Tropische analytische Geometrie und die Bogomolov

Tropische analytische Geometrie und die Bogomolov-Vermutung
1. Bewertungen
Absolutbeträge
Definition
Ein Absolutbetrag auf dem Körper K ist eine Norm | |, die multiplikativ
ist:
|αβ| = |α| · |β|
Definition
Eine diskrete Bewertung ist eine surjektive Funktion v : K → Z ∪ {∞}
mit
v (α) = ∞ ⇐⇒ α = 0,
v (α + β) ≥ min{v (α), v (β)},
v (αβ) = v (α) + v (β).
Für c ∈ (0, 1) ist |α| := c v (α) ein Absolutbetrag.
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1. Bewertungen
Beispiele
Beispiel
Der übliche Betrag | |∞ auf Q, R oder C ist nicht diskret.
Beispiel
Sei p Primzahl. Jedes α ∈ Q∗ hat die Form α = p n vu mit n, u, v ∈ Z so,
dass p, u, v paarweise teilerfremd. Dann definiert vp (α) := n eine diskrete
Bewertung mit Absolutbetrag |α|p := p −vp (α) .
Beispiel
p(x)
| p(x), q(x) ∈ C[x], q(x) 6= 0} der Körper der rationalen
Sei C(x) := { q(x)
Funktionen. Für α :=
p(x)
q(x)
6= 0 haben wir folgende diskrete Bewertungen:
v∞ (α) := deg(q(x)) − deg(p(x)), |α|∞ := e −v∞ (α)
vz (α) := ordz (p(x)) − ordz (q(x)) für fixes z ∈ C, |α|z := e −vz (α)
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1. Bewertungen
p-adische Zahlen
Theorem
Für K = Q oder C(x) erhalten Q
wir so alle Absolutbeträge bis auf Potenzen
und es gilt die Produktformel v |α|v = 1 für alle α ∈ K \ {0}, wobei v
die Menge der Primzahlen (bzw. C) und ∞ durchläuft.
Definition
Sei p Primzahl. Dann heißt die Vervollständigung Qp von Q bzg. | |p der
Körper der p-adischen Zahlen.
P
k
Zum Beispiel ist ∞
k=0 2 eine 2-adische Zahl.
Theorem (Hasse-Prinzip 1921)
Für q(x) =
P
i,j
aij xi xj ∈ Q[x1 , . . . , xn ] ist äquivalent:
q(x) hat eine Nullstelle in Qn \ {0};
q(x) hat eine NS in Qnp \ {0} für p prim oder ∞.
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2. Tropische analytische Geometrie
Tropische algebraische Geometrie
Sei v diskrete Bewertung auf K , T = (K ∗ )n .
val : T → Rn ,
val(x1 , . . . , xn ) = (v (x1 ), . . . , v (xn ))
Definition
Für eine algebraische Untervarietät X von T wird der Abschluss von
val(X ) in Rn mit trop(X ) bezeichnet und heißt die tropische Varietät zu
X.
Theorem (Einsiedler, Kapranov, Lind)
Für d = dim(X ) ist trop(X ) eine zusammenhängende endliche
Vereinigung von d-dimensionalen Polyedern.
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2. Tropische analytische Geometrie
Beispiele
Abbildung: Ebene Kegelschnitte
Abbildung: Ebene biquadratische Kurven
Abbildung: Ebene Kubiken