Tank

Wärme, Tank
In einem Tanklager soll ein zylinderförmiger vollständig
geschlossener Tank mit 60.000 l Olivenöl (α = 9,5·10-4/K)
befüllt werden. Bei der Befüllung herrschen Temperaturen
von 5°C innerhalb und außerhalb des Tanks. Während der
geplanten Lagerzeit des Olivenöls im Tank ist mit einem
Temperaturanstieg auf 25°C zu rechnen.
a)
Der Lagermeister schätzt, dass das Tankvolumen
Lösungsidee Lösung
etwa 63.000 l betragen müsste. Die Maße des
Tanks betragen: Durchmesser d = 2,83 m und Höhe
h = 10 m.
Hat der Lagermeister das Tankvolumen richtig
geschätzt?
b)
Darf der sonst vollständig geschlossene Tank mit
Lösungsidee Lösung
den 60.000 l Olivenöl befüllt werden und eine
Temperatur von 25°C erreichen? Vernachlässigen
Sie dabei die temperaturbedingte Ausdehnung des
Tanks.
c)
Angenommen, Sie haben keinen anderen Tank zur
Lösungsidee Lösung
Verfügung und können den Tank zwar entlüften,
aber austretendes Öl nicht auffangen. Ab welcher
Temperatur wird die Situation im Tank kritisch?
Häufig gemachte Fehler
zum Anfang der Aufgabe
Bild
Wärme, Tank
1
Lösungsidee a):
Das Volumen des Tanks muss berechnet werden. Da der Tank ein
Zylinder ist, gilt Formel (1)
V Zylinder = A⋅h
2
d ⋅
V Zylinder =
⋅h
4
mit:
V
A
h
d
(1)
:
:
:
:
Volumen des Tanks in m³
Grundfläche des Zylinders in m
Höhe des Zylinders im m
Durchmesser des Zylinders in m
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Wärme, Tank
Lösung
2
Lösungsidee b):
Durch die Erwärmung des Öls wird sich sein Volumen vergrößern. Da
der Tank ein geschlossenes Volumen hat, ist nur eine begrenzte
Ausdehnung möglich. Die Volumenänderung des Olivenöls kann mit
Formel (2) berechnet werden.
(2)
 V =V⋅3 ⋅ T
mit:
ΔV
V
α
ΔT
:
:
:
:
Volumenänderung in m³
Volumen des Körpers in m³
Längenausdehnungskoeffizient in 10-6/K
Temperaturdifferenz in K
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Wärme, Tank
Lösung
3
Lösungsidee c):
Die Temperatur kann mit Hilfe von Formel (3) berechnet werden.
(3)
 V =V⋅3 ⋅ T
mit:
ΔV
V
α
ΔT
:
:
:
:
Volumenänderung in m³
Volumen des Körkers in m³
Längenausdehnungskoeffizient in 10-6/K
Temperaturdifferenz in K
Diese Formel muss nach ΔT umgeformt werden.
T=
V
V⋅3
(4)
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Wärme, Tank
Lösung
4
Lösung a):
Gegeben: d =2,83 m
h=10 m
Gesucht: V Tank
Ansatz:
d 2⋅
V Zylinder =
⋅h
4
(5)
Der Tank ist zylinderförmig, somit ist für die Volumenberechnung des
Tanks die Formel (5) für das Volumen eines Zylinders zu verwenden.
V Zylinder = A⋅h
d 2⋅
V Zylinder =
⋅h
4
 2,83 m2⋅
V Zylinder =
⋅10 m
4
V Zylinder =62,9 m3=62900 L
(6)
Ergebnis: Der Lagermeister hat sich um 100 l verschätzt. Der Tank hat nur ein
Volumen von 62.900 l.
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Wärme, Tank
5
Lösung b):
Gegeben: =9,5⋅10−4 / K
V Tank =62.900 L
V Öl =60.000 L
 T =T 2−T 1=25 ° C−5 ° C=20 K
Gesucht:  V Öl
Ansatz:
(7)
 V =V⋅3 ⋅ T
Um heraus zu finden ob der Tank für die 60.000 l Öl ausreicht, muss
die Volumenänderung des Öls bei einem Temperaturanstieg von
ΔT = 20°C berechnet werden.
 V Öl =V Öl⋅3 ⋅ T
 V Öl =60.000 L⋅3⋅9,5⋅10−4 / K⋅20 K
 V Öl =3.420 L
(8)
Aus der Volumenänderung und dem vorherigen Volumen ergibt sich
das Gesamtvolumen des Olivenöls bei 25°C.
V bei25 ° C =V bei 5 ° C  V
V bei25 ° C =60.000 L3.420 L
V bei25 ° C =63.420 L
(9)
Der Tank fasst 62.900 l und das Gesamtvolumen des Öls bei 25°C
beträgt 63.420 l.
Ergebnis: Der Tank darf nicht mit 60.000 l Olivenöl befüllt werden, da 520 l Öl
bei einer Temperaturerhöhung von 5°C auf 25°C überlaufen würden.
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Wärme, Tank
6
Lösung c):
Gegeben: V Tank =62.900 L
V Öl =60.000 L
=9,5⋅10−4 / K
Gesucht:  T
Ansatz:
(10)
 V =V⋅3 ⋅ T
Das Volumen des Olivenöls darf auch bei Ausdehnung das Volumen
des Tanks von 62.900 L nicht überschreiten. Die maximale
Ausdehnung des Öls ist somit ΔV = 2.900 l.
Die Formel (10) muss nach ΔT umgestellt werden.
T=
V
V⋅3
(11)
2900 L
60000 L⋅3⋅9,5⋅10−4 / K
 T =17 K
T=
Um die Temperatur zu bestimmen muss ΔT zu der Abfülltemperatur
hinzu addiert werden.
5° C 17° C =22 ° C
(12)
Ergebnis: Die Temperatur darf 22°C nicht überschreiten, da sonst der Tank
überlaufen würde.
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Wärme, Tank
7
Häufig gemachte Fehler:
●
Flächenberechnung aus dem Durchmesser d (d²/4)
●
Berechnung und Verwendung der Temperaturdifferenz ΔT
●
Einheit der Temperaturdifferenz ΔT ist °C oder K, der Zahlenwert bleibt
gleich
●
Einheit des Längenausdehnungskoeffizienten a ist 1/K
Wärme, Tank
8