLEM /Sk28/
noch
für
Ergebnisse.
automatische
von
wir
1965
Notationen
uns wichtigen
Resolutionskalküls
Der Resolutionskalkül
zusammen.
GEN
auf.
und ist
baut
er
Im letzRelationen
6
Die
1.1
Sprache
des
1.1.1
Variablensymbole.
z,
v,
u,
wir
mit
bole
w,
Resolutionskalküls
Die
xl"'"
wI'
x2""
für
für
Variablensyroböle
e,
d,
1.1.3
al"'"
Funktionssymbole.
nutzen wir
n:
benutzen
1.1.5~.
Für;n
ftl...tn
Metasymbole
für
1.1.6~.
ein
dann ist
Literale.
Literale
hn,
die
f~,
heißen
bezeichnen
Ordnung.
Metasym~
Konstantensymbole:
benutzen
wir
folgenden'
g~, h~,
a,
a.
Sym1::ioleFünktionssyta"'
f~,...
. Als Metasymbol
0 heißen die tolgeng.en
n
n
n
n
n
Q , R , S , T , PI"'"
und tl"'"
Die
s und
tn
Menge aller
be-
Symböle
n
Tl'
Prädikaten-
n
P2""
. Als Me-
Terme
Terme
sind
Terme.
sind,
dann
bezeichnen
Wenn fein
ist
wir
die
mit
Zei-
TERME.
t.
n-ste11iges
Zeichenreihe
Prädikatensymbol
Pt1...tn
ein
ist
und t1"'"
tn Ter-
Atom. Metasymbole
für
Atome
N.
Atome
-K ein
sind
Literal.
Literal
wir
mit
ist,
bezeichnen
Literale.
Wenn K ein
Das Symbol
E.
- heißt
Metasymbole
bezeichnen
L und K heißen
ist,
ist
sind
die
bezeichnen
Wenn Lein
Symbole
oder Konstantensymbole
Term.
Terme
K, L, Mund
Literale
y,
P.
Wenn Pein
chenreihe
teral
n:
wir
Z.
n
P,
Funktionssymbol
chenreihe
1.1.7
alphab~tische
Metasymbol
gn,
Variablensymbole
n-stelliges
sind
Variablensymbole
x,
f.
..
symbole der Stelllgkelt
me sind,
obige
n..: 1 heißen
in,
1. L 4 Prädikatensymbole.
tasymbol
die
Variablensymbole:
Y.
. Als
Für
heißen
Menge aller
folgenden
a2"'.
bole der Stelligkeit
sie
sind.X,
Die
dl'
Symbole
. Die
VAR und vereinbaren
1.1.2Konstantensymbole.
b,
folgenden
wir
komplementär,
wir
mit
L das
Atom
ist,
dann
Negationssymbol.
für
Literale
mit
ILI
das
wenn
ILI
= IKI
eindeutig
ist
Die
sind
K,
zu L gehörende
und LfK.
bestimmte
die
Zei-
Menge aller
L,
Mund
N.
Atom.
Zwei
Wenn Lein
Li-
komplementäre
Literal
zu L.
1.1.8
Klauseln.
Eine
endliche,
eventuell
leere
Menge von
Literalen
heißt
Klau-
7
seI.
Die
leere
ge aller
Klausel
Klauseln
und E. Mit
Ici
ne Klausel
heißt
komplementär
1..1.9
Ausdrücke.
wir
Eine
Metasymbol
1.1.11
1.1.11
Varianten.
niert:
C ist
Die
Varianten
nicht
vorkommt,
aussagenlogisches
alle
Literale
in
wenn alle
1.1.13
1.1.13
Schreibweise.
Kontext
ergibt:
Gelegentlich
len
dadurch
durch
ben wir
ist,
kurz
dann ist
Für
Funktions-
ein
negatives
Wir
die
'ennen,
trennen,
C-~L
: = C - {L}
';';:L:=C-{L}
Die
nullstelligen
L heißt
von
von
die
wie
C
C ist
ist
die
Klauselmenge
Für
definiert.
folgt
defi-
und
und X
X ein
ein
man aus
Y,-..ßas
D erin
D
D
wenn
ILI
wenn
S heißt
aussagen-
sind.
dafür,
lassen
daß er
schreiben
Funktions-
Unterterme
tab
fab
dem kein
aussagenlogisch,
~Ptl...tn
von
wir
Prädikatensymbole
Cheißt
Eine
t
Klau-
in
aussagenlogisch,
in
Eine
. Eine
.
Ll...Ln
.. Wenn
LI . ...Ln
. Ln
Wenn C
c eine
..
rekursiv
Variablensymbol
weg und sorgen
f (a,b) I statt
statt
f(a,b)
f(a,b)
Zeichenreihe
Ausdruck,
Klausel,
c.
Literal
eine
bezeichnen
und Prädikatensymbolen
St~-1ligkei
daß
daßß wir
wir
z.B.
ein
Saussagenlogisch
Hochindex
ent-
ground
ground expression).
Variante
Variante
die
Klausel
Literal
entsprechend
von
sind.
Bei
zum Ausdruck,
Ausdruck,
als
X durch
Eine
in
bringen
Kommata
ist.
Klauseln
angebenden
Ein
C sind
ist
zueinander
oder
Var(A)
(eng1:
(engl:
Ein Literal
C aussagenlogisch
logisch,
Stelligkeit
von
Atome.
Atom
Mit
Klausel
dann
C. Ei-
S.
Literal
A vorkommen.
Klauselmengen.
heißen aussagenlogische
ein
in
ein
wir
C, D
Klausel
die
genau
ein
Ausdruck.
eine Variante
Aussagenlogische
sie
sind
Men-
A.
C; wenn D eine
Auftreten
eJ
ersetzt,
wir
der
enthält,
benutzen
Term oder
einer
D vorkommt,
alle
man a:
wenn
in
und Variablenfreiheit
Variablen:
(das
indem
unär,
variablenfrei
von
hält,
Literale
Die
Klauseln
Literalen
zwei
A ein
die
Var(S)
Var (8)
in
von
benutzen
einele Variante
Variablensymbol,
1.1.12
ein
Sei
heißt
heißt
~nge
re S
8 sind
Klauselmenge
für
Metasymbole
von Klauseln
Ausdrücke
)1 VI
vorkommt,
vorkommt,
Variablensymbol
~.
sie
ist
Variablen.
Variablen.
mitDbezeichnet.
heißt
Mengen
für
Menge und wird
Anzahl
wenn
Variablensymbole,
Var:
Menge der
eine
die
Ausdruck
Metasymbol
mit
Klausel
für
Ein
leere
wir
Tautologie,
:ene
Enthaltene
1.1.10
die
bezeichnen
sind.
Als
Als
die
bezeichnen
hält.
sel.
ist
wir
sich
wir
den die
aus dem
Ptl...tn'
oder""j?rädikatensyrnbo-
Klammern
,
einschließen
einschließen
Klausel
Klausel
{Ll,...,Ln}
Klausel
Klausel.
und Lein
und
und
schreischre
Literal
8
1.2
Unifikationen
1.2.1
Eine Abbildung
Substitutionen.
cr: TERME~TERME
heißt
Subs~itution,
wenn gilt:
Für
Für jeden
jeden Term
Term ftl...tn
ft
(a)
(a)
(b)
(b) Für
Für jede
jede Konstante
Konstant
(c)
Für
höchstens
Als
Metasymbole
ist
a ist
endlich
für
viele
Buchstaben.-
TERME--+TERME
ist
Symbol
Die
für
die
leere
dann
ist
die
Komposition
mutative
zige
tion
der
endlich
Substitution,
auf
die
VAR ist.
mit
crXfX
Variablen,
1.2.4
idempotent
aX
= Y stets
1.2.5
e und auch andere klei-
cr, T,
wir
kurz
die
crt. Die Identität
leere
Substitution.
wir.
Wenn cr und.
T(a(t»
wieder
assoziative,
Substitutionen
keine
Komponente
eindeutig
ist
mit
in
der
Die
hat.
cr eine
Als
Substitutionen
eine
Substitution.
aber
i.a.
der
nicht
kom-
Komposition
eine
für
mit
X < Y im Sinne
für
ist
und
der
zwei
allgemeinste
Sei
und
X ft.
Eine
von
ist
durch
deshalb
eine
die
durch
ihre
eindie
Restrik-
Substitution
die
mit
Mengenoperati-
bezeichnet.
bezeichnet.
verschiedene
normal,
Variablen
Ordnung
Menge von
Substitution
wird
in
mit
und Var(a)=
cr heißt
aus
Var(a)
{x,y}.
wenn sie
X und Y mit
1.1.1
gilt.
Substitutionen.
M, wenn
XX
Die
Die Menge
Menge aller
aller
a auftreten,
Ber(a)={x}
M eine
ist
Substitution
dies
Substi-
Die
Die Menge
Menge der
der Variablen
Variablen
Ber(a)
alphabetischen
Substitution.
Komponente
definiert.
Substitution
für
heißt
Substitutionen
a ={x/fy}
Eine
X/t
Substitution
da sie
Substitution.
a und wird
ist
leere
wir
sind
crX =t
Eine
Komponentendarstellung
ao =a)
heißt
mit
und Differenz
Substitutionen.
aM
ist
bestimmt,
Damit
von
Beispielsweise
(d.h.
Zeichenreihe
identifizieren
Sei
Bereich
die
Die
Variable
Durchschnitt
Allgemeinste
Substitution
wir
eine
Komponenten.
Komponenten.
heißt
Normale
ist
viele
und Var(cr).
bezeichnet.
.cr(t):=
Substitutionen.
Wie üblich
onen Vereinigung,
Ber(cr)
.cr,
Menge der
Komponenten
Menge ihrer
1.2.3
cr(X)fX.
und heißt
benutzen
u, wenn X eine
nur
Menge ihrer
X ist
schreiben
cr(t)
Substitutionen
von
der Substitution
hat
..cr(tn).
dem Einselement.
Darstellung
tution
Statt
Substitution
Die
fcr(tl)'
verwenden
Komposition
von
mit
Variablen
Substitution
Operation.
Halbgruppe
1.2.2
eine
..tn)=
= a.
Substitutionen
ne griechische
sind,
cr(ftl'
<1(a).
für
Eine
jede
Substi-
9
tution
TH M eine
1.2.6
Substitution
Restriktionen
von
Menge von Variablen.
I x/t:
{X!t
1.2.7
ein Atom Ptl"
ist
cr(-L):=
und ist
ist
-a(L).
{aLl,...,aLn}'
Sei
Substitution
von a auf V ist
.tn):=
wieder'-eine
Für eine
Patl"
Klausel
.atn'
Klauselmenge
a eine
ist
{CI"",Cn}
durch a I V : =
SubstitÜt{on~
Für ein
{Ll,...,Ln}
und V eine
definiert
von Substitutionen..Sei
a(Ptl;'
Für eine
T = ea.
a eine
offensichtlich
Fortsetzung
.tn
mit
Substitutionen.
Di~_R-=:triktion
a A XVr
Kanonische
e existiert
Substitution.
negatives
Für
Literal
-L
cr({Ll,...,Ln}):=
ist
a({CI""Cn}):=
{crCl,...,crCn}'
1.2.8
U-Substi tutionen.
Ber (6) ,C V heißt
V injektiv
heißt
ist
U-Substitution
und
für
Für eine
ner Klausel
<Ta) A
=T
(b)
(eT) 0'
= e<Ta).
(c)
Wenn für
(d)
Wenn C eine
(aA)
ßewei0~
1.2.10
Für
jeden
Klausel
(a)-
..
(c)
genau
normale
t
crt
-
eine
= eC
Substitution
Eine
e eine
V, wenn e auf
U-Substitution
X!Y
e} die
D genau dann eine
e für
C mit
Variante
gibt.
D=eC
e
für
inverse
e-1 : = {Y!X I
Klausel
ist,
für
6.mit
ei-
Wenn e ei-
C = e-lo.
dann gilt
und A ein
Ausdruck.
Dann gilt:
ein
wenn er
allgemeinste
ist,
dann ist
cr = T.
laCI
lacl =
= ICI
Icl und L ec
/Ro65/.
M eine
o:-mit
(d)
ist
Menge von
100MI~1
Zu jeder
normaler
Aufwand
= Tt
ein
Litera!
ist,
aL.
Substitution
stiert
Unifikator,
wenn
eheißt
Substitutionen
siehe
Sei
Unifikationssatz.
linearem
0
mit
=erc
..'.-
1.2.11
mit
seien
Term
Unifikation.
wenn es eine
A,
Substitution
.
~d<1~~.~';:t..~~'(E~L)
.'
abbildet.
U-Substitution
C mit
e
T,
(a)
Ausdruck
ist
es eine
für
Lemma. a,
. -""'-'~'
einen
Variablen
U-Substi tution
C, wenn
ne U-Substitution
1.2.9
in
Offensichtlich
Substitution.
Eine
(Umbenennungssubstitution)
e Variablen
U-Substitution
Var (A) ist.
Sei V eine. Menge. von Variablen.
Unifikator
0: heißt
unifizierbaren
entscheidbar~
für
linearem
eine
M heißt
dann
Menge von
Unifikator.
Ebenso
mit
[]
Ausdrücken.
gibt.
allgemeinster
existiert,
evident.
la~t
s~ch
Aufwand
Menge M von
unifizierbar,
Unifikator
Ausdrücken
Die
Unifizierbarkeit
der
normale
berechnen.
Ausdrücken
für
M.
exi~
ist
allgemeinste
Wenn cr der
ist,
dann
gilt
10
"ar (0') c Var (M) .
ß0Vei4.
Für
katers
die
Existenz
verweisen
wir
und
auf
Eindeutigkeit
jRo65j
des
und jHe82j.
normalen
Ein
allgemeinsten
linearer
Unifi-
Unifikationsalgorith-
mus wird von PATERSON
und WEGMAN
in jPW78j angegeben.
1.1.12
nau(Li,.~.,Lnl.
nau(Li,...,~l.
Unifikator
1.1.13
Ll,...,Ln
LI'...'
LI' . .
von
nau
(LI'
nau(Ll'..
.
.
Ln)
.,Ln>.
.,
Seien
. , Ln bezeichnen
komplementäre
komplementär,
eK unifizierbar
1.2.14
Literale.
wir,
Den normalen
falls
er
allgemeinsten
existiert,
mit
.
Potentiell
tiell
Ll,...,Ln
[]
[]
Literale.
wenn es für
Keine
Zwei
Literale
L und K heißen
V-Substitution
e gibt,
poten-
so daß L und
sind.
Lemma. L und K seien
K potentiell
komplementär
Literale
sind,
dann
und
a sei
eine
sind
auch
Substitution.
Wenn aL und
L und K potentiell
komplemen-
tär.
ßew~.
Siehe /He82/.
1.2.15
[]
Kombinationssubstitutionen.
Seien
'={Y1/s1'.."Ym/sm}
Substitutionen.
nau(PX1."XnYl"'Ym'
Ptl...tnsl...sm)'
substitution
von
assoziativ.
die
0' und
T
.
Wenn M = {al""
Substitution
substitution
M. Eine
1.2.16 Lemma.
(a) Wenn a eine
normale
(e)
Für
(d)
)a
=(
zwei normale
a*,
kater
a*,
a*,
existiert,
a*,
die
~ ist
sie
ist,
existiert,
Substitutionen
Kombinations-
kommutativ
Substitutionen
falls
die
heißt
:=
dann
und
heißt
Kombinations-
konsistent,
wenn
von M existiert.
Substitution
ist,
Substitutionen
)
, =a ( a*,
Substitutionen
dann ist
a und,
)=
a
=
a*a
.
gilt:
,( a*, ) .
a und,
mit
Ber(,)
n Var(a)=
{2J
gilt:
= 0,.
Wenn L und K variablendisjunkte
von
und
Unifikator
Die Kombinationsoperation
Menge M von
(b) Für zwei konsistente
=(
der
wenn er
'9'n}$'1;ni!~hitii:1§'~von
die Kombinationssubstitution
a*,
Dann heißt
(*aIO'e~):=_al*...*an'
von
a ={X1/t1'.'.'Xn/tn}
L und K ist,
ßeweiA. Siehe /He82/.
dann
gilt
Literale
sind,
cr = a* nau (L,K)
und cr ein
normaler
Unifi-
.
[]
11
1.3
In
Semantik
diesem
allen
der
von Klauselmengen
Abschnitt
Junktoren
aufs
skizzieren
und
äußerste
Quantoren
(engl:
ground
S heißt
jede
ces
nicht
Menge
S'
eine
spricht
einer
(\fXl.
{Cl,...,Cn}
atomaren
Ll
und Variablen
diesen
bar
wenn eine
in
Klauselmenge
Satz
ihr
Formel
SA'
Für
(SKOLEM
(SNF),
1928).
eine
ist.
unerfüllbar
Einer
werden:
Ein
Formel;
einer
geschlossene
Klauselmenge
Ordnungen
Formeln,
Formeln
Formel
der
von
entsprechende
aber
Begriff
Formel
prädikatenlogischen
=
Literale
ent-
sind,
in
lediglich
genau
ist.
SNF ist,
S
(A uner-
Der
definiert.
Klauselmenge
in
Formel
erfüllbar
Klauselmenge
erfüllbar
Klausel
relevant
sich
ent-
Klauseln,
Klauselmengen
wenn es eine
Formel
Formeln
die
ist
für
kann
Literal
einer
und bei
Eine
Klauselmenge
eine
Da die
a
ist.
unerfüllbar
daß eine
Wenn A eine
Zu jeder
1.3.2
unerfüllbar,
Substitution
entspricht
unabhängig
so daß A eine
un-
heißt
entspricht
mehrere
entsprechende
ist.
so daß für
S heißt
S und
atomaren
irrelevant
garantiert,
SKOLEM-Normalform
entsprechende
1. 3.5
Cn.
unterscheiden.
von
zugeordnet
negierten
~...~
i.a.
in
SKOLEM~Normalform.
schließlich
Klauselmengen
HERBRAND (1930)
Basis-
enthält.
gibt,
/rJ
Klauselmenge
nicht
={Xl'...'Xm}
Cl
heißt
Klauselmenge
Klauseln
Formel
gdw ~A allgemeingültig)
ist,
heißt
in
einer
Klauselmenge
Ordnungen
von
von
wenn sie
Ln);
Formel
Eine
und im Sinne
Var(C)
und
ist.
Varianten
oder
. . .V
bei
einer
füllbar
Satz
V
eine
sprechen
von
Basismodell
variablenfreie
Klauselmengen.
und Formeln
mit
. . Xm:
erfüllbar
prädikatenlogische
C={Ll,...,Ln}
Sprachen
Eine variablenfreie
Klauselmengen.
Eine
mit
Resolutionskalküls.
wenn es ein
erfüllbar,
1. 3.4 Klauselmengen
wie folgt
I
variablenfrei
heißt
Klauselmenge
den üblichen,
M von variablenfreien
Literalen
wenn ~ keine komplementären
Literale
Cnt11ff2!.
von
so daß crs'
gibt,
zwischen
prädikatenlogischen
des
variablenfreien
gilt:
Erfüllbarkeit
wenn es eine
Sprache
erfüllbar,
wenn sie
erfüllbar,
1. 3.2
model)
von
Klauselmenge
Klausel
Äquivalenz
Eine Menge
Erfüllbarkeit
1. 3.2
die
ausgestatteten
abgemagerten
1. 3.1 Basismodelle.
modell
wir
dann
Eine
Formel
gibt,
für
gibt
erfüllA
die
es genau
A eine
eine
zu SAist.
Formel
A gibt
es eine
12
Formel
A* in
Zu A läßt
ßew~.
SNF,
sich
so daß A genau
eine
Formel
Siehe /Lo78/
(engl:
Algorithmus
und die
indem
einen
Formel
man einen
A* mit
erfüllbar
ist,
polynomialen
wenn A* erfüllbar
Aufwand
Beim Automatischen
valid)
Formeln
Beweis
Beweis
der
Beweisen
Struktur
zu konstruieren.
T Theo~em.
Die
für
die
obigen
Al A
Dabei
Sätze
heißen
zeigen,
Unerfüllbarkeit
. . . A An ->-
AIA
<==>
<==>
berechnen.
geht
Al
A
... A
A...
A
SA* U
1
...U
Ar
T
An A -T
A~ A
einer
SA*
n
allgemeingültig
unerfüllbar
(-T) *
U S(-T)*
es darum,
...A
die
daß dies
menge konstruiert:
<==>
ist.
und /Sk28/.
1. 3.6 Zusammenfassung.
meingültigen
dann
unerfüllbar
unerfüllbar.
An
->-
zu allgeT durch
Formeln
Ai A~ome
geschehen
entsprechenden
einen
kann,
Klausel-
13
1.4
Der
1.4.1
Resolutionskalkül
'.
F-Substitutionen.
für
sierungssubstitution)
Ll,...,Ln
leere
1.4.2
eine
bt,
n2:1 gibt,
ec,
de F-Substitution
Die
~:J.ne
a
t'-;:'UDSl:.:J.
tUtlOn
Eine ;:'UDSl:.:J.l:.U:t:lon
Substitution
a ne:J.I~l:.
heißt
F-Substitution
cr für
Substitution
Faktoren.
F-Substitution
C, wenn es unifizierbare
Klausel
so
so daß
daß a=nau(Ll,...,Ln)
a=nau(Ll,...,Ln)
eine
Klausel
E ist
eine
\t'aKtOrl-
C normal
ist.
Klausel
0 heißt
Faktor
0 für
C gibt,
so daß O=oC.
Offensichtlich
und erfüllt
Var(cr)
für
Klausel.
F-Substitution
Eine
Literale
einer
Ein
jede
Klausel
Faktor
ist
je-
C Var(C).
C, wenn es eine
0 einer
Klausel
C heißt
echt, wenn \0\ < Icl.
1.4.3
Lemma. Sei
tiert
eine
C eine
Klausel
F-Substitution
und
T für
cr eine
C rni t
I
normale
Substitution.
TC I =1 crC I und
Dann exis-
cr = cr* T .
ßeweL~. Siehe /He82/.
1.4.4
Resolventen.
Seien
K e D Literale,
für
Res (C,LjD,K)
heißen
1.4.5
ner
in
die
S sind.
sind.
-
Sei
in
sei
(binäre)
heißt
Resolvente
die
von
Lec
und
Klausel
C und
D.
C und
D
Resolvente.
D eine
Sei
D eine
Variante
Resolvente,
deren
gdw S U {D}
erfüllbar
oder
ein
Elternklauseln
Faktor
ei-
Klauseln
ist.
[]
[]
und FV-Resolventen.
von
Seien
C, D und
C und D, wenn es Varianten
L und K existieren
von
so daß E eine
V-Resolvente
mit
C'
Cl",Cn'
n~l
von
C'
Sei
C eine
von
bzw.
E =Res(C'
C und D, wenn es Faktoren
Resolutionsableitungen.
Folge
Dann
und
oder /CL73/.
V-Resolventen
ne endliche
Klauseln
existiert.
(O'D - O'K)
FV-Resolvente
1.4.7
(L,K)
S erfüllbar
/Lo78/
V-Resolvente
D variablendisjunkte
Klauselmenge.
oder
Dann ist
= nau
der
Seine
S,
so daß Literale
-
cr :
Elternklauseln
ßewei4.
ßewU;j. Siehe
1.4.6
die
C und
:= (ac - O'L) U
Lemma.
Klausel
[]
und D'
C'
D'
,LiD'
bzw.
von
Eheißt
C bzw.
D gibt,
C bzw.
C
bzw.
D
gibt,
D gibt,
,K).
D'
D'
von
von
ist.
Klausel
Klauseln
E Klauseln.
heißt
und
Seine
Klauselmenge.
Resolutionsableitung
Eifür
14
C aus S, wenn Cn==C ist
ner Klausel
in
S, oder
von Ci und Cj ist.
wenn
kein
1.4.8
C.
Eine
freie
freie
Zu jeder
~k ~n
1
1
i <k und
cd
j
gilt:
<k,
so
(Cl...Cn
Ck
daß
ist
Ck
heißt
Variante
ei-
FV-Resolvente
tautologiefrei,
ist.
Resolutionsableitung
1.4.9~.
k mit
es existieren
Tautologie
Widerlegungen.
eine
jedes
Eine Re?olutionsableitung
eine
~
und für
(Resolutions)
Widerlegung
einer
für
Klausel
S.
die
leere
unerfüllbaren
aus
Klauselmenge
Klauselmenge
S existiert
eine
S ist
tautologie-
Widerlegung.
ßew~.
Siehe
ßeweJA.
1.4.10
Satz
/Lo78/
oder
/CL73/.
(Ko;rektheit
ne Klauselmenge
[]
und Vollständigkeit
S ist
genau
dann
des
unerfüllbar,
Resolutionskalküls).
wenn
eine
Ei-
Widerlegung
für
S
existiert.
.
ß el1JeUJ
"<=="
fKolUl..ek:thei.;tJ.
Sei
stiert.
Angenommen,
S ist
Lemma 1.4.5
"==>"
1.4.11
auf
die
Klauselrnenge,
erfüllbar.
Widerlegung,
~. Sei Seine
Lemma.
Klauselmenge
C eine
ei
Wenn
:nn
We;
(b)
:nn C
is
c isoliert
Wenn
Wel
c heißt
Tautologie
. isoliert
i
Les zu kkeinem
ches
tiell
in
ist,
S ist,
(engl:
Literal
komplementär
Siehe /Lo78/
dann
dann
pure)
pure)
in
ist
in
in
eine
eine
Widerlegung
Widerlegung
wiederholtes
daß S U {O} erfüllbar
erfüllbar
Lemma 1. 4.9.
,
zu
zu der
der
Dann liefert
f Vo~.tän.di..f)keJ...;t.J.
(a)
ß0V~.
Seine
exiexi-
Anwenden
ist.
ist.
von
W!
W!
[[ ]
und ces.
ist
Dann gilt:
gdw S
s
S erfüllbar
S erfüllbar
wenn
S,
S, wenn
es
es
in
in
- {{C} erfüllbar
-
-
C ein
ein
C
Literal 'al
Lite
einer ~r von C verschiedenen
{C}
is
ist.
:}
gdw S
erfüllbar
Klausel !l
gibt,
in
ist.
wel-
S poten-
ist.
oder /CL73/.
[]
15
1.5
Konfluente
Wir
sammeln
wir
der
hier
Arbeit
1.5.l~,
n
.:::.
/Hu80/
Länge
chende
leitung
1.5.3
Sei ~
schreiben
--+
der
wir
Sei
Normalformen.
Noethersche
mit
konfluent
Eine binäre
b,ceM
mit
1.5.6
Satz.
genden
b. Mit
binäre
auf
einer
Relationen,
die
für
alle
i
Folge
alle
n das
auf
ai --+
Menge M. Statt
-i:.-,. bzw. ~
Hülle
Relation
Sei
eine
--+
gilt
binäre
bezeichnen
M. Eine
alaZa3...an.'.
Anfangsstück
wir
von~.
ai + 1 gilt.
und kein
Relationen.
Relation
ceM
Eine binäre
a~b
Eine binäre
a-4b
Folge
al...an
mit
Dabei
heißt
heißt
nichtabbre-
al...an
eine
n die
--->--Ab-
und a~c
Aussagen
ein
noethersche
deM
auf M heißt
~
Wenn ~
~
ist
konfluent.
(b)
--+
ist
lokal
auf M heißt
~
existiert
mit
b~d
ist,
lokal
existiert
Relation
konfluent,
mit
b-4d
--+
->-
-Normalform.
wenn für
al-
undc-.:l4d.
zu jedem a eM höchstens
binäre
genau eine
noethersch
konfluent,
konfluent.
(c) Zu jedem a e M existiert
noethersch,
eine ~-Normalform.
äquivalent:
(a)
--+-Normal-
existiert.
+c
gibt.
auf M heißt
~
b
auf M. b heißt
Relation
ein deM
dann existiert
Relation
Für eine
Relation
und a~c
ist,
mit
~-Ableitung
zu jedem a EM mindestens
Konfluenz.
le a,b,ceM
form.
Relation
a~
unendliche
nichtabbrechende
dann existiert
Wenn ~
binäre
ist.
wenn es keine
1.5.5
wenn
wenn für
form zu a, wenn a 4b
1.5.4
binäre
und reflexive
eine
Eine
--->--Ableitung,
eine
~
für
haben.
transitive
-Ableitung,
Ableitung.
und Ergebnisse
wie üblich
bzw. die
Ableitungen.
1 heißt
Notationen
entnommen
~.
transitive
1.5.Z
einige
~,
<a, b> e ~
die
Relationen
eine
Normal-
wenn für
alle
a,
und c-.:l4d.
auf M sind
die
drei
fol-
~
KAPITEL
DER
2
KOWALSKI-KALKÜL
Klauselgraphen
weisen
eine
systeme
verbreitete
untersucht
von BIBEL
/Si76/
(clause
/Bi82b/,
von
den anderen
Graph
Proof
Verfeinerungen
connection
Datenstruktur,
wurden.
(graph-unrolling)
Connection
graphs,
graphs)
für
Beispiele
sind
die
die
CHANG und SLAGLE /CS79/
und eben
Procedure
des
die
auf
im Automatischen
sind
verschiedene
viele
-
AnBl/,
rules) , von SICKEL
(rewrite
basierende
dem Resolutionsprinzip
Resolutionskalküls
Ableitungs-
von ANDREWS/An76,
Arbeiten
von KOWALSKI /Ko75/,
Be-
die
das
-
im Unterschied
zu
vieler
mit
Löschen
der
18
dem Fortschreiten
Der nicht
(welcher
des
gerade
Graph
prozeduren,
einer
glücklich
hat
keine
denen
KOWALSKI-Kalkül
ein
Elimination
wir
dann
von
einer
erlaubt,
indem
und
Kriterien
dig,
für
seimenge
ob ein
Wir
der
solcher
zugrunde.
ihn
reduzierend
bringt.
Ihre
Filter
eine
ist,
d.h.,
ist
dieser
Arbeit
KOWALSKI-Kalkül
Rahmen für
die
präzise
besonderer
folgenden
folgenden
Kapitel
bekannten
Resultate
wir
den
-
first)
für
jede
der
Reduk-
vorgibt.
nun darin,
ein
führen
Beweis-
Anwendung
terminiert.
der
Das
hinreichende
Filter
vollstän-
unerfüllbare
Bis
Klau-
heute
ist
offen,
Klauselgraph-Resolutionsregel
Versionen
weniger
neue
gerechtfertigt,
für
diese
Wert
Regel
darauf
neben
Kanten
gezeigt
gelegt,
in
neu gezeigten
breiten
Ergebnissen
ein-
und neu-
können.
Konzepte
diesem
i.a.
den Graphen
bekannten
alle
In
daß sie
werden
und einen
zu schaffen.
KOWALSKI-Kalkül.
dadurch,
daß alle
zu definieren
Untersuchungen
sammeln
für
formal
spezieller
heißt
aus
Reduktionsregeln
depth
Dabei
uns als
zum Kalkül
die
besteht
früheren
daß sie
dadurch
und
Variante
von
auch
wurde
für
first,
Klausel
von
existiert.
neue
sich
zwei
von Beweis-
besteht
Zusätzlich
(z.B.
Procedure"
Familie
Dieses
Formulierung
breadth
leeren
ganze
Proof
Klauselgraphen
Beweisprozedur
der
en Vollständigkeitsergebnisse
In
die
erlaubt.
Graph
sowie
anzugeben.
definierte
Arbeit
Einführung
für
KOWALSKI-Kalküls
unterscheidet
stärker
liegt.
das
(z.B.
vollständiger
Sie
ein,
Filter
Erzeugung
dieser
zugrunde
man Restriktionen
des
durch
mit
legen
Filters
vollständige
wenn die
eine
und Subsumtionen.
Suchstrategien
Vollständigkeitsproblem
für
Faktorisationsregel
Tautologien
des
tionsregeln)
steht
Kalkül
Klauseln
"Connection
Ableitungssystem
das Konzept
prozeduren
Begriff
Konnektionen?)
gemeinsamer
und
erzeugten
gewählte
bezeichnete
Resolutions-
zur
Ableitungsprozesses
für
den
begrifflichen
und zum Teil
-
die
bisher
im
~
19
2.1
Ein
Klauselgraphen
Klauselgraph
Klauseln.
Seine
spiele
chen
ist
geben
eine
Kanten
einen
graphenähnliche
stellen
ersten
Datenstruktur
mögliche
Eindruck
für
Resolutionen
und zeigen
die
dar.
eine
Die
Menge von
folgenden
Unterschiede
Bei-
zu gewöhnli-
Graphen:
(a)
Pfffy
(b)
(c)
Pfffz
(d)
~
z
"
Ipal
(e)
eine
.en repl
repräsentiert
Knoten
Jeder
liegender
Zellen,
Zellen,
Eine
!
Zelle
lteste
rechteste
rechtes
Der
Zelle
gezeichnet.let.
Link
Knoten
An einen
<L I a>
I
LLiteral
lph
Der Graph
Knoten,
Knotl
(e)
hat
leere
sind,.d, gezeichnet.
geze
verbindet
verbinc
drei
drei
zwei
KJ
Knoten
Klausel
Klaus!
leere
nebeneinandernebenei
Kette
treten.
Li'
Literalauftreten.
heißt
ißt
Link
-t Idie
die
der dil
eine
ein-
Klausel 1 markiert
mark
Jeder
Je<
Links.
repräsentiert
repr.
Die folgenden
Die
folgenden
Knoten
bezeichnen
a, b, c, d, e, f
2.1.2
dem
deIm enthaltenen
ent
als
ls
Klausel
lausel
Die
potent
potentiell
undd keinen
keine:
und istst
als
als. leere
ntiert,
repräsentiert,
kann
führen.
führen.
Knoten.
Knoten.
ge aller
1 dder
i
~eißen
heißen
uund wird
Klausel
den Literalen
eten.
Literalauftreten.
Lit
Link.
2.1.1
mit
zusammen
lammen mit
mit
zusamn
komplementäre
kein
die
Klauselgraphen
lselgraphen
im Klausel
Kanten
wir
0
Ipb!
Literalauftreten.
Jr,x :Ir.
Zwei
Symbole
Syr
wir
heißen
Knoten:
kl'
k2'
k3'...
Die
mit K. Als Metasymbo1efürKnoten
Men-
verwenden
.
Ein
Literalauftreten
Literalauftreten
La und
und KD
La
KD
La ist
ein
geordnetes
heißen potentiell
Paar
komplementär,
20
wenn L und K potentiell
'
k
'
,
Lln
s. Eln
Llnk
213
. .
potentiell
Kb
komplementär
benutzen
wir
Q,. Für
sprechen
Links.
Link
le
Ein
'
Lltera
2.1.4
wir
=
(c)
Link
ist
und
eine
ist
Für
,
,K
daß
a und b die
wenn
.
= L K
IV
},
,a
wobel
,
Eln
L 'un d
für
Links
Inzidenzknoten
von
Inzidenzknoten
Q, an La führt.
ab,
n
b
Als Metasymbol
Literalauftreten
fj
=< Knoten,
eventuell
eines
La,
wenn La EQ,. Wenn
Ein
Link
h
ab
L K
Llnk
Knoten--+
(f;.,
Links.
verschiedene
a,b
C, Links>
leere
Für
und L e Ca und b e Knoten
a heißt
Literalauftreten
heißt
Link
in
Knoten
Wir
heißt
Q, verbindet
' ß
el t Auto
l
Klauselgraph
Teilmenge
schreiben
jeden
'
ln k
,
Link
wenn
von K.
Ca für
C (a)
LaKbeLinks
.
gilt:
und K e Cb'
eKnoten
gilt
stets,
daß Ca und
sind
verschiedene
in
in
~,
in
~,
wenn a Knoten
Cb variablendis-
Namen für
Knoten,
Bedingung
erforderlich,
Klauseln.
in
die
Links
Ein Literalauftreten
~ und
in
LeCa
La
ist.
Ein
Link
~
weil
wir
auch
Gra-
~ e Links.
wollen,
den inzidenten
wenn a e Knoten.
Knoten
wenn
~,
betrachten
Die
endliche,
Menge von
heißt
phen
K
sind.
a
sind.
Ein Knoten
Die
auch,
b
{L
und vom negativen
einem
Tupe1
Abbildung
eine
zwei
junkt
Ein
eine
a e Knoten
(d)
wir
Paar
bist.
gilt:
(a) Knoten
C ist
mit
sagen
a
Klauselgraphen.
(b)
netes
heißen
vom positiven
L
d
ungeor
Q,= LaKb
Link
Q, inzidiert
treten
au
!:nn
Literalauftreten
einen
La inzidiert,
lf
wenn a
lst
komplementäre
Q,. Genauer
Q, mit
d'
ab"
L K
sind.
denen
die
Sie
die
gleiche
unterscheiden.
(d)
benötigt,
gleiche
Klausel
Klausel
repräsentieren,
Ein
geforderte
erleichtert
werden
Beispiel
mehrfach
dafür
aber
an einigen
Stellen
können
ist
Variablendisjunktheit
der
ist
die
auftritt.
formale
sich
Graph
nicht
Zwei
in
(d).
prinzipiell
Behandlung
des
Untersuchungsgegenstandes.
2.1.5
-
Bezeichnungen.
1f;1:=
-
S (f;)
-
Var(f;)
Die
I Knoten
:
=
Anzahl
{Ca
I
I
Sei
die
der
Knoten
= <Knoten,
Anzahl
a e Knoten}
:=Var(S(f;))
f;
der
die
C, Links>
Knoten
in
Klauselmenge
die
Variablenmenge
des
Graphen
(d)
ein
Klauselgraph.
Dann bezeichnet
f;.
von
f;.
von f;.
ist
sechs,
die
des
Graphen
(e)
ist
drei.
21
Die
Klauselmenge
phen
(c)
2.1.6
-
ist
-
tautologiefrei,
-
auss~genlogisch,
Der
(a),
(c
-
(b)
(e)
S(fi)
und
sind
ist.
keine
ist.
Tautologie
enthält.
enthält.
ist.
ist.
aussagenlogisch
(c)
sind
total,
unerfüllbar
Klauselgraph
~
(d)
und
(e)
sind
und tautologiefreL
ist
total,
().
mit
Der
=0.
I~I
erfüllbar,
bezl
bezeichnenlen wir
~
Klauselgraphen.
C Links'
Keiner
leere
Wir
Klauselgraph
bezeichnen
tautologiefrei
mi1
mit.
(0).
Seien
SeiE
Die
der
Graphen
ist
ihn
der
mit
().
eindeutig
Der
leere
beKlau-
und aussagenlogisch.
Graphen
fi
mit
{;
(0)
=<Knoten,C,Links>
3ubklauselgraph
Subklauselgraph
heißt
und C die
[; C [;'
:<==>
eine
Halbordnung
~~~aph
2.1.10
total.Alle
sind
=1
I~'
total,
und
unerfüllbar,
Restriktion
von
von~' fi',
von
C'
auf
und
= <Knoten'
fi.'
,C' ,Links'>
wenn Knoten C Knoten',
Knoten
ist.
Die
Inklusions-
C,
relation
ist
nicht
und aussagenlogisch.
aussagenlc
Subklauselgraphen.
Links
stets
aussagenlogisch.
Logiefrei
tautologiefrei
ist
{;
der
[; ist
Subg.raph.von [;'
auf
leere
der
Menge aller
Klauselgraph.
Der
Klauselgraphen.
Der k~~te
größte
eines
Subgraph
K~au-
Klauselgraphen
selbst.
Unwesentlich
Klauselgraphen
verschiedene
Zwei
L a un d Kb. J.n {j
Literalauftreten
unerfüllbar
wenn S(fi)
leere
= {{ O}
O}
2.1.9
des Gra-
heißt
fi
aphen (0)..
Klauselgraphen
Die Klam
Klauselgraphen
(OL. . . Jeden
Die
J
2.1.8
{;
erfüllbar
S(fi)
Klauselgraph
selgraph
ist
Klauselgraph.
komplementäre
wenn
-
(~)
zwei
wenn
Gral
Graphen
stimmte
ein
fi
wenn S(fi)
)hen
(a)
Graphen
(e),ist
(a) - (.
S
Sei
unerfüllbar,
2.1.7
Die Variablenmenge
"
erfüllbar,
Die
D}.
{Pa,Pb,
dß
aLK ab' LJ.n.k J.n ::J.J.pt.
r'
--
(e) ist
{x,y,z,u,v}.
wenn für
gJ.' 1t,
-
Graphen
Eigenschaften.
total,
-
des
ist
verschiedene
sehr
Varianten,
Klauselgraphen
fein.
die
Klauselgraphen.
Zum Beispiel
sich
gibt
Die
Gleichheitsrelation
es für
(0)
nur in der Knotenbenennung
~en unwesentlich
hei;
heißen
verschieden,
für
unendlich
viele
unterscheiden.
wenn sie
sich
nur in dl
den
~
22
Knoten-
und Variablenbenennungeh
ze Äquivalenzklasse
von
2.1.11
Darstellung
freier
Klauselgraph
Autolinks
tiell
von
eine
AT-Klauselgraphen.
Verfeinerung
also
in
aussagenlogischer,
Ein
aussagenlQgischen
Literale
der
Ein
AT-Klauselgraph.
da bei
komplementäre
bezeichnet
eine
gan-
Klauselgraphen.
heißt
enthalten,
(0)
unterscheiden.
enthalten.
/Bi8lc/
kann keine
AT-Klauselgraph
Klauseln
Für
nur
Tautologien
potenverwenden wir
AT-Klauselgraphen
benutzten
tautologie-
Der AT-Klausel-
Matrixdarstellung.
graph
L
~~~~I~
~
-
IRisI
IJiliU
hat
beispielsweise
die
folgende
Matrixdarstellung:
-p
p-p-
Q-
-Q-Q
R-R-R
S-S-S
Jedem Knoten
tologien
des
en ts pri~cht
Graphen
haben,
ausgeschlossen
le zuzuordnen.
Dadurch
in
betrachteten
den von
J,äßt sich
fehlen,
durch
werden
eine
gepunktet
Links
in
denken
wir
durchnwneriert
mit
.
dem
der
uns
nm
L K
Literal
immer
Kante
die
Spalten
bezeichnet
K in
der
von
dann
rn-ten
nur
Nur
total
eines
links
Da wir
separate
einer
sehr
und
die
Da
Links
Schreibbarkeit
Links,
hat
TauZei-
Zeile.
wenige
die
fehlen,
in Negativdar-
ist.
AT-Klauselgraphen
nach
den Link,
Spalte
eine
innerhalb
AT-Klauselgraph
da er
Matrixdarstellung
Atom
Matrix.
Lesbarkeit
der
obige
mehr,
jedem
erreichen:
Links
Der
der
stets
Verbesserung
der
Spalte
nur
AT-Klauselgraphen
weitere
keine
eine
es möglich,
Links
eingezeichnet.
überhaupt
Um die
Spalte
eine
verlaufen
Negativdarstellung
stellung
können,
uns
ist
dabei
rechts
der
verbindet.
das
mit
Literal
zu
bezeichnen
eins
beginnend
L in
der
n-ten
23
2.1.12
ten
Elementaroperationen.
und C eine
und Löschen
-
-
§-~
Klausel.
von
§+~
§
-
~ löscht.
bezeichnet
den
den
blendisjunkt
Der
folgende
phen.
Die
2.1.13
§
den
§
erhält,
wenn
man
in
§
man
ist
aus
nUR dann
bereits
man
definiert,
§
enthalten
erhält,
wenn
in
§
aus
Links
§
§
Operation
enthalten
sind.
man
in
§
löscht.
den man aus
Die
wenn die
ist
erhält,
wenn man in
ist
dann
nuk
und wenn
§
defi-
und C varia-
sind.
Algorithmus
bildet
Definitionen
für
,Algorithmus
zu einer
"TI (f)"
Initialer
S
: Klauselmengej
VwU.ablen:
~
: Klauselgraph
C,D:a::j
Für
und
:=
Klausel
ces,
1.2:
D := Vari~nte
1.3:
fj
1.4:
Für
von
jedes
~
2:
{j
AWJ[f-abe:
{;;
Na eh b eclin. [)1ffLf) :
g
:=
keine
in
C, die
Li teral
Für jedes
1. 4. 1. 1:
finden
sich
Tautologie
ist
in
Abschnitt
~ vorkommtj
variablendisjunkt
zu
~ ist;
+ <a ,D>;
fj
das
entsprechenden
j
die
a := Knoten, dernicht
1. 4. 1:
einen
a,e:Kj
1. 1:
=
"TI-reduziert"
()
L,M:I.j
jede
:
Klauselmenge
Klauselgraph
Ein{}abe:
1:
definiert:
in
einfügt.
in
folgt
Hinzufügen
man
den
nicht
wie
das
Kno-
wenn
zu a inzidenten
wenn a bisher
für
a ein
erhält,
Operation
Ca :=C
Link,
§
den Klauselgraphen,
a mit
~ ein
den man aus
Literalauftreten
a und alle
den Knoten
niert,
Klauselgraphen
Klauselgraphen,
bezeichnet
§
Die
~ verbundenen
a bezeichnet
§+<a,C>
in
Klauselgraph,
Elementaroperationen
Klauselgraphen,
~ einfügt.
den Knoten
-
die
und Knoten
den Link
durch
ein
den Klauselgraphen,
den Link
-
Dann sind
Links
bezeichnet
§
Seien
L e Ca
Literalauftreten
potentiell
:=
~
+
komplementär
MeLa.
Me in~,
zu La ist
,
1T({j);
tautologiefrei,
und gerfüllbar
total,
TI-reduziert
gdw S erfüllbar.
und
S(gJ C S
Gra2.2.
24
V~tLkation:
Die
füllbarkeit
Da die
von
mit
im Sinne
dem initialen
Der Graph
(a)
aber
(d)
sind.
S. Diese
und
auch
(e)
ist
der
ist
nur
der
können
aber
Graph
auf
leicht
zu
zu der
-
{Pa,
Klauselmenge
die
sind,
Äquivalenz
S erhaltba~en
ist
-
Qb,
initial
Er-
QbRz,
sein,
{Pa,
--
da
von
Wir
PxQy,
RuPuPu}.
sie
[]
Graphen
es legitim,
S zu sprechen.
Klauselmenge
PxQY,
der
aus Lemma 1.4.11.
Klauselmenge
Klauselmenge
Graph
keiner
bis
verschieden
zu einer
initiale
zu
sich
zu einer
unwesentlich
initiale
evident
ergibt
Algorithmus
Klauselgraphen
~S.
phen
tal
2.1.10
mit
Er ist
~ und
dem obigen
von
nen ihn
Nachbedingtirtg
bezeichQb}.
Die
Gra-
nicht
to-
25
2.2
Die TI-Reduktion
Ein
Hauptmerkmal
~el~aphen.
Knoten
ten
des
Dieses
mit
den
im Graphen
2.2.1
verlangt,
Links
wenigstens
ein
isoliert
inzidiert.
Ein
(engl:
Knoten
Link
einem
heißt
TI-~~Jip
Ableitungsschritt
der
Ein
bis
kein
wenn es mit
an jedes
Autolink
wenn er
ein
TI-reduziert,
oder
solange
Literalauftre-
einem
nur
Klauselgra-
mit
isoliertes
wenn er
Klau-
ist.
in
keinem
t~
stets
Literalauftreten
isoliert,
Klauselgraph
sogenannte
werden,
führt,
pure),
heißt
das
gelöscht
Klauselgraphen.
phen heißt
Ein
ist
daß nach
inzidenten
TI-reduzierte
enthält.
KOWALSKI-Kalküls
Autolinks
Literalauftreten
keinen
isolierten
Knoten
enthält.
Die
die
Graphen
(a),
(b)
Literalauftreten
nicht
Die
werden
(c)
aus
2.1
sind
Qz und Qa isoliert.
isoliert.
Wir
und
nun
Graphen
zeigen,
Subgraph
existiert,
liebigen
Reihenfolge
(0)
Im Graphen
sind
solange
In
(e)
ist
Graph
der
(d)
sind
Knoten
0
TI-reduziert.
daß zu jedem
und daß er
TI-reduziert.
sich
Klauselgraphen
berechnen
isolierte
d~
indem
läßt,
Knoten
größte
löscht,
bis
TI-reduzierte
man in
einer
keiner
mehr
bevorhan-
den ist.
2.2.2
Die
TI-Relation.
fi
Sei
fi' =fi - a
und a ein
isolierter
es
Knoten
mit
einen
a
fi
ein
Klauselgraph.
Knoten
~
fi'
fi
in
gibt.
Die
Wir schreiben
ist.
Wir
schreiben
entsprechende
fi ~
fi " wenn
TI
fi -+ TI
Relation
fi',
-+
TI
binäre
Relation
2.2.3
Satz.
ßew~.
I~'
ent
~
~b --;-
I~
~ I
noethersch
Es genügt
haben
~,
~a'
eine
f'
stets
Klauselgraphen.
TI-Relation
Wir
noethersch
also
und konfluent.
ist
ist,
zu zeigen,
daß die
~b Klauselgraphen
zu zeigen,
evident,
TI-Relation
Graphen
~'
gibt
-+
TI
lokal
~--;-
und a, b Knotenmit
daß es einen
f
da für
mit
konflu-
~a und
~a --;-~'
und
.
Fan
1: a =b.
~'
Fan
2: a
Sei
mit
Menge aller
ist
also
ist
TI
TI-Relation
Seien
~b'
der
1 gilt.
-
I
ist.
+
Die
Daß die
=
I
auf
wenn
+
b.
a oder
sich leicht,
:=~a
~
I
b inzidenten
daß gilt:
=~b'
der
Graph,
den
Links
löscht
~a ++~'
man
aus
und
~
dann
und ~b ++~'.
erhält,
a und
indem
b
selbst.
man
zuerst
Man
alle
überlegt
[]
~
26
Wir
bezeichnen
Eindeutigkeit
nun,
daß die
definierte,
2.2.4
die
TI-Normalform
durch
den obigen
kon4~uk~v
größte
Satz.
Satz
Klauselgraphen~,
gewährleistet
definierte
TI-freie
~ ein
Sei
eines
TI-Normalform
Subgraph
deren
Existenz
ist,
mit
TI(~).
TI(~)
stets
der
und
Wir
zeigen
a1~eb~~ch
von ~ ist.
Klauselgraph.
Dann ist
TI(~)
der
größte
TI-freie
Subgraph
von (j.
ßew~:
graph
te
Y ein
Sei
von y.
Wenn Y TI-reduziert
TI-reduzierte
liebiger
Es gibt
Klauselgraph.
Subgraph
TI-reduzierter
Yl,...,Y,n
Ang.enommen,~'
cf.
Das bedeutet,
y'
isoliert
sein.
Die
TI-Normalform
Der
Übergang
Reduktion
.. .
in
dann
Sei
y also.
mit
an-l,~ TI
y'
liegt
offensichtlich
ist
Wir
n,:2,
n
ein
TI(Y)=Y
nicht
haben
TI-reduzierter
trivialerweise
HTI-reduziert
zu zeigen,
Sub-
der
und sei
daß y'
y'
größ-
ein
C TI(y)
beist.
8.0. daß
=TI(~).
es ein i mit ~' C ~i und ~'1.
und in
~i
isoliert
ist.
~i+l = ~i - ai.
Also
muß ai
auch
in
W!
des
[]
Graphen
zum größten
sein,
ist,
von Y.
Dann gibt
TI (~).
daß ai
ist
al,...,an-l
a2
Y=Yl ~Y2~
Y.
Subgraph
und
al
von
TI(y)
die
unter
(d)
in
2.1
TI-reduzierten
Umständen
baren Graphen in den erfüllbaren,
ist
(),
Subgraphen
ein
leeren
völliges
Graphen
die
des
kann
Graphen
also
kollabieren
()
bewirkt.
(e)
eine
eines
ist
sehr
(0).
starke
unerfüll-
27
2.3
Die
Jeder
Resolutionsregel
Link
~erale
eines
und
stellt
zip
auch
die
Resolution
durch
auf
einen
existiert
pon~e
sie
nach
damit
Autolinks
die binäre
einer
Links
an die
des Graphen
an die
deren
eren
das
Non-Autoh.n.k.4
Das Löschen
einer
von
verstärkt
~ zur
gelöscht
der
Resolutionen
"Löschen",-
Knoten
durch
V~~b~
Die
des
seiner
auf
wird,
denen
Vererbungsmechanismus
die
~ nicht
mehr
Nichtbildung,
vererbt
vieler
noch
die
sind,
Kom-
zu ~ und fügt
den Graphen
ein.
ausschließlich
eine
~ bedeutet
auf
~.
der
weit
mehr
Zum einen
nicht
dadurch
resolviert
Löschwirkung
werden,
zukünftiger
von
so daß das
Links
Klau-
TI-Reduktion
als
trägt
Literalauftreten
können
Daaus
Komponente
dann
Resolution
TI-reduziert
Resolvente
in
führt
inzidenten
Da die
Die ~~~ende
.
~~o1utiOn4LLnk4
der
ist
zugela,ssen.
~edu~~ende
~ und
man im Prin-
variablendisjunkt
diese
neuen
zunächst
Isolierung
werden,
kann
d.h.
gebildet.
Wiederholung
Ableitungsschritt
Links
bildet
Resolvente
löscht
durch.
das Löschen
weitere
auf
Obwohl
Li-
5e1b4~~o1ution),
Klauseln
als
komplementäre
dar.
Resolvente Res(Ca,LiCb,K)
Elternknoten
Unterdrückung
jedem
nur
Variablenumbennenung
die
potentiell
(sogenannte
Klauselgraphresolutionsregel
werden
nach
könnte
KOWALSKI-Kalkül
selgraphresolutionsregel
die
zwei
Resolutionsmöglichkeit
resolvieren
beim
stets
den Links
eine
verbindet
Non-Autolink~=LaKbverbundenen
der
nach
Klauselgraphen
bei.
Da
schließlich
wurde.
Zum an-
~:
spät-
Bei
Löschen
nach
sich
von
t
zieht.
28
2.3.1
Algorithmus
Po
~
&in.[).abe:
: Klauselgraph;
ab. : L1n k
= LoKo
Korvd.arvten.
CI :=
..
'
Link 1]
in ~
JI.,
naU(Lo,Ko);
e := U-Substitution
~
{;
Vall.J..ablen:
und
für
Res(Ca,LoiCb,Ko)'
eRes(Ca,Lo;Cb,Ko)
: = Knoten,
c
mit a f b;
~
der in
variablendisjunkt
nicht
nicht
{; := {; + <c,eRes(Ca,LoiCb,Ko»i
2:
Für alle
L e Cc
2.1:
Wähle K, d mit d e {a,b}
2.2:
Für
alle
mit
MeKd ist
AUA[J..abe:
~;
Nachb~f}:
~o
Die
e
folgende
A
K ecd
Link
L sind
:=
{;
in
[EJ
potentiell
komplementär
+ MeLc;
veranschaulicht
die
Funktion
von
b
~
\
\
\
...
[L]
...
~
gel
ist,
'
~.
komplementären
Jedes
Literal
ternklauseln
WIJ
...
0
... ~
.
Der
Einbinden
der
gebildet.
wird
bezeichnen
bei
die
~~endwo
Resolvente
Wir
Hauptgedanke
Resolvente
Literalauftreten
der
j
j '0
60
... ~L
""c
Linkvererbung.
beim
...
~
9,
"
Die
~:
,
[ßJ
?
2.3.2
= ecrK;
~
a==d
I
L
= {; - c.
Skizze
"
A
M, e
und Mund
{;
vo:
vorkommt;
d, e : Ki
1:
2.2.1:
sind;
=~i
: Klauselgraph:
L, K, M : ~i
so daß
aus
der
Klauselgraphresolutionsre-
aufwendige
im Graphen
einem
diese
oder
Literale
Suche
nach
potentiell
zu vermeiden.
mehreren
in
den
Literalen
Elternklauseln
der
Elals
29
Vorgänger
einem
des
Literals
Vorgänger
entsteht
Das ci..nbi..nden
p
wi;r;dzu
0
K in
kürlich
der
der
Literal
Resolvente
treten
Me durch
kanten
Vorgänger
der
Link
mit
mit
verbunden,
Kd verbunden
ist.
erbt
wurde.
elle
Komplementarität
ist.
Da bei
immer
Links
geben
zwei
zwei
hat
das
Dort
verschiedenen
sagen,
daß der
Link
= BuK nicht
Resol-
stets
potenti-
verlO]
verloren
BoK= K gilt,
ilt,
gegangen
~können
hier
der
der Reso]
Resolvente
(b)
(b)
I~
IQalQxlpxl
mehr
Ipa!
IQal
die
Multivererbung
terschiede
signÜi-
wenn
enn djdie
~I
gibt
und weniger
L
L Li tera1auf-
MeLc can die
1
Fall
bleiben
Robert
men von Wolfgang
L
dann,
an,
an, inin denen
denen ein
ein Literal
Literal
Qa zwei
kann
nur,
wie
bei
in
arbeitet.
an die
BIBEL
in'/Bi8Ia/
zwischen
zwei
zwei Literale
Literale
für
die
unberücksichtigt.
bei
Mono-
in
Klauselgraphen
~ kommen nur Links
In
KOWALSKI in
als
Vorgänger
verschmelzen,
verschmelzeR,
derselben
nicht
die
die
zu
zu
gehören.
Links
Links
verschiedene
aussagenlogischen
aussagenlog1schen
(a),
(a),
Resolventenliterals
inzidenten
will-
Eir
.n Li tera1
Ein
1
Dagegen
mit
K --+-
Klauselgraphen
und Multivererbung.
Vorgänger
Dieser
dem!
Link
Vorgänger
Va:
hat:
können
eines
MeKd immer
den Übergang
Elternklauseln
Mono-
Vorgänger
seine
der
Beispiele
Beispiele
Dieser
vorkommen.
mit
von
MeKd an den Elternknoten
entst
entstanden
:tanden
ist.
e c
e c
ec
ec
wurde zu M L und daß
daß MM LL vor
von M K ver-
Resolventenliteral
Elternklausel.
dere
bereits
2.1
werden.
werden.
vererbt
nun
gewählt.
komplementären
wenn Me
1~
{!I9J
1.21.~_r---{!I2]
(b)
2.3.3
kann
durch
Vorgänger
(a)
In
werden
aussagenlogischen
alle
Wir
als
Vererbt
:in
:h ej
ein
als
v<
Vorgänger.
In l Sc!
:hritt
Schritt
Vorgänger.
potentiell
Wir
vente durch Vererbung
aus dem Link
.
.
ed
Wlr sagen welter,
daß M K vererbt
sich:
wird,
mehr
seil
seiner
ner
indeterministisch
signifikanter
einem
mit
merging)
vor
d bezeichnet
heißt
dann
einen
Resolvente
der
Vorgänger
wirdl.nur
(engl:
<geht nun wie folgt
L in
Elternknoten,
ausgewählte
Ein
Ein Resolventenliteral
Resolventenliteral
durch
durch Verschmelzung
'P.edoJ...ven:te
dvz.
jedem
einem
inin der
der Resolvente.
Resolvente.
/Ko75/
Dabei
Vererbung
Wir
sprechen
und /Ko79/
wird
Resolvente
und Multivererbung:
jeden
zu vererben.
und /Bi8lc/
Multivererbung.
für
eine
erzeugen
Das folgende
an den signifikanten
in
Frage.
daher
von
Links
an an-
Monovererbung.
Resolutionsregel
Vorgänger
Die
an,
versucht,
Vererbungsmechanis-
mehr Links
Beispiel
aJ.s bei
zeigt
Monodie,Un-
~
30
(b)
(a)
1
l!illJ--iQIpIU
(c)
/
Qlpl ll~ IQI
(d)
.
IQIRI
V
Die
Graphen
Bei
(b)
(b)
wurde
Elternknoten
nismus
nach
der
bei
(a)
beider
der
durch
jeden
einer
gegenüber
nur
wie
Vorgänger
Dagegen
mehreren
einmal,
wendige
2.3.4
den,
erspart
Abfrage,
Lokale
heißen
Links.
ob ein
überlege
Der
Leser
tolinks
oder
von
Links,
das
den Graphen
Ergebnis.
(a).
im linken
wurde.
also
mit
Der
Indetermi-
wesentlich,
Graph
(d)
d.h.
je
entsteht
Multivererbung.
Die
Links
vererbt.
zwei Vorteile.
bei
Vorgängern
wie
bei
Link
einer
schon
die
Links,
Zwei
als
ist
Beispiele
wird
auf
zeigen.
Zum einen
werden
Zum anderen
erzeugt
Multivererbung
u.U.
folgende
mehrfach
Beispiel
ein
Link
gebildet,
an ein
nämlich
demonstriert:
-
also
lokal.
binden.
obigen
~
gewählt
Vorgängers
Graphen
von
Resolventenliterals
rechts
Resolvente
die
(e)
Monovererbung
(c)
des
Multivererbung
einmal.
mit
Anwendung
Resolutionsregel
an die
erzeugt,
Link
bei
signifikanten
werden
hat
Links
er
man v~rschiedene
Resolventenliteral
für
des
durch
Vorgänger
während
Anwendung
Monovererbung
jeden
enstehen
signifikante
Wahl
Vorgänger
weniger
(c)
gewählt,
Wahl erhält
aus
~
und
Links
die
heißen
sich,
die
Implementierung
gezogen
Resolvente
parallel,
daß lokale
zum Resolutionslink
die
unter
Umständen
auf-
ist.
mit
einem
wenn
Links
sie
n~
parallel
Elternknoten
dieselben
durch
verbinKnoten
Vererbung
sind,
entstehen
ver-
von Au-
31
können.
Die
folgenden
Beispiele
n
zeigen
die
beiden
-
~
~I
(b)
(a)
1
(a)
wird
der
I
Beispiel
(b)
Autolink
zeigt,
zum Resolutionslink
Dies
daß in
Schleife
2 von
Qx'
abgearbeitet
Link
~
die
an
QaQx werden
Dann ergeben
sich
die
für
Vorgänger
(d)
(d)
man die.e Situation
Situa'
Der
Vorgänger
Vorgä
Links.
(e).
Die
.
der
$ituation
$ituat
man die
Resolvente
der
Nehmen wir
in
Reihenfolge
der
folgenden
kommt nur
parallele
Literal
Vorgänger
des
Qx'
in
führen
lokalen
Links
parallelen
an,
Qa,
Schnappschüsse:
Qa im linken
Link.
Elternknoten
Wenn man ihn
vererbt,
in
erhält
der
Resolvente
ist
der aktuellen
in der
erg
ergibt
Links
einen
ergibt
Qx im rechten
Situation
Autolinkund
einen
weiteren
El-
Cd) zwei
zw~i
(d)
die
Situati-
lokalen
Link
(f).
Resolventenliterale
.egelte
kommt man ggespiegelte
folgt:
die
~l~x'l
(f)
nur
des
'erbung
Die Vererbung
Die
iJÜ1
.
ddas
!rbung
Vererbung
und dieLe tin
finale
Bearbeitet
: für
An diesen
loten.
ternknoten.
on
Qa in
die! ;es Qa fführt
An dieses
Frage.
Links
~iQ~a Qx'
IQexll
Als
wie
drei
Aus dem
(d)
IPIQxl
J
vererbt.
arbeitet:
Resolventenlite~ale
~
I~
~
~
Resolvente
insgesamt
im einzelnen
IQaIQx'l
(e)
die
Vererbungsmechanismus
geschieht
werden.
~P
IQa
(c)
Elternknotens
der
parallelen
gebildet.
der
linken
subtil
Resolvente
Qx'
IQexll
des
wie
~
V
~~Ipyll
-In
Möglichkeiten:
Zwischenzustände
in
in
und
der
I
umgekehrten
dens:elben
Reihenfolge,
Finalzustand.
be-
32
~
Bei Anwendung von
keine
in
Tautologie
auf
ist,
keine
AT7Klauselgraphen
schiedenen,
2.3.5
keine
parallelen
Die
Indeterminismen
(a)
Bestimmung
von
8.
(b)
Bestimmung
von
c.
(c)
Reihenfolge
bei
(d)
Wahl des
signifikanten
(e)
Reihenfolge
bei
in
(a)
nennungen.
Der einzige
nale
bei
einer
die
[;'
die
Graph
die
Durch
je
nach
Links
Konfluenz
an die
Resolvente
siert.
In
Wir
g'
späteren
schreiben
eine
signifikanten
und
(c)
~ lj
mögliche
in
einer
ver-
Stel-
ist.
Wir
haben.
finalen
Graphen
zwar,
2.3.3
gibt
eine
. 0
sein
da diese
für
werden
der
~
oft
auf
korrekte
Eingabe
ist.
zwei
wird
Vor-
der
klar,
fi-
daß
(!)
Resultat
uns
im wesentlichen
die
weiteren
von
die
ausfallen,
sich
man etwa
solche
de-
Literal-
Anzahl
der
inzi-
Aussagen
zur
Wahl
untersuchten
Fr~gen,
wie
ist.
für
Vererbungsschleife
wir
dann
gleichem
denen
Nachbedingung
g'., wenn <g ,~> eine
zu dieser
die
Bedeutunq
weitere
Beweisen
kann
keine
un-
können.
sich
bei
nur
also
Resolvente
bei
Inde-
aber
(d),
Man mache
läßt
wählen,
hier
ist
verschieden
) §' selbst
gewählt
machen
von
der
zeigen.
~:~
~
in
Die
und Variablenbe-
unterscheiden,
Implementierung
unabhängig
Knoten-
Literal
Vorgänger
ohne
unwesentlich
Graphen
Vorgängers
Vorgänger
(e)
den finalen
Links
anders
signifikanten
0 .
Ausgabe
zu zwei
an den folgenden
und
verschiedene
des Übergangs
und Vollständiqkeit.
Le~a
(c)
Wenn ein
In
daß es
2.1-
Vorgängers.
Vorgänger,
Das folgende
Schritt
Indeterminismus
signifikante
signifikanten
durch
des
der
Po ist
wesentliche
Vorgänger
minimal
auf
Wahl
machen.
als
Einfluß
inzidenten
signifikanten
daran,
sind.
Indeterminismen
2.1.10)
(b)
Resolventl
Resolvente
2.2.
den
(a),
Vorgabe
in
in
Wiederholung
auftreten
der
sich
Graphen
terministisch
denten
von
die
Resolventen
Algorithmus
.
falls
Das liegt
und die
(b) beeinflussenden
signifikanten
hat,
wie
Sinne
entstehen.
Tautologien
Po iDer
daß die
und
können,
2.
keinen
(im
gäng~r
stets
Vorgängers
sich,
wesentlich
Wahl des
gibt
Schritt
daß sie
terminismen
Autolinks
Schritt
überlege
d.h.,
Links
in
indeterministisch:
Der Leser
AT-Klauselgraphen
lokalen
Links
len
sind,
einen
dieses
~ an, die
2 in
~
die
Links
charakteri-
Lemma zurück~reifen.
Eingabe
für
Po ist,
und wenn
33
2.3.6
~
Sei
L C ein
Literalauftreten
in
der
Resolvente
zu
0
und sei
Dann gilt
tär
-t---+{f'.
Lemma. Sei {f
-
Kd der
für
obigen
beim
jedes
Übergang gewählte
Literalauftreten
Me in
signifikante
Vorgänger
das zu Lc potentiell
{f',
zu
LC.
komplemen-
ist:
MeLc ist
ßew~.
Link
Man mache
e d.
in~'
sich
<==>
zunächst
M
die
K
.
L1ll
.
III
des
Satzes
1St
Aussagen
k
r.
~
.
an der
folgenden
Skiz-
ze klar:
e
"-
d
"-
I
Dabei
ist
sein
werden.
{I
~o) {Ir
~c
ll:J
I
daß der
Knoten
I
e mit
jedem
der
drei
anderen
Knoten
kann.
statisGhe
dynamischen
u j
~
zu beachten,
identisch
Die
"
Aussage
Ablauf
des
der
Im Beweis
legen
zugrunde,
bei
Satzes
Vererbungs
wir
muß für
schleife
einen
den Beweis
~
von
beliebigen,
dem Kd als
in
aber
signifikanter
mit
dem
Zusammenhang
fest
gebracht
gewählten
Vorgänger
für
Ablauf
Lc gewählt
wur-
deo
"==>" . Sei
Durchlauf
eingefügt
bereits
Fall
MeKd Link
Fall
Link
2:
haben
zeigen,
daß
liefert
der
Nf und Kd signifikante
D.h.,
denzknoten
daß NfKd
von
ein
~ ist.
ist
Links
Da Kd der
Link
Damit
in
. <L,K d ,Me >Po 1m
von
Voraussetzung,
existiert
signifikante
daß der
Link
MeKd auch noch
u==>u-Teil
ist
McLc
vorganger
..
zu ~ paralleler
MeKd
in
~'.
existiert
wird
von
Linkd.h.
~
oder
Link
e =c.
erzeugt
nac h veraussetzung
'
fund
d heide
ein
NfKd
und
MeLc jedenfalls
daß auch NfKd Link
sind
der
zu Lc ist,
~'.
Resolvente
Da McdK
Link
in
MeKE!~eln16kaler
der
zu M.c
sind,
sind,
MeLc Link
des Beweises,
Vorgänger
Vorgänger
komplementär
~. Dann ist
Autolink
Also
2.2.1
löscht,
L potentiell
der
Schritt
~'.
Po erzeugt.
d er slgnll
"
f ' k an t e
~' ist,
~.
in
nicht
Dafür
keine
Mund
von
MeKd ist
zu
Sel,f N
2.2
MeLc muß in
sein.
in~.
voraussetzung
Schritt
~'.
Da ~
1: MeKd ist
nach
in
worden
existierte.
H<:==H. Sei
in
MeLc Link
Autolink
bereits
Wir
wird.
Lln k ln
'
'
in~'
ist.
Inzidenzknoten
eines
in~.
der
Da
von
Inzi-
Graphisch
34
läßt
sich
die
vorliegende
f
Situation
wie
,~ /
folgt
darstellen:
/d
" --' I
!
Fall2a:
stlert,
,
In
L nach
2 von
k
Voraussetzung
..
Vorganger
Fall2b:
nach
Schritt
'
'
wenn d le
Lln
zu L
In
c,
Po wird
potentiell
'
1st,
Schritt'
W1r
dd
2 von
Voraussetzung
Also
bildet.
nachfolgenden
Autolink
wird
totale
Graphen
in
~jo-
-
Wir
Zu jedem
Literal
Übergang
wie
Lemma 2.3.6
Fall
in~.
komplementär
sind,
dies
Bearbeitung
Wir
totale
soll
zeigen
Graphen
[; '.
A,
~
gilt
von
L der
von M wird
Da Mund
auch
lokale
dieser
für
N und L
Link
lokale
L
NfLc
Link
gezum
51
der
oben
total.
zeigen,
Resolvente
K potentiell
nach
daß er
potentiell
komplementären
VO~~~
in
der
ist,
daß MeKd
auch [;
I
d.h.,
daß
51', welches
Link
in
potentiell
in
der
Re-
komplemen-
51' ist.
Vorgänger
signifikante
durch
Vorgänger
Link in g' ist.
sind,
total.
I
Literalauftreten
signifikante
Kd der
komplementär
ist
Lc ein
daß MeLc ein
Sei
es zu zeigen,
nun,
Sei
sei
festgelegt.
genügt
daß Mund
müssen
Suche
I wenn [; total
Dann ist
sei
die
überführt.
Po
zu ~ und Me ein Literalauftreten
zu Lc ist.
setzung
M bearbeitet.
Bearbeitung
signifikante
erzeugt.
L und dann
der
M K . Da M un d
und Kd der
zuerst
von
ßewei.A. Sei 51-.& 51'und
fert,
sind
er Ll.n
[]
ersparen.
2.3.7 Satz. Sei [;
solvente
Da
L bearbeitet.
Dann exid er Lln
K .
' k Mcd
McLc vererbt.
Literalauftreten
tär
wird
bei
Der Vererbungsmechanismus
er
komplementär
l ' k cC
uto 1n M L
potentiell
der
M und dann
A
er
~
(Lemma 1.2.14).
Bei
zuerst
s an L c: erzeug t wer d en, b erelts.'
erzeugt wer en,
erel.ts
da Mund
von
einen
Lc.
Wegen
Lemma1.2.14 lieL dies
nach
Voraus-
sind.
1: e + c. Dann sind
Da ~ total
ist,
MeKd, wie zu zeigen
Me und Kd potentiell
ist
war,
MeKd Link
ein
Link
in~.
in ~'.
komplementäre
Da ~ ein
Literalauftreten
Subgraph
von ~'
ist,
ist
35
,
:är
komplementär
te
e
zu
zu M~.
M , Da Mund
f.' k
..
der I,'signifikante
2~' e ==c . Se~ Nf der
s~gn~' ~ ante Vorgänger
Vorganger
Fail
ind
sind
sind
sind,
sind,
kind
Vorgängerrer kind
stiert
der
Link
Li
auch
auch
Nf und
und Kd
Kd beide
heide
Nf
und
Kd
heide
in
NfKd
.
.
ist,
~st,
2.3.8
Algorithmus
da ~C
[;e
ist>
ist", der
J!,
in
in
Va/Li...ab..Le:
r:;
.
:;::
1:
ff : =
2:
r .':;;I
AU4f}abe:
[t.
P
nicht
nicht
Link
Link
Vorgängers,
Vorgängers,
folgende
AlgoritfÜnus
Algorithmus
p:
(.0-
also
also
kein
Schritt
Graphen
Graphen
pp
pp anwendet,
anwendet,
den
leeren
den leeren
Als
(a)
in
(a)
iJ
erhält t man,
man,
erhäl
(!)
(!)
Das obige
indeterministischen
bestimmter
abschließende
Beispiel
2.3.3.
Klauselgraph.
1T-Reduktion
betrachte
p-Regel
auf den mitt-
von der Wahl des signifikanten
Die p-Regel
Beispiel
können
man den unerfüll-
Wenn man die
unabhängig
Klauselgraphen.
KlauselgJ
J/,
bestimmt.
durch den Schneeballeffekt
le des Graphen löschen.
eines
eindeutig
und die
führen.
führen.
~
p0 auf
auf ~
g und
Funktion
Funktion
um den Aufruf
2
2 eindeutig
e
Schritt
Schritt
Reduktionen
Reduktionen
sagenlogischenFall;
~;
~;
Anwendung
Anwendung einer
einer
die
es si.
sich
es
(~IJ/,)
ist
thmus.
JI,) ist
~hmus. Po (~,
1T
11"
TI(~
(,g - J/,)
JI,)
J(,) in
in
:in
die
die
nicht
handelt
handelt
1T-reduzierten
1I"-reduzierten
leren
leren
[[] ]
TI(~ -- J/,)
R,) ;;
Das
Löschenm des
Das Löschen
des
des Resolutionslinks
Resolutionslinks
Re~
baren,
baren,
lie-
1f (~
(~,~)
Vielmehr
Vielmehr
zu
erheblichen
zu erheblichen
Lemma
2.3.6
L
Po (~,
(~, $/,)
$/,) ;i
0
Dagegen ist
Dagegen
ist
~'.
[;',
exi-
Po
~,J/,)
daß p0 (~,~)
daß
Unteralgori
in
ist,
= ~o
~o ;
;
Klauselgraph:
Klauselgraph
.-
darstellt..
auch
Da
total
Da ~
[;
.
: Klauselgraph;
Klauselgraph;
Non-Autolink
Non-Autolink
~o
beachte,
~',
[;',
signifikan-
p
c-U?.[}abe:
Man
in~.
in [;.
Als
was
was zu zeigen
ze~gen war.
war.
.
lutionsregel
Klauselgraphresolutionsregel
Die
komplementär.
Literalauftreten
]Literalauftreten
~
und damit,
[;
k ~n ~'
r.
d
MeK
KI L~n in
~
daß M
fert,
N
N und
und K potentiell
K potentiell
bei
zeigt
der
kann also
schon im aus-
1T-Reduktion,
9röße Tei-
daß die
auch eindrucksvoll,
7?edLtk.ti..onAWiAkU!1.f}
bei.. /YJQnov{Vl.etl.bU!1.f}
etl.heblich. f)/Lößetl. CLL1bei.. /YJultl.vetl.etl.bung.
i4~:
Da bei
Multivererbung
phen (d) liefert,
knoten.
nerell
löscht
Man kann zeigen,
höchstens
grundsätzlich
die
keiri
der erzeugende
der reduzierende
daß bei
beiden
der
Resolutionsregel
Teil
ledig~ich
AT-Klauselgraphen
Elternknoten
Schneeballeffekt
Schneeballeffekt
Teil
gelöscht
auftreten
die
und bei
beiden
Eltern-
Multivererbung
werden können,
kann.
den Gra-
d.h.,
gedaß
36
I
Das Löschen
des
Resolutionslinks
Unterdrücken
einer
ter
spätereQ
Link
bei
mechanismus
po~en~~
Wiederholung
Resolutionen
also
die
hat
der
viel
größere
Resolution.
nicht
mehr
Löschwirkung
Konsequenzen
Insbesondere
vererbt
eines
werden.
einzelnen
als
kann
Der
Links.
ein
das bloße
gelösch-
Vererbungs-
37
2.4
Mit
Die
der
echten
die
Faktorisierungsregel
Faktorisierungsregel
Faktoren
Links
gebildet
und
an den Faktor
lutionsregel
2.4.1
für
mit
Klauselgraphen
in
den Graphen
der
gleichen
können
eingebunden
Knoten
werden.
Dabei
Vererbungsmethode
wie
bei
die
werden
der
Reso-
erzeugt.
Algorithmus
~
~o : Klauselgraph;
f..i.rtg-abe:
KOMj:.an;ten :
aa
: Knoten
in [;0 ;
cr
a
: F-Substitution
für
Ca mit
e := U-Substitution
für
crCal so daß
junkt
[;
VaA.1..ablen:
der in ~nicht
: Klauselgraph
L, K, M : L;
e:
und
und 8aCa variablendis-
vorkommt;
K;
[; := [; + <c,ecrca>;
2:
Für alle
L e Ca
2.1:
Wähle K mit
2.2: .
Für alle
K e Ca und L
= eaK;
M, e
MeKa ist
Link
in [;
und Mund
L sind potentiell
r
[; := ::I + MeL c ;
2.2. 1:
~
:= ~;
1:
mit
a + e;
sind;
c := Knoten,
komplementär
1T([;) .
Al14f)abe:
Wir schreiben
wenn~'
zu einem
eine
~ a,d,&"
~
mögliche
wenn
Ausgabe
<&,a,cr>
zu
n-reduziert
ist,
dann
ist
n-Reduktion
kann
dann
höchstens
eine
dieser
Eingabe
~ C~',
offensichtlich
der
korrekte
neugebildete
Eingabe
ist.
d.h.,
für
~ ist,
~~~,
Wenn
bei
Faktorknoten
~
und
und
~
der absfhließenden
gelö~cht
wer-
den.
2.4.2~.
auftreten
Sei {j
im Faktor
a;a'{j',
zu a,a
{j=f={j' und sei
und sei
{j 1f-reduziert.
Sei Lc ein
Literal-
Ka der beim obigen Übergang gewählte sig-
38
vorgänger
nifikante
das
zu
Lc
potentiell
e c
M L
ist
Satz.
ßewei4.
Die
in ~'
<==>
[j ~'!-.-
gleich
da zwei
jedes
Literalauftreten
Me in~'
,
ist:
MeKa ist
Link
in ~'.
[j I
[]
Dann ist,
wenn
<P
zu Satz
~
total
ist,
auch
~'
total.
[]
2.3.7.
Faktorisierungsregel
den,
für
zu Lemma 2.3.6.
Sei
Analog
Dann gilt
komplementär
Link
ßeJ./)eiA. Ar
Analog
2.4.2
zu LC.
läßt
variablenfreie
sich
nicht
Literale
auf
nur
aussagenlogische
dann
unifizierbar
Graphen
sind,
anwen-
wenn sie
sind.
rsuchten
In den von uns untersuchten
seimengen)
Fall
wissen
lieh
ist.
ist
d.
die
Faktorisierungsregel
Faktoris:
ohne
ae BE
Bedeutung.
daß die
Resolut:
wir' ~ vom Resolutionskalkül,
ach
Da es; jedoch
sen allgemeinen;
bisher
bishE
1 Fall 1 gibt,
sind
f
kein
einziges
alle
Faktor]
dungsbedingungen m derr Faktorisierungsregel
se re Version
Ir
nur
(aussagenlogische
(aus~
Spezialfällen
nen Vorschlag
einen
Vorse
dar.
und unäre
Für
den allgemeinen
Faktorisierungsregel
s Vollständigkeitsresultat
Vo]
gen iüber
Aussagen
rein
rein
die
spekulativ.
Form
Klau-
erforderfür
und die
So stellt
die-
Anwen-
auch un-
39
2.5
Ableitungen
2.5.1
Ableitungsregeln.
Eine
deterministischer
führt.
der
wir
Algorithmus,
P-,
erst
ihnen
in
der
~-,
Regeln
sind,
neue
Regeln,
einen
Subgraphen
zeugen
TI-reduzierte
xl""
a
[;
,xn
)
[; a-+
--
[;
-
[;
-
überführen.
Alle
Wir
für
wenn
.C;',
a ist,
p
[;
zur
führen
der
die
wir
~ primär
p und
sind
mit
in
die-
erzeugende
T und
und damit
Regeln
näm-
Diskussion
einfügen,
vier
über-
a-Regel
wollen,
löschen
in-
a rein
den Graphen
in
des KOWALSKI-Kalküls
er-
schreiben:
und <[j,xl"'.
für
die
"xn mit
wenn a + ß und
[;',
a,
---+
den Graphen
wenn es xl,..
[;',
ß)
Während
Knoten
gabe
--
definieren.
wenn a e {p,<jJ,a,,}
[;',
da wir
ein
Ableitungsregeln,
T- und die
zurückgreifen
in
ist
Klauselgraphen
vier
Die
ein,
lediglich
Graphen.
in
Begriffe
Elemente
die
Klauselgraphen
insgesamt
und 2.8
auf
Abschnitt
reduzierende
seiner
2.7
Probleme
d.h.
aus
T- und dera-Regel.
den Abschnitten
verbundenen
für
Klauselgraphen
besteht
der
sem und im nächsten
--
der
Der KOWALSKI-Kalkül
lich
Ableitungsregel
[;
---+
)
eine
a
xl'...
[;
mögliche
,xn
oder
[;'
a
a ,
<jJ
[;'
,xn> eine korrekte
[;
)
--+
ß
Ausgabe
ist.
gibt.
[;'
gilt.
[;'
.
Ein-
gilt.
[;'
, , ,
2.5.2
Ableitungsschritte.
schritt,
wenn
2.5.3
Ein
xl'
(X
y
Ableitungen.
...
Eine
Yi~yl
(a)
Für
alle
(b)
Die
~-Regel
wird
die
~-Regel
erzeugt
Für
zwei
(c)
heißt
r mit
mit
Folge
n
in
und o$S(y)
= EI'
r
Ableitung
1 <i.s.
E =<y,xI,...,Xn'(X'Y'>
gilt
) y'
Ei:
i
Tupel
,xn
. . En'
~0
ist
von
Ablei
tungsschri
tten
wenn gilt:
= Yi'
yl-l
r nicht
Ableitungs-
ist.
(im KOWALSKI-Kalkül),
auf
Knoten
angewendet,
die
in
r selbst
durch
wurden.
Faktorisierungsschritte
i < j
n
heißt
existiert
stets
Ei:
ein
k mit
Yi
:'0-
i < k < j,
) yI
und Ej:
Yj
so daß a kein
:,0-
) Yj
in
Knoten
in
Die
Bedin-
Yk
ist.
Die
leere
gungen
(b)
Ableitung
und
Damit
wird
die
einer
Resolution,
(c)
ist
die
erzwingen,
~-Regel
der
da der
leere
Folge
daß in
p-Regel
von Ableitungsschritten.
r kein
Faktor
gleichgestellt,
Resolutionslink
gelöscht
mehrfach
bei
wird,
der
von
gebildet
eine
wird.
Wiederholung
vornherein
unmög-
40
lich
ist.
In
Bedingung
(c)
nicht
enthält,
verlangen,
kann,
der
wieder
dann
anderen Klausel
Bezeichnungen.
tung.
Dann heißt
!ia der
Initialgraph
-
!in der
Finalgraph
-
!ii
Zwischengraph
Anzahl
und wird
der
mit
wird
durch
Sei
r:
von
von
Irl
daß die
Konkatenation
von
r,
fortsetzbar,
rr'
eine
Klausel
ist,
TI-Reduktion
2.5.5
Schreibweisen.
fi
I--
Anwendung
Wir
leere
oder
einer
wird.
nichtleere
hat
also
nichtleere
ist.
der
r heißt
die
Ablei-
die
Offensichtlich
wenn der
leere
Graph
Eine
r'
gibt,
so
eine
Dies
nicht-
von
folgt
Ableitung
des
r
null.
ist
ist.
von
Länge
Finalgraph
nichtleeren
Ableitungsregel
Länge
Ableitung
Ableitung
r entsofort
stets
TI-re-
KOWALSKI-Kalküls
fi'
mit dem Initialgraphen
von
wenn
r die
fi
leere
und dem
ist,
oder
Ableitung
und
gilt
und ~' ein Zwischengraph von rist,
ist.
wenn r: ~~~II
und ~ =~' =~" ist.
oder wenn r die leere Ableitung
-
mit
schreiben:
fi=fi'
- ~ f-- ~ I ,
d
wird.
Finalgraphen
r: ~f--~I ~~",
Ableitung
einer
einer
wenn reine
fi' ,
i.a.
der
werden
eingebracht
eine
Ableitung
fortsetzbar,
Finalgraph
begleitet
-
einer
Ableitung
enthält,
daß der
da jede
erzeugt
erneut,
$-Regel
Yk'
gilt.
wenn es eine
die
r:
wenn a..:::i..:::n
Die
weder
duziert
Knoten
. . . --+!in
---+
in
r genau dann nicht
Tatsache,
r ein
Graphen
r.
Ableitung
aus der
von
eines
r.
leere
leere
Existenz
oder die
p-
!ia --+!il
bezeichnet.
r heißt
die
und schließlich
die
Ableitungsschritte
Ableitung
einer
wir
im Verlauf
gelöscht
-
Die
weil
markiert,
2.5.4
ein
müssen
~ f-- ~' existiert.
wenn eine Ableitung r mit r: ~ f-- ~, f-- ~" existiert.
wenn eine
~ f-- ~, f-- ~" ,
Der Leser
mache sich
küls
zwar
reflexiv,
sitiv
ist.
Hülle
von --)
2.5.6
Widerlegungen.
klar,
aber
Aus diesem
Eine
wenn ~ der
Klausel
enthält.
daß die
wegen
Ein
Ableitung
Klauselgraph
r:
den Bedingungen
Symbol f--
Initialgraph
r mit
f--
Ableitungsrelation
Grund benutzen
das neue
phen ~,
Ableitung
wir
und
(c)
in
2.5.3
nicht
(bezeichnet
die ~an~~ve
Widerlegung
für
Klauselgra-
.
ist
heißt
tran-
~
statt
r heißt
zu r
(b)
des KOWALSKI-Kal-
und der
widerlegbar,
Finalgraph
einen
von
wenn eine
r
die
leere
Widerlegung
41
für
ihn
existiert.
- r : ~l---o,
~\-o,
--0,
2.
5 . 7 Die
2.5.7
Wir
wenn
wenn
der
der Reihenfolge
RI
Di""'Ok
Di I ..
.
I
(siehe
(siehe
lich
lieh
legung
legung
ihrer
Dl,...,Dk'
1.4.7)
1..
ist.
für
fü
Dl,...,Dk
Erzeugung.
Dann
so daß
dann
Beispiel.
es
fi~I--~'
t-- _~'
fj
r:rr:';
eine
in
'ten
in rr erzeugte
I
erzeugten
Ableitung.
Resolventen
in
stets
!nde Varianten
passende
stets ; passend
rR :=Cl",CnDi...Dk
:=cl",cnoi...Ok
.
eine
eine Re
Res<
Resolutionsableitung
lng zu r. OffensichtResolu~ionsableitung
für
für fi,y, wenn
wenn rR
fR eine
einele Resolutionswider-
Resolutionsableitung
'
Widerlegung
-
Pp
P
Q
Q
Q
---
S = {R,PR,PQ,PQ}.
Sei
Pp
-1
2
RR
-
-
P
P
Q
I
r
Q
sei
P
R
R
Dann
Dann ist
ist
r
-=R,PR,PQ,PQ,P,P,O
überlegt
überlegt
sich
leicht,
Widerlegung:
.
PP
1- 2
I
Ip
pi
Ip pi
1-2
pp
p p
Pp
,
(0) .
eine
daß die
Q:
die
'.1
- 2
:1-2
QQ)
Q Q
P
R
R
R
die
gibt
induzierte
eine
Sei
Sei
ist.
S(fj)
r =
~s =
~S
ist.
und seien
r R heißt
r genau
y ist.
Reso:).. utionsableitungen.
Dk von
ist
ist
2.5.8
~ widerlegbar
= {Cl"",Cn}
Sei S(fi)
S
WiderlE
Widerlegürtg für
wenn reine
induzierten
Sei
schreiben:
durch
R
Resolutionsab:
Resolutionsableitung
induzierte
PR
r.
Man
den Baum
PQ
~J
zu
PQ
P
R
0
dargestellte
duziert
Resolutionswiderlegung
werden
nicht
mehr
2.5.9
2.5.9
Korrektheit
Korrekth
kann,
da nach
im Graphen
Logikkalkül
Logikkalkül
completeness).
completeness)
der
mg nn
für S
S
von
keiner Ableitung
Ableitung ffs f--f
Q für
für
S von
von keiner
keiner
inf -12
'
1 '
d
.
eln elten
en Resolution
Resolutlon
au RlR2;
R R das At1
einleitenden
auf
Atom R
vorkommt.
und Vbllständigkeit.
sind
si:
Korrektheit
. Der
(engl;
KOWALSKI-Kalkül
Die
klassischen
soundness)
heißt
Forderungen
und Vollständigkeit
an einen
(engl:
42
-
korrekt,
wenn
jede
Klauselmenge
S,
für
(die
ys
widerlegbar
ist,
unerfüllbar
ist.
-
vollständig,
wenn
jede
Der
Korrektheitssatz.
ßeww.
Seine
Sei
Se:
Klauselmenge
lie Korrektheit
S (~S) . Die
für
.llbar
:üllbar
unerfüllbar
S(gs)
Die
ist.
ist.
Vollständigkeit
piteln
KOWALSKI-Kalkül
und
~esolutionsableitung
Resolutionsableitung
induzierte
3 und
Klauselrnenge
unerfüllbare
S der
initiale
Graph
ist.
ist.
Ys widerlegbar
2.5.10
für
r eine
zu r.
des
4 zeigen
die
rR eine
Resolutionskalküls
J
ist
KOWALSKI-Kalküls
wir
korrekt.
Widerlegung
Dann ist
Wegen
es
Wegen S(~S)
S(~
des
ist
Sei
Ys' Sei
für
YS'
rR eine
eine
Resolutionswiderlegung
(1.4.10)
garantiert,
daß
auch S unerfüllbar.
ist
Vollständigkeit
bis
heute
für
[]
[]
unbewiesen.
spezielle
In
Klassen
den Ka-
von Klau-
selmengen.
2.5.11
Nichtabbrechende
Ableitungsschritten
Anfangsstück
2.5.12
-
p
p
Q
Q
heißt
Ll...Ln
Beispiel
Ableitungen.
nichtabbrechende
eine
für
Ableitung
eine
P
p2p3
I
P
P
Q
p
=
I~
Q
p
p "p I
-2 p 3
p
P
,
...
Folge
Ableitung,
wenn
!
ElE2...En...
E1E2...En...
für
alle
Ableitung.
-
-"""".
p
p
I
Q
,""'"
p
P
unendliche
ist.
nichtabbrechende
-"',
p
Eine'
Q
~lQ5
P
,.
p
p
I~
Q
:::
Q
PI
von
n ~ 1 das
43
Filter
2.6
Robert
KOWALSKI nannte
In
Tat
der
rithmus
~S
kann
schritte
Danach
Die
ein
aus
zwei
Erstens
Erstens
wie
kann
also,
leitungsschritte
Procedure"
indeterministischen
zunächst
der
erzeugt
ist.
Graph
Ableitungs-
Die
ist,
Algo-
initiale
gewählte
daß S unerfüllbar
an diesen
Algorithmus
unerfüllbare
der
Korrektheit
und die
des
erzeugte
ist,
Klauselmenge
leeren
Klausel
daß er
S
nach
VO~~~
endlich
terminiert.
vielen
Diese
Forderun<
Forderung
erfüllt:
Beispiele
auch
2.5.12
für
und
unerfüllbare
2.7.6
S, nicht
zeigen,
zu tE
ter-
nichtabbrechendE
nichtabbrechende
gibt.
an sich
demonstrieren
Man benötigt
Klausel
dieWiderlegbarkeit
2.8.6
S wird
Ableitungsprozeß,
die
einen
Proof
dafür.
nicht
von ~S aus
und
leere
Erzeugung
der
da es,
Zweitens
2.7.2
der
als
Graph
indeterministisch
Aussage,
jede
Gründen
Ableitungen
die
für
braucht
minieren,
minieren,
die
Forderung
daß er
mit
solange
Beweis
naheliegende
Schritten
ist
ist
dann
ist
d.h.,
c;Iie "Connection
Klauselmenge
werden
bis
gestattet
Widerlegung
ist,
ist,
Zu einer
ausgeführt,
Kalküls
Kalkül
man den KOWALSKI-Kalkül
auffassen:
gebildet.
Ys
seinen
verloren
gehen,
wie
die
Beispie:
Beispiele
werden.
zusätzlich
zum Kalkül,
so einschränkt,
daß die
einen
einen
beiden
FLlt~,
F~en,
der
der
obigen
die
die
Wahl
Wahl der
der 1Ab-
Insuffizienzen
besei1
beSeitir
werden.
2.6.1
2.6.1
Filter.
Prädikat
auf
Ein
der
aller
wenn für ralle
a
so daß fE
gibt,
r :&J,-.""""-':::1"r"
[7,'
yf--ry', g',
Als
Ob wir
allem
den KOWALSKI-Kalkül)
Ableitungen
Ablei tung
n
eine
ein
enn
wenn
reine
Filter
Lonym für r F:
Synonym
vonL seiner
se.
als
(des
Wenn F<r)
F(r)
Wenn
--;.+
das
~l --
Anfangsstück
ist.
benutzen
Restriktion
sprachlichen
sp:
.
~o
--
.
.
für
fü
für
~,
heißt
..
Wir
so daß für
jedes
jedes
kk mit
mit
wen
wenn F(r)
gilt.
nicht
nichtabbrechende
.
-+-+
~n
ffn
F-Ab-
F-Ablei
eine
Eir
Eine
tung
E
schreiben:
ist.
von ~ nach~'
wir
entscheidbares
wenn es einen !n AbI
Ableitungsschritt
F-Ableitung
F-Ableitung
ein
dann
gilt
dann
dann gilt
gilt
F-Ableitung,
F-Ableitung,
-.
~2
ist
KOWALSKI-Kalküls),
gilt,
gilt,
gilt,
rr heißt
heißt
F-fortsetzbar,
F-Ableitung
es ein~
wenn
w n e:
einen
.nen Filterter
~o
~I
Eine! Ableitungung r heißt
ist.
-
Menge
(für
F(Ll...L:k).
Eine
Ableitung
. Lk)'
EJt-).Eine
Eine Ableitung
nichtabbrechende
leitung,
F
= EI
LI.. . . .In
.'Ln gilt:
gilt:
r =LI...1.:n
jede
jede Ableitung
l2k2n:
Filter
die
oder
Formulierung
Begriffe
gibt.
gibt.
Restrikti,
.riktion
Restriktion
alsLs Strategie
Strategie
und der
und
bezei,
bezeichnen,
bt
S'
Strategie.
h;
hängt
vor
damit .t ver:
verbundenen m Intuition
44
ab.
Typische
2.6.2
Die
und
P-
Beispiele
ep-Schritte
Die
tung,
wenn die
Vor
vorkommen.
dem ersten
Schritt,
FF steht
so oft
p-Schri
wie
tt
wie
"full
2.6.5
Die
der
enthält
Link
unär,
ration
ration
--
Wir
(engl:
(en
Für
die
auf
Für
nur
wenn wenigstens
definieren
durch
jeden
FF-AbleiFF-Ablei-
die
ep-Regel
auf
auf
jeden
jeden
vor
dem nächsten
Nicht-
cp-
angewendet.
für
eine
jeden
rekursiv
a
in
wie
ist
~o
einen
durch
--+
.
auf
$-Schritt
--+
ffn heißt
Links
für
wenn
angewendet
r keine
wird.
unär
Link
in
Ein
ist.
-~
jeden
tung,
ist.
~ -~
Sei r:
und
T-Ablei
Tautologie
Inzidenzklauseln
eine
r die~-
folgt:
=0
:
.
~i ~~i+l
l,
.
U-Ableitung,
unäre
seiner
.
eine
r heißt
Knoten
Gen (a)
p-Schritt
einen
~
r:
wobei
fi
eingebrachten
a und b die
a,u
I fi+l
Knoten
c
Inzidenzknoten
eingebrachten
ist
zu JI. sind.
Knoten
c ist
$
Gen(a) . .
Gen(c):=
-
zunächst
den Resolventenknoten
Ableitung
Gen (c) := 1 + max {Gen (a) ,Gen(b)
-
heißt
heißt
sind:
und Faktoren
unddiep-Regel
Knoten
Für jeden
~n
---t---+ff
erfüllt
ep-Regel,
Eine Ableitung
Eine
level)
jeden
r nur
angewendet.
2.6.6 Generationen von Links und Knoten.
Ableitung.
Ableitung.
-+...
--+...
fb
r wird
wenn in
factoring".
U~Restriktion.
heißt
r wird
NR-Ableitung,
reduction".
~
r:
in
erzeugtenR~solventen
~-Schritte
"no
Bedingungen
möglich,
Die T-Restriktion.
wenn keine
für
möglich
in
r heißt
Ableitung
folgenden
so oft
für
NR steht
Nicht-ep-Schritt
in.~
sind:
Ableitung
Eine
beiden
Nach einem
2.6.4
Eine
FF-Restriktion.
Knoten
(b)
Restriktionen
NR-Restriktion.
2.6.3
(a)
für
Für
2.6.7
jeden
J!,
f1+
[j'
in
Eine
in
r
gilt:
rist
Gen(!!,):=
Ableitung
Gen(J0)=
r
rnin
max {Gen(a:r,Gen(b)}.
heißt
M-Ableitung,
lGen(J0')
I
~,
ist
wenn
Link
für
in
jeden
~}.
M steht
"monotonous".
Bei Restr~ktionen
nicht
= LaKb
Die M-Restriktion.
p-Schritt
für
Link
~ew~
es wird
li~gt
w~den
angegeben,
als0
d~ten.
welche
die
Betonung
Dagegen sind
5~e
~ewählt
darauf,
Strategien
w~den
anzugeben,
positiv
~o~en.
weiche
5~~e
formuliert,
Ein Beispiel
d.h.,
ist:
45
2.6.8
man
(a)
Die BF-Strategie.
~
von
ausgehend
Zuerst
sind
Faktoren
(b)
Die
daß
(c)
(c)
wie
zu
BF-Ablei tung ~o-Yo -+
BF-Ableitung
eine
eine
Yl -+
...
wenn
folgt
folgt gt vorgeht:
vorgeht:
Knoten
Knoten
jedem
~
in
in
in
mit
mit
mit
~o
Yo
der
der
der
~-Regel
~-Regel
~-Regel
alle
alle
alle
nichtisolierten
nichtisolierten
zu bilden.
p-Regel
seine
Man erhält
erhält
darf
auf
Generation
Gen
( ~ )
~
einen
minimal
.mal
Gen
Link
ist,
~ in
~in
d.h.,
nur
dann
wenn für
angew
angewendet
jeden
Lin
Link
we
wenn
werden,
~'
in
~i
gilt,
( R! ) .
Nach einem
p-Schritt,
müssen
der
~-Regel
sofort
sofort
alle
alle
T- und die
a-Regel
dürfen
nicht
mit
~i
bei
dem ein
Resolventenknoten
cc gebildet
nichtisolierten
nichtisolierten
wurde,
Faktoren
Fak
zu cerzeugt
werden.
(d)
Die
BF steht
Wir
für
"breadth
haben
firs't
bewußt
informellen
~rung
Formulierung
steckt
ste(
Strategien.
,legt
Man überlegt
sich
siel
der M-, FF-,
FF-,
ÜbWG.9-e/Z.urLff
BF <==> M ~
2.6.9
Konflu<
Konfluenz.
s
Klauselmenge
läßt
sich
zu
2.6.10 10 Die
aus
formuliert,
der
Unterschied
nämlich
leicht,
zwischen
ist,
F
Jede
heißt
wenn
I--q,
die
qs I--ql--
noethersch.
Ein
Klauselmenge
Vollständigkeit.
der
und
Restriktionen
BF-Strategie
ger.
gerade
die
0
jede
keine
unerfüllbare
Widerlegung
ist,
fortsetzen.
F heißt
Filter
S eine
für
noethersch,
nichtabbrechende
wenn für
F-Ableitung
von ~S
Ein
F
Filter
heißt
vollständig,
i
F
konfluent
und
.
vollständiger
Filt~
1st,
'ist,
dann
dann
stellt
stellt
der
der
!..-
Feinenindeterministischen
Klauselmenge
leere
kalküls
wenn
ist.
F ein
Wenn
digen
iJ
in
d.Ll.:
konfluent,
konfluent,
F-Ableitungqs
.ner F-Widerlegung
einer
Eigenschaft
noethersch
die
genau
existiert.
ex:
2.6.11
mit
denn
daß die
und
und NR-Restriktion
Filter
gilt:
keine,le unerfüllbare
informell
FF
~ NR
FF/"-NR
Ein
:.
werden.
search".
;trategie
BF-Strategie
die
angewendet
Klausel
an sich
Filtern
BF-Strategie
Al-gorlthmus
Algod:thmus
nach endlich
S
erzeugt.
vielen
unbewiesen
nicht
ist,
gesichert.
vollständig
ist.
ist
dar..
dar"
der
der
Ablei tungsschri
Da bisher
selbst
natürlich
Es wird
KOWALSKI~Kalkül
KOWALSKI~Kalkül
zusammen
zusanunen
.'.
jedoch
die
für
für
tten
jede
jede
~S ---+-
Vollständigkeit
auch
die
allgemein
allgemein
Existenz
Existenz
unerfüllbare
unerfüllbare
~l
--+
des
~2-+
.
.
KOWALSKI-
von
von vollstänvollstän-
angenommen,
angenommen,
.
daß
daß die
die
~
46
In
Kapitel
werden
tern
4 untersuchen
ein
leicht
angeben:
damit
für
griffe,
unäre
erfüllt
für
die
Formulierung
von
unären
die
Wir
Klauselmenge.
Vollständigkeit
BF-Strategie
vollständig.
dieses
nichtabbrechende
definieren
von
jetzt
Eine
einige
Be-
sind.
nichtabbrechende
Ab-
, wenn
exhaustive)
(engl:
erschöpfend
Filund ist
nützlich
Ableitungen.
heißt
Wir
Kriterium
Vollständigkeitskriterien
~~o ---~l -512 -.. . . .
f:r:
der
Kriterium
Klauselmengen
Erschöpfende
Ersch
leitung
den Spezialfall
überprüfbares
Insbesondere
die zur
2.6.12
wir
gilt:
(a)
Jeder
Jeder
Li
Link
Li]
durch
durch
di
dit
die
Zu
Zu jedem
jedem
(b)
in
r wird
a in
Knoten
erschöpfend.
erschö
nichtisolierte
n
In
nde Ab
Ableitung
brechende
Beispiel
B
Filter.
in
2.7.6
die
)rtsetzbarkeit.
Forts!
Fortsetzbarkeit.
Ein
Klauselmenge
Kla1
wieder
S und für
F-tortsetzbar.
2.6.15
Fein
noetherscher
Satz.
Sei
fortsetzbar
wird,
Faktoren
gebildet.
Beispiel
Beispiel
2.5.11
2.5.11
wir
ist
ist
eine
r heißt
gelöscht,
z.B.
werden mit
der
offensichtlich
offensichtlich
erschöpfende
erschöpfend,
nichtab-
wenn jede
~s einer
Graphen
nicht-
unerfüllbaren
ist.
F heißt
Filter
rist
F
gelöscht
vom initialen
Widerlegung lng (oder
wenn
wieder
geben
erschöpfend
Sausgeht,
Klauselmenge
füllbare
Schritten
Ein Filter
IF-Ableitung,
abbrechende
vielen
an.
Erschöpfende
Ersehe
2.6.14
der nicht
r,
iabbrechende le Ableitung
Die
.e nicht,
nicht
Die
2.6.13
endlich
p-Regel.
Regel ~sämtliche
ep-Regel
<j>-Regel
nicht
nicht
nach
fortsetzbar,
jede F-Ableitung
Filter.
wenn
r:
~St--~
jede
gilt:
F genau
Dann ist
für
.r
1;'
unerist
ist
einE
eine
dann
konfluent,
daß,
wenn
ist.
ßewei.A.
Trivial,
u==>u. Tr:
FO:l...En)
I)
da
da in
in
(
gilt,
stets
u<==u. Sei
Se: Fein
der
der
für
Definition
Definition
alle
k mit
noetherscher
ist
n,~, F ist
Ang.erwnunen.,
nicht
nicht
menge SundLd eine
F-Ablei
sich
nicht
auch n:
zu einer
ist,
läßt
sich
SJ
r jedoch
1
gefordert
gefordert
~k ~n
auch
und fortsetzbarer
konfluent.
konfluent.
konfluent.
tung
2.6.1
2.6.1
r:
Dann gibt
gibt
Dann
gibt
Dann
YS!--Y'
F-Widerlegung
zu f,::-Ableitungen
P::-Ableitungen
die
wi
wird,
F
U:l.
.
F(El...Ek)
Filter.
es eine
eine
eine
es
keine
fortsetzen
n:l,
nlEZ'
:t~1,n;1l:2""
gilt.
unerfüllbare
unerfüllbare
uner
Widerlegung
läßt.
. ..
Da
KlauselKlause
ist,
und (die
F fortsetzbar
fortsetzen.
fortsetzen.
Also
exi-
I
47
stiert
eine
noethersch
2.6.16
ist
nichtabbrechende
und
Vermutung.
vollständig.
S unerfüllbar
Jeder
F-Ableitung
ist,
erschöpfende
kann
n:lLZ""
dies
nicht
und fortsetzbare
die
sein.
von ~S äusgeht.
Da F
W!
Filter
(]
F
mit
F
==>
NR
48
2.7
Tautologien
Der initiale
gel
können
sind.
Die
eine
Klauselgraph
jedoch
gs ist
Resolventen
,-Regel
Tautologie
und Faktoren
gestattet
die
Die
,-Regel
ist.
tautologiefrei.
Durch die
gebildet
Elimination
jedes
werden,
die
Knotens,
des KOWALSKI-Kalküls
und die
p-
Tautologien
dessen
ist
der
~-Re-
Klausel
folgende
Algo-
rithmus:
2.7.1
Algorithmus
L
fi
a
Un.r;-abe:
AUAg.aoe:
lung
Anwendung
folgende
,-Regel
die
-
R
P
p
Ii"'R
"",-
R
R
R
R R
R
5
T
L
Graph
konfluenter
BIBEL gibt
in
noch
näher
eingehen
2.7.3
2.7.3
Die
BIBELsehe
BIBELsehe
gilt:
gilt:
in
in Ca'
Ca'
~ ist
R
I'
ist
Q
Tautologie
QQ
ist;
offensichtlich
Filter
muß also
die
R R
p
folgende
so daß
Q
Q
Q
Der
Anwendbarkeit
Bedingung
an,
,
p
p
-
widerlegbar.
die
p3p5
R R R
R R R
finale
der
auf
die
Graph
T-Regel
wir
ist
er-
einschränken.
in
Kapitel
3
3
werd7n.
werden.
r
Tautologie-Eliminationsbedingung.
Tautologie-Eliminationsbedingung
ein
P
,
kann:
Q
oUo
RR
uneingeschränkte
P
-
Q
1-4
-
-
,
Q
die
gehen
p
P
p
R R
widerlegbar.
daß durch
verloren
-4 5
Q
nicht
/Bi8lc/
zeigt,
R
p
.i'R"'R
und damit
Ein
R
P
-
P
~
Q
p
initiale
füllbar
so daß Ca eine
Widerlegbarkeit
p
I
Q
Q
Q
y,
Ableitung
P
RR
-
R
R
1-2
Q
Q
Der
der
der
Die
-
P
P
Knoten in
:
11(~ - a) .
Beispiel.
2.7.2
Klauselgraph;
Klauselgraph,
a ist
Wir sagen,
(BTEB)
ein
Knoten
in
bzg.
bzgl.
L in
~
Y UJ
und
L
und
daß a die
~ erfüllt,
L sind
wenn
Literale
49
f
"
11
ur
.
a
e
.
gllt:
Wir
e
s
M
daß a die
BTEB bzgl.
a
d
L
e f.
MN
1St
sagen,
a die
k
L1n
f-Ci.
un
N
.
L1nk
r
L
1n
. r
1n ~.
g
BTEB in
erfüllt,
g erfüllt.
L in
~
wenn ein
Die
folgende
/
Literal
Skizze
L existiert,
so daß
veranschaulicht
die
BTEB:
a
ILI. ..IEI
/f
I.. .
?
e,~___~
I
Neben der
zwel
Eigenschaft,
ea
7'
,
I\ampen M L
2.7.2
eliminierte
2.7.4
Die
die
Die
eine
f-a
N L
Tautologie
nur
auf
eliminiert
Knoten
und Faktoren
Die
BTELA-
BTE-,
und
spiel
2.7.2
den
drückt
die
Anwendung
können.
nicht
für
istieren
Sie
die
Die
anbetrifft,
den beiden
sehr
viele
auch
"look
die
die
der
da nur
inzidente
wird,
T-Regel
Dafür
Restriktionen
Suchraumreduktion
Teil
Links
ist
sogar
der
erzeugten
haben
können,
durch
solche
ist
die
sehr
der
wenn r
die
den
T-Regel
Re-
viele
was die
Die
effizienteren
Tautologien,
gelöscht
in
T-Restriktion
Beiunter-
mehr
auftre-
Dies
gilt
Rampenpaare
Voraus schau
überlegen.
wieder
r
BTEB erfüllen.
verhindern
sie,
der
fehlt.
tautologischen
zu implementieren.
wegen
RlR2
wenn in
Tautologien
Umständen
Belsplel
Brücke
sofort
Die
da keine
da unter
ln
BTELA-Ableitung,
Widerlegbarkeit.
BTELA-Restriktion
ein
die
daß zu
"
BTEB erfüllen.
da nur
effizient
BTE-Restriktion.
die
{2.6.4}
völlig,
Dle
BTE-Ableitung,
Tautologie
T-Restriktion
BTEB,
"
da die
r heißt
ahead",
die
exlstlert.
die
werden dürfen,
der
anderen
MN
Ableitung
verhältnismäßig
als
unterlegen,
für
fordert
"
r heißt
erzeugte
BTE-Restriktion,
können.
bezüglich
jede
erzeugt
der
intensiver
ist
und
ist,
ef
BTEB nicht,
Ableitung
Eine
Verlust
ist
die
angewendet
LA steht
solventen
ten
Eine
ist
wird.
le
ß~uu<e
"~I-.
erfüllt
BTELA-Restriktion.
BTE-Ableitung
Tautologie
d'
stets
BTE-Restriktion.
T-Regel
2.7.5
un
daß Ca eine
d
noch
zeit-
Suchraumreduktion
BTE-Restriktion
T-Restriktion
die
unter
werden
Umständen
kann.
ex-
~
50
2.7.6
Beispiel
für
-
p
P
1-2
R R
Q
R
R
-
P
R
R
p
p
-
P
4-5
p p
Q
P
p
~1 3
PP,",
p
.'"
Q
QQ
Q
R R
Q
P
-
R
Q
Q
R
R
Der
'Q
R
R
-
P
treten
:;
insgesamt
die
S ist
eine
f:
~S
und
~S
Also
ist
initialen
2.7.7
Autolink
Q
-
R
Pr'
~S
+,
Q
+, Q"
R
P
1-2
Q
Q Q ,
p
R
R
P
P
"""""
Q ~('Q
R
-
p
P
-4 5
P
P P
Q
Q
R
R
,
P
-12
Q Q )
P
"Q
R
-
-1 4
P P
-I>
P, T
-
R
R
,
R
Q
R
ist
R
der
.
gleiche
wie
in
die
den
2.7.2.
Beispiel
ist.
ersetzt
wieder
in
auf
Graphen bis
Komplement
Tatsache,
daß
Folglich
initialen
Der
läßt
finale
jedes
sich
überführen.
Graph
Literalauf-
der
finale
Wir
Graph
haben
also
Situation:
unerfüllbare,
+
.
p"
)~S
haben keine
eine
Graphen
ist,
""P p
-"',
Q Q Q Q
R
p
p
R
p
Q
Schritten
rrr...
,-Links.
-15
Q Q
P,T
Q
-
-
R
sein
den analogen
-
-
P
)
R
R
R
3
dem initialen
durch
Q
)
p
P
Graph
entspricht
P,T
R
-
R R
initiale
Q
P
R
P
-
Q
-
p
-
p
-
-1
Q Q
Q
-4 5
Q Q
R
-
p
p
""""':':.\.
'Q Q
p""p
'QQQQ
R
-1
R R2
-
-
R
R
R
P
P
Q Q Q
P
-
+,
P,T
-
-
p
-
R
R
R
P
p
Q
{o'oR
BTELA-Ableitung;
-
P
Q
R
R
-
p
nichtabbrechende
p
Q Q
-
-
)
-
Q
erschöpfende,
p
-
Q
mit
eine
Ein
Klauselmenge.
aussagenlogische
+, r
ist
eine BTELA-Ableitung.
::ts
Klausel
erschöpfende,
einer
Link
und wenn
gemeinsam.
nichtabbrechende
unerfüllbaren
in
seine
einem
BTELA-Ableitung,
aussagenlogischen
Klauselgraphen
Resolvente
eine
heißt
Tautologie
Klauselmenge
T-Link,
ist.
wenn er
die vom
ausgeht.
kein
51
Das folgende
2.7.8
interessante
Beispiel
für
einen
Beispiel
wurde
initialen
kürzlich
unerfüllbaren
von
N.
EISINGER
Graphen,
in
gefunden:
dem nur
T-Links
vorkommen:
IN
l'Pyali?yyl
Jeder der
vier
füllt
BTEB.
die
Links
Die
schritte
nur
die
solution
auf allen
ist
T-
ein
und die
Faktorisierung
Links
zu.
T-Link.
Keine
der
BTELA-Restriktion
zu.
Die
tautologischen
lassen
BTE-Restriktion
also
Resolventen
als
hingegen
er-
Ableitungsläßt
die
Re-
52
2.8
Subsumtion
2.8.1
S-Substi
tutionen.
Ber(6)
C Var(D)
Seien
heißt
C und
0 Klauseln.
S-Substitution
von
Eine
D nach
Substitution
C,
e mit
leD I = /DI
wenn 6D C C und
ist.
2.8.2
Subsumierte
Klauseln.
Seien
-
D subsumiert
C, wenn
-
D subsumiert
C reduzierend,
riante
Unsere
von
auf
die
auch
tät
2.8.3
alle
auf
gilt
stets
I
wir
L
~ 1.
I
Komplexität
Für
[C]
eine
gefordert.
Sowohl
Filter
leol = /01
unendliche
ILI
~ Icl
und C keine
Va-
Folge
C1C2C3...
die
subsumiert
Li terale
Länge
Klausel
In
von
.
.
Abschnitt
4.3
bei
Wenn L ein
Zeichenreihe.
.
als
der,
wird.
LaIs
C ={ LI,
wird
Reduktivi-
Klauseln,
Zeichenreihen.
von
S.97/
Bedingung
Diese
erforderlich.
begründen.
/Lo78,
In /Ro65/
dar.
näher
reduzierend
in
unsere
Reduktionsforderungen
1.1. 7 sind
mit
/01
verzichtet.
vollständige
Cn+l
e-Subsumtion
, Ln}
mit
Li teral
Offensichtlich
n ~1
definieren
wir
durch:
[c]:=IL11+IL21+...+ILnl-lvar(c)l.
Klauselkomplexität
> 0;
[ C]
=0
genau
offensichtlich
dann
wenn
=
C
CCD
(4)
[c]
~ [ec]
für
jede
Substitution
e.
(5)
[C] < [ac]
für
jede
Substitution
e mit
stitution
für
C ist.
==>
zeigen
nun,
Wenn C von
also
:
erfüllt
(3)
Seien
wird
der
[ C]
(6)
C existiert.
D subsumiert
(2)
Wir
D nach
sagen:
von
schwächer
stellen
keine
Cn von
weicht
völlig
Bedingung
. Nach Definition
bezeichnen
Diese
= 101
leol
Es gibt
n 21,
ist,
(1)
= 10/
I eol
unsere
Lemma.
ßeL1J~
die
statt
im Hinblick
wir
von
wenn C von
Subsumtion
LOVELANDs Bedingung
werden
für
wird
der
Forderung
ist
S-Substitution
Wir
D ist.
Definition
ab. Dort
eine
C und D Klauseln.
[C]~[D];
daß
für
CCD
zwei
0 reduzierend
C und 0 Klauseln,
I
AC'fD
folgende
0 .
==>
Klauseln
[C]<[D].
Ber(e)
C Var(c)
C und 0 stets
subsumiert
so daß C von
Eigenschaften:
wird,
dann
0 reduzierend
, die
keine
U-Sub-
gilt:
ist
[c]
> [0].
subsumiert
wird.
Dann
53
gibt
es eine
Substitution
U-Substitution
für
An~enommen,
n '::'1,
Da für
2.8.4
D sein.
CIC2C3...
n;:.l
Also
ist
Cn reduziered
von
in~.
a-Regel
für
~
Sei
ein
Wir sagen,
nicht
kann e keine
sein.
Klauseln,
bei
[Cl]>
der,
[C2]
für
al-
> [C3]
>
W.'
und
seien
a und b zwei
subsumiert
ver-
wird,
wird.
ist
der
:
folgende
Algorithmus:
Klauselgraph;
der
von
(N.EISINGER). . Die
(N.EISINGER)
a verschiedener
Knoten
in
yg
a sub~umiert.
subsumiert.
schränktes
Lnktes
Anwenden
der
1
p
2
p
go :=
~o
;=
-
R
ein
ist.t ein
1
die
von
in
solventen
sofort
Spalte
Q
QQ
Q
QQQ
R
R
R
6
--
..
1st.
D1e L1n
den Knoten
der
5
2 gelöscht,
der
k
7
8
9
p
p
daß durch
verloren
5 subsumiert
Reihenfolge
a -Regel
zeigt,
gehen
uneinge
uneingekann.
AT-Klauselgraph.
Man rechnet
leicht
nach,
-4 5 -4 6 -2 8
d -2 9 ..
s Q Q , Q Q , P P un
P P fuhren
auf Resa]
2,11 11 7 und
2,
angegebenen
mit
Widerlegbarkeit
Wider1egbarkeit
4
p
TI-reduzierter
.
daß [je~ W1 er egbar
solutionen
die
Ableitung
3
p
R
totaler,
totaler,
.d
a-Regel
folgend~
folgende
eliminiert,
und man erhält
den
werden.
durchführt
wird
(neu
...
[]
TI(g-a).
TI([J-a).
2.8.6 , Beispiel
die
von C ist,
Dann gilt
Klauselgraph
subsumiert
existiert,
venten,!n,
von
wird.
a :; Knoten
Knoten
in
in y,
g, so daß ein
:be:
1lU/JS}-abe:
C Var(D).
a
Y
ciJLr;abe:
[je
und Ber(6j
daß a von b [reduzierend]
den KOWALSKI-Kalkül
Algorithmus
Folge
subsumiert
kann dies
wenn Ca von Cb [reduzierend]
2.8.5
= IDI
[0] < [8 P] = [ C] .
unendliche
Cn+l
Knoten;
Knoten
gilt:
eine
[Cn] e JN ist,
Subsumierte
schiedene
Die
6D C Cr 16D!
1801< Icl. Dann gilt:
[01~[80] <[cl.
1801 = Icl. Also ist 80 =C. Da 0 keine Variante
FaJ..11:
FaJ..l 2:
le
6 mit
Wenn man die
und die
bei
der
numerierten)
subsumierten
letzten
ReRe-
TI -Reduktion
Graphen
[jl:
54
1
2
3
p
P
p
4
5
.' . ...
-"',
~l =
6
'.
-
R
R
8
p
p
-
Q 'Q 'Q Q
Q
7
Q Q
R
R
d 1-6
d
2
d 3
b
.
. Reso1venten zu R1-4
Dle
R un R R wer en von
un
su sumlert.
auf diesen
Graphen
Links
und Elimination
4
5
6
7
-::::".'..
Q Q t2
-
P
Q
P
Q
2
3
-
p
f;2 =
R
I~
sind
die
~o
+,
(),
p,o
1 und
wobei
3 von
man diese
Graphen
().
ein
~o
liefert
den
1
2
4
5
6
7
8
-6 7
Q
p Q )
p
p
_.~..=. "'.
Q Q Q
p
p
p
Q
R
R
Q
3
Spalte
4 und die
Spalten
Insgesamt
mit
haben
Spalten
der
wir
also
Q
=: ~3
Q
6 und
o-Regel,
7 von
Spalte
so kollabiert
eine
TI-reduzierter
widerlegbarer,
-
-"',
der
Ableitung
und
totaler
AT-Klau-
ist.
Ein konfluenter
Filter
Anwendbarkeit
gung aus /Bi81c/
muß also,
der
a-Regel
neben
einschränken.
für
von
jedes
und für
gilt:
sagen,
BSEB bzgl.
Knoten
Cb nach
Li teral
j eden
Wir
(BSEB)
bzgl.
des Klauselgraphen
Ca ist,
1-Regel,
auch
wir
auf
Bedin-
eine
sagen,
bund
~ sind,
e in
daß a die
y
erfüllt,
und wenn e eine
so daß
L E Cb
Link
Me 8 La
in
fi
e in
~
BSEB in
~
erfüllt.
erfüllt,
Die
wenn es bund
folgende
schaulichen:
Skizze
b
?
'1
""
der
e b.
. k . r
M L 1St L1n 1n~.
daß a die
bund
greifen
Subsumtions-Eliminationsbedingung.
wenn a und b verschiedene
S-Substitution
Anwendbarkeit
Wieder
Subsumtionseliminationsbedingung
BIBELsehe
e
der
zurück:
2.8.7 Die BIBELsehe
Wir
-3 4
R R ) 1...1
p
Q
Eliminiert
zum leeren
selgraph
die
Resolventen
R
R
Spalten
8 subsumiert.
Graph
.
f; 2 :
1
In ~3
der subsumierten
1
Reso utlon
I
I 1...1 IM!'
/-
~
/'
a
/'
~
e gibt,
soll
die
so daß a die
BSEB veran~
55
Die
BSEB fordert
bzgl.
der
tion,
eine
also,
Links
subsumiertr
primäre
natürlich.
Die
Bedeutung
Beweise
zur
Erhe11ung
2.8.8
Die
BSE-Restriktion.
2.8.9
eine
nur
Die
a ist
(b)
~ folgt
als
~ ist
ein
in
BSEB bzgl.
RF steht
und
für
für
auf
Vererbung
uns
diese
sondern
und der
Forderung
4 (Bemerkung
die
die
Ableitung
jeden
einen
4.3.12)
auch
TI-Reduk-
durchaus
werden
wei-
BSE-Ableitung,
r die
BSEB erfüllen.
r heißt
a-Schritt
wenn in
~:
BSERF-Ableitung,
y -%--+y'
in
r
wenn r
eine
der
fol-
von
p-Schritt
r.
und
a wurde
in
diesem
p-Schritt
erzeugt.
reduzierender
"reducing
der
r heißt
wird,
im Initialgraphen
r direkt
bund
klauselmäßig,
ist:
Resolventenknoten
ein
Ableitung
Eine
erfüllt
Knoten
3 und
nur
BSEB beitragen.
angewendet
ist
wegen
erscheint
den Kapiteln
BSERF-Restriktion.
Bedingungen
(a)
zukommt,
Eine
Knoten
BSE-Ableitung
genden
(c)
auf
in
der
a nicht
Da den Links,
I
teres
o-Regel
daß b den Knoten
e in
or
BSE-Schrittr
~
erfüllt
forward".
und
d.h.,
Cb keine
es gibt
Variante
b und
von
er
so daß a die
Ca ist.
56
Anmerkungen und Verweise
2.9
Der KOWALSKI-Kalkül
Connection
wurde
Graph
lutionsregel
Proof
zuerst
in
Procedure
arbeitet
mit
Multivererbung
vom Vererbungsmechanismus.
schlag,
lokalen
Konzept
bei
wurde
Links
von
durch
/Ko79/
Multivererbung
zu erzeugen,
Vererbungsmechanismen
liegen
von
sumtionsregel.
Subsumtion
SINGER /Ei80,
gibt
einen
Ei81/,
in
Klauselgraphen
gungen
für
Tautologien
mengen konsistent
In
/Br76/,
ist.
/SS76,
die
für
die
Beweise
selbst
alle
die
in
an,
darauf
wird
jedenfalls
Links
zurück.
als
Seine
Mono-
und der
keine
Arbeiten
Sub-
von
untersucht.
EI-
EISINGER
speziellen
Gegeben-
Eliminationsbedin-
/Bi81c/
zeigt
Kapitel
er,
daß ein
Klausel-
näher
versuchen
Filtern
eingehen.
jeweils,
zu beweisen.
unvollständig.
KOWALSKI-Kalküls
Dieses
enthalten
die
Vor7
das Vollständigkeitspro-
Autoren
von
der
aussagenlogische
im nächsten
Eigenschaften
oder
In
für
BiBlb/
stammt
den
die
stammen
zumindest
Die
des
Links
lokalen
Bi81c/
in
der
Klauseln.
angegangen.
Vollständigkeit
alle
weniger
Ko79/
die
Reso-
eingeführten
wird
Von BIBEL
werden
falsifiziert
uns
als
beschriebene
Idee,
/Bi81a,
/Ko75,
Subsumtion
Kalkül
entsprechenden
von
dort
zu erzeugen.
Die
BIBEL
der
SSBO/ und /BiBlai
des KOWALSKI-Kalküls
rien
auf
subsumierte
Wir
stets
und CHAMPEAUX /Ch82/
auf
eingeschränkter
und erzeugt
KOWALSKI-Kalkül
ausnutzt.
und
/Ko75/
aus Autolinks
Kalküle
/Bi81c/
Test
heiten
entsprechend
beim
BIBEL
effizienten
geht
Die
in
übernommen.
zwischen
KOWALSKI.
Die
und wird
Von BRUYNOOGHE /Br75/
Vererbung
KOWALSKI in
Multivererbung
beschrieben
bezeichnet.
unabhängig
die
/Ko75/
an sich
Bis
(siehe
Krite-
Leider
heute
2.5.9)
sind
ist
unbe-
wiesen.
WALTHER jWa8la,
effiziente
bei
Wa8lbj
Kriterien
T-Links,
oder
untersucht
zu ihrer
Links,
führen
ähnlich
Die
von
Carl
in
sie
P-Links
wie
uns
den
deren
die
normalen
bekannten
AMBLE /Am75/,
Refutation
die
in
Beweiser
Procedure
der
ist,
Links
Links
und gibt
werden
des
zur
Einbeziehung
zu den
der
(Resolutions-)
repräsentieren,
sind
CHAMPEAUX /Ch78/
und die
/BEHSSW8l/.
Pa-
Links
und die
KOWALSKI-Kalküls
Gruppe
da-
verstanden.
werden.
COGITO von
Karlsruher
redundanten
Vorschläge
Paramodulation
Implementierungen
der
Unter
Zusätzlich
vererbt
redundanter
isoliert
jSW80j
mögliche
Links
an.
Resolvente
KOWALSKI-Kalkül.
ein,
Elimination
Erkennung
SIEKMANN und WRIGHTSON machen
ramodulation
die
das
System
Markgraf
Das Karlsruher
57
System
ist
fortlaufend
eines
der
am besten
ausgebauten
Beweissysteme
und wird
weiterentwickelt.
Schließlich
er mehrere
cedure,
weltweit
erwähnen
wir
Beweisprozeduren,
miteinander
vergleicht.
noch
eine
darunter
neuere
auch
Arbeit
die
/Bi82a/
Connection
von BIBEL,
Graph Proof
in der
Pro-
~
KAPITEL
3
BEI
KONFLUENZ
AUSSAGENLOGISCHEN
KLAUSELMENGEN
In
wir
diesem
Kapitel
entwickeln
nannten
AE-Strategie
bei
anderer
Formulierung
in
baut
auf
der
Ein
spannender
viele
Links,
von
BIBEL
aussagenlogischen
/Ei80/
Unser Beitrag
ist
spannende Klauselgraph
nach
ist
einer
der bisher
für
die
Vollständigkeit
Klauselmengen.
und implizit
gezeigten
Klauselgraph
um auch
den Beweis
auch
Invarianz
der
in
/Bi8lc/
und verfügt
n-Reduktion
noch
auch widerlegbar
zudem über
unerfüllbar
Zusammen mit
soge-
der
in
ist,
spannend
auf
/Bi8lc/.
hinreichend
zu sein.
nichtelementareBeweis
ist.
Beweis,
enthalten
Eigenschaft
unerfüllbar
fehlende,
Der
der
dafür,
daß jeder
der von BIBEL gezeig-
60
ten
Invarianz
der
BTE- mit
Die
der
der
BSE-Restriktion
werden
Vollständigkeit
Satzes
für
von
zu werden.
der
praktisch
Beweis
sagenlogische
durch
unseren
scheinen
für
Dabei
schon
lassen.
ein
man damit,
klassischen
Verfeinerungen
zwei
geführt:
in
das
ist
dann
Stufen
erbracht
der
ist,
werden
kann.
kompliziert
des
um danach
auf
den
Resoluwird
mit
die
Hilfe
allgemeinen
unproblematische
wenn die
TI-Reduktion
sehr
Konjunktion
Zunächst
gezeigt,
Lifting
das Lifting
und die
Lifting
Fall
sogenannte
gezeigt
daß die
ist.
den aussagenlogischen
Linkvererbung
Untersuchungen
die
üblicherweise
Klauselmengen
die
erhält
konfluent
HERBRAND durch
übertragen
aber
spannend
Vollständigkeitsbeweise
tionskalküls
des
Eigenschaft
Teil,
Vollständigkeit
Fall
so daß
für
aus-
Beim KOWALSKI-Kalkül
treten
Schwierigkeiten
die
oder
sogar
auf,
unmöglich
nach
er-
61
3.1
Die
Invarianz
der
Eigenschaft
Wenn man den unerfüllbaren
er
zum erfüllbaren
schritt
von
folglich,
neben
genschaft
haben,
die
der
daß er
in
genlogischen
/Bi81c/,
Klauselgraphen
a-Regeln
meinen
dann,
nur
BIBELsche
ziell
erscheinenden
dafür,
wir
spezielle
noch
näher
3.1.1
auf
Wenn fi'
auch
Vorgänger
.
Graph
(1)
Link
p-Regel
angewendet
und
sei
zu Lc ist,
in
y'
ein
0
für
Schließlich
sei
c der
1d 9'
von
-
Auch
die
im allge-
entsprechende
etwas
artifi~
dem Hintergrund
hinreichende
der
Bedingungen
bzw.
subsu-
den Fall
eingehen,
halten
fest,
daß diese
wir
noch
auf
~)
zwei
einen
wird:
fi
ein
aussagenlogischer
c zu
~ enthält,
dann
gilt
zu
aussagenlogischer
und fj' =
die
vor
für
LECc
jeden
~ nicht
~, der
enthält,
nicht
Klauselgraph
in
mit
mit:
{I~9'
für
Klauselgraph.
ist
und Kd ein
Link
MeKd in
dann
gibt
signi-
y',
daß
ist.
Inzidenzknot~n
fi
aussa-
allerdings
an den tautologischen
Klauselgraphen
den Resolventenknoten
nichtunären
ß ewei../J Sei
der
Links
span-
unerfüllbaren
zunächst
gerade
gegen
ist.
den Resolventenknoten
MeLc ein
Wenn {Ir
die
sind
ihn
Ei-
erforderliche
überführt.
Knoten
werden
die
Resolutionsregel
spannend,
Diese
die
Klauselgraphen.
Graphen
ist.
Sie
spannende
fi -i-+fi'
Lemma. Sei
spannende
Graph
Eigenschaft
zu einer
zu eliminierenden
ohne
verfügt,
und daß die
erfüllt
spannend
Graphen
fikanter
(b)
auch
Eigenschaften
sagenlogischen
Graph
Ableitungs-
zusätzlich
eingeführte
Eigenschaft
transparent:
Graph
Knoten
Bevor
den
Links
kollabiert
widerlegbarer
Widerlegbarkeit
Eliminationsbedingungen
spannend
daß der
mierten
für
die
jeder
aussagenlogischen
in
Eliminationsbedingung
Eigenschaft
(a)
wenn
der
ist,
Graphen
erhalten
dann
Klauselmenge,
BIBEL
initiale
spannend
spannende
T- und die
von
unerfüllbaren
Klauselmenge
muß ein
viele
zum Erhalt
daß der
TI-reduziert,
wir4,
hinreichend
Die
eines
2.1
seiner
stabilisieren.
Linkreichhaltigkeit
zeigt
begleitet
über
diese
in
Da im KOWALSKI-Kalkül
Unerfüllbarkeit
charakterisiert
BIBEL
(d)
Graphen.
TI-Reduktion
TI-Reduktion
nend
Graphen
leeren
einer
spannend
.
Resolventenknoten
zu ~ in
9'.
fi'
enthalten
fi -t-+ fi'
es einen
ist.
Sei [;"
ein
aus-
62
TeU.
(a).
Sei
e in
[j'
nifikanter
Vorgänger
Wir
zeigen,
müssen
Link
in
'"
Da
[1".
enthalten.
zu L~ bzg1.
daß MeLc ein
L e Ce ein
des
Übergangs
Link
aussagenlogisch
[1
Sei
in
ist,
y'
daß M L ein Link
in~"
ist.
Da~'
nach
hält
und R,f MeL c ist,
ist
MeL c auch ein
TeU. rbJ.Sei
c in {i'
(2)
{i
es ein
nifikante
Vorgänger
ten
(d. h.
in
{f
I
ist.
I
Literal
zu Lc in
()
3
mit
ed,
M K
der
Knoten
e gelöscht
aber
d
genau
Da bei
oder
mit
Link
La inzidiert,
.
ann
e1n L1n
TI-Reduktion
(2)
wird,
wenigstens
ein
ist
(c ist
Link
der
{ik
isoliert
R,. Wir
ist.
(1).
werden
auch
c ent-
n:,lund
Sei
zeigen,
Link
in {ik).
Kd der
Dann ist
dein
sig-
nicht-
daß d kein
garantiert
Kno-
Lemma 2.3.6,
in
auch:
ec..
wenn M L e1n L1nk
MeLc genau
Also
nun,
{fit
ist.
Da R,
also
Knoten
isoliert.
e als
dann ein Knoten
wenn MeLc ein
gilt
,r
1n ~O'
k
'
ein
~{in={i'.
aussagenlogisch),
in {fit ist,
in y'.
liefert
Graphen mit
des Übergangs
von
({i
Kd noch
1St
bzgl.
{in
~
I
ist
so daß Lc in
Cd
2) Inzidenzknoten
Da K = List
ist
daß MeKd genau dann ein
weder
Seien {io,...,{in
sig-
MeKd ~uch
Lemma 2.3.6
"'"
LeCc'
ist
Voraussetzung
sowohl
Link in TI (~" - R,) .
Graph, in dem c isoliert
Dann gibt
unärer
enthalten.
d
und sei Kein
- -,
Sei M~Ku ein Link
Zunächst
K=L=M.
~o ,{i"c{i"-J/,={iO-:r+{il~
erste
Sei {ik der
nicht
(1).
ist.
gilt
L;
Li teral
d in
ist
dann
gelöscht
{fk entweder
d,
wie
,r.
1n ~O 1st.
wird,
gar
zu zeigen
wenn der
nicht
war,
enthalten
kein
Knoten
in
~' .
[]
3.1.2
Die
Eigenschaft
Klauselgraph.
a e Knoten
ten
Eine
Abbildung
e Ca
ist.
1T(a)
a und b in
[jgibt,
nichtleer
ist
wenn
der
spannend.
[j
die
sitzt.
leere
In
Klausel
der
Sei
~=<Knoten,C,Links>
TI: Knoten
Ein
Pfad
so daß
1T in
enthält,
"
..
I -
durch
der
genau
von
ein
links
Literal
nach
rechts
gezogen
~,
ist.
[j
[j,
in
[j
da er
besonders
,.. ,',.., <,'",
wenn
heißt
[j
komplementär
Pfade
wenn für
in
spannend,
sich
ist.
keine
alle
es
Kno-
spannend,
Ein
Graph,
Pfade
be-
gut
veranschauli-
ist
ein
in
jeder
Spalte
genau
dann,
,'""",'
l
-
cQ
I Q-,
I
I
'R'
der
in
P
P
,'p",
Q"
Literale
in
""
,"" -'
Faden,
[j
""",~"",,~
I
die
Link
stets
lassen
1P
Wenn man sich
ein
also
Pfad
aussagenlogischer
komplementär
Pfad in
ist
Matrixdarstellung
heißt
heißt
[j
1T(a)a1T(b)b
und wenn jeder
chen:
--]I;
ein
Matrix
durch
ist.
,....
'\ -R
I
,
als
die
,. ...
. ''...
Perlen
Matrix
Komplementär
vorstellt,
läuft
ist
und
ein
Pfad
Pfad
ein
63
wenn zwei
seiner
Satz
3.1.
3
(a)
Ein
totaler
Jeder
mit
spannend
indem
in
v
...)
1.3.4
eine
.. .
Eine
wird
pliziertes
einer
der
...
Klauseln.
schon
die
sierte
Pfade
nur
Anzahl
Lemma zeigt,
mit
1010
daß die
eines
eines
die
Ca im Sin-
sich
Wir
exponetiell
je
wenn
(b)
jede
(DNF)
Klammer
genau
der
leicht.
die
dadurch
mindestens
angeben,
warum wir
wenn
einfach
(KNF)
Graphen
nun (a) und
fragen,
For-
Normalform
dann,
DNF
[]
etwas
so kom-
Unerfüllbarkeit
entscheiden
nutzen
S ={Cl,C2,...,Cn}
also
von
Pfade
eine
Ausmultiplizieren
disjunktiver
untersucht.
Klauselmenge
sich
zuordnet,
genau
eventuell
doch
läßt
vollständiges
untersuchen,
50 Klauseln
y
die
nicht
läßt,
Gelegenheit,
weniger
viele
relativ
zur
vier
Literalen
als
Anzahl
erreichen
wir
Pfaden.
durch
die
Graphen
Eigenschaft
durch
die
spannend
TI-Reduktion
charakteri-
nicht
beeinträch-
wird:
Lemma. Wenn
TI(~)
ßewci~
.
~ ein
In
Abschnitt
2.2
und noetherschen
hauptung
zu
Wenn ~1T'
dann
spannender
aussagenlogischer
Klauselgraph
ist,
dann
ist
spannend.
f1uenten
(1)
Stelle
besitzt,
Linkreichhaltigkeit
3.1.4
auch
.Icnl
sich
ergeben
Komplementarität
daß eine
stattliche
Das nächste
unerfüllbar,
Normalform
in
Da die
Klauselmenge
auf
durch
unerfüllbar
den KOWALSKI-Kalkül
Bei
sich
enthält.
an dieser
Pfade
dann
unerflillbar.
V...)
V(...A...)
entsprechen,
um festzustellen,
IC11.lc21.
läßt
V...
Literale
ist
in konjunktiver
in DNF ist
aussagenlogischen
daß man alle
tigt
...)
sich
wie
genau
Klauselgraphen
eine Formel (...
fi
Diese
Formel
KNF-Formel
Der Leser
V...)
a in
(...A
komplementäre
seiner
A(...
Knoten
Formel
ist
Klauselgraph
aussagenlogischen
entspricht.
überführen.
zwei
sind.
Klauselgraph
aussagenlogische
A
man jedem
ne von
verbunden
ist.
spannende
(...
Link
aussagenlogischer
ßewe-W.cJR)_J-J-e. Zu einem
mel
einem
(BIBEL) .
wenn er
(bI
Perlen
ist
haben
wir
TI(~)
TI-Relation
als
definiert.
die
Normalform
von
Es genügt
also,
~ bzgl.
die
der kon-
folgende
Be-
zeigen:
~'
gilt
auch
[j I
und
y
spannend.
ein
spannender
aussagenlogischer
Klauselgraph
ist,
64
Sei
also
mi t
y
---+
y
y
in
mit y' =y
also
y
ten
und
y-
dieren,
y '.
(siehe
also
e und
f
gilt
e fa
Y nur
solche
auch
ein
zu zeigen
war,
3.1.5
Die
BTSE-Restrikti'Ön.
eine
BTE- und auch eine BSE-Ab1eitung ist.
3.1.6
Satz
ist
(BIBEL).
jeder
Graph ~'
~ ein
ßew~.
Sei
Satz
in
drei
Teilen.
Tul
1..
Wenn
[1'
ein
(1)
Graph
mit
-t-
[1
mit
und
[1'.
spannender
r
in
in
sind
Y ist.
Da La
e und f auch Knodie
inY-a.
von
Es existie-
Y.
fehlen,
heißt
Also
[1
Dann
mit
ist
a inziTr',
wie
R,)
tung,
r
wenn
Klauselgraph.
Dann
spannend.
~
[1'
ist,
existiert
-
BTSE-Ab1ei
aussagenlogischer
aussagenlogischer
mit
= 7T ([1"
[1'
Erweiterung
Link
Also
Link
komple-
[ ]
Ableitung
~I BTSE ~'
Graph
[1 p-+
[1"
Eine
spannender
ein
Tr die
ein
Links
Graph
a komplementär.
~ ein
Sei
Tr' in y'
Tr komplemenÜir
und f fa.
ein
Literalauftreten
Sei
so daß Tr(e)eTr(f)f
a gegenüber
=y -
y'
- a.
y'
sei
daß
isoliertes
y
ist
und
zeigen,
ein
Pfad in
ist,
Tr(e)eTr(f)f=1I'(e)eTr'(f)f
in
müssen
2.2.2)
ein
y,
in
= List,
Y-
Klauselgraph
Wir
Dayspannend
Tr (a)
a. Da in
ist
in
11I ist
a.
-
Knoten
isoliert
Pfad
existiert
Tr(a):=L.
zwei
in
aussagenlogischer
Tr' ein
Zunächst
y mit
Tr' auf
ren
Sei
ist.
La in
spannender
y'.
Tr
mentär
ein
Klauselgraph.
dann
ein
ist
Link
R,
[1'
in
Wir
spannend.
und
[1
zeigen
Sei
ein
Graph
den
also
[1 I
mit:
[1"
.
0
Wegen Lemma 3.1.4
ein
Pfad
in
R, in
(2)
[1=[1"
Sei
Kd ein
7T" ist
[1".
nicht
1jJ"
komplementär
Offensichtlich
daß ~"
-
R,
spannend
ist.
Sei also
7T"
in
[1" - R,. Sei
c der
Resolventenknoten
gilt:
-co
signifikanter
Vorgänger
Kd ein Literalauftreten
Pfad
es zu zeigen,
[1" - R,.
Anf}erwrnmen,
zu
genügt
in
[1"
in
zu 7T"(C)C bzgl.
das
[1,
nicht
mit
des
Übergangs
R, inzidiert.
Wir
(1).
Dann ist
definieren
einen
durch
1
K
wenn x = d
7T"(x)
sonst.
1jJ"(x) :=
Sei
111
ten
e und f
aber
die
nicht
Einschränkung
in
mit
so
{f,
K
d
daß
inzidiert,
von
111"
auf
=
5/,111 111
(e)
und
{f.
e1l1 (f)
Da
f
{f
ein
1I1(d) =K ist,
spannend ist,
Link
gilt
in
{f
existieren
ist.
jedenfalls
Da 5/, zwar
5/,111
t5/,.
zwei Knomit
Also
d,
65
ist
Jl,1jJein
Fall
1.1:
Link
-JI,.
~~ inzidiert
71" komplementär
Fa)).
y"
in
1.2:
fikanter
nicht
mit
mit
d.
zu TI"(C)c
Vorgänger
= 71"(e)
e 71"(c) c.
TeiJ.. 2: Wenn
ein
(;'
ist
(;'
die
BTEB bzg1.
Also
spannend.
es zu zeigen,
L in
daß
f(;)
(;-f-+(;'
(;'
ein
erfüllt.
-
(;,
auGh
in fi"
(;
in
fi"
Da
~
(; I
-
ist,
und
(; erfüllt,
a ein Knoten,
ist
TeU..
J..
Wegen Lemma 3.1.4
TI ein
Pfad in
-
(;
der
genügt
a.
a. Sei
Erweiterung
von TI mit
TI (a) =L entsteht.
der durch
Erweiterung
von TI mit
TI-(a) =L entsteht.
existieren
in~.
Wenn
die
BSEB bzg1.
spannend.
genügt
mit
mentär
ist,
also
fit
E in
fi
1T ist
nicht
ein
ein
ein. Link
in
Da JI, nicht
Also
TI in
ist
nun ~'
logische
sein.
fi
ein
Graphen
Anwendungen
die
der
-
Graph
-
fi
Ein
a komplementär.
Graph
mit
nicht
P-,
BIBELschen
~IBTSE
anwendbar
T- und der
so
und
ist
daß
~
~=
TI (e)eTI
L
1
~ sind.
in
Da a die
~2 die
~3 auch
ist
und a die
ein
(a)a
L
BTEB bzgl.
Brücke
=
~3
Link
mit
fi
~
BSEB in
und sei
fit
Dann gilt
fi'
=1T(fi
a spannend
ist.
Sei
in
fi
-
a.
Sei
~ -a.
in
e in
fi,
erfüllt,
fi
mit
von
so
auf
1jJ
daß
muß
1jJ(e)
auch
a inzidiert,
-
e
erfüllt,
dann
a ein Knoten,
Wegen
Lemma
also
1T ein
Pfad
Erweiterung
Da
fi
fi
-a).
die
1jJ
da ECb =Cb C Ca).
Knoten
bund
in~,
Rampen ~l
Einschränkung
BSEB bzg1.
f
Links
fi'
komplementär
Da a die
fi
~
fi
(wohldefiniert,
existiert
und
W!
daß
Da die
e
a inzidiert,
erfüllt.
zu zeigen,
komplementär.
fi
mit
bund
:= TI(b)
1jJ(a)
mit
Graph
Sei
es wieder
An[}.enomrnen,
Knoten
a komplementär.
ein
fi'
fit
zwei
Da ~3 nicht
~-
TI in
ist
weils
dann
der durch
~2 :=TI-(f)fTI-(a)a=TI(f)fr:a
L
L
existiert
zu den beiden
~ erfüllt,
Also
Sei
ist
L
spannend
TIle)enlf)f
in
fd
L
der Pfad in~,
=TI(e)eLa
fi
Wegen e
JI,.
BTEB in
(;' =1[((; -a).
(;
51," :=1jJ(e)eTI"(c)c
und sei
L
L in
signi-
ist
-
L
TI-
Da Kd ein
- JI,. W!
~
Sei also
in
gilt,
und a die
mit
Dann gilt
komplementär
Kd=1jJ(f)f.
=K=TI"(c)
ist
Graph
a spannend ist.
nicht
TI der Pfad in
mit
also
(;
-
(;
und
fi"
und damit
71" komplementär
Graph
An[Jenommen, TI ist
-
ist
~~
o.B.d.A.
in
ist
Sei
Dann gilt
ist
wegen Lemma 2. 3.6 ein Link
JI,"
d. Dann gilt
Folglich
in {t" - JI,. W/
inizidiert
Q,1jJ
=7T"(e)e7T"(f)f.
fi
a in
1jJ(a)
a
fi
-
ein
3.1.4
in
von
spannend
ist
a nicht
-
fi
TI auf
ist,
Link
der
1jJ
komplein
fi
ist.
JI, :=1jJ(e)e1jJ(a)b=TI(e)eTI(b)b
ist
JI, auch
ein
Link
in
fi
-
a.
W/
~'.
Da die
ist,
a-Regel,
Eliminationsbedingungen
Faktorisierungsregel
entsteht~'
wobei
bei
erfüllt
auf
aus
~ durch
der
T- und der
sind.
endlich
Wie wir
aussagenviele
a-Regel
in
Teil
je1
a.
66
bis
Teil
3 gezeigt
genschaft
3.1.7
haben,
spannend erhalten.
Korollar.
~
ein
Sei
Seine
Graph
mit
(a)
Wenn
(b)
wenn S erfüllbar
.
r I
wenn::Js
BTSE
Sei
erfüllbar
erfüllbar.
<;;
fi
"s erfüllbar
ist~',
BTSE
dann
~
ist
Ableitungsschritte
wie zu zeigen
war,
die
spannend.
Ei-
[]
Klauselmenge.
ist,
dann
ist
~ genau
dann
erfüllbar,
S erfüllbar.
aussagenlogische
Graph mit fis
ein
==> S erfüllbar".
Also
dieser
aussagenlogische
~sl
gilt,
Dann ist
spannend.
Als6
jedem
ist.
.
TeLl (al,
bei
()
ßeme-iA Sei Seine
"<;;
bleibt
==>
<;;
wegen
I BTSE fi.
Sei also<;;
wegen Satz
ist<;;
Klauselmenge.
3.1.3(a)
Satz
erfüllbar".
<;;
S
3.1.3(b)
Sei
spannend.
auch
also
Ilnf)enomrnen, S ist
erfüllbar.
Wegen Satz 3.1.6
unerfüllbar.
S erfüllbar.
ist
unauch
W!
Wegen SI<;; ) C S ist
S
auch
Da in
Ys erfüllbar.
Resolutionsregel
erzeugt
einer
werden,
Ableitung
ist
y,
<;;
I
S BTSE
wie
<;;
neue Klauseln
zu zeigen
war,
wegen
nur mit der
Lemma 1.4.5
erfüllbar.
Teil
(0).
Folgt
sofort
aus
Teil
(a),
da der
leere
Graph
erfüllbar
ist.
[]
67
3.2
Mit
Die AE-Entscheidungsprozedur.
Hilfe
der
genschaft
im vorhergehenden
spannend
prozedur
!DP60!
läßt
her
ist.
bei
löscht
tion
indem
alle
werden.
Die
nun zeigen,
der
Einleitung
von
der
AE-Strategie
L inzidenten
wird
solche
neuen
Ei-
(AE-Strategie)
ist,
konfluent
nacheinander
Dabei
wird
Links
mit
benötigt,
der
DAVIS-Putnam-Beweis-
Klauselmengen
zu eliminieren.
T-Regel
LL-Tautologien
daß die
Invarianz
A~omelünini~-S~ate~e
der
mit
auf
nachgewiesenen
aussagenlogischen
Das Prinzip
Atome aus dem Graphen
entfernt,
sich
bekannte
den KOWALSKI-Kalkül
thersch
Abschnitt
ein
der
p-
gebildet
haben
wir
vorkommenden
L aus dem Graphen
oder
um zu verhindern,
Links
und noe-
die
Atom
für
werden,
der
T-Regel
ge-
daß bei
Resolu-
die
L inzi-
mit
dieren.
In
Kalkül
z~sammen mit
mus darstellt.
Algorithmus,
rithmus
heit
sogar
ausgehend
der
einen
formulieren
vorn initialen
Entscheidungsprozedur
In
der
für
hier
Graphen
durchführt.
Es wird
ausgeführt,
sich
die
daß der
indeterministischen
wir
Vollständigkeit
AE-Beweisprozedur.
eine
2.6
Strategie
im KOWALSKI-Kalkül
entspricht
der
einer
Entsprechend
der,
tungsschritte
zu Abschnitt
die
Beweisalgorith-
AE-Strategie
einer
dieser
Verpackung
daß die
Aussagenlogik
als
Klauselmenge,
AE-Strategie
zeigen,
KOWALSKI-
die
totale
einen
Ablei-
als
Algo-
Korrekt-
AE-Beweisprozedur
ist.
68
3.2.1
Algorithmus
AE-Entscheidungsptozedur
tin[}abe:
S : aussagenlogische
VOAJ..ab-Len:
~:
Klauselgraph
:= ~S;
a : K;
L : Li
gs I BTSE
t;-JnvOAJ...an:te:
Klauselmenge;
: Link;
R,
g;
yf
yf
1:
Solange
1-JnvG./U..a.n;te:
Y total;
1. 1:
wähle
1.2:
Solange
1.2. 1:
so daß Ca eine Tautologie
~ : = 'Ir(~ - a) ;
1. J:
Solange
§
~
einen
~ einen
1.4.1..
3.2,2
Satz.
ßewei4.
Die
a enthält,
Knoten
einern
~ einen
so daß
~ mit
~;=
p(~,~);
"erfüllbar"
1ll1.4g.abe:
Knoten
ist
--
anderen
Knoten
in
§
subsumiert
wenn
=
f1
(),
AE-Entscheidungsprozedur
Für den Beweis
--
cr-Regel
--
p-Regel
~ enthält,
den Literalen
,
wird
-Link
benötigen
,-Regel
a enthält,
;= 1r(§ - a) ;
Solange
1.4:
(0)
ein Atom L in y;
so daß a von
1.3. 1:
und
()
L und L inzidiert
sonst
ist
wir
"unerfüllbar"
total
korrekt.
zwei neue Begriffe.
Sei Lein
Literal.
Dann heißt
-
ein
aussagenlogischer
plementäre
-
Literalauftreten
Kaib
ein
Link
eine
Klausel
in
~-Reduktion
analog
wie
bei
g
Ka und ib
Satz
die
in
bis
g mit
auf
L, wenn für
IKI f /LI
stets
zwei komgilt,
daß
ist.
C Tautologie
Da die
g total
Klauselgraph
bzgl.
Totalität
2.3.7,
leicht
L,
ohne
wenn C die
L erhält,
zeigen,
Literale
läßt
daß gilt:
sich
L und L enthält.
mit
Lemma 2.3.6,
69
Wenn
(0)
f
ein
f~f'
Wir
bis
ist,
de der
Schleifen
Schleife
terminiert,
ist.
Hilfe
s1 ist
eine
Wir
total
Invariante
T~~un~.
zeigen,
der
Schleife
und
f; - a total
daß a die
BTEB in
I
(;',
Schleife
1.3 ist,
Sch1eite
1.4.
ist
[j
wenn vor
ein
damit
auch
zu
der
wir
Abarbeitung
dann
die
1.2
und sei
ein
(j
Tautologie
totaler
L.
für
je-
daß die
erfüllt
f-Invariante
stets
terminiert.
ist.
Graph mit
Sei
Graph mit ~sl BTSE ~'
= 11(f;
f;'
Da
zeigen
- a).
~
f;
Die
gilt
f;',
von
auch
f;
Wir
Da f;
ist,
f;
total
liefert
BTSE
I
r.
BTSE ~
I
: = 11 (f; - a).
ist.
Totalität
damit
f;'
r
~S
weiter,
Folglich
f;'.
war.
wie bei
zeigen,
bis
auf
L und
von
Schleife
Abarbeitung
Sei
Seine
mit
[j
BT
SE
sei
Graph
[j
daß [j'
keine
r'
::J
List,
inzidiert,
mit
~
Tautologie
auch
[j'
ist
[j
I
[j'
aus [j durch
zu ~ keine
L enthält.
der
in
(0)
(2)
Wir
bis
Invariante
müssen
gilt
[j'
bzgl.
liegt
auf
total
bis
L sein,
daran,
erfüllt
von
auf
L
sei
ist
und
daß [j'
auch
auf
[j
I
BTSE
r
::J
terminiert,
L.
Lein
keine
total
S BTSE
[j s Ir'.
I
BTSE
Link
da sie
daß ~ mit
stets
Literal
entsteht,
Schließlich
weder
r'
::J
::J
und sei
Tautologien
L inzidiert.
zeigen,
einem
L und ::Jr s
ist.
und daß
folglich
Resolution
auch
bzgl.
1.4
dem Literal
L enthält,
ist,
Tautologie
Klauselmenge,
der mit
[j'.
Tautologie
Dies
man, daß (1)
und daß Schleife
total
[j,
bzgl.
BTSE
wegen
ist,
keine
Bedingung
[j,
Link
ein
enthält
[j
aussagenlogische
I
S
1.2 zeigt
1.3 immer terminiert.
1.4
die
Sei ~ ein
[j'
Schleife
daß
L enthält.
Literal
totaler
erfüllt.
f;
Wir
der
Graph
vente
und nachweisen,
und daß Schleife
ist,
und daß Schleife
total
Jnv~~e.
auf
zunächst
auf
s1
1.2
ein
Analog
Invariante
'
wir
bis
zeigen.
Klauselmenge
wie
1.3.
~p
zu Beginn
total
BTSE
5chl~te
[j
zeigen
werden
so daß Ca eine
ist
[j
BTSE
I
in~,
daß ~'
eine
f'
daß
s1s
müssen zeigen,
(2)
auch
indem
Invariante
Invariante
Nachbedingung
und
Sei a ein Knoten
S
passende
Schleifeninvarianten
Sei Seine
(;
L inzidiert,
mit
Trivial.
J n vG./l.i.an:te.
ist
Klauselgraph
AE-Entscheidungsprozedur,
wenn ihre
die
1.2.
aussagenlogischer
wenn ~ mit
eine
dieser
und schließlich
SchieLte
ist,
nun die
vier
Mit
L totaler
dann
verifizieren
(1)
auf
bzgl.
Schließlich
bis
auf
gilt.
List,
Da wegen
Da [j total
der
mit
kann
das Literal
L und L inzidiert
die
bis
L und L
Resol-
L noch
und die
das
Inzi-
70
denzklauseln
tologie
von
bzgl.
Da,
Resolvente
Literal
die
zu ~,
mit
1.
Wir
1
terminiert,
Jnv~~~e.
mit
-
fl
-
wir
wird
zeigen,
f S 'EBTS f
(1)
und sei
Also
Bedingungen
gezeigt
von
Bedingung
haben,
weder
der
Schleife
Invariante
der
von
Schleife
Abarbeitung
(1)
L ein
Sei
Atom in f.
aus fl
durch
Anwendung
f3
ein
Graph,
der
aus f2
durch
Anwendung der Schleife
füllt
f
die
BTSE
1.3 erfüllt
erfüllen,
Invariante
fl
I
Graph
1.4
' der
f
variante
s
f
l
BTSE
von
~SI BTSE ~3.
mit
gezeigt
total
ist,
Aus ~Sl
haben,
T~~un~.
Atome
bei
echt
Schleife
Da
gilt,
fsl
fl
fl
die
f2
total
Schleifen
ein
ist.
von
ebenfalls
ein
bis
Literale
auf
L ist,
mit
Schleife
r2
~
die
In-
L und erfüllt
ist.
Link
wir
Die
mehr
L und L nicht
haben
er-
totaler
erfüllt
daß ~3 keinen
~3 die
Graph
Invariante
auf
1.2
Zunächst
totaler
daß ~3 zudem TI-reduziert
sichert,
Graph
1.4 entsteht.
Also
bis
totaler
entsteht.
der
enthält.
f3
1.3
BTSE f3
ist
ist
ein
enthält,
mehr.
nun,
Termi-
Da wir
daß ~3 sogar
war.
oben
Durchlauf
Da ~ zu ~s
tialisierung
erfüllt.
wird,
ist
Entscheidungspro~edur
gezeigt,
der
daß ~3 das
Schleife
S
durch
initialisiert
Da die
die
1 die
als
wird,
~-Invariante
~-Invariante
Nachbedin~un~. Sei Seine
der aus ~
Also
ist
1.4
daß ~3 total
haben
jedem
mit
und daß Schleife
Atom L nicht
Anzahl
der
mehr
in
~
enthält.
vorkommenden
kleiner.
~-Jnv~anXe.
pliziert
Folglich
enthält
der
1.2 entsteht.
Invarianten
Tautologien
Schleife
zu z~igen
Wir
wird
keine
Also
total
C fl
BTSE ~3 folgt,
von
wie
der
die
enthält.
f2
1.4.
L inzidiert.
schon
Also
2 '
f2
1.2.
Tautologie
Schleife
nierungsbedingung
der
Schleife
und offensichtlich
mit
bzw.
und daß f3
von
keine
fl
Anwendung der Schleife
der
f
sei
der
bz~
Anzahl
das
ist.
Graph,
1.3
L noch
die
1 ist,
ein
bzw.
ist,
Literal
erfüllt
Klauselmenge,
bzw.
Tau-
kleiner.
aussagenlogische
f
erfüllt
1.4
f2
daß
(2)
das
der aus f durch
zeigen,
keine
(2).
Graph,
müssen
enthält~'
die
Durchlauf
echt
wenn vor
L sind.
Abarbeitung
jedem
daß
Sei Seine
alle
oben
bei
bzgl.
ein
Wir
fS
wie
der
L inzidieren,
5chleite
stets
somit
wenn vor
L enthält,
Links,
Tautologien
L und erfüllt
T~~un9'
die
~ keine
für
ist
von
jeden
die
allen
~-Invariante
~ erfüllt,
Graphen
erzeugt.
aussagenlogische
Klauselmenge
1 entsteht.
der
Schleifeninvarianten
Zwischenergebnis
Anwendung der Schleife
nach
und sei~'
Ini-
im-
den die
AE-
ein Graph,
Wir müssen zeigen,
daß
71
=
y'
genau
()
variante
f
( 3)
dann
und die
f'
,
S
"f'
Terminierunsbedingung
und
entweder
f'
==> S erfüllbar".
()
lOS erfüllbar
daß y'
==> f'
erfüllbar
ist.
= ()
muß f'
3.2.3
ist.
wenn S erfüllbar
=
()
Schleife
[;'
= (0).
oder
Korollar.
Ergibt
Zunächst
von
BTSE
=
ist,
gilt,
sich
direkt
Sei
also
S erfüllbar.
Wegen
(3)
gilt
f'
= ()
Korollar
Mit
oder
3.l.7(b).
Korollar
= (0).
[;'
die ~-In-
daß gilt:
1,
aus
= ()".
garantieren
3.l.7(a)
Da (0)
folgt,
unerfüllbar
sein.
Der
[]
KOWALSKI-Kalkül
ist
für
aussagenlogische
Klauselmengen
vollständig.
ß eJj}
e-0:J Sei
S eine
.
gen, daß eine
gabe für
Widerlegung
die
terminiert.
Also
3.2.4
Die
Satz.
zur Anzahl
ßew~.
eine
f
fis
existiert
eine
Seine
4.2.1
in
S mit
/Ga77/
unerfüllbare
solutionen
solches
so daß jede
Dies
S wenigstens
2cn
Resolution
zuerst
S.
hat
von
(siehe
(für
nun,
f:
2.5.7)
die
zei-
korrekte
Eingaran-
~s I BTSE (0)
Ableitung
~S'
[]
Aufwand
Dann terminiert
y
zu
f--
S
()
r.
relativ
Klauselmenge
p-Schritte
(Schritt
bemerken
noch,
gezeigt
S mit
1.4.1)
daß die
relativ
zur
Exponentialität
(siehe
/Ts68/) .
I--
(0)
r
.
R
8.26/).
n Literalauftreten
.
für S wenlgstens
ausführt.
AE-Ent-
ist
/Ga77,
alle
n
exi-
cn
2
für
AE-Entscheidungsprozedur
Aufwand
wurde
~8
so daß für
gibt,
Resolutionswiderlegung
daß die
r:
oder
siehe
c >0
die
Offensichtlich
Definition
daß es ein
bedeutet,
TSEITIN
einer
müssen
~-Invariante
exponentiellen
Ableitung
exponentiellen
Wir
S mit
für
S eine
und die
Klauselmenge.
einer
besagt
reguläre
enthält.
in
für
ist
Wir
in S.
aussagenlogische
AE-Entscheidungsprozedur
ralauftreten
Satz 3.2.2
aussagenlogische
für
Klauselmenge.
Zunächst
AE-Entscheidungsprozedur
eine induzierte
Ableitung
R
reguläre
Resolutionsableitung
stiert,
existiert.
Widerlegung
der Literalauftreten
Sei
Theorem
eine
für
AE-Entscheidungsprozedur
scheidungsprozedur
Sei
aussagenlogische
AE-Entscheidungsprozedur.
daß die
tieren,
unerfüllbare
Reein
Also
hat
die
Anzahl
der
Lite-
der
regulären
[]
72
3.3
Der Konfluenzsatz
~~
Sei
Sei
ein
3.3.1
Satz.
tiert
eine Widerlegung
.eben
verschieben
Wir
ß0Vei4.
r:
fi
Sei
I
.
S .,BT
Also
SE
ist
Restriktion
Die
Konfluenz
sich
also
der
in
-
BTSE-Ableitungen
-
Jeder
enzbeweises
dar.
Beweis
zugrunde
eine
zeigen,
bei
spannend
daß alle
und 3.1.6,
r
für
für
aussagenloaussagenlo-
Wenn r
für
I.
fi
spannend
fi
SA
ist.
o. Die Kon-
BT E T
BTSE-Restriktion
'Restriktion
die
eine
eine
sogar
Also
Klauselrnengen
Klauselmengen
und sei
daß
':
ist
BTSEAT-Widerlegung.
die
die
für
BTSEAT-Ableitur
BTSE~T-Ableitung
auch
Ich die
auch
ist
BTSEATBTSE~T-
konfluent.
aussagenlogische
eIlt
stellt
also
also
für
für
,
f1
[]
Klauselmengen
ergibt
daß
daß der
der
siert,
analysiert,
nnend,
spannend,
die
die
3.2.2)
3.2.2)
stellt
stellt
einer
einer
des
des
des Konflu-
erstmals,
erstmals,
erstmals,
begründen
begründen
begründen
Graph
.ph total
Graph
total
daß der
da.
vollstäl
vollständig
KOist.
ist.
ist.
werde]
werden,
Um
Um Satz
Um
Satz
nur
vorausgesetzt
nur noch
noch vorausgesetz1
vorausgesetzt
ent3.3.1
wird,
neuen
neuen:n Beweistechnik.
Beweistechnik.
die
die
die
man
man fest,
fest,
eliminiert
eliminiert
näher
näher
gleich
gleich
für
für
2.7/
2.7/
Drittel
~ Drittel
Drittel
auch
auch:h der
der AE-Entscheidungi
AE-Entscheidungsprozedur
Graphen
Graphen
es
es also
also
letzte
letzte
3.1.6).
3.1.6).
3.3.1).
3.3.1).
Klauselmengen
Klauselmengen
initiale
initiale
den
den initialen
initialen
(siehe
(siehe
Corollary
Corollary ary
wie
wie wir
wir
(Satz
(Satz
(Satz
(Satz
fehlende
fehlende
Technik,
Technik,
(Satz 3.1.3).
3.1.3).
(Satz
spannend
spannend
aussagenlogische
aussagenlogische
damit,
damit,
bedarf
bedarf
spannend
spannend
widerlegbarwiderlegbar-
in
/Bi81c,
in/Bi8lc,
genau
genau die
die
dem für
für
ist,
ist
ist
das
das bisher
bisher
BEL zeigte
BIBEL
zeigte
ängig,
abhängig,
sind
sind
Eigenschaft
Eigenschaft
auftretenden en Tautologien
Tautologien
der Eigenschaft
wird.
fest:
fest:
Klauselmenge
Also
konfluent.
erhalten
erhalten
is
Wenn man den Beweis
dungsprozedur
zunächst
zunächst
sind
sind
Widerlegung
Klauselgraphen
Klauselgraphen
und ist
ist
davon
resolviert
Teilen:
benutzt
liegt,
scheidend
daß er
rr'
stens
wenigstens
WALSKI-Kalkül
3.1.3
eine
spannende Klauselgraph
Klauselgraph
3.3.1
und
und stellen
stellen
BTSE-Widerlegung.
totale
ale
Satz
zu
Sätze
BTSE-Restriktion
drei
Unerfüllbare
Sein
die
aussagenlogische
-
Unser
eine
auch
für
Non-T-Links
aussagenlogische
Klauselmengen
ist
auf
Dann exis-
konfluent.
unerfüllbare
aussagenlogische
dann
nur
BTSE~T-Restriktion
BTSE~T-Restriktion
und die
wegen Satz 3.3.1
rr'
der
Die
Die BTSE-
Dann liefern
fi.
..
katenation
bei
Klauselgraph.
Beweis
Beweis
Seine
existiert
ist,
~~o,
lselmengen
KlauseIm
Klauselmengen
gisehe
aussagenlogischer
den
den umfangreichen
Korollar..lar.
3.3.2
spannender
totale
totale
totale
Korrektheit
Korrektheit
Korrektheit
daß
daß er
er wesentlich
wesentlich
die
die BTEB
BTEB erfüllen
erfüllen
werden
werden können.
können.
der
der
der 1AE-Entsch~
AE-Entscheidavon
davon cabhängt,
und
und damit,
damit, :, tinte]
unter
unter
Erhalt
Erhalt
Damit
Damit die
die ~ Tauto]
Tautologien
Tautologien
abi
a]
aber
73
die
BTEB erfüllen,
spannend
zur
ist,
Folge,
zedur
muß der
können
nicht
daß man die
(siehe
3.2.1)
die
ist,
durch
nicht
werden
durch
wir
die
die
Für
tionen
Kombination
von
die
a
von
können.
der
p-
und der
Links,
die
T-Regel,
Beweis
reduzieren,
wir
eine
den Vollständigkeitsbeweisen
her
löscht.
Mit
Auftretenten
nicht
dann
bekannt
für
diesmal
spezielle
ist
für
nacheinander
Satz
Knoten
den
den ganzen
ganzen L Kn
G-L J bezeichnen
bezeichnen
des Literals
Literals
3.3.1
allerdings
Literal-EliminieRestrik-
ist:
Len, der
g-La den Graphen,
La (also10 nicht
nicht
mit
AE-Entscheidungspro-
und sei
wenn man alle
ist,
neue
cr-Regel.
benötigen
Dann bezeichnet
be2
\LI
unserem
noch
AE-Entscheidungspro-
p- und der
in
Atome
der
nur
Das hat
und ~-L. Sei g ein aussagenlogischer !r KKlauselgraph
Links
das Atom
da dann
der
Wenn er
werden.
der
Das Prinzip
Auch
vorkommenden
1.4
kann,
zu eliminieren.
der
eliminiert
Schleife
Anwendung
sein.
klassischen
Literalauftreten
y
entstehen
3.3.1
gewesen
die
teralauftreten.
denten
der
garantieren
Satz
total
Tautologien
mehr
des Resolutionskalküls
3.3.3 ~-L
das
Atome
den Beweis
alle
komb~~e
Anzahl
rungstechnik,
in
die
vorkommenden
mehr
Graph
Terminierung
dem Atom L inzidieren,
zedur
initiale
aus
a)
!n G
Graphen,
wir
wir den
den
y
entsteht,
und alle
2.1.11
Ln g
[;
der Graph
Graph aus
aus 2.1
2
Wenn
der
. a
,-P der folgende
Graph:
y_pa
folgende
Graph:
~_pa
lehr.
mehr.
und
Li-
wenn man
mit
La inzi-
den man aus yerhält,
Offensichtlich
Of
LL löscht.
löscht.
La ein
enthält
ader
n(y-L)
linkeste
Knoten
~
~~
Der Graph
n(~-p)
schließlich
~
hat
L
l2.l
3.3.4.4 LeI!UT\a. Sei (j ein
~
die
Form:
I~
spannende:
spannender
-l
aussagenlogischer
Klauselgraph
und sei
La
Literalauftreten.
Dann gilt:
ein L:
r
a .
~-L
~st spannend.
(a) ~.
(j-L
(b) ~.
und
TI«(j-L)
ßewei4.
Sei
~ ein
teralauftreten.
sind spannend.
spannend
spannender
aussagenlogischer
Klauselgraph
und
.
se~
a
L
ein Li-
~
74
TeLi
(al.
Sei n ein
~La
ist.
Zunächst
komplementär.
är.
in {i ist.
Da
gegenüber
in
Teil
(b).
folgt
Y-La.
Link
Teil
3.3.5
1f in
ein.
ein.
Seien
(b)
Wenn
~ -i--~'
1T(H)
(c) Wenn ~f---mo
T
Eigenschaft
auch
{i
ist
~
nin
so
ein]
so daß
daß n(e)en(f)f
TI(e)eTI(f)f
ein
Link
und 1f(f) I:~ fLa.
Da in {i-La
ist
1f(e)e1f(f)f
spannend erhält
y
und 1f(~L)
{i-L
zu
zu kennen,
können,
~ ~~',
schreiben
ein
auch
ein
(Lemma 3.1.4),
spannend sind.
rühren
wenn es in
Klauselgraph
Literalauftreten
~
dann existiert
gilt,
und Lein
w~r noch
[]
[]
~
~ einen
Non-T-
Literal
ist,
dann
in y}.
Klauselgraphen
mit
eH.
[;
ein Graph H' mit H --i---H'
dann existiert
eine
und Haussagenlogische
von Hund
1T(H) der
TeLl.. (6).
Sei
gilt
größte
~+~I.
Widerlegung
Dann gilt:
und ~' C H'.
H ~O'
~T
Klauselgraphen
mit
~ eH.
auch 1T(~) C H. Da 1T(~) ein 1T-reduzierter
1T-reduzierte
Subgraph
Dann existiert
von
ein Graph~"
H
ist,
gilt
Subgraph
1T(~) C
.
1T(H)
mit ~---!---+~.. und
0
-.Q.). Wegen Teil
H++ H" und ffn C
ventenknoten
(a) genügt
H" existiert.
C, die
es zu zeigen,
Dies ist
U-Substitution
daß ein
aber evident,
e und die
Graph H" mit
da man in
signifikanten
Po den Resol-
Vorgänger
geeignet
kann.
T~
(c).
Sei reine
tion
über
die
r
ist,
in
komplementär.
die
Wenn
gilt,
Da ~ C H ist,
"I
wir
~,
fLa
inzidieren,
und Haussagenlogische
TeLl.. (a).
wählen
~La
La ist
[;
~ spannend
Da
1f(e)e
La
daß n komplementär
.
C
= 1T(~"
mit
daß mit
gibt.
1T(~)
{Ir
gilt
Lemmata
Lemmata bequem
bequem tormul~eren
formulieren
:= {Lai
Seien
ist,
die
1f-Reduktion
(a)
ßew~.
fehlen,
~ ~yl
Lemma.
{i-La
(a) sofort,
Auftr(L,y)
~.
Pfad in
Knl
es Knoten
e und f in
in
ist
Notationen
Notationen
~ mit
ist
Also
folgenden
folgenden
weitere
weitere
gibt
gibt
Pfad
Links
Da die
mit
Um
Um die
die
ein
Wir müssen zeigen,
auch ein
n auch
ist
Folglich
1f
{i nur
Link
Pfad in ~L-.
~La.
Pfad
I
=0
".
Länge
T-Widerlegung
von
Dann enthält
r,
für~.
daß eine
{j
Wir
Widerlegung
zeigen
durch
H~o
die
leere
Klausel.
Also
sei
I: der
Ableitungsschritt
vollständige
Induk-
existiert.
enthält
auch
H
die
leere
Klausel.
"
Ir I >
lich ist
Fall
0
". Sei
r=
Er'
und
r' eine T-Widerlegung für,gl
1.. Cl = 1" oder Cl= a.
setzung
auf fl,
Hund
r'
Dann gilt
anwendbar.
,g~,g
1. Offensicht-
mit Ir' I < I r I.
,gl C ,g eH.
Folglich
Also
existiert,
ist
die
rnduktionsvoraus-
wie zu zeigen
war,
eine
75
Widerlegung H ~o *
=
FaLl 2: a
. Dies
<I>
a =p
FaLl ):
Non-'[-Link
,
Sei
J!, ein
da
in
Also gilt
Lemma,
ein
Literal.
der
eine
Sei
ein
{;
der
(a)
!Auftr(L,{;')!<IAuftr(L,{;)I,
(b)
IAuftr(i':,{;'>
I =
Sei {;
y ein
ßeweL4,
ßeJl)eUJ.
~5
zwei
und
und sei
sei
I Auftr
~
und 5" mit:
-
auf {;l'
J!,
(1) {j~
Wir
(2)
9
Man überlegt
{j" und 5" ={j"-L
mit
{;'
L
{; ~{;',
wegen
sei
Lemma 3,3,5
(h)
Lein
Li-
Graphen
5 I
sich
L nicht
leicht,
daß ein
enthalten,
Graph
{j"
ist
existiert
tauch
mit:
.
definieren
:=
{j'
11 (~"-.J!,)
{j
.
gilt
und Auftr(L,{j')
---p;r--+{j'
C Auftr(L,{j")
I<
Fall
2:
IAuftr(L,{j')
1= IAuftr(L,{j)
5'
Mit
(1)
5'
folgt
=
=1I«{j"-.J!,)
=1I(1I({j"-~)
({j"-~»
(da
wie
I.
Dann erfüllt
I.
Dann gilt,
{j'
die
wie wir
Bedingung
zeigen
(b).
werden:
-L).
C({j"-~)-L
Da Auftr(L,1I
enthält
(L,{j)
sofort,daß
1I(5"-~)
11({j'-L)
I Auftr
C Auftr(L,{j).
.
=11 (~'-L)
Wegen1l({j"-t)-L
gilt,
Graph
Klauselgraph,
von ~ das Literal
IAuftr(L,{j')
(6)
ein
und sei
I5 .
1:
(5)
[]
erfüllt:
p\
Fall
(4)
anwendbar und lie-
::> 1T(5"-J1,) =5'
(in
Non-,-Link.
Gffensichtlich
~
(3)
und
U
rnzidenzklauseln
ein
t
ein
J!,
1T(~-L)
{j
N~NI
Klauselgraph
dann existiert
U
in
J/, auch
wie zu zeigen war.
Dann existieren
,
~-L~5"
Da die
NI und r'
aussagenlogischer
5
5
Dann ist
{;l'
undSC~({;'-L),
~-reduzierter
'Ir-reduzieJ
~
({;-L>
'Ir (fI-L)
---f5r
ein Graph NI mit
Bedingungen
I
ist.
aussagenlogischer
gilt,
(L,{;>
{;
~o,
~-reduzierter
folgenden
mit
{;
ist
N ~Nl
Wenn ~({;-L>
aussagenlogisch
{;
(b) existiert
Die Induktionsvoraussetzung
fert NI ~o,
teral
teral
sein,
Non-'[-Link
in N, Wegen Teil
{;I C NI'
3.3.6
nÜ:ht
kann
{j
-L)
C 1I«{j"-~)
=Auftr(L,{j"-~)
1I-reduziert
zu zeigen
gilt
war,
(I)
die
-L)=
5'.
und {j"-~
ist
und ~ nicht
Bedingung
(4).
keine
mit
Mit
isolierten
dem Literal
5 eS'
folgt,
Auftreten
von L
L inzidiert),
daß {j'
die
Be-
76
dingung
(b) des Lemmas erfüllt.
3.3.7
Lemma.
Lein
Literal.Sei
Graph
g'
mit
OeS(g').
(b)
{L} es (g')
(c)
IAuftr(L,g')
teral
eine
ein
n-reduzierter
zeigen
durch
vollständige
~'
existiert,
ein Graph mit
>0 ".
H
PT*) o.
und sei
J;)ann existiert
Bedingungen
ein
erfüllt:
der eine
Klauselgraph,
H~o
Sei r:
Induktion
über
die
der die
Länge
von
(a),
r,
Lein
Li-
daß ein
(b) oder
(c)
Graph
erfüllt.
oder {L}S(y).y':=f;istfolg-
Bedingung
(a)
oder(b)
N-iT Ni. Wegen Lemma
und sei r:
sei
eine Widerlegung für
der Bedingungen
AlsogiltOS(y)
y--p;t-+- y',
Sei r =rr'
5
mit
folgenden
von n (~-L).
DannistOS(H).
ein Graph
der
~ (g-L)
aussagenlogischer
Subgraph
"Ir!
erfüllt.
3.3.5(b)
existiert
mit:
J/,
1T(~-L)~5undNIC5.
Wegen
Lemma
(2) ~-iT
auf
der
Hein
"Irl=o".
(1)
g',
von
Klauselgraph
I < IAuftr(L,~) I.
~' mit ~~
lieh
~
aussagenlogischer
Subgraph
und sei
Wir
H.
~-reduzierter
.
~
Sei
ein
Hein
g
(a)
ßew~.
g
Sei
[]
3.3.6
1T-reduziert!)
existiert
nun
ein
Graph
~l
mit
~l'
den einer
FaLL 1:
der
beiden
I
Auftr
(L'~l)
NlC1T{~l-L).
Also
Folglich
I
Fälle
zutrifft:
:=~l
1T
ist
die
existiert
IAuftr(L'~l)
folgenden
I < IAuftr{L,~) I. Dann erfüllt ~'
I = !Auftr (L,~) I und 5 C (~l-L).
IAuftr(L'~l)
FaLL 2:
bar.
(~ist
Induktionsvoraussetzung
ein
= IAuftr(L,~)
~,
Graph
I
eine
der
Wegen
auf ~1'
~-iT
mit
die
(1)
(a),
ist
(b).
dann
L, Ni und r'
~l ~~',
Bedingungen
Bedingung
anwend-
der "Wegen
(b)
oder
(c)
des Lemmas
erfüllt.
3.3.8
[]
Beweis
schwächere
(I)
Für
für
Satz
Behauptung
jeden
eine
Für
einen
Klauselgraphen
(2)
Atome
Wir
beweisen
Wegen Lemma 3.3.5(c)
genügt
es,
spannenden
aussagenlogischen
{I
L
11
nun die
folgende,
Klauselgraphen
T-Widerlegung.
:=
die
zu zeigen:
~-reduzierten,
tiert
(y)
3.3.1.
y
es gibt
definieren
einen
Behauptung
(I)
wir
Knoten
mit
a in
einer
y
mit
L e Ca }.
Doppelinduktion.
exis-
77
Sei
~ ein
also
zeigen
durch
IT-reduzierter,
spannender
vollständige
Induktion
aussagenlogischer
über
IAtome(~)
I,
Klauselgraph.
daß eine
Wir
T-Widerlegung
~ existiert.
für
" Atome({J) I = 0"
Widerlegung
(y)
I
> 0".
Sei
tionsvoraussetzung
(3)
L e Atome
die
Wenn H ein
H
also
Atome
daß eine
ein
"IAuftr(L,H)
I = 0".
für
Also
existiert
eine
T-
zeigen
zunächst
mit
Hilfe
der
Induk-
aussagenlogischer
Klauselgraph
mit
existiert
eine
spannender
zeigen
H
Dann
durch
aussagenlogischer
vollständige
für
H.
Klauselgraph
Induktion
mit
IAuftr
über
(L,H) I,
existiert.
gilt
I Atome
(H)
H anwendbar
auf
T-Widerlegung
I < I Atome
und
(Y)
liefert,
I.
Also
wie
ist
die
zu zeigen
äußere In-
war,
eine
T-
H.
"IAuftr(L,H)
1>0".
1: H enthält
eine
Da H TI-reduziert
kann
dann
für
duktionsvorausssetzung
Fall
ist,
Wir
(Y).
Wir
.
spannender
TI-reduzierter,
T-Widerlegung
Widerlegung
(~)
TI-reduzierter,
C Atome
(H)
Klausel.
Behauptung:
Atome (H) C Atome (y)
Sei
leere
für~.
I
" Atome
~ die
Dann enthält
I
~ kein
ist,
,-Link
{L} . Sei a ein Knoten in H mit Ca = {L} .
H . Da H aussagen 1oglsch
..
ein Link Q, =L a-b.
L
1n
1st,
unäre
Klausel
existiert
sein.
Sei
Hl
ein Klauselgraph
mit:
(4) H~Hl'
Fall
1.1:
IAuftr
Hl
Hl
enthält
I<
(L,Hl)
anwendbar
eine
T-Widerlegung
Fall
1.2:
Hl
ventenknoten
BSEB in
H2
(5)
Also
I.
liefert
H1 ~o.
die
Dann gilt
innere
Induktionsvoraussetzung
Wegen (4) existiert
also,
auf
wie zu zeigen
war,
H.
für
enthält
den Knoten
c zu~.
Da der
bzgl.
ist
mehr.
c und 8.
b. Wegen Lemma 3.1.1
zweite
Also
ein
t H
zu ~ unär
Inzidenzknoten
existiert
enthäl
spannender
1
ist,
(!),
auch
den Resol-
erfüllt
b die
TI-reduzierter
Graph
mit:
Hl-4--
Somit
ist
H2~O.
für H.
Fall
H1
IAuftr(L,H)
und
b nicht
den Knoten
2:
3.3.4(b)
IAuftr
H2 und
die
innere
Wegen
H enthält
auch
(4)
(L,H 2)
I
~ 'Auftr(~,H)
< IAuftr(~,Hl)'
auf
Induktionsvoraussetzung
und
keine
spannend
(5)
existiert,
unäre
und
Klausel
erfüllt
wie
{L L
H2 anwendbar
zu zeigen
TI(H-L)
!Atome(H-L)
I.
ist
war,
und liefert
eine
T-Widerlegung
TI-reduziert,
1 < IAtome~)
I.
Also
wegen Lemma
ist
die
äußere
78
Induktionsvoraussetzung
legung
für
w(hLL)
Nun existiert
auf
existiert.
N~
N' und
auf
den einer
der
N'
2.1:
oes(N').
Fa)).
2.2:
{L} es (N').
hält
man
N'
f,.,
T-Widerlegung
2.}:
setzung
(6),
Damit
tiert,
daß,
wie
haben
wie
hauptung
n(H-L)
~o.
zutrifft:
Hf.--".,O,
Zt zeigen
H
T 0, wie zu
r--'
T
man für 11'
N' so wie in Fall
(6)
(6)
mit
I< IAuftr(L,#)
IAuftr(L,H)
anwendbar
die
zu zeigen
(1)
sogar
T-Wider-
N' mit:
ein Graph H'
Fälle
Fälle
Zusammen
liefert
liefert
und
zu zeigen
wir
gilt
daß eine
spannend und
und 1f-reduziert,
w-redm
spannend
Wenn
IAuftr(L,N')
N'
liefert,
ergibt
sj
sich,
war.
I
wie
H
für
zu
zeigen
verfährt,
war,
erdaß
eine
N existiert.
für
auf
und
Dann gilt
o.
T
ist
folgenden
Fa)).
anwendbar,
Wegen Lemma 3.3.5(c)
3.3.
Wegen
wegen Lemma 3.3.7
(6)
Fan
w(N-L)
TI
(H-L)
war,
eine
Behauptung
war,
und damit
eine
Satz
(3)
I.
I.
N'
H'
Dann
j
Dann
ist
~[
~O.
T
T
T-Widerlegl
T-Widerlegung
gezeigt.
T-Widerlegung
3.3.1
bewiesen.
die
innere
Wieder
für
[
Da
sie
für~.
Induktionsvoraus-
erhält
man zusammen mit
H existiert.
auf
~
Also
anwendbar
ist,
haben wir
die
exis-
Be-
[]
~
4
KAPITEL
VOLLSTÄNDIGKEIT
UNÄREN
Für
BEI
KLAUSELMENGEN
allgemeine
Klauselmengen
sind
Filtern
für
den KOWALSKI-Kalkül
digkeit
des
reinen
Klauselmengen
eine
sind
immerhin
vollständige
konnten
wir
für
duktionsregeln
Fall
Kalküls
noch
Eigenschaft
Strategie,
die
von
ist
Filtern.
ein
Fragen,
betreffen,
(siehe
2.5.9)
zwei
wichtige
nämlich
BTSE-Restriktion,
einschränkt,
fehlt,
alle
die
die
Konfluenz
hinreichend
noch
ist
die
die
die
Vollständigkeit
offen.
Selbst
unbewiesen.
Ergebnisse
Für
gezeigt:
AE-Strategie,
nachweisen.
allgemeines
Vollstän-
aussagenlogische
Zum einen
bekannt.
die
lediglich
die
von
ist
Zum anderen
Anwendbarkeit
der
Re-
Was im aussagenlogischen
Kriterium
für
die
NOETHER-
82
Wie bereits
Kalkül
in
bisher
gischen
der
nicht
Fall
auf
sie
eine
Ebene
aber
se der
schen
/HW74/).
keit
Sie
Beweistechnik,
Wir
TI-reduzierten
ganzzahlige
daß der
Kern
oder
die
innerhalb
Resolution
den
Resolution
Zusammen ergeben
die
zeugte
Link
ständig
ist.
nur
die
diese
nach
endlich
Wenn man diese
Idee
weiter
ten:
wie
Wie transformiert
sieht
Ein
ein
geeignetes
naheliegender
widerlegung
legung
bei
zu definieren
Resolution
fein
gen diese
bündeln
stellen.
von
anten
und
Für
die
solchen
Transformationen
Klasse
die
durch
dieser
insbesondere
Klauseln
des
wir
Kerns
daß
wie
die
jede
jeder
benutzt,
zwei
diese
Klassen
eignen
den Vorteil
die
auch
betrachten
wir
nun die
und
Resolutions-
stößt
jedoch
auf
Resolutionswiderlegungen
sind.
Wir
sich
im Kern
besser
die
beseiti-
zu Klassen
einfachere
haben,
vorkommen,
voll-
Resolutionswider-
Dies
kompliziert
einzige,
er-
Schwierigkei-
Resolutionswiderlegungen
eine
Kom-
Ableitungs-
(d.h.,
seiner
sich
von
seine
aus?
transformiert.
Struktur
unberührt.
Resolutionsregel
Projektion
entsprechend
indem
Darstellung
SHOSTAK /Sh76/,
von
da die
diesen
reduziert
jedoch
der
bedeutet,
Resolutionsre-
gelöscht)
den Kern
als
des Kerns
Transformationen
gesamte
für
zu untersuchen,
innerhalb
Schwierigkeiten,
und die
Anwendung
den Kern
Schwierigkeiten,
und die
bei
sich
nichtne-
außerhalb
erschöpfend
wieder
ergeben
Kern
ist,
den Kern,
eine
der
läßt
und
Der
unerfüllbaren,
Null
Anwendung
den Kern
Komplexitätsmaß
Gedanke
unüberwindliche
sehr
der
Komplexität
und diese
und
Mächtig-
SS80/:
kann
Kerns
verfolgt,
sich
Kern
des
Schritten
deren
einen
außerhalb
über
/Ku72/
/SS76,
Resolutionslink
Annahmen
vielen
aus
der
Resolutionsregel
wird
ein,
liegt
transformiert
im Automati-
zu axiomatisieren.
Diesem
einer
können
Teilklas-
/Ch70/,
enthält
werden.
Entweder
die
mit
Idee
Klauselmenge
Bei
zu haben,
(siehe
also
prädikatenlo-
unentscheidbare
ist
Kern.
auf
vorführen,
folgenden
enthält.
des Kerns
immerhin
HORN-Klasse
der
Man benötigt
gefunden
4.2)
zugeordnet
Klausel
Kerns.
die
sogenannten
Möglichkeiten:
des
Technik
KOWALSKI-
den aussagenlo-
vornherein
BOOLsche Algebren
unerfüllbaren
leere
innerhalb
strategie,
auf
Komplexität
es zwei
plexität.
Gruppen
für
von
Bedeutung
untersuchte
es beim
zu übertragen.
Abschnitt
gut
Subgraphen,
gative,
für
praktischer
basiert
zu einer
diese
nur
(siehe
die
um z.B.
Graph
gibt
glauben
Arbeit
großer
Beweistechnik
initiale
oder
die
schließt
hinreicht,
Unsere
gel
neue
Klauselmengen
von
ist
Vollständigkeitsergebnisse
Fall
im Rahmen dieser
Beweisen
3 ausgeführt,
prädikatenlogischen
arbeitet.
unären
zu Kapitel
gelungen,
den
voraussichtlich
gischer
Einleitung
Struktur
dar-
Widerlegungsgraphen
daß in
ihnen
auftreten.
handhabaren
nur
Statt
Varider
Transfor-
83
mationen
des korrespondiere~den
Widerlegungsgraphen
und seiner
Projektion
in
des
mationen
I
den Kern.
Es zeigt
zeigt
sich,
daß eine Resolution
innerhalb
des Kerns einer
oder
Es
sich,
den Kern.
mehreren
mehreren
Resolutionen
Unäre
Klauselmengen
legungen
sogar
Varianten
In
nach
ein,
betrachten
den R-Bäumen
tionen
4.3.
sind
4.1
bei
die
wir
wir
in
4.2
unäre
für
Subsumtionen
Subsumtionen
mit
die
die
dieser
die
Ein
enthalten
Klauselmengen
die
oder
und
in
4.4
neuen
transparent
ohne
ist
sich
die
die
dies
kurz
Widerlegungsgraph
nennen.
Da-
den Zusammenhang
den Kern
die
Widerle-
R-Bäume
stellen
und die
wir
mit
Transforma-
in
eigentlich
Abschnitt
anvisierten
für
macht.
ist,
diesem
erwei-
Hintergrund
als
Tautologie-Eliminations-
enthalten,
ohne
Einschränkung
Vollständigkeit
zu gefährden.
Wie die
bei
Klauselmengen
nicht
allgemeinen
und
daß sie
Insbesondere
vor
daß die
Faktoren
Tautologien
Beweismethode
auch
jedoch,
ihre
allgemei-
zeigen.
Eliminationsbedingungen
adäquat.
Überraschenderweisezeigt
adäquat.
regel
bei unären Klauselmengen,
regel
bei
angewendet
werden darf,
angewendet
2.7.2
und 2.7.8
zeigen,
2.7.2
und
in
der
Bei
erforderlichen
Eliminationsregeln
Hauptvorteil
können.
betrachten
Klauselmengen
Reduktionsregeln
BIBELschen
R-Bäume
wir
Resolutionswider-
wenn der
Beweis
Klauselbäume
der
entspricht.
soll.
unseren
können
schließen
ein.
werden
Ableitungsschritten
unäre
daß ihre
unvermeidbar,
für
Projektion
Vorbereitungen
Untersuchungen
Funktion
Funktion
die
aus,
dargestellt
Kerns
reduzierte
Die
Vollständigkeitssätze
Vollständigkeitssätze
sen sich
sich
sen
wir
Widerlegungsgraphen
nun dadurch
Zyklen
des
den verschiedenen
Nach diesen
Unsere
Unsere
dagegen
führen
her.
sich
Widerlegungsbäume
von Klauseln
Abschnitt
gungsbäume
dem korrespondierenden
zeichnen
durch
nen Klauselmengen
nur
auf
Beispiele
der
Fall.
84
4.1
Reduzierte
Reduzierte
regel
der
Klauselbäume
Klauselbäume
wieder
durch
in
die
bäume ist
reduzierte
konfluent
keine
eine
4.1.1
heißt
heißt
so daß ~i
und n-l
Relation
Pfad
Pfad
die
die
ein
in~, ~,
Länge
ai
des
Zusammenhang.
Knoten
leere
a und
y
Klauselgraph
zusammenhängend'end
4.1.
4 Zyklen.
Zyklen.
Zyklen.
der
nger
länger
zyklisch ch,
lisch
r
ist.
ist.
genau
y
Null
J
(0).
Folge
verbindet.
al
Ein
Klauselbäume
Pfad
von
der
al...i
al...an
ent-
führen
ein.
außerhalb
Links
Links
heißt
KlauselKlausel-
Abschnitts
al...an
verschiedene
verschiedene
Einschränkung
reduzierte
Klauselbäume
von
Resolutions-
reduzierten
Am Ende des
Klauseln
Eine
Pfad
y heißt
y existiert,
ein
in
Graphen
Diese
wir
erlaubt,
zu ersetzen.
Knoten
~
in
mit
. . . , !/'n -1 in ~ gibt,
Jl.l,...,Jl.n-l
AI
Anfang, an das Ende
!/, l'
verbindet
hat
dann,
ein
ist
wenn
einen
wenn es
I
Offensichtlich
affe:
zusammenhängend,
der
(0) sind
Klauselgraph.
Inklusionsordnung)
I
Sei
SE
als
als
ein
~
Klauselgraph
nichtleere
(Graph
reduzierte
al...an'
und die
Sei
der
Reduzierte
Klauselgraph
stets
()
~.
4.1.3 Komp
Komponenten.
auf
der
die
Knoten
={a,b}.
Ein
b in
(bzgl.
maler (bzg
Pfades
--p-+
der
subsumieI
subsumierende
und ai+l
Die
jedes
wenn
es
wenn
es paarweise
paarweise
Knoten
von
werden.
Relation
T-Links.
fü~
für
die
Die
Die INormalform
Klauselgraph.
a und
und b,
b, wenn
wenn {al,an}
4.1.2
listist
und keine
Baumes durch
Sei ~
überführt
erze
erzeugten
erzeugten
Subsumtionsregel
Pfade.
n~l
Klauselbäume
Tautologien
des
Klauselgraphen,
und noethersch.
:sch.
dieser
spezielle
Klauseln
spezielle
Resolutionsregel
baums bezüglich
halten
sind
Eine
wenn er
eine
mit
Komponente
je
zwei
verbindet.
eine
~
von
Subgraph
Komponente.
höchstens
b
für
Der
zusammenhängend.
zusammenhängender
wenigstens
a
wenn
Ein
Komponente
ist
ein
von~.
maxi-
Jeder
Klauselgraph
ist
hat.
Klauselgraph
und a ein
Knoten
in
in y.
y.
Einpj
y. Ein
Ein
Pfad
in ~[j,
Ein. Pfad
Pfad in
Klauselgraph .ph und a ein Knoten
und
mit
heißt
Zyklus
in~.
mit aa verbindet,
verbindet,
heißt
Zyklus
ir [j. ~[j 1heißt
und der
der aami'
Zyklus in
Zyklus
Zyklus
in
in
~
y gibt.
gibt.
c
~
Y heißt
heißt
azyklischer
:h kann
kann ein
ein I azyklischer
a
azyklisch,
azyklisch,
wenn
wenn
.n
Klauselgraph
Klauselgraph
~
[j
nicht
nicht
zyk-
keine
keine ,e Autolir
Autolinks
enthalten.ten.
.
4 1. 5 Klauselbäume~,
Klc
.ph
ß heißt
selgraph
nk inzidiert.
neID Link
Ein
zusammenhängender,
Klauselbaum,
wenn jedes
Ein
für
Beispiel
einen
azyklischer,
nichtleerer.
Literalauftreten
Klauselbaum
in
ist:
ß
mit
(!.)
IKlau-
genau t ei-
85
IRa!
I~
I
~sul
~--i~~
Klauselbäume
=1
181
sind
ist,
enthält
offensichtlich
dann
gilt
mindestens
tens
eine
4.1.6
Substitution~gibt,
fikator
von
in
Satz.
maler
allgemeinster
Sei
Link.
falls
er
ein
ein
mehr
Link
Klauselbaum
als
unär,
einem
mit
Knoten
wenn wenigs-
ist.
Ein
Klauselgraph
jeden
heißt
dann
Unifikator
z.B.
{x/b,
unifizierbarer
mit
heißt
so daß für
ist
8
Wenn
Klauselbaum
Dabei
unär
Unifikator
wir,
Link
y/a,
~ heißt unifizierbar,
LaKb in ~ gilt,
daß ~ ein
für
z/a,
Den normalen
existiert,
mit
Uni-
für
den
u/b}.
Klauselgraph.
für~.
Ein Unifikator
{j.
wenn
nau(~).
Dann existiert
genau
allgemeinsten
Unifikator
Es gilt
ein
für
stets:
~ ein
normale
die
Klauselgraph.
allgemeinste
Links
von~.
Wenn
~ keine
Unifikator
Für
jeden
von
Link
R-i
~.
Links
hat,
dann
Seien
also
R-l'
seien
ist
offensichtlich
. . . ,R-n'
sil,...,sik.
und
wobei
eindeutig
Psil...sik.
k'
si
:=f
bestimmten
Terme,
und -Ptil...tik.
so daß ein
die
l
til,...,tik.
lSil...Sik.,
ti
:=f
Inzidenzliterale
und t
ist.
4.1.8
4.1.8
Satz.
((a)
a)
~
ist
Der
Zu zwei
ltil...tikd
(b)
( b)
Zu einem
s
:=f
sl...sn
und
t
:=f
Wir
n
das
definieren
tl...tn'
Offen-
ein
Unifikator
1.2.11
Klauselbaum.
a und b in
wenn ~ ein
von~,
liefert
nun alle
Unifikator
Aussagen
des
für
s
Satzes.
[]
Dann gilt:
B gibt
es stets
genau
einen
Pfad
in
B,
der
mit
und der mit.bendet.
TI = al'
Pfad
~1 ""'~
n~l I' . . I ~n-l
ßew~.
dann
Unifikationssatz
Sei Bein
a anfängt
von R-i sind.
für
l
genau
Knoten
P existiert,
n
l
sichtlich
l
Prädikatensymbol
k~
~1
n
l
die
nor-
C Var(~).
Sei
ist,
4.1.5
~ ein
4.1.7
der
~
L und K ist.
Klauselgraphen
ßew~.
unären
TI-reduziert.
Ein
Klauselgraphen.
es eine
Var(nau(~))
(0).
Inzidenzklauseln
Unifizierbare
fbezeichnen
8 =
stets
einen
seiner
stets
Trivial.
1 in
B,
. . an in
B gibt
es stets
so daß ~. die Knoten a. und
l
l
heißen
die zu TIgehörigen
Links.
eindeutig
a' +l
l
bestimmte
verbindet.
Die
Links
Links
[]
86
4.1.9
T-Pfa4e
TI =a1...an
in
ein
unifizierbaren
Pfad
tera1auftreten
in
Seien
Anfang
-
E;nde von
von
~l'...'~n-1
TI, wenn
n,::: 2 und
hat
ein
Literalauftreten
Sei
ein
Unifikator
den Bedingungen
a
als
für
erfüllt
und K
B.
LQl
ist
nicht
der
Anfang
(c)
Kan ist
nicht
das
Ende von
Sei
nein
von
genau
Can und
e,
für
~bzgl.
von
~
Man überlegt
sich
stimmt
und daß
sind,
R-Bäume.
~ existieren.
existiert,
und
(0)
-
Literalauftreten
als
für
Die
folgende
bzgl.
E;
Anfang
L und K, wenn die
Skizze
gibt
daß
I 1...1
und
folgen-
eine
anschauliche
ß für
8'
Zu jedem
S{ß')
C S{ß)
und IB'I
ß heißt
T-pfade
Unifikator
ist
~ reduziert
unifizierbaren
~IBI.
in
8 eindeutig
aus 8 eliminieren,
wieder
jeder
reduziert
für
nau(ß)
für
ß ist
ein
be-
indem man zu
Klauselbaum
oder
ist,
KLauselbaum
Ein
und wenn
ß,
insbesondere
4.1.5
R-Baum,
gibt.
Klauselbaum
R-Bäume. Auch der Graph in
Satz.
Me und Nf
sich
ist
I
mit
f;
als
Uni-
S (8') c s (8) und 18' I < 181.
keine
~ ein
I
TI läßt
übergeht.
ß
/f
lli=IJ
Literalauftreten
gilt.
Klauselbaum
4.1.11
!K('"
ß
die
gilt
wenn
~,
~an
...
I
~M=~N
MeL ai)
Ein
sind
ein
T-:-Pfad
K.
".
Offensichtlich
so
.
n.
.
und wenn es in
für
.
MI
Offensichtlich
reduziert
()
Li-
TI
~
leicht,daß
( (8 + MeNf)
bar ist
Ein
n.
Lund
!
4.1.10
Links.
n:
I ..;
fikator.
zu TI gehörigen
und sei
E;L = E;K.
al
TI
Klauselbaum
sind:
(b)
Darstellung
ist,
TI heißt
L -~ Cal
=
Bein
Ende.
(a)
T-Pfad
= al und L a ~l
=an und L a ~n-l
TI, wenn n,:::2
genau
:
die
n,::: 2 und a
TI, wenn
Offensichtlich
8'
Sei
La heißt
-
E;
B.
Klauselbäumen.
in
wenn
ß unifizier-
Klauselbaum
ß keine
ßheißt
T-pfade
für
den ein Unifikator
ein
R-Baum.
ist
ein
B
existiert
Die
für
~
Graphen
R-Baum.
ein R-Baum ß' mit
87
ßewei4.
ß ein
Sei
schriebenen
jeder
Reduktion
Elimination
lich
Iß'
KLauselbaum
einen
~
I
alle
,-Pfade
Anzahl
der
Knoten
echt
der
für
für
Mit
der
in
4.1.9
~ aus ß eliminieren,
für
kleiner
~ reduziert
ß.
wird.
ist,
Man erhält
und der
S(ßI)
so schließ-
C S(ß)
Ein
R-Baum enthält
Klauselbaum,
An~enommen,
ß enthält
ein
mit
der
eine
ist
B'
ebenfalls
(Resolution
die
Inzidenzknoten
ein
für
~
Tautologie.
reduziert
ist.
Dann gibt
es einen
Offensichtlich
ist
ß nicht für ~ reduziert.
L und L. Also ist
Satz
keine
Tautologie.
L e Ca und L e Ca.
4.1.13
und
[]
ß ein
Atom L
be-
da bei
erfüllt.
Sei
bzgl.
sich
ßI,
Proposition.
ßewei4.
Unifikator
lassen
Klauselbaum
IßI
4.1.12
die
~ ein
und
auf R-Bäumen).
R-Baum,
der
zu t nicht
a ein
~
enthält.
,-Pfad
in
ß und
ß für ~
[][ ]
und sei ß ein R-Baum. Dann
den Resolventenknoten
mehr
a in
W!
ß~ß'
Sei
Knoten
Es gilt
zu t
also
enthält,
und der
IBI > IB' I.
J/,
ßewei.A. Sei ß--p+ ß' und sei ß ein R-Baum. Sei
-
--
a b.
J/,= LoKo
{j ein
Klauselgraph
c der
Resolventenknoten
{j undß'
0
.
zu J/, in
= 11 ({j
-
J/,)
.
(j.
a :=nau(Lo,Ko).
e eine
-
ß~
mit
f;
U-Substitution
für
Res(Ca,Lo;Cb,Ko)
mit
Ce =eRes(Ca,Lo;Cb,Ko).
:=nau(B).
Z;;: = f; e-1 .
Dann gilt:
(1)
ß ist
(2)
E;,=E;,*o=E;,cr.
(3)
Wenn
Aussage
reduziert
L ecc
(3)
1,;L
Wir
T~
zeigen
1:
(da z; Var (8)
~.
I
ergibt
sich
= (~6 -1 )
(6oK)
ein
Satz
wie
Unifikator
dann gilt
I;;K
=
I;;L.
folgt:
-1 ) n
= ~oK
,da
=~K
wegen
=1;K
,da I;;Ivar (K) = ~.
in
= t;)
(Lemma 1.2.16(d)}
Vorgänger zu Lc ist,
und Kd der signifikante
nun den
~ ist
für
vier
für
Ber (6
Var
(aK)
=
>ZJ.
(2).
Teilen:
g
und für
B'.
Es genügt
zu zeigen,
daß ~ ein
88
Unifikator
wir
~.
~ ist,
für
da B'
müßen zeigen,
Fall
1. 1 .. e + c und
gilt
i',;M= 1,;N.
FCL-Ü. 1.
2:
e = c
.
daß
f
lst
K N
Llnk
zu zeigen
war,
I;;M
2.3.6
ln~.
e
MN
.
d
gel
r
der
K
f
Link
K
f
in
Link
N
TeJ..l 2:
ß~
Bei
zidiert,
-
1.3
Y wird
für
[j
Tcil ]:
ein
Klauselbaum,
(y
-
~)
Skizze,
daß
1;;K
1;;N
'"
zu
ist.
Link
für
ß ist,
in
Wegen Lemma
Me
Wegen
e
..
Vorganger
daß
Link,
der
(3)
gilt,
wie
= l;N.
l;K
zu M
Wegen
(3)
Wegen Lemma 2.3.6
gilt
wieder
-
l;M = l;N.
gilt
ist,
mit
.
daß Mund
L potentiell
der e enthält
man die
komplementär
Wegen (3) gilt
~M = ~K.
verifiziert
ist,
ein
1. 2.
d
ein Unifikator
TI
liefert,
jeder
hinreichend,
=
f
N
einem signifikanten
inVorgänger
d
Sei also L e Ce un sel K der signifikante
Vorgänger
zu Lc
e c
in [j. wir müßen zeigen, daß M L ein Link in ~ ist.
Dafür ist,
Po
wegen Lemma 2.3.6,
ß I
M
= I;;N.
<;J. Fall
Link
ßI ist
e
so
Da ~ Unifikator
ß.
-
vererbt.
e d
Sel M K ein
.
a
Vorgänger
Fa 11 1.1 liefert,
1.J: e + c und f = c. Analog zu Fall
FCL-Ü. 1.4: e = f = c. Sei Kd der signifikante
d
in
signifikante
FCL-Ü.
.
lst
1
gel
1;M= 6~ ist.
f c.
.
.
von [j ist.
Subgraph
f + c. Dann ist
und
d f.
ein
dann
und der
mit
Da
I;;
~M = ~L.
a und b nicht
leicht
Behauptung
sind.
Hilfe
enthält.
der
Da
folgenden
die (j darstellt:
a~JI,~b
"~
I~/
/"
IMI
l0'hl;~~1
c
I~"~I
~
~~~
Die signifikanten
daß alle
gezeigt,
die Resolvente
TeJ..l
4:
ist
ßI
Fan
Für alle
Das kann wegen (1)
i
ist
ist
nicht
n = 1 und al = c .
einem
so daß
eingezeichnet.
signifikanten
y
die
obige
In
Vorgänger
Struktur
Teil
inzidieren,
haben
wir
2 haben
an
muß.
c
für
=alw..an
schraffiert
mit
werden,
reduziert
,
Fan 4.2:
die
Links,
vererbt
Anf}-erwmmen.
4.1:
sind
Vorgänger
ein
ai + c.
sein.
Dann
T-Pfad
Dann ist
in
ß'
für
TI' ,-Pfad
~ bzgl.
in
L und K.
ß für
1;; bzgl.
L und K.
W/
sind
L, K e Ce.
Seien
Me und Nf die
signifikanten
~
89
Vorgänger
c
zu
FaJ..J..4-.2. 1: e
FaJ..J..
4-.2.2:
c
L
und
==
K
f.
e +f.
Links
in
e ein
Dann
ef
-
Me der
f
N der
ist
gilt,
gilt
,-Pfad
wegen
in
(3)
auch
z;; bzgl.
ß für
Seien
z;;M= z;;N.
N. W!
Mund
Mund N. W!
z;;bzgl.
ß für
ai = c.
mit
i
in
,-Pfad
ein
ein
gibt
Q,1""
,Q,n-l
die
zu
gehö-
Tr'
8',
L e Ce . Seien
al = c. Dann ist
FaV. 4.3.1:
-
= l;:K
Dann ist
FaJ..J.. 4-.3: n > 1 und es
rigen
l;:L
Da
zu
signifikante
vorgänger
signifikante
Vorgänger
c
L
des
Literalauftretens
inzidiert.
in
al = C, das mit
.R.l
-
wegen (3) auch z:;M =z:;K.
,-Pfad
Dann ist ea2...an
gilt
Da z;:L =z;:K ist,
= f.
FaV.- 4.3.1.1:
e
FaV.- 4.3.1.2:
e + f.
an
FaV.- 4.3.3:
ai =c
efa2' . .an ,-Pfad
Dann ist
= c.
FaV.- 4.3.2:
und l<i<n.
-
Me der
-
inzidiert.
Nf der signifikante
Vorgänger
signifikante
ß für
~ bzgl.
in ß für
bzgl.
I;;
Seien
des Literalauftretens
Vorgänger
Mund
K. W!
Mund K. W!
4.3.1.
zu Fall
Analog
in
des
Literalauftretens
in
ai = c,
das mit
Q,i-1
in
ai =c,
das mit
~i
ßfür
~ bzgl.
L
inzidiert.
FaV.- 4.3.3.1:
und K.
e =f.
Dann istal...ai-leai+l...an
etf.
Dann ist
T-Pfad
in
ein
,-Pfad
W.'
FaV.- 4.3,3.2:
al...ai-lefai+l...an
in
ß für
1; bzgl.
[]
L und K. W.'
4.1.14
ß
(a)
(b)
Korollar.
enthält
ß~(O),
p
keine
nur
unifizierbare
Sei
ß
ein
R-Baum. Dann gilt:
,-Links.
wobei
(c) Jeder
ßeJj)W.
ß ein
Sei
auf
unären
Non-,-Links
Klauselbaum
ist
An~enommen,
ein
,-Link
ß ---p-+ ß . Wegen Satz 4.1.13
ist
ß'
(al.
JI,
'
hält.
Also
sein.
W!
TeL (al.
enthält
Jeder
Knoten enthält,
enthäl t
ß auch
wird.
unerfüllbar.
R-Baum.
~ ist
TUJ.
resolviert
ß'
eine
einen
ist
ein
Tautologie.
Klauselbaum
dann
in
besitzt
ß=
unären
ß.
Sei
Link
i
ß
(siehe
mehr
wegen
einen
mindestens
Wenn
ein
R-Baum, der die
Das kann
(0).
ß'
als
4.1.5).
Klauselgraph
Resolvente
zu ~ ent-
Proposition
Knoten.
einen
Wegen
(a)
4.1.12
Wenn
Knoten
mit
ß
nur
enthält,
ist
~ sogar
nicht
einen
dann
ein
90
unärer
Iß' I < IßI.
Also
Non-1-Links
Tu.-L
Sei
also
gibt
ß ein
erfüllbar
ß --r!-+ (0) , bei
Widerlegung
p
der nur auf unären
R-Baum.
genügt
Wegen
(b)
es zu zeigen,
gilt,
Die Korrektheit
daß
ß -r
daß R-Bäume unerfüllbar
Die
-B
Klausel,
die
Alg.0/1.ilhmU/J
(0).
Also
des KOWALSKI-Kalküls
gilt
liefert
ß!--O
im
nun, daß
ß un[
a -Regel
die
a
für
R-Bäume.
-Regel.
Sie
Die
zweite
erlaubt,
und
eine
letzte
Klausel
Ableitungsoperation
C
B
im
Baum
ß
ist;
durch
]
für
eine
neue
a
zu ersetzen.
Ca subsumiert,
aB;
ß
: R-Baum;
a
: Knoten
D
: Klausel,
e
: S-Substitution
/(olVJ:tan:te:
d
: Knoten,
VwUablen:
~
: Klauselgraph
K,
L,
EiJLf}abe:
und
sind.
ist.
R- Bäume :ist
1:
~
2:
Für
die
+
alle
;
variablendisjunkt
:=
in
ß
vorkommt;
e : Ir;
<d,D>;
L e Cd
K = eL;
2.2:
Wähle M, e mit
MeKa ist
~ :=
ß
;
Wähle K e Ca mit
2.3:
zu
von D nach Ca;
der nicht
M : L;
~
:=
ß
in
2.1:
(~
-
ea
Link
in~;
ed
MK ) + ML ;
--
eindeutig
bestimmt.
--
eindeutig
bestimmt.
--
-
nau(M,K)
existiert
-
J:
~
AU/J[).aue:
~.
Die
ein R-Baum ß' mit ß~ß'
wird.
Wegen Satz 4.1.11
KOWALSKI-Kalkül.
4.1.15
es eine
resolviert
(cl.
existiert
Wegen Satz 4.1.13
Non-T-Link.
folgende
Skizze
:
=
TI (~)
zeigt
==> nau(M,L)
;
~ direkt
vor
der
TI-Reduktion
in
Schritt
existiert.
3:
91
~I
d
I~l
I~..
l
)~
~~
e/"
Die
gepunkteten
Links
Links
an d auch
aus Lemma 1.2.14,
a,D,
e , ß',
oB
I
I
I
I
0 gelöscht.
Daß die von
B
komplementäre
Literale
u neu erzeugten
B
verbinden,
folgt
= eL gilt.
wir:
wenn
<ß,a,D,
e> eine
korrekte
Eingabe
als Ausgabe zu dieser Eingabe
,
ß , wenn es a, 0, e ffilt0 ß aDe,
"
'ß
ß---+
oB
4.1.16
.. .. . . .j !
für
erhalten
OB ist,
und
wenn
ß'
werden kann.
gl Ob t.
oB
-Satz.
B_B'
aB
Sei
und sei
Bein
R-Baum. Dann ist
auch B' ein
R-Baum
sich
sofort
aus
Link
~ in
181:: 18' I.
mit
Bemu/J.
Sei
B
a,D,
e
) B'.
Sei
aB
-
~
-
1;;:=
=
:
Dann
nau
(B)
~e.
gilt
offensichtlich:
(1)
l;;!var(B)
(2)
B ist
(3)
Wenn
Wir
zeigen
Skizze
daß
=~.
reduziert
L eD
K = eL
ist
ein
Klauselbaum
und
der
Bemerkung
I;; ist
I;; die
ein
Link
das
von
ein
in
Link
in
eindeutig
(wegen
gilt
gilt
I;;K = I;;L.
IßI2IB'I.
Dies
ergibt
der
4.1.15.
~ echt
B
dann
Teilen.
für
gibt
ist,
mit
in
in ß ist,
ß ist,
drei
Unifikator
Literale
~ auch
in
mit
ß'
kein
Link
K eCa
Satz
2:
a
und
1;;.
den
Wenn
K e C
für
nun
Tul1:
Tei..l
.
-
von
potentiell
da K
schreiben
Wie bisher
ß
wurden
wirklich
/" a
B'.
Wir
müssen
komplementär
ist,
folgt
die
macht.
D
I
= eD
I;;K = I;;M wegen
I
I)
(2).
bestimmte
Wegen
jeden
Sei
Behauptung
es M, e und L, so daß ~
1
für
also
sofort
=LdMe
Li teral
(3)
gilt
~ ein
aus
und e
mit
I;;L
= I;;M,
$:
Link
(2).
{a,d}
K = e L.
wie
ß'
zu
zeigen,
in
ß'.
Wenn ~
ist.
Sei
Da KaMe
ein
zeigen
war.
92
T~
3: ß'
ist
reduziert
AnfJ-enommen, 71'
Fall
3.1:
Für
Das kann
Fall
ist
(2)
T-pfad
3.3:
n>l
hörigen
Links
Fall 3.3.1:
al
-
Na das
Dann
ist,
gilt
Lemma.
~ bzgl.
Mund
Damit
ß',
ß
L und K.
(3),
daß
Seien
)/,l""')/,n-l
(in
I';M
ß) die
-
Litera-
= I';N
ist.
die
zu n' ge-
Also
ai=d.
Es gibt
welches
mit
zu Fall
N
)/,1 inzidiert.
= eNl'
-
daß I';M=~K ist.
Also
ist
aa2...an
ein T-
3.3.1.
Dann ist
al...ai-laai+l...an
unendliche
Es existieren
ist,
An~enommen,
mit
ein
,-Pfad
inß
[]
keine
aB-Schritt
in ß mit M=6L.
K. W!
und l<i<n.
-
a,
d.h.,
ßo81ß2'"
Folge
ist
D und
ßo81ß2'"
e,
von
so daß ßi
R-Bäumen,
so daß
~.D. e ) ßi+l
ein
B-
daß Ca von
D reduzierend
eine
Folge
mit
mit
i.:.l
subsumiert
den obigen
re-
wird.
Eigenschaften.
gilt:
Ißol.:.Iß11.:
existiert
:.l.
ein
n > 0 mit:
Ißnl=Ißn+lI=Ißn+21=....
wird
und durch
wird.
Analog
i > 0 gilt:
Offensichtlich
(2)
i mit
wegen (3) auch,
L und K. W!
Also
~ bzgl.
M,N eCa
wegen
Literalauftreten
in
für
duzierender
für
ist L e Cd. Seien
in
ai=d
~ bzgl.
ß
N. W!
Mund
ein
bestimmte
FcU). 3.3.3:
(1)
Seien
L und K.
W!
~ bzgl.
an =d.
ßewei4,
Dann sind L,K ecd'
Da ~L = ~K ist,
gilt
Literalauftreten
ß für
alle
in
Dann ist
sein.
Fa-L-L 3.3.2:
für
T-Pfad
Literalauftreten
Da ~L=~K
4.1.17
n'
ai fd.
ß für
= d.
Nld
-
T-Pfad in ß'
in ß'.
-
in
ein
und es gibt
Ma das eindeutig
Pfad
~ bzgl.
nicht
in
-
das
für
ist
n = 1 und al =d.
a ein
Fall
i
M = 6L und N = 6K.
mit
~.
. . an ist
alle
wegen
3.2:
le
= al'
für
in
einen
Es gibt
von Ci+l
jedem
Schritt
neuen
folglich
reduzierend
ßi
Knoten
eine
~
ßi+l
d ersetzt,
unendliche
subsumiert
wird.
wobei
Folge
genau
Ca von
CIC2C3...
Das kann
nach
ein
Knoten
a gelöscht
Cd reduzierend
von
Klauseln,
Lemma 2.8.3
nicht
subsumiert
so daß Ci
sein.
W/
[ ]
93
4.2
Unäre Klauselmengen
4.2.1
Unäre
Resolutionsableitungen.
aus S heißt
unär
ne Variante
einer
C bzw.
D von
(engl:
Ci
unit)
Klausel
bzw.
Eine
Cjl
wenn für
I
in
Resolutionsableitung
S I oder
jedes
k mit
es existieren
so daß C unär
l2k.::.n
i <k
und Ck eine
C ...C
für C
1
n
gilt:
Ck ist
ei-
I
j < k und Faktoren
V-Resolvente
von C und D
ist.
4.2.2
für
Strikt
C aus
riante
ist
unäre
S heißt
einer
eine
daß Ci
Cj
unär,
in
S,
Eine
wenn für
oder
V-Resolvente
Initiale
jedes
von
Ci
initial
Variante
(engl:
einer
eine
Variante
Strikt
initiale
Klausel
einer
in
in
gilt:
j < k,
Ck ist
so daß Ci
Resolutionsableitung
für
S, oder
Klausel
~n
Cl...Cn
Vaunär
ist.
Eine
wenn
l.=:k
i < kund
und Cj
input),
Resolutionsableitung
k mit
es existieren
Resolutionsableitungen.
C aus S heißt
ist
strikt
Klausel
und Ck eine
4.2.3
Resolutionsableitungen.
jedes
k mit
es existieren
Sund
Ck eine
Cl",Cn
l::.k::.n
i < kund
FV-Resolvente
für
gilt:
Ck
j < k,
so
von Ci
und
ist.
4.2.4
Cl",Cn
für
Ck ist
eine
so daß Ci
und Cj
4.2.5
initial
(a)
S heißt
Variante
eine
strikt
einer
Variante
initial,
Klausel
einer
in
Klausel
Eine
wenn für
S, oder
in
Resolutionsableitung
jedes
k mit
es existieren
Sund
Ck eine
l:::.k:::.n
i < kund
V-Resolvente
gilt:
j < k,
von Ci
ist.
R-Bäume
R-Baum für
4.2.6
C aus
Resolutionsableitungen.
für
S.
Sei
ß
ein
R-Baum und
Seine
Klauselmenge.
Dann heißt
S, wenn S (8) C S ist.
Beispiel.
Die
Klauselmenge
S
-
-
= {Pbpa,pxpyQ,Q}
-
ist
wie
folgt
unär
widerlegbar:
PbPa
-.
-
pxPyQ
-y
- -
-
Q
(b)
pxPy
I
Py
0
0
und
ß
94
(a)
ist
eine
schwer,
unäre
daß weder
noch
ein
dies
auch
eine
strikt
R-Baum
Baum für
für
für
eine
unäre
S existieren.
initiale
mit
seinen
Satz
initiale
unären
Faktoren
Faktoren
der
S. Man sieht
un-
Widerlegung
besitzt,
Fall.
ist
Dagegen
seinen
Faktoren.
ist
(b)
Ein
R-
ist
l.ill
l~pxlQI
12JPuI
T
I~
1~~f---{.2.j
PxIQIPy I
(CHANG, HARRISON,
den Aussagen
RUBIN).
Für
eine
Klauselmenge
S sind
die
folgen-
äquivalent:
(a)
Für
S existiert
(b)
Für
S zusammen mit
eine
unäre
Widerlegung.
seinen
Faktoren
existiert
eine tautologiefreie
strikt
strikt
Widerlegung.
(c)
Für
S existiert
(d)
Für
S zusammen
initiale
eine
mit
initiale
Für
S zusammen mit
Wir
diskutieren
len
dann
seinen
Faktoren
existiert
eine tautologiefreie
seinen
Faktoren
existiert
ein
zunächst
den Beweis
die
-
UW-Klauselmenge,
-
UWF-Klauselmenge,
-
unär,
-
UF-Klauselmenge,
4.2.7
gen.
Die
wenn für
wenn Seine
fünf
CHANG
genau unseren
Klauselbäume
rmplikationen
des
Satzes
und ho-
UW-Klauselmenge
zwischen
unifizierbaren
und Satz
4.2.7
die
Faktoren
unär
ihre
und
initial
Faktoren
ist.
für
UW-Klauselmen-
widerlegbaren
HARRISON und RUBIN /HR78/
refutation
Klauselbäumen.
unabhängig
trees
enthält.
enthält.
Charakterisierungen
entdeckt.
den R-Bäumen. Die
ist,
existiert.
UW-Klauselmenge
und seine
verschiedene
/Ch70/
S heißt
unäre Widerlegung
oder wenn Seine
Übereinstimmung
Zusammenhang mit
Seine
wenn S unär ist
liefert
und die
Eine Klauselmenge
wenn S erfüllbar
von
Aussage
R-Baum.
nach.
Unäre Klauselmengen.
Satz
Widerlegung.
Widerlegung.
(e)
genwurde
strikt
S zusammen mit
Faktoren
für
IQI
Lill
unäre
eine
unären
für
seinen
I~
noch
Widerlegung
Da S keine
Widerlegung
mit
initiale
auch
(d)
4.2.8
ist
strikt
S zusammen
12J
4.2.7
(b)
eine
S zusammen
(c)
oder
und
in /HR78/
Wir haben die
Klauselmenerkannten
den
entsprechen
unifizierbaren
von HARRISON und RUBIN gefunden
und
95
wurden
erst
später
die
Beweisidee
dig
und detailliert
auf
für
deren
Satz
Arbeit
4.2.7
an.
aufmerksam.
skizziert
Außerdem
wird,
haben
wir
Während
geben
den Satz
in
wir
/HR78/
den
lediglich
Beweis
um die
vollstän-
Tautologiefreiheit
verschärft.
4.2.9
Die repräsentierten
R-Baum für
S. Jede Ableitung
fR für
ne Widerlegung
die
nIß)
4.2.10
für
Satz.
S ohne
ß
Sei
stets
eine
tiale
Widerlegung
ßeweL~.
ß
eine
Q(ß)
eine
TeJ
l
1:
eine
Widerlegung
r
ei-
(0) }
Offensichtlich
aus Q(ß) ist
eine
ist
tautologiefreie
für
eine
Klauselmenge
unäre
und eine
S. Dann enthält
tautologie
freie
~(ß)
strikt
ini-
und
für
eine
eine
Klauselmenge
initiale
Ableitung
Widerlegung
~
ß
(0) ,
bei
r induzierte
von
für
der
müssen
enthält,
Sohne
Ableitung.
unäre
S. Wir
da
nur
auf
jede
unären
in
Ableitung
ist.
Faktorisierung
Wegen Korollar
zeigen,
lediglich
existiert
4.l.l4(b)
Links
resolviert
wird.
ist
Offensichtlich
Resolutionsableitung.
unäre Ableitung.
2:
T eJ
l
Q (ß)
daß bei
enthält
einem
knoten
gelöscht
Sei r:
ß~
liebigen
letzt
enthalten
werden,
ip
eine
ß
Widerlegung
R-Bäume stellen
und die
lineare
wird
nur
wird,
Also
für
eine
ist
R-Baum stets
einem
immer
Resolvente
Ableitung,
noch
auf
inzidieren.
mindestens
jede
für S. Satz
Widerlegung
auf
Resolvente
resolviert
ist.
initiale
Resolutionsschritt
gebildeten
r
eine
(0)
Link
dem in
ale
ß~
Widerlegungen.
Ableitung
strikt
eine
eine
mindestens
S.
enthält
sei
e Q (8)
R-Baum
R-Baum
r:
eine Ableitung
Jede
tautologiefreie
Q (8)
R
reine
R
ein
unäre
nach 2.5.7
und ß ein
Faktorisierung.
für
ein
(0) erzeugt
repräsentierten
tautologiefreie
Sei
daß ~(ß)
r ist
I
Klauselmenge
Menge
endlich.
und
Widerlegung
ß
von
Menge der
nichtleer
R
Sei Seine
ß~
f:
S. Die
:= {r
nIß)
heißt
Widerlegungen.
von r
Offensichtlich
mit
hat
jeder
der
induzierte
Ableitung
r
R
Eltern-
enthalten
die
Inzidenzknoten,
garantiert,
beiden
ausgehend
resolviert,
einen
die
im Folgebaum
das heißt,
Links
4.1.13
ist.
von
einem
der
jeweils
Link,
schon
ErI(ß)
ß
initi-
[]
s.
graphentheoretische
zu-
auf
in
eine
be-
Charakterisierung
für
die
Unerfüll-
96
barkeit
von
S hat
für
dung nur
unären
R-Baum ß für
ein
in
neuen
dieser
neue
S die
für
könnte
Graphen
die
Form"
ten
Der
genannten
Näheres
also
statt
-
Autor
in
einem
derlegung
bis
für
die
Variantenbil-
werden.
als
das Karlsruher
Markgraf
Carl
als
die
der
Die praktischen
Ergebnisse
Unerfüllbarkeit
einer
genau
einziger
der
Suche
Be-
Subgraph enthalSystem einen
Suche
nahe,
einer
in
in
ist,
verschiedene
daß die
unären
so-
durchführt.
R-Baum viele
Gedanke
nach
mit
diese
sO-
direkt
-
unär widerlegbar
Abschnitt)
liegt
einen
Eine
auftaucht
im nächsten
darstellt,
verwenden
sie
Klauselmengen.
Klausel
wenn S
Da ein
Wir
aus Ys im KOWALSKI-Kalkül
leere
implementiert,
R-Baum effizienter
ist.
auf
etablieren
unärer
/BEHSSW81/.
Resolutionswiderlegungen
nach
bis
benutzt
Andererseits
der dort,
hat
Modul
sich
Zwecken
beispielsweise
(Präzisierung
Terminator
findet
Resolutionswiderlegung
ß
daß in
Unerfüllbarkeit
zu erzeugen,
"überlagerter
muß.
Eigenschaft,
ßew~w~h3eu~.
nach einem R-Baum suchen,
sein
einer
Gegenüber
verschiedenen
als
ßeweL~be~~tt
lange
YS
zu zwei
Arbeit
weisprozedur
dar.
aus s vorkommen.
Klauseln
R-Bäume können
sie
Klauselmengen
Suche
Resolutionswi-
dem Terminator
Modul
bestätigen
dies.
Die
Idee,
die
phen,
deren
Knoten
wird
im Automatischen
Ansätze
hierzu
und die
~etutatLon
dieser
sind
von
primär
nach
Beweisprozeduren
trixkalküle
beweisende
Formel
das Ausmultiplizieren
in
genen
der
Strukturen
Widerlegungsgraphen,
und
auf
Verfolgung
Hauptnachteile
mehr
(siehe
1.3.6)
in
eine
Aufblähung
Axiome
der
SICKEL
führt,
dieses
des
/Si76/,
die
daß
eine
wahrbasieren-
führte
/BiS2b/.
damit
Dadurch
wird
enthaltenen
Ma-
Die
und die
Ausgangsformel
zu
Die
Resolutionskalküls:
werden.
und des Theorems
Erden Reso-
Gedankens
und BIBEL
Klauselmenge
überführt
für
dem Resolutionskalkül
von ANDREWS /AnSl/
der
Widerlegungsgraphen
Beweishilfsmittel
zu Beweisverfahren
Die
bleiben
als
die
und Restriktionen
darstellen.
der
Während
ANDREWS /An76/
Frühe
RAPHAEL und HART /YRH70/
Strategien
zu den
einen
erforscht.
sind,
Alternative
bewirkte
Formulierung
intensiv
YATES,
W~d~le~~~~a-
zu charakterisieren,
intendiert
erkannten
muß nicht
SKOLEM-Normalform
die
dazu
~~Lxka1kü1en
ve!meiden
von
S durch
S sind,
Zeit
SHOSTAK /Sh76/.
Widerlegungsgraphen
überlegene
in
einiger
~~ap~
von
zu liefern,
den sogenannten
ne
~~ap~
Vollständigkeit
scheinlich
den
~~olutLon
zur
Suche
seit
die
noch
lutionskalkül
Varianten
Beweisen
Arbeiten
gebnisse
die
ausschließlich
Klauselmenge
verbundedie
vermieden,
durch
und
problembezo-
erhalten.
die
die
Unerfüllbarkeit
von
allgemeinen
Klauselmengen
zu
97
charakterisieren,
zeichnen
kommen nicht
sich
baumartigen
also
Graphen
charakterisieren
Der Clou
gerade
und deren
daß sie
stammt
ein
ist
wenn alle
Si
Beweiser
unäre
für
der
ma-Generator
scheiden
ist
läßt,
ein
4.2.11
dafür
heißt
hält,
4.2.12
Satz
sein
heißt
sehr
mit
aus /Sh76/
Klauselmengen.
eingeschränkter
Beweiser
in
ist
zwei
der
zweite
ein
Teil
Form zulassen
dann
ist
vollständig
dann
Die
Klauselmenge
ein
ist,
spezieller
Beweiser,
der
nur
für
sein
kann
als
ein
ist.
Um aber
mit
notwendig,
ist.
zu zerlegen.
unerfüllbar
effizienter
viel
Kriterium
unär
Teile
zu einer
daß ein
klar,
muß,
Klauselmenge
den Lem-
dem sich
ent-
HOR/V
-D..-[Jen-1maf.t
sogenannte
Kriterium.
HORN-Klausel
besteht
Klauseln
Der
Es ist
Eine Klausel,
HORN-Mengen.
aussagenlogischen
Klauselmengen
hinreichendes
Klauselmengen
Die Widerlegungsgraphen
so daß S genau
sind.
zu können,
ob eine
Unerfüllbarkeit
Lgnma~en~ato~,
erzugt,
allgemeine
bauen
ihre
einen
Idee,
vollständig
für
daß sich
in
nur
Klauselmengen.
Klauselmengen
Beweiser,
die
widerlegbar
unäre
Unäre
machen.
SI""Sn
unär
aus.
von
sogenannter
S neue Klauselmengen
Zyklen
läßt.
Zyklen
transparent
Von CHANG jCh70j
Teil
aus,
Unerfüllbarkeit
ist,
Funktion
Der eine
dadurch
charakterisieren
die
dabei
mehr ohne
die
(siehe
höchstens
IHo5l/).
ein
Eine
positives
Literal
Klauselmenge,
die
nur
entaus HORN-
HORN-Menge.
(HENSCHEN, WaS).
Jede
unerfüllbare
HORN-Menge
ist
strikt
unär
widerlegbar.
ßewei~.
Eine
Siehe
/Le78/.
läßt.
Man kann
Ein
ist
Beispiel
sind
seimengen
gibt
in
Klauselmenge
benennung
Satz
HORN-umbenennbar
ist,
ist
{Qb,
einen
eine
Qa,
Unterklasse
Algorithmus
ist
von
4.2.12
sich
zu einer
"umbenennen"
zeigen,
auch strikt
widerlegbare
QxQypxPy,
effizienten
HORN-umbenennbar
liefert.
unär
echte
wenn sie
Definition
als
strikt
also
/Le78/
präzise
jede
dafür
[]
allgemeiner
die
nicht
1/.
HORN-umbenennbar,
eine
Für
re Klauselmenge,
Dagegen
Theorem
heißt
Klauselmenge
umbenennen
auf
/HW74,
daß
unär
der
Die
und im positiven
der
jede
wir
unerfüllbaist.
HORN-umbenennbar.
HORN-umbenennbaren
unären
an,
verweisen
widerlegbar
Klauselmenge
QbPa}.
HORN-Menge
Klauselmengen.
entscheidet,
Fall
eine
KlauLEWIS
ob eine
entsprechende
Um-
98
4.2.13
Satz.
Die
Unerfüllbarkeit
von
unären
Klauselmengen
ist
unentscheid-
bar.
Bew~.
HERMES /He65/
und REYNOLDS /Re70/
HORN-Mengen unentscheidbar
ist,
muß auch
für
unäre
Viele
mathematische
Dazu
gehören
Beispiele
Maschine,
ser
auf
für
Wir
das
sich
Gruppen,
/Co65/.
In
der
solche
durch
Ringe
und
ablaufen
BOOLsche
Ko79/
Klauselmenge
ist
sein.[]
axiomatisieren.
Algebren.
nutzt
aufgefaßt
können,
von
unentscheidbar
HORN-Mengen
Algorithmen
Programme
Erfüllbarkeit
unäre
Erfüllbarkeit
PROLOG /VK76,
indeterministische
holen
nun den
folgende
Lemma,
Faktoren
4.2.14
für
HORN-Menge eine
die
lassen
daß die
man aus,
werden
ein
Weitere
daß
können.
spezieller
Die
Bewei-
HORN-Mengen.
initialen
Lemma.
und D={K}.
Literal
E'
ein
C
Var(~)
Beweis
von
welches
Satz
zeigt,
4.2.7
nach.
daß man bei
Dafür
unären
benötigen
wir
Widerlegungen
zunächst
mit
den
auskommt.
Seien
L' ec'
(a) ~ ist
(b)
Axiome
man in
HORN-Mengen als
Da jede
Klauselmengen
Theorien
die
findet
ist.
zeigen,
C,
D und
sei
ein
Faktor
und
eine
normaler
E Klauseln
von
und L und K Literale
E. Dann gibt
~
Substitution
Unifikator
für
und
Teine
es einen
mit
Faktor
E =Res(C,L;D,K)
C'
von
C, ein
mit:
L'
und K.
Var(CUD).
(c) Ic' I = l~c'l.
(d) ~(C' -L')
ßeweiA.
Sei
Ber(o)(JVar(T)
(1)
Also
C E'.
0 :=nau(L,K)
=0
liefert
F-Substitution
Lemma 1.2.l6(c),
für
E mit
E' =TE.
daß gilt:
TO=T*O.
ist
einer
TO normal.
Wir
F-Substitution
(2)
lecl=l~cl
(3)
~=~*e.
Zusammen ergeben
(4)
ist,
sei
~
definieren
e für
(1)
und
C mit:
(3):
= TO =T*O = T*O*e.
Wir definieren
L' := eL und C' := eC.
~ :=TO.
Lemma 1.4.3
sichert
die
Existenz
Da
99
f;;L'
TeU.. (a).
= f;;6L = f;;L
wegen (4) und Lemma 1.2.16(b)
=f;;aL
wegen (4) und Lemma 1.2.16(b)
= f;;aK
da a =nau(L,K)
-
wegen (4) und Lemma 1.2.16(b)
=f;;K
C Var(E)UVar(L)UVar(K)
C Var(-r)UVar(a)
C Var(CUD).
Te.U.. (6).
Var(f;;)
Te.U. (c.).
Ic'I=lecl=lc;cl=lc;6CI=lc;c'l.
(c)
(4)
c;(C' -L')
=c;C' -c;L' =c;6C-c;6L=c;C-E,:L=TOC-TOL
(2)
Te.U.. (d).
(4)
C.(oC-OL)
4.2.15
Lemma.
Sei
Dann existiert
Seine
für
Sei
Seine
zeichne
S zusammen
daß für
SF ein
Klauselmenge
mit
seinen
für
S
seinen
n eine
Induktion
unäre
ein
Widerlegung
Widerlegung
4.1.11
für
S. S
es,
zu zeigen,
sind.
Wir zei-
genügt
F
be-
existiert.
Q, die
keine
Klauseln
über ro, daß ein
in
S
F
unifizierbarer
Klauselbaum
ß
existiert.
.
F
"rn = 0".
Dann ist
"m >0".
Sei
0
E die
dann Klauseln
S. Folglich
erste
ist
Resolvente
(0) ein
in
C und D und Literale
Q,
unifizierbarer
die
keine
L und K mit:
Klauselbaurn
Klausel
in
C und D sind
in S , D = {K} und E = Res (C,L;D,K).
Auf Q und S U {E} ist
F
voraussetzung
anwendbar. Es existiert
also ein unifizierbarer
so daß für
SU{E}
jeden
ist.
Wir
S , indem wir
F
Knoten a in B Ca eine Variante
transformieren
jeden
Knoten
nun
a, für
B in einen
eines
durch zwei neue Knoten ersetzen,
für S .
F
ist.
Es gibt
von Klau-
Induktions-
B,
Klauselbaum
Faktors
Variante
F
die
einer
unifizierbaren
den Ca keine
S
Varianten
seln
ist,
existiert.
R~Baum.
unäre
Wegen Satz
Klauselbaum
in
eine
Faktoren
Faktoren.
der Resolventen
gen durch vollständige
zu der
und sei
unifizierbarer
Anzahl
ro die
[)
Klauselmenge,
S zusammen mit
Bewei4.
Sei
=.E=E'.
Klausel
Klauselbaum
einer
in
für
Klausel
die mit D und einem Faktor
in S
F
von C markiert
sind.
Sei
also
a ein
Ca muß eine
E mit
Knoten
Variante
ß
in
eines
Var(ß-a)r1Var(CUD)
Lemma 4.2.14
(1)
C'
ist
(2)
e ist
garantiert
ein
ein
Faktor
normaler
,
für
Faktors
von
=fiJ.
E; ein
nun die
von
den Ca keine
Sei
Variante
E sein.
Existenz
O.B.d.A.
Unifikator
von
einer
C',
L'
sei
Klausel
Ca ein
von
ß
und
e mit:
mit
in
Faktor
Ber(E;)
C und L' ec'.
Unifikator
von
L'
und Kmit
Var(e)
C Var(CUD).
S
F
ist.
von
C Var(ß).
100
(3)
Ic'I=/ec'l
und e(C'-L')C
Also existieren
Literale
Ca-
- . . ,~,
Ll'
(4) C' ={Ll,...,~,L'}
ist
(5) e ist
Unifikator
(6)
ein normaler
{8Ll,...,6Lk}CCa
Wir
überführen
auf
{aLl'...'
a
eine
k
~0
mit:
Variante
einer
für L' und
und 1{8Ll,...,8Lk}1
8
zunächst
a~}
in
Klausel
Kmit
den unifizierbaren
Var(B)nVar(ß-a)=
Klauselbaum
kator
wie
folgt
indem
wir
Ca
~
I
I
~
Da
eidernpotent
von 81 ist,
überführen
81'
...........
= ~ e.
Wir
91.
a
I
8
:
=k+l.
schrumpfen:
~
~1
SF und Ic'l
=k.
.........
Sei
in
ist
ist,
auch
nun 81 in
~l
Var
ein
einen
(81-
a) n
Unifikator
Var
von
K1auselbaurn
82'
( e)
=0
gilt
und
~
ein
Unifi-
81.
indern
wir
einen
neuen
Knoten
b
einfügen:
a
a
.........
~I
"
~
/'
~
I
I
b
I
Bi
B2
Offensichtlich
ist
~l
ein
Unifikator
für
82'
da ~l =~le
gilt
und wegen
(5)
~lL' = ~lK ist.
Durch
tigt
ten
Wiederholung
werden,
wir,
4.2.16
wie
Beweis
für
der
die
Ca keine
zu zeigen
für
obigen
Satz
war,
Transformation
können
alle
Variante
Klausel
in
einen
einer
unifizierbaren
Knoten
SF ist.
Klauselbaumfür
a in
ß besei-
Damit
erhal-
SF.
[]
4.2.7.
"(a)
==> (e)".
Lemma 4.2.15.
"(e)
==> (b)".
Satz
"(b)
==> (a)".
Trivial.
"(c)
==> (a)".
Siehe
"(e)
==> (d)".
Satz 4.2.10.
4.2.10.
/CL73,
8.135, Theorem 7.1/.
"(d)
==> (c)".
Trivial.
[]
~
101
4.3
Projektionen
Wenn ~S der
toren
enthält,
graphen
dann
in
der
Dieser
sich
tionen
im Griff
Filter
konfluent
hat,
eine
sich
alle
4.3.1
4.3.1
Projektionen.
Projektionen.
in
in
in
(d)
Für
Für
.
~st
Knoten
Knote
eine
eine
Link
Link
kurz
eine Projektion
4.3.2
Beispiel.
J/, in
, (1TK)
{ (1TL)
Wir schreiben
wir
zeigen,
Kerntransforma-
angeben,
direkt
überlagerte
der
Version
unter
denen
betrachtet,
zugehörigen
durch
die
Projektion,
Projektion
Für
= <Knoten'
dann
von [j in [j',
wenn gilt:
(a) schreiben
wir kurz
A
C~ eine Variante
von Ca-
mit
Ber(~)
so daß für
C Var(~),
,C' ,Links'>
jeden
a.
Knoten
(;
L:
<A ,11>:
ist
=
~ ein
a b
1TL 1TK .
fi--{;',
Link
wenn
in
(;
g und
Für
'.
g,
einen
Link
Klauselgraphen
J/,
= L aKb
sind
a
von fi in {;I ist.
,- - I
I
TI
I
I
I
I
1_- - --
I
- - .__1
i
in
(;
und <A,TI>
I
y"",
Trans-
auf.
und [j'
Knoten'.
Kerns
Kerntransformationen,
Wohlgefallen
sehr
R-Baum auf
des
ist
a
f1
hab
werden
1TCa = Cl.
nC
f1
jeden
jeden
Sub-
transformiert,
Bedingungen
= <Knoten,C,Links>
Substitution
Subs
gilt:
~ gilt:
gilt:
J/, p=
in
[j
Fak-
Ableitungsschritte
Wenn man die
R-Baumes und der
Knoten +
a in
ihre
Form als
den korrespondierenden
statt
Ein
Ein Paar <~,~> heißt
(b)
jeden
(b) Für
Für jeden
aus
Abschnitt
wenn man sie
in
und die
[j
eine
eine Abbildung
Abbi
~n ist
ist
den Kern
man nun,
Seien
~S
wird.
die
die
überlagerter
Ableitungsschritten
jedoch,
Schwierigkeiten
Klauselgraphen.
Klauselgraphen.
diesem
reduziert
korrespondierenden
lösen
A ist
ist
daher
S in
S ist,
sind.
sind
Betrachtet
des
In
man auch
aufgefaltete
Projektion.
A
er
kann
Klauselmenge
wenn man von
über.
noethersch
falten
die
formationen
(c)
(c)
dann
und
und verbinden
geht,
den verschiedenen
Bedingungen
Wir
unären
R-Baum für
Kerne
Kerntransformationen
verwickelt.
(a)
(a)
Kern
neue
bei
welchen
zu einer
muß ~S einen
jeweils
Kern
und unter
Die
Graph
enthalten.
ausführt,
wie
initiale
={y/x}
102
4.3.3
Bild(g,g',<A,TI».
in
bzgl.
g.
a Knoten
{al
Kontext
In
der
klar
Beispiel
Sei
<A,TI>:
Projektion
g~g'.
<A,TI> ist
Das Bild
der
Subgraph
in~}
und den Links
{~I
~ Link
sind,
schreiben
für
Bild(~,g',<A,TI»
4.3.2
ist
wir
Bild(~)
der
in
folgende
Bild(~,~',<A,TI»
von
~}.
~'
mit
Wenn g'
von ~
den Knoten
und <A,TI> aus dem
kurz
BildCg).
Klauselgraph:
Pffa
4.3.4
(a)
Lemma. Sei
fi
Wenn
<A ,1f>: fi-+fi'.
unerfüllbar
ist,
Dann gilt:
dann ist
(b) Wenn La und Kb potentiell
sind
ßeweiA.
(a).
Sei
S([j)
eine
Variante
TeLl
(b).
Seien
sind
L und K potentiell
[j
[j
einer
in
fi
dann
sind,
auch OeS(fj').
'.
unerfüllbar.
TeLl
Literalauftreten
komplementär.
dann ist
Sei <A, 1T>: [j
unerfüllbar.
komplementäre
1fL und 1fK potentiell
(c) Wenn oes(fi),
auch fi'
Dann ist
Klausel
in
S([j) unerfüllbar.
S([j')
ist,
kann
Da jede Klausel
S<[;')
nicht
in
erfüllbar
sein.
La und Kb potentiell
komplementär.
aus L und K entstehen,
TeLl
müssen
<~,TI>:
(a) Bild(B)
ist
ein
(h) Bild(B)
enthält
Satz.
Entweder
(d) Bild(B)
ist
B--!;
T ei...J..
(a1J:
ß in
Bild(ß).
ebenfalls
Sei
B.
sein.
keine
R-Baum.
TI-reduzierter
Tautologien
= (0)
Bild(B)
Bein
oder
Subgraph
und keine
Bild(B)
Dann gilt:
von!;.
,-Links.
einen
enthält
unären
Non-,-Link.
Bild
(ß)
ist
Da ß als
und ß ein R-Baum.
unerfüllbar.
<",1[> ist
R-Baum unerfüllbar
insbesondere
ist,
ist
nach
eine
Projektion
Lenuna 4.3.4(a)
von
Bildei)
unerfüllbar.
.Ln
Bild(B)
D.L.LU
TILa ein
Sei
komplementär
C TI~).
(a2):
1:.re1:.en
Dann
Variablenumbenennung
1TL und 1TK potentiell
und sei
unerfüllbarer,
ßewe.iA. Sei <", TI>: ß -..(;
Tei...J..
Da 1TL und 1TK durch
in[j.
[]
Sei
(e)
auch
Literalauftreten
Trivial.
(cl.
4.3.5
komplementäre
Q,
on.
~u I
ist
llL.L l..
TI-reduziert.
~.LU~Lll
Literalauftreten
= L aKb der
eindeutig
-..
.I.J.LllJ\.
in
Wir
.LU
C.L.LU
Bild~).
bestimmte
müssen
zeigen,
daß
"on.
...
-
\f..)
J
.LU~.LU.L~.L
La ist
Link
dann
l..,
ue.L~
ein
an La in B.
jedes
J\.e.LU
Literalauf-
-..
fiU1:.U.L.LIlK
.L::>1:..
Literalauftreten
Dann ist
R:
in
ein
Link
in
103
Bild(ß)
Fall
an '!TLa.
a21:
nicht
i
ist
kein
Autolink.
Dann ist
'!TLa, wie
zu zeigen
war,
in
Bild(ß)
ein
Literal
isoliert.
h
Fall
Ll
a22:
~ ist
e Cb ml t
bestimmten
auf
ß
ß als
und
einen
Link
Teil
(07):
Bild(ß)
als
R-Baum
Klausel
(02):
als
TI
TI
Ca
variablendisjunkt
TeU
(c).
auch
Bild(ß)
in
Bild
TeLl
Links
Pfade
jede
keine
J/,=LaKb
auch
Autolink
und
Llb.. elnen
an
ist,
einen
erreicht
mit
TILa
in
Bild(ß)
Link
in
ist
U-Substitution
Ca bzw.
für
ß.
eine
Pfad
in
inzidiert.
4.1.12
enthält
Variante
einer
enthalten.
Wegen Korrolar
ein
man
man schließ-
eine
Tautologie
eln-
weiche
Wegen Proposition
keine
T-Links.
es
erlaubt,
Klausel
ebenfalls
also
~1'~2'~3'...
ist
Tautologien.
Da
bt
ein
Res (TICa,TILiTICb,TIK)
sind.
Also
einen
= (0).
4.1.14(a)
Dann ist
Variante
Res (Ca,LiCb,K)
von
Cb ist,
ß
enthält
Res(Ca,LiCb,K),
und da TICa und TICb
Wenn
ist
unären
~ ein
auch
~
kein
Link
oder
unärerLink
T-Link.
ß = (0).
ß
in
Wenn ß = (0)
ist,
i
ein
ist,
dann
ist
dann
ist
unärer
Link
und Bild(ß)
ein
(8) .
Da TI(y)
Satz.
Projektion
Sei
Sei
totaler
von
ß in
TI-reduzierte
y
ist,
gilt
Bild(ß)
UWP-Klauselmenge
§
(1)
YS =1T(y) .
(2)
Zu
jeder
y,
so daß Ca eine
Klausel
4.3.5(d)
existiert.
Für
A
so daß für
y
ist,
C TI(y).
[]
R-Baum ß und eine
es einen
YS'
S anwendet,
Wegen Satz
von
Dann gibt
und
Wenn man den Algorithmus
auf
Subgraph
UWF-Klauselmenge.
Klauselgfaph
~,
größte
Seine
Seine
4.2.7).
selgraphen
der
Subgraph
von
ßew~.
von
kein
gl
O
Cb
TI-reduzierter
Satz
eine
Da die
Autolink
Sei
La
wieder
~n
Bild(ß)
T-Links.
I
il
lange
keine
enthält
ß enthält
(dJ.
4.3.6
den
Tautologie.
Falls
Es existiert
f ur
"
endlich
Tautologie.
kann
bzw.
!
ß.
und so fort.
für
Bild(ß)
keine
in
enthält
R-Baum keine
also
da
~n'
inßist,
Teil
~l
Baum nur
keine
a =b.
-!-
~2 aus,
lich
ß
Dann ist
d
. vor h er
un
Ll T K. Wle
Link
entsprechend
bilden
Autolink.
1TLlba
= 1TL
0
deutig
ein
2.1.13
für
entsteht,
direkt
die
Tautologie
Variante
genügt
jeden
ß ein
vor
R-Baum
die
zu S (existiert
Bildung
des
Ausführung
von
wegen
initialen
Schritt
Klau2,
ein
mit:
ces,
wählen
sei
keine
eine
Knoten
existiert
ein
Knoten
a in
von C ist.
es zu zeigen,
wir
ist,
daß eine
Abbildung
a in
ß die
Projektion
von den Knoten
Klausel
CA in
a
<A,TI> von
ß
in
~
in ß in die Knoten
~ eine
Variante
von
104
Die
Ca ist.
4.1.12
mit
Existenz
gesichert.
einer
Für
jeden
al,...,an
die
TI eine
Substitution.
Knoten
Projektion
von ß in
Wir
also
wissen
ßsind.
Da
~ total
wie
ein
enthalten
Als
trachten
4.3.7
Lenuna.
vier
~ ein
Link
ist,
folgt
mit
und die
(2)
nun
eine
Proposition
Substitution
TI := TIa U...U
1
für itj
Lemma 4.3.4(b),
TIa
, wobei
TI
an
gilt,
ist
daß <h,TI> eine
R-Baum ß zu einer
ist
zu klären,
wie
S mittels
UWF-Klauselmenge
er als
Subgraph
Bild(~
ei-
~S
in
ß und <> transformieren,
sich
des KOWALSKI-Kalküls
anwendet.
Wir
Bein
Klauselgraph.
be-
Resolutionsregel.
<A, 71>:
B und sei
in
wir
a
Da var(Cai)(Jvar(Caj)=0
Ableitungsregeln
die
Sei
ßwäh1en
werden muß, damit
nächstes
zunächst
durch
[ ]
<> überlagert
der
a in
ist
~ ist.
ner Projektion
wenn man eine
Knoten
von
jetzt,
ist.
Abbildung
und TIaCa=CA. Wir definieren
C Var(Ca)
Ber(l1a)
solchen
B -->-
und sei
(1'
(1 ein
Klauselgraph
unifizierbarer
mit
(1
~ '(1'.
Dann gibt
Sei
es B' und
<-,1/!> mit:
f
~
-k-+fl '
'
.
<-,1jJ>
<~,7T>
Q,
ß "'
,
ß~
ßew~.
Seien
zu zeigen,
~,
~',
daß B'
~ und
ß,
und
<~,~>
<h,n>
wie
existieren
oben
gewählt.
Es genügt
offensichtlich
mit:
~~1\
ß-i- ß'
<h,TI>
=L aKb.
0 0
Sei
.Q,
bei
dem nur
den,
B'
für
ist
c der
B'
+-
B'
solche
die
bis
sei
auf
ein
Kd,
Kd ein
die
I
wie
folgt:
d e {a,b},
der
durch
K eCd
signifikanter
Knoten-
Resolventenknoten
~
Graph,
<~,1V>
einen
als
Vorgänger
Übergang
signifikante
bei
und Variablenbenennungen
zu.Q, in
B'.
Wir
konstruieren
B
~
~o
B'
entsteht,
Vorgänger
dem Übergang
eindeutig
eine
gewählt
wer-
~~~I
war.
bestimmt.
Sei
0
Projektion
<~,~>:
105
sei
-
die
1jJ:=1TUa,
Erweiterung
von
wobei
a eine
LECc
gilt:
A,
bei
der c der Resolventenknoten
U-Substitution
für
Ce ist
i
zu
in
ist.
f'
mit:
(1) aCc=Cc'
(2)
Für
al*e
ist
TIKd der
Da Ber(o)
zeigen,
daß <~,~>
(3)
Für
Sei
also
Lemma
ein
Link
2.3.6
liefert,
die
Wle
zu
ist.
Sei
MeKd
ein
Link
ein
war,
B'
ß
ist,
dann
gilt
se1baum
ist.
y---p--+
0
y"
(2)
<~ ,TI>:
ß--+ y"
4.3.5(d)
da die
anderen
in
B'
in
c inzidiert,
signifikante
Vorgänger
ist.
ist
Da e fc
Also
ß.
sind
ist
auch
signifikante
TIM und
wobei
Beweis
Link
in
~'.
TIL potentiell
zu ~Lc ist,
daß TIMe~Lc ein
. k ln:::f.
. r.
Lln
ß--+~,
zu L C.
(siehe
TIMeTIKd ein
Vorgänger
ist
Link
in~'
liefert
ist.
Also
[]
ß ein
unifizierbarer
Klau-
y'
---p-4 ß'
dann gilt
ß~ß'.
Wenn ~ kein
Link
in Bild(ß)
und
<~ ,TI>:
ein
ß-+-~,
Klauselgraph
so daß
y"
ß
ein
unifizierbarer
Klau-
mit:
'
(1)
1:
es,
und <~ ,1/1>=<A ,1T>,
Dann existiert
R-
genügt
r <-,.>
ist,
Sei also ~~~,
ßew~.
Fall
Bild(ß)
B' =B
ist,
Um zu
und <~,~> mit:
<",TI> r
in
Kd der
Link
und <~,1T>:
Dann existieren
Link
y'
Substitution.
zu zeigen:
Lemma 2.3.6,
y -+-
Wenn ~ ein
in
eine
e
= ~Me~Lc = TIM
~L c
.Q,
1
dann
aLc.
sind,
TIKd der
von
B'
zu Lc ist,
dem Resolventenknoten
B'.
~
~+~,
Sei
mit
in
(2)
Richtung
zelgen
der
Vorgänger
~ jedenfalls
sind,
komplementär
Da wegen
.
von
MeKd auch
L potentiell
Satz.
selbaum
E',
Link
ist
andere
.
4.3.8
in
daß
4.1.13),
komplementär.
lst,
~l
zu
ist
erfüllt
Link
in fi'.
=MeL C ein
Mund
.
sind,
Projektion
)1,1
von Satz
nun
disjunkt
eine
signifikante
Vorgänger
offensichtlich
jeden
~l
Weil
signifikante
und Ber(n)
Bedingungen
Wenn Kd der
t ist
und
und
kein
y'
=TI (y"
-R-).
(da y C y") .
Link
in
(1) I daß <A,TI>
Bild(ß).
eine
Dann gilt
Projektion
wegen Bild(ß)
von
ß
in~'
ist.
C~"
-t,
Das war
Lemma
zu zeigen.
106
FCLLL 2:
Q, ist
i 1 = Q,ist.
B'
ein
Link
Durch
in
Bild(B).
eventuell
Dann gibt
mehrfaches
es einen
Anwenden
von
Q,l in B,
Link
Lemma 4.3.
so daß
7 erhält
man
und <- ,~> mit:
~~
~"
SI,
1
<A,1T>
~
<~
+
ß
.
' 1jJ>
.I
ß~.c
so daß ~ kein
len
P-Schritten
duziert.
<~,~>
Bei
Link
der
4.3.9
ergibt
Projektion
sehr
Satz.
sein,
sich
mit
von B'
Faktorisierungs-
hältnisse
Bild(ß')
erreicht
Also
eine
in
ist.
Ein
weil
jeder
derselben
in~'
und bei
einfach,
Sei y~yl
da sie
der
Bild(ß)
ß
4.3.10
Satz.
-
p-Schritt
muß nach
die
Argumentation
endlich
Knotenanzahl
wie
bei
Fall
vie-
echt
1,
daß
Tautologieeliminations-Regel
nicht
sind
die
y-y',
l
Ver-
berühren.
Dann gilt:
[;1
r <'"
=
>
ß
da ~ C ~'.
Sei
re-
[]
und <A,TI>: ß--+y.
<~, ,> r
Trivial,
Baum ß'
ist.
(; ~
ßew~.
solcher
[]
<A,7T>:
ß-+y
und
sei
ß
ein
R-Bauffi.
Dann
gilt:
f~f
<"'>!
ßeweiA.
Sei
{/---:r""9
und <A ,TI>:
! <',.>
ß
ß
ß---+{/.
Dann gibt
es einen
Knoten
a in
{/,
so
107
daß
C
eine
Tautologie
und
fj'
=1T(fj-a)
ist.
Da
Bild(ß,fj,<h,1T»
(ß,fj,
<h,1T»
keine
Tautolo-
a
gie
enthält
folgt
(Satz
4.3.5(b)),
nun Bild(ß,fj,
Abschließend
4.3.11
wir
Projektion
Satz.
Bild
<h, 1T» C 1T(fj - a) =fj',
betrachten
und seiner
gilt
bei
~-%-+~'
Sei
die
der
Anwendung
und
sei
<~,7f>:
{j +--
duzierend
(siehe
4.1.17)
sind.
Bewei~. Da~'
liegt,
Bild(ß)
2.8.9(c))
Wenn a kein
=n(~ -ai
aus Satz 4.3.5(d).
B, a, ~,
<h,n>,
b,
dann
[]
korrespondierenden
wobei
a die
Dann existieren
gilt
auch
die
Knoten
in
Bild(ß)
folgt
die
R-Baums
~
BSEB in
erfüllt
ß' und <~,~> mit:
ß~ß',aB
wobei,
Schritte
ist,
wenn [;~[;'a
ß~ß'
dann
reduzierend
gilt
Aussage des Satzes,
Wir betrachten
ß' =ß
und
( siehe
<~,1jJ> = <~ ,TI>.
wenn a nicht
nun den interessanten
Fall.
re-
in Bild(~)
Seien also
gegeben mit
fj ~
<A,'TT>
war.
Subsumtions-Eliminationsregel.
ß--+~,
ist,
e und~'
4.3.5(d)
aB
ist,
ist,
Satz
1 <-,p
ß~ß'
in
des
Mit
{j'
<~,,> 1
Knoten
der
fj-a.
zu zeigen
Transformation
Klauselbaum ist.
und ß ein unifizierbarer
Wenn a ein
wie
C
fj'
1
ß
wobei
a ein
Knoten
in
ß ist
bene:
b ist
Knoten
in
f).
und
Es
a
genügt
die
BSEB bzgl.
zu
zeigen,
bund
daß
es
e in
ß'
und
f
erfüllt
<~,~>
(Notagibt
mit:
108
(1)
<'.v>1~-~~
I
~-r~>
aB
B
(2)
Die
Anzahl
als
die
der
Anzahl
Wenn der
(3)
Knoten
der
in
~,
) Br
die
entsprechenden
a-Schritt
a
auf
projiziert
Knoten
reduzierend
ist,
in
dann
werden,
ist
echt
kleiner
B.
ist
auch
der
aB-Schritt
reduzie-
rend.
Wir konstruieren
nun
-
D sei
eine
-
-
1TDsei
-
7Ta :='ITlvar(Ca)
-
-
T :=1Tale7TDi
-
B'
-
-
d sei
-
-
sei
Variante
eine
sei
und <-,~>
B'
von Cb, die
U-Substitution
i
für
7Ta ist
T ist
ein
der gegenüber
B neue
die
von
Abbildung
1TI
(B '
Var
U
1TD.
zeigen
dingungen
der
nun,
daß
evident
Ci
1jJM 1jJL
Andererseits
(5)
Da
enthält
in
sind,
eine
1/!
' k '
e~n L~n
~n
B'
gilt:
von
Knoten
Substitution
1/!Cc
Projektion
i ein
muß MeTLa ein
die
von
Ca"
mehr.
~ mit
in
mit:
Für
jeden
= Cc.
~ ist.
in
B'
zu zeigen,
Link
7TaCa=Ca.
=d ist.
ist
nur
D nach
a nicht
wennc
bleibt
Ca mit
den Knoten
b
<-,1/!> eine
für
von
wenn c ein Knoten in Bist
c in
= 1TMe1TDLb .
e
-
S-Substitution
B'
Offensichtlich
d inzidiert,
'
Se~
a1so R,=Med.
L
(4)
U-Substitution
)
mit
-~ =
i
zu Bist.
c
Knoten
Wir
eine
Knoten
in B'.
den Knoten von B'
(
1/!:=
-+ B'
wie folgt:
7TDD= Cb.
D mit
eine
a,D,T
aB
B
Eigenschaften
variablendisjunkt
offensichtlich
Baum mit
diesen
offensichtlich
C := J
{
-
mit
daß
für
Da die
jeden
Link
anderen
~ in
Be-
B',
~ ist.
B' .Dann ~st:
.
.
Link
B sein,
in
für
den
gilt:
e67rDLa .
MeTLa =1TMe1TTL a = 1TMe 1Ta (1Ta-1 61TD) L a = 1TM
A
<A, 7T>
eine
ein Litera!
ist.
Also
sich
leicht,
4.3.12
A
A
A
A
A
.
von ß in
Projektion
von Cb ist,
ist
wegen
daß
Bemerkung.
garantiert
(4),
auch
Der
die
wie
ist,
[j
die
zu zeigen
Bedingungen
Beweis
zu Satz
;!,
ist
BSEB,daß
war,
(2)
4.3.11
~
7TMee7TDLa
~
und
ein
Link
auch 7TMe7TDLb
ein
ein
Link
(3)
erfüllt
sind.
klar,
warum1n
macht
in
in
§.
[j.
Da
Link
7TDL
in [j
Man überzeugt
[]
der
109
BSEB
(2.8.7)
gefordert
wird,
daß
a
von
b
nicht
nur
kJ~ehnäß~~
(d.h.
8C
CCa)'
b
sondern
KcLb
auch ~kmäß~~
Link
in
warum wir
für
eine
1801 =101
ist.
/Lo78/,
ein
nur
PxPypz die
chen,
y
(d.h.,
sein)
wir
verlangen,
101
ß haben.
entstehen.
Das bedeutet,
B
ß'
muß.
2.8.1)
verzichten
~ Ici
Link
ist,
und
dann
in
y
nicht
Pa zweimal
Zudem könnten
durch
daß man selbst
mehr
garantieren
kann.
wird
0 nach
statt
~essen,
z.B.
ersichtlich,
C verlangen,
LOVELANO in
die
Klausel
erforderlich
neue Auftreten
Terminierung
daß
wie
Damit würde ß'
das Kopieren
die
dann muß auch
8 von
subsumiert
kopiert.
ist,
Außerdem
PaQR. Das würde beim Übergang ß~ß'
daß man den Subbaum für
ß~
werden
(siehe
darauf
daß
Knoten als
zesses
subsumiert
S-Substitution
Würden
Klausel
wenn Kc8La ein
ma-
echt
mehr
von PaQR
des Ersetzungspro-
HO
Ein
4.4
Kriterium
Der Leser
erreicht
allgemeine,
und die
sind.
leicht
gegangenen
nun den Höhepunkt
der
zu verifizierende
Bedingungen
ßewei4.
resolviert
R-Baum und
ist
genügt
durch
nun
lassen
Sei
Dann gibt
Sei Seine
Filtern
sich
Seine
geben
an,
die
unären
diese
Widerlegung
in
für
diesem
die
Klauselmengen
Kriterien
kurz
UWF-Klauselmenge
es eine
und
y~Ot
Abschnitt
Konfluenz
hinreichend
mit
den in
den voran-
und
elegant
beweisen.
sei
y
bei
ein Klauselgraph
der nur auf unären
wird.
<>
die
Wir
Werkzeugen
UWF-Klauselmenge
sei
Arbeit.
bei
bereitgestellten
(~onfluenz).
Non-T-Links
von
wird,
Abschnitten
Satz
<>
Filter
zeigen
mit Ysl BSE y.
ein
vollständige
NOETHER-Eigenschaft
Wie sich
4.4.1
für
eine
eine
zu zeigen,
4.3.8,
4.3.8,
daß
daß eine
eine
der
der
Graph
von
von ß
ß in~.
in y.
Projektion
Projektion
Sätze
:ze 4.3.~,
4.3.~,
~ ein
und sei
~sl
BSE ~.
Die
Die Existenz
Existenz
4.3.9,4.3.10
4.3.9,4.3.10
folgenden
folgenden
mit
von
von ß
ß und
und
und
und 4.3.11
4.3.11
zwei
zwei
Bedingungen
Bedingungen
ß
Sei
gesichert.
gesichert.
erfüllt
erfüllt
E~
Es
ist:
ist:
(1) OES(~).
(2)
~
enthält
einen
unären
Non-,-Link
~
~ und es existieren
~
Sei
Bild
also
[;
(1)
einen
und
.
p
1;. B'
o.
Bedingung
(B) C
auch B'
> IB' I>
<>I mit:
und
! <>,
B
IBI
B'
+ ~'
<> !
und
~',
nicht
unären
erfüllt.
Non-, -Link
<>, wie in
Dann
folgt
R, enthält.
(2) gefordert
aus
Satz
Satz
4.3.5(c),
4.3.8
existieren.
liefert
Also
ist
daß
nun,
daß
Bedingung
(2) er-
füllt.
[]
Im Gegensatz
bei
aussagenlogischen
den UWF-Klauselmengen
wendung
die
zu den
der
'-Regel,
Anwesenheit
Der dort
der
dargestellte
Er kann durch
die
nicht
Widerlegbarkeit,
verloren
initialen
Graph
Klauselmengen
gehen.
Faktoren
ist
der
je zwei p - und T -Schritte
dafür
initiale
auf
(Beispiel
auch
Beispiel
aber
2.7.8
zu einer
leeren
kann
also
uneingeschränkter
unbedingt
Graph
den
bei
2.7.2)
zeigt
jedoch,
erforderlich
Andaß
ist.
UW-Klauselmenge.
(erfüllbar!)
Graphen
ill
abgeleitet
werden.
4.4.2
erschöpfende
Unär
Ableitung
vielen
heißt
nichtabbrechende
unär
Schritten
erschöpfend,
wieder
Ableitungen.
wenn
gelöscht
jeder
unäre
Eine
nichtabbrechende
Non-,-Link
nach
endlich
I
wird.
i
I
,
I
i
4.4.3
Satz
(NOETHER-Eigenschaft).
keine
unär
erschöpfende,
ßeweL1.
also
wir
hier
r :~s ---+~l
+~2
chende BSERF-Ableitung.
wie
ß
Die
(2)
*
---r-+
4.3.11
a in
B~
aus.
BI
gi 1 t.
Sei
...
unär erschöpfende,
R-Bäume und
nichtabbre-
<>0'
<>1,
...
Pro-
der
. . ...
<>i
*
ß
y:r+
ist
*
i ---g---+
. . .. .
durch
die
Offensichtlich
Sätze
4.3.6,
4.3.8,
4.3.9,
gilt:
m ~ 1 mit:
= Ißm+2
Satz
C~i
Da O$S~n)
ist,
Non-T-Link.
Dieser
I
=
...
.
daß für
alle
existiert,
4.3.11
ein
endlich
solcher
für
enthält
wird
Bild
auf
folglich
( B.i.)
ein
der
~ +1
([.
ß-Ebene
gilt,
auf
a-Schritt
der
erzeugt,
~-Ebene
und nach
reduzierendea'~Schritte
auf
B
ein
n,
für
das
gilt:
i :..n.
Bild(ßn)
wegen
(3)
nach
Satz
nicht
4.3.5(c)
mehr
mindestens
gelöscht.
Also
ist
einen
unären
r nicht
W.'
erschöpfende
daß ein
reduzierender
a-Schritt
aufeinanderfolgende
existiert
alle
mit
reduzierender
aBSchritt
viele
sind,
~ m+1
i
so daß~i--%-~i+l
reduzierenden
möglich
erschöpfend.
*
2 ---g---+
gesichert.
ein
nur
(ßn)
-.....
J.
:::.Ißil~2fürallei~0.
einen
Unär
von ~s
es
<>i r
und
Bild{ßi)
Da nach
Bild
ß
bedeutet,
der ß-Ebene
4.4.4
ßi
= Ißm+ll
2:.Ißml
Lemma 4.1.17
(3)
*
---r-+
folglich
mindestens
eine
~y.
2
Ißol:::.Iß11:::
'Knoten
Seien Ba, BI'
-y
1
und
Das wiederum
ist.
ß
der
Es gibt
ist
...
---+
<>2 r
Existenz
4.3.10
(1)
1
<>1 r
0
Dann gibt
folgt:
y.5 -y
<>0 r
BSERF-Ableitung
wenn ß ---p-+ B 'ader
B',
ß -g-+
UWF-Klauselmenge.
UWF-Klauselmenge.
Ang..eJ1.ommen,
jektion
Seine
nichtabbrechende
schreiben
Seine
Sei
unär
[ ]
Filter.
Ein
Filter
F heißt
unär
erschöpfend,
wenn jede
112
nichtabbrechende
(-Ableitung,
menge Sausgeht,
unär
~
4.4.5
ist
für
Jeder
unäre
F
(b)
Fist
(c)
Jede
F-Ableitung
f,
einen
unären
Non-,-Link
eine
UWF-Klausel-
F,
Filter
der
die
folgenden
drei
Bedingungen
vollständig:
unär erschöpfend.
Sei F ein
müssen
zeigen,
7: f
ist
für
ist,
r
ist
eine
auch
r
./lJf
-~"
ist
lediglich
für
F
die
eine
Widerlegung
solviert
wird.
,-Link
enthalten.
Bedingungen
(a),
finaler
(b) und (c)
noethersch
noethersch.
existiert,
solche
unär
Wir
die
Graph
erfüllt.
und konfluent
mUssen
vom initialen
nichtabbrechende
erschöpfend.
Wir
ist.
zeigen,
daß keine
Graphen
~S einer
und
für
sei
Bedingung
~sr--~
eine
(a)
erfüllt,
gilt
y
die
Die
bei
leere
Klausel
Bedingung
(c)
liefert
reine
kann
Ys'
der
auf
solches
ist.
BSE y.
nur
ein
2.6.15
fortsetzbar
erschöp-
nichtabbrechende
aber
f-Ableitung,
nicht
Da F unär
Wegen Satz
UF-Klauselmengen
r:
ist
4.4.3
konfluent.
y~oexistiert,
Da
F-Ableitung.
Außerdem
F ==> BSERF. Nach Satz
daß r
UWF-Klauselmenge
Da
und deren
istF-fortsetzbar.
UF-Klauselmengen
zeigen,
ist.
der die
ist
Sausgeht.
ist
-"
r
enthält,
F-Ableitung
da
2:
Widerlegung
F für UF-Klauselmengen
BSERF-Ableitung,
_1...~ _u"
keine
UF-Klauselmengen
UWF-Klauselmenge
An~enommen,
die
Filter,
daß
nichtabbrechende
TeLl
~s
==> BSERF.
ßew~.
fend
Graphen
ist.
Klauselmengen
(a)
I~
vom initialen
erschöpfend
(Kriterium).
erfüllt,
die
müssen
Sei
wir
S also
eine
die
keine
Widerlegung
Satz
4.4.1
liefert,
unären.Noh-,-Links
enthält,
r
muß
y
einen
daß
re-
unären
nun, daß r F-fortsetzbar
ist,
zu zeigen war.
4.4.6
Korollar.
BßWeiA.
Bedin~
ßedin~(bl:
unär
erschöpfend.
ßedLn~
(c):
was
[][ ]
Die
Wir zeigen,
(al:
Non-
BF-Strategie
daß die
ist
für
BF-Strategie
Offensichtlich
gilt
Offensichtlich
ist
vollständig.
das Kriterium
4.4.5
erfüllt.
BF ==> NR ==> BSERF.
M~FF
Wegen BF ==> M~FF
Trivial.
UF-Klauselmengen
ist
erschöpfend
auch
und damit
BF unär
insbesondere
erschöpfend.
[J
113
4.4.7
~ür
Die
jeden
MUP-Strategie.
~
(b)
R, ist
enthält
MUP steht
in
keinen
unären
ein
unärer
Link
für
"monotone
erschöpfend.
Einschränkung
4.4.8
BSERF-Ableitung
r
eine
r heißt
der
MUP-Ableitung,
folgenden
zwei
wenn
Bedingungen
erfüllt
\
(a)
unär
~~~'
p-scpritt
~st:
Eine
Korollar.
ßeweiA.
Bei
angewendet
Die
Offensichtlich
unit
der
Link.
mit
=min
Gen (R,)
preference".,
nicht
MUP-Strategie
sind
alle
können
angewendet
ist
(J/, ')
I
J/,
I
ist
Offensichtlich
MUP-Strategie
oder
{Gen
für
die
ist
~-
und
die
die
Link
in ~}
.
MUP-Strategie
,-Regeln
ohne
werden.
UF-Klauselrnengen
Bedingungen
unärer
des Kriteriums
vollständig.
4.4.5
erfüllt.
[]
~
LITERATURVERWEISE
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T. AMBLE,
1ing,
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On the
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completeness
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with
the
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graph
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& London,
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WALTHER,
Wa81a c.
graphs..
.nation
Elimination
(Ed),
to
to
Gödel:
Gödel:
the
in
1968,
1968,
1968,
a source
souree
a
propositiona1
constructive
115-125.
115-125.
bock
book
in
in
mathematieal
mathematic,
Press,
1967.
Press, 1967.
of
of
(Oet.:~ 1976),
1976),
redundant
red
;WAI-81,
Springer
of GWAI-81,
Proc.
11,
11,
11,
The semanties
semanties
ACM
ACM 23,4
23
of
of
in
Structures
Part
Part
Part
University
VAN EMDEN und l R.
R. KOWALSKI,
KOWALSKI,
programming
derivations
logie,
logic,
From Frege
Frege
From
VAN HE1JENOORT,
logic,
VK76
In
comp1exity
,thematiea1
and
and mathematica1
rnathernatical
mathematics
vH67
On the
links
links
Predieate
predieate
logie
legie
as
as aa
733-742.
733-742.
in
in
Informatik
:ormatik
Informatik
extended
extended
eonnection
connection
Faehberiehte
Fachberichte
47,
extended
connection
1981,
198:
1981,
201-213.
Wa81b C. WALTHER,
graphs.
tät
Elimination
Interner
Karlsruhe,
Bericht
redundant
10/81,
Institut
links
in
für
Informatik
I,
Universi-
1981.
YRH7Q R.A YATES, B. RAPHAEL und
1 (1970),
of
257-289.
T.P.
HART,
Resolution
graphs.
Artif.
Int.
~
SACHVERZEICHNIS
Ableitungen
beim KOWALSKI-Kalkül
39
Finalgraph
von 40
fortsetzbare
40
Initialgraph
von 40
Länge von 40
leere
39
nichtabbrechende
42
erschöpfende
46
unär erschöpfende
111
Zwischengraph von 40
bei Relationen
15
nichtabbrechende
15
beim Resolutionskalkül:
siehe
Resolutionsableitungen!
Ableitungsregeln
39
erzeugende
39
reduzierende
39
Ableitungsrelation
des KOWALSKIKalküls
40
Ableitungsschritte
39
AE-Entscheidungsprozedur
68
AE-Strategie
67ff
allgemeinste
Substitutionen
8
8
Anfang eines Pfades
Knoten 84
Literalauftreten
86
Atome 6
Atome1iminierungs-Strategie
67f
67ff
AT-K1auselgraphen
22
Ausdrücke
7
aussagenlogische
Atome 7
Klauselgraphen
20
Klauselmengen
7
Klauseln
7
Literale
7
Autolinks
20
azyklische
Klauselgraphen
84
84
Basismodelle
11
Bereich einer Substitution
BF-Ableitungen
45
BF-Strategie
45
Bild bzgl.
einer Projektion
Brücken (bei BTEB) 49
BSEB 54
BSERF-Ableitungen
55
BSERF-Restriktion
55
BSE-Ableitungen
55
BSE-Restriktion
55
BTEB 48
BTELA-Ableitungen
49
BTELA-Restriktion
49
BTE-Ableitungen
49
BTE-Restriktion
49
BTSE-Ableitungen
64
BTSE-Restriktion
64
Darstellung
von AT-Klauselgraphen
22
von Substitutionen
8
Differenz
von Substitutionen
Durchschnitt
von Substitutionen
echte Faktoren
13
Elementaroperationen
fifür
Klauselgraphen
23
Eliminationsbedingung
für Subsumtionen
54
für Tautologien
48
Ende eines Pfades
Knoten
84
Literalauftreten
86
enthaltene
Variablen
von Ausdrücken
7
von Klauselgraphen
20
8
von Substitutionen
8
102
8
8
120
erfüllbare
Klauselgraphen
Klauselmengen
Inzidenzknoten
20
20
isolierte
Klauseln
in Klauselmengen
Klauselmengen
Knoten in Klauselgraphen
.auselgraphen
Literalauftreten
25
20
11
erschöpfende
Fil ter
46
unär
111
nichtabbrechende
unär
46
Ableitungen
III
39
erzeugende
Ableitungsregeln
E (leere
Substitution)
Faktoren
13
echte
13
Faktorisierungsregel
FF-Ableitungen
44
FF-Restriktion
44
Filter
43ff
erschöpfende
46
fortsetzbare
46
konfluente
45
noethersche
45
unär erschöpfende
vollständige
45
8
37
111
fortsetzbare
Ableitungen
40
Filter
46
Funktionssymbole
6
FV-Resolventen
13
F-Substitutionen
13
F-Ableitungen
43
43
nichtabbrechende
F-fortsetzbar
43
~-Regel
37
kanonische
Fortsetzung
von
Substitutionen
9
Klauseln
6
leere
7
subsumierende
52
subsumierte
52
tautologische
7
unäre
7
Klauselbäume
84
Klauselgraphen
20
aussagenlogische
20
azyklische
84
erfüllbare
20
initiale
24
leerer
21
spannende
62
tautologiefreie
20
totale
20
unerfüllbare
20
unifizierbare
85
unwesentlich
verschiedene
widerlegbare
40
zusammenhängende 84
zyklische
84
Klauselmenge eines Klauselgraphen
20
kleinster
Subklauselgraph
Knoten
19
in
Generation
von Knoten
von Links
14
14
25
25
4~
44
44
HORN
-Klauseln
97
-Mengen
97
97
-umbenennbar
idempotente Substitutionen
8
41
induzierte
Resolutionsableitung
93
initiale
Resolutionsableitung
initialer
Klauselgraph
24
Initialgraph
einer Ableitung
440
inverse Substitution
9
Inzidenz von Links und Knoten
20
{j
21
21
20
Kombination
von Substitutionen
Kombinationsoperation
10
Kombinationssubstitution
10
komplementäre
Literale
6
Pfade
62
Komponenten
von Substitutionen
8
von Klauselgraphen
84
Komposition
von Substitutionen
konfluente
Filter
45
Relationen
15
konsistente
Substitutionen
10
KonstantensYmbole
6
Korrektheit
des Resolutionskalküls
14
des KOWALSKI-Ka1küls
41
10
121
bei Klauselgraphen
(anders
iniert!)
84
potentiell
komplementäre
Literalauftreten
19
Literale
10
6
Prädikatensymbole
Projektionen
101
Bild bzgl.
102
TI-Reduktion
25
TI-reduziert
25
TI-Relation
25
Länge
40
einer Ableitung
eines Pfades
84
leere
Ableitung
39
Klausel
7
Substitution
8
21
leerer Klauselgraph
Links
20
in
20
Linkvererbung
28
Literalauftreten
19
in
20
lokal konfluent
15
lokaler
Link
30
t:;
t:;
Matrixdarstellung
von
AT-Klauselgraphen
22
Mono-Vererbung
29
Multi-Vererbung
29
MUP-Ableitungen
113
MUP-Strategie
113
M-Ableitungen
44
M-Restriktion
44
Negativdarstellung
von
AT-Klauselgraphen
22
nichtabbrechende
Ableitungen
beim KOWALSKI-Kalkül
42
erschöpfende
46
unär erschöpfende
111
bei Relationen
15
noethersche
Filter
45
Relationen
15
normaler
allgemeinster
von Ausdrücken
9
von Klauselgraphen
normale
Substitutionen
Normalform
bzgl.
einer
NR-Ableitungen
44
NR-Restriktion
44
Unifikator
85
Ordnung
von Subklauselgraphen
von
Variablensymbolen
parallele
Links
30
Pfade
bei aussagenlogischen
Klauselgraphen
62
8
Relation
21
6
15
def-
Rampen (bei BTEB) 49
reduzierende
Ableitungsregeln
39
Subsumtion
52
reduzierender
BSE-Schritt
55
GB-Schritt
92
reduzierte
Klauselbäume
86
95
repräsentierte
Widerlegungen
Resolutionsableitungen
13
induzierte
41
initiale
93
strikt
initiale
93
strikt
unäre
93
tautologie
freie
14
unäre
93
Resolutionslink
27
Resolutionsregel
35, 27ff
Resolutionswiderlegungen
14
Resolvente
(binäre).
13
Restriktion
von Substitutionen
Restriktionen
43
BSERF- 55
BSE- 55
BTELA- 49
BTE- 49
BTSE- 64
FF- 44
M- 44
NR- 44
T- 44
u44
R-Bäume 86
R-Baum für S 93
p-Regel
35
Po 28
Selbstresolution
27
signifikanter
Vorgänger
SKOLEM-Norma1form 11
SNF 11
29
9
122
spannende
Klauselgraphen
Klauselgraphen
43
cL
62
T-Ableitungen
T-Restriktion
,-Links
50
,-Pfade
86
Strategien 1
AEBF-
67
45
MUP- 113
strikt
initiale
Resolutionsableitung
,-Regel
kleinster
93
21
21
Ordnung von 21
Substitutionen
8
allgemeinste
8
Bereich von 8
Darstellung
von 8
Differenz
von 8
Durchschnitt
von 8
idempotente
8
inverse
9
kanonische Fortsetzung
Kombination von 10
Komponenten von 8
Komposition
von 8
leere
8
normale
8
Restriktion
von
9
Umbenennungs- 9
Vereinigung
von 8
subsumierende
Klauseln
52
Knoten
53
subsumierte
Klauseln
52
Knoten
53
Subsumtion
52ff
reduzierende
52
44
48
93
unäre Resolutionsableitung
Subklauselgraphen
44
von
9
Umbenennungssubstitutionen
9
unär erschöpfende
nichtabbrechende
Ableitungen
Filter
111
unäre
Klauselmengen
94
Klauseln
7
Links
44, 85
Resolutionsableitungen
93
unerfüllbare
Klauselgraphen
20
Klauselmengen
11
UF-Klauselmengen
94
Unifikation
9ff
Unifikationssatz
9
Unifikator
von Ausdrücken
9
von Klauselgraphen
85
unifizierbare
Ausdrücke
9
Klauselgraphen
85
unwesentlich
verschiedene
Klauselgraphen
21
UWF-Klauselmengen
94
UW-Klauselmengen
94
V-Ableitungen
44
V-Restriktion
44
V-Substitutionen
9
111
Subsumtions
-Eliminationsbedingung
-Eliminationsregel
aB-Regel
90
a-Regel
53
54
53
tautologiefreie
Resolutionsableitungen
Klauselgraphen
20
Tautologien
7
beim KOWALSKI-Ka1kü1
Tautologie
-Eliminationsbedingung
-Eliminations
regel
tautologische
Klauseln:
Tautologien!
Terme
6
totale
Klauselgraphen
14
48ff
48
48
siehe
20
variablenfrei
7
Variablenmenge
eines Ausdrucks
7
20
eines Klauselgraphen
8
einer Substitution
~
Variablensymbole
6
varianten
7
Substitutionen
Vereinigung
von Substit
28f
Vererbung von Links
2~
Literalen
Verschmelzung
von LiteJ
bei Resolution
29
45
vollständige
Filter
4~
Vollständigkeit
eines Filters
45
41
des KOWALSKI-Kalküls
des Reso1utionska1kü1s
14
Vorgänger eines Litera1s
bei
Resolution
29
8
123
V-Resolventen
widerlegbare
Widerlegungen
13
Klauselgraphen
40
14
beim Resolutionskalkül
beim KOWALSKI-Kalkül
40
Widerlegungsgraphen
96
zugehörige Links (zu einem
Pfad}
85
zusammenhängende Klauselgraphen
Zwischengraph einer Ableitung
84
Zyklen
in Klauselgraphen
Klauselgraphen
84
zyklische
84
40
~
SYMBOLVERZEICHNIS
Auftr(L,~)
Ber( a)
Bild (~)
, TI»
Bild(~,~',<A
74
lei
7
8
I~I
20
102
Ir I
40
102
ILI
6
C-L
7
L
6
crL, crC, crS
9
7
(C
20
Ca
8
rR
Gen(
41
44
)
K
19
6
:n:.
...
naU(Ll'
nau(~)
,Ln)
, nau(ß)
10
85
$"I(8)
95
1T(~)
26
Res(C,LiD,K)
13
S(~)
20
-
9
alv
8-1
9
X/t
8
x <y
8
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a e M)
a
TERME
6
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6
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7
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8
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Var(S)
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0
7
-
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*
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(;
10
19
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(0)
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21
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(;+!I,
23
(;-a
23
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23
fi-La
73
fi-L
73
fis
24
126
15
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39
39
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PT
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37
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43
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101
101
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101
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101
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