Kreis und Winkel

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
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17.05.2009
Kreis und Winkel
Ein Kreis ist durch den Mittelpunkt M und den Radius r festgelegt.
Ein Kreis
ist durch den Mittelpunkt M
und den Radius r festgelegt.
d
M
Durchmesser: d = 2 ⋅ r
d
oder Radius: r =
2
r
Zum Kreis gehören alle Punkte,
die von M den Abstand r haben.
M
Kreisumfang
Beispiel
U = d⋅ π
d = 12,5 cm ⇒ U = 12,5 cm ⋅ π ≈ 39,27 cm
Kreisfläche
d2 ⋅ π
A = r ⋅π =
4
Beispiel
( 8,25 m )
d = 8,25 m ⇒ A =
2
4
Ein Winkel
ist durch zwei Schenkel mit
gemeinsamen Angriffspunkt
(Scheitelpunkt) festgelegt.
2
⋅π
≈ 53, 456 m2
Scheitelpunkt
nkel
Sche
α
Winkel
Sche
nkel
Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet.
Übliche Bezeichnungen sind:
α alpha
β beta
γ gamma δ delta
ε epsilon
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π pi
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Winkelarten
spitzer Winkel
0 < α < 900
α
rechter Winkel
α = 900
stumpfer Winkel
900 < α < 1800
α
gestreckter Winkel
α = 1800
Vollwinkel
α = 3600
α
α
Winkel messen
Die Maßeinheit für Winkel ist Grad. 10 = 1 Grad
Der Vollwinkel misst 3600
Unterteilungen:
1 Grad = 60 Minuten
10 = 60’
1 Minute = 60 Sekunden 1’ = 60’’
Beispiel: 120 3’ oder 74012’7’’
Winkel am spanenden Keil (Freiwinkel, Keilwinkel und Spanwinkel)
γ
β
Keil
α
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α = Freiwinkel
β = Keilwinkel
γ = Spanwinkel
Es gilt stets:
α + β + γ = 900
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Einfaches rechnen mit Winkeln
1. Den unbekannten Winkel bestimmen
α + 500 + 240 = 900 ⇒ α = 160
120 + β + 300 = 900
⇒
β = 480
2. Winkeladdition
120 30'+ 170 12' = 120 + 170 + 30'+ 12' = 290 42'
280 45'+ 160 30' = 280 + 160 + 45'+ 30' = 440 + 75' = 450 15'
160 12'36''+ 120 10'17'' = 160 + 120 + 12'+ 10'+ 36''+ 17'' = 280 + 22'+ 53'' = 280 22'53''
3. Positionskoordinaten und GPS
Jeder Punkt der Erdoberfläche ist eindeutig durch Breiten- und Längengrad
bestimmt. Der Kirchweg 1 in Duisburg liegt z.B. auf der Koordinate
N51 32.2436 E6 44.2342.
Im Internet unter http://www.gorvin.de/stadtplan/ zu finden.
Das bedeutet:
510 32,2436’ nördliche Breite und 60 44,2342’ östliche Länge.
Koordinaten in dieser oder ähnlicher Darstellung lassen sich z. B. in einen
Outdoor- GPS Navigator eingeben, welcher für seine topografische Karte oft
keine Suchfunktion für Straßen besitzt.
Manche GPS- Navigatoren verlangen die Koordinaten in einem anderen Format,
wie z. B. gg0 mm’ ss.ss’’. Dazu müssen obige Koordinaten umgerechnet werden.
Umrechnungsbeispiel:
510 32,2436 ' = 510 32 ' 60 ⋅ 0,2436 '' = 510 32 ' 14,62 ''
6 0 44,3242 ' = 6 0 44 ' 60 ⋅ 0,3242 '' = 6 0 44 ' 19, 45 ''
Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierende eines
Winkels α ist die Symmetrieachse des
Winkels.
α
α
2
α
2
Scheitelwinkel
α
Beim Schnitt zweier Geraden heißen
die gegenüberliegenden Winkel
Scheitelwinkel
β
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Scheitelwinkel sind gleich groß.
α=β
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Nebenwinkel
Beim Schnitt zweier Geraden heißen
nebeneinanderliegende Winkel
Nebenwinkel
α
β
Nebenwinkel ergänzen sich zu 1800
α + β = 1800
Stufen – und Wechselwinkel
β
β
Wechselwinkel
α
Stufenwinkel
α
α=β
α=β
An parallelen Geraden sind Stufenwinkel und Wechselwinkel gleich groß.
Winkelsumme am Dreieck
C
In jedem Dreieck beträgt die
Winkelsumme 1800
γ
a
b
α + β + γ = 1800
β
α
A
c
B
Winkelsumme am Viereck
D
In jedem Viereck beträgt die
Winkelsumme 3600
δ
C
γ
α
A
α + β + γ + δ = 3600
β
B
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Winkelsumme im Fünfeck:
Ein Fünfeck kann in ein Dreieck und ein Viereck zerlegt werden
⇒ Winkelsumme = 5400
Winkelsumme im Sechseck:
Ein Sechseck kann in zwei Vierecke zerlegt werden
⇒ Winkelsumme = 7200
Winkelsumme in einem n – Eck:
Winkelsumme = ( n − 2 ) ⋅ 1800
( n gibt die Anzahl der Ecken an )
Besondere Dreiecke:
C
gleichschenkliges Dreieck
γ
a=b⇒α=β
β
α
A
d.h. die Basiswinkel sind gleich
a
b
B
c
C
gleichseitiges Dreieck
γ
a
b
α
A
a=b=c⇒α=β=γ
d.h. alle Winkel sind gleich 600
β
c
B
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