Erweiterte Beispiele 01 1/1 Vermessungsaufgaben Vor dem
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Erweiterte Beispiele 01 1/1 Vermessungsaufgaben Vor dem Bau eines Tunnels sollen seine Länge BC und der Steigungswinkel M bestimmt werden. Zu diesem Zweck steckt man beiderseits des Berges 2 horizontale Standlinien AB = 400m und CE = 500m ab. Das am Berggipfel aufgestellte Signal S ist vom Tunneleingang C nicht sichtbar. Geht man von C 150m in Richtung E, so sieht man von diesem Punkt D das Signal unter dem Höhenwinkel 28,9°. Die übrigen Höhenwinkel zu S sind: von A aus 19,7°, von B aus 40,5° und von E aus 16,7°. Alle Punkte liegen in einer Vertikalebene. Berechne die benötigten Größen! Lösung: BC = 555,64 m; M = 1,7° Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 02 1/1 Vermessungsaufgaben Zwei Flugzeuge fliegen vom selben Flugplatz ab. Das Erste fliegt mit einer mittleren Geschwindigkeit von v1 = 870 km/h in Richtung S 19° O. Das Zweite startet 10 Minuten später und fliegt mit einer mittleren Geschwindigkeit v2 = 750 km/h in Richtung S 64° W. Wie weit sind die beiden Flugzeuge 45 Minuten nach dem Start des Ersten voneinander entfernt? Aus welcher Richtung empfängt das erste Flugzeug das Funksignal des Zweiten? Lösung: Entfernung 740 km; Funksignal aus N 55°W Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 03 1/1 Vermessungsaufgaben Bei einem Geländespiel soll von einem Punkt A aus ein Punkt C erreicht werden. Es werden folgende Anweisungen gegeben: Von A aus wird in Richtung W 12,5°N nach 2 km ein Punkt B erreicht. Von B aus gelangt man nach 3 km in Richtung N 48,2°O bis zum Punkt C. Eine Gruppe hält sich nicht an die Anweisungen und wählt den Direktweg von A nach C. Um wieviel km ist der Direktweg kürzer und welche Richtung muss eingeschlagen werden? Lösung: um 2,6km kürzer; Richtung N 6,7° O Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 04 1/1 Vermessungsaufgaben Von den Berggipfeln A und B kann man einen zwischen ihnen im Tal markierten Punkt C anvisieren, der mit A und B in einer Vertikalebene liegt. Von A aus erscheint C unter dem Tiefenwinkel D = 20,3°. Die Tiefenwinkel von B nach A und C betragen E = 12,7° und J = 32,6°. Der Gipfel B hat die Meereshöhe 1982m. Der Talpunkt C 654m. Berechne die Meereshöhe des Berggipfels A! Lösung: 1188m Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 05 1/1 Vermessungsaufgaben Von einem Punkt P aus erscheint eine Turmspitze A unter dem Höhenwinkel D = 18,45°. Die Turmspitze A wird von einer genau dahinterliegenden 2. Turmspitze B überragt. Der zu B gemessene Höhenwinkel ist um E = 6° größer. Nähert man sich den Türmen um s = 150m, so überdecken einander die Spitzen und erscheinen unter einem Höhenwinkel von J = 42,5°. Wie groß ist der Höhenunterschied der Türme und ihre horizontale Entfernung voneinander? Lösung: 56,7m; 61,8m Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 06 1/1 Vermessungsaufgaben Zwei Schornsteine sind gleich hoch. Eine Person, die in C auf der Verbindungsstrecke AB der Fußpunkte der Schornsteine steht, erblickt die Spitze des näher liegenden Schornsteins unter dem Höhenwinkel 60°. Nachdem sie 30m auf einer zu AB senkrechten Geraden seitwärts nach D gegangen ist, sieht sie die Schornsteinkronen unter den Höhenwinkeln von 45° bzw. 30°. Wie hoch sind die Schornsteine und wie weit sind sie voneinander entfernt? Lösung: 36,7m; 77,3m Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 07 1/1 Vermessungsaufgaben Die Längenausdehnung eines Sees wird von einer 520 m über dem See gelegenen Messstation bestimmt. Punkt A wird unter einem Tiefenwinkel von 21,3° anvisiert. Nach Schwenken des Messinstruments um einen Horizontalwinkel von 83,4° erscheint der am anderen Ende des Sees gelegene Punkt B unter einem Tiefenwinkel von 26,5°. Bestimme die Länge des Sees, wobei noch eine Instrumentenhöhe von 1,4m zu berücksichtigen ist! Lösung: 1600m Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 08 1/1 Vermessungsaufgaben Von der Spitze eines 62m hohen Berges sieht man den Punkt A unter dem Tiefenwinkel D = 24,2° und nach dem Schwenken des Fernrohres um den Horizontalwinkel G = 76,4° den Punkt B unter dem Tiefenwinkel E = 29,9°. Ermittle die Entfernung AB ! (Instrumentenhöhe 1,5m) Lösung: 157,5m Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 09 1/1 Vermessungsaufgaben Ein Grundstück hat die Form eines Vierecks ABCD: AB = 200m, BC = 160m, CD = 320m, DA = 120m, <BAD = 124,8°. Berechne den Flächeninhalt dieses Grundstücks! Die Diagonalen AC und BD teilen das Viereck in zwei Dreiecke. Mit welcher Diagonale lässt sich das flächengrößte Dreieck abtrennen? Berechne den Flächeninhalt dieses größten Dreiecks! Lösung: AABCD = 32699m²; mit BD; ADBC = 22846m² Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 10 1/1 Vermessungsaufgaben Die Ameise Julia, die im kartesischen Koordinatensystem im Ursprung O(0/0) wohnt, will ihre Tante besuchen. Ihre Wegstrecke ist dabei in einem Winkel von 26,5° gegen die positive x-Achse geneigt. Auch die Ameise Romeo aus R(10/-1) will ihren Onkel, der in P(4/8) wohnt, auf kürzestem Weg besuchen. Julia und Romeo richten es nun so ein, dass sie einander begegnen. Berechne die Koordinaten des Treffpunktes T sowie die Entfernung des Punktes T vom Ursprung, ohne den Satz des Pythagoras zu verwenden! Lösung: T(7,0/3,5); Entfernung 7,8 Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 11 1/1 Vermessungsaufgaben Z Beim Diskuswurf wirft der Sportler die Scheibe meist an der Stelle A des Wurfkreises ab, verfehlt aber oft die Zielrichtung (vgl. Skizze). Internationale Sportregeln bestimmen, das nicht die tatsächliche Wurfweite w1 = AZ , sondern w2 = BZ gewertet wird. Z ist der Punkt, an dem der Diskus den Boden berührt. Wie viele Zentimeter werden dadurch bei einer tatsächlichen Wurfweite w1 = 40m und einem Winkel D = 22° „verschenkt“? (Kreisradius r = 1,25m) Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 B w2 W1 M r A D Trigonometrie Erweiterte Beispiele 12 1/1 Winkelfunktionen Gegeben sind folgende Funktionen: tan x , §1 · y 2( x) tan¨ x ¸ , ©2 ¹ §1 · y3( x) 2 tan¨ x ¸ ©2 ¹ y1( x) i Bestimme die Definitionsmenge der drei Funktionen! i Überprüfe folgende Eigenschaften: Wertemenge, Extrema, Nullstellen, Symmetrie, Periodizität, Monotonie! i Beschreibe kurz, wie der Graph von y3(x) aus den beiden anderen Graphen hervorgeht! Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 13 1/1 ª § S ·º Gegeben ist die Funktion f ( x) 1,5 sin «2 ¨ x ¸» 3 ¹¼ ¬ © Winkelfunktionen mit xR ¾Bestimme die Periodenlänge und die Wertemenge von f! ¾Bestimme alle Extrema und alle Nullstellen der Funktion! ¾Vergleiche die Funktion mit der Funktion g(x) = sin(x)! Welche Unterschiede bemerkst du und wie entsteht f(x) aus g(x)? Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 14 1/1 Funktionen Gegeben sind die beiden Kurven k1: y = 1 + cos x (0 d x d S) und 16 16 · § x ¨0 d x d ¸ k2 : y 9 9¹ © sowie die Dichte von Glas UGlas = 2,5 a) Fertige eine Skizze der beiden Kurven an! b) Wie schwer ist ein hohler Glaskörper, der durch Drehung der beiden Kurven um die xAchse entsteht? c) Berechne die Schnittfläche, die bei einem Achsialschnitt dieses Glaskörpers entsteht! Lösung: m = 24,599; A = 3,12 Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 15 1/1 Vermessungsaufgaben Vom Wohnzimmerfenster F eines Hauses sieht man auf gegenüberliegenden Hang, die entlang einer Höhenlinie verläuft. eine Straße am a) Ein ebenerdiges Bauernhaus B und eine Kapelle K liegen direkt an der Straße und sind 250 m voneinander entfernt. Ein Fenster von B erscheint unter einem Höhenwinkel von 8,5° und das Fenster von K unter 9,3° von F aus gesehen. Der Sehwinkel BFK ist 66,1°. Wie weit ist B bzw. K von F entfernt (Luftlinie) ? b) Nahe bei F liegt ein Teich T in derselben Blickrichtung (Vertikalebene) zu B. Unter günstigen Bedingungen spiegeln sich die Lichter von B im Wasser (Tiefenwinkel 10,2° von F aus). Wie weit ist T von F entfernt und wie tief liegt der Teich unterhalb des Fensters? Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 16 1/2 Vermessungsaufgaben Eine Mathematikstudentin geht hinter einem Mann mit interessanten Stiefeln her. In welchem Abstand kommen die Stiefel am besten zur Geltung, wenn die Stiefel b Meter hoch sind und die Augenhöhe der Studentin c Meter beträgt? Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: x Summensatz x Extremwert berechnen Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 16 Lösung: 2/2 Vermessungsaufgaben C E H D c X Y x A B x Im rechtwinkeligen Dreieck ABC gilt: tan D XYC: tan E b x und analog im rechtwinkeligen Dreieck c x . cb Weiters gilt der Summensatz für den Tangens: tan E D tan E tan D . 1 tan D tan E tan E tan D . Ersetzt man nun tan(D) und tan(E) wie 1 tan D tan E oben angegeben, so erhält man den schwarz unterlegten Ausdruck: Daraus folgt: tan(H)= tan E D Dieser wird vom TI gleich bei der Eingabe vereinfacht. Da der Winkel H maximal werden soll (und damit auch der tan(H)), definiert man eine Funktion f(x) wie links abgebildet. Anschließend bildet man die 1. Ableitung und setzt sie Null. Das Ergebnis lautet x b c c . Da der Ausdruck (b-c) negativ ist und mit –c multipliziert wird, ist die Wurzel definiert. Die Überprüfung in der 2. Ableitung ergibt einen negativen Wert, sodass tatsächlich ein Maximum vorliegt. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 17 1/2 Vermessungsaufgaben Eine Straßenlampe, die an einem Mast in h = 3,5m Höhe ist, beleuchtet einen Fußweg, der um H = 11° gegen die Horizontale geneigt ist. Der Lichtkegel ist lotrecht nach unten gerichtet und hat einen Öffnungswinkel von D = 120°. a) Gib eine Formel für die Berechnung der Länge s der beleuchteten Wegstrecke in Abhängigkeit von h, D und H an und berechne s dann für die gegebenen Werte. b) Wie groß müsste h sein, damit bei einem Öffnungswinkel von D = 120° eine Wegstrecke von 18m ausgeleuchtet wird? c) Wie groß müsste der Öffnungswinkel D sein, damit bei einer Laternenhöhe von 3,5m das beleuchtete Wegstück, das tiefer als der Laternenfußpunkt liegt, um 60% größer ist als bei D = 120° ? Um wieviel Prozent nimmt in diesem Fall die beleuchtete Weglänge oberhalb des Laternenfußpunktes zu? Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: x Sinussatz x Prozentrechnung Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Erweiterte Beispiele 17 2/2 Vermessungsaufgaben Lösung: 2 2 h B y H H A X x H a) Durch Anwenden des Sinussatzes im Dreieck XBC erhält man: (**) y §D · sin¨ ¸ ©2¹ h D § · sin¨180 90 H ¸ 2 © ¹ und analog für das Dreieck AXC: (*) x §D · sin¨ ¸ ©2¹ h D § · sin¨180 90 H ¸ 2 © ¹ Daraus ergibt sich die Formel für s: ¯ ¡ ° B ¬¡ ° 1 1 + s = h ¸ sin ­­­ ¡ ° 2 ® ¡ B¬ B ¬° ¡ sin 90 + F ­­­ sin 90 F ­­­ ° 2® 2 ® °± ¡¢ Für die angegebenen Werte erhält man s = 13,93m. b) Durch Eingabe der obigen Formel mit den gegebenen Werten und Lösen nach h erhält man für h den Wert 4,52m. c) Aus der Formel (*) läßt sich die Strecke x für D = 120°, H = 11° und h = 3,5 m berechnen. Man erhält x = 9,31m. Die um 60% größere Strecke ist dann x = 14,90m lang. Setzt man nun x in die Gleichung (*) ein und läßt die Gleichung nach D lösen, so erhält man den Wert D = 133,10° (Bemerkung: man muß beim SOLVE-Befehl eine Einschränkung für den Winkel D angeben, etwa D<180) Aus der Gleichung (**) berechnet man die Länge y. Man erhält y = 5,68 und das sind um 22,86% mehr gegenüber dem ursprünglichen Wert von 4,62. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie
