LTG 07 Geometrie

Grundwissenkatalog / g8
Geometrie / 7. Jahrgangsstufe
Die folgende Aufstellung enthält mathematische Grundfertigkeiten, die ein Schüler nach der 7.
Jahrgangsstufe beherrschen sollte. Dieses Wissen wird in den folgenden Jahren im Unterricht erwartet und
als Grundlage vorausgesetzt, kann deshalb nicht noch einmal wiederholt werden.
Symbole und Bezeichnungen
geometrische Objekte
Punkt
A, B, C, ...
Punktmengen
Gerade durch 2 Punkte
g = AB, h = BC
Strecke mit Anfangspunkt A und Endpunkt B s = [AB]
Länge der Strecke AB
ℓ = AB
Halbgerade durch B mit Anfangspunkt A
h = [AB[
Winkel mit S als Scheitel, A und B auf je
α =
<) (ASB)
einem Schenkel
Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r
k(M; r)
Dreieck ABC
∆ (ABC)
Abstand eines Punktes A von einer Geraden g d(A; g)
Mengensymbole
A liegt auf g
A∈g
Zur Beschreibung geometrischer
Zusammenhänge
Schnitt
Punkt A liegt auf g und auf h
g ∩h
A ∈g∧A∈h
Vereinigung
Punkt A liegt auf g oder h (oder auf beiden)
g ∪h
A∈g ∨A ∈h
A ist Teilmenge von B
Jeder Punkt aus A liegt auch in B
A ⊆B
A ist echte Teilmenge von B
Jeder Punkt aus A liegt in B, aber es gibt
noch
Punkte in B, die nicht in A liegen
A ⊂B
Analog:
A
A ist Obermenge von B:
B
A ⊇B
A ist echte Obermenge von B: A ⊃ B
Aussagenlogik
LTG
A1 ∧ A2
und
A1 und A2 müssen gleichzeitig erfüllt
sein, siehe Schnitt
A1 ∨ A2
oder
A1 oder A2 (oder beide) müssen erfüllt
sein, siehe Vereinigung
¬ A1
nicht
A1 darf nicht erfüllt sein
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1/5
A1 ⇒ A2
daraus folgt
Aus A1 folgt A2
A1 ⇔ A2
genau dann
Aus A1 folgt A2 und aus A2 folgt A1
Klassifizierung von Winkeln
0° ≤ α < 90°
α = 90°
90° < α < 180°
α = 180°
180° < α < 360°
α = 360°
spitzer Winkel
rechter Winkel
stumpfer Winkel
gestreckter Winkel
überstumpfer Winkel
Vollwinkel
Grundkonstruktionen
Lot auf eine Gerade durch einen Punkt
Mittelsenkrechte
Winkelhalbierende
Parallele zu einer Geraden (zwei Lote)
Dreiecke
gleichschenklig: zwei Seiten des Dreiecks sind gleich lang
Besondere Dreiecke
rechtwinklig: das Dreieck besitzt einen rechten Winkel
gleichseitig: alle drei Seiten des Dreiecks sind gleich lang
hc: Höhe, verläuft durch die Ecke C und steht senkrecht auf der
gegenüberliegenden Seite c
(im stumpfwinkligen Dreieck liegt die Höhe außerhalb)
Größen im Dreieck
sb: Seitenhalbierende, verläuft durch A und den Mittelpunkt der
Seite b
mb: Mittelsenkrechte, verläuft durch den Mittelpunkt der Strecke b
und steht senkrecht auf b
wα : Winkelhalbierende des Winkels α .
8
7
7
6
C
6
5
4
5
b
90 °
hc
mb
LTG
α
1
-1
90 °
sb
-2
2
3
4
5
6c
7
10 11
B
A
-1
B
c
1
sb
wα
mb
2
90 °
8
9
hc
3
wα
2
A
-2 -1
b
90 °
4
3
1
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
Grundwissenkatalog Geometrie / 7. Jahrgangsstufe
2/5
Sätze im Dreieck
Winkelsumme
Winkelsumme im Dreieck: α + β + γ = 180°
Umkreis
Die Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt, dies ist
der Mittelpunkt des Umkreises.
Inkreis
Die Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dies
ist der Mittelpunkt des Inkreises.
Schwerpunkt
Höhenschnittpunkt
Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dies
ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
Die Höhen schneiden sich in einem Punkt. Bei
spitzwinkligen liegt der Schnittpunkt im Dreieck, bei
rechtwinkligen auf dem Dreieck, bei stumpfwinkligen
außerhalb.
Gleichschenkliges Dreieck
Wenn a und b gleich groß sind, heißt c Basis, α und β
Basiswinkel.
8
C
7
a=b
6
α = β
5
a
b
4
hc = sc = wγ
3
hc
63 °
2
63 °
90 °
1
1
2
3
4
5
6
7
Höhe, Seitenhalbierende,
Winkelhalbierende fallen zusammen
Das Dreieck ist achsensymmetrisch mit hc
als Symmetrieachse
B
A
-1
Dreieck gleichschenklig
⇔
Basiswinkel sind gleich groß
8
-1
Gleichseitiges Dreieck
a = b = c
Dreieck gleichseitig
⇔
α = β = γ = 60° Alle drei Winkel sind gleich groß.
C
7
6
60 °
5
b
4
hc = sc = wγ = mc
a
Höhe, Seitenhalbierende,
Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte
fallen zusammen
3
1
60 °
60 °
2
1
2
3
4
Rechtwinkeliges Dreieck
Das Dreieck ist achsensymmetrisch mit
allen drei Höhen (Mittelsenkrechten ...)
als Symmetrieachse.
B
c
A
5
6
7
8
Wenn γ = 90° , dann heißt c Hypothenuse, a und b heißen
Katheten
γ = 90°°
Dreieck rechtwinklig
⇔
ha und hb sind die beiden Katheten (Seiten) des Dreiecks
LTG
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3/5
6
C
Satz von Thales (gilt nur im rechtwinkligen Dreieck)
5
90 °
γ = 90° ⇔ C liegt auf dem Halbkreis über [AB]
4
b
a
3
53 °
2
37 °
1
A
1
2
3
B
c
5
4
6
7
8
9
10
11
-1
Außenwinkelsatz
7
6
γ
5
136 °
Außenwinkel α’ = β + γ
4
α'
3
α
2
70 °
β
1
-2
In jedem Dreieck ist jeder Außenwinkel so groß wie die
Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
66 °
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
Kongruenzsätze
SSS – Satz
6
Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in
allen drei Seiten übereinstimmen.
C
5
4
Andere Formulierung:
γ
b
α
2
A
1
-1
Wenn alle drei Seiten gegeben sind, kann man ein Dreieck
eindeutig konstruieren
a
3
β
c
1
2
3
4
5
6
Gegeben: a, b, c
B
8
7
9
SWS – Satz
6
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und
dem dazwischenliegenden Winkel übereinstimmen.
C
5
4
γ
b
α
2
A
1
-1
Gegeben: a, b, γ
a
3
β
c
1
2
3
4
5
6
7
B
8
9
-1
LTG
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4/5
WSW – Satz oder SWW – Satz
6
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Winkeln
und einer Seite übereinstimmen.
C
5
4
γ
b
α
2
A
1
-1
Gegeben: α, b, γ
a
3
β
c
1
2
3
4
5
6
B
8
7
-1
SsW – Satz
6
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und
dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel
übereinstimmen.
C
5
4
γ
b
a
3
-1
Gegeben: c, b, γ
α
2
A
1
β
c
1
2
3
4
5
6
B
8
7
9
-1
Winkel an Geraden
Schnitt zweier Geraden
Scheitelwinkel sind gleich groß
4
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
3
136 °
44 °
2
44 °
136 °
1
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
Wenn g || h, dann gilt:
Doppelkreuzung
Stufenwinkel sind gleich groß
(hier: 134° , blau)
4
46 °
3
134 °
2
46 °
LTG
h
1
-1
Wechselwinkel sind gleich groß
(hier: 46° , rot)
134 °
1
-1
g
2
3
4
5
6
7
8
Umgekehrt:
Wenn Stufenwinkel (wenn Wechselwinkel) gleich groß sind,
dann gilt g || h.
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