Seminar - Aufgaben 1. Der Radius einen Kreises hat gleichmäßge

Seminar - Aufgaben
1. Der Radius einen Kreises hat gleichmäßge Verteilung in dem Intervall [a, b], 0 < a < b. Man
finde die Verteilung: (a) des Kreisumfanges; (b) der Kreisfläche.
2. Ein Teilchen bewege sich taktweise auf den ganzen Zahlen Z, und zwar springe es mit
Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) einen Schritt nach rechts und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p einen
Schritt nach links. Die Sprünge zu verschiedenen Zeitpunkten erfolgen unabhängig voneinander.
Das Teilchen startet zum Zeitpunkt n = 0 im Nullpunkt. Man bezeichne mit Xn die Koordinate
des Teilchens zur Zeit n ≥ 0.
a) Bestimmen Sie P (Xn = k) für k ∈ Z.
b) Es sei n = 2m eine gerade Zahl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen
sich zu diesem Zeitpunkt wieder im Startpunkt 0 befindet?
3. Eine Glühbirne in einer Notbeleuchtung ist ununterbrochen in Betrieb bis sie ausfällt. Die
Zufallsvariable X, durch die die Lebensdauer (in Stunden) von Glühbirnen modelliert wird, sei
exponentialverteilt mit Parameter λ = 1/6000.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne mindestens 6000 Stunden funktioniert?
(b) Eine Glühbirne sei bereits 3000 Stunden in Betrieb. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sie noch weitere 3000 Stunden nicht ausfällt?
4. Die Koeffizienten A und B einer quadratischen Gleichung
x2 + Ax + B = 0
werden rein zufällig und unabhängig aus dem Intervall [−1; 1] ausgewählt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat?
5. An einem bestimmten Wochentag kaufen zwei Freundinnen (M. und N.) in demselben Laden
ein. Sie kommen unabhängig voneinander in den Laden. M. bleibt 15 Minuten im Laden und
N. 10 Minuten. Wenn beide Freundinnen zwischen 8 und 9 Uhr einkaufen, welches ist die
Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses (A), dass beide Freundinnen gleichzeitig im Laden
sind?
6. An einer Station fahren Busse in Richtung A alle 15 Minuten, beginnend um 7.00 Uhr, und
Busse in Richtung B alle 20 Minuten, beginnend um 7.07 Uhr. Wenn ein Fahrgast zufällig zu
einer gleichverteilten Zeit zwischen 7.00 Uhr und 8.00 Uhr Station erreicht und in den nächsten
Bus einsteigt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er einen Bus in Richtung A nimmt? Aus
Vereinfachungsgründen geben wir den Zeitpunkt an dem der Fahrgast den Bahnsteig erreicht in
fortlaufenden Minuten an, X ist gleichmäßig verteilt auf [0, 60].
7. Um einen Test zu bestehen, muss ein Student von 10 Fragen mindestens 7 richtig beantworten.
Die 10 Fragen für den Test werden aus 50 Fragen zufällig (und ohne Wiederholung) ausgewählt.
Die 50 Fragen sind dem Studenten im Vorab bekannt. Von diesen 50 Fragen kann der Student 30
richtig beantworten, die restlichen 20 beantwortet er falsch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass der Student den Test besteht?