1 Zahlen

1 Zahlen
1.1 Natürliche Zahlen
Über natürliche Zahlen
N = {1, 2, 3, . . . }
(1.1.1)
kann man viel berichten, wir setzen diese trotz allem sowohl konzeptionell als auch inhaltlich
voraus1 und beschäftigen uns mit weiterführenden Zahlkonzepten.
Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
(Leopold Kronecker)
1.2 Zahl und Maß
Die natürlichen Zahlen treten natürlich beim Zählen von Objekten auf. Ein neuartiger und
von den natürlichen Zahlen abweichender Zahlbegri↵ tritt auf, wenn man statt (zählbarer)
Entitäten geometrische Objekte in ihrer Größe vergleichen will. Damit verbundene Probleme
sind typisch für die Mathematik der griechischen Antike. Wir müssen dazu etwas ausholen
und einen Exkurs zur Geometrie unternehmen.
Unser Ziel ist es, die Länge einer Strecke im Vergleich zu einer gegebenen Strecke (einer
Längeneinheit) zu bestimmen. Dazu nutzen wir
• ein Lineal, welches es uns erlaubt durch zwei gegebene Punkte eine Gerade zu zeichnen;
• einen Zirkel, der es uns nur erlaubt Längen zu übertragen;
sowie zum wirklichen messen eine vorgegebene Referenzstrecke. Wir nehmen an, dass Punkte
und Geraden Objekte der ebenen Euklidischen Geometrie sind. Andere Geometrien waren den
Griechen der Antike auch nicht bekannt...
1
Zu bemerken ist allerdings, dass natürliche Zahlen in zwei Konzepten auftreten. Sie sind einerseits
Ordinalzahlen und beschreiben als solche die Anordnung von Objekten. Verstanden als Ordinalzahlen beginnen die natürlichen Zahlen bei Eins und das ist die Konvention der wir hier folgen
werden.
sowie andererseits
Kardinalzahlen und beschreiben in dieser Eigenschaft Anzahlen von Objekten. Verstanden als
Kardinalzahlen ist es natürlich, die natürlichen Zahlen bei Null beginnen zu lassen.
7
1 Zahlen
Die erlaubten Operationen beschränken sich damit auf
(1) das Zeichnen eines beliebigen Punktes;
(2) das Zeichnen einer Geraden durch zwei gegebene Punkte;
(3) das Bestimmen des Schnittpunktes zweier gegebener Geraden (so existent);
(4) das Aufnehmen des Abstandes zweier Punkte in den Zirkel und Abtragen des Abstands
von einem gegebenen Punkt einer Geraden in eine vorgegebene (durch ein Punktepaar
bestimmte) Richtung;
(5) das Feststellen, dass zwei Punkte übereinstimmen.
(6) das Feststellen, ob ein Punkt auf einer Geraden zwischen zwei anderen Punkten liegt.
Das ist im Gegensatz zu sonst üblichen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eine eingeschränkte Nutzbarkeit des Zirkels. Für unser Messproblem ist sie allerdings ausreichend. Für
Konstruktionen nutzt man einen besseren Zirkel. Dieser kann zusätzlich
(7) um einen gegebenen Punkt einen Kreis mit einem vorher aufgenommenen Abstand als
Radius zeichnen;
(8) die Schnittpunkte des Kreises mit schon vorher gezeichneten Kreisen oder Geraden (so
existent) bestimmen.
Man beachte, dass das ideale Lineal sehr mächtig ist. Es kann insbesondere zu zwei gegebenen
Geraden (also zwei Punktepaaren) bestimmen, ob sich die beiden Geraden schneiden oder ob
sie parallel sind. Ebenso ist der Zirkel mächtig, er kann bestimmen ob eine Gerade weiter als
der aufgenommene Abstand von einem Punkt entfernt ist. Alle diese Operationen sind nicht
als näherungsweise ausgeführt sondern als exakt zu verstehen.
Im folgenden bezeichne P die Menge der Punkte der Ebene. Unter einer Strecke verstehen wir
ein Paar von Punkten. Die Gesamtheit aller Strecken sei mit S bezeichnet, es gilt also
S = {A, B} : A, B 2 P,
A 6= B ,
(1.2.1)
manchmal sollten Strecken orientiert sein, dann nutzt man alternativ
So = (A, B) : A, B 2 P,
A 6= B .
(1.2.2)
Durch vergessen der Orientierung kann man Elementen von So Elemente aus S zuordnen.
Weiter nennen wir zwei Strecken a 2 S und b 2 S kongruent, in Zeichen a ' b, wenn sie
mit dem Zirkel aufeinander abtragbar, also von gleicher Länge, sind. Kongruenz von Strecken
ist eine Äquivalenzrelation auf S. O↵enbar gilt stets a ' a. Weiterhin ist die Symmetrie der
Relation
a'b
gilt genau dann, wenn
b'a
(1.2.3)
eine direkte Folgerung aus der Symmetrie des Zirkels (also den beiden ununterscheidbaren
Spitzen des Zirkels). Ebenso ist die Transitivität der Relation
a'b
und
b'c
impliziert
a'c
(1.2.4)
konstruktionsbedingt klar. Wir können Operationen für Strecken definieren. Dazu verwenden
wir zuerst orientierte Strecken und definieren zu a 2 So und b 2 So ihre Summe a + b als
diejenige (orientierte) Strecke, die entsteht, wenn man die im Zirkel aufgenommene Strecke b
auf der durch a bestimmten Geraden über den Endpunkt hinaus abträgt.
8
1.2 Zahl und Maß
Proposition 1.2.1. Für a, b 2 So gilt
a + b ' b + a.
(1.2.5)
Motivation und Beweis. Für einen Beweis siehe nachfolgendes Bild.
Die Strecken a und b sind dazu parallel gewählt, sich entsprechende Dreiecke sind aufgrund
einer übereinstimmenden Seite und gleicher Winkel kongruent.
Proposition 1.2.2. Seien a, b, c 2 So und gelte a ' b. Dann folgt a + c ' b + c.
Proposition 1.2.3. Seien a, b, c 2 So gilt a + (b + c) ' (a + b) + c.
Weiter sei zu einer Strecke a 2 So und einer natürlichen Zahl n durch n·a 2 So die Strecke, die
durch n-faches Abtragen ihrer Länge auf der durch die Strecke verlaufenden Geraden entsteht,
bezeichnet. Es gilt also
1 · a := a,
(n + 1) · a := n · a + a.
(1.2.6)
Wie zu erwarten gilt dann
Proposition 1.2.4. Seien a, b 2 So und n 2 N. Dann gilt n · (a + b) ' n · a + n · b.
Beweis. Wir zeigen dies per Induktion über n. Für n = 1 gilt o↵enbar a + b ' a + b. Für den
Induktionsschritt nehmen wir an, für ein n 2 N sei
n · (a + b) ' n · a + n · b
(1.2.7)
gezeigt. Dann gilt nach Definition und Proposition 1.2.2
(n + 1) · (a + b) ' n · (a + b) + a + b ' n · a + n · b + a + b ' (n + 1) · a + (n + 1) · b (1.2.8)
und die Behauptung folgt per Induktion.
9
1 Zahlen
Das Rechnen mit natürlichen Zahlen überträgt sich auf Strecken, es gilt
Proposition 1.2.5. Für a, b 2 So und m, n 2 N gilt
m · a + n · a ' (m + n) · a ' n · a + m · a,
(1.2.9)
m · (n · a) ' (mn) · a ' n · (m · a).
(1.2.10)
sowie
Beweis.2 Wir beginnen mit der Addition. Da wir nach Proposition 1.2.1 schon m · a + n · a '
n · a + m · a wissen, genügt es, die erste der Identitäten zu zeigen. Da die Strecke n · a für
a 2 So und n 2 N rekursiv definiert ist, bietet sich hier ein Induktionsbeweis an. Wir führen
Induktion über n, der Induktionsanfang ist durch die Aussage
m · a + a ' (m + 1) · a
(1.2.11)
gegeben, diese entspricht der Definition. Sei nun weiter schon für ein n
m · a + n · a ' (m + n) · a
(1.2.12)
gezeigt. Dann gilt nach Definition und Proposition 1.2.2 und 1.2.3
m · a + (n + 1) · a ' m · a + n · a + a ' (m + n) · a + a ' (m + n + 1) · a
(1.2.13)
und die Behauptung folgt per Induktion. Für die Multiplikation und die erste Identität nutzen
wir Induktion über m. Als Induktionsanfang haben wir für m = 1
1 · (n · a) ' (1n) · a = n · a ' n · (1 · a)
(1.2.14)
nach Definition von 1 · a := a. Nehmen wir also an, die Identität gelte für ein m,
m · (n · a) ' (mn) · a ' n · (m · a).
(1.2.15)
Dann folgt
(m + 1) · (n · a) ' m · (n · a) + (n · a) ' (mn) · a + n · a ' (mn + n) · a ' ((m + 1)n) · a (1.2.16)
sowie analog mit Proposition 1.2.4
n·((m+1)·a) ' n·(m·a+a) ' n·(m·a)+n·a ' (nm)·a+n·a ' (nm+n)·a ' (n(m+1))·a.
(1.2.17)
Wiederum folgt die Behauptung per Induktion.
Statt auf So und mit der dort wohldefinierten Addition von Strecken rechnen wir im folgenden mit Äquivalenzklassen modulo '. Da die Äquivalenzklassen von So modulo ' und
die entsprechenden Klassen von S modulo ' übereinstimmen, betrachten wir auch wieder
nichtorientierte Strecken aus S und rechnen mit diesen.3
2
3
Die Beweise sind zur Vollständigkeit mit angegeben.
Wem das zu abenteuerlich klingt, der nutze auch weiter orientierte Strecken. Das Ergebnis wird dasselbe
sein.
10
1.2 Zahl und Maß
Definition 1.2.6 (Euklid). Zwei Strecken a, b 2 S heißen kommensurabel , falls es eine weitere
Strecke c 2 S (die gemeinsame Einheit) und natürliche Zahlen m, n 2 N mit
a'm·c
und
b'n·c
(1.2.18)
gibt.
Es stellen sich zwei Fragen:
(1) Wie entscheidet man, ob zu gegebenen a, b 2 S eine solche Strecke c 2 S und entsprechende Zahlen m, n 2 N gibt?
(2) Wie findet man dann die gemeinsame Einheit c 2 S und die Zahlen m, n 2 N?
Zumindest auf die zweite Frage gibt es eine einfache algorithmische Antwort. Dazu eine weitere
Definition. Sind a, b 2 S zwei Strecken so gilt entweder a ' b oder eine der Strecken ist kürzer.
Wir sagen a b wenn a beim Abtragen in b (vom Anfangspunkt aus) im Inneren von b endet.
Weiter sagen wir a
b, falls b
a. In diesem Fall endet das Abtragen von a in b (vom
Anfangspunkt aus) außerhalb b. Damit kommen wir zum
Algorithmus von Euklid :
Gegeben seien zwei Strecken a1 , b1 2 S.
(S1) Gilt a1 ' b1 , so endet der Algorithmus mit dem Rückgabewert a1 .
(S2) Sei a1 b1 (sonst vertausche a1 und b1 ). Wir tragen a1 so oft wie möglich im Inneren
von b1 ab und bezeichnen den dann auftretenden Rest mit b2 ,
b 1 ' k 1 · a1 + b 2
mit b2
a1
oder b2 ' a1 .
(1.2.19)
Gebe k1 aus und beginne wieder mit dem Paar der Strecken b2 , a1 .
Angenommen, a, b 2 S sind kommensurabel. Es gibt also ein c 2 S mit a ' m · c und
b ' n · c. Dann impliziert a
b o↵enbar m < n und da k · a ' (km) · c
b ' n·
c gilt, folgt b1 ' (n km) · c und die Strecken b1 und a sind kommensurabel zur selben
Einheit c 2 S. Der Trick des Algorithmus besteht also darin, Paare kommensurabler Strecken
in kürzere Paare kommensurabler Strecken zur selben Einheit zu transformieren. Terminiert
der Algorithmus, so liefert er eine (endliche) Folge natürlicher Zahlen k1 , k2 , ..., kN und die
letzte bestimmte Reststrecke c. Ausgeschrieben erhalten wir also Darstellungen (mit sinnvoller
Änderung der Bezeichnungen und vorausgesetzt der Algorithmus stoppt nach einer endlichen
Anzahl Schritten)
' k 1 · a1 + b 2
' k2 · b2 + a2
' k 3 · a2 + b 3
' k 4 · b 3 + a3
..
.
b N ' k N aN + aN
b1
a1
b2
a2
(1.2.20)
oder aN
1
' kN · bN + bN .
Iterativ ineinander eingesetzt liefert dies Darstellungen aller ak und aller bk als Vielfache des
Restes c ' aN (oder c ' bN ).
11
1 Zahlen
k=1
k=2
k=1+1
Abbildung 1.1: Schematisches Beispiel. Der Algorithmus entspricht hier der Bestimmung des
größten gemeinsamen Teilers von 5 und 7.
Satz 1.2.7. Für a, b 2 S sind folgenden Aussagen äquivalent:
(1) Die Strecken a und b sind kommensurabel, es existieren also ein c 2 S und m, n 2 N
mit a ' m · c und b ' n · c.
(2) Der Euklidische Algorithmus zum Startpaar a, b 2 S terminiert nach endlich vielen
Schritten.
Beweis. Aus (1) folgt (2): Seien dazu a und b kommensurabel. Dann existiert c 2 S und
m, n 2 N mit a ' m · c und b ' n · c. Wir ersetzen das Paar (a, b) 2 S2 durch das Zahlenpaar
(m, n) 2 N2 . Dann ist entweder m = n oder der Algorithmus von Euklid liefert in einem
Schritt ausgehend von m < n eine Zahl k 2 N mit km < n und n km  m, transformiert
das Paar (m, n) also in (n km, m). Würde der Algorithmus nicht terminieren, wäre nun in
jedem Schritt n km < m. Da es aber nur endlich viele Paare natürlicher Zahlen kleiner
(m, n) gibt, kann dies nicht sein. Widerspruch.
Aus (2) folgt (1): Terminiert umgekehrt der Algorithmus, so liefert die letzte Reststrecke nach
der vor dem Beweis gegebenen Argumentation die Einheit, mit welcher a und b gemessen
werden können und a und b sind kommensurabel.
Wir betrachten ein Beispiel. Sei a ' 5 · c und b ' 7 · c als Beispiel zweier kommensurabler
Strecken a und b. Dann liefert der Algorithmus
a
b
Rest
k
5·c
7·c
2·c
1
2·c
5·c
1·c
2
1·c
2·c
1·c
1
1·c
1·c
—
1
und somit die Folge [1, 2, 1, 1] für k, sowie die gemeinsame Einheit c. Schematisch dargestellt
ist das Beispiel in Abbildung 1.1.
Nicht alle Paare von Strecken sind kommensurabel. Das wohl bekannteste Beispiel geht wahrscheinlich auf Hippasos von Metapont (ca. 500 v.u.Z.) zurück. Wir nutzen zum Beweis die
12
1.2 Zahl und Maß
Abbildung 1.2: Beispiel zum Algorithmus Euklids. Hier liefert er die Zahlen k1 = 2, k2 = 4,
k3 = 3, .... und wahrscheinlich noch einige mehr.
Charakterisierung kommensurabler Strecken durch den Algorithmus von Euklid.
Satz 1.2.8 (Hippasos). Seite und Diagonale in einem regelmäßigen Fünfeck sind inkommensurabel.
Beweis. Wir zerlegen den Beweis in drei Schritte. Zuerst zeigen wir, dass einige der Strecken
im Fünfeck in Abbildung 1.3 kongruent sind. Danach wenden wir den Algorithmus an und in
einem dritten Schritt zeigen wir, dass der Algorithmus (aufgrund der Ähnlichkeit auftretender
Figuren) nicht terminieren kann.
Schritt 1. Wir bestimmen einige der auftretenden Winkel. Da die Außenwinkel den Vollkreis
in fünf Teile teilen, ergibt sich der Innenwinkel eines regulären Fünfecks zu
\BAE = 180
1
360 = 108
5
(1.2.21)
und dieser Winkel stimmt ebenso mit \HGF und \BGA überein. Weiter gilt
\BGH = 180
\BGA = 180
108 = 72
(1.2.22)
72 = 36 = \GAF
(1.2.23)
was wiederum mit \BHG übereinstimmt. Damit folgt
\GBH = 180
\BGH
\BHG = 180
72
Da aus Symmetriegründen weiterhin
\BAG =
1
\BAE
2
\GAF =
1
108
2
72 ) = 36
(1.2.24)
13
1 Zahlen
D
E
J
C
I
F
H
G
A
B
Abbildung 1.3: Zur Existenz inkommensurabler Strecken
gilt, folgt \ABH = \ABG + \GBH = 36 + 36 = 72 = \BHA und das Dreieck 4ABH
ist gleichschenklig.
Schritt 2. Wir wissen also nun, dass die Strecken AB ' AH kongruent sind. Weiter sind auch
AG ' HC kongruent. Damit kann man die ersten Schritte des Algorithmus anwenden. Dieser
liefert
a
b
Rest
k
AB
AC
HC
1
HC
AH
GH
1
...
...
...
...
Schritt 3. Die Strecken AG und GI sind kongruent. Um das zu sehen, nutzen wir aus dem
ersten Schritt
\ABG = 36
und
\GBH = \GBI = 36
(1.2.25)
und damit sind wegen AB ' AH ' BI auch die Dreieck 4ABG und 4BIG kongruent.
Also gilt AG ' GI und (bis auf eine Skalierung) sind wir wieder bei der Ausgangssituation
angelangt und wenden für die weiteren Schritte wiederum den Algorithmus auf eine Seite
und eine Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks an. Das widerspricht der Terminiertheit des
Algorithmus.4
4
Was der Algorithmus aber liefert ist eine unendliche Folge [1, 1, 1, . . .].
14
1.2 Zahl und Maß
Was hat all das mit messen zu tun? Wir nehmen nun an, wir haben eine Strecke a 2 S und
eine zweite, festgelegte, Einheit e 2 S. Sind beide kommensurabel, so existiert eine ’fiktive’
Einheit c und Zahlen m, n 2 N mit a ' m·c und e ' n·c. Da uns c nicht interessiert, schreiben
wir das formal als
m
a'
· e,
(1.2.26)
n
nutzen also Brüche als Vielfache der Einheit. Eine Strecke ist zu e kommensurabel genau
dann, wenn sie in diesem Sinne rationales Vielfaches von e ist. Das Rechnen rationaler Zahlen
überträgt sich, wichtige Regeln sind zumindest
m
·b
n
a'
und
m
·
n
✓
k
a
`
◆
b'
gilt genau dann, wenn
'
mk
· a,
n`
n
·a
m
m
k
m` + kn
·a+ ·a'
· a.
n
`
n`
(1.2.27)
(1.2.28)
Mit dieser Vereinbarung kann man das Messen der Strecke a in Bezug auf eine gegebene
Einheit e auf die Anwendung von Euklids Algorithmus reduzieren. Wir betrachten nur ein
Beispiel und nehmen an der Algorithmus terminiert nach vier Schritten, er liefert also
a ' k 1 · e + a1 ,
e ' k 2 · a1 + a2 ,
a1 ' k 3 · a2 + a3 ,
a2 ' k 4 · a3 + a3
a1
a2
a3
e,
a1 ,
a2 ,
(1.2.29)
und damit nach Einsetzen (im Prinzip und selber nachzurechnen) explizite Formeln für a als
rationales Vielfaches von e. Schlauer ist das schrittweise aufzubauen. Es gilt
a2 ' (k4 + 1) · a3 .
Also gilt auch
a3 '
und damit
(1.2.30)
1
· a2
k4 + 1
1
a1 ' k 3 · a2 +
· a2 '
k4 + 1
✓
(1.2.31)
1
k3 +
k4 + 1
◆
· a2
(1.2.32)
!
(1.2.33)
sowie im nächsten Schritt
1
e ' k 2 · a1 +
· a1 '
k3 + k41+1
sowie
a ' k1 · e +
1
k2 +
1
k3 + k 1+1
4
0
1
k2 +
k3 + k41+1
· e ' @k 1 +
1
k2 +
1
k3 + k 1+1
4
· a1
1
A·e
(1.2.34)
Das Prinzip sollte klar geworden sein, eine genauere Betrachtung von Kettenbrüchen folgt im
nächsten Abschnitt.
15
1 Zahlen
1.3 Kettenbrüche
Wir betrachten zuerst reguläre und endliche Kettenbrüche. Dies sind Ausdrücke der Form
k1 +
1
k2 +
1
k3 +
k4 +
(1.3.1)
1
1
...
1
kN
mit natürlichen Zahlen k1 , k2 , . . . , kN 2 N. Es sinnvoll für k1 auch 0 oder allgemeiner ganze
Zahlen zuzulassen, ebenso ist es aus rein praktischen Gründen zum Rechnen sinnvoll, rationale oder reelle Zahlen ungleich Null für die ki , i > 1, zu erlauben. Wir vereinbaren eine
Kurzschreibweise
1
[k1 , k2 , . . . , kN ] = k1 +
(1.3.2)
k2 + k3 + 1 1
1
k4 +
... 1
kN
und, um alle Unklarheiten zu beseitigen, definieren diese noch explizit rekursiv durch
[k1 , k2 ] := k1 +
sowie für 2  n  N
1
k2

[k1 , k2 , . . . , kn 1 , kn ] := k1 , k2 , . . . , kn
(1.3.3)
1
+
1
.
kn
(1.3.4)
Man zeigt leicht, dass dann ebenso
[k1 , k2 , . . . , kn ] = k1 +
⇥
⇤
1
= k1 , [k2 , . . . , kn ]
[k2 , . . . , kn ]
(1.3.5)
gilt. Die Zahlen ki werden als Teilnenner des Kettenbruchs bezeichnet.
Proposition 1.3.1. Seien die (endlichen) Folgen pn und qn durch die Rekursion
p 1 = k1 ,
q1 = 1,
p2 = k2 k1 + 1,
q2 = k2 ,
definiert. Dann gilt für 1  n  N
[k1 , k2 , . . . , kn ] =
pn = k n p n
qn = k n q n
+ pn
1 + qn
1
pn
.
qn
2
(1.3.6)
2
(1.3.7)
Sind alle kn , 1  n  N natürliche Zahlen, so sind auch die pn und qn natürlich. Die Zahlen pn
und qn werden als Zähler und Nenner des n-ten Näherungsbruchs des Kettenbruchs bezeichnet.
Beweis. Wir zeigen dies per Induktion über n.
Induktionsanfang: Es gilt
p1
= k1 ,
q1
16
p2
k1 k2 + 1
1
=
= k1 + .
q2
k2
k2
(1.3.8)
1.3 Kettenbrüche
Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage ist für ein n gezeigt. Dann gilt also
[k1 , . . . , kn ] =
pn
kn p n
=
qn
k n qn
+ pn
1 + qn
1
2
,
(1.3.9)
2
wobei auf Grund der Rekursionsvorschrift die Zahlen pn 1 , pn 2 , qn 1 , qn
von kn abhängen. Also folgt

1
[k1 , . . . , kn , kn+1 ] = k1 , . . . , kn +
k
⌘ n+1
⇣
1
kn + kn+1
pn 1 + pn 2
⌘
= ⇣
1
kn + kn+1
q n 1 + qn 2
kn+1 (kn pn 1 + pn 2 ) + pn
kn+1 (kn qn 1 + qn 2 ) + qn
kn+1 pn + pn 1
=
kn+1 qn + qn 1
=
2
nicht vom Wert
(1.3.10)
1
1
und die zu zeigende Aussage ist bewiesen.
Die Rekursionsformeln sehen einfacher aus, wenn man sie als Matrixmultiplikation schreibt.
Es gilt für n 2



pn
qn
kn 1 p n 1 qn 1
=
(1.3.11)
p n 1 qn 1
1 0 p n 2 qn 2
Bildet man jeweils Determinanten, so folgt wegen



kn 1
p 2 q2
k k + 1 k2
det
= 1,
det
= det 1 2
=1
1 0
p 1 q1
k1
1
(1.3.12)
insbesondere:
Korollar 1.3.2. Die Zähler und Nenner der Näherungsbrüche eines Kettenbruchs erfüllen
p n qn
1
pn 1 qn = ( 1)n .
(1.3.13)
Im Weiteren nehmen wir wieder an, dass alle Teilnenner kn , 1  n  N , natürliche Zahlen
sind. Dann folgt insbesondere
Korollar 1.3.3. Zähler pn und Nenner qn der Näherungsbrüche sind teilerfremd.
Beweis. Sei d ein Teiler von pn und qn . Dann impliziert Korollar 1.3.2, dass d ein Teiler von
( 1)n sein muss. Damit ist aber d = 1.
Weiter impliziert die Rekursionsvorschrift für pn und qn im Falle natürlicher kn sofort
pn+1 = kn pn + pn
1
> pn ,
n
1,
(1.3.14)
qn+1 = kn qn + qn
1
> qn ,
n
1,
(1.3.15)
sowie
und beide Folgen pn und qn sind streng monoton wachsend. Insbesondere ergibt sich
pn > n,
qn+1 > n,
n
4.
(1.3.16)
17
1 Zahlen
Proposition 1.3.4. Die Näherungsbrüche eines Kettenbruchs erfüllen
pn
qn
pn+1
1
1
=
< 2
qn+1
qn qn+1
qn
(1.3.17)
Beweis. Folgt direkt aus Korollar 1.3.2 zusammen mit der Monotonie der qn .
Proposition 1.3.5. Für die Näherungsbrüche eines Kettenbruchs gilt
p1
p2n
< ··· <
q1
q2n
1
p2n+1
p2n+2
p2n
p2
< ··· <
<
< ··· < .
q2n+1
q2n+2
q2n
q2
<
1
(1.3.18)
Beweis. Folgt wiederum direkt aus Korollar 1.3.2, die Di↵erenzen
pn
qn
pn
qn
1
1
=
( 1)n
qn qn 1
(1.3.19)
sind alternierend und betragsmäßig monoton fallend. Also gilt
p2n
q2n
da
1
<
1
1
p2n+1
p2n+2
p2n
<
<
q2n+1
q2n+2
q2n
>
q2n 1 q2n
1
1
>
q2n q2n+1
q2n+1 q2n+2
(1.3.20)
(1.3.21)
gilt.
Bezeichnet man nun den dargestellten Kettenbruch mit
so haben wir insbesondere
x = [k1 , . . . , kN ]
(1.3.22)
p2n
q2n
(1.3.23)
1
1
<x<
p2n
q2n
für alle 2n < N gezeigt. Um die Approximationseigenschaften genauer zu beschreiben, untersuchen wir den Abstand der Näherungsbrüche zu x. Dazu nutzen wir die n-ten vollständigen
Quotienten
kn0 = [kn , . . . , kN ]
(1.3.24)
des Kettenbruchs. Es gilt also insbesondere
x=
k10
1
k20 k1 + 1
= k1 + 0 =
k2
k20
(1.3.25)
und nach nochmaligem Einsetzen von k20 = k2 + 1/k30
x=
k30 (k2 k1 + 1) + k1
k30 p2 + p1
=
.
k30 k2 + 1
k30 q2 + q1
Analoge Formeln gelten auch für spätere vollständige Quotienten. Es gilt
18
(1.3.26)
1.3 Kettenbrüche
Proposition 1.3.6. Für die durch einen Kettenbruch dargestellte Zahl gilt
x=
kn0 pn
kn0 qn
+ pn
1 + qn
1
2
,
n
3,
(1.3.27)
2
mit den Teilzählern und -nennern pn und qn und den vollständigen Quotienten kn0 .
Beweis. Dies zeigen wir wieder per Induktion. Der Induktionsanfang für n = 3 wurde oben
schon angegeben. Angenommen, die Aussage ist für ein n gezeigt. Dann gilt
⇣
⌘
1
kn + k 0
pn 1 + pn 2
k 0 pn 1 + pn 2
n+1
⌘
x = n0
= ⇣
k n q n 1 + qn 2
k n + k 0 1 qn 1 + q n 2
(1.3.28)
n+1
0
0
k
(kn pn 1 + pn 2 ) + pn 1
k pn + pn 1
= n+1
= n+1
0
0
kn+1 (kn pn 1 + pn 2 ) + pn 1
kn+1
qn + q n 1
und die Behauptung folgt.
Betrachtet man nun die Di↵erenz von x zu den Näherungsbrüchen, so ergibt sich
x
0
kn+1
pn + pn
pn
= 0
qn
kn+1 qn + qn
pn
=
qn
1
1
0
0
und mit der Bezeichnung qn+1
= kn+1
qn + qn
1
p n qn 1 p n 1 q n
0
qn (kn+1
q n + qn 1 )
(1.3.29)
damit
pn
( 1)n+1
=
,
0
qn
qn qn+1
(1.3.30)
pn
1
1
=
< 2,
0
qn
qn qn+1
qn
(1.3.31)
x
0
also insbesondere wegen qn+1
> qn
x
für alle n
2.
Korollar 1.3.7. Von zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen eines Kettenbruches erfüllt
mindestens einer
p
1
x
< 2.
(1.3.32)
q
2q
Beweis. Angenommen, die Abschätzung wäre für beide Näherungsbrüche pn /qn und pn+1 /qn+1
falsch. Dann würde, da die Näherungsbrüche abwechselnd größer und kleiner als x sind
pn
1
=
qn qn+1
qn
pn+1
= x
qn+1
pn
+ x
qn
pn+1
qn+1
1
1
+ 2
2
2qn 2qn+1
(1.3.33)
oder
(qn
qn+1 )2  0
(1.3.34)
folgen. Dies kann aber nur für n = 0 und q0 = q1 = k2 gelten.
19
1 Zahlen
Proposition 1.3.8. Die Folge qn0 ist streng monoton wachsend. Damit gilt für die Näherungsbrüche pn /qn eines Kettenbruchs x = [k1 , . . . , kN ]
pn
< x
qn
x
pn
qn
1
,
(1.3.35)
pn 1 |
(1.3.36)
1
sowie
für alle n
|qn x
2.
pn | < |qn 1 x
Beweis. Es bleibt die Monotonie zu zeigen. Dazu nutzen wir, dass für n < N
kn < kn0 < kn + 1
gilt. Damit folgt einerseits für alle n
qn0 = kn0 qn
(1.3.37)
3
1
+ qn
2
> kn qn
1
+ qn
2
= qn
(1.3.38)
und andererseits
qn0 = kn0 qn
1
+ qn
2
< kn qn
1
+ qn
2
+ qn
1
= qn + qn
1
 k n qn + qn
1
= qn+1 .
(1.3.39)
Also gilt qn < qn0 < qn+1 und da die qn streng monoton wachsend sind, sind auch die qn0 streng
monoton wachsend.
Die Näherungsbrüche eines Kettenbruches sind die besten Approximationen des Kettenbruchs
durch rationale Zahlen mit kleineren Nennern. Genauer gilt
Satz 1.3.9 (Bestapproximationseigenschaft). Seien p, q 2 N mit 1  q  qn und p/q 6= pn /qn .
Dann gilt
pn
p
x
< x
,
(1.3.40)
qn
q
sowie
|qn x pn | < |qx p|.
(1.3.41)
Beweis. Die zweite Ungleichung impliziert die erste, da ja 0 < q  qn gilt. Wir beschränken
uns also auf den Beweis der zweiten. Dieser besteht aus drei Schritten.
Schritt 1. Wir nehmen an, q = qn . Dann gilt wegen (1.3.30)
x
pn
1

,
qn
2qn
(1.3.42)
sowie auf Grund von pn /qn 6= p/qn
pn
qn
p
qn
1
.
qn
1
2qn
x
(1.3.43)
Also folgt
x
20
p
q
pn
qn
(1.3.44)
1.4 Unendliche Kettenbrüche
und damit die Behauptung.
Schritt 2. Wir zeigen die Aussage für qn
1
< q < qn und schreiben dazu
p = µpn + ⌫pn 1 ,
q = µqn + ⌫qn
(1.3.45)
1
mit noch zu bestimmenden µ und ⌫. Die Zahlen µ und ⌫ sind eindeutig bestimmt, es gilt
wegen Korollar 1.3.2
pqn
1
pn 1 q = (µpn + ⌫pn 1 )qn
1
pn 1 (µqn + ⌫qn 1 ) = ( 1)n µ
(1.3.46)
(µpn + ⌫pn 1 )qn = ( 1)n ⌫.
(1.3.47)
und
pn q
pqn = pn (µqn + ⌫qn 1 )
Damit sind µ und ⌫ ganzzahlig und haben also insbesondere auch verschiedene Vorzeichen.
Also haben µ(qn x pn ) und ⌫(qn 1 x pn 1 ) gleiches Vorzeichen und folgt aus
qx
p = µ(qn x
pn ) + ⌫(qn 1 x
pn 1 )
(1.3.48)
pn |.
(1.3.49)
die Behauptung
|qx
p| > |qn 1 x
Schritt 3. Nun folgt die Aussage, für q  qn
damit
|qx p| > |qm x
pn 1 | > |qn x
1
existiert ein m < n mit qm
pm | > |qn x
pn |
1
< q  qm und
(1.3.50)
unter Ausnutzung von Proposition 1.3.8.
1.4 Unendliche Kettenbrüche
Wir betrachten nun allgemeiner Kettenbrüche mit unendlich vielen Teilnennern, also Brüche
der Form
1
[k1 , k2 , k3 , . . .] = k1 +
,
k1 2 Z, ki 2 N, i > 1.
(1.4.1)
k2 + k3 +1 1
..
.
Die meisten der im vorigen Abschnitt getro↵enen Aussagen übertragen sich direkt. So bestimmt die Folge der kn Folgen pn und qn über die Rekursion aus Proposition 1.3.1, die
wiederum sich schachtelnde, gekürzte Näherungsbrüche pn /qn mit
p2n
q2n
und
1
<
1
pn
qn
p2n+1
p2n+2
p2n
<
<
q2n+1
q2n+2
q2n
pn+1
1
=
qn+1
qn qn+1
liefern. Wir wollen jedem unendlichen Kettenbruch eine/die reelle Zahl
\ ✓ p2n 1 p2n ◆
x2
,
q
q2n
2n
1
n
(1.4.2)
(1.4.3)
(1.4.4)
21
1 Zahlen
zuordnen. Da qn ! 1 gilt, ist die Zahl x eindeutig bestimmt. Die zu fordernde Existenz der
Zahl x entspricht der Vollständigkeit der reellen Zahlen. Bezeichnet nun wieder
kn0 = [kn , kn+1 , . . .]
(1.4.5)
den n-ten vollständigen Quotiententen als die dem bei kn startenden Kettenbruch zugeordnete reelle Zahl, so übertragen sich die weiteren Aussagen des vorigen Abschnitts. Es gilt
insbesondere die Darstellung aus Proposition 1.3.8 und damit die Fehlerabschätzung
pn
1
1
=
< 2,
0
qn
qn qn+1
qn
x
n
2,
(1.4.6)
0
0
wobei wiederum qn+1
= kn+1
qn + qn 1 gesetzt wurde, sowie die Bestapproximationseigenschaft
der Näherungsbrüche aus Satz 1.3.9.
Satz 1.4.1. (1) Jeder rationalen Zahl x 2 Q entsprechen zwei endliche Kettenbruchsdarstellungen
x = [k1 , . . . , kn ] = [k1 , . . . , kn 1, 1]
(1.4.7)
mit kn 6= 1; umgekehrt sind alle endlichen Kettenbrüche rational.
(2) Jeder irrationalen Zahl x 2 R \ Q entspricht ein eindeutig bestimmter unendlicher Kettenbruch; umgekehrt ist jedem unendlichen Kettenbruch eine Irrationalzahl zugeordnet.
Solche unendlichen Kettenbrüche sind uns schon begegnet. Sind zwei Strecken inkommensurabel, so liefert der Algorithmus Euklids eine nicht abbrechende Folge von Teilnennern kn und
damit eine unendliche Kettenbruchsdarstellung der Länge der zweiten Strecke als Vielfaches
der ersten. Wir haben dies für die Diagonale in einem regelmäßigen Fünfeck gesehen. Falls die
Seitenlänge des Fünfecks 1 ist, ergibt sich damit für die Diagonale
⌧ = [1, 1, 1, . . .] = [1].
Die Zahl ⌧ erfüllt also
⌧ =1+
1
1
=1+
[1, 1, 1, . . .]
⌧
(1.4.8)
(1.4.9)
und damit die quadratische Gleichung ⌧ 2 = ⌧ + 1. Diese kann man zur Bestimmung der
Diagonalenlänge ⌧ lösen, es ergibt sich durch quadratisches Ergänzen
✓
◆2
1
5
2
⌧
⌧ 1= ⌧
(1.4.10)
2
4
und damit, da ⌧ > 1 gelten muss,
p
1+ 5
⌧=
.
(1.4.11)
2
Die Zahl ist als goldener Schnitt bekannt. Der goldene Schnitt ist die am schlechtesten durch
rationale Zahlen approximierbare reelle Zahl.
p
Um die Kettenbruchsentwicklung
der Zahl 2 zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor. Da
p
1 < 2 < 4 gilt, folgt 1 < 2 < 2. Damit liefert der Algorithmus Euklids, diesmal auf reelle
Zahlen angewandt,
p
p
p
p
( 2 1)( 2 + 1)
1
1
p
p =1+
p
(1.4.12)
2 = 1 + ( 2 1) = 1 +
=1+
2+1
1+ 2
2 + ( 2 1)
22
1.4 Unendliche Kettenbrüche
und somit
p
2 = [1, 2, 2, 2, . . .] = [1, 2].
(1.4.13)
Der entstehende Kettenbruch ist wieder periodisch. Das gilt allgemeiner. Jeder periodische
Kettenbruch entspricht einer quadratischen Irrationalzahl und umgekehrt ist jede solche durch
einen periodisch endenden Kettenbruch darstellbar. Dies wurde von Lagrange gezeigt, seine
Ideen wollen wir kurz zusammenfassen.
Wir bezeichnen zwei Zahlen ⇠, ⌘ 2 R als äquivalent, falls es ganze Zahlen a, b, c, d 2 Z mit
⇠=
a⌘ + b
,
c⌘ + d
ad
bc = ±1,
(1.4.14)
gibt.
Proposition 1.4.2. Die so definierte Äquivalenz von Zahlen ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis. Aus
⇠=
a1 ⌘ + b 1
c1 ⌘ + d 1
und
folgt
⇠=
mit

⌘=
a2 ⇣ + b 2
c2 ⇣ + d 2
a3 ⇣ + b 3
c3 ⇣ + d 3
(1.4.15)
(1.4.16)


a3 b 3
a2 b 2 a1 b 1
=
c3 d 3
c2 d 2 c1 d 1
(1.4.17)
als Matrixmultiplikation. Damit ergibt sich der Beweis. Die Relation ist

1 0
• reflexiv. Dazu nutzt man Einheitsmatrix
.
0 1
• symmetrisch. Dies folgt, da die inverse Matrix


1
1
a b
d
=
c d
c
ad bc
b
a
(1.4.18)
ganzzahlige Einträge mit derselben Determinante besitzt.
• transitiv. Dies ergibt sich direkt aus obiger Matrixmultiplikation und der Ganzzahligkeit
aller Matrixeinträge.
Korollar 1.4.3. Jede rationale Zahl ist zu 0 äquivalent.
Beweis. Sei p/q gekürzter Bruch. Dann liefert der Euklidische Algorithmus Zahlen k und `
mit
pk q` = 1
(1.4.19)
und damit die gewünschte Darstellung
p
`·0+p
=
q
k·0+q
(1.4.20)
und die Aussage ist bewiesen.
23
1 Zahlen
Dass Äquivalenz mit Kettenbrüchen zu tun hat, lässt folgende Aussage vermuten.
Proposition 1.4.4. Angenommen, für eine reelle Zahl x gilt
x=
P⇣ + R
Q⇣ + S
(1.4.21)
mit ⇣ > 1 reell und ganzzahligen P, Q, R, S 2 Z mit P S QR = ±1 und Q > S > 0. Dann
sind R/S und P/Q aufeinanderfolgende Näherungsbrüche aus der Kettenbruchsentwicklung
von x. Darüberhinaus ist ⇣ der zu P/Q gehörende vollständige Quotient des Kettenbruchs.
Beweis. Wir schreiben die rationale Zahl P/Q als Kettenbruch
P
pn
= [k1 , k2 , . . . , kn ] =
Q
qn
(1.4.22)
QR = ±1 = ( 1)n
(1.4.23)
und wählen dabei n so, dass
PS
gilt. Dann sind P und Q teilerfremd und wegen Q > 0 ist auch P = pn und Q = qn . Also folgt
pn S
qn R = P S
QR = pn qn
1
p n 1 qn
(1.4.24)
und damit auch
pn (S
qn 1 ) = qn (R
pn 1 ).
(1.4.25)
Da pn und qn teilferfremd sind, muss damit aber qn ein Teiler von S qn 1 sein. Wegen
qn = Q > S > 0 und qn
qn 1 > 0 impliziert dies aber schon S qn 1 = 0 und damit
S = qn 1 . Analog folgt R = pn 1 und somit gilt
x=
pn ⇣ + pn
qn ⇣ + qn
1
,
(1.4.26)
1
also auch
x = [k1 , . . . , kn , ⇣] = [k1 , . . . , kn , kn+1 , . . .]
(1.4.27)
mit der Kettenbruchsentwicklung ⇣ = [kn+1 , . . .] und unter Ausnutzung von ⇣ > 1, also kn+1 2
N. Damit ist die Aussage bewiesen.
Proposition 1.4.5. Zwei irrationale Zahlen ⇠, ⌘ sind genau dann äquivalent, wenn ihre Kettenbruchsentwicklungen bis auf endlich viele Teilnenner übereinstimmen.
Beweis. Wenn die Kettenbruchsentwicklung bis auf endliche viele Teilnenner übereinstimmt,
dann sind die Zahlen äquivalent. Das folgt direkt aus
[k1 , k2 , k3 , . . .] = k1 +
1
k1 [k2 , k3 , . . .] + 1
=
[k2 , k3 , . . .]
[k2 , k3 , . . .] + 0
(1.4.28)
zusammen mit Transitivität und Symmetrie der Relation. Zu beweisen ist die Rückrichtung.
Gelte also
a⌘ + b
⇠=
(1.4.29)
c⌘ + d
24
1.4 Unendliche Kettenbrüche
mit Zahlen a, b, c, d 2 Z und mit ad
c⌘ + d > 0 gilt. Wir schreiben ⌘ als
bc = ±1. Wir wählen die Vorzeichen der Zahlen so, dass
⌘=
pn ! + pn
qn ! + qn
1
(1.4.30)
1
für hinreichend groß gewähltes n. Dann gilt ! > 1. Für ⇠ erhalten wir daraus
⇠=
(apn + bqn )! + (apn
(cpn + dqn )! + (cpn
mit ganzen Zahlen P, Q, R, S 2 Z und P S
pn = ⌘qn +
qn
,
+ bqn 1 )
P! + R
=
Q! + S
1 + dqn 1 )
1
(1.4.31)
QR = ±1. Weiterhin gilt wegen (1.3.30)
pn
1
= ⌘qn
1
+
0
qn
(1.4.32)
1
mit | | < 1 und | 0 | < 1 und damit
Q = (c⌘ + d)qn +
c
,
qn
S = (c⇠ + ⌘)qn
1+
c
qn
0
.
(1.4.33)
1
Also gilt für hinreichend großes n auch Q > S > 0 und Proposition 1.4.4 ist anwendbar. Damit
gilt ⇠ = [`1 , . . . , `m , !] für geeignetes m und wegen ⌘ = [k1 , . . . , kn , !] folgt die Behauptung.
Satz 1.4.6 (Lagrange). Jede quadratische Irrationalzahl ist äquivalent zu einem periodischen
Kettenbruch und umgekehrt.
Beweis. Rückrichtung. Sei x durch einen periodischen Kettenbruch
x = [k1 , . . . , kL ] = [k1 , . . . , kL , x]
(1.4.34)
mit Periode L dargestellt. Dann gilt
x=
pL x + pL
qL x + q L
1
(1.4.35)
1
und damit
qL x2 + (qL
1
pL 1 )x + pL
1
= 0.
(1.4.36)
Also löst x eine quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und ist (da irrational) quadratische Irrationalzahl. Sei nun allgemeiner y äquivalent zu x, gelte also mit Zahlen
a, b, c, d 2 Z und ad bc = ±1
ax + b
y=
.
(1.4.37)
cx + d
Das implizert aber
dy b
x=±
(1.4.38)
a cy
und somit nach Einsetzen in obige quadratische Gleichung
✓
◆2
✓
◆
dy b
dy b
a
±b
+ c = 0.
a cy
a cy
(1.4.39)
25
1 Zahlen
cy)2 eine quadratische Gleichung für y und somit
Das ist aber nach Multiplikation mit (a
auch y quadratische Irrationalzahl.
Hinrichtung. Jede quadratische Irrationalzahl löst eine quadratische Gleichung der Form
ax2 + bx + c = 0
(1.4.40)
mit ganzzahligen Koeffizienten a, b, c 2 Z und mit b2 6= 4ac. Wir schreiben die Zahl x als
Kettenbruch
x = [k1 , k2 , . . . , kn 1 , kn , kn+1 , . . .] = [k1 , k2 , . . . , kn 1 , kn0 ]
(1.4.41)
und dies wiederum als
x=
pn 1 kn0 + pn
qn 1 kn0 + qn
2
(1.4.42)
2
durch den n-ten vollständigen Quotienten kn0 . Eingesetzt in die quadratische Gleichung für x
liefert dies
✓
◆2
✓
◆
pn 1 kn0 + pn 2
pn 1 kn0 + pn 2
a
+b
+c=0
(1.4.43)
qn 1 kn0 + qn 2
qn 1 kn0 + qn 2
und damit nach Umformen eine quadratische Gleichung für y = kn0 ,
An y 2 + Bn y + Cn = 0.
(1.4.44)
Dabei sind die Koeffizienten (wie man durch Nachrechnen leicht findet) durch
An = ap2n 1 + 2bpn 1 qn 1 + cqn2 1
Bn = 2apn 1 pn 2 + b(pn 1 qn 2 + pn 2 qn 1 ) + 2cqn 1 qn
Cn = ap2n 2 + 2bpn 2 qn 2 + cqn2 2 = An 1
2
(1.4.45)
ac)
(1.4.46)
gegeben. Damit gilt
Bn2
4An Cn = (b2
4ac)(pn 1 qn
pn 2 qn 1 )2 = (b2
2
unabhängig von n. Weiter gilt wegen (1.3.30)
pn
mit Zahlen |
n 1|
< 1. Das impliziert
✓
n
An = a xqn 1 +
qn
1
1
◆
= (ax2 + bx + c)qn2
= 2ax
n 1
+a
2
n 1
qn
= xqn
1
1
+
✓
+ 2b xqn
1 + 2ax
+b
n 1
n 1
qn
1
(1.4.47)
1
+
+a
n 1
qn
1
2
n 1
qn
◆
qn
+b
1
+ cqn2
1
n 1
(1.4.48)
1
n 1
1
schon
|An | < 2|ax| + |a| + |b|
26
und
|Cn | = |An 1 | < 2|ax| + |a| + |b|.
(1.4.49)
1.5 Die Suche nach ⇡
Weiter folgt damit
Bn2  4|An Cn | + |b2
4ac| < 4(2|ax| + |a| + |b|)2 + |b2
4ac|
(1.4.50)
Also sind die Beträge von An , Bn und Cn gleichmäßig in n beschränkt. Damit gibt es aber
nur endlich viele verschiedene solche Tripel (An , Bn , Cn ) und damit auch nur endlich viele
verschiedene Lösungen y zugehöriger quadratischer Gleichungen (1.4.44). Damit gibt es aber
Zahlen m und L, so dass die vollständigen Quotienten
0
0
km
= km+L
(1.4.51)
erfüllen, also insbesondere
0
0
x = [k1 , . . . , km 1 , km
] = [k1 , . . . , km 1 , km , . . . , km+L 1 , km
]
= [k1 , . . . , km 1 , km , . . . , km+L 1 ]
(1.4.52)
gilt. Der Satz ist bewiesen.
Kettenbrüche rationaler Zahlen und Kettenbrüche quadratischer Irrationalzahlen haben also
eine einfache und gut zu beschreibende Struktur. Ähnliches lässt sich über Kettenbrüche zu
Kubikwurzeln oder interessanten anderen mathematischen Konstanten wie ⇡ nicht aussagen.
Wir enden den Abschnitt mit einigen Beispielen. Es gilt, wie leicht nachzurechnen ist,
p
2=1+
1
2+
1
2+
2+
= [1, 2],
(1.4.53)
= [1, 1, 2],
(1.4.54)
= [2, 4],
(1.4.55)
= [2, 1, 1, 1, 4].
(1.4.56)
1
1
2+ 1
...
p
3=1+
1
1+
1
2+
1+
1
1
2+ 1
..
p
5=2+
.
1
4+
1
4+
4+
1
1
4+ 1
..
p
7=2+
1
1+
1
1+
1+
.
1
1
4+ 1
...
1.5 Die Suche nach ⇡
In diesem Abschnitt werden wir einige klassische Approximationen für die Zahl ⇡ kennenlernen.
Wir gehen dabei von der ‘naiven’ Definition der Zahl 2⇡ als der Länge eines Kreisbogens
vom Radius 1 beziehungsweise als Fläche vom Radius 1 aus. Dass ein Kreisbogen eine Länge
haben muss, war in der Antike zumindest intuitiv klar; ein Beweis und eine entsprechend
saubere Definition des Längenbegri↵s entstammt der Analysis des 19. Jahrhunderts. Dass beide
27
1 Zahlen
B
B
E
C
H
D
C
F
M
M
A
A
G
Abbildung 1.4: Zur Bestimmung von ⇡ nach Archimedes
Definitionen von ⇡ dieselbe Zahl liefern, ergibt sich aus den nachfolgenden Betrachtungen und
wurde rigoros von Archimedes von Syrakus (287–212 v.u.Z.) gezeigt.
Wir approximieren einen Kreis durch eine Folge regelmäßiger Polygone, sowohl von innen als
auch von außen. Wir betrachten dazu ein dem Kreis einbeschriebenes Sechseck, sowie ein dem
Kreis umbeschriebenes
vom Radius 1) den
p Sechseck. Ersteres besitzt (für einen Kreis
p
p Umfang
6 und die Fläche 3 3/3, während letzteres den Umfang 4 3 und die Fläche 2 3 besitzt.
In jedem Schritt verdoppeln wir die Seitenzahl des ein- und umbeschriebenen regelmäßigen
Polygons und bestimmen erneut Umfang und Fläche.
Im Folgenden bezeichne sn die Seitenlänge eines einbeschriebenen regelmäßigen 3 · 2n -Ecks, n
die Seitenlänge des zugehörigen umbeschriebenen 3 · 2n -Ecks und hn den Abstand der Seiten
zum Mittelpunkt. In den Bezeichnungen von Abbildung 1.4 gilt also
sn = AB = 2AH,
hn = M H,
n
= 2AC,
⌘n = M C.
(1.5.1)
Wir beginnen mit einigen Beziehungen zwischen diesen Größen. Alle Resultate basieren auf
der Normierung M A = 1.
Proposition 1.5.1. Es gilt
n hn
sowie
n+1
n
n+1
=
1
= hn ,
⌘n
= sn ,
und
(1.5.2)
2hn+1 sn+1 = sn .
(1.5.3)
Beweis. Da die Dreiecke 4M AC und 4M HA ähnlich sind, folgt AC : 1 = HA : M H
und damit (1.5.2). Weiterhin gilt, da M F Winkelhalbierende zu \AM C ist, die Identität
AF : F C = M A : M C und damit die erste Gleichung aus (1.5.3). Für die zweite Betrachten
wir das Dreieck 4GDB. Da GB parallel zu M E ist, ist das Dreieck rechtwinklig und es gilt
28
1.5 Die Suche nach ⇡
GB = 2hn+1 . Weiter gilt DB = sn+1 . Damit ist sein Flächeninhalt sowohl durch hn+1 sn+1 , als
auch durch 1 · sn /2 gegeben und die zweite Gleichung aus (1.5.3) folgt.
Korollar 1.5.2. Es bezeichne an den Umfang des einbeschriebenen Polygons und bn den Umfang des umbeschriebenen Polygons mit 3 · 2n Seiten. Dann gilt
p
2an bn
bn+1 =
,
an+1 = an bn+1
(1.5.4)
an + b n
p
zusammen mit den Startwerten a1 = 6 und b1 = 4 3.
Beweis. Wegen an = 3 · 2n · sn und bn = 3 · 2n ·
n+1
=
hn
hn + 1
n
folgt die Behauptung direkt aus
n
sn
sn +
n
n+1 sn+1
=
=
n
und
s2n+1 = hn+1
1
2
=
sn n
sn + n
(1.5.5)
n+1 sn
(1.5.6)
nach Multiplikation mit 3 · 2n+1 beziehungsweise (3 · 2n+1 )2 .
Korollar 1.5.3. Es bezeichne An den Flächeninhalt des einbeschriebenen Polygons und Bn
den Flächeninhalt des umbeschriebenen Polygons mit 3 · 2n Seiten. Dann gilt
p
2An+1 Bn
An+1 = An Bn ,
Bn+1 =
(1.5.7)
An+1 + Bn
p
p
zusammen mit A1 = 3 2 3 und B1 = 2 3. Darüberhinaus gilt
p
2 3 1 n
An < ⇡ < B n ,
Bn An <
4 .
(1.5.8)
3
Beweis. Die Rekursion folgt wiederum direkt aus
An = 3 · 2n ·
sn h n
= 3 · 2 n 2 sn
2
1
=
an
2
1
(1.5.9)
und
bn
(1.5.10)
2
2
kombiniert mit den gerade gezeigten Formeln für an und bn . Weiterhin gilt, da das innere
3 · 2n -Eck im Kreis enthalten ist und dieser im äußeren 3 · 2n -Eck liegt
B n = 3 · 2n ·
n
= 3 · 2n
1
n
=
An < ⇡ < Bn
(1.5.11)
für die Kreisfläche ⇡. Ebenso ist An monoton wachsend (da jeweils Dreiecksflächen hinzugefügt werden) und Bn monoton fallend, da Dreiecksflächen abgeschnitten werden. Damit
folgt insbesondere
sn (⌘n hn )
= 3 · 2n 1 (1
2 p
1
2 3
<
B13 =
n
9·4
3 · 4n 1
und damit die Behauptung.
Bn
An = 3 · 2n
h2n )
n
= 3 · 2n
2
1 sn
4
n
=
1
A2n+1 Bn
n
9·4
(1.5.12)
29
1 Zahlen
Archimedes hat auf diese Weise mit n = 5, also den Umfängen der ein- und umbeschriebenen
96-Ecke, die Abschätzung
10
1
3+
<⇡ <3+
(1.5.13)
71
7
gezeigt. Dies bestimmt ⇡ auf zwei Nachkommastellen genau. Für bessere Approximationen
ist entsprechend größeres n zu wählen, pro Iterationsschritt verbessern sich zwei Zi↵ern der
Binärdarstellung von ⇡. Das (numerische) Ergebnis für n = 20 ist in der folgenden Tabelle
angegeben.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
An
2.59807621135
3.00000000000
3.10582854123
3.13262861328
3.13935020305
3.14103195089
3.14145247229
3.14155760791
3.14158389215
3.14159046323
3.14159210600
3.14159251669
3.14159261937
3.14159264503
3.14159265145
3.14159265306
3.14159265346
3.14159265356
3.14159265358
3.14159265359
Bn
3.46410161514
3.21539030917
3.15965994210
3.14608621513
3.14271459965
3.14187304998
3.14166274706
3.14161017660
3.14159703432
3.14159374877
3.14159292739
3.14159272204
3.14159267070
3.14159265787
3.14159265466
3.14159265386
3.14159265366
3.14159265361
3.14159265359
3.14159265359
B n An
0.866025403784
0.215390309173
0.0538314008673
0.0134576018502
0.0033643965985
0.000841099089315
0.000210274771387
0.0000525686928321
0.0000131421732079
0.00000328554330142
0.000000821385825134
0.000000205346456283
0.0000000513366140709
0.0000000128341537398
0.00000000320853832392
0.000000000802134358935
0.0000000002005329236
0.0000000000501332309
0.0000000000125330856804
0.0000000000031334934647
Die letzte berechnete Zi↵er in Zeile 20 ist numerisch bedingter Rundungsfehler, korrekt wäre
eine 8.
1.6 Algebraische und transzendente Zahlen
Dazu untersuchen wir zuerst Approximationsordnungen von Irrationalzahlen.
Definition 1.6.1. Eine Zahl ⇠ 2 R heißt zur Ordnung n 2 N approximierbar, falls es eine
(nur von ⇠ abhängende) Konstante K gibt, so dass
p
q
⇠ 
K
qn
unendlich viele teilerfremde Lösungen p, q 2 Z, q > 0, besitzt.
30
(1.6.1)
1.6 Algebraische und transzendente Zahlen
Satz 1.6.2. Jede rationale Zahl ⇠ 2 Q ist zur Ordnung 1 approximierbar, aber nicht zu höherer
Ordnung.
Beweis. Sei ⇠ = a/b mit ggT(a, b) = 1. Dann besitzt die Gleichung
bq
aq = 1
(1.6.2)
Lösungen p, q (erweiterter Euklidischer Algorithmus) und damit auch unendlich viele Lösungen
q + ka, p + kb mit k 2 Z. Damit besitzt aber
p
q
a
1

b
bq
(1.6.3)
unendlich viele Lösungen und ⇠ ist zur Ordnung 1 approximierbar. Umgekehrt impliziert
a
|aq bp|
=
b
bq
p
q
zusammen mit
p
q
1
bq
(1.6.4)
a
K
 n
b
q
(1.6.5)
schon die Abschätzung q n 1  Kb. Damit kann es für n > 1 nur endlich viele verschiedene q
geben, als insgesamt auch nur endlich viele Lösungen p, q zu diesem Approximationsproblem
und die Aussage ist gezeigt.
Satz 1.6.3. Jede quadratische Irrationalzahl ⇠ 2 R \ Q ist zur Ordnung 2 approximierbar, aber
nicht höher.
Beweis. Die Approximierbarkeit zur Ordnung 2 haben wir für alle Irrationalzahlen schon mit
Abschätzung (1.4.6) an die Näherungsbrüche der Kettenbruchsnäherung gezeigt. Wir zeigen,
dass es keine bessere Approximierbarkeit geben kann. Dazu nutzen wir, dass nach Satz 1.4.6
eine quadratische Irrationalzahl eine periodisch endende Kettenbruchsdarstellung
⇠ = [k1 , k2 , . . . , km , km+1 , . . . , km+L ]
(1.6.6)
besitzt. Insbesondere existiert also eine Zahl M mit
1  ki < M,
i
2.
(1.6.7)
Damit folgt aber aus
0
0
qn+1
= kn+1
qn + qn
1
< (kn+1 + 1)qn + qn
1
< (M + 2)qn
(1.6.8)
und entsprechend
qn+1 < (M + 2)qn ,
für alle q mit qn
p
q
⇠
1
qn < (M + 2)qn
(1.6.9)
1
< q  qn die Abschätzung
pn
qn
⇠ =
1
0
qn+1
qn
>
1
1
>
(M + 2)qn2
(M + 2)3 qn2
>
1
1
(M + 2)3 q 2
(1.6.10)
aus der schon gezeigten Bestapproximationseigenschaft der Kettenbruchsnäherungen. Also ist
⇠ nicht zu höherer Ordnung approximierbar.
31
1 Zahlen
Wir bezeichnen das höchste n, so dass ⇠ zur Ordnung n approximierbar ist, also die Approximationsordnung von n. Zahlen der Approximationsordnung 1 sind rational, quadratische
Irrationalzahlen haben Approximationsordnung 2. Nicht jede Zahl der Approximationsordnung 2 ist eine quadratische Irrationalzahl. Das sieht man direkt aus obigem Beweis, die
Argumentation hat nur genutzt, dass die Kettenbruchsentwicklung beschränkte Teilnenner
besitzt.
Definition 1.6.4. Eine Zahl ⇠ 2 R heiße algebraisch vom Grad kleiner oder gleich m 2 N,
falls es ganze Zahlen a0 , a1 , . . . , am 2 Z mit
am ⇠ m + · · · a1 ⇠ + a0 = 0
(1.6.11)
gibt. Eine Zahl heißt transzendent, falls sie nicht algebraisch ist.
p
Beispiele
algebraischer Zahlen sollten klar sein. Die Zahl 2 ist algebraisch vom Grad 2, ebenso
p
ist 3 7 algebraisch vom Grad 3. Dass nicht alle reellen Zahlen algebraisch sind, folgt schon aus
Cantor’s zweitem Diagonalargument. Da die ganzen Zahlen abzählbar sind, ist die Menge der
Gleichungen zur Bestimmung algebraischer Zahlen abzählbar und somit insbesondere auch die
Menge der algebraischen Zahlen. Die Menge R ist aber nicht abählbar. Damit sind die meisten
Zahlen transzendent. Allerdings weiß man es von den wenigsten bekannten Zahlen, dass sie
transzendent sind. So ist zum Beispiel nicht bekannt, ob ⇡ e transzendent ist. Ein interessantes
Transzendenzkriterium liefert
Satz 1.6.5 (Liouville). Eine irrationale algebraische Zahl vom Grad m lässt keine Approximation höherer Ordnung als m zu.
Beweis. Sei ⇠ 2 R algebraisch vom Grad m mit
f (⇠) = am ⇠ m + · · · a1 ⇠ + a0 = 0.
(1.6.12)
Damit f ein Polynom ist, existiert insbesondere ein M , so dass
f 0 (x) < M
für jedes ⇠
1<x<⇠+1
gilt. Sei nun p/q 6= ⇠ eine rationale Näherung mit
p
⇠ 1 < < ⇠ + 1,
q
(1.6.13)
(1.6.14)
welche näher an ⇠ als an jeder anderen Nullstelle von f liegt. Insbesondere gilt f (p/q) 6= 0.
Dann folgt
✓ ◆
p
|am pm + am 1 pm 1 q + · · · + a1 pq m 1 + a0 q m |
1
f
=
,
(1.6.15)
m
q
q
qm
sowie wegen
✓ ◆
✓ ◆
p
p
=f
f
q
q
für ein x zwischen p/q und ⇠ auch
p
q
⇠ l=
f (⇠) =
|f (p/q)|
|f 0 (x)|
✓
◆
(1.6.16)
1
.
M qm
(1.6.17)
p
q
⇠ f 0 (x)
Damit ist aber Approximierbarkeit höherer Ordnung ausgeschlossen, da nur endlich viele q zu
solchen höheren Approximationsordnungen existieren können.
32
1.6 Algebraische und transzendente Zahlen
Beispiel 1.6.6 (Liouville). Die durch den Kettenbruch
⇠ = [10, 102! , 103! , 104! , . . .]
(1.6.18)
dargestellte Zahl ist transzendent. Dazu zeigen wir, dass die Zahl zu jeder Ordnung approximierbar ist. Seien pn /qn die n-ten Näherungsbrüche der Kettenbruchsentwicklung. Wegen
pn
qn
⇠ =
1
0
qn+1
qn
0
0
unter Ausnutzung von qn+1
= kn+1
q n + qn
1
<
1
0
kn+1
qn2
<
1
kn+1
0
> kn+1
qn und qn > 1. Wegen
qn+1
qn 1
= kn+1 +
< kn+1 + 1
qn
qn
q1 < k1 + 1,
(1.6.19)
(1.6.20)
impliziert kn = 10n! die Abschätzung
qn < (k1 + 1)(k2 + 1) · · · (kn + 1) = (1 +
1
1
1
)(1 + ) · · · (1 + )k1 · · · kn
k1
k2
kn
1
1
1
)(1 + 2 ) · · · (1 + n! )101!+2!+···+n!
10
10
10
2(n!)
2
< 2 · 10
= kn .
= (1 +
(1.6.21)
Also gilt, wiederum wegen kn = 10n! ,
pn
qn
⇠ <
1
kn+1
=
1
(kn2 )n+1
<
1
1
1
< n/2 < N/2
2
kn
qn
qn
(1.6.22)
für jedes n > N . Damit gibt es aber zu jedem geraden N unendlich vieler Näherungsbrüche
mit Approximation an ⇠ zur Ordnung N/2. Da N beliebig ist, impliziert Liouville’s Theorem
die Transzendenz von ⇠.
Eine Zahl, die zu beliebiger Ordnung rational approximierbar ist, wird als Liouvillezahl bezeichnet. Jede Liouvillezahl ist transzendent. Allerdings sind nicht alle interessanten transzendenten Zahlen Liouville, der Transzendenzbeweis interessanter mathematischer Konstanten
wird damit oft wesentlich schwerer.
Satz 1.6.7 (Hermite). Die Eulersche Zahl e ist transzendent.
Beweis. Bevor wir mit dem Beweis beginnen, einige Vorbemerkungen. Für ein Polynom
f (x) =
m
X
ak x k
(1.6.23)
k=0
vom Grad m und mit Koeffizienten ak aus R (oder später C) betrachten wir Integrale
I(t) =
Z
t
et x f (x) dx.
(1.6.24)
0
33
1 Zahlen
Mit partieller Integration erhält man die Darstellung
I(t) = et
m
X
m
X
f (j) (0)
j=0
f (j) (t)
(1.6.25)
j=0
als Kombination von Ableitungen des Polynoms. Bezeichne nun
f¯(x) =
m
X
k=0
|ak |xk
(1.6.26)
das Polynom mit Koeffizienten |ak |. Dann gilt |f (x)|  f¯(|x|)  f¯(|t|) für |x| < |t|. Also folgt
Z t
|I(t)| 
|et x f (x)| dx  |t|e|t| f¯(|t|).
(1.6.27)
0
Nun zum eigentlichen Beweis. Angenommen, die Zahl e ist algebraisch. Dann existieren also
ganze Zahlen b0 , . . . , bn 2 Z mit
b0 + b1 e + · · · + bn en = 0.
(1.6.28)
Sei nun I(t) definiert wie oben durch das Polynom
f (x) = xp 1 (x
1)p · · · (x
n)p
(1.6.29)
für eine große Primzahl p und bezeichne
J = b0 I(0) + b1 I(1) + · · · + bn I(n).
(1.6.30)
Wir schätzen nun J sowohl nach oben und als auch nach unten ab. Einerseits gilt aufgrund
von (1.6.25) und (1.6.28)
!
!
m
m
m
m
X
X
X
X
(j)
(j)
(j)
(j)
J = b0
f (0)
f (0) + b1 e
f (0)
f (1) +
j=0
j=0
· · · + bn
=
m X
n
X
en
m
X
j=0
f (j) (0)
j=0
m
X
f (j) (n)
j=0
!
j=0
(1.6.31)
bk f (j) (k)
j=0 k=0
mit m = (n + 1)p 1 und die hier auftretenden Summanden sind einfach zu untersuchen.
Einerseits gilt für j < p und k > 0 beziehungsweise j < p 1 und k = 0 stets f (j) (k) = 0.
Damit ist aber für alle j und k mit Ausnahme von j = p 1 und k = 0 die Zahl f (j) (k) ganz
und durch p! teilbar. Für j = p 1 gilt
f (p
1)
(0) = (p
1)! ( 1)np (n!)p
und für p > n ist dies durch (p 1)!, aber nicht durch p! teilbar. Damit teilt (p
J, die Zahl p! aber nicht. Insbesondere ist J 6= 0 und damit
|J|
34
(p
1)!
(1.6.32)
1)! die Zahl
(1.6.33)
1.6 Algebraische und transzendente Zahlen
Andererseits gilt für Polynome f, g o↵enbar f g(x)  f¯(x)ḡ¯(x) und damit
f¯(k)  k 2p 1 (k + 1)p · · · (k + n)p < (2n)m ,
m = (n + 1)p
1
(1.6.34)
und somit
|J|  |b1 |ef¯(1) + · · · + |bn |nen f¯(n) < (|b1 |e + · · · + |bn |nen )(2n)m = cp
(1.6.35)
mit einer nur von e und den Zahlen b1 bis bn abhängenden Konstanten c. Das widerspricht für
p ! 1 aber der unteren Schranke (p 1)!, die ja schneller wächst. Also ist e transzendent.
Eine Bemerkung zum gezeigten Resultat. Ganz analog folgt auch, dass e⇡ transzendent ist.
Wäre e⇡ algebraisch, gäbe es ganze Zahlen b0 , . . . , bn mit
b0 + b1 e⇡ + b2 e2⇡ + · · · + bn en⇡ = 0.
(1.6.36)
J = b0 I(0) + b1 I(⇡) + b2 I(2⇡) + · · · + bn I(n⇡),
f (x) = xp 1 (x ⇡)p · · · (x n⇡)p
(1.6.37)
Setzt man nun
so folgt ganz analog die untere Schranke |J|
wiederum ein Widerspruch.
(p
1)! und eine obere Schranke |J|  cp , also
Satz 1.6.8 (Lindemann). Die Zahl ⇡ ist transzendent.
Beweis. Wir versuchen analog zum vorigen Beweis vorzugehen, müssen dazu aber etwas ausholen. Zur Definition von ⇡ verwenden wir die (hier nicht gezeigte) Eulersche Identität
ei⇡ + 1 = 0,
(1.6.38)
benötigen also insbesondere komplexe Zahlen. Wir benötigen auch einige Aussagen zu Polynomen mit komplexen ganzen Koeffizienten, diese werden wir später im nächsten Kapitel noch
beweisen.
Wäre ⇡ nun algebraisch, so auch die Zahl ✓ = i⇡. Angenommen, diese besitzt den Grad d,
es gibt also ein Polynom vom Grad d mit ganzen Gaußschen Zahlen (also aus Z + iZ) als
Koeffizienten, welches ✓ als Nullstelle besitzt. Seien ✓1 = ✓, ✓2 ,. . . , ✓d alle Nullstellen des
Polynoms und bezeichne ` den führenden Koeffizienten des Polynoms. Dann folgt
(1 + e✓1 )(1 + e✓2 ) · · · (1 + e✓d ) = 0,
(1.6.39)
da der erste Faktor ja schon Null ist. Ausmultipliziert gibt dies eine Summe von 2d Termen
der Form e⇥ mit ⇥ = ✏1 ✓1 + · · · + ✏n ✓n und ✏j 2 {0, 1}. Es sind sicher nicht alle dieser ⇥ gleich
Null. Seien ↵1 ,. . . , ↵n die von Null verschiedenen Zahlen ⇥. Dann folgt mit q = 2d n
e↵1 + · · · + e↵n + q = 0.
(1.6.40)
Wir betrachten nun wieder die Zahl
J = I(↵1 ) + I(↵2 ) + · · · I(↵n ) + qI(0),
(1.6.41)
35
1 Zahlen
wobei I(t) analog zum letzten Beweis definiert ist, allerdings für das Polynom
f (x) = `np xp 1 (x
↵1 )p · · · (x
↵n )p
(1.6.42)
mit komplexen Koeffizienten und großer Primzahl p. Analog zu vorher sieht man, dass auch
für komplexes ↵ die Abschätzung
|I(↵)|  |↵| e|↵| f¯(|↵|)
(1.6.43)
gilt. Damit folgt aus der Darstellung (1.6.25) und damit
J=
q
m
X
f
(j)
(0)
j=0
m X
n
X
f (j) (↵k )
(1.6.44)
j=0 k=1
die obere Abschätzung
|J|  |↵1 |e|↵1 | f¯(|↵1 |) + · · · + |↵n |e|↵n | f¯(|↵n |)
 (|↵1 |e|↵1 | + · · · + |↵n |e|↵n | )(2M )(n+1)p
1
 cp
(1.6.45)
mit M = maxk |↵k | und einer damit von p unabhängigen Konstanten c. Andererseits sind die
Terme
n
X
f (j) (↵k )
(1.6.46)
k=1
symmetrische Polynome mit ganzen Koeffizienten in den Variablen `↵1 bis `↵n . Diese sind
(nach dem noch zu beweisenden Hauptsatz über symmetrische Polynome) wiederum Polynome
in den elementarsymmetrischen Polynomen `↵1 + · · · + `↵n , `2 ↵1 ↵2 + `2 ↵1 ↵3 + · · · + `2 ↵n 1 ↵n
bis `n ↵1 · · · ↵n . Diese elementarsymmetrischen Polynome sind selbst wiederum symmetrische
Polynome in den Variablen ✓1 , . . . , ✓n mit ganzen Koeffizienten, also auch durch Polynome in
den zugehörigen elementarsymmetrischen Polynomen darstellbar. Diese sind aber gerade die
Koeffizienten des Ausgangspolynoms und damit nach Voraussetzung ganz. Also folgt, dass alle
Summen der Form (1.6.46) ganze Zahlen aus Z + iZ liefern.
Damit kann man wie im vorigen Beweis argumentieren, es gilt für j < p stets f (j) (↵k ) = 0
und damit ist p! ein Teiler von f (j) (↵k ) für alle j. Weiter ist f (j) (0) ganz und durch p! teilbar
solange j 6= p 1 und
f (p 1) (0) = (p 1)! ( `)np (↵1 · · · ↵n )p
(1.6.47)
ist durch (p 1)! teilbar, aber nicht durch p! falls p > |`n ↵1 · · · ↵n |. Ist nun auch p > q, so folgt
insbesondere |J| (p 1)! und wir erhalten einen Widerspruch zur oberen Schranke, wenn
wir p gegen Unendlich gehen lassen. Also ist ⇡ transzendent.
Damit haben wir gezeigt, dass die Zahlen e, e⇡ und ⇡ transzendent sind. Für die Zahl ⇡ e ist
bis heute nicht einmal bekannt, ob sie irrational ist.
36