Formale Logik

Formale Logik
Aussagen werden in den Naturwissenschaften und in
der Informatik unter Anwendung von genau definierten
logischen Operatoren miteinander verknüpft.
Aussagen können dabei nur entweder wahr oder falsch
sein (1 bzw. 0) – jede Aussage speichert also 1 Bit an
Information.
Technisch werden diese Operatoren in Form von auf
eine den logischen Operatoren entsprechende Schaltung
von Transistoren in einem Chip realisiert – hier spricht
man von logischen Gattern.
Logische Operatoren und
Wahrheitswertetabellen
•
Negation
→ NICHT-Gatter: ¬ A (''nicht A'')
•
Konjunktion
→ UND-Gatter:
•
Disjunktion
→ ODER-Gatter:
Einfache
Aussagen A, B
A∧B (''A und B'')
A∨B (''A oder B'')
Durch logische Operatoren verknüpfte Aussagen
Aufgaben zur Vorlesung 'Mathematik für Informatiker' (Prof. Dr. Wolff, Tübingen) *)
•
Fertige einen stichwortartigen Mitschrieb an.
Nach der Vorlesung zu bearbeiten:
1 Sei A eine Aussage. Zeige, dass die doppelte Negation
¬(¬ A) äquivalent zu A ist.
Tipp: Stelle die Wahrheitswertetabelle auf.
Bemerkung: Dass die doppelte Verneinung äquivalent ist zur Aussage selbst, ist umgangssprachlich nicht
immer ganz klar. Das liegt unter anderem daran, dass schon die Verneinung umgangssprachlich komplizierter
ist, als man annimmt. Hier ein Beispiel: “Denken Sie jetzt bitte nicht an einen rosa Elefanten mit blauen
Pünktchen!” Woran denken Sie jetzt? Manche drücken das so aus: “Die Seele kennt keine Verneinung”.
2
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
•
•
•
•
Wenn eine natürliche Zahl n durch 4 teilbar ist, dann ist sie auch durch 2 teilbar
Teilbarkeit durch 4 ist hinreichend für Teilbarkeit durch 2
Teilbarkeit durch 2 ist notwendig für Teilbarkeit durch 4
Teilbarkeit durch 4 ist notwendig für Teilbarkeit durch 2
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3
Zeige: Die Aussage “Wenn es regnet, wird der Wald nass” ist logisch äquivalent zur Aussage “Bleibt
der Wald trocken, regnet es nicht”.
Tipp: Aussage A: “Es regnet”, Aussage B: “Der Wald wird nass”. Baue alle Aussagen der Aufgabe (z.B. mit
Negation) aus diesen Aufgaben auf.
4
Vollziehe im Heft das Ergebnis der verknüpften Aussage in der letzten Spalte der Tabelle auf diesem
Blatt nach (nachrechnen!).
5
Zeige, dass die folgenden Aussagen logisch äquivalent sind, also die gleichen Werte in der
Wahrheitswerttabelle besitzen:
(a)
(¬( A∧ B)) ist logisch äquivalent zu ((¬ A)∨(¬ B))
(b)
(¬( A∨ B)) ist logisch äquivalent zu ((¬ A)∧(¬ B))
5
Fertige einen ca. 1/2-seitigen Heftaufschrieb an, der die Unterscheidung des nicht-exklusiven Oders
vom exklusiven Oder verdeutlicht (Internetrecherche ist erlaubt).
*)
Die Vorlesung ist hier nachzuhören:
http://timms.uni-tuebingen.de/Browser/Browser01.aspx?path=%2fUniversit%C3%A4t+T%C3%BCbingen%2fMathematischNaturwissenschaftliche+Fakult%C3%A4t%2fMathematik%2fVorlesung+Mathematik+I+WiSe+2002-2003%2f
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